哈密顿原理变分法
哈密顿原理
（二）哈密顿原理
质点系的运动是一个客观存在的事 实，力学的任务是对运动作出正确的描 述。矢量力学的理论是指出一切真实运 动所应服从的规律，并以此为依据，去 论断各个具体运动的特征。可是分析力 学并不这样。分析力学研究约束所允许 的一切可能运动，设法在可能运动所构 成的集合中把真实运动挑选出来。由此 可见，分析力学与矢量力学在思想方法
4. 变分运算的几个法则 A B A B
AB A B B A
A B A A B 2 B B d dA A dx dx
Adx
x1
x2
x2
x1
A dx
A
x
B
z
设质点在某一瞬时速度为v，则滑过ds路程的时间
dt=ds/v
没有摩擦，保守力场机械能守恒
v 2gz
曲线方程
（坐标为z时的质点速度）
z=z(x),
而曲线的元弧长：
2
ds
dz 1 dx dx
ds dt v
1 z dx , 2 gz
'2
T
xB
（一）变分法简介
变分法是研究泛函极值的一 种数学理论，它是由力学中最 速落径问题的诱导而发展起来 的。由伊凡· 贝努力提出来的最 速落径问题是这样一个问题.
1. 最速落径问题
不考虑摩擦力和空气阻力，在连 接不在同一铅直线上的任意两定点A 和B（B低于A）的所有曲线中，无 初速的质 点在重力作用下沿哪一条 曲线轨道从A滑到B所需时间最短？ 显然，下滑时间与曲线形状有 关。
欧勒方程
如果 f 不显含自变量 x , 则欧勒方程有初积分 : f f - y' 常数. y '
27变分与哈密顿原理
三、各原理在反映力学规律上的等价性： 1、由拉氏方程导出哈密顿原理： 将拉格朗日方程中各项乘以δqα ，对α 求和：
d L 1 dt q
s
L q 0 q
p2 t t 2
然后沿着 s 维空间一条可能的运动轨道 自两曲线共同端点P1至P2对 t 积分：
3、等时变分的运算法则：
d d ①、 dt ( q) ( dt q)
②、dt q(t )dt
t1
t2
其余的与微分运算类似，如： BA AB A B 2 B
二、哈密顿原理
S L L L L t qk qk t qk K 1 qk
2、由哈密顿原理导出正则方程 推导： H p q L L p q H 哈密顿函数： 代入： t Ldt 0
1
t2
中：
展开：t
2
t1
H H p p q q p dt 0 q q p d p q ( p q ) p q dt
例：虚功原理为变分的微分原理； 哈密顿原理为变分的积分原理；
一、函数与泛函： 1、函数： 若对于单元函数，则有： y f x 若对于多元函数，则有： y f x1 , x2 ,, xn 则 xi 称为自变量，y称为因变量； xi 构成数集。 2、泛函： y F ( g ( x)) 表示y 是x的泛函。 可将函数看成泛函的特例。 函数的极值条件是函数的微分等于零,即: ds 0 泛函的极值条件是? 泛函的变分等于零! 即: s 0 泛函有极值代表什么物理意义？
3[1].变分法与Hamilton原理
![3[1].变分法与Hamilton原理](https://img.taocdn.com/s3/m/2a287e52f01dc281e53af0f0.png)
；
泛函Φ 的自变量为
定义域 ，自变量的变分
,
数的无穷小改变。
，即函
小参量法的定义为
，其中 为任意无穷小量， 为任意连续有界函数。类似于数
学分析中的 ‐ 语言，这是严格的数学定义。下面的叙述我们不追求数学上的严格性。
3. 泛函的变分
函数的微分
,,,
,
,,
,,, .
泛函的变分 Φ
Φ
Φ.
