矩阵摄动法
第六章 结构振动特征值问题的矩阵摄动法
第六章 结构振动特征值问题的矩阵摄动法§6.1 概述工程振动问题中经常遇到结构有小改动的情形，例如结构的制造误差、结构的小修改设计、对结构参数改变进行灵敏度分析等。
这些情况都有一个共同的特点，就是结构的参数仅发生很小的变化。
结构参数的小变化所引起的结构振动特性变化问题，对工程结构优化设计有重要意义。
经典的方法是每修改一次方案就需要求解一次结构的固有特性，即求解广义特征值问题。
这对于大型结构的振动分析，是非常麻烦的。
我们希望能找到一种能够利用修改前结构的固有特性信息，且计算量小的方法，来解决上述问题。
矩阵摄动法就是这种结构特征值重分析和灵敏度快速分析的计算方法。
§6.2 孤立特征值的摄动法对离散系统特征值问题，假定已经得到了其特征对的解：（6－1）分别为参数未变化的原结构刚度矩阵和质量矩阵，第个特征值，为第阶固有频率，为第阶特征向量（固有模态）。
结构参数的变化或修改设计一般通过刚度矩阵和质量矩阵的改变反映出来。
即（6－2）（6－3）称为小参数。
先看是单根的情形。
上标代表第个根，下标代表参数未变化的原结构。
从物理意义上知道，绝大多数情况下，质量阵和刚度阵只有小变化时，特征值和特征向量也只有小量变化，根据摄动理论，特征值和特征向量按小参数展开为：（6－4）代入方程（6－1），略去以上的项，比较同次幂的系数，得到： }]{[}]{[)(00)(0)(00i i i u M u K λ=][],[00M K i 2)(0)(0)(i i ωλ=)(0i ωi }{)(0i u i ][][][10M M M ε+=][][][10K K K ε+=ε）（i 0λ)(i i 0)(ε+++=+++=)(22)(1)(0)()(22)(1)(0)(}{}{}{}{i i i i i i i i u u u u λεελλλεε)(2εO ε（6－5）（6－6）（6－7）、、、分别是特征值与特征向量的第一阶摄动和第二阶摄动。
摄动方法讲义.
如果函数表达式中含有其它变量如 x ，则可以定义(1.2.5) 一致成立的情形。
例 1.8
sin(
x
)
(
1 3
)
一致成立；
et
1 (
1 2
)
非一致成立；
x
x
(
3 4
)
非一致成立。
(1.2.4) (1.2.5)
3. 符号 ord
4
定义 0.4(ord) 如果存在与 无关的正数 a, A 和一个 0 0 ，使得
,
es2 ds
0
1.2 按小量 (>0)的降阶, 排列下列各式∶
2,
1
2,
ln(ln
1),
1,
1 2
ln
1,
ln
1,
ln
1,
e
1
,
3
2,
,
2
ln
1
1.3 渐近级数 例 1.9 在 1.1 节中我们讨论过的方程
dy y 1
dx
x
它的一个特解为
d x0 dt
2
(1
x02 )
d x1 dt
2x0 x1
d x0 dt
从而
(1.1.7)
d2 x0 dt2
x0
0
(1.1.8)
d2 x1 dt2
x1
(1
x02
)
d x0 dt
(1.1.9)
d2 x2 dt2
高等代数摄动法
高等代数摄动法（Perturbation Theory in Linear Algebra）是一种在高等代数领
域中应用的数学技术，用于研究线性代数问题中小扰动引起的解的变化。
它在许多科学和工程领域中都有广泛的应用，包括物理学、化学、工程学和经济学等。
摄动法的基本思想是通过将问题分解为一个已知的基本问题和一个小扰动的形式，来近似求解原始问题。
这种近似方法可以用于求解矩阵特征值和特征向量的变化、线性方程组的解的变化、矩阵的特定函数的变化等。
具体而言，高等代数摄动法通过展开原始问题的解为扰动项的级数，并通过迭代逐步计算更高阶的摄动项来逼近真实解。
通常情况下，前几个级数项已经足够近似原始问题的解，而更高阶的项可以提供更精确的近似。
