材料力学-梁的挠度
合集下载
材料力学挠度表
材料力学挠度表材料力学是研究物质受力和变形的学科，而挠度则是描述材料受力后产生的变形程度的重要参数。
挠度表是用来记录不同材料在受力后的挠度数值，对于工程设计和材料选择具有重要的参考价值。
本文将围绕材料力学挠度表展开讨论，介绍挠度的概念、计算方法以及应用。
挠度是指材料在受力作用下产生的弯曲变形，它是描述材料刚度和受力后变形程度的重要参数。
在工程设计中，了解材料的挠度特性对于选择合适的材料以及预测结构在受力后的变形具有重要意义。
因此，建立材料力学挠度表是非常必要的。
计算材料的挠度可以采用不同的方法，其中一种常用的方法是采用梁的挠度公式进行计算。
梁的挠度公式可以根据材料的几何形状、受力情况以及材料的弹性模量等参数来计算材料在受力后的挠度。
另外，有限元分析方法也可以用来计算材料的挠度，它可以更加准确地预测材料在受力后的变形情况。
材料力学挠度表记录了不同材料在受力后的挠度数值，通过对这些数据的比较和分析，可以帮助工程师和设计人员选择合适的材料，并预测结构在受力后的变形情况。
在建筑、机械、航空航天等领域，材料力学挠度表都具有重要的应用价值。
除了用于材料选择和结构设计外，材料力学挠度表还可以用于评估材料的性能和质量。
通过对不同材料在相同受力条件下挠度的比较，可以评估材料的刚度、韧性以及承载能力等性能指标，为材料的质量控制提供参考依据。
总之，材料力学挠度表是记录材料在受力后挠度数值的重要工具，它对于工程设计、材料选择以及质量评估都具有重要的应用价值。
通过对不同材料挠度数据的比较和分析，可以为工程设计和材料选择提供参考依据，同时也可以帮助评估材料的性能和质量。
希望本文的介绍能够对材料力学挠度表的应用和意义有所帮助。
材料力学梁的挠度和刚度计算课件
桥梁刚度
桥梁刚度反映了桥梁结构抵抗变形的能力。刚度计算可以帮助工程师了解桥梁在不同载荷作用下的变形情况，从 而优化结构设计，提高桥梁的承载能力和稳定性。
梁的挠度和刚度在房屋建筑中的应用
房屋挠度
在房屋建筑中，挠度对建筑物的安全 性和稳定性具有重要影响。通过计算 和分析挠度，可以确保建筑物在使用 过程中不会发生过大的弯曲和变形， 从而保证居住者的安全。
泊松比与挠度
泊松比是衡量材料横向变形能力的 参数。泊松比越大，梁在受到压力 时横向变形越大，导致挠度增加。
剪切模量与刚度
剪切模量反映了材料抵抗剪切应力 的能力。剪切模量大的材料具有较 大的刚度，能够更好地抵抗变形。
材料的弹性模量对挠度和刚度的影响
01
弹性模量与挠度
弹性模量是衡量材料抵抗弹性变形能力的参数。弹性模量越大，梁在受
03
梁的挠度计算方法
挠度的计算公式
挠度计算公式：$y = frac{Fl^4}{48EI}$
$I$：梁的惯性矩 $E$：材料的弹性模量
$F$：施加在梁上的力 $l$：梁的长度
挠度的计算步骤
确定施加在梁上的力 $F$和梁的长度$l$。
将已知数值代入挠度 计算公式进行计算。
确定材料的弹性模量 $E$和梁的惯性矩$I$ 。
材料的泊松比对挠度和刚度的影响
泊松比与横向变形
泊松比描述了材料在受到压力时横向变形的程度。泊松比 越大，横向变形越明显，这可能对梁的挠度和刚度产生影 响。
泊松比与交叉应力
在分析梁的挠度和刚度时，需要考虑由于泊松比引起的交 叉应力效应。这种效应会影响梁的剪切力和弯矩分布，从 而影响挠度和刚度。
泊松比与材料非线性的考虑
梁的刚度定义
刚度
桥梁刚度反映了桥梁结构抵抗变形的能力。刚度计算可以帮助工程师了解桥梁在不同载荷作用下的变形情况，从 而优化结构设计，提高桥梁的承载能力和稳定性。
梁的挠度和刚度在房屋建筑中的应用
房屋挠度
在房屋建筑中，挠度对建筑物的安全 性和稳定性具有重要影响。通过计算 和分析挠度，可以确保建筑物在使用 过程中不会发生过大的弯曲和变形， 从而保证居住者的安全。
泊松比与挠度
泊松比是衡量材料横向变形能力的 参数。泊松比越大，梁在受到压力 时横向变形越大，导致挠度增加。
剪切模量与刚度
剪切模量反映了材料抵抗剪切应力 的能力。剪切模量大的材料具有较 大的刚度，能够更好地抵抗变形。
材料的弹性模量对挠度和刚度的影响
01
弹性模量与挠度
弹性模量是衡量材料抵抗弹性变形能力的参数。弹性模量越大，梁在受
03
梁的挠度计算方法
挠度的计算公式
挠度计算公式：$y = frac{Fl^4}{48EI}$
$I$：梁的惯性矩 $E$：材料的弹性模量
$F$：施加在梁上的力 $l$：梁的长度
挠度的计算步骤
确定施加在梁上的力 $F$和梁的长度$l$。
将已知数值代入挠度 计算公式进行计算。
确定材料的弹性模量 $E$和梁的惯性矩$I$ 。
材料的泊松比对挠度和刚度的影响
泊松比与横向变形
泊松比描述了材料在受到压力时横向变形的程度。泊松比 越大，横向变形越明显，这可能对梁的挠度和刚度产生影 响。
泊松比与交叉应力
在分析梁的挠度和刚度时，需要考虑由于泊松比引起的交 叉应力效应。这种效应会影响梁的剪切力和弯矩分布，从 而影响挠度和刚度。
泊松比与材料非线性的考虑
梁的刚度定义
刚度
孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-梁弯曲时的位移(圣才出品)