1 / 40
例Φ
解出 , ，得
⁄
0.562551 0.422487 π θ θ 0.211530 π θ θ 0.0604328 π θ θ
⁄
0.0173699 π θ θ 0.00202953 π θ θ
0.000561428 π θ θ
⁄
0.00164894 π θ θ
1 绳长不变，得约束条件
0
1
由于有约束， 不独立。引进拉氏乘子，得 0
10 / 40
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
1
01
0 1
可以直接求解方程，也可以利用“广义能量积分”，
1 1
1
,
1 1
1
ln cosh
3 个待定常数（2 个积分常数，1 个来自拉氏乘子）由代数方程
,
,
1
1 sinh
2 cosh
点为原点，设 0, 0。 , 两点之间用曲线
连接，一个质点被束缚在曲线上运
动，在重力作用下自由下降，初速为 0。什么样的曲线形状可以使质点从 到 所花的时间最少？
解 机械能守恒， 通过这段弧所需的时间为
2 ；弧长
7第5章哈密顿原理
根据哈密顿原理，
整理后，
又，
代入前式中，得到
在瞬时t0，t1，有r== 0，于是上式中的后四项为零，由于t0，t1是任意的，所以被积函数应为零，且和是彼此独立的，于是我们得到
哈密顿原理可用来推导各种形式的弹性结构（杆及杆系、板、壳）的运动微分方程及求动力响应的近似解。
例5-6试建立二端固定而绷紧的均质弦的微幅振动动力学方程。
(1)
固定时间t，式(1)表示以a为变量（0al）的曲线参数方程，如图18-5中的曲线c，根据不可伸长的约束条件，得到
由此推出
(1)
用 分别表示横向位移及其对a和对t的偏导数，并且限于讨论偏离铅垂位置的微振动。若将横向运动量 看作一阶小量，则由公式(1)看出， 是二阶小量，在略去四阶小量 后，式(1)简化为
(2)
系统动能精确到二阶小量为
(3)
式中，是悬链线密度。若以O为零势能位置重力势能为
(4)
式中，xC是链子的质心坐标；xN是集中质量的坐标。根据质心公式，有
而
若以悬链静平衡为零势能状态，则系统的重力势能为
(5)
令
其中，是集中质量与链的质量比，则系统的拉格朗日函数由式(3)和(5)得
哈密顿作用量为
(6)
t
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
0.00
0.29313
0.56900
0.81038
1.00
0.00
0.29401
0.56975
0.81006
1.00
0.00
-0.299
-0.132
+0.0395
0.00
习
5-1如题5-1图所示，半径为r的均质圆球自半径为R的固定球顶端无初速、无滑动地滚下，试求动球的正则方程及球心下降的加速度。
哈密顿原理
§7-4 哈密顿原理人们为了追求自然规律的统一、 和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律.牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架.哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架.哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义.一、变分法简介1. 函数的变分.自变量为x 的函数表示为)(x y y =.函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化.函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起的.这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ.与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下:)()0,(),(*x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成()()()x x y x y y εηε=−=0,,δ*在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动.q t d d →函数的微分.