第4节 电子自旋与轨道运动的相互作用
原子物理学教学大纲(1)
《原子物理学》教学大纲课程性质：专业基础课程先修课程：力学、电磁学、光学总学时：60 学分：3.5理论学时：60 实验学时：实验纳入《近代物理实验》课程开课学院：物电学院适用专业：物理学大纲执笔人：凤尔银大纲编写时间：2007年元月教研室主任审核：凤尔银教学院长审定：一、说明1、课程的性质、地位和任务原子物理学为物理学专业的必修课，是物理学专业的一门重要基础课。
本课程的主要目标和任务是：以原子结构为中心，以实验事实为线索，了解原子和原子核层次的物质结构及运动和变化规律，揭示宏观现象与规律的本质。
介绍有关问题所需要的量子力学基本概念，阐述物质微观结构三个层次的物理过程、研究方法，培养创新思维。
使学生对物质世界有更深入的认识，获得在本课程领域内分析和处理一些最基本问题的初步能力。
2、课程教学的基本要求通过本课程的学习，力图使学生初步建立描述微观世界的物理图像，理解适应微观世界的新概念，掌握处理微观世界物理问题的新方法，为后续《量子力学》课程的学习打下一定的基础；本课程涉及知识面较广，讲授时要针对实际情况，对内容加以选择，尽量做到详略得当，让学生既能较全面，又能较深刻地理解和掌握。
课程教学中，要结合有关内容，适当将一些背景材料和物理学史引入教学，以利于加深对新知识的理解和把握。
同时，通过介绍二十世纪初物理学家，在解决经典物理学应用于微观粒子体系遇到困难时的大胆探索、勇于出新的思想脉络，使学生受到创新意识和创新精神方面的熏陶和教育，提高学生分析问题和解决问题的能力。
使学生了解物理学家对物质结构的实践——理论——再实践的认识过程，引导学生养成严谨、活跃、创新的思维方式和学习方法。
3、本课程的重点与难点重点：培养学生初步建立微观世界的物理图像，掌握描述原子结构的基本概念、基本原理和方法；掌握认识原子世界的基本规律，以便从思想和方法上做好准备，为今后学习量子力学打下基础。
难点：由于原子物理学课程是学生第一次系统的接触到的近代物理学的理论体系，它的许多概念、观点与学生长期形成的观念不相符合。
原子物理学褚圣麟第四、五章复习
第四章：碱金属原子和电子自旋锂、钠、钾、铷、铯、钫化学性质相仿、都是一价、电离电势都比较小，容易被电离，具有金属的一般性质。
一、碱金属原子的光谱1、四个线系（锂为例）：其他碱金属光谱系相仿，只是波长不同主线系:波长范围最广，第一条线是红色的，其余在紫外，系限2299.7埃；第一辅线系（漫线系）：在可见部分；第二辅线系（锐线系）：第一条线在红外，其余在可见部分；伯格漫线系（基线系）：全在红外。
2、巴尔末氢原子光谱规律： ,5,4,3),1-21(1~22===n nR v H λ 碱金属原子光谱：2*∞-~~nR v v n = R 为里德伯常数，当，所以∞v ~是线系限的波数，且有效量子数*n 不是整数，Δ==-*n TR n 3、碱金属原子的光谱项：22*Δ)-(n R n R T == 4、同一线系的有效量子数与主量子数差别不大；与某一量子数对应不同线系的有效量子数差别明显，引进角量子数加以区分：5、每一线系线系限波数恰好是另一线系第二谱项值中最大的那个。
共振线：主线系第一条。
6、碱金属原子氢原子能级的比较n 很大时，碱金属原子能级 很接近氢原子能级；n 较小时，碱金属原子能级 与氢原子能级相差大; 且n 相同，l 不同的能级高低差别很大。
二、原子实极化和轨道贯穿：原子=原子实+价电子1、原子实：碱金属原子中的电子具有规则组合，共同点是在一个完整的结构之外，多余一个电子，这个完整而稳固的结构称为原子实。
由于原子实的存在，发生原子实的极化和轨道在原子实中的贯穿。
2、价电子：原子实外的那个电子称作价电子。
