组合数学课程介绍
最经典同等考辅_离散数学与组合数学讲义
同等学力申硕离散数学与组合数学讲义主讲：单志勇博士目录引言 (1)第一章 (9)1.1 命题及其符号化 (9)1.2 合式公式和真值赋值 (14)第二章 (20)2.1等值关系及联结词全功能集 (20)2.3 范式 (25)第三章命题逻辑自然推理 (30)第四章 (37)4.1~2谓词和量词、一阶语言 (37)4.3一阶等值演算 (43)4.4一阶逻辑形式推理 (48)第五章集合 (55)5.1~5.3集合的概念及其表示、运算、定律 (55)5.4 有限集计数问题 (62)第六章关系 (68)6.1~3二元关系及其表示、性质、运算 (68)6.4特殊关系及性质 (75)第七章函数 (81)7.1~7.3函数的基本概念、合成、反函数 (81)7.4～5特殊函数及集合的基数 (85)引言一、课程内容·数理逻辑：是计算机科学的基础，应熟练掌握将现实生活中的条件化成逻辑公式，并能做适当的推理，这对程序设计等课程是极有用处的。
·集合论：数学的基础，对于学习程序设计、数据结构、编译原理等几乎所有计算机专业课程和数学课程都很有用处。
熟练掌握有关集合、函数、关系等基本概念。
·代数结构：对于抽象数据类型、形式语义的研究很有用处。
培养数学思维，将以前学过的知识系统化、形式化和抽象化。
熟练掌握有关代数系统的基本概念，以及群、环、域等代数结构的基本知识。
·图论：对于解决许多实际问题很有用处，对于学习数据结构、编译原理课程也很有帮助。
要求掌握有关图、树的基本概念，以及如何将图论用于实际问题的解决，并培养其使用数学工具建立模型的思维方式。
·讲课时间为两个学期，第一学期讲授数理逻辑与集合论，第二学期讲授代数结构和图论。
考试内容限于书中的内容和难度，但讲课内容不限于书中的内容和难度。
二、数理逻辑发展史1. 目的·了解有关的背景，加深对计算机学科的全面了解，特别是理论方面的了解，而不限于将计算机看成是一门技术或工程性的学科。
组合数学 第二章 容斥原理
500 5
100,|A
B|
500 15
33
根据容斥原理，从1到500的整数中被3或5除尽的数的个数为
|A B| |A|+|B||A B| 233
§2.1 容斥原§理2例.41 容斥原理
2.1.3 容斥原理
例题
例4、求有a,b,c,d四个字符构成的n位符 号串中，a,b,c至少出现一次的符号串的 数目。
A BA B
A BA B
注：De Morgan定律可推广到n个有限子集。
S
A
S AB
§§22..11容容斥原斥理原定理理1-1
2.1.2 计数定理
定理 2.1
|A B| |A||B||A B|
可用Venn图说明该定理的正确性。 或通过组合分析法，若A代表具有性质a的元素集合，B代表具有 性质b的元素集合，等式左端表示至少具有性质a、b之一的元素 个数，|A|表示具有性质a的元素个数，|B|表示具有性质b的元素个 数，但二者相加时，同时具有性质a、b的元素计数重复加了一次， 故需要减去重复的数|A∩B|。 注：加法法则相当于该等式A∩B=Φ的一个特例。
解：设S为26个字母的全排列集，令Ai分别为出现dog, god, gum, depth, thing的排列集，i=1,2,3,4,5。出现dog的排列，可把dog作 为一个元素看，|A1|=24!，同理|A2|=|A3|=24!，|A4|=|A5|= 22!。因 dog, god不可能同时出现，故|A1∩A2|=0，同理|A2∩A3|=|A1∩A4|= |A1∩A5|= 0，gum, dog可以在dogum中同时出现，故|A3∩A1|=22!， 同理|A2∩A4|=|A3∩A4|=|A5∩A2|=|A5∩A3|=20!, |A4∩A5|=19!。同理 |A1∩A2∩A3|=|A1∩A2∩A4|=|A1∩A2∩A5| =|A2∩A3∩A4|=|A2∩A3∩A5|=|A1∩A4∩A5|=|A1∩A3∩A4| =|A1∩A3∩A5|=|A2∩A4∩A5|= 0，|A3∩A4∩A5|=17!，其他4个、5 个子集的交集均为空集。 根据容斥原理，所求的排列数为