5 / 41
圣才电子书
ql3/6，D＝－ql4/24。
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
故挠曲线方程和转角方程分别为：
w（x）＝qx2（x2＋6l2－4lx）/（24EI），θ（x）＝q（x3－3lx2＋3l2x）/（6EI）
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝ql4/（8EI）；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝ql3/（6EI）。
表 5-1-4 叠加原理计算梁的挠度和转角
四、梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施（见表 5-1-5）
表 5-1-5 梁的刚度校核及提高措施
3 / 41
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
五、梁内的弯曲应变能 定义：由于梁弯曲变形而存储的能量称为梁内的弯曲应变能。梁在弹性变形过程中，其 弯曲应变能与作用在梁上的外力所作的功相等，常见梁内的弯曲应变能见表 5-1-6。
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝Fl3/3EI；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝Fl2/2EI。
图 5-2-1（a）（b） （2）建立如图 5-2-1（b）所示坐标系。 首先列弯矩方程：M（x）＝－q（l－x）2/2，由此可得挠曲线近似方程： EIw″＝－M（x）＝q（l－x）2/2 积分得： EIw′＝－q（l－x）3/6＋C① EIw＝q（l－x）4/24＋Cx＋D② 该梁的边界条件：x＝0，w＝0，x＝0，w'＝0。代入式①、②可确定积分常数：C＝
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第 5 章 梁弯曲时的位移
5.1 复习笔记
梁在承受荷载时发生相应的变形，变形后轴线相对原位置将会发生位移、梁的截面将出 现转角，梁内会因变形存储能量。本章首先介绍梁的位移概念，并基于坐标系统建立挠曲线 方程；接着介绍求解梁的位移的方法，根据挠曲线近似微分方程积分和按叠加原理计算；再 介绍梁刚度校核以及提高梁刚度的方法；最后介绍梁弯曲应变能的概念及计算方法。
圣才电子书
ql3/6，D＝－ql4/24。
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
故挠曲线方程和转角方程分别为：
w（x）＝qx2（x2＋6l2－4lx）/（24EI），θ（x）＝q（x3－3lx2＋3l2x）/（6EI）
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝ql4/（8EI）；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝ql3/（6EI）。
表 5-1-4 叠加原理计算梁的挠度和转角
四、梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施（见表 5-1-5）
表 5-1-5 梁的刚度校核及提高措施
3 / 41
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
五、梁内的弯曲应变能 定义：由于梁弯曲变形而存储的能量称为梁内的弯曲应变能。梁在弹性变形过程中，其 弯曲应变能与作用在梁上的外力所作的功相等，常见梁内的弯曲应变能见表 5-1-6。
则最大挠度 wmax＝w（x）|x＝l＝Fl3/3EI；梁端转角 θB＝θ（x）| x＝l＝Fl2/2EI。
图 5-2-1（a）（b） （2）建立如图 5-2-1（b）所示坐标系。 首先列弯矩方程：M（x）＝－q（l－x）2/2，由此可得挠曲线近似方程： EIw″＝－M（x）＝q（l－x）2/2 积分得： EIw′＝－q（l－x）3/6＋C① EIw＝q（l－x）4/24＋Cx＋D② 该梁的边界条件：x＝0，w＝0，x＝0，w'＝0。代入式①、②可确定积分常数：C＝
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第 5 章 梁弯曲时的位移
5.1 复习笔记
梁在承受荷载时发生相应的变形，变形后轴线相对原位置将会发生位移、梁的截面将出 现转角，梁内会因变形存储能量。本章首先介绍梁的位移概念，并基于坐标系统建立挠曲线 方程；接着介绍求解梁的位移的方法，根据挠曲线近似微分方程积分和按叠加原理计算；再 介绍梁刚度校核以及提高梁刚度的方法；最后介绍梁弯曲应变能的概念及计算方法。
材料力学第五章梁弯曲时的位移
实例3 ：均布载荷
分析受均布载荷作用下梁的位移。
材料力学第五章梁弯曲时 的位移
在材料力学的第五章中，我们将学习有关梁在弯曲时的位移。掌握梁的基本 知识、位移方程和位移计算方法，以及梁的挠度与转角关系。
