全国高考文科数学试题及答案福建卷

年普通高等学校招生全国统一考试福建卷数 学文史类第Ⅰ卷选择题 共60分一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若1+i+2-3i=a+bia 、b ∈R,i 是虚数单位,则a,b 的值分别等于 ,-2 ,2 C. 3,-3 ,42.若集合M={x ︱-2≤x ＜2},N={0,1,2},则M ∩N 等于 A.{0} B. {1} C. {0,1,2} D. {0,1}3.下列函数为奇函数的是A.x y =B.x e y =C.x y cos =D.x x e e y --=4.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入x 的值为1,则输出y 的值为.7 C 5.若直线1=+bya x a ＞0,b ＞0过点1,1,则a+b 的最小值等于 .3 C6.若135sin -=α,且α为第四象限角,则tan α的值等于 A.512 B.512- C.125 D. 125- 7.设a=1,2,b=1,1,c=a+kb.若b ⊥c,则实数k 的值等于 A.23- B. 35- C. 35 D. 238.如图,矩形ABCD 中,点A 在x 轴上,点B 的坐标为1,0,且点C 与点D 在函数⎪⎩⎪⎨⎧+-≥+=0,1210,1)(＜x x x x x f 的图象上.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于A.61 B. 41 C. 83 D.21 9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于A.228+B. 2211+C. 2214+10.变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥+.0,022,0y mx y x y x 若z=2x-y 的最大值为2,则实数m 等于B.-1C.111.已知椭圆E:12222=+by a x a ＞b ＞0的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E 于A,B 两点.若4=+BF AF ,点M 到直线l 的距离不小于54,则椭圆E 的离心率的取值范围是A.⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛230， B.⎥⎦⎤ ⎝⎛430， C.⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡123， D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,4312.“对任意x x x k x ＜cos sin ,2,0⎪⎭⎫⎝⎛∈π”是“k ＜1”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件第Ⅱ卷非选择题 共90分二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数是 . 14.若△ABC 中,AC=3,A=45°,C=75°,则BC= . 15.若函数ax x f -=2)(a ∈R 满足f1+x=f1-x,且fx 在m,+∞上单调递增,则实数m 的最小值等于 .16.若a,b 是函数fx=x 2-px+qp ＞0,q ＞0的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于 .三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.本小题满分12分等差数列{a n }中,a 2=4,a 4+a 7=15. Ⅰ求数列{a n }的通项公式；Ⅱ设n b n a n +=-22,求b 1+b 2+b 3+…+b 10的值.全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示．I 现从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在[]7,8内的概率；Ⅱ根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．19.本小题满分12分已知点F 为抛物线E:22y px =0p >的焦点,点()2,m A 在抛物线E 上,且F 3A =．I 求抛物线E 的方程；Ⅱ已知点G-1,0,延长AF 交抛物线E 于点B,证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆,必与直线GB 相切．如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A,B 的点,PO 垂直于圆O 所在的平面,且PO=OB=1． I 若D 为线段AC 的中点,求证：AC ⊥平面PDO ； Ⅱ求三棱锥P-ABC 体积的最大值； Ⅲ若C 2B =,点E 在线段PB 上,求CE+OE 的最小值．21.本小题满分12分 已知函数()2103sincos 10cos 222x x xf x =+． I 求函数()f x 的最小正周期； Ⅱ将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度,再向下平移a 0a >个单位长度后得到函数()g x 的图象,且函数()g x 的最大值为2．ⅰ求函数()g x 的解析式；ⅱ证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得()00g x >．已知函数()()21ln 2x f x x -=-．I 求函数()f x 的单调递增区间； Ⅱ证明：当1x >时,()1f x x <-；Ⅲ确定实数k 的所有可能取值,使得存在01x >,当()01,x x ∈时,恒有()()1f x k x >-.数学试题文史类参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分60分;二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算;每小题4分,共16分;15. 1 16. 9三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、划归与转化思想;满分12分;解：I 设等差数列{}n a 的公差为d ;由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩ 解得131a d =⎧⎨=⎩所以()112n a a n d n =+-=+II 由I 可得2nn b n =+ 所以231012310(21)(22)(23)(210)b b b b ++++=+=+=++++…………2310(222)=++++……+21+2+3+……+10102(12)(110)10122-+⨯=+- 11(22)55=-+112532101=+=18.本小题主要考查古典概型,频率分布表、平均数等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想等,满分12分;解法一：I 融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ,2A ,3A ；融合指数在4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ,2B ,从融合指数在4,5和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家所有基本事件是：{}{}{}{}{}{}{}12132311122122,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A B A B {}{}{}313212,,,,,A B A B B B ,共10个;期中,至少有1家融合指数在7,8内的基本事件是{}{}{}121323,,,,,,A A A A A A{}{}{}{}{}{}111221223132,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B 共9个; 所以所求的概率910P =; II 这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于28734.5 5.5 6.57.520202020⨯+⨯+⨯+⨯=. 