19多面体与旋转体的侧面积和体积
多面体与旋转体的体积(二)教学设计
第九章立体几何
9.4.6多面体与旋转体的体积(二)
【教学目标】
1．理解并掌握锥体的体积公式，掌握球的体积公式．
2．会用体积公式解决相关问题，培养学生应用公式运算的能力．
3．通过教学，培养学生的数学应用意识．
【教学重点】
掌握锥体的体积公式．
【教学难点】
运用锥体和球体的体积公式解决实际问题．
【教学方法】
这节课采用讲练结合法．教师引导学生探究三棱锥与同底等高的三棱柱体积之间的关系，得到椎体体积公式，教材直接给出球体的体积公式，讲练结合，使学生熟练应用公式解决实际问题．
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数学基础模块下册
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第九章立体几何
30。
多面体和旋转体的表面积标准版文档
各叫做棱柱的侧面。
两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点，不 在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱 的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。 如图所示：
不在同一个面上的
H
两个顶点的连线叫
做棱柱的对角线。
两个底面的距离叫 做棱柱的高。
H1
分析：
右图：AA1⊥AB且 A A1与底面不垂直 时，棱柱为斜棱柱。
左图：
A1
C1
B1
两个相邻侧面与底 面垂时，它们的交 线也与底面垂直。
A
C
B
3. 斜棱柱、直棱柱和正棱柱的 底面、侧面各有什么特点？
斜棱柱、直棱柱的底面为任意多边形。 侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。 例：已知正四棱柱ABCD-A B C D 中， A B与截面A B CD所成的角为3 0 ，求证此正四棱柱为正方体。 求证：直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。 结论：AC12=AB2+BC2+CC12 右图：AA1⊥AB且A A1与底面不垂直时，棱柱为斜棱柱。 求证：斜棱柱的侧面积等于它的直截面（垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面）的周长与侧棱长的乘积。 右图：AA1⊥AB且A A1与底面不垂直时，棱柱为斜棱柱。 求证：直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。 问:当长方体的对角线与相邻三个面的夹角分别为α,β,γ时,结论如何? （2）若O恰为AC中点，求此三棱柱的侧面积。 可证侧棱平行且相等。 侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。 （2）若O恰为AC中点，求此三棱柱的侧面积。 求证：直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。
多面体和旋转体的体积
2.8 棱柱,圆柱的体积
设有底面积 面积都等于S,高都等于h的任意一个棱柱和一个圆柱,取一 面积 个与它们底面积相等,高也相等的长方体,使它们的下底面在同一个平 面α上.因为它们的上底面和下底面平行,并且高都相等,所以它们 的上底面都在和平面α平行的同一个平面内. 用和平面α平行的 任意平面去截它们时, 所得的截面都和它们的 底面分别全等,故这些 截面的面积都等于S. α 根据定理 定理6,它们的体 定理 积相等. 由于长方体的体积等于它的底面积和高的乘积,于是我们得到下 面的定理: 柱体(棱体,圆体)的体积等于它的面积S和高 的积. 和高h的积 定理 柱体(棱体,圆体)的体积等于它的面积 和高 的积.
V 锥体
1 = Sh 3
1.用棱长为1的正方体的体积作为体积单位右图 长方 体的体积的数值为36.假如将体积单位改用棱 长 为2的正方体的体积,这个长方体的体积变为多 少 ?为什么? 解:原来以1为一个单位,现 在以2为一个单位.