梁的基本知识
1 定义
梁是一种长条形结构，承受着沿其长度方向的外部力。
2 类型
常见的梁包括简支梁、悬臂梁和受力梁。
3 材料
梁可以由不同类型的材料制成，例如钢、木材或混凝土。
梁的位移方程
1 弯曲位移
2 挠度
3 转角
梁在弯曲时，沿梁的长度方 向发生位移。
挠度是梁的中点相对于其自 由状态的偏移量。
转角是指梁在弯曲时端部角 度的变化。
简支梁的位移计算方法
1
载荷和反力
计算简支梁上的载荷和反力分布。
2
弯矩方程
使用弯矩方程推导出简支梁的位移方程。
3
边界条件
应用适当的边界条件来解决位移方程中的未知量。
悬臂梁的位移计算方法
加载和支座反力
确定悬臂梁上的加载和支座反力。
弯曲力矩方程
通过推导弯曲力矩方程来解决悬臂 梁的位移问题。
解决边界条件
应用边界条件来计算悬臂梁的位移。
受力梁的位移计算方法
1
截面转动方程
2
推导出受力梁的截面转动方程。
3
确定力的分布
分析受力梁上的力分布，包括集中力和均布 力。
边界条件和位移方程
应用边界条件，求解受力梁的位移方程。ຫໍສະໝຸດ 梁的挠度与转角关系挠度
挠度是梁在弯曲时沿其长度方向上的位移。
转角
转角是梁在弯曲时端部偏离初始位置的角度。
关系公式
挠度和转角之间存在一定的关系，可以通过公式计算。
材料力学第五章梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
工程实例
7-1
工程实例
工程实例
5-1 梁的位移——挠度及转角
建立坐标系，oxy为梁对称面，外力作用在对 称面内。所以，挠曲线为o xy面内的平面曲线。
挠度
y 向下为正。
y
x
y
转角
x
挠曲线
挠曲线方程：
7-2
w= f (x)
挠度
略去剪力的影响，则平面假设成立，发
y
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
2）写出x截面的弯矩方程
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
)
A
x
l
yB
F B
B
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
A
FAx 0, FAy
Fb Fa , FBy l l
2）弯矩方程
FAy x1
ymax
x2
FBy
AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
y
a
b
CB 段：
Fb M x2 FAy x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ), l
目录
a x2 l
5.2 积分法求梁的挠度和转角
A d 2 w1 Fb EI M ( x1 ) x1 2 dx1 l FAy x1 dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 x2 dx1 2l Fb 3 a EIw1 x C1 x1 D1 6l a x2 l CB 段： y d 2 w2 Fb EI M ( x2 ) x2 F ( x2 a) 2 dx2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6l 6
工程实例
7-1
工程实例
工程实例
5-1 梁的位移——挠度及转角
建立坐标系，oxy为梁对称面，外力作用在对 称面内。所以，挠曲线为o xy面内的平面曲线。
挠度
y 向下为正。
y
x
y
转角
x
挠曲线
挠曲线方程：
7-2
w= f (x)
挠度
略去剪力的影响，则平面假设成立，发
y
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
2）写出x截面的弯矩方程
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
)
A
x
l
yB
F B
B
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
A
FAx 0, FAy
Fb Fa , FBy l l
2）弯矩方程
FAy x1
ymax
x2
FBy
AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
y
a
b
CB 段：
Fb M x2 FAy x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ), l
目录
a x2 l
5.2 积分法求梁的挠度和转角
A d 2 w1 Fb EI M ( x1 ) x1 2 dx1 l FAy x1 dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 x2 dx1 2l Fb 3 a EIw1 x C1 x1 D1 6l a x2 l CB 段： y d 2 w2 Fb EI M ( x2 ) x2 F ( x2 a) 2 dx2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6l 6
