第四章_动态电磁场基本理论与准静态电磁场综述
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电磁场与电磁波 第4章
实际上，边界条件(即边值)除了给定电位在边界上的值
以外，也可以是电位在边界上的方向导数。根据不同形式的
边界条件，边值问题通常分为三类:
第一类边值问题，也叫狄利克雷(Dirichlet)问题: 给定整
个边界上的位函数值； 即
S f (r)
第二类边值问题，也叫诺伊曼(Neumann)问题: 给定边界
上每一点位函数的法向导数
n
S g(r)
第三类边值问题，也叫罗宾斯(Robins)问题，属于混合
型问题: 给定边界上电位和电位法向导数的线性组合，即在
边界面S上，
F(r)
n
也可以是给定一部分边界上的电位值，同时给定另一部分边 界上的电位法向导数。
给定导体上的总电量也属于第二类边值问题。 在分析时变场时，除了要知道边界条件，还必须知道一 个过程的起始状态。如果定解时，不需要起始状态，仅仅用 到边界上的函数值或函数的偏导数，就叫做边值问题。也就 是我们前面谈到的静态场的拉普拉斯方程或者泊松方程的边 值问题。如果定解时，不需要边界条件，仅仅用到起始状态 物理量的分布，就叫做初值问题。初值问题也叫做柯西 (Cauchy)问题。
4.2.3 拉普拉斯方程解的叠加原理 拉普拉斯方程解的叠加原理是拉普拉斯方程的另一个重
要特性。叠加原理是由拉普拉斯方程的线性特性导致的必然
结论。假设1和2均是拉普拉斯方程的解，则由这两个解的 线性组合C11+C22也是拉普拉斯方程的解。依次类推，若 1、2、…、n都满足拉普拉斯方程，则这些解的线性组合
整个区域内=0，即1≡2。
关于第二、三类边值问题，唯一性定理的证明和第一类 边值问题类似。附带指出，对于第二类边值问题，所得的电 场是唯一的，电位可以相差一个常数。
精品课件-电磁场与电磁波-第4章
BB2
a2 BA1
a2 a/2a
2a 3
q2
a BA1
q1
1q 3
第4章 静态场的解
依次类推，有
q3
1 4
q,
q4
1q 5
因而，导体系统的总电荷是
Q
2(q
q1
q2
)
2q(1
1 2
1 3
1 4
)
2q ln
2
导体面的电位是
V0
q
4π 0a
所以，这个孤立导体的电容是
C 8π0a ln 2
第4章 静态场的解 例4-4 若一个导体是由两个半径相同(均等于a)的部分 导体球组成，两个球面相交的夹角呈60°，如图4-5所示，试 证明这个旋转对称孤立导体的电容为
第4章 静态场的解 图4-2 接地导体拐角
第4章 静态场的解 4.3.2 球面镜像法
我们通过具体例题讨论球面镜像问题。 例4-2 如图4-3(a)所示，一个半径为a的接地导体球， 这个导体球外有一个点电荷q位于距离球心d处，求球外任一点 的电位。 解 我们先试探用一个镜像电荷q′等效球面上的感应面 电荷在球外区域产生的电位和电场。从对称性考虑，镜像电荷 q′应置于球心与电荷q的连线上，设q′离球心距离是b(b<a)， 这样，在球外任一点的电位是由电荷q与镜像电荷q′产生电位 的叠加，即
第4章 静态场的解 4.2.3 拉普拉斯方程解的叠加原理
拉普拉斯方程解的叠加原理是拉普拉斯方程的另一个重要 特性。叠加原理是由拉普拉斯方程的线性特性导致的必然结论。 假设j1和j2均是拉普拉斯方程的解，则由这两个解的线性组合 C1j1+C2j2也是拉普拉斯方程的解。依次类推，若j1、j2、…、 jn都满足拉普拉斯方程，则这些解的线性组合也必定是拉普拉 斯方程的解。这就是拉普拉斯方程解的叠加原理。
电磁场与电磁波基础(第4章)
即
这里
A E t
也是无约束的任意标量位函数
在非时变（静态）情况下,上式变为
E
4.4 利用场源 和 J 求解位函数 和 A
如图所示，对于静态点电荷来说，有
( R)＝
即
q 4 0 R
( R)＝间电荷分布时，我们需要引入另外一个矢量来描述 ，同时，将 与 有关的空间变量：假设这个矢量为 (r p) ，如图： 写成 (r )
当前源的位置
' t t ' r rp / c
z
原点
r
rp '
rp
( rp , t )
运动电荷 分布的途径
y