2 3 6 ∴ 长方体有 × × 个体积单位 2 2 2
故,这个长方体的体积是4.5
V三棱柱ABC A'B 'C ' = Sh
=
= 高A' B'1 =V
取任意两个锥体,设它们的底面面积都是S,高都是H.把这两个锥体 放在同一个平面α上,这时它们的顶点都在和平面α平行的同一个平面内. 用平行于平面α的任意平面去截它们,截面分别与底面相似.设截面与 顶点的距离是h1,截面面积分别是S1,S2,那么
V柱体 = sh
例1 有一堆相同规格的六 O 角螺帽毛坯共重5.8kg.已知底 P N 面六边形的边长是12mm,高是 10mm,内孔直径是10mm.问约 有毛坯多少个(铁的比重是 7.8g/cm3) 解: 六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱 的体积的差. 3 3 V 正六棱柱 = × 12 2 × 6 × 10 ≈ 3 . 74 × 10 ( mm 3 ) 4
计算多面体的表面积和体积
计算多面体的表面积和体积多面体是一个立体几何体，它的表面由多个平面的面构成。
计算多面体的表面积和体积是几何学中的基本问题之一。
本文将介绍如何计算一个多面体的表面积和体积。
一、计算多面体的表面积多面体的表面积是指多面体所有面的总面积。
不同类型的多面体有不同的计算方法，以下分别介绍几种常见多面体的计算方法。
1. 计算正方体的表面积：正方体是一种六个面都是正方形的多面体。
正方体的表面积可以通过以下公式计算：表面积 = 6 × (边长)²2. 计算长方体的表面积：长方体是一种六个面都是矩形的多面体。
长方体的表面积可以通过以下公式计算：表面积 = 2 × (长 ×宽 + 长 ×高 + 宽 ×高)3. 计算球体的表面积：球体是一种所有面都是由半径相等的球面覆盖的多面体。
球体的表面积可以通过以下公式计算：表面积= 4 × π × (半径)²4. 计算圆柱体的表面积：圆柱体是一种由上下底面和侧面围成的多面体。
圆柱体的表面积可以通过以下公式计算：表面积= 2 × π × (半径)² + 2 × π × 半径 ×高5. 计算锥体的表面积：锥体是一种由底面和侧面围成的多面体，其中底面为一个封闭曲面，侧面为多个直线段。
锥体的表面积可以通过以下公式计算：表面积= π × (半径) ×（半径 + 斜高）二、计算多面体的体积多面体的体积是指多面体所包围的空间的大小。
不同类型的多面体有不同的计算方法，以下分别介绍几种常见多面体的计算方法。
1. 计算正方体的体积：正方体的体积可以通过以下公式计算：体积 = (边长)³2. 计算长方体的体积：长方体的体积可以通过以下公式计算：体积 = 长 ×宽 ×高3. 计算球体的体积：球体的体积可以通过以下公式计算：体积= (4/3) × π × (半径)³4. 计算圆柱体的体积：圆柱体的体积可以通过以下公式计算：体积= π × (半径)² ×高5. 计算锥体的体积：锥体的体积可以通过以下公式计算：体积 = (1/3) ×底面积 ×高综上所述，根据不同多面体的类型，我们可以采用相应的公式来计算多面体的表面积和体积。
2021高考数学一轮复习统考第8章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积学案(含解析)北师大版
第2讲空间几何体的表面积和体积基础知识整合1．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是01侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝022πrlS圆锥侧＝03πrlS圆台侧＝04π(r1＋r2)l3．柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝05Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝0613Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝074πr2V＝0843πr31．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径．(4)设正四面体的棱长为a ，则它的高为63a ，内切球半径r ＝612a ，外接球半径R ＝64a .正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1．(2019·福州二模)设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为( )A ．100π B.256π3 C.400π3 D.500π3答案 D解析 由题意知切面圆的半径r ＝4，球心到切面的距离d ＝3，所以球的半径R ＝r 2＋d 2＝42＋32＝5，故球的体积V ＝43πR 3＝43π×53＝500π3，即该西瓜的体积为500π3.2．(2019·安徽蚌埠质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为( )A ．π＋43B ．π＋2C ．2π＋43D ．2π＋2答案 A解析由三视图可知，该几何体由半个圆柱和一个三棱锥组合而成．故该几何体的体积为12×π×12×2＋13×12×2×2×2＝π＋43.3．(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )A．2 B．4C．6 D．8答案 C解析由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，即如图所示四棱柱A1B1C1D1－ABCD.