梁跨中挠度的计算
梁跨中挠度的计 算
一、梁跨中挠度的计算
梁挠度的计算可以通过编写Matlab程序来求 解。编程是基于我们学过的有限元分析。有限 元法是适应电子计算机的使用而发展起来的一 种比较新颖和有效的数值计算方法。有限元法 实质上是把具体无限个自由度的连续系统，理 想化为只有有限个自由度的单元集合体，使问 题转化为适合于数值求解的结构型问题。
然后相加求得系统总体刚度矩阵。之后求节点载荷 向量，最后根据求出位移分量。 (3)编程 程序编写如下: E = 210 * 10 ^ 9 I = 0.1 ^ 4 / 12 A = 0.1 * 0.1 L = 0.5
k1=E*I/L^3*[A*L^2/I 0 0 -A*L^2/I 0 0 0 12 6*L 0 -12 6*L 0 6*L 4*L^2 0 -6*L 2*L^2 -A*L^2/I 0 0 A*L^2/I 0 0 0 -12 -6*L 0 12 -6*L 0 6*L 2*L^2 0 -6*L 4*L^2] 单元刚度矩阵
M1 F Ax
F
F 2
X
l 0 x 2
l x - Fx - M 2 2 2
l x l 2
梁的挠度方程为：
F '' EI w 1 x M1 2
l F '' EI w 2 M 2 Fx - - x 2 2
1.19*10^-4m=0.119mm
三、Matlab编程
(1)基本思路：利用有限元原理分析：建立坐 标系，划分单元；求出单元刚阵；根据局部 坐标与整体坐标关系，求出系统总体刚度矩 阵；求节点载荷向量；引入约束条件，根据 力与节点位移的关系，求出位移向量，最后 求出节点作用力。
一、梁跨中挠度的计算
梁挠度的计算可以通过编写Matlab程序来求 解。编程是基于我们学过的有限元分析。有限 元法是适应电子计算机的使用而发展起来的一 种比较新颖和有效的数值计算方法。有限元法 实质上是把具体无限个自由度的连续系统，理 想化为只有有限个自由度的单元集合体，使问 题转化为适合于数值求解的结构型问题。
然后相加求得系统总体刚度矩阵。之后求节点载荷 向量，最后根据求出位移分量。 (3)编程 程序编写如下: E = 210 * 10 ^ 9 I = 0.1 ^ 4 / 12 A = 0.1 * 0.1 L = 0.5
k1=E*I/L^3*[A*L^2/I 0 0 -A*L^2/I 0 0 0 12 6*L 0 -12 6*L 0 6*L 4*L^2 0 -6*L 2*L^2 -A*L^2/I 0 0 A*L^2/I 0 0 0 -12 -6*L 0 12 -6*L 0 6*L 2*L^2 0 -6*L 4*L^2] 单元刚度矩阵
M1 F Ax
F
F 2
X
l 0 x 2
l x - Fx - M 2 2 2
l x l 2
梁的挠度方程为：
F '' EI w 1 x M1 2
l F '' EI w 2 M 2 Fx - - x 2 2
1.19*10^-4m=0.119mm
三、Matlab编程
(1)基本思路：利用有限元原理分析：建立坐 标系，划分单元；求出单元刚阵；根据局部 坐标与整体坐标关系，求出系统总体刚度矩 阵；求节点载荷向量；引入约束条件，根据 力与节点位移的关系，求出位移向量，最后 求出节点作用力。
材料力学-弯曲变形
二、叠加法求梁的变形 梁的刚度校核
1. 叠加法求梁的变形
当梁上同时受几种荷载作用时，我们可用叠加法来计算 梁的变形。其方法是：先分别计算每一种荷载单独作用时所 引起的 梁的变形（挠度或转角），然后求出各种荷载作用下 变形的代数和，即得到这些荷载共同作用下的变形。一般工 程中要找的是特定截面的变形（最大挠度和最大转角）。我 们将一些简单荷载作用下梁变形的计算公式列成教材中表81，以供选用。
2
式(8-2)再积分一次得：
y
1 EI
M( x)dxdx
Cx
D 8
3
式(8-2)、(8-3)为转角方程和挠曲线方程。式中常数C、D
可由边界条件确定。
图8-1a 图8-1b
（图8-1a）的边界条件为：
x 0, yA 0; x l, yB 0
（图8-1b）的边界条件为：
x 0, yA 0;
ql 3 24EI
, B
ql 3 24EI
转角 A 为负值，表明A截面绕中性轴作顺时针方向转动； 转角 B 为负值，表明B截面绕中性轴作逆时针方向转动。
例2：试计算图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 ymax
例2图
设：a>b
解：（一）分段建立弯矩方程和挠曲线近似微分方程并积分二次
AC 段 (0 x1 a)
C1a D1 C2a D2 将 C1 C2, D1 0 代入上式得：D1 D2 0
将 D2
0 代入式e得：C2
Pbl 6
P(l a)3 6l
化简后得：
C1
C2
Pb 6l
(l 2
b
2)
（三） 列出转角方程和挠曲线方程：将C1,C2, D1, D2代入式 a,b,c,d得：
《梁的挠度及转角 》课件
长度、弯曲刚度等因素。
有限元分析
在现代工程分析中，有限元分析 是一种常用的方法来计算挠度和 转角。通过将梁离散化为有限个 小的单元，可以更精确地模拟梁