价电子在较大的轨道上运动，与原子实结合不是很强，容易脱离。
它决定元素的化学性质，在较大的轨道上运动。
3、原子实的极化：由于价电子的电场的作用，原子实中带正电的原子核和带负电的电子的中心发生微小相对位移，于是负电的中心不再在原子核上，形成一个电偶极子。
① 角量子数l 小：轨道偏心率大(椭圆)，极化强，能量影响大；② 角量子数l 大：轨道偏心率小(接近圆)，极化弱，能量影响小。
第四章 电子的自旋
在原子内部，有两种角动量 L 和 S
必然存在一个总角动量以及相 应的磁矩。
s 与s
l 与 l
分别共线，合成后
j ls
l s
三、 总角动量
电子的运动=轨道运动+自旋运动
电子有轨道角动量l，又有自旋角动量s，所以电子的 总角动量是
总自旋角动量： S Si
i e e Li L 总轨道磁矩： l li 2m i 2m i
i
总自旋磁矩：
e e s si S i S m i m i
总角动量： J L S
总磁量子数 m j j, j 1,, j 1, j.共2j1个值
对于单电子s＝1/2,所以
1 1 1 l 0, j ; l 0, j l , l 取两个值 2 2 2
例如：当
1 3 l 1 时， j 1 2 2
1 1 j 1 2 2
h h L l (l 1) 2 2 2
h 3 h S s( s 1) 2 2 2
J
h 15 h 3 h j ( j 1) , 2 2 2 2 2
J 2 L2 S 2 2LS cos
J 2 L2 S 2 j ( j 1) l (l 1) s( s 1) cos 2 LS 2 l (l 1) s( s 1)
e L l (l 1) B 2m
外场方向投影：
共
z cos ml B
2l 1 个奇数，但实验结果是偶数。
电子自旋及轨道运动相互作用
电子自旋及轨道运动相互作用摘要：通过对实验事实的简单介绍，引入电子自旋的概念，并逐渐深入，对其进行进一步阐述。
说明电子自旋的特点，以及它和轨道运动之间的相互作用和能量的计算。
此外，还简要说明电子自旋与能级的分裂之间的关系，以及塞曼效应。
关键词：电子自旋轨道运动角动量能级0 引言许多实验事实证明电子具有自旋，下面叙述的斯特恩—革拉赫实验（Stern-Gerlach）实验是其中一个。
图1 斯特恩-革拉赫实验图2一个角动量为、磁矩为的陀螺在磁场中进动频率的矢量图图1中由O射出的处于s态的氢原子束通过狭缝和不均匀磁场，最后射到照相片P上，实验结果是相片上出现两条分立的线。
这说明氢原子具有磁矩，所以原子束通过非均匀磁场时受到力的作用而发生偏转；而且由分立线只有两条这一事实可知，原子的磁矩在磁场中只有两种去向，即它们是空间量子化的。
这可有下面的讨论看出。
假设原子的磁矩为M ，它在沿竖直方向z轴的外磁场B中的势能为：■式中■是原子磁矩M和外磁场之间的夹角。
原子在z方向所收到的力是：■如果原子磁矩在空间可以取任何方向的话，cos■应当可以从+1连续变化到-1，这样在照相片上应该得到一个连续的带，但实验结果只有两条分立的线，对应于cos■=+1和cos■=-1。
1 电子自旋为了说明见金属原子能级的双层结构，G.Uhlenbeck和S.A.Goudsmit在1925年首先提出，可以设想电子具有某种方式的自旋，其角动量等于（1/2）（h/2π）。
这个自旋角动量是不变的，是电子的属性之一，所以也称电子的固有矩。
电子既有某种方式的转动而电子是带负电的，因而它也具有磁矩，这磁矩的方向同上述角动量的方向相反。
每个电子具有自旋磁矩■，它和自旋角动量■的关系是：■ （1.1）式中-e是电子的电荷，μ是电子的质量。
■在空间任意方向上的投影只能取两个数值：■ （1.2）■是玻尔磁子。
由（1.1）式，电子自旋磁矩和自旋角动量之比是：■（1.3）这个比值称为电子自旋的回旋磁比率。