《离散数学》课程在计算机学科中的作用及其应用
组合数学在计算机中的应用摘要：组合数学是计算机科学的核心基础理论课，为后续课程提供必须的理论基础。
本文分析了组合数学在计算机学科中与其他课程之间的关系，阐述了组合数学在计算机领域的实际应用。
关键词：组合数学；计算机；应用组合数学是计算机学科的专业基础课，不但为后续课程提供必须的理论基础，而且可以培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
组合数学的教学内容与计算机硬件和软件都有着密切的关系，具有鲜明的基础特点，不仅是数据结构、数据库原理、数字逻辑、编译原理、人工智能、信息安全等课程的前续课程，同时以计算机导论和程序设计基础作为组合数学的先导课程[1]。
组合数学是计算机应用的必不可少的工具。
例如数理逻辑在数据模型、计算机语义、人工智能等方面的应用，集合论在数据库技术中的应用，代数系统在信息安全中的密码学方面的应用，图论在信息检索、网络布线、指令系统优化等方面的应用。
1组合数学与其他课程的关系1。
1组合数学与数据结构的关系组合数学与数据结构的关系非常紧密，数据结构课程描述的的对象有四种，分别是线形结构、集合、树形结构和图结构，这些对象都是组合数学研究的内容。
线形结构中的线形表、栈、队列等都是根据数据元素之间关系的不同而建立的对象，组合数学中的关系这一章就是研究有关元素之间的不同关系的内容；数据结构中的集合对象以及集合的各种运算都是组合数学中集合论研究的内容；组合数学中的树和图论的内容为数据结构中的树形结构对象和图结构对象的研究提供了很好的知识基础。
1。
2组合数学与数据库原理的关系目前数据库原理主要研究的数据库类型是关系数据库。
关系数据库中的关系演算和关系模型需要用到组合数学中的谓词逻辑的知识；关系数据库的逻辑结构是由行和列构成的二维表，表之间的连接操作需要用到组合数学中的笛卡儿积的知识，表数据的查询、插入、删除和修改等操作都需要用到组合数学中的关系代数理论和数理逻辑中的知识。
1。
3组合数学与数字逻辑的关系数字逻辑为计算机硬件中的电路设计提供了重要理论，而组合数学中的数理逻辑部分为数字逻辑提供了重要的数学基础。
抽屉原理优秀教案
抽屉原理优秀教案
简介
抽屉原理（Pigeonhole Principle）是一种非常基础的组合数学原理，也是解决问题的常用思路。
在高中数学的课程中，抽屉原理也是非常重要的一部分。
下面将介绍一份优秀的抽屉原理教案，帮助老师更好地让学生掌握该原理。
教材准备
•白板、白板笔、橡皮擦、教材
•尺子、铅笔、草稿纸
教学目标
•理解抽屉原理的概念和应用条件；
•运用抽屉原理解决实际问题；
•提高学生的组合数学思维和解决问题的能力。
教学过程
1. 引入
1.1 翻译和解释抽屉原理的概念。
1.2 提示学生，抽屉原理能够帮助解决哪些问题，引出本课核心内容。
2. 案例练习
2.1 由老师出题，引导学生使用抽屉原理解决有关组合数学的实际问题。
2.2 根据题目难易程度逐步提高练习难度，帮助学生逐步掌握使用抽屉原理的方法。
3. 归纳
3.1 学生归纳抽屉原理的应用范围和方法，并在白板上进行讲解。
3.2 带领学生解决课堂上未完成的案例，检测学生对抽屉原理的掌握程度。
4. 课后练习
4.1 布置课后练习，让学生巩固抽屉原理的应用。