的变形和应力分布。
02
梁的挠度分析
静力挠度分析
静力挠度分析是指在静力载荷作 用下，对梁的挠度进行计算和分
析的过程。
静力挠度分析主要考虑梁的自重 、外部施加的均布载荷和集中载 荷等因素，通过计算得到梁的挠
温度转角分析
温度转角的大小取决于梁的材料、尺寸和温度变化等 因素。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
温度转角分析的目的是确定梁在温度变化下的变形程 度和转角大小，从而评估梁的耐热性能和稳定性。
5. 总结分析结果，提 出改进建议。
4. 将实测数据与理论 计算结果进行对比分 析；
案例分析结果与结论
结果
实测数据与理论计算结果基本一致， 证明了理论的正确性和实用性；
结论
梁的挠度和转角是结构安全的重要指 标，应加强监测和理论研究，以提高 结构的安全性和稳定性。
05
梁的挠度及转角优化设 计
优化设计方法与步骤案例二高层建筑中源自梁结构挠度及转角变 化案例三
大跨度钢结构的梁在风载作用下的 挠度及转角表现
案例分析方法与步骤
• 方法：理论计算与实测数据相结合
案例分析方法与步骤
步骤
1. 收集相关资料，了解工程概况和梁的结构特点 ； 2. 进行理论计算，预测梁的挠度和转角；
案例分析方法与步骤
3. 实地监测，获取梁 的实际挠度和转角数 据；
有限元分析
在现代工程分析中，有限元分析 是一种常用的方法来计算挠度和 转角。通过将梁离散化为有限个 小的单元，可以更精确地模拟梁
的变形和应力分布。
02
梁的挠度分析
静力挠度分析
静力挠度分析是指在静力载荷作 用下，对梁的挠度进行计算和分
析的过程。
静力挠度分析主要考虑梁的自重 、外部施加的均布载荷和集中载 荷等因素，通过计算得到梁的挠
温度转角分析
温度转角的大小取决于梁的材料、尺寸和温度变化等 因素。
单击此处添加正文，文字是您思想的提一一二三四五 六七八九一二三四五六七八九一二三四五六七八九文 ，单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了最 终呈现发布的良好效果单击此4*25}
温度转角分析的目的是确定梁在温度变化下的变形程 度和转角大小，从而评估梁的耐热性能和稳定性。
5. 总结分析结果，提 出改进建议。
4. 将实测数据与理论 计算结果进行对比分 析；
案例分析结果与结论
结果
实测数据与理论计算结果基本一致， 证明了理论的正确性和实用性；
结论
梁的挠度和转角是结构安全的重要指 标，应加强监测和理论研究，以提高 结构的安全性和稳定性。
05
梁的挠度及转角优化设 计
优化设计方法与步骤案例二高层建筑中源自梁结构挠度及转角变 化案例三
大跨度钢结构的梁在风载作用下的 挠度及转角表现
案例分析方法与步骤
• 方法：理论计算与实测数据相结合
案例分析方法与步骤
步骤
1. 收集相关资料，了解工程概况和梁的结构特点 ； 2. 进行理论计算，预测梁的挠度和转角；
案例分析方法与步骤
3. 实地监测，获取梁 的实际挠度和转角数 据；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(a)
+
解：将原图分解成图(a) 和图(b)所示情况。 查表，对于图(a)有：
l l 2 F ( )3 F ( ) 3 2 F l F l 2 2 yB1 (向下)， B1 (顺时针) 3EI 24EI 2 EI 8EI
(b)
于是有：
l F l3 F l2 l 5 Fl 3 Fl 2 yC1 y B1 B1 ( ) ( ) , C1 B1 2 24EI 8EI 2 48EI 8 EI
M (x ) F 3 BC段：由于 y2 2 2 ( l x2 ) ，积分后得： EI EI 2
2 F 3 F 3 x2 2 ( x2 ) y ( l x2 )dx2 C2 ( lx2 ) C2 EI 2 EI 2 2 F 3 1 2 F 3 2 1 3 y2 ( x2 ) ( lx2 x2 )dx2 C2 x2 D2 ( lx2 x2 ) C2 x2 D2 EI 2 2 EI 4 6
梁的刚度校核
max
1 1 f (对土建工程 : ( ~ )) 250 1000 L
其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条 件进行如下三种刚度计算： 、校核刚度：
f
max
L
f L
max
、设计截面尺寸： (对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度
边界条件： 当 x1 0时，y1 0；x2 l时，y2 0 连续光滑条件：
当x1 x2 l时，y1 y2，1 2
代入以上积分公式中，解得：
Fl 2 5 Fl 2 Fl 3 C1 ，C2 ，D1 0，D2 12 EI 6 EI 4 EI
故挠曲线方程和转角方程分别为：
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为：v =f (x)
小变形
三、转角与挠曲线的关系：
df tg dx
f
(1)
§7-2
梁的挠曲线近似微分方程
M z ( x) EI z 1
(1)