《原子物理学》(褚圣麟)第四章 碱金属原子和电子自旋
波数 （cm-1 ）
40000
30000
20000
10000
2500
3000
4000 5000 6000 7000 10000 20000
图 锂的光谱线系
波长（埃）
每个线系的每一条光谱线的波数都可以表式为两个光 谱项之差：
~n
~
R n2
• 等式右边的第一项是固定项，它决定线系限及末态。第二
项是动项，它决定初态。
多个角动量相加，由二二相加得到。
四、碱金属原子态符号n2ຫໍສະໝຸດ 2s+1L
j
j=+1/2 j=-1/2
0,1, 2, 3, 4, 5, S,P, D, F, G
n j 价电子的状态符号 原子态符号
1
碱
10
2
1s
金
1
属
02
2s
原2
1
子
12
2p
态 的 符
3
2
2p
号
01
2
3s
2S1
2
2S1
2
2 P1
2
2 P3
厘米-1
s =0
5 4
3
p =1
5 4
3
d =2
5 4
3
f =3
5 4柏
格 曼 系
H 567 4 3
2 2
2
四组谱线 三个终端 两个量子数 一个跃迁条件
图 3.2 锂原子能级图
特点：
（1）能量由（n, ）两个量子数决定，主量 子数相同，角量子数不同的能级不相同。
（2）n相同时能级的间隔随角量子数的增大 而减小， 相同时，能级的间隔随主量子数随 n的增大而减小。
第四章碱金属原子和电子自旋(1)
锂的光谱线系
目录
二、四个线系的经验公式
R R T = *2 = n (n- ∆l )2
n∗ = n −
En ,l
R = − hc 2 (n − ∆ l )
R E n = -h c ⋅ 2 n
)
( 氢原子 氢原子:
s 0 10000 20000 2 5 4 3 l=0 5 4 3
p l=1 5 4 3
d l=2 5 4
f l=3
柏 格 曼 系
H
∞ 7 6 5 4 3
2
30000
40000
厘米-1
2 锂原子能级图
目录
主线系: 主线系:
R R % ν = − 2 (2 −∆S ) (n −∆p )2
，n = 2, 3, 4…
R R − 第二辅线系： % 第二辅线系： ν = 2 (2 −∆p ) (n −∆s )2
目录
对于氢原子， 有关， 对于氢原子，能量只与 n 有关，n 给定 后，有 n 个 l ，每一个 l 有 2 l+1 个 ml 所以氢原子的一个能级 En 对应于 2 个 对应于n 不同的状态，我们称这种现象为简并， 不同的状态，我们称这种现象为简并，相应 的简并度。 的状态数称为能级 En 的简并度。
目录
二、价电子绕原子实运动的情况 1.价电子远离原子实运动 1.价电子远离原子实运动 很大的轨道上运动， 相当于价电子在 n 很大的轨道上运动，价电子 与原子实间的作用很弱，原子实电荷对称分布， 与原子实间的作用很弱，原子实电荷对称分布，正负 电荷中心重合在一起。有效电荷为 ， 电荷中心重合在一起。有效电荷为+e，价电子好象处 在一个单位正电荷的库仑场中运动， 在一个单位正电荷的库仑场中运动，与氢原子模型完 全相似，所以光谱和能级与氢原子相同。 全相似，所以光谱和能级与氢原子相同
(完整版)原子物理试题集及答案
第一章填空1、（ ）实验否定了汤姆逊原子结构模形。
答：（α粒子散射）。
2、原子核式结构模型是（）。
3、夫兰克—赫兹实验证明了（ ）答原子能级的存在。
4、德布罗意波的实验验证是（ ）答电子衍射实验。
选择题1、原子核式模型的实验依据是：（只选一个）（A ）α粒子散射实验。
（B ）光电效应，（C ）康谱顿效应，（D ）夫兰克—赫兹实验。
答（A ）2、α粒子散射实验实验得到的结果：（A ）绝大多数α粒子的偏转角大于90。