在曲线I 附近, 存在着许多相邻曲线, 这些曲线都满足力学系统的约束条件, 称为可能运动曲线,它们的方程表示为()()()t t q t q εηε+=0,,*在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ,()()()t t q t q q εηεδ=−=0,,*与q d 不同, q δ与时间变化无关, 称为等时变分. r δ和αq δ都是等时变分.变分的运算法则在形式上与微分运算法则相同. 下面列出几条变分法则.设1y 和2y 是自变量x 的两个函数, 则()2121δδδy y y y +=+()122121δδδy y y y y y +=22211221δδδy y y y y y y −= 现给出第3式的证明:()22222211122122211121*2121δηεηεηεηεηε+−=−++=− =y y y y y y y y y y y y y y22211221δδδy y y y y y y −= 等时变分还有两个重要性质:(1)变分与微分的运算可以交换, 即δ和d 的运算可交换;(2)变分和微商在运算上可以交换, 即δ和t d /d 的运算可交换.首先证明性质(1):设力学系统的1=s ,q . 曲线 I 表示系统的真实运动, 曲线 II 表示与曲线I 邻近的系统的可能运动.Q Q P ′→→, Q ′点的纵坐标为()q q q q d δd +++. Q P P ′→′→, Q ′点的纵坐标成为()q q q q δd δ+++. 于是 ()()q q q q q q q q δd δd δd +++=+++()()q q δd d δ=证明完毕.下面证明性质(2): 因为()()()()2d d δd d δd d d δt t q q t t q −=由于等时变分, ()()0δd d δ==t t . 所以上式可写成()()q t t q t q δd d d d δd d δ==证明完毕.在变分法中, 除等时变分外, 还有全变分. 全变分是由于函数自变量和函数形式的共同变化引起的, 用q ∆表示.()()0,,*x y x x y y −∆+=∆εx xy y y ∆+=∆d d δ 2. 泛函的变分与泛函取极值的条件---欧拉方程.若变量J 由一组函数()x y y i i =, n i ,,2,1 =的选取而确定, 则变量J 称为函数()t y y i i =的泛函, 记作()()()],,,[21x y x y x y J n .泛函J 由n 个函数的形式确定, 是函数形式的函数.泛函与函数的概念不同, 函数中的自变量是数； 而对于泛函, 处于自变量地位的是可以变化的函数的形式.举例说明：Oxy 平面中有B A ,两个固定点, 连接两固定点间的曲线的长度L 由下式确定, ()x x y L AB x x d d /d 12∫+= 显然, L 依赖于函数()x y y =的选取, 若函数()x y 的形式发生变化, 则曲线的形状随之变化, 曲线的长度也跟着改变. 长度L 就是函数()x y的泛函.研究形式最简单的泛函及其变分, 该泛函只依赖一个函数()()[]x x x y x y F J x x d ,,10∫′= 或 ()()()()()[]x x x x y x x y F J x x d ,0,,0,10∫′+′+=ηεεηε 其中()()x x y x y d d =′被积函数()()[]x x y x y F ,,′的形式是已知的, 积分的上下限是固定的. 当函数()x y 在形式上发生变化时, 泛函就会发生变化, 这种由于函数形式的变化引起泛函的变化(线性部分)称为泛函的变分,记作J δ.