简析微分中值定理的条件反例
微分中值定理
f ( x )在[0， 1],[1,2]和[2， 上均满足Rolle定理的条件， 3]
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
若函数 f ( x ) 满足： (1) 在闭区间 [a , b] 上连续， (2) 在开区间 (a, b )内可导， 则在 (a, b )内至少存在一点ξ， 使 f (b) − f (a ) f ′(ξ ) = . b−a
在[ − 1,3]上连续 ,
在( −1,3)内可导,
且 f ( −1) = f ( 3) = 0,
∵ f ′( x ) = 2( x − 1), 取ξ = 1 ∈ ( −1, 3), 则 f ′(ξ ) = 0 .
几何解释:
在曲线弧 AB上至少有一 点C , 在该点处的切线是 水平的.
y
C
y = f ( x)
∵ f ′( x ) = 1 1− x
2
+ (−
1 1− x
2
) = 0.
∴ f ( x ) ≡ C , x ∈ ( −1, 1）
π π 又 ∵ f ( 0) = arcsin 0 + arccos 0 = 0 + = , 2 2 π π x ∈ ( −1,1） . 即 C = . ∴ arcsin x + arccos x = 2 2
例4 设 f ( x ) = x ( x − 1)( x − 2)( x − 3), 判断 f ′( x ) = 0 有几个实根. 证
∵ f (0) = f (1) = f (2) = f (3) = 0
则 ∃ξ1 ∈ (0，，使f ′(ξ1 ) = 0; 1) ∃ξ 2 ∈ (1， ，使f ′(ξ 2 ) = 0; 2) ∃ξ 3 ∈ (2， ，使f ′(ξ 3 ) = 0, 3) 即f ′( x ) = 0至少有 3个实根. 又f ′( x )是三次多项式，所以至多有三个零点. ∴ f ′( x ) = 0有 3个实根.
微分中值定理及其证明及应用
定理及其证明费马定理：设)(f x 在c 的某邻域）（δδ+−c c ,内有定义，而且在这个领域上有)()(c f x f ≤（其中)c (f 为局部最大值）或者)()(c f x f ≥（其中)c (f 为局部最小值），当)(f x 在c 处可导时，则有0)c ('=f ．证明：因为假设)c ('f 存在，由定义可得左导数)('-x f 和右导数)(f 'c +均存在且满足：)(f )()('''-c c f c f ==+当c x <时，0)()(≥−−c x c f x f ，所以0)(f )(lim)(f '≥−−=−→c x c x f c c x 当c >x 时，0)()(≤−−c x c f x f ，所以0)(f )(lim)(f '≤−−=+→c x c x f c cx 所以0)c ('=f以上是对于)()(c f x f ≤这种情况进行的证明，同理也可证明)()(c f x f ≥这种情形 罗尔定理：设)(f x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，若)()a (b f f =，则必有一点()b a ,c ∈使得0)c ('=f ．证明：分两种情况，若)(f x 为常值，结论显然成立．若)(f x 不为常值，根据最大、最小值定理（有界闭区间[]b ,a 上的连续函数)(f x 具有最大值和最小值）可知，)(f x 必在()b ,a 内某一点c 处达到最大值或最小值，再有费马定理可得，0)c ('=f ．拉格朗日中值定理：设)(f x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，则一定有一点()b ,a ∈ξ使ab a f −−=)(f )b ()(f 'ξ．证明：分两种情况，若)(f x 恒为常数，则0)x ('=f 在()b ,a 上处处成立，则定理结论明显成立．若)(f x 在[]b ,a 不恒为常数时，由于)(f x 在[]b ,a 上连续，由闭区间连续函数的性质，)(f x 必在[]b ,a 上达到其最大值M 和最小值m ，有一种特殊情况)()a (b f f =时，定理成立，这就是上面所证明过的罗尔定理．考虑一般情形，)()a (b f f ≠．做辅助函数x )(f )b ()(f )x (ab a f x −−−=ϕ．由连续函数的性质及导数运算法则，可得)x (ϕ在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，且()a ab b a bf ϕϕ=−−=)(f )a ()b (，这就是说)x (ϕ满足刚刚的特殊情况，因此在()b ,a 内至少有一点ξ，使得()0)(f )b (f )(''=−−−=ab a f ξξϕ．即()ab a f −−=)(f )b (f 'ξ．定理得证． 柯西中值定理：若)(f x 和)(g x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，且0)x (g '≠，则一定存在()b ,a ∈ξ使()()()()ξξ''g )(f )b (g f a g b a f =−−． 