4.2 课后批改作业，对学生掌握程度进行检测和评价。
教学评估
•课堂互动表现
•课堂练习和课后作业完成情况
•学生对课程知识点的掌握和理解
小结
本教案针对高中生，以案例练习为主，教师通过引入案例和逐步讲解抽屉原理的方法，帮助学生掌握该原理的应用方法，提高学生的组合数学思维和解决问题的能力。
同时，通过课堂互动和课后练习等方式进行评估，帮助学生巩固和深化所学知识，从而达到提高教学质量的目的。
清华大学计算机研究生课程表
清华大学计算机研究生课程表清华大学计算机研究生课程表计算机系研究生课程介绍课程名称：组合数学课程编号：60240013 课学时：48 开课学期：秋任课教师：黄连生【主要容】主要介绍组合数学的基本容，包括基本记数方法、母函数与递推关系、容斥原理与鸽巢原理、Burnside引理与Polya定理、区组设计与编码的初步概念、线性规划问题的单纯形算法。
课程名称：数据结构课程编号：60240023 课学时：48 开课学期：春秋任课教师：严蔚敏【主要容】线性表、树、图等各种基本类型数据结构的结构特性、存储表示及基本操作实现的算法；查找表的各种表示方法；各种排序算法的设计与分析；文件组织方法的简单介绍。
课程名称：软件工程技术和设计课程编号：60240033 课学时：48 开课学期：春任课教师：周之英【主要容】1、软件开发技术发展史；2、软件工程技术方法的基本原则；3、软件过程改进；4、需求工程；5、软件体系结构；6、面向对象设计方法；7、Design Pattern；8、分布式系统对象模型：CORBA及DCOM/COM(OLE)等；9、实例分析（实时系统的设计）等。
课程名称：专家系统课程编号：60240043 课学时：48 开课学期：春任课教师：艾海舟【主要容】讲解专家系统的基本原理、构造方法、应用实例、开发工具和发展趋势，介绍人工智能原理和知识工程的相关容，包括产生式系统、搜索技术、知识表示、知识获取、推理机、不确定推理方法等容。
课程名称：人工智能课程编号：60240052 课学时：32 开课学期：秋任课教师：群秀【主要容】人工智能的定义、发展历史及研究的课题；人工智能的典型系统结构--产生式系统；搜索技术（盲目搜索、启发式搜索、博奕树搜索）；谓词演算（知识表示）；人工智能语言程序设计。
课程名称：微型计算机系统接口技术课程编号：60240063 课学时：48 开课学期：春任课教师：芬【主要容】本课程是全部用PC机控制的以硬件为主的软硬件结合的综合接口技术。
“组合数学”课程教学规律探索
旦 皇
‘ ‘ 组合数 Байду номын сангаас’ 果 ’ｉ 程教学规律搽索
文０ 孙侠 殷志祥 张家秀 许峰 （ 安徽理工 大学 淮南）
摘要 ： 文介 绍 了 者 在 “ 本 作 组合 数 学” 以 解决 第 三章 中容 斥原 理 的 一些 问题 ，还 教 学过 程 中的 经验 ，希 望 学生 能 在合 适 的 可 以求 解 第 四章 中的递 推 关 系 。讲 清 这些 教 学方 法 下提 高学 习积 极性 ， 牢 固的 掌握 知 识 点之 间 的联 系 ，让学 生 有 一 个整 体 的 了解和 认 识 ，比单 纯 、孤 立 的 讲 解效 果要 该课 程 的知 识 。 关键 词 ：组合 数 学 ；教 学 ；认 知 特 点 好 得 多 。另 外 ，课 堂 教学 中不 能一 直 处于 现 代 数学 可 以分 为 两大 类 ：一 类是 研 教 师 “ 独 角戏 ” 的 状 态 ，每 个 知识 点 在 唱 究 连续 对 象的 ，如 分析 ，方程 等 ；另一 类 教 授 时 不妨 就 它 的特 点和 方 法 与 学生 进 行 是研 究 离 散对 象 的组 合 数学 。