现将被积函数()()()()[]x x x y x x y F F ,0,,0,ηεεη′+′+=在0=ε处展开(只保留线性部分)()()()()[]x x x y x x y F ,0,,0,ηεεη′+′+()()[]()()x y F x y F x x y x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂+′===00,, 可见函数的变分为()()()()[]()()[]x x y x y F x x x y x x y F F ,,,0,,0,δ′−′+′+=ηεεη()()x y F x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂===00 y y F y y F ′ ′∂∂+ ∂∂===δδ00εεF 的变分是在0δ=x 的情况下进行的. 在力学中, x 为时间t , 这种变分是等时变分.现将J δ写成()()()()[]()()[]∫∫′−′+′+=1010d ,,d ,0,,0,δx x x x x x x y x y F x x x x y x x y F J ηεεη ()()()()[]()()[]{}∫′−′+′+=10d ,,,0,,0,x x x x x y x y F x x x y x x y F ηεεη∫=10d δx x x F 上式表明当积分变量与变分无关时, 变分算符和积分算符可以交换.在数学中, 变分法的基本问题是通过求泛函的极值(极大值, 或极小值, 或稳定值)去寻找函数)(x y . 泛函中的函数)(x y 的形式需不断改变, 直到J 达到极值. 当J 为极值时, )(x y 就是我们所要寻找的函数.泛函取极值的必要条件是满足欧拉方程. 推出欧拉方程:与函数极值条件类似, 处于极值的泛函, 其变分一定为零, 即()()[]x x x y x y F J x x d ,,δδ10∫′= ()()[]x x x y x y F x x d ,,δ10∫′= 0d δδ10= ′′∂∂+∂∂=∫x y y F y y F x x 考虑到()y x y δd d δ=′, 并对上式中的第二项采用分部积分法()x y y F x y y F x x y x y F x y y F x x x x x x d δd d δd d d δd d d δ101010∫∫∫ ′∂∂− ′∂∂=′∂∂=′′∂∂ 积分上下限是固定的, 即要求各函数曲线有相同的端点, 0δδ10==x x y y , 所以上式第一项 0δd δd d 1010=′∂∂= ′∂∂∫x x x x y y F x y y F x 故0d δ)d d (10=′∂∂−∂∂∫x y y F x y F x xεη=y δ, 由于η是任意函数, 所以y δ也是任意的. 可见, 要使上式成立, 必须0d d =′∂∂−∂∂y F x y F 这就是欧拉方程.可推广到多个函数为变量的泛函中去, 该泛函取极值的欧拉方程为0d d =′∂∂−∂∂ββy F x y F l ,,2,1 =β l 代表函数的个数.3. 变分问题.凡是与求泛函极值有关的问题都称做变分问题. 下面列举3个曾在变分法的发展中起过重要影响的变分问题.(1) 最速落径问题. 通过求泛函极值, 得知竖直平面内不在同一铅垂线上的两个固定点之间的多条曲线中, 能使质点以最短时间从高位置点到低位置点自由滑下的曲线是旋轮线(又称摆线).(2) 短程线问题. 已知曲面方程, 用求泛函极值的方法, 可得出曲面上两固定点之间长度最短的线.(3) 等周问题. 将泛函求极值, 可得知一平面内, 长度一定的封闭曲线, 所围面积最大的曲线是圆.例题6 最速落径问题.(有兴趣者自学)二、哈密顿原理1. 位形空间、 真实运动曲线和可能运动曲线.在分析力学中, 由s 个广义坐标s q q q ,,,21 组成的s 维空间称为位形空间.系统某一时刻的位形(即由广义坐标确定的系统的位置)与该空间中的一点相对应. 当位形随时间变化时(时间t 为参数), 位形点就会发生变化而形成一条曲线.用位形空间研究完整系的运动, 不用顾及约束对系统运动的影响. 因为空间由s 个广义坐标轴组成, 每一个广义坐标都可以自由变化. 位形空间中的任何一条曲线, 都表示系统在完整约束下的一种可能的运动过程.设s t q q ,,2,1),( ==ααα代表系统的真实运动, 则由它们决定的曲线称为真实运动曲线.