小变形
3
一、挠曲线近似微分方程 x
M>0
f ( x) 0
f
1
二、结构形式叠加（逐段刚化法）
P
A C
q B
[例4] 按叠加原理求A点转角 和C点挠度。 解、① 载荷分解如图
a
P A
a
②
由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。
=
B
PA
A
q B
Pa 4 EI
2
Pa3 f PC 6 EI f qC 5qa 4 24 EI
+
qa3 qA 3EI
(顺时针)
转角为： C C1 C 2
Fl 2 Fl 2 9 Fl 2 8EI EI 8EI
说明：对于图(a)：BC段无内力，因而BC段不变形，BC段为
直线 。
[例6] 按叠加原理求C点挠度。 解：载荷无限分解如图
q0 C x 0.5L dx 0.5L b x
2bq0 dPq ( x)dx db L
、设计载荷：
常处于从属地位。特殊构件例外）
[例8] 图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长 a=200mm的正方形，均布载荷集度 q 40 kN/m ，弹性模量 E1=10GPa ， 钢 拉 杆 的 横 截 面 面 积 A=250mm2 ， 弹 性 模 量 E2=210GPa，试求拉杆的伸长量及梁跨中点D处沿铅垂方向的位 移。
解：静力分析，求出支座 A 点的约束反力及拉杆 BC 所受的
力。列平衡方程：
Fy RA FB 2q 0 mA 2 FB 2q 1 0 RA 40 KN , FB 40 kN
Fy RA RB F 0 RA 0.5F mA RB l F 1.5l 0 RB 1.5F
2．内力分析：分区段列出梁的弯矩方程：
1 M Fx1 1 2 3 M 2 F ( l x2 ) 2
P
A C
q B
Pa PA 4 EI
2
Pa3 f PC 6 EI f qC 5qa 4 24 EI
a
P A
a
qa3 qA 3 EI
=
B
③
叠加
A PA qA
a2 (3P 4qa) 12EI
+
q B
A
5qa4 Pa3 fC 24EI 6 EI
[例5] 试用叠加法求图示梁C截面挠度和转角。设梁的抗弯刚 度EI为常数。 （已知AB=BC=l/2）
④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。
[例1] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 解： 建立坐标系并写出弯矩方程 P L
M ( x) P( x L)
写出微分方程并积分
x
x
f 应用位移边界条件求积分常数
EIf M ( x) P( L x)
P L x
f
写出弹性曲线方程并画出曲线
f ( x)
P ( L x)3 3L2 x L3 6 EI
PL3 f max f ( L) 3EI
最大挠度及最大转角
PL2 max ( L) 2 EI
[例2] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 解：建立坐标系并写出弯矩方程
F 3 Fl 2 x1 x1 12EI 12EI y 2 3 F 3 1 5 Fl Fl 2 3 ( lx2 x2 ) x2 6 6 EI 4 EI EI 4
F 2 Fl 2 (x ) x1 1 1 4 EI 12EI 2 F 3 1 Fl 2 2 ( x2 ) ( lx2 x2 ) EI 2 2 3EI Fl 2 由此可知： A 1 ( x1 0) (逆时针方向 )； 12 EI 3 Fl 3 yC y2 ( x2 l ) (向下) 2 8 EI
目
§7–1 概述
录
§7–2 梁的挠曲线近似微分方程 §7–3 积分法计算梁的位移 § 7–4 § 7–5 叠加法计算梁的位移 梁的刚度校核
§7－１ 概 述
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。
一、度量梁变形的两个基本位移量 1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。 与 f 同向为正，反之为负。 P C x 2.转角：横截面绕其中性轴转 动的角度。用 表示，顺时 v f C1 针转动为正，反之为负。
1 EI f P ( L x) 2 C1 2
1 3 EIf (0) PL C2 0 6 1 2 EI (0) EI f (0) PL C1 0 2
1 2 1 3 C1 PL ; C2 PL 2 6
1 EIf P ( L x) 3 C1 x C2 6
支点位移条件：fA Βιβλιοθήκη 0 连续条件： 光滑条件：
fB 0
fC fC
fD 0
D 0
或写成 fC左 fC右
C C
或写成 C 左
C右
讨论：
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。
C1 D1
C1a C2 D1a D2
1 1 2 C1 D1 Pa ; C2 D2 Pa 3 2 6
写出弹性曲线方程并画出曲线
P 3 2 3 ( a x ) 3 a x a 6 EI f ( x) P 3a 2 x a 3 6 EI