x
运动电荷的分布则为
(r , t )
1 4 0
V'
' (r , t | r rp | / c) dV ' ' | r rp |
A A E 所以 则有 E t t 更一般地，如果 是一个矢量函数，并且 ，则有 ＝0 A E t
B A
B E t
保证 ＝0 的唯一方法是 令 其中 是一个标量位函数
不是在同一个点，并且由于电磁场是以一个极限速度(光速
处的场并不是由t时刻的源产 r 生的，而是由在此之前的 t ' 的时刻的源所产生的。
场从源点传播到场 点所经历的时间是
场点
(r , t )
r rp ' R'
延迟源的位置
' ( r p , t ')
r rp R
这里
A E t
也是无约束的任意标量位函数
在非时变（静态）情况下,上式变为
E
4.4 利用场源 和 J 求解位函数 和 A
如图所示，对于静态点电荷来说，有
( R)＝
即
q 4 0 R
( R)＝间电荷分布时，我们需要引入另外一个矢量来描述 ，同时，将 与 有关的空间变量：假设这个矢量为 (r p) ，如图： 写成 (r )
当前源的位置
' t t ' r rp / c
z
原点
r
rp '
rp
( rp , t )
运动电荷 分布的途径
y
x
运动电荷的分布则为
(r , t )
1 4 0
V'
' (r , t | r rp | / c) dV ' ' | r rp |
A A E 所以 则有 E t t 更一般地，如果 是一个矢量函数，并且 ，则有 ＝0 A E t
B A
B E t
保证 ＝0 的唯一方法是 令 其中 是一个标量位函数
不是在同一个点，并且由于电磁场是以一个极限速度(光速
处的场并不是由t时刻的源产 r 生的，而是由在此之前的 t ' 的时刻的源所产生的。
场从源点传播到场 点所经历的时间是
场点
(r , t )
r rp ' R'
延迟源的位置
' ( r p , t ')
r rp R
五准静态电磁场
Jy(x)ey,于是得：
d 2 J y dx 2
jJ y
J0
J
令 K 2 j K j 1 j j
则
d 2J y dx 2
K 2J y
2
Jy C1eKx C2eKx
分析：第二项中，由于x 时，Jy是有限值，C2 0
若x＝0时，Jy J0 ， C1 J0
Jy J0eKx J0exe jx
屏蔽的效能用屏蔽系数S来表示，S = E/E0 电磁场的屏蔽往往只需屏蔽一个场量E或B。
二、薄导电板中的涡流
工频、音频（30～3kHz）变压器和交流电路的铁心通常由 相互绝缘的薄钢片叠成，以减小涡流损耗。
如图所示，厚度a很小（0.5mm），a<<l、a<<h
假定：
1）E、H和J近似为x的函数。
2）H = Hz(x,t)，E = Ey(x,t)、J = Jy(x,t)
B
3）H = Hz(x,t)按正弦规律变化，是MQS场。
t
B
A dl
A
B
d
A
(t)
i ( Ri
r
R)
L
di dt
1 C
idt
或 (t) U R U L UC
• 说明：路是场的近似，
• 基尔霍夫第二定律
实际问题中采用场或 路的方法进行计算，
需要根据具体条件。
§5-4 集肤效应
导体内通过交变电流时，周围、内部产生交变的磁场， 而交变的磁场产生感应电场，使导体内部的电流分布不均， 在靠近导体表面处电流密度增加，而内部电密减小，高频时 更趋于只有表面有电流通过，这种现象称为集肤效应。
E y E0exe jx
H z
电磁场与电磁波(电磁场理论)第四章ppt课件
其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量
解 E r(z,t)Re[erxjExmcos(kzz)ejt] Re[erxExmcos(kzz)ej(tπ 2)]
erxExmcos(kzz)cos(tπ 2)
e r x E x m c o s ( k z z ) s in (t)
例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为 E ( z ,t) E 1 ( z ,t) E 2 ( z ,t)