高等代数摄动法的应用需要对线性代数的基本理论和方法有一定的了解。
它在实际问题中的应用可以帮助我们理解线性系统的变化规律，以及对系统做出更精确的预测和分析。
总而言之，高等代数摄动法是一种在高等代数中用于近似求解线性代数问题的数学技术，通过展开原始问题的解为扰动项的级数，来研究小扰动引起的解的变化。
它在科学和工程领域中有广泛的应用。
线性代数中的摄动法
・ 收稿 日期 ：０ ５ ０ ２ ０ — ４一 Ｏ ｌ
维普资讯
２ ４
高 等数 学 研 究
２０ ０８年 １ 月
ｌ （。 Ｉ ＼ ＤＣ ｑ－ ｆＡ一ｊ Ｄ （ Ａ）） — ） ＼ ／ Ｃ 一 ㈨ｌ 一 Ｃ ） 一Ｂ＿ ＿ ｃ１ 一 Ｂ （ 厂
Ｉ Ａ ＲＩ
Ｃ Ｄｆ 证 明 如果 Ａ是 可逆 的 ， 用打 洞法容 易证 明（ ． ） ２ １ 式．但 现在并不 知道 Ａ是 否可 逆 ， 时可 用 此
ｆ ｝ …
ｌ Ｄ—ｃ ． ＝ｌ Ａ Ｂ１
（． ） ２１
摄 动法 ．令 ＡＧ Ｏ一 １ ＋Ａ， 中 １ 其 为一 实参数． ｄ ｔ １ 是 的扎 多项 式且连续 ．由ＡＣ— Ｃ ， 则 ｅＡ（） 次 Ａ 有 Ａ（ ） ＝ Ｃ ． ｄｔ ２ ≠ ０ 则 Ａ（） 逆 ， Ｃ Ａ（ ）若 ｅＡ（ ） ， ２可 且有
２ 摄 动 法 应 用 实 例
、
以 Ｊ 表示实 数域或 复数域 Ｆ上 的 ｋ阶单 位矩 阵．设 Ａ是 Ｆ上 的 ｍ× 阶矩 阵（ ｍ行 州 列 的 。 即
矩阵 ， 也表 示 为 Ａ ∈ Ｆ ） 矩阵计算 中摄 动法常 与打洞技 巧一起 用． ” ．
例 ｌ 设 Ａ， Ｃ， ∈ Ｂ， Ｄ ， Ａ ＝Ｃ 且 Ｃ Ａ．试 证
关 键 词 线 性 代 数 ； 动 法 ； 项 式 摄 多 中 图分 类 号 Ｏ１ １２ ５ ．
１ 摄 动 法
摄 动法 或扰 动法 （ ｅｔｒ ａｉｎｍｅｈ ｄ 和摄动 理论或扰 动理论 首先是 在天体力 学 的研 究 中提 ｐ ｒｕｂ ｔ ｔｏ ） ｏ 出 的方法 ．用 常微 分方程 的语 言来 说 ， 思 想就 在于用 精 确解 的微 分 方程 组逐 次 近 似地 描述 所 研 其 究 的微 分方程 组．这里 所研究 的微分方 程组常见 的是含 有小参数 ￡ 的微分 方程组
一个高效率的有限元矩阵摄动法程序
一个高效率的有限元矩阵摄动法程序
侯新录
【期刊名称】《太原重型机械学院学报》
【年(卷),期】1996(017)002
【摘要】本文介绍了有限元矩阵摄动法的编程原理，研究了提高计算速度的措施，算例说明了算法和程序的效率。
【总页数】6页(P133-138)
【作者】侯新录
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O327
【相关文献】
1.利用C语言开发高效率的有限元程序 [J], 叶又;戚燕
2.一个大型有限元分析程序的微机化技术与微机版程序的工程应用 [J], 华伯浩;俞桂平;等
3.Matrix Generator(MG):一个基于DNA片段的0/1矩阵生成程序 [J], 周世
良;Peter QIAN
4.基于MATLAB和矩阵位移法的平面杆系结构有限元程序设计 [J], 阙仁波
5.求解动态有限元法中二次矩阵特征值问题的迭代摄动法 [J], 桂国庆;张维奇
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高等结构振动学-第6章-结构振动特征值问题的矩阵摄动法
)
({u0(s)}T [K1]{u1(i)} (0i){u0(s)}T [M1]{u1(i)}
1(i){u0(s)}T [M 0 ]{u1(i)} 1(i){u0(s)}T [M1]{u0(i)})
（6－29）
当 i s 时， ci(2) 的确定如下：
n
以
{u
(i 0
)
}T
)}
所以，代入（6－8）式得：
{u1(i)}
n s 1
(i ) 0
1
( s ) 0