，（B ）只有1/800的α粒子平均在2—3度的偏转角。
（C ）只有1/800的α粒子偏转角大于90。
，其中有接近180。
的。
（D ）全部α粒子偏转角大于90。
答（C ）第二章填空1、光谱的类型（ ）光谱、 （ ）光谱 ， （ ）光谱。
答：线状、带状，连续。
2、巴耳末线系的可见光区中的四条谱线颜色是（ ）、 （ ）、（ ）、（ ） 答；（红、深绿、青、紫）3、氢原子光谱的前4个谱线系是（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。
答“（赖曼系，巴巴耳末、帕邢、布喇开）4、玻尔理论的三个假设是（1）、（（2）（ ）（3）（ ）5、能级简并是指（n 个状态的能量是相同的状况）6、氢原子和类氢离子在不考虑相对论效应时能级是（简并）的，简并度为（n ）7、当氢原子和类氢离子在不考虑相对论效应时，在n=3的能级中可能有多少个不同状态的椭圆轨道？（答案3个）（可作填空或选择）8、氢原子的玻尔半径a 0=0.529A,在n=2能级的椭圆轨道半长轴为（ ）A ，半短轴分别为（ ）A 、（ ）A 。
解：根据半长轴20a a nZ =可得： 2.116a =A 因1,2n φ= 由n b a n φ=得 b 1=1.053A, b 2=2.116A9在气体放电管中，用能量为12.1eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子能量中能是（A ）12.1eV , (B)10.2 Ev .（C ）12.1 eV 、 10.2 eV 、19 eV ，（D ）12.1 eV 、 10.2 eV 、3.4 eV . 答案(C)10在气体放电管中，用能量为12.1eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的普线有( )条答案(3)问答5、玻尔理论是建立在物理学那三方面的基础上？答（1）光谱的实验资料和经验规律，（2）以实验基础的原子核式结构模型，（3）从黑体辐射的事实发展出来的量子论。
原子物理学第4章
价电子的轨道：n ≥ 2
Li： Z=3=212+1 Na：Z=11=2(12+22)+1 K： Z=19=2(12+22+22)+1 Rb：Z=37=2(12+22+32+22)+1 Cs：Z=55=2(12+22+32+32+22)+1 Fr：Z=87=2(12+22+32+42+32+22)+1
3、Na原子的能级与能级跃迁
主线系：从l=1的p态→n=3, l=0的3s态, n=3,4… 锐线(二辅)系：从l=0的s态→n=3, l=1的3p态, n=4,5… 漫线 (一辅)系：从l=2的d态→n=3, l=1的3p态, n=4,5… 基线(柏格曼)系：从l=3的f态→n=3, l=2的3d态, n=4,5,6…
Rhc En 2 (n D l )
-e
●
r Rnl
●
2
2
21
20
n=2
r r1
图4-5、轨道的贯穿
0
4
r Rnl
2
2
32
31
30
n=3
r r1
0 9
l 越小，电子波 函数靠近核的概率 越大，贯穿的几率 越大，能量越低
小结：碱金属原子光谱
1、实验规律:
所有的碱金属原子的光谱，具有相仿的结构，实验观 察的谱线一般分为四个线系。
~D相同而n不同的光谱 和
R R 2、碱金属原子的光谱项： Tnl 2 n (n D l ) 2
• 量子数亏损：D l
nn
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设电子自旋角动量为： ps s 电子自旋角动量的取向数为： 2s 1 2
1 s 2
电子自旋的两个取向一个顺磁场，另一个反磁场。即在磁场方 向的角动量分别为: 1 2