电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向 负载，如图所示。
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （理想导体情况）
穿过任意横截面的功率为
P SS re rzd Sa b2 π 2 U ln I(ba )2 π d U I
（2）当导体的电导率σ为有限值时，导体内部存在沿电流方
向的电场
r
所以 E r & m ( z ) e r x E x m e j ( k z x ) e r y E y m e j ( k z y π /2 )
(e rxE x m e jx e ryjE y m e jy)e jk z
（2）因为 c o s (k zt) c o s (t k z )
E r ( z ,t ) e r x E x m c o s (t k z x ) e r y E y m c o s (t k z y π 2 ) R e [ e r x E x m e j ( t k z x ) e r y E y m e j ( t k z y π /2 ) ]
erx0.03cos(108πtkzπ2)erx0.04cos(108πtkzπ/3)
Re[erx0.03ej(108πtkzπ/2)]Re[erx0.04ej(108πtkzπ/3)]
解 E r(z,t)Re[erxjExmcos(kzz)ejt] Re[erxExmcos(kzz)ej(tπ 2)]
erxExmcos(kzz)cos(tπ 2)
e r x E x m c o s ( k z z ) s in (t)
例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为 E ( z ,t) E 1 ( z ,t) E 2 ( z ,t)
电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向 负载，如图所示。
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （理想导体情况）
穿过任意横截面的功率为
P SS re rzd Sa b2 π 2 U ln I(ba )2 π d U I
（2）当导体的电导率σ为有限值时，导体内部存在沿电流方
向的电场
r
所以 E r & m ( z ) e r x E x m e j ( k z x ) e r y E y m e j ( k z y π /2 )
(e rxE x m e jx e ryjE y m e jy)e jk z
（2）因为 c o s (k zt) c o s (t k z )
E r ( z ,t ) e r x E x m c o s (t k z x ) e r y E y m c o s (t k z y π 2 ) R e [ e r x E x m e j ( t k z x ) e r y E y m e j ( t k z y π /2 ) ]
erx0.03cos(108πtkzπ2)erx0.04cos(108πtkzπ/3)
Re[erx0.03ej(108πtkzπ/2)]Re[erx0.04ej(108πtkzπ/3)]
工程电磁场第四章
时变场
因为 J D
t
t
所以 (J D ) 0 t
矢量恒等式
( H) 0
所以 H J D
t
l
H
dl
S
(J
D ) dS t
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lH
dl
S
(J
D ) t
dS
=
图4.1.7 交变电路用安培 环路定律
J dS i
S1
DdS dS q i
S2 t
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时变场的知识结构框图： 高斯定律 磁通连续性原理
电磁感应定律
Maxwell方程组
全电流定律
坡印廷定理与坡印廷矢量
正弦电磁场
动态位A ,
分界面上衔接条件
达朗贝尔方程
电磁辐射、传输线及波导
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本章要求