({u0(s)}T [K1]{u0(i)} (0i){u0(s)}T [M1]{u0(i)}){u0(s)}
si
1 2
({u0(i)}T
[M1]{u0(i)}){u0(i)}
故一阶摄动解为：
（6－22） （6－23）
)}
{u0(i
)
}T
[M1
]{u1(i)
}
{u1(i
)}T
[
M
1
]{u0(i
)})
（6－32）
故特征向量的二阶摄动解为：
{u2(i)}
n s 1
(i) 0
1
( s ) 0
({u0(s)}T [K1]{u1(i)}
si
(i 0
){u0( s
)}T
[
M
1]{u1(i
)}
{u (i) (s) 10
n
(i 0
)
[
M
0
]
c (1) s
{u 0( s
)
}
(i) 0
结构动态设计的矩阵摄动理论(陈塑寰著)PPT模板
05 第3章 重频结构振动分析 的矩阵摄动理论
第3章 重频结构振动分析的矩阵摄动理论
3.1 引言
1
3.2 重频模态的摄动理
论
2
3.3 重频模态一阶摄动
3
的近似模态展开法
3.4 重频模态一阶摄动
计算的高精度模态展开法
4
3.5 利用重频模态计算
5
重频模态导数的精确方法
3.6 计算模态向量一阶
摄动的胡海昌方法
结构动态设计的矩阵摄动理论(陈 塑寰著)
演讲人
2 0 2 x - 11 - 11
01 序
序
02 前言
前言
03 第1章 结构振动分析的有 限元方法
第1章 结 构振动分析 的有限元方 法
01 1 .1 引言
02 1 .2 离 散 系 统 的
hamilton变分原理
03 1 .3 建 立 结 构 振动 04 1 .4 单 元 力 学 特性
法
2.3.2 和 rayleigh商相 结合的摄动法
2.3.3 数值 例子
第2章 孤立特征值的矩阵摄动理论
2.4 振型一阶导数的高精度截尾模态展开法
01
2.4.1 计算振 型一阶导数的 wangb.p.方法
02
03
2.4.2 计算振 型一阶导数的高 精度截尾模态展 开法
2.4.3 数值例 子
第2章 孤立特征 值的矩阵摄动理论
1.11.1 中心差分
法
1.11.2 wilson-
θ方法
1.11.3 newmar
k方法
04 第2章 孤立特征值的矩阵 摄动理论
第2章 孤立特征值的矩阵摄动理论
2.1 引言
2.3 摄动法的改进
打洞技巧3——精选推荐
教学参考打洞技巧3孟道骥 王立云 (南开大学数学科学学院 天津 300071)摘要 讨论矩阵计算中打洞技巧的意义和一些性质.打洞技巧在行列式计算、可逆阵的判定、逆矩阵的求解、二次型理论等方面的应用,显示了它是矩阵计算中最基本的技巧,也是最重要,最有用的技巧.关键词 打洞技巧;行列式;矩阵;逆矩阵;二次型 中图分类号 O151.211 引言矩阵计算不仅在线性代数中,而且在整个数学,乃至物理及其他学科中都有重要的地位.刘绍学先生曾说:“1962年在颐和园龙王庙会议期间,万哲先学兄对我说:‘搞典型群研究我们掌握一些基本手法和招数,你们搞环论的有哪些手法和招数?’”“(20世纪)70年代在一次出数学竞赛题的会议中与华罗庚先生在他的房间闲谈.他对我说:‘国外把我说(骂)成是玩矩阵的魔鬼.……表面上你看我搞的是多复变函数、偏微分方程,实际上骨子里还是我的矩阵技巧.’”[1]可见矩阵技巧是在华罗庚学派的“基本手法和招数”之一.许以超先生说“打洞”是“矩阵计算中的最基本的技巧”.[2]数学中最基本的技巧,也是最重要、最有用的技巧.冯克勤先生有段很有趣的回忆:“20世纪70年代,当我成为科大的一名教员时,曾肯成先生对当年科大的情景说过几句格言,我只记得其中的两句.一句是‘科大是放羊,而不是喂猪’,另一句是‘龙生龙,凤生凤,华罗庚的学生会打洞’.”[1]我们想在此谈谈对打洞技巧的一些认识,以求大家的指导.2 什么是打洞技巧什么是打洞技巧我们介绍许以超先生的讲法[2].以I k 表示域F 上的k 阶单位矩阵.