由三视图中的数据可知底面梯形的两底分别为1和2，高为2，所以S底面＝12×(1＋2)×2＝3.因为直四棱柱的高为2，所以体积V＝3×2＝6.故选C.4．(2019·北京东城区模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A．2＋ 5 B．4＋ 5C．2＋2 5 D．5答案 C解析该三棱锥的直观图如图所示，过点D作DE⊥BC，交BC于点E，连接AE，则BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，S 表＝S △BCD ＋S △ACD ＋S △ABD ＋S △ABC ＝12×2×2＋12×5×1＋12×5×1＋12×2×5＝2＋2 5.故选C.5．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为6，则球的表面积和体积分别为________，________.答案 36π 36π解析 底面中心与C ′的连线即为半径，设球的半径为R ，则R 2＝(6)2＋(3)2＝9.所以R ＝3，所以S 球＝4πR 2＝36π，V 球＝43πR 3＝36π.6．如图所示，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝3，则球O 的体积等于________．答案9π2解析 由题意知，DC 边的中点就是球心O ， ∵它到D ，A ，C ，B 四点的距离相等， ∴球的半径R ＝12CD ，又AB ＝BC ＝3，∴AC ＝6，∴CD ＝AC 2＋AD 2＝3， ∴R ＝32，∴V 球O ＝4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2.核心考向突破考向一 几何体的表面积例 1 (1)(2019·衡水模拟)如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是( )A ．π＋42＋4B ．2π＋42＋4C ．2π＋42＋2D ．2π＋22＋4答案 B解析 由几何体的三视图可知，该几何体是由半圆柱与三棱柱组成的几何体，其直观图如图所示，其表面积S ＝2×12π×12＋π×1×1＋2×12×2×1＋(2＋2＋2)×2－2×1＝2π＋42＋4.故选B.(2)(2019·郑州二模)如图是某几何体的三视图，图中方格的单位长度为1，则该几何体的表面积为________．答案 8＋4 5解析 由三视图，知该几何体为三棱锥，将该几何体放在长方体中如图所示，由题意可知长方体的长、宽、高分别为2,2,4，由BC ＝2，CD ＝2计算，得BD ＝22，AD ＝25，AB ＝25，所以S △BCD ＝12×2×2＝2，S △ADC ＝12×2×25＝25， S △ABC ＝12×2×25＝25，因为△ABD 为等腰三角形，高为252－22＝32，所以S △ABD ＝12×22×32＝6，所以该几何体的表面积为2＋25＋25＋6＝8＋4 5.几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．[即时训练] 1.(2019·山东潍坊模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π答案 C解析 由三视图可知该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径为3，高为4，则该几何体的表面积S ＝π×32＋π×3×5＋2π×1×2＝28π.故选C.2．(2019·河北承德模拟)某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为( )A．8＋42＋2 5 B．6＋42＋4 5C．6＋22＋2 5 D．8＋22＋2 5答案 C解析由三视图可知，该几何体为放在正方体内的四棱锥E－ABCD，如图，正方体的棱长为2，该四棱锥底面为正方形，面积为4，前后两个侧面为等腰三角形，面积分别为22，2，左右两个侧面为直角三角形，面积都为5，可得这个几何体的表面积为6＋22＋25，故选C.精准设计考向，多角度探究突破考向二几何体的体积角度1 补形法求体积例2 (1)(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A．90π B．63πC．42π D．36π答案 B解析(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.(2)(2019·北京高考)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________．答案 40解析 由题意知去掉的四棱柱的底面为直角梯形，底面积S ＝(2＋4)×2÷2＝6，高为正方体的棱长4，所以去掉的四棱柱的体积为6×4＝24.又正方体的体积为43＝64，所以该几何体的体积为64－24＝40.角度2 分割法求体积例3 (1)(2019·山西五校联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为( )A ．5000立方尺B ．5500立方尺C ．6000立方尺D ．6500立方尺答案 A解析 该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF .取AB 的中点G ，CD 的中点H ，连接FG ，GH ，HF ，则该几何体的体积为四棱锥F －GBCH 与三棱柱ADE －GHF 的体积之和．