解法二：I 融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ,2A ,3A ；融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为1B ,2B ,从融合指数在4,5和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是：{}{}{}{}{}{}{}12132311122122,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A B A B{}{}{}313212,,,,,A B A B B B ,共10个;其中,没有1家融合指数在7,8内的基本事件是{}12,B B ,共一个; 所以所求的概率1911010P =-=; II 同解法一;19.本小题主要考查抛物线、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想;妈妈粉12分解法一：I 由抛物线的定义得F 22p A =+． 因为F 3A =,即232p+=,解得2p =, 所以抛物线E 的方程为24y x =．II 因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上,所以22m =±由抛物线的对称性,不妨设(2,22A ． 由(2,22A ,()F 1,0可得直线F A 的方程为)221y x =-．由()22214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩,得22520x x -+=,解得2x =或12x =,从而1,22⎛⎫B - ⎪⎝⎭． 又()G 1,0-,所以()G 22022213k A -==--,()G 20221312k B --==---, 所以G G 0k k A B +=,从而GF GF ∠A =∠B ,这表明点F 到直线G A ,G B 的距离相等,故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切．解法二：I 同解法一．II 设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ． 因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上,所以22m =±由抛物线的对称性,不妨设(2,22A ． 由(2,22A ,()F 1,0可得直线F A 的方程为)221y x =-．由)2214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩,得22520x x -+=,解得2x =或12x =,从而1,22⎛B - ⎝． 又()G 1,0-,故直线G A 的方程为223220x y -+=,从而2222428917r +==+又直线G B 的方程为223220x y ++=,所以点F 到直线G B 的距离2222428917d r +===+． 这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切．20.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想;满分12分; 解法一：I 在C ∆AO 中,因为C OA =O ,D 为C A 的中点,所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面,所以C PO ⊥A ． 因为D OPO =O ,所以C A ⊥平面D P O ．II 因为点C 在圆O 上,所以当C O ⊥AB 时,C 到AB 的距离最大,且最大值为1． 又2AB =,所以C ∆AB 面积的最大值为12112⨯⨯=． 又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =, 故三棱锥C P -AB 体积的最大值为111133⨯⨯=． III 在∆POB 中,1PO =OB =,90∠POB =,所以22112PB =+=同理C 2P =所以C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中,将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ,使之与平面ABP 共面,如图所示．当O ,E ,C '共线时,C E +OE 取得最小值．又因为OP =OB ,C C ''P =B ,所以C 'O 垂直平分PB ,即E 为PB 中点．从而2626C C 222+''O =OE +E =+=, 亦即C E +OE 的最小值为262+． 解法二：I 、II 同解法一．III 在∆POB 中,1PO =OB =,90∠POB =,所以45∠OPB =,22112PB =+=．同理C 2P =．所以C C PB =P =B ,所以C 60∠PB =．在三棱锥C P -AB 中,将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ,使之与平面ABP 共面,如图所示．当O ,E ,C '共线时,C E +OE 取得最小值． 所以在C '∆O P 中,由余弦定理得：()2C 12212cos 4560'O =+-⨯+212312222222=+--⨯⎭ 23=+ 从而26C 232'O =+=所以C E +OE 的最小值为262+． 21.本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力、创新意识,考查函数与方程思想、化归与转化思想、有限与无限思想、数形结合思想;满分12分; 解：I 因为()2103cos 10cos 222x x xf x =+ 535cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． IIi 将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象,再向下平移a 0a >个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．又已知函数()g x 的最大值为2,所以1052a +-=,解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．ii 要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得()00g x >,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得010sin 80x ->,即04sin 5x >．由452<知,存在003πα<<,使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知,当()00,x απα∈-时,均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π,所以当()002,2x k k παππα∈++-k ∈Z 时,均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ,()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>,所以对任意的正整数k ,都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-,使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得()00g x >．22.本小题主要考查函数的单调性、倒数及其应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想;满分14分;解：I ()2111x x f x x x x-++'=-+=,()0,x ∈+∞．由()0f x '>得210x x x >⎧⎨-++>⎩解得102x +<<．故()f x 的单调递增区间是⎛ ⎝⎭． II 令()()()F 1x f x x =--,()0,x ∈+∞．则有()21F x x x-'=．当()1,x ∈+∞时,()F 0x '<,所以()F x 在[)1,+∞上单调递减, 故当1x >时,()()F F 10x <=,即当1x >时,()1f x x <-． III 由II 知,当1k =时,不存在01x >满足题意．当1k >时,对于1x >,有()()11f x x k x <-<-,则()()1f x k x <-, 从而不存在01x >满足题意．当1k <时,令()()()G 1x f x k x =--,()0,x ∈+∞,则有()()2111G 1x k x x x k x x-+-+'=-+-=．由()G 0x '=得,()2110x k x -+-+=．解得10x =<,21x =>．当()21,x x ∈时,()G 0x '>,故()G x 在[)21,x 内单调递增． 从而当()21,x x ∈时,()()G G 10x >=,即()()1f x k x >-, 综上,k 的取值范围是(),1-∞．。