设A 是域F 上的m ×n 阶矩阵(即A ∈F m ×n ),且A =B C D E (2.1)于是当B 是r 阶方阵,且det B ≠0时有I r 0-DB -1I m-rBC D E=BC 0E -DB-1C ,(2.2)B C DEI r-B -1C 0I n-r=B 0DE -DB-1C .(2.3)以上两式分别将(2.1)式中的D ,C 变成了0,而0在电报语言中称为“洞”,因此这种方法称为“打洞”.类似地,当E 是k 阶方阵,且det E ≠0时有I m-k-CE -1I kB C DE=B -CE-1D 0D E ,(2.4)B C DEI n-k 0-E -1DI k=B -CE-1DC 0E,(2.5)51Vol.9,No.4J ul.,2006 高等数学研究STUDIES IN COLL EGE MA T H EMA TICS3收稿日期:2005-01-26如果A 是2阶方阵,这时(2.1)式变为A =bc a e.(2.1′)如果b ≠0,(2.2)式与(2.3)式分别变为10-db -11b c ae=b c 0e -db -1c,(2.2′)b c de1-b -1c 01=d 0de -db -1c,(2.3′)类似地,当e ≠0时,(2.4)式与(2.5)式分别变为1-ce-11b c de=b -ce-1d e ,(2.4′)b c de1-e-1d1=b -ce-1dc 0e.(2.5′)(2.2′)式与(2.4′)式是将(2.1′)式中矩阵A 进行一次初等行变换,(2.3′)式与(2.5′)式是将(2.1′)式中矩阵A 进行一次初等列变换.因此打洞技巧是矩阵一行减另一行的若干倍,或一列减另一列的若干倍这两类初等变换的推广.由此可知,若在(2.1)中,C 或D 可逆,也可将B ,E 打成洞.注 如果我们将域F 改为含幺元的交换环,将条件det B ≠0,det E ≠0分别换为B ,E 为可逆方阵,打洞法仍然有效.条件det B ≠0,det E ≠0并不等价于B ,E 为可逆方阵.3 打洞技巧的应用举例本节我们用一些例子来说明打洞技巧的应用.3.1 用打洞技巧计算行列式打洞技巧的应用当首推“将高阶行列式的计算化为低阶行列式的计算”[2].例1 设A ∈F n ×n ,且A =B C DE,B ∈Pr ×r,det B ≠0.试证det A =det B ·det (E -DB -1C ).(3.1)证明 因为det B ≠0,故B 可逆.于是I r 0-DB-1I n-rB C DE=BC 0E -DB-1C.而detI r 0-D E-1I n-r=1.所以(3.1)式成立.矩阵计算中另一个技巧是所谓“摄动法”,常与打洞技巧一起用.例2 设A 、B 、C 、D ∈F n ×n ,F 的特征为0,且A C =CA .试证A B CD=A D -CB .(3.2)证明 令A (λ)=λI n +A.则det A (λ)是λ的n 次多项式,至多n 个根.由A C =CA ,有A (λ)C =CA (λ).若det A (λ)≠0,则A (λ)可逆,且有I n-CA (λ)-1I nA (λ)B CD=A (λ)BD -CA (λ)-1B .于是 det A (λ)B CD=det A (λ)det (D -CA (λ)-1B )=det (A (λ)D -CB ).61高等数学研究 2006年7月由于detA (λ)B CD,det (A (λ)D -CB )都是λ的有限次多项式,且若det A (λ)≠0,则detA (λ)B CD=det (A (λ)D -CB ),(3.3)故(3.3)对任何λ成立.特别地,对λ=0也成立,于是结论成立.注 如果F 的特征不是0,用摄动法时要特别当心.如果F 是实数域或复数域时,在(3.3)中令λ→0,则可知(3.2)成立.摄动法实际是源于此.