又可以将三棱柱ADE －GHF 割补成高为EF ，底面积为S ＝12×3×1＝32(平方丈)的一个直棱柱，故该楔体的体积V ＝32×2＋13×2×3×1＝5(立方丈)＝5000(立方尺)．故选A.(2)(2019·浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm 3)是( )A ．158B ．162C ．182D ．324答案 B解析 如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S ＝2＋62×3＋4＋62×3＝27，因此，该柱体的体积V ＝27×6＝162.故选B.角度3 转化法求体积例4 (1)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A －A 1EF 的体积是________．答案 8 3解析 由正三棱柱的底面边长为4，得点F 到平面A 1AE 的距离(等于点C 到平面A 1ABB 1的距离)为32×4＝23，则V 三棱锥A －A 1EF ＝V 三棱锥F －A 1AE ＝13S △A 1AE ×23＝13×12×6×4×23＝8 3.(2)在三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，三棱锥P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.答案1 4解析如图所示，由于D，E分别是边PB与PC的中点，所以S△BDE＝14S△PBC.又因为三棱锥A－BDE与三棱锥A－PBC的高相等，所以V1V2＝14.(1)处理体积问题的思路(2)求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体、不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任何一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换[即时训练] 3.(2019·河北沧州质检)《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱．已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是( ) A．50 B．75C．25.5 D．37.5答案 D解析如图，由题意及给定的三视图可知，剩余部分是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥C 1－MNB 1A 1所得的，且直三棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形，高为5.图中几何体ABCC 1MN 为剩余部分，因为AM ＝2，B 1C 1⊥平面MNB 1A 1，所以剩余部分的体积V ＝V 三棱柱A 1B 1C 1－ABC －V 四棱锥C 1－A 1B 1NM ＝12×5×5×5－13×3×5×5＝37.5，故选D.4．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．答案 16解析 三棱锥D 1－EDF 的体积即为三棱锥F －DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以V 三棱锥F －DD 1E ＝13×12×1＝16.考向三 与球有关的切、接问题例5 (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( )A ．86πB ．46πC ．26π D.6π 答案D 解析设PA ＝PB ＝PC ＝2a ，则EF ＝a ，FC ＝3，∴EC 2＝3－a 2. 在△PEC 中，cos ∠PEC ＝a 2＋3－a 2－2a22a 3－a2.在△AEC 中，cos ∠AEC ＝a 2＋3－a 2－42a 3－a2. ∵∠PEC 与∠AEC 互补，∴3－4a 2＝1，a ＝22， 故PA ＝PB ＝PC ＝ 2.又AB ＝BC ＝AC ＝2，∴PA ⊥PB ⊥PC ， ∴外接球的直径2R ＝22＋22＋22＝6，∴R ＝62，∴V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫623＝6π.故选D. (2)(2019·沈阳市东北育才学校模拟)将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案 B解析 将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆的半径为R ，则有2πR ＝3×2π3，所以R ＝1，设圆锥的内切球的半径为r ，结合圆锥和球的特征，可知内切球的球心必在圆锥的高线上，设圆锥的高为h ，因为圆锥的母线长为3，所以h ＝9－1＝22，所以rh －r ＝R 3，解得r ＝22，因此内切球的表面积S ＝4πr 2＝2π.故选B.“切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．[即时训练] 5.(2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3答案 B解析 如图所示，点M 为三角形ABC 的重心，E 为AC 的中点，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D －ABC 体积最大，此时，OD ＝OB ＝R ＝4.