由于函数)(t q q αα=形式发生变化而在真实曲线邻近出现的曲线称为可能运动曲线.2. 完整有势系统的哈密顿原理.哈密顿原理是分析力学中的积分变分原理, 它巧妙地运用泛函求极值的方法, 将真实运动从约束允许的一切可能运动中挑选出来.哈密顿原理是一条力学公理.首先, 定义一个称为作用量的泛函:()∫=10d ,,t t t t q q L S αα 式中的L 称为拉格朗日函数, 定义为V T L −=T 是力学系统相对惯性系的动能),,(t qq T T αα =; 势能),(t q V V α=. 拉格朗日函数是ααqq ,和t 的函数, ),,(t qq L L αα =. 假定位形空间中有两个固定点A 和B , 与A 点相对应的时刻是0t , 与B 点相对应的时刻是1t .两个固定点之间, 存在着由s t q q ,,2,1),( ==ααα决定的真实运动曲线.两固定点B A ,间还存在许多与真实运动曲线邻近的可能运动曲线, 它们是由q q q δ*+=αα s ,,2,1 =α0δδ10====t t t t q q αα s ,,2,1 =α决定的.作用量是依赖于函数)(t q α的泛函. 在位形空间的两个固定点间有许多可能运动轨道, 其中有一条是真实的. 哈密顿原理就是通过变分法中求泛函(在此指作用量)极值的方法, 将真实运动从这许多的可能运动中挑选出来的.哈密顿原理的内容是: 受完整约束的有势系, 在位形空间中, 相同时间内通过两位形点间的一切可能运动曲线中, 真实运动曲线使作用量取极值. (极值为极小值, 故此原理又称为哈密顿最小作用量原理)在哈密顿原理中, 一切可能运动必须具有以下共同的特点:(1) 都是同一系统在相同的约束条件下的可能运动;(2) 都是在时刻0t 和时刻1t 之间相同时间间隔内完成的运动;(3) 在位形空间中有相同的起点和终点, 即 0δδ10====t t t t q q ααs ,,2,1 =α哈密顿原理的数学表述:在位形空间内, 当s q q t t t t ,,2,1,0δδ10 =====ααα时, 对于受完整约束的有势系, 其真实运动使 ()0,,δδ10==∫t t t q q L S αα 综上所述, 当作用量泛函取极值时, 与该作用量所对应的位形空间曲线就是真实运动的曲线, 描绘该曲线的s 个函数)(t q q αα=就是真实运动的运动学方程.拉格朗日函数V T L −=是力学系统的特征函数.如果确定了系统的拉格朗日函数, 则通过哈密顿原理, 就可导出力学系统的动力学方程.由欧拉方程可以得到分析力学中有势系的普遍方程---拉格朗日方程, 我们将在下一章讨论这个问题.[拉格朗日函数不是惟一确定的. 设f 是一个任意广义坐标和时间的函数, 即),(t q f f α=, 设),(d d t q f tL L α+=′, 则∫∫=′1010d d t t t t t L t L δδ. 证明了在原有拉格朗日函数上加上一项广义坐标和时间的任意函数对时间的全微商, 是不会改变系统的运动方程的. 这种不变性称做规范变换不变性, 它对于现代理论物理的研究有重要意义.]例题 7 质量为m 的质点, 在重力场中以与水平线成α角的初速率v 抛射, 根据哈密顿原理, 求质点的运动微分方程.解 在抛射体运动的平面内, 以铅垂方向为y 轴, 建立直角坐标系Oxyz , 以y x ,作为质点的广义坐标. 拉格朗日函数为()mgy y x m L −+=2221 作用量为()t mgy y x m t L S t t t t d 21d 101022∫∫ −+== 根据哈密顿原理, 真实运动使()[]0d δδδδ10=−+=∫t y mg y y m x x m S t t ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t x x m x x m t x tx m t x x m ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t y y m y y m t y ty m t y y m 由于在10,t t 时刻, 0δδ==y x , 因此 ()[]∫=+−−=100d δδδt t t y mg y m x x m S 又因x δ和y δ是相互独立的, 所以要使上式成立, 必须0=xm 0=+mg ym 3. 