矩阵乘法的结合性导致对一个矩阵的行变换和列变换的交换性,于是行、列变换可同时进行,在打洞技巧中要求(2.1)中的B ,C ,D ,E 至少有一个可逆,对特殊情况也不一定.例3 设A ,B ∈F n ×n .试证A B BA=A +B ·A -B(3.4)证明 注意到I nI n 0I nA B BAI n-I n 0I n=A +B A +B BAI n -I n 0I n=A +B 0BA -B.于是(3.4)成立.3.2 用打洞技巧求逆矩阵及判断矩阵的可逆性判断矩阵是否可逆及求可逆矩阵是线性代数中的重要问题.打洞技巧也是很有用的.例4 设A ∈F n ×n ,det A ≠0,B ∈F r ×r ,det B ≠0,且A =B C D E,试证A-1=I r -B-1C 0I n-rB-1(E -DB -1C )-1I r 0-DB-1I n-r.(3.5)证明 因为det A ≠0,det B ≠0,故A ,B 可逆.又B C DEI r-B-1CI n-r=B 0DE -DB-1C .故det (E -DB -1C )=det A/det B ≠0.因此E -DB -1C 可逆.再由B 0DE -DB-1CB-10(E -DB -1C )-1=I rDB -1I n-1,I rDB-1I n-rIr 0-DB-1I n-r=In .得(3.5)成立.例5 设A ,D 分别为F 上m阶,n 阶可逆方阵.则矩阵H =A B CD为可逆矩阵当且仅当A -BD-1C 与D -CA-1B 都是可逆矩阵.证明 因为A ,D 可逆,于是有I m 0-C A-1I nA B CD=AB 0D -C A -1B, A B CDI m 0-D -1CI n=A -BD -1C B0D.因此det H =det A det (D -CA -1B )=det D det (A -BD -1C ).因而,H 可逆,当且仅当D -CA -1B 可逆,当且仅当A -BD -1C 可逆.71第9卷第4期 孟道骥,王立云:打洞技巧打洞技巧与数学归纳法结合在一起使用是很常见的情形.例6 设A =(a ij )n ×n ∈R n ×n 满足条件:a ij ≤0(i ≠j );A12…k 12…k>0(1≤k ≤n ).则有:A-1的所有元素非负;存在X =(x 1,…,x n )′,x i >0(1≤i ≤n )使得A X 中每个元素皆正.证明 对n 作归纳证明.n =1时,命题显然成立.设n -1时命题已成立.对A 作如下分块A =A n-1αβa nn.于是有A n-1可逆,且A -1n-1中每个元素非负.且I n-10-βA -1n-11A n-1αβa nn=A n-1αa nn -βA -1n-1α.令d =a nn -βA -1n-1α.则d =det A/det A n-1>0.又I n-1-1dα01A n-1αd =A n-10d.因而有A-1=A -1n-1d-1I n-1-1dα01I n-10-βA -1n-11.由于A -1n-1中每个元素非负,d >0,α,β中元素非正,于是上式右面三个矩阵中元素都非负.因而A -1中元素非负.记A -1=(b ij ).于是b ij ≥0.令X =∑nj =1col j A-1=(x 1,…,x n )′.则x i =∑nj =1b ij .由A-1可逆,故x i >0,且A X =∑nj =1A col j A-1=∑nj =1col j A A -1=(1,1,…,1)′.故A X 中每个元素为正数.注 本例中的矩阵A 及其性质在线性不等式理论和Kac 2Moody 代数理论中是很重要的.3.3 打洞技巧与二次型理论用线性代数研究二次型是将二次型化为对称矩阵.将高阶对称矩阵化为低价对称矩阵既是基本方法也是基本任务.例7 设A ,B ,C,D ∈F n ×n,A 可逆对称,B ′=C,证明存在可逆方阵T,使T ′A B CD T 为准对角方阵.