∵S △ABC ＝34AB 2＝93， ∴AB ＝6，∵点M 为三角形ABC 的重心， ∴BM ＝23BE ＝23，∴在Rt △OMB 中，有OM ＝OB 2－BM 2＝2. ∴DM ＝OD ＋OM ＝4＋2＝6，∴(V 三棱锥D －ABC )max ＝13×93×6＝18 3.故选B.6．(2019·漳州模拟)在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，A 1B 1＝3，B 1C 1＝4，A 1C 1＝5，AA 1＝2，则其外接球与内切球的表面积之比为( )A.294B.192C.292D ．29答案 A解析 由底面三角形的三边长可知，底面三角形为直角三角形，内切球半径r ＝AA 12＝1，取AC ，A 1C 1的中点D ，E ，则外接球球心是DE 的中点O ，由A 1C 1＝5，AA 1＝2，得AC 1＝29，所以外接球半径R ＝OA ＝292，所以S 外S 内＝4πR 24πr 2＝294，故选A.1．(2019·郑州二模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为( )A.455π2B.1355π2C ．1805πD ．905π答案 A解析 构造底面边长为3,6，高为3的长方体，由三视图可知，该几何体是如图1中所示的三棱锥P －ABC .所以在该三棱锥中，PA ⊥底面ABC ，并且AB ⊥AC ，把该三棱锥放在如图2所示的底面边长为32，高为3的长方体中，则该三棱锥的外接球就是该长方体的外接球，设该三棱锥的外接球的半径为R ，则有(2R )2＝32＋(32)2＋(32)2＝45，解得R ＝352，所以该三棱锥的外接球的体积V ＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫3523＝455π2，故选A.2．(2019·宝鸡中学高三第一次模拟)已知一个四面体ABCD 的每个顶点都在表面积为9π的球O 的表面上，且AB ＝CD ＝a ，AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝5，则a ＝________.答案 2 2解析 由题意，知四面体ABCD 的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，如图所示．设AF ＝x ，BF ＝y ，CF ＝z ，则x 2＋z 2＝y 2＋z 2＝5，又4π·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 2＋z 222＝9π，解得x ＝y ＝2，∴a ＝x 2＋y 2＝2 2. 答题启示1．若四面体中有三条棱两两垂直，则方法是找到三条两两互相垂直的棱，借助墙角模型补成长方体(如图)，用公式 a 2＋b 2＋c 2＝2R 求解．2．若四面体的对棱相等，则解题步骤为第一步：画出一个长方形，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设长方体的长宽高分别为a ，b ，c ，列出方程⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝BC 2＝α2，b 2＋c 2＝AC 2＝β2，c 2＋a 2＝AB 2＝γ2(其中α，β，γ为常数)⇒a 2＋b 2＋c 2＝α2＋β2＋γ22；第三步：根据墙角模型，a 2＋b 2＋c 2＝2R ⇒R ＝a 2＋b 2＋c 22.对点训练1．在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，将△ABC 沿BC 上的高AD 折成直二面角B ′－AD －C ，则三棱锥B ′－ACD 的外接球的表面积为( )A ．π B.2π C ．3πD ．2π答案 C解析 如图，∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，∴BC ＝2，则BD ＝DC ＝AD ＝1，由题意，得AD ⊥底面B ′DC ，又二面角B ′－AD －C 为直二面角，∴B ′D ⊥DC ，把三棱锥B ′－ACD 补形为正方体，则正方体的体对角线长为3，则三棱锥B ′－ACD 的外接球的半径为32，则其外接球的表面积为S ＝4π×⎝⎛⎭⎪⎫322＝3π.故选C. 2．(2019·漳州质量监测)已知正四面体ABCD 的外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为________．答案 16 3解析 将正四面体ABCD 放在一个正方体内，设正方体的棱长为a ，如图所示，设正四面体ABCD 的外接球的半径为R ，则43πR 3＝86π，解得R ＝ 6.因为正四面体ABCD 的外接球和正方体的外接球是同一个球，则有3a ＝2R ＝26，所以a ＝2 2.而正四面体ABCD 的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以正四面体ABCD 的棱长为2a ＝4，因此，这个正四面体的表面积为4×12×42×sin π3＝16 3.。
人教版中职数学(基础模块)下册9.4《多面体与旋转体》ppt课件1
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
2019/8/10
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E’
D’
F’ A’
C’ B’
E
F A
D C
B
棱柱的概念
侧面与底面的 公共顶点叫 做棱柱的
顶点
底
·E’ · A’
·D’
两个互相
· · C’ 平行的面