对于图(b)有：
yC 2 M 0 l2 F l3 M0 l F l2 (向下)， C 2 (顺时针) 2 EI 2 EI EI EI
故梁C截面挠度为：yC yC1 yC 2
5 Fl 3 Fl 3 29 Fl 3 (向下) 48EI 2 EI 48EI
EIf ( x) M ( x)
§7-3
1.微分方程的积分
积分法计算梁的位移
EIf ( x) M ( x)
EI f ( x) ( M ( x)) dx C1
EIf ( x) ( ( M ( x)) dx)dx C1 x C2
2.位移边界条件 A C P B P D
(0 x a ) (a x L)
最大挠度及最大转角
a
P
Pa2 max (a) 2 EI f max Pa2 3L a f ( L) 6 EI
f
L
x
[例3] 试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并 求C截面挠度和A截面转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。 解：1．外力分析：求支座约束反力。 研究梁ABC，受力分析如图，列平衡方程：
1 2 P(a x) C1 EIf 2 D1
应用位移边界条件求积分常数
1 3 EIf (0) Pa C2 0 6 1 2 EI (0) Pa C1 0 2
f
a L
P
x
(a ) (a )
f (a ) f (a )
P( x a ) M ( x) 0 (0 x a) (a x L)
+
解：将原图分解成图(a) 和图(b)所示情况。 查表，对于图(a)有：
l l 2 F ( )3 F ( ) 3 2 F l F l 2 2 yB1 (向下)， B1 (顺时针) 3EI 24EI 2 EI 8EI
(b)
于是有：
l F l3 F l2 l 5 Fl 3 Fl 2 yC1 y B1 B1 ( ) ( ) , C1 B1 2 24EI 8EI 2 48EI 8 EI
M (x ) F 3 BC段：由于 y2 2 2 ( l x2 ) ，积分后得： EI EI 2
2 F 3 F 3 x2 2 ( x2 ) y ( l x2 )dx2 C2 ( lx2 ) C2 EI 2 EI 2 2 F 3 1 2 F 3 2 1 3 y2 ( x2 ) ( lx2 x2 )dx2 C2 x2 D2 ( lx2 x2 ) C2 x2 D2 EI 2 2 EI 4 6
梁的刚度校核
max
1 1 f (对土建工程 : ( ~ )) 250 1000 L
其中[]称为许用转角；[f/L]称为许用挠跨比。通常依此条 件进行如下三种刚度计算： 、校核刚度：
f
max
L
f L
max
、设计截面尺寸： (对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度
边界条件： 当 x1 0时，y1 0；x2 l时，y2 0 连续光滑条件：
当x1 x2 l时，y1 y2，1 2
代入以上积分公式中，解得：
Fl 2 5 Fl 2 Fl 3 C1 ，C2 ，D1 0，D2 12 EI 6 EI 4 EI
故挠曲线方程和转角方程分别为：
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为：v =f (x)
小变形
三、转角与挠曲线的关系：
df tg dx
f
(1)
§7-2
梁的挠曲线近似微分方程
M z ( x) EI z 1
(1)
小变形
3
一、挠曲线近似微分方程 x
M>0
f ( x) 0
f
1
二、结构形式叠加（逐段刚化法）
P
A C
q B
[例4] 按叠加原理求A点转角 和C点挠度。 解、① 载荷分解如图
a
P A
a
②
由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。
=
B
PA
A
q B
Pa 4 EI
2
Pa3 f PC 6 EI f qC 5qa 4 24 EI
+
qa3 qA 3EI
(顺时针)
转角为： C C1 C 2
Fl 2 Fl 2 9 Fl 2 8EI EI 8EI
说明：对于图(a)：BC段无内力，因而BC段不变形，BC段为
直线 。
[例6] 按叠加原理求C点挠度。 解：载荷无限分解如图
q0 C x 0.5L dx 0.5L b x
2bq0 dPq ( x)dx db L
、设计载荷：
常处于从属地位。特殊构件例外）
[例8] 图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长 a=200mm的正方形，均布载荷集度 q 40 kN/m ，弹性模量 E1=10GPa ， 钢 拉 杆 的 横 截 面 面 积 A=250mm2 ， 弹 性 模 量 E2=210GPa，试求拉杆的伸长量及梁跨中点D处沿铅垂方向的位 移。
解：静力分析，求出支座 A 点的约束反力及拉杆 BC 所受的
力。列平衡方程：
Fy RA FB 2q 0 mA 2 FB 2q 1 0 RA 40 KN , FB 40 kN