证明 因为A 可逆对称.于是A -1对称.注意到I n 0-C A-1I nA B C D I n-(A -1)′C ′0I n=A B 0D -C A -1BI n-(A -1)′C ′0I n=AD -C A -1B.因此结论成立.注 在此题中,若D 也是对称的,则整个矩阵A B CD是对称的.例8 设Q 为n 阶实正定对称矩阵,X 为n 维实列向量.证明0≤X ′(Q +X X ′)-1X <1.(3.6)证明 设A =Q +X X ′.因Q 正定,X X ′半正定,故A 正定,因此A -1也正定.因而0≤X ′(Q +X X ′)-1X.81高等数学研究 2006年7月再由A正定,知det A>0,而且有可逆矩阵P使得Q=P′P.因此P′X 01P0X′1=P′P+X X′XX′1=A XX′1.又I n0-X′A-11A XX′1=A X0-X′A-1X+1.于是(-X′A-1X+1)det A=A XX′1=(det P)2>0.因此(3.6)式成立.3.4 打洞技巧的其他应用下面的例子说明用打洞法可将线性方程组中未知数个数减少,即消元.例9 设A∈F n×n,且A=A1A2A3A4.其中A1∈F k×k,A4∈F(n-k)×(n-k),且A4可逆.又X=X1X2, B=B1B2,其中B1∈F k×1,B2∈F(n-k)×1.X1,X2分别为k×1,(n-k)×1的未知矩阵.则线性方程组A X=B(3.7)中前k个未知数,即X1满足线性方程组(A1-A2A-14A3)X1=B1-A2A-14B2.(3.8)证明 在(3.7)的两边左乘I k-A2A-140I n-k,则由I k-A2A-14 0I n-k A1A2 A3A4X1X2=I k-A2A-140I n-kB1B2,知A1-A2A-14A30A3A4X1X2=B1-A2A-14B2B2.于是X1满足(3.8)打洞技巧的要害是用“初等变换”将矩阵中的一些元素变为0.在具体处理过程中,不必拘泥于将所研究的矩阵分为四块.例10 证明Vandermond行列式111 (1)a1a2a3…a na21a22a23 (2)⁝⁝⁝ω⁝a n-11a n-12a n-13…a n-1n=Πi<j(a j-a i).(3.9)证 注意到1-a11-a11ωω-a11111 (1)a1a2a3…a na21a22a23 (2)⁝⁝⁝ω⁝a n-11a n-12a n-13…a n-1n=(下转第75页)91第9卷第4期 孟道骥,王立云:打洞技巧证明 任取V IP 的解w 3,根据投影性质,有‖w k+1-w 3‖2≤‖w k -w 3-β(w k )d (w k )‖2=‖w k -w 3‖2-2β(w k )(w k -w 3)T d (w k )+β(w k )2‖d (w k )‖2≤‖w k -w 3‖2-2β(w k )(1-ρ/4μ)‖e (w k )‖2+β(w k )‖e (w k )‖2≤‖w k -w 3‖2-β(w k )(1-ρ/4μ)‖e (w k )‖2.(1)令τ=4+ρ‖A T ‖+ρ‖A ‖.由d (w k )的表达式知‖d (w k )‖≤τ‖e (w k )‖,因此β(w k )≥1/τ2.结合上式知:‖w k+1-w 3‖2≤‖w k -w 3‖2-(1-ρ/4μ)‖e (w k )‖2/τ2.于是{‖w k‖}有界,并且‖e (w k )‖→0(当k 趋于无穷时).由{‖w k ‖}有界知,其一定存在聚点.设w 3是其一个聚点并且子列{w j },j ∈K (K 是一个指标集).由e (w )的连续性,有‖e (w j )‖→‖e (w 3)‖(当j 趋于无穷与j ∈K 时).综合上面的结果,有‖e (w 3)‖=0,因此w 3是V IP 的一个解.另一方面,由(1)式得‖w k+1-w 3‖2≤‖w k -w 3‖2.因此{‖w k ‖}全局收敛到w 3.