B’
叫做棱柱
的底
其两余个各面面的叫做
相邻侧公棱面共柱的边的叫侧做面
E
· 公共边叫棱做柱的棱
· · 棱柱的侧棱 A
底
D
· · B
C
棱柱的性质
E’
D’
F’ A’
空间几何体的定义： 如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑
其它因素，那么这些由物体抽象出来的空间图 形就叫做空间几何体
空间几何体的分类： 1.多面体：由若干平面多边形围成的几何体 2.旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的
一条定直线旋转所成的封闭几何体
O1
AS
O
O
BO
A
矩 形 直角三角形
半圆
分别以矩形、直角三角形的直角边、 半圆的直径所在的直线为旋转轴，其余各 边旋转而成的曲面所围成的几何体， 分别 叫做圆柱，圆锥，球。
多面体的表面积和体积问题
多面体的表面积和体积问题多面体是指由多个平面多边形组成的立体图形，其中最常见的包括正立方体、正六面体、正四面体以及正十二面体等。
在计算多面体的面积和体积时需要用到不同的公式和方法，本文将就此问题进行详细探讨。
1. 正立方体的表面积和体积正立方体是一种所有面和边长度均相等的多面体，其表面积和体积的计算公式如下：表面积 = 6 ×边长²体积 = 边长³其中边长指的是正立方体的一条边的长度。
例如一条边长为3cm的正立方体，其表面积为6 × 3² = 54cm²，体积为3³ = 27cm³。
2. 正六面体的表面积和体积正六面体是指六个正方形组成的立体图形，其表面积和体积的计算公式如下：表面积 = 6 ×正方形面积体积 = (边长³ × √2) ÷ 3其中边长指的是正六面体的一条边的长度。
正方形面积为边长²，因此正六面体的表面积为6 ×边长²，其体积公式中的√2为根号下2的数字，计算时可采用近似值1.41。
例如一条边长为3cm的正六面体，其表面积为6 × 3² = 54cm²，体积为（3³ × 1.41）÷ 3 ≈ 18.85cm³。
3. 正四面体的表面积和体积正四面体是指四个正三角形组成的立体图形，其表面积和体积的计算公式如下：表面积 = 正三角形面积 × 4体积 = (底面积 ×高) ÷ 3其中正三角形面积为(√3 ÷ 4) × 边长²，底面积为正三角形面积，高为底面到顶点的距离。
例如一条边长为3cm的正四面体，其正三角形面积为（√3 ÷ 4）× 3² ≈ 3.90cm²，表面积为 3.90 × 4 = 15.60cm²，底面积为正三角形面积，高为3×√2÷4 ≈ 1.73cm，则其体积为（3²×1.73）÷3 ≈ 5.20cm³。
多面体的表面积与体积几何中的立体计算
多面体的表面积与体积几何中的立体计算在几何学中，多面体是指由多个平面多边形组成的立体体积图形。
计算多面体的表面积与体积是几何学中的重要内容。
本文将详细介绍计算多面体表面积与体积的方法。
一、计算多面体的表面积多面体的表面积是指多面体的所有面的面积之和。
计算多面体的表面积需要确定多面体的各个面的形状和尺寸。
以正方体为例，正方体有六个面，每个面都是一个正方形。
假设正方体的边长为a，则每个面的面积为a^2。
因此，正方体的表面积为6a^2。
对于其他的多面体，计算表面积的方法也是类似的。
根据多面体的形状和尺寸，计算每个面的面积，然后将各个面的面积相加即可得到多面体的表面积。
二、计算多面体的体积多面体的体积是指多面体所包围的空间大小。
计算多面体的体积同样需要确定多面体的形状和尺寸。
以正方体为例，正方体的体积可以通过计算正方体的边长的立方得到。
即体积V=a^3。
对于其他的多面体，计算体积的方法也是根据多面体的形状和尺寸来确定的。
根据多面体的特点，可以通过不同的方法计算体积。
例如，圆柱体的体积可以通过计算底面积乘以高来得到，球体的体积可以通过计算4/3乘以π乘以半径的立方来得到。
需要注意的是，对于不规则的多面体，计算表面积和体积可能较为困难。
这时可以通过将不规则多面体划分为若干规则的子多面体来计算。
然后将各个子多面体的表面积和体积相加即可得到整个多面体的表面积和体积。
三、实际应用多面体的表面积和体积计算在现实生活中有很多应用。
例如，在建筑设计中，需要计算建筑物的体积以确定所需的材料数量。
在制造业中，计算物体的表面积可以确定所需的油漆或涂料的用量。
在物流和运输领域，计算货物的体积可以确定货物的空间占用和运输成本。
总结：多面体的表面积与体积是几何学中的重要内容。
计算多面体的表面积与体积需要确定多面体的形状和尺寸，然后根据不同的方法进行计算。
在实际应用中，准确计算多面体的表面积与体积可以帮助我们解决各种问题，如建筑设计、制造业和物流等领域。
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专项热点训练19、多面体与旋转体的侧面积和体积
考纲解读：掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式，并能运用这些公式进行计算。
高考预测：侧面积、表面积和体积的计算在每年高考中必考其一，亦可能既考侧面积又考体积。
有关多面体和旋转体的体积或表面积问题常常与实际问题结合在一起。
运用等积法求点到平面的距离是高考的热点内容。
课时测试（时间：60分钟，满分100分）
一、选择题（本题包括6个小题，每小题6分共36分）
1•一个长方体的全面积为24,所有棱长之和也为24，那么这个长方体的对角线的长为（）
2.6 ; B• 12; C. 6; D• 2.3。
2•一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（）