组 合 数学 是 交 流 。要 允 许学 生 大 胆 质疑 ，结 合学 生 的 计算 机 、应 用数 学 等专 业 的一 门 重要 的 基 疑 点讲 解 课 程并 把 它 带到 后 面 的 习题 教学 础 理论 课 ，它的 发 展改 变 了 传统 数 学 中分 中予 以 更 深 刻 的 剖 析 。 析 和代 数 占统 治 地 位的 局 面 。本 课 程 各部 （ ） 教 学 模 式 合 理 化 ， 创 造 良 好 三 分 内容 既 相对 独 立 又彼 此联 系 ，课 程 中既 的 教 学 氛 围 很 多 人 对 组 合 数 学 的 认 识 就 是 一 个 字 有 重要 的 原 理 ，又 有针 对 不 同 问题 的技 巧 和 方 法 ，大 量 学 生 感 到 学 习 的 困难 较 大 。 难 ，如 果 老 师 只求把 内容 讲 完 ， 完成 下 面就 本 人 的教 学 经验 谈 谈 怎样 教 授该 课 教 学 任 务 ，那 么学 生 很 难 会 有 学 习兴 趣 ， 程。 当然 更 谈不 ｊ学 好这 门 课程 了 。我 们 不能 二 把 学 生 当成 是 在 教与 学 的过 程 中一种 被 动 课 堂教 学 （ ） 教 学 手 段 合 理 化 一 的认 知 信息 的 接 受者 ，要 充分 认 识 到学 生 数 学 往 往 需 要 大 量 严 密 的 逻 辑 推 理 ， 的认 知 特 点 ， 进行 “ 味 ” 教学 。 比如 ： 趣 所 以 很 多数 学 老 师 都 选 择 传 统 的 板 书 教 幻方 是 一 个很 难 的知 识 点 ，为 了提 高 学生 学 。板 书 是 传 统的 教 学媒 体 ，体 现 在 课 堂 的兴 趣 ，我 们 可以 从 介 绍 它 的 起 源 讲 起 。 教 学 中 ，就 是 大 量 使 用 黑 板讲 解知 识 点 。 其 实 ，对于 幻 方 我们 都 不 陌生 ，最 早接 触 使 用 板 书教 学 的好 处 是 符合 大 多数 学 生 的 它是 在 电视 剧 《 雕英 雄 传 》 里面 ，神算 射 习惯 ，便 于 讲 解学 生 随 机提 出 的 问题 ，但 子瑛 姑 苦 苦研 究 数十 载 ，后 被 黄蓉 一 语道 板 书 往往 又 让 人感 到 枯燥 死 板 ，这 也 是 很 破 天 机的就 是 三阶 幻方 。 射雕英 雄 传》每 ‘ 多学 生 不喜 欢 上数 学 课 的原 因 之一 。组 合 个人 都 看 过 ，但 很 少有 人 知 道瑛 始 专研 的 数学 课 程 中的 许 多知 识 源于 生 活 中的 数 学 就是 组 合 数 学 中的 幻方 。如 果这 样 引入幻 游 戏 ，老师 在 教授 这 门 课程 时要 抓 住 它 的 方的 知 识 ，相信 很 多 同学 都会 感 兴 趣 ，很 趣 味 性 ，如 果 大量 使 用 板书 教学 ，课 堂 气 多 人都 会 感叹 ：数 学 真 的 无 处 不 在 呀 ！ 氛 必然 沉 闷压 抑 ，而 适 当地 使 用 多媒 体 教 二 、 习题 教 学 学方 式 ，会 大 大 改变 这 种现 象 。 比 如鸽 巢 “ 合 数 学 ”是 一 门技 巧性 很 强 的课 组 原 理 的 引入 ，可 以利 用 多媒 体 先 介绍 《 晏 程 ，习题 教学具 有 不可 替代 的作 用 。 目前 ， 子春秋 里晏子 “ 二桃杀三 士”的故事 ，用 “ 合数 学 ”课 程一 般安排 ５０ 个学 时 ，老 组 故 事 开 头 ， 必然 会提 高 学 生 的 学 习 兴 趣 ， 师 有 充分 的时 间实 施 习 题 教学 。 活 跃课 堂 气 氛 。 （ ） 习 题 教 学 应 该 以 课 堂 内 容 为 一 多 媒体 教 学的 特 点 是 图文 并 茂 、形 象 起 点 ， 以 学 生 为 主 体 逼 真和 容 易体 现 教学 要 求 ，但 是 很 多 人容 安 排 的 习题 要 以 教学 内 容为 基 准 ， 从 易 把 电子讲 稿 做 成 教材 的 翻版 ，认 为把 教 教授 的基 本 内 容人 手 ，熟 悉 主 要概 念 和 原 学 内 容 简单 堆 砌 在 一 起 就 是 电子 讲 稿 了 。 理 ，掌 握 重 要 的技 巧 和方 法 。 对于 基 本题 这 是一 个 很严 重 的 认识 误 区 。在 使 用 多媒 型 ，一般 都 有 简单 的 示例 ，通 过老 师的 分 体 教学 的过 程 中 ，我们 要 坚持 “ 媒体 围 多 析 讲 解 ，要 让 学 生 明 白用 到 哪 个 知 识 点 ， 绕 教师 ，多媒 体 服 务教 学 ” 的原 则 。 电予 怎 样 使用 的 ，并且 能 在此 基 础 上解 决 简单 讲 稿要 求 教 师要 准 确把 握 课程 的 重 点和 难 的题 目。 比如鸽 巢原 理 ，在具体 的 题 目中 ， 点 ，有 目的 、有 层 次 的组 织 讲稿 内 容 ，抓 如何 构造 “ 巢” 鸽 ，将 什么视 为 “ 鸽子 ” ，这 住 学生 心 理 ，但 是 在 实 际的 教学 过 程 中要 些 都 需要 在 习 题 中不 断体 会 理 解 。要 以 学 做 到这 些 ，需 要 对 课程 的 精 心组 织 和大 量 生 为 主体 ，重 视学 生 的 心理 特 点和 认 知 规 教 学 经 验 的 积 累 ，不 是 一 朝一 夕 的事 情 ， 律 ，教 师应 该 合 理的 编 排指 导 书 ， 突破 陈 需 要 长 期 的 实践 摸 索 。 规 ， 灵活 安 排 习题 。 （ ） 概 念 系 统 化 ， 避 免 知 识 点 孤 二 （ ） 在 习 题 教 学 中 突 出 自学 二 立 化 习题 教 学 不是 单 纯 的讲 题 目， 课本 对 组 合 数学 主 要 研究 一 组 离散 对象 满 足 知 识 点的 介 绍 有 深 有 浅 ，有 细 致 有 粗 略 ， 定 条件 的 安排 的 存 在性 ，以及 这 种 安排 在 教 学 中有 时 候 会发 现 书本 上 没有 介 绍 到 的构 造 、枚 举计 数 和 优化 等 问题 。所 有这 的知识 ，此 时 可以合 理 引导学 生深 入学 习 ， 些 不是 孤 立 的 ， 它们 最终 还 是要 放 到 一个 全 面 掌握 相 关 知 识 。 同时 ，可以 有 意识 的 系统 中去 使 用 。 比如 ：生 成 函数 法 是 组合 留下 相 当 的知 识 在课 堂 上 不做 讲授 ，在 习 数 学 中的 一 种重 要 方 法 ，其 思想 是 将 欲求 题 课 开始 的时 候 提 出来 ，让学 生 结 合课 本 序 列 “ 着 ”在 幂级 数 上 ，使之 能 够 用纯 与其 它 资料 ，掌 握相 应 的 知识 。比 如 幻方 附 代 数 或数 学 分析 的 方 法解 决 。利 用这 种 方 的构 造 ，课 本 只 简单 介 绍 了奇 数 阶 幻方 的 法 ，可以 解 决第 二 章 中集 合 的排 列 与组 合 构 造 方 法 ，老 师 可 以 引导 学生 探 索 偶数 阶 问题 （ 论 是普 通 集合 ，还是 多 重集 合 ） 幻方 的 存 在性 以 及构 造 方 法 。这 种 学 生 自 无 、 第二类 Ｓｔｒｉ ｉ ｌｎｇ数以及正整数的分拆 数 ，可 主型 的学 习更 能 牢 固的掌 握 相 关知 识 。
教案-吉林大学课程中心
一般来说，置换的乘法不满足交换率，即 p1 p2≠p2 p1，如上例中 p2 p1＝