注 算法中的ρ可以采用自适应方式进行迭代,新算法收敛性的证明与本算法类似.参考文献[1]S.L.Wang and L.Z.Liao ,Decom position method w ith a variable parameter f or a class of monotonevariational inequalit y p roblems.J.O.T.A.2001,109(2):415-429.[2]D.R.Han and H.K.Lo ,New alternating di rection method f or a class of nonlinear variational inequalit yproblems.J.O.T.A.2002,112(3):549-560.(上接第19页) 111 (10)a 2-a 1a 3-a 1…a n -a 10a 2(a 2-a 1)a 3(a 3-a 1)…a n (a n -a 1)⁝⁝⁝ω⁝0a n-22(a 2-a 1)a n-23(a 3-a 1)…a n-2n(a n -a 1),再用数学归纳法,就可证明(3.9)式.例11 设a 1,a 2,…,a n 互不相等,试证an-1n-αA -11β=Πn-1i =1(a n -a i ).(3.10)其中α=(a n-11a n-12…a n-1n-1),β=1a na 2n⁝a n-2n,A 1=11…1a 1a 2…a n-1a 21a 22…a 2n-1⁝⁝ω⁝a n-21a n-22…a n-2n-1.证明 令A =A 1βαa n-1n.由假设条件知A 1是可逆的,因此I n-10-αA -111A 1βαa n-1n=A 1β0a n-1n -αA -11β.比较等式两边的行列式知(3.10)式成立.打洞技巧的应用是不可能穷举的,只有多练、多用才能熟能生巧.参考文献[1] 张继平主编.新世纪代数学[M ].北京:北京大学出版社,2002:342,355-356.[2] 许以超.线性代数与矩阵论[M ].北京:高等教育出版社,1992:98.57第9卷第4期 孙洪春,孙敏:一种求解变分不等式的新的交替方向法。
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孤立特征值情况的矩阵摄动法
一、基本公式：
一阶摄动公式
二阶摄动公式
二、数值例子
图1
图1表示一个质量弹簧系统，设此系统的质量阵和刚度阵为错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
取错误！未找到引用源。
分别为：
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
固有频率误差计算公式为：
振型向量误差计算公式为：
三、计算结果分析
1.各频率误差对比
结构参数改变
误差
图2 第一频率
结构参数改变
误差
图3 第二频率
结构参数改变
误差
图4 第三频率
2.各振型向量误差对比
结构参数改变
误差
图5 第一振型
结构参数改变
误差
图6 第二振型
结构参数改变
误差
图7 第三振型
可以看出在结构参数改变量在15%以下时，用一阶摄动法是可行的，当然使用二阶摄动法更精确。
当结构参数改变30%时，用二阶摄动法是可行的，使用一阶摄动法误差较大，不宜采用。
当结构参数改变40%时，即使用二阶摄动法，固有频率的平均误差仍有8.7%，振型向量平均误差仍有2.8%，这个误差是比较大的。
说明这时二阶摄动法也得不到足够的精度，需要用更高阶摄动法。
四、小结
通过本例，我们得到一些结论。
无论结构参数如何改变，本例的二阶
摄动法总是比一阶摄动法有更高的计算精度。
当结构参数改变小于15%时，用一阶摄动法已足够，可以不用二阶摄动法。
但当结构参数变化为15% ~ 30%时，就必须用二阶摄动法才能得到足够的计算精度。