3 .直角梯形ABCD 中，AB//DC , AB = 2CD , A = 45° AD
梯形ABCD旋转一周所得旋转体的体积为
; D • 4.2
3 3 a
4. 64个直径都为一的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个直径为a的
4
球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则（）
A •2甲＞V乙且S甲＞S乙;
B •V甲v V乙且S甲v S乙;
C • V 甲=V乙且S EP＞S乙;
D •V甲=V乙且S EP = S乙。
5. 用一块长3m,宽为2m的矩形木板，在二面角为90°的墙角处，围出一个直三棱柱形谷仓，在下面图19-1的四种设计中，容积最大的是（
B
厦
1141D
3 ；B. 5 ；C. 5 ；D •2，以直线AB为轴将
（）
6. 如图19-2，已知多面体 ABC — DEFG 中，AB 、AC 、AD 两
两互相垂直，平面 ABC//平面DEFG ，平面 BEF//平面
ADGC , AB = AD = DG = 2, AC = EF = 1,则该多面体的体 积
为 （）
A . 2；
B . 4；
C . 6；
D . 8。
二、填空题（本题包括 3个小题，每小题 6分，共18分）
7•国际乒乓球赛用球已将“小球”改为“大球”，“小球”的 外径为38mm ，“大球”的外径为 40mm ，则“小球”的面积与
&高为h 的一个木质圆锥自由地浮在水中，当底面淹没在水
1
中，露出水面部分小圆锥的高为 一h ;若倒过来，当顶点在
2 水中时，则水中淹没部分小圆锥的高为—;
9•如图19-3，四棱柱 ABCD A 1B 1C 1D 1中，给出三个论断：
①
四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1直四棱柱； ② 底面ABCD 是菱形； ③ AC 1 BQ ；
以其中两个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以得到三 个命题，
其中正确命题的个数为 ___________ 。
三、解答题（本题包括 3个小题，共46分）
10.（本题满分14分）
如图19-4四棱锥P — ABCD 的底面是边长为 a 的正方形，PB 垂 直
于面ABCD 。
（1） 若面PAD 与面ABCD 所成二面角为60°,求这个四棱 锥的体积；
（2） 证明无论四棱锥的高怎样变化，面 PAD 与面PCD 所成
二面角恒大于90 °。
11 .（本题满分15分）
已知圆柱的侧面积为16. 5 ，体积为80 。
（1） 求圆柱的底面半径r 和高h ；
（2） 如图19-5，设平面 与圆柱上下两底面的圆周交于点
A 、
B 、
C 、
D ，且四边形 ABCDN 恰好是正方形，求平面 底面所
成二面角的大小。
12.（本小题满分17分）
如图19-6，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，
AB . 2 , BC CA 秋 1,设A 在底面ABC 上的射 影为点0。
"大球”的面积比为 C B 6图坤-3 用
点O 与B 能否重合？试说明理由; （1）
（2）若O 在AC 上，求BB 1与侧面AC 1的距离; （3） 答案与选讲： 一、选择题： O 是三角形ABC 的外心，求四棱锥 C ABBA 体积。
1-6、DCACAB 二、填空题: 7、 361: 400; 三、解答题: -3 3
a ; 3 （2 ）证：不论棱锥的高怎样变化， 10、（ 1） V 锥 作AE DP ,垂足为E ,连结EC ,贝U ADE ••• AE = CE , CED = 90 设AC 与DB 相交于点O , 棱锥侧面 PAD 、与PCD 恒为全等的直角三角形。
CDE 。
，故 CEA 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角。
42 连结EO ,贝y EO AC ,• —— 2 2 2 AE 2 EC 2 2OA AE EC 所以面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于 90 16、. 5 在 AEC 中，cos AEC rh 11、（ 1）依题意，得 2 r 2h （2 ）令 与底面所成二面角为 形，这时, 80 ，若 a OA AE AD 2 AE 2OA AE . 2OA 2 0, AE 2
.r 2 5 … 。
h 4 与底面垂直，当 AB = BC = 4时，ABCD 为正方 2，
若 与底面所成的二面角为锐角，设下底面圆心为 O ,作AE 垂直于面BOC 于E ,则E 必在圆周上。
连结 EB 、EC o v AB 垂直于 BC ,「. EB 垂直于 与底面所成二面角的平面角，即 BC ,从而角ABE 就是平面 又
EC 必过圆心O ,在 Rt AEB 中, ABE 。
EB 4cot , AB BC —。
在 Rt EBC 中, sin 4cot 2 4 sin arc cot ■- 2 。
综上所述：平面 与底面所成二面角为 —，或
arc cot •、2 或 2 arc cot2 。
12、( 1)不能。
若0和B重合，则A i BA是直角三角形，AA i为斜边，而AA i 1 , AB 2，这与斜边大于直角边矛盾；
(2)所求距离为1;
(3)若0为三角形ABC的外心，则0为AB中点，且面A1ABB1面ABC ,二CO
A ABB1，而A,0 —，又CO
S A|ABB1 AB A,D 1 ,
2
11
V C ABB1A1
3。