价电子的轨道角动量和自旋角动量合成价电子的总角动量，由 于原子实的总角动量为零（后面的课程将介绍），原子的总角 动量等于价电子的总角动量。
n
RNa 2.9901 T3 D
n Z n
RNa 2 Z 2 T 3 3.655(m1 ) n l (l 1)
三个角动量就有如图的关系
电子自旋磁矩在轨道运动的磁场作用 下，应该绕着该磁场旋进。 从另一方面考虑，轨道运动也受到自 旋磁场的作用，也必须绕该磁场旋进。 按照角动量守恒原理，总角动量的方 向不变，因此ps和pl绕pj旋进，由于pj 是个守恒量，ps和pl的夹角不变。 附加运动引起附加能量，这是碱金属 能级精细结构的原因。
ps 和pl 就不能 平行或反平行
例如 l＝1，j＝1+1/2＝3/2，或 j＝1-1/2＝1/2
1 3 pl 2 1.41 , ps 0.87 , 2 2
pj
B
B
pj
3 5 pj 1.94 , 2 2
ps
s
s
j 3 2 j 1 2
ps
1 3 0.87 , 或 pj 2 2
pj
pl
ps
电子自旋角动量和轨道 角动量绕总角动量旋进
2.自旋—轨道相互作用能
电子自旋运动而具有自旋磁矩：
e e 1 3 h he s ps 3 1.7 B m m 2 2 2 4m
u
Z*e
B
r
Z*e
PS
B
-e
电子感受到的磁场： 0 Z ev 1 Z e pl B sin 2 4 0 m c2 r 3 4 r 如图，由余弦定理得：
r -e
m
B
u
pj
B
cos
p p p
2 j 2 l
2 s
pj
2 pl ps
ps
s
自旋—轨道相互作用能为：
2 2 2 1 e Z e 1 p j pl ps El ,s s B cos 40 m mc2 r 3 2
s
j 3 2 j 1 2
ps
考虑相对论效应后：
hcR 2 Z 4 El s 3 1 2n l (l ) 2
________
hcR 2 Z 4 El s 3 1 2n (l )l 1 2
________
hcR 2 Z 4 El s 3 1 2n l (l ) 2
________
1 r是一个变量，根据量子力学，可求得 3 的平均值，于是： r
hcR 2 Z 4 j 2 l 2 s 2 El,s 1 2 n3l (l )l 1 2
________
hcR 2 Z 4 El s 3 1 2n (l )l 1 2
________
3．双层能级中，j值较大的能级较高。
3．碱金属原子态符号
2
2s+1
Lj
j=+1/2 j=-1/2
0,1, 2, 3, 4, 5, S,P, D, F, G
4. 单电子辐射跃迁的选择定则
单电子辐射跃迁的选择定则
从碱金属原子的光谱中，可以得出这样的结 论，能级的跃迁只能发生在下列条件下:
l 1, j 0, 1
实验装置示意图
二、电子的自旋 美国物理学家克罗尼格（R.L.Kroning)提出电子绕自 身的轴自旋的模型，并作了一番计算。并急忙去找泡 利，但遭到泡利的强烈反对，并对他说：“你的想法 很聪明，但大自然并不喜欢它”。因泡利早就想到过 这一模型，并计算出电子速度要超过光速。所以必须 放弃。 半年后，荷兰物理学家埃斯费斯特的两个学生乌仑贝克和古德 史密特（G.E.Uhlenbeck and S.A.Goudsmit)在不知上述情形下， 也提出了同样的想法，并写了一篇论文，请埃斯费斯特推荐给 “自然”杂志。并将论文寄出。接着又去找洛仑兹，洛仑兹热 情地接待了他们。但一周后，洛仑兹交给他们一叠稿纸。并告 诉他们，如果电子自旋，其表面速度将超过光速，但论文已寄 出，他们后悔不已。
总角动量为：
pj
pl ps (l s) j ( j l s)
pl ps (l s) j ( j l s)
电子自旋角动