证明：首先能肯定)()a (g b g ≠，因为如果)()a (g b g =，那么由拉格朗日中值定理，)x (g '在()b ,a 内存在零点，因此与假设矛盾． 还是做辅助函数()()()()()a g a g b a f x F −−−−=x g g )(f )b ()(f )x (．由()()b F F =a ，再由拉格朗日中值定理，可以证明定理成立．泰勒中值定理：若)(f x 在0x =点的某个邻域内有直到1n +阶连续导数，那么在此邻域内有()()()()()()()x R x n f x f f f x n nn +++++=!0...!20x 00f 2'''．其中()()()()11n x !1+++=n n n f x R ξ．ξ是介于0与x 之间的某个值．证明：做辅助函数()()()()()()()()()()n n t x n t f t x t f t x t f t f x f −−−−−−−+=!...!2t 2'''ϕ．由假设容易看出()t ϕ在[]x ,0或[]0,x 上连续，且()()x R n 0=ϕ，()0x =ϕ，()()()()()[]()()()()()()()()()()()()()()()−−−−−−−−−−−−−−−−−=−+11n 2'''''2''''''''!1!...!2...f -!2-f n n n t x n t f t x n t f t x t f t x t f t x t t x t f t f t x t f t t ϕ化简后有()()()()n 1n '!-t x n t f t −=+ϕ．在引进一个辅助函数()()1t +−=n t x ψ．对函数()t ϕ和()t ψ利用柯西中值定理得到()()()()()()ξψξϕψψϕϕ''00x =−−x ，ξ是介于0与x 之间的某个值，此时有()()x R n 0=ϕ，()0x =ϕ，()()()()n x n f ξξξϕ−=+!-1n '，()1n x 0+=ψ，()0x =ψ，()()()nx ξξψ−+=1n -'，代入上式，即得()()()()11n x !1+++=n n n f x R ξ． 定理证明完毕．这是函数()x f 在0x =点的泰勒公式，同理推导可得()x f 在0x x =点附近的泰勒公式()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x n n o n +−++−+−+=0200''00'0!...!2f ．其中()()()()()101n !1++−+=n n x x n f x R ξ．ξ是介于0x 与x 之间的某个值．定理间关系：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理。
第四章微分中值定理
第四章微分中值定理4.1 微分中值定理微分中值定理在微积分理论中占有重要地位，它建立了函数与导数之间的联系，提供了导数应用的基础理论依据，本节介绍罗尔（Rolle）定理以及拉格朗日（Lagrange）中值定理。
一、罗尔定理我们已经知道，有界闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值，但是最大值与最小值不一定是极值，例如当最大值和最小值仅在区间端点处取得时就不是极值，而如果最大值或最小值在区间内部取得时，则一定为极值，因此，如果有界闭区间上的连续函数在两个端点处的函数值相等，那么它的最大值与最小值中至少有一个在开区间内取得，从而一定是极值，如果函数可导的话，相应的极值点一定是驻点，即该点处导数为0，这样，我们自然得到下面的罗尔定理。
定理4.1（罗尔定理）设函数f（x）满足：（1）在闭区间[a、b]上连续；（2）在开区间（a、b）内可导；（3）f（a）=f（b）,则至少存在一点罗尔定理也有十分明显的几何意义，设曲线弧（如图4.1所示）的方程为y=f（x）（a≤x≤b），罗尔定理的条件在几何上表示：是一条连续的曲线弧，除了端点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两个端点A 和B的纵坐标相同。
定理结论表述了这样的几何事实：曲线弧上至少有一点C，在这点处曲线的切线是水平的，即罗尔定理的几何意义是：当曲线弧在[a、b]上为连续弧段，在（a、b）的曲线弧上每一点均有不垂直于x轴的切线，并且曲线弧两个端点的纵坐标相同，那么曲线弧上至少有一点的切线平行于x轴（如图4.1所示）有必要指出，罗尔定理中的三个条件缺一不可，条件（1）保证了函数f（x）的最大值与最小值的存在性；条件（3）保证了最大值与最小值中至少有一个在开区间内取得，从而是极值；条件（2）保证了该极值点处函数的可导性，因此，如果缺少这三个条件中的任何一个定理都将不成立，读者不妨自己举些反例加以验证。
例1 在区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的函数是（）[答疑编号10040101：针对该题提问]解：因为在x=0处没定义，所以不连续，故在区间[-1，1]上不满足罗尔定理的条件。
浅谈微分中值定理及其相互关系
浅谈微分中值定理及其相互关系在日常工作中，我们经常要讨论由导数来推断函数所应具有的性质。