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ＝ ≠p1p2 4 3 2 1 3 1 2 4 4 2 1 3
求复合置换的一种技巧就是更改 p2 各列的前后次序， 使其第一行的排列与前者 p1 第二行的排列相 同，那么复合置换 p1p2 的第一行就是 p1 的第一行，其第二行是 p2 的第二行。如上例： p1p2＝
1 2 3 4 3 1 2 4
p2＝
1 2 3 4 4 3 2 1
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ＝ 3 1 2 4 4 3 2 1 2 4 3 1
p p p p
即
1 2 1 2 1 3 2，2 1 4，…
1 2 3 ， 2 1 3
p5＝
1 2 3 ， 3 2 1
p6＝
1 2 3 1 3 2
（绕 3C） （绕 2B） （绕 1A） 因此，描述正三角形的全部对称的映射，对应以上六种置换。相继两次对称映射对应两个置换的 乘积，则置换集{ p1，p2，p3，p4，p5，p6}在置换乘法下构成一个三次对称群 S3。而且，{p1，p4}、{p1， p5}、G＝{p1，p2，p3}等都是 S3 的子群，G 还是 3 次循环群，它可以由 p2 或 p3 生成。 例 7.2.2（正方形对称群）考察使正多边形回到原来位置的所有可能的逆时针旋转和翻转动作，可 以得到一个群，称为二面体群（参见图 7.2.2） 。 B 1 4
教 案
课程名称：组合数学 授课教师 课程类型 卢奕南 讲授 所在单位 授课时间 计算机科学 与技术学院 32 学时
组合数学的课程教学探讨
组合数学的课程教学探讨作者：龙述德来源：《教育教学论坛》2013年第25期摘要：对在组合数学教学中遇到的问题进行探讨并总结了一些体会，以便提高学生分析和解决组合问题的能力。
关键词：组合数学；组合恒等式；数学思维中图分类号：O157.5；G424.2 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）25-0089-02一、引言组合数学作为既古老又年轻的一个数学分支，它是研究离散对象的一门数学学科，是大学数学专业高年级学生的一门选修课程。
学生经过大学两年或三年的专门数学专业训练后，已经有了一定的数学基础和数学思维能力。
另外，学生在中学也学过一些简单的组合数学知识，例如简单的排列和组合问题，这些对于学习组合数学是有利的和必备的。
在教学中，有相当一部分学生一开始认为组合数学在中学曾经接触过且又学了二三年的其他数学专业课程，学好组合数学是件不难的事情，但随着学习的深入，发现和自己想象中完全不同，这门课程不仅思维方式很独特，方法很难模仿，尤其是在解习题时不知从何着手，无所适从。
针对这些情况，结合这些年的教学经验，笔者认为应注意以下几个方面。
二、加强数学概念教学数学概念不仅是任何一门数学课程的起点，也是学好任何一门数学课程的立足点。
组合数学也不例外。
在实际教学中，有的教师认为只要教学生解决问题的方法就行了，至于概念的教学则一笔带过，概念的理解就是学生自己的事情，殊不知，概念理解的正确与否直接决定了学生组合数学学习好坏的程度。
概念理解不清是不可能掌握正确解决问题的方法的，更谈不上在将来的数学研究工作中有所创新。
因此，在组合数学教学中应注重概念教学，有意识地培养学生理清概念实质的能力。
为了进一步理解组合数学中的一些概念，教师最好举一些实例加以说明。
例1 求从10名学生中任选3人组成一个数学学习兴趣小组及从10名学生中任选3人排成一列的方法数。
学生经过简单的思考后，可得知该问题的前半部分的本质是组合问题，而后半部分的本质是排列问题，因为前半部分和顺序无关，而后半部分和顺序有关。