深刻理解电磁场基本方程组的物理意义，其中 包括位移电流的概念；
掌握动态位与场量的关系以及波动方程，理解 电磁场的滞后效应及波动性；
t
洛仑兹条件
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2 A
2 A t 2
J
2
2
t 2
思考
达朗贝尔方程 (Dalangbaier Eguation)
确定了 A 的值，与 B A共同确定 A；
简化了动态位与场源之间的关系;
若场量不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程
2 A J
2 /
洛仑兹条件是电流连续性原理的体现。
t
(E A) 0 t
E A
t
A, 称为动态位，是时间和空间坐标的函数。
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由 H J D
t
由 D
经整理后，得
电磁场与电磁波(第四章)
b) a
x)sh( n
a
y)
a
例题二：如图所示，水平放置的两块半无穷大金属块接地，
铅直放置的金属板与它们绝缘，并保持电势U。求三块板之
间接求解法 镜像法
第一节 唯一性定理
一、边值问题 存在边界面的电磁问题。 根据给定边界条件对边值问题分类：
第一类边值问题：已知整个边界面上的电位函 数分布值。
f S
第二类边值问题：已知在整个边界面上的电位 函数法向导数。
f n S
第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部 分边界面上的电位函数值，和另一部分边界面上电 位函数的法向导数。
f (x) c1x c2
2）当 kx为实数（即kx2 0）时，解为三角函数形式
f (x) A1 sin(kx x) A2 cos(kx x)
3）当 kx 为虚数（即kx2 0）时，解为双曲函数或实函数 的指数函数
设 kx j x 则： f (x) B1 sh(x x) B2ch(x x)
f ''(x) g ''( y) h ''(z) 0 f (x) g( y) h(z)
上式成立的条件是三项中每项都为常数，即：
f f
''(x) (x)
kx2
g ''( y) g( y)
k
2
y
h ''(z) h(z)
k
2
z
则： f ''(x) kx2 f (x) 0
g
''(
n
a
x
kx2
k
x)sh( n
a
y)
a
例题二：如图所示，水平放置的两块半无穷大金属块接地，
铅直放置的金属板与它们绝缘，并保持电势U。求三块板之
间接求解法 镜像法
第一节 唯一性定理
一、边值问题 存在边界面的电磁问题。 根据给定边界条件对边值问题分类：
第一类边值问题：已知整个边界面上的电位函 数分布值。
f S
第二类边值问题：已知在整个边界面上的电位 函数法向导数。
f n S
第三类边值问题（混合边值问题）：已知一部 分边界面上的电位函数值，和另一部分边界面上电 位函数的法向导数。
f (x) c1x c2
2）当 kx为实数（即kx2 0）时，解为三角函数形式
f (x) A1 sin(kx x) A2 cos(kx x)
3）当 kx 为虚数（即kx2 0）时，解为双曲函数或实函数 的指数函数
设 kx j x 则： f (x) B1 sh(x x) B2ch(x x)
f ''(x) g ''( y) h ''(z) 0 f (x) g( y) h(z)
上式成立的条件是三项中每项都为常数，即：
f f
''(x) (x)
kx2
g ''( y) g( y)
k
2
y
h ''(z) h(z)
k
2
z
则： f ''(x) kx2 f (x) 0
g
''(
n
a
x
kx2
k
电磁场与电磁波理论PPT第4章
4-29
《电磁场与电磁波理论》
第3章静电场及其边值问题的解法
例4.1.1 设在电导率为
的无限大均匀导电媒质中存在着 。若在此媒质中放入一
均匀恒定电流，其体电流密度为
个半径为
线与
，电导率为
的无限长直的导体柱，柱体的轴
的方向垂直。试求该导体柱内的电流密度 。