Fy RA RB F 0 RA 0.5F mA RB l F 1.5l 0 RB 1.5F
2．内力分析：分区段列出梁的弯矩方程：
1 M Fx1 1 2 3 M 2 F ( l x2 ) 2
P
A C
q B
Pa PA 4 EI
2
Pa3 f PC 6 EI f qC 5qa 4 24 EI
a
P A
a
qa3 qA 3 EI
=
B
③
叠加
A PA qA
a2 (3P 4qa) 12EI
+
q B
A
5qa4 Pa3 fC 24EI 6 EI
[例5] 试用叠加法求图示梁C截面挠度和转角。设梁的抗弯刚 度EI为常数。 （已知AB=BC=l/2）
④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。
[例1] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 解： 建立坐标系并写出弯矩方程 P L
M ( x) P( x L)
写出微分方程并积分
x
x
f 应用位移边界条件求积分常数
EIf M ( x) P( L x)
P L x
f
写出弹性曲线方程并画出曲线
f ( x)
P ( L x)3 3L2 x L3 6 EI
PL3 f max f ( L) 3EI
最大挠度及最大转角
PL2 max ( L) 2 EI
[例2] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 解：建立坐标系并写出弯矩方程
F 3 Fl 2 x1 x1 12EI 12EI y 2 3 F 3 1 5 Fl Fl 2 3 ( lx2 x2 ) x2 6 6 EI 4 EI EI 4
F 2 Fl 2 (x ) x1 1 1 4 EI 12EI 2 F 3 1 Fl 2 2 ( x2 ) ( lx2 x2 ) EI 2 2 3EI Fl 2 由此可知： A 1 ( x1 0) (逆时针方向 )； 12 EI 3 Fl 3 yC y2 ( x2 l ) (向下) 2 8 EI
目
§7–1 概述
录
§7–2 梁的挠曲线近似微分方程 §7–3 积分法计算梁的位移 § 7–4 § 7–5 叠加法计算梁的位移 梁的刚度校核
§7－１ 概 述
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。
一、度量梁变形的两个基本位移量 1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。 与 f 同向为正，反之为负。 P C x 2.转角：横截面绕其中性轴转 动的角度。用 表示，顺时 v f C1 针转动为正，反之为负。
1 EI f P ( L x) 2 C1 2
1 3 EIf (0) PL C2 0 6 1 2 EI (0) EI f (0) PL C1 0 2
1 2 1 3 C1 PL ; C2 PL 2 6
1 EIf P ( L x) 3 C1 x C2 6
支点位移条件：fA Βιβλιοθήκη 0 连续条件： 光滑条件：
fB 0
fC fC
fD 0
D 0
或写成 fC左 fC右
C C
或写成 C 左
C右
讨论：
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。
C1 D1
C1a C2 D1a D2
1 1 2 C1 D1 Pa ; C2 D2 Pa 3 2 6
写出弹性曲线方程并画出曲线
P 3 2 3 ( a x ) 3 a x a 6 EI f ( x) P 3a 2 x a 3 6 EI
对于图(b)有：
yC 2 M 0 l2 F l3 M0 l F l2 (向下)， C 2 (顺时针) 2 EI 2 EI EI EI
故梁C截面挠度为：yC yC1 yC 2
5 Fl 3 Fl 3 29 Fl 3 (向下) 48EI 2 EI 48EI
EIf ( x) M ( x)
§7-3
1.微分方程的积分
积分法计算梁的位移
EIf ( x) M ( x)
EI f ( x) ( M ( x)) dx C1
EIf ( x) ( ( M ( x)) dx)dx C1 x C2
2.位移边界条件 A C P B P D
(0 x a ) (a x L)
最大挠度及最大转角
a
P
Pa2 max (a) 2 EI f max Pa2 3L a f ( L) 6 EI
f
L
x
[例3] 试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并 求C截面挠度和A截面转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。 解：1．外力分析：求支座约束反力。 研究梁ABC，受力分析如图，列平衡方程：
1 2 P(a x) C1 EIf 2 D1
应用位移边界条件求积分常数
1 3 EIf (0) Pa C2 0 6 1 2 EI (0) Pa C1 0 2
f
a L
P
x
(a ) (a )
f (a ) f (a )
P( x a ) M ( x) 0 (0 x a) (a x L)