第四章扭转(讲稿)材料力学教案

第四章扭转

同济大学航空航天与力学学院顾志荣

一、教学目标与教学内容

1、教学目标

(1)掌握扭转的概念；

(2)熟练掌握扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图；

(3)了解切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；

(4) 熟练掌握扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法；

(5) 熟练掌握扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法；

(6)了解低碳钢和铸铁的扭转破坏现象并进行分析。

(7)了解矩形截面杆和薄壁杆扭转计算方法。

2、教学内容

(1) 扭转的概念和工程实例；

(2) 扭转杆件的内力（扭矩）计算,扭矩图；

(3) 切应力互等定理, 剪切胡克定律;

(4) 扭转杆件横截面上的切应力, 扭转强度条件；

(5) 扭转杆件变形（扭转角）计算，刚度条件；

(6) 圆轴受扭破坏分析；

(7) 矩形截面杆的只有扭转；

(8) 薄壁杆件的自由扭转。

二、重点和难点

1、重点：教学内容中（1）～（6）。

2、难点：切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别，扭转切应力连接件中切应力的区别。通过讲解，多媒体的动画演示扭转与剪切的变形和破坏情况，以及讲解例题来解决。

三、教学方式

通过工程实例建立扭转概念，利用动画演示和实物演示表示扭转时的变形，采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。

四、建议学时

6学时

五、实施学时

六、讲课提纲

工程实例：

图4-1

**扭转和扭转变形

1、何谓扭转？

如果杆件受力偶作用，而力偶是作用在垂直于杆件轴线的平面内，则这杆件就承受了扭转。换言之，受扭杆件的受力特点是：所受到的外力是一些力偶矩，作用在垂直于杆轴的平面内。

2、何谓扭转变形？

在外力偶的作用下，杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。杆件的这种变化形式称为扭转变形。换言之，受扭转杆件的变形

特点是：杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。

I 圆轴扭转时的应力和强度计算 一、外力偶矩、扭矩和扭矩图 1、外力偶矩(T )的计算

n

P T p

⨯

=02.7 KN ·m (7-1) P p 指轴所传递的功率（马力） n 指轴的转速（转/分、r/min ）

n

P T kW

⨯

=55.9 KN ·m (7-2) P kW 指轴所传递的功率（千瓦、Kw ） n 指轴的转速（转/分、r/min ）

2、扭矩（M n ）的确定及其符号规定 （1）M n 的确定 截面法

图4-3

0=∑x M

0=-A n T M 左 A n T M =左

0=∑x M

0=+-B n T M 右 B n T M =右

（2）M n 的符号规定 右手螺旋法则

图4-4

3、扭矩图

扭矩随轴线横截面位置改变而变化的规律图，称为扭矩图。

作法：轴线（基线）x ——横截面的位置

纵坐标——M n的值

正、负——正值画在基线上侧，负值画在基线下侧。

例题7-1 一传动轴作每分钟200转的匀速转动，轴上装有5个轮子（7-2,a）。主动轮2输入的功率为60kW,从动轮1，3，4，5依次输出的功率为18kW,12kW,22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。

图4-5

解：（1）代入公式7-2，将计算所得的外力偶矩值标上各轮上。

（2）作扭矩图，见图4-5，b

一、圆轴扭转时横截面上的应力

1、实心圆轴

（1）τ的分布规律

(a) (b) 图4-6

（2）τ的方向

由M n 确定，τ与M n 同向（见图4-6，a ） 注意τ⊥半径 （3）τ的计算

p

n I M ρτρ=

(7-3)

式中M n ---- 横截面上的扭矩；

ρ----指截面上所求应力的点到截面圆心的距离; I p ----指实心圆截面对其圆心的极惯性矩，其计算式为32

4

D I p π=

。

（4）τ计算公式的讨论：

①对于某一根受扭的圆轴而言，m ax τ一定发生在max n M 所在段； ②在确定的截面上，m ax τ一定发生在ρm ax 处（周边上）； ③I p 的意义

从τ的计算公式讨论I p ：I p 愈大，τ愈小；

从应力分布状况讨I p ：靠近圆心的材料，承受较小的应力。 设想：把实心轴内受应力较小部分的材料移到外层，做成空心，

达到充分利用材料、减轻自重的目的。

2、空心圆轴 （1）τ的分布规律 （2）τ的计算

图4-7

计算式与实心圆轴的相同，只是极惯性矩的计算不同 空心圆轴的I p 空计算

()()4

4

4

11.0132

4

ααπ-≈-=

D D

I p 空

式中的D

d =α （3）τ的方向

仍旧由扭矩的转向确定，垂直半径。 3、薄壁圆筒 （1） 界限及误差 当9.0≥=

D

d

α时，可用薄壁圆筒公式计算τ，用空心、薄壁计算公式之误差仅为3%左右。 （2） τ的分布规律

图4-8

（3）τ的计算

t

r M n 2

02πτ=

（r 0见图4-8） （7-4）

三、圆轴扭转时斜截面上的应力

横截面上：m ax τ发生在周边各点，σ=0

圆轴扭转时，轴内的最大应力如何？需要研究任意点、任意截面上的应力情况，即需要研究斜截面上的应力情况。

在任意一点取一微小的正六面体abcdefgh:

图4-9

分析垂直于前后两个面的任一斜截面mn 上的应力： 设斜截面mn 的面积为dA,则mb 面和bn 面的面积：

αcos ⋅=dA A mb αsin ⋅=dA A bn