微分中值定理正是用来解决这一问题的有效工具。
求极值与最值，用洛必塔法则求极限等一些问题中，微分中值定理占有重要的地位了，下面我们就以三个重要的微分中值定理加以讨论、比较、总结。
标签：微分中值定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理关系微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理。
首先，我们回忆（一）罗尔定理若函数满足：1.在闭区间[a,b]连续。
2.在开区间(a,b)可导。
3.f(b)=f(a)。
则至少存在一点使证明: f(x)在连续[a,b]，所以有最大值M与最小值m.若m=M，则y=f(x)在(a,b)上为常函数。
f’(x)=0成立。
若m≠M，则y=f(x)在[a,b]上一定有极值点，不妨设为x0。
由费马定理得到f’(x0)=0所以至少有一使得成立（二）拉格朗日中值定理若函数满足：1.y=f(x)在闭区间[a,b]上连续；2.y=f(x)在开区间(a,b)上可导则至少存在一点使得证明：构造一辅助函数f(x)满足①在[a,b]连续②在(a,b)可导③F(a)=0，F(b)=0即F(a)=F(b)所以f(x)满足罗尔定理，则至少有一点使得所以（三）柯西中值定理若函数y=f(x)和y=g(x)满足：1.在[a,b]上都连续；2.在(a,b)上都可导；3.f’(x)和g’(x)不同时为0 ；g(a) ≠g(b)，则至少存在一点使得证明：构造辅助函数f（x）满足①在[a,b]连续；②在(a,b)可导‘③F(a)=F(b)=0即F(x)满足罗尔中值定理则至少有一点使得得到这三个微分中值定理的条件都非常相似，而且后两个微分中值定理的证明都用到了第一个中值定理，他们三个之间到底还有什么区别和联系呢？其实①在拉格朗日中值定理中若F(b)=F(a)则，得出，即成为罗尔定理。
②在柯西定理中若g(x)=x,则得出得出，即成为拉格朗日中值定理。
中值定理详细讲解
则 (a,b),使等式
f '() g'()
f (b) g(b)
f (a) g(a)
成立.
例7 设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,证 (a,b) 使eab[ f (b) f (a)] (eb ea )e f ( )
四、小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
例:
若
lim
xa
f
(x) f (a) (x a)2
1 ,则f (x)在x 2
a处取的( A
)
(A)极大值; (B)极小值;
定理 4.1 (费马定理) 设f(x)在x0取得极值,若f (x)在x0可导,则f (x0 ) 0
定义 : 满足f(x0 ) 0的点x0称为驻点
证 f (x) arcsin x arcsin 1 x2在[0,1]连续
f (x)
1 ( 1 x2
1 x2
2
2x 1 x2
)
0.
x (0,1)
f (x) C, x [0,1]
又f (0) arcsin 0 arcsin 1 0 , 22
即C . 2
arcsin x arccos x . 2
二、试证明对函数 y px 2 qx r 应用拉氏中值定理
时所求得的点 总是位于区间的正中间 . 三、证明等式arcsin 1 x2 arctan x
1 x2 2 ( x (0,1) ) . 四、设a b 0 ，n 1 ，证明
nb n1 (a b) a n bn na n1 (a b) .
证：作辅助函数
F(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a). ba
4.1 微分中值定理
⇒
理解即可, 理解即可 证明略
x0为f (x)的极值点 f ′(x0 )不存在或 ′(x0 ) = 0. ⇒ f
据此定理 , 特别地有 ⇒
则必有 ′(x0 ) = 0. f
证明： 证明：用反证法
, , 若 T 4.1费马定理）y = f (x)在x0点取得极值且f (x)在x0点可导 h 费马定理）
[ 2 若 , , 推论 ） f (x)在 a, b]上连续(a, b) 内可导 则 f (x) ≡ C ⇔ f ′(x) ≡ 0.
f (x) ≡ g(x) + C, 其中 为某固定常数 C .
[ 2 P111Ex6 设 (x), g(x)均在a, b]上连续(a, b) , , 推论（即 ） f 内可导 且 ( 内 [ 在 a, b) , f ′(x) ≡ g′(x), 则在a, b]上
⇒ 见黑板
说明： 一般而言 , Rolle 定理只能从理论上保证 ξ 的存在性 , 而 说明： 无法给出 ξ 的准确位置 .
Go on
例. 已知 f (x )在 [0 ,1]上连续 , (0 ,1) 内可导 , f (0 ) = 2f (1),
试证： 方程 x 2 + 1 f ′ (x ) + 2 x f (x ) = 0 在 (0 ,1) 试证： 内至少有一个根 .
(a,b)"改 欲证："至少存在一点ξ ∈(a,b)"改为欲证"存在唯一一点ξ ∈(a,b)"
时，这时尚需进一步证明ξ的唯一性.证明ξ的唯一性一般用反证法.