一般完整系的哈密顿原理.对一般完整系, 主动力常含有非有势力, 上述哈密顿原理不再适用, 但可以将有势系的哈密顿原理的表达式经修改后推广到一般完整系中:即在位形空间中, 一般完整系的真实运动使0d δδ101= +∫∑=t q Q T t t S ααα 式中T 是系统的动能, αQ 是与广义坐标αq 对应的广义力.[ααq r F Q i ni i ∂∂⋅=∑= 1] 在下一章里, 我们将会根据一般完整系的哈密顿原理, 推导出一般完整系普遍适用的动力学方程, 即一般形式的拉格朗日方程.在物理学的研究中, 对于我们重要的是有势系的哈密顿原理.哈密顿原理具有统一的、简洁完美的形式, 即具有坐标变换的不变性, 从而使哈密顿原理具有很大的普适性.哈密顿原理——有限自由度——无限自由度.哈密顿原理——物理学其他领域.哈密顿原理还可用于创建新的理论, 根据实验结果和假设构造出拉格朗日函数, 便可用哈密顿原理导出运动方程, 其正确性由实践检验.哈密顿原理是作为公理提出的, 并未推证. 它们的正确性由原理演绎出的推论在实践中的检验而得到证实. ——完全不依赖牛顿定律, 它的适用条件也完全不受牛顿定律适用条件的限制, 其普适性比牛顿的运动定律大得多.。
高等动力学第4章_哈密顿原理
第四章哈密顿原理
4.1 泛函与变分、欧拉方程
4.2 哈密顿原理
4.3 由哈密顿原理推导动力学方程
概述
1. 哈密顿原理是变分原理的一种，是分析力学的基本原理，可以作为整个理论的基础。
2. 变分原理提供了将真实运动与在相同条件下的可能运动相区分的准则。
所谓的相同条件由不同的原理所规定。
3. 更加适于发展近似方法。
复合函数：设函数x(t) 是自变量t 的函数，而函数f(x) 是x 的函数，则f[x(t)] 是复合函数。
泛函：如果函数x(t) 的形式可在一定范围内变化，称为自变函数，而F(x) 定义在自变函数x 上，其值随自变函数的形式不同而变化，则称F(x) 为定义在函数集{x} 上的泛函。
自变函数x 的容许集称为泛函F 的定义域。
区别：泛函F 的值依赖于函数x 的形式，而函数f 的取值依赖于自变量t 的值。
上述哈密顿原理具有一个强的约束条件，即系统在有限动力学过程的始末位形给定。
实际的系统运动是一个渐进的动力学过程，其末了的位形是难以事先确定的。
需要放松上述哈密顿原理对于系统始末位形给定的限制，得到哈密顿原理更一般的形式。
TM5-9哈密顿原理
• 变分法简介 • 哈密顿原理 • 哈密顿原理的应用
1
一.变分法简介
1.力学体系的变分原理 (1) 定义 凡力学原理用到变分运算的,叫做力学的变分原理 (2) 意义 它是在基本定律基础上用变分法得到的，提出了 区分真实运动与同样条件下可能的运动的规则。
(3) 力学的变分原理有
d ( q ) (dt ) dq dt (dt ) 2 d d ( t ) ( q ) dq dt (dt ) 2
若是等时变分，即 t 0，所以上式为 dq dt d ( q ). dt
17
dq dt
不等时变分
称 S
t2
t1
Ldt
Ldt 0
t1
t2
为作用函数或主函数
S 0
23
(3) 说明 • 通过变分，可把微分方程变为简单形式，即哈 密顿正则方程，哈密顿用该方程提供一个普遍 原理，对量子力学中薛定谔方程的建立和广义 相对论提供了桥梁。 • 能量观点和拉格朗日方程、哈密顿原理及正则 方程，适用于其它形式的物质运动，如电动力 学、统计物理、相对论、量子力学。
18
二、哈密顿原理
1.位形空间和运动路径
(1) 位形空间
受有完整约束的力学体系, 由s个广义坐标组成的空 间，称为位形空间.
一般地，广义坐标 q ( 1, 2
s) 是时间t的函数。在以
q1 , q2 ,
, q 为坐标轴所张成的S维空间中，随着t从t1连续
变化到t2，体系从位形空间中的位置q(t1)连续变化到q(t2)，位 形空间的“点”则描绘出一条轨迹。
C与C'是两个轨道(宗量函数),两个轨道的两端点P 1 ,P 2相同.