解：采用静电比拟法来求解这一恒定电场问题。 ◘ 相对应的静电场问题——在介电常数为 介质中放入一个半径为 、介电常数为 的无限大的理想 的无限长直的介
4-26
《电磁场与电磁波理论》
第4章恒定电场与恒定磁场
4.2.3
恒定电场的静电比拟法
♥ 导体内（源区除外）恒定电场基本方程以及边界条件与理 想介质内（源区除外）静电场的基本方程和边界条件 源外的恒定电场 场方程 结构方程 位函数方程 无源区的静电场
边界条件
4-27
《电磁场与电磁波理论》
第4章恒定电场与恒定磁场
第4章恒定电场与恒定磁场
4.3.1
恒定磁场的基本方程
♥ 恒定磁场与静电场的比较
◘ 方程 描述了恒定磁场的旋度特性。它表明，在空 间的任一点上，磁场强度的旋度等于该点的恒定电流密度， 即恒定磁场是一个有旋场。在静电场中，电场强度的旋度 处处为零，是一个无旋场。
◘ 方程 描述了恒定磁场的散度特性。它表明，在空间 的任一点上，磁感应强度的散度都等于零，即恒定磁场是 一个无源场。在静电场中，电位移的散度等于该点的体电 荷密度，是一个有源场。 ◘ 也就是说，在静电场中，电力线起于正电荷止于负电荷， 是一些有头有尾的曲线。在恒定磁场中，不存在作为“源” 的磁荷，磁力线是一些无头无尾的闭合曲线。
（4.1.3）
——媒质的电导率
《电磁场与电磁波理论》
第3章静电场及其边值问题的解法
例4.1.1 设在电导率为
的无限大均匀导电媒质中存在着 。若在此媒质中放入一
均匀恒定电流，其体电流密度为
个半径为
线与
，电导率为
的无限长直的导体柱，柱体的轴
的方向垂直。试求该导体柱内的电流密度 。
解：采用静电比拟法来求解这一恒定电场问题。 ◘ 相对应的静电场问题——在介电常数为 介质中放入一个半径为 、介电常数为 的无限大的理想 的无限长直的介
4-26
《电磁场与电磁波理论》
第4章恒定电场与恒定磁场
4.2.3
恒定电场的静电比拟法
♥ 导体内（源区除外）恒定电场基本方程以及边界条件与理 想介质内（源区除外）静电场的基本方程和边界条件 源外的恒定电场 场方程 结构方程 位函数方程 无源区的静电场
边界条件
4-27
《电磁场与电磁波理论》
第4章恒定电场与恒定磁场
第4章恒定电场与恒定磁场
4.3.1
恒定磁场的基本方程
♥ 恒定磁场与静电场的比较
◘ 方程 描述了恒定磁场的旋度特性。它表明，在空 间的任一点上，磁场强度的旋度等于该点的恒定电流密度， 即恒定磁场是一个有旋场。在静电场中，电场强度的旋度 处处为零，是一个无旋场。
◘ 方程 描述了恒定磁场的散度特性。它表明，在空间 的任一点上，磁感应强度的散度都等于零，即恒定磁场是 一个无源场。在静电场中，电位移的散度等于该点的体电 荷密度，是一个有源场。 ◘ 也就是说，在静电场中，电力线起于正电荷止于负电荷， 是一些有头有尾的曲线。在恒定磁场中，不存在作为“源” 的磁荷，磁力线是一些无头无尾的闭合曲线。
（4.1.3）
——媒质的电导率
工程电磁场导论准静态电磁场和边值问题知识点
工程电磁场导论准静态电磁场和边值问题知识点一、知识概述准静态电磁场和边值问题①基本定义：- 准静态电磁场呢，简单说就是一种近似的电磁场情况。
在一些情况下，电磁场变化不是那么快，就可以把它当作准静态的。
比如说电场或者磁场的变化率相对比较小的时候，就像是大家走路的时候一步一步慢慢走，而不是跑来跑去那种很剧烈的变化。
电场准静态的时候，可以近似用静电场的一些方法去分析，磁场准静态的时候也类似能用上一些静磁场的办法。
边值问题呢，就是在给定的边界条件下，去求解电磁场的问题。
就好比你要在一个限定的区域里，根据这个区域四周的情况来确定里面电磁场是啥样的，这个区域周围的情况就是边界条件。
②重要程度：- 在工程电磁场导论这个学科里，这可是很重要的一部分呢。
因为实际工程中很多电磁场的情况都可以用准静态的概念简化分析，让复杂的问题变得好理解一些。
边值问题相当于把电磁场的理论和实际应用连接起来的一座桥，如果搞不定边值问题，很多实际工程中的电磁场就没法准确计算和设计。
③前置知识：- 得先掌握静电场、静磁场的基本概念和计算方法。
比如说库仑定律得知道吧，安培定律这些也得有个印象。
就像你要学烧复杂的菜，那得先把切菜洗菜、基本的煎炒烹炸先学会。
