《函数与方程、不等式之间的联系》教学设计说课稿

《函数与方程、不等式之间的联系》教学设计说课稿

各位专家、老师，大家下午好！

本节课是主题二函数中《函数与方程、不等式之间的联系》的第一课时。下面，我将从前期准备、开发设计两个阶段对本节课的教学设计进行说明。

首先，在前期准备阶段，我将分别从数学内容、课程标准、学情、重难点、教学方式这五个方面进行分析。

数学内容分析:用函数观点理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本节课通过梳理初中数学所学的二次函数与方程的相关内容，理解函数、方程和不等式

f x=，函数值不为零

之间的关系，即当函数值为零时即对应为方程()0

时即对应为不等式。未知不等关系的问题通过相等关系来化归，体会数

学的转化思路。本节课借助一元二次函数图象，提升直观想象素养，能

正确求解一元二次不等式，来提升数学运算素养。

课程标准分析:通过用函数观点统一理解函数、方程与不等式的联系，逐渐学会利用函数思想解决相关的数学问题，体会数学内容之间的关联性。利用函数方

法，借助一元二次函数的图象的直观展示，得到求解一元二次不等式的

程序性步骤。

学情分析：学生在初中已经分别学习了一元二次函数的相关知识及其图象，同时也熟练的掌握求解一元二次方程的方法，但是对它们以及不等式之间的关系还没有

深刻的理解，在他们的头脑中函数、方程、不等式都是模糊的，通过这节课

的学习能让学生真正的体会数学内容之间的关联性和互化性，知道可以用函

数解决相关的数学问题，重点提升学生数学抽象、直观想象和数学运算素养。重难点分析：理解函数、方程、不等式三者关系

教学方式分析：本节课主要采用问题教学法，通过合作探究的方式让学生感受函数、方程、不等式之间的关系。整节课通过围绕“植树”的情境，开发学生的数学建模能力，引导学生发现方程与不等式间的关联。

接下来对开发设计阶段进行说明：新课改前，我们从知识与技能、过程与方法和情感态度与价值观；三个方面对教学目标进行分析。由于新课改的教学目标指向数学的核心素养，因此本节课我设置了如下教学目标：

教学目标

1、理解和构建函数与方程、不等式之间的联系，发展数学抽象素养（水平二）。

2、能够在关联的情境中，借助一元二次函数图像，发展直观想象素养（水平二）。

3、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，得出求解一元二次不等式的程序性步骤，发展数学运算素养（水平二）。

评价目标

1、“四基”、“四能”

通过函数图象被x轴分割成几部分的直观，借助一元二次函数零点区分出方程与不等式。会由函数零点解出对应的不等式。感受到函数对应的方程与不等式，会用相等研究不等。理解从特殊到一般的思维过程。使学生获得未来发展所必需的四基，提高四能。

2、核心素养达成

让学生体会数学内容之间的关联性，感受函数值的变化过程中经历的不同状态。形成转化思想和化归思路，体会事物间的普遍联系性，发展数学抽象、直观想象和数学运算素养。

3、学科和社会价值观视角

通过合作探究，展示，增强学生的交流能力，通过数学直观，让学生更好的感悟事物的本质。

教学思路

1、从函数观点看方程。重点会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根

的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。

2、从函数观点看不等式。重点经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，

不等式的解集的端点值可由其对应方程中得出，得到求解一元二次不等式的程序性步骤。

评价思路

通过从实际情境中抽象出数学概念和运算法则，进而得到解决一元二次不等式的程序性步骤，对学生数学抽象，直观想象，逻辑推理、思维习惯、独立思考、合作探究，展示交流、学习习惯等方面进行评价。

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为四个阶段：情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思

一、情境与问题

情境引入、定向导学

在植树节，班上组织学生去城市绿化带植树，这个绿化带是长比宽多6 米的矩形。假设树苗株距已经给定，提供的树苗恰好能栽满面积为40平方米的空地。

（1）写出绿化带剩余面积y(平方米)与绿化带长x（米）之间的函数关系式。并画

出对应函数的图象。

（2）当矩形绿化带长为多少时，树苗刚好栽满面积为40平方米的空地？

学生完成这两个问题，发现函数与方程的关系。教师对学生的学习习惯方面给予评价。

设计意图: 这一环节主要是为了激发学生的学习兴趣。能够在实际问题的情境中，让

学生构造一元二次函数并作出相应的函数的图象。抽象出一元二次函数与

一元二次方程的关系，即当函数值为0时，即对应为方程，教师通过方程

的根引出零点的概念；本节课将通过该情境的设计贯穿课堂教学的始终，

由学生的自主观察、交流、探索、归纳，让学生直观的认识到函数与方程、不等式之间的关联，提升学生的数学抽象、数学建模和直观想象的核心素

养。通过发现问题并转化为数学问题，知道数学问题在现实生活中价值与

作用。

二、 知识与技能

概念引入

函数的零点：一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α=，则α叫做这个函数的零点，在坐标系中表示图象与x 轴的公共点是(),0α点。 说明：（1）函数的零点并不是点。

（2）函数()y f x =的零点就是方程()0f x =实数根，亦即函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标。

本环节由教师给出概念并解析

设计意图：体现教师的主导作用，能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念。知道零点与方程根的关系，能够理解和构建函数和方程之间的联系，提升数学抽象素养。

有效训练

求出下列二次函数的零点

269y x x =-+ 21y x x =-+ 2(0)y ax bx c a =++≠

本环节由学生独立完成，然后展示交流。通过展示、归纳、类比得出一般方程的零点。教师从学生逻辑推理、思维习惯、学习习惯等方面进行评价。

设计意图：由于情境问题中的函数图象与x 轴有两个交点，因此这里我分别设计了图象与x 轴有一个交点和没有交点两种情况。通过直观演示让学生感知，为学生提供思维方法与策略的引导。能够了解运算法则，正确进行运算，在运算过程中，能够体会运算法则的意义和作用，发展数学运算素养。通过归纳、类比，经历从特殊到一般的推理，发展逻辑推理素养。

三、思维与表达

小结升华1

对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠

（1）当240b ac ?=->时，方程()200ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，函数的图象与x 轴的两个交点，该实数根即为交点的横坐标，又是该函数的两个零点。

（2）当240b ac ?=-=时，方程()200ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根，函数的图象与x 轴的一个交点，该实数根即为这个交点的横坐标，又是该函数的零点。

（3）当240b ac ?=-<时，方程()200ax bx c a ++=≠没有实数根，也就是函数的图象与x 轴没有交点，该函数没有零点。

通过前面的练习及思考，总结出一般的规律。引导学生体会从特殊到一般的思维方法。教师从学生独立思考、合作探究，展示交流、学习习惯等方

面进行评价。

设计意图：通过学生自主小结，培养学生的归纳概括能力，促进形成良好的知识结构与

认知结构。积累从具体到抽象的活动经验，养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，进一步发展数学抽象素养。

四、交流与反思

合作探究

（3）当矩形绿化带长为多少时，树苗会不够栽？

学生通过合作探究完成情境问题中3

让学生画出问题1中函数的图象

建立数学模型：设绿化带长为x m

则依题意有()640x x ->，整理得26400x x -->

当4x =-或10x =时，函数值等于0，即26400x x --=

当4x <-或10x >时，函数值大于0，即26400x x -->当410x -<<时，函数值小于0，即26400x x --<

由函数图象可知，函数2640y x x =--的零点-4,10（方程26400x x --=根）就