理论力学(第三版)第5章第7节哈密顿原理
第五章 分析力学
拉格朗日
哈密顿
§5.7 哈密顿原理
本节导读
• 泛函 变分的概念 • 欧拉方程 泛函导数 • 哈密顿原理
1 变分法初步
(1) 泛函 质点沿着光滑轨道y＝y(x)从A自由下滑 到B所需时间
t1
s 1
q
H p
δp
p
H q
δq
dt
0
因端点是固定的, 所以
δq tt1 δq tt2 0
( 1,2,, s)
t2
t1
s 1
q
H p
δp
p
H q
δq
dt
0
因p, q在积分范 围内是任意的, 而且 相互独立, 故得
q
H p
p
H
q
变分运算法则
小结
注意:
δ
dq dt
t2 s
δ
p q H dt 0
t1 1
因为H是p, q, t 的函数, 并且t = 0 , 所以
t2
t1
s 1
p δq
δp q
H p
δp
H q
δq
dt
0
又
s
p δq
1
s 1
p
d dt
δq
d dt
s 1
p δq
s 1
p δq
s
1
p δq
t2 t1
t2
以s个广义坐标为直角坐标的空间叫作位形空间. 力学系统在任一时刻的位形可用位形空间中的一点 来表明.随着时间的运转,力学系统的位形发生改变, 位形空间中的代表点就描出相应曲线. 在一切可能 的曲线中,使作用量取极值的那一条曲线就代表真实 的运动.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
哈密顿原理变分法
引言：
哈密顿原理是经典力学中的一种数学工具，用于描述物体在空间中的运动。
它是由法国数学家和物理学家嗣洛·哈密顿于19世纪提出的，被广泛应用于许多物理学领域，如量子力学、相对论等。
本文将介绍哈密顿原理的基本概念、原理和应用，并探讨其在理论物理学中的重要性。
一、哈密顿原理的基本概念
1. 变分法
变分法是一种数学方法，用于求解泛函（函数als）极值问题。
在物理学中，我们经常遇到求解由泛函表示的物理量的极值问题，变分法就是解决这类问题的有效工具。
2. 哈密顿原理
哈密顿原理是变分法在经典力学中的应用。
它表述了一个物体在给定时间间隔内，其运动轨迹使作用量（action）取极值的路径就是实际发生的路径。
作用量是由拉格朗日量（Lagrangian）和时间变量组成的积分，表示了物体在给定时间内所经历的所有可能的路径对系统的总贡献。
二、哈密顿原理的原理和推导
1. 哈密顿原理的原理
哈密顿原理的核心思想是“自然界的真实路径是使作用量取极值的路径”。
作用量S可以表示为：
S = ∫(L - H)dt
其中L是拉格朗日量，H是哈密顿量。
根据变分法的原理，我们可以通过对作用量的变分求解，得到真实路径。
2. 哈密顿原理的推导
我们假设系统的状态由广义坐标q和广义速度q'描述，拉格朗日量可以表示为：
L = L(q, q', t)
根据拉格朗日方程，我们可以得到：
d/dt(∂L/∂q') - ∂L/∂q = 0
将哈密顿量H定义为：
H = ∑(q'∂L/∂q' - L)
则拉格朗日方程可以写为：
d/dt(∂L/∂q') = ∂H/∂q
对作用量S进行变分，可以得到：
δS = ∫(∂L/∂qδq + ∂L/∂q'δq' - ∂H/∂qδq)dt
根据变分法的原理，δS = 0，我们可得到哈密顿正则方程：
∂H/∂q = -d/dt(∂L/∂q')
∂H/∂q' = d/dt(∂L/∂q')
三、哈密顿原理的应用
1. 经典力学
哈密顿原理在经典力学中有广泛的应用。
通过哈密顿正则方程，我们可以得到系统的运动方程，从而精确描述物体在空间中的运动。
2. 量子力学
在量子力学中，哈密顿原理被用于描述粒子的量子态演化。
通过量子哈密顿方程，我们可以获得粒子的波函数随时间的演化规律。
3. 相对论
在相对论中，哈密顿原理被应用于描述粒子在引力场中的运动。
通过哈密顿正则方程，我们可以得到粒子在引力场中的轨迹和能量。
结论：
哈密顿原理变分法是经典力学中的一种重要数学工具，通过对作用量的变分求解，可以得到系统的真实路径。
哈密顿原理在经典力学、量子力学和相对论中都有广泛的应用，对于研究物体的运动和相互作用具有重要意义。
通过深入理解和应用哈密顿原理，我们可以更好地理解和解释自然界中的各种现象。