④应用价值：- 在电气设备的设计里经常用到。
比如电机的电磁场分析，就可以用准静态电磁场的概念简化计算。
还有像变压器的设计，要考虑铁芯周围的磁场分布，这时候就会涉及到边值问题。
如果这些搞不清楚，电机可能性能就不好，变压器效率也上不去。
二、知识体系①知识图谱：- 准静态电磁场和边值问题在工程电磁场导论这个学科里就像是大树的树干分出来的一个大树枝。
它跟之前学的静电场、静磁场有联系，又为后面学习更复杂的时变电磁场打基础。
②关联知识：- 和麦克斯韦方程组里的各个方程关系密切。
像准静态电磁场很多时候就是在麦克斯韦方程组在特殊情况下的一种反映。
和电磁感应原理也有关联，因为磁场变化产生感应电场之类的。
③重难点分析：- 重点是确定不同情况下的准静态电磁场的近似条件，还有就是高效准确地根据边界条件求解边值问题。
电磁场与电磁波 第四章
2018/7/25 第4章 时变电磁场 27
4. 2 电磁场的位函数
利用洛仑兹条件 A t 2 A 2 A 2 J 可得 t 2 1 2 2 t
这是在洛仑兹条件下，矢量位 A 和标 量位 所满足的微分方程（非齐次波 动方程），称为达朗贝尔方程。
24
4. 2 电磁场的位函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
达朗贝尔方程 (动态位的微分方程) 在有源空间，线性、各向同性、均匀、 无损耗媒质中， 将 B A 和
代入 B J E
t
A E t
有 A J A ( ) 2 t t
2018/7/25
第4章 时变电磁场
4. 1 波动方程 4. 2 (时变)电磁场的(动态)位函数 4. 3 电磁能量守恒定律 4. 4 (时变电磁场的)惟一性定理 4. 5 时谐电磁场
2018/7/25
第4章 时变电磁场
5
4. 1 波动方程
麦克斯韦方程 ( 一阶矢量偏微分方程组， 描述电场与磁场间的相互作用关系 。)
2 1 E 2 E 2 2 0, v t
2018/7/25
v 1
9
第4章 时变电磁场
4. 1 波动方程
在直角坐标系中，波动方程可以分解 为三个标量方程。 如电场的波动方 程可分解为
2 Ex 2 Ex 2 Ex 2 Ex 2 0 2 2 2 x y z t 2 Ey x
第4章 时变电磁场
由麦克斯韦方程出发，讨论时变电 磁场的普遍规律 : 描述时变电磁场 在空间传播的波动方程、有助于简 化时变电磁场问题求解的动态位函 数、描述电磁能量在空间流动的坡 印廷矢量和坡印廷定理、体现电磁 波的基本特性的时谐电磁波。
4. 2 电磁场的位函数
利用洛仑兹条件 A t 2 A 2 A 2 J 可得 t 2 1 2 2 t
这是在洛仑兹条件下，矢量位 A 和标 量位 所满足的微分方程（非齐次波 动方程），称为达朗贝尔方程。
24
4. 2 电磁场的位函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
达朗贝尔方程 (动态位的微分方程) 在有源空间，线性、各向同性、均匀、 无损耗媒质中， 将 B A 和
代入 B J E
t
A E t
有 A J A ( ) 2 t t
2018/7/25
第4章 时变电磁场
4. 1 波动方程 4. 2 (时变)电磁场的(动态)位函数 4. 3 电磁能量守恒定律 4. 4 (时变电磁场的)惟一性定理 4. 5 时谐电磁场
2018/7/25
第4章 时变电磁场
5
4. 1 波动方程
麦克斯韦方程 ( 一阶矢量偏微分方程组， 描述电场与磁场间的相互作用关系 。)
2 1 E 2 E 2 2 0, v t
2018/7/25
v 1
9
第4章 时变电磁场
4. 1 波动方程
在直角坐标系中，波动方程可以分解 为三个标量方程。 如电场的波动方 程可分解为
2 Ex 2 Ex 2 Ex 2 Ex 2 0 2 2 2 x y z t 2 Ey x
第4章 时变电磁场
由麦克斯韦方程出发，讨论时变电 磁场的普遍规律 : 描述时变电磁场 在空间传播的波动方程、有助于简 化时变电磁场问题求解的动态位函 数、描述电磁能量在空间流动的坡 印廷矢量和坡印廷定理、体现电磁 波的基本特性的时谐电磁波。