1 例 证明方程 x3 − 3x + 1 = 0 有且仅有一个小于 的正实根.
零点存在定理＋罗尔定理 零点存在定理＋ 证明见后） （证明见后）
中值定理使用条件
中值定理使用条件
（原创版）
目录
1.中值定理的概念
2.中值定理的使用条件
3.中值定理的应用举例
正文
【1.中值定理的概念】
中值定理，是微积分学中的一个重要定理，主要用于证明函数在某一
区间内的平均变化率等于该函数在该区间内某一点（即中间值）的瞬时变
化率，即导数。
该定理在数学分析、物理学、经济学等各种学科中都有着
广泛的应用。
【2.中值定理的使用条件】
中值定理的使用条件主要有以下几点：
（1）函数的连续性：中值定理要求函数在其定义域内连续，这是使
用中值定理的最基本条件。
（2）函数的导数存在：即函数在某一区间内可导，这是使用中值定
理的核心条件。
（3）拉格朗日中值定理：若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上可导，在开
区间 (a,b) 内存在连续函数 F(x)，且 F"(c)=0，则存在ξ∈(a,b)，使
得 f(b)-f(a)=f"(ξ)F(b)-f"(ξ)F(a)。
（4）罗尔定理：若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且 f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使得 f"(ξ)=0。
【3.中值定理的应用举例】
（1）证明函数的单调性：通过中值定理，可以判断函数在某一区间内的单调性，从而对函数的性质有更深入的理解。
（2）求函数的极值：利用中值定理，可以求出函数在某一区间内的极值，为函数的优化问题提供理论依据。
（3）证明不等式：中值定理也可以用于证明一些不等式，如拉格朗日中值定理可以用于证明柯西不等式。
微积分三大中值定理详解
f (x)在[1,3]上连续,在(1,3)内可导
解
又f (1) f (3) 0.
答 因此, f (x)满足Rolle定理的三个条件.故有
f ( ) 2( 1) 0(1 3),得 1
即在(1,3)内存在一点 1，使得f ( ) 0.
22
微积分（一） calculus
练 证 一明方x程 5 x10有且仅有一个.正实根
y
y x3
等 ， 即 f ( 1) f (1),
但 存 在 =0,使 得
1
0
1
x
f (0 ) 0 .
9
微积分（一） calculus
再如,
x2 f(x)
-1x1 在右端点不连续,
0 x1
但 存 在 0 ,使 得 f(0 ) 0
y
1
1
o
·1 x
10
微积分（一） calculus
然而, yx,x[1,1];
少存在一点，使得f()f().
分析 f (x) f (x) xf (x) f (x) 0 x
(xf (x)) 0;若令F (x) xf (x) 则问题的结论就转化为证明F(x) 0 构造辅助函数F (x) xf (x)，就可以用 罗尔定理来证明。
16
微积分（一） calculus
题型3：找函数(由结论入手，求解微分方程)
11
微积分（一） calculus
例1设f(x)2x35x22x5,x[1,1], 验证f(x)是否满足Rolle定理的条件？
若满足,求出定理中使f()0的.
解 f (x) 2x3 5x2 2x 5 f (x) 6x2 10x 2都是多项式；
f (x)在[1,1]上连续,在(1,1)内可导 且f (1) f (1) 0.
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简析微分中值定理的条件反例
微分中值定理是微积分中的重要定理，它是指如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则必存在一个点c∈(a,b)，使得f`(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
该定理的结论表明，当函数在区间内具有连续性和可导性时，必然存在某个点处的斜率等于区间端点的斜率差。
但需要注意的是，定理的条件是必要的，也就是说，如果函数在满足它的条件之一时，定理不成立。
下面我将利用实例来简要分析微分中值定理的条件反例。
例子一：
考虑函数f(x)=|x|在区间[-1,1]上的情况。
显然，该函数在整个区间上都是连续的，但在x=±0处不可导，因为左导数和右导数不同。
因此，在这个实例中，定理的条件不满足，微分中值定理不成立。
例子二：
考虑函数f(x)=x^(2/3)在区间[-1,1]上的情况。
该函数在0的左侧和右侧都具有有限的导数，但在x=0处不存在导数。
因此，同样可以看出定理不成立。
此时，应该发现在这个实例中，限制条件中的连续性似乎并不是必须的。
例子三：
考虑函数f(x)=x^2 sin(1/x)在区间(0,1]上的情况。
该函数在区间内的所有点都具有有限的导数，但在x=0处不可导。
因此，在这个实例中，连续性和导数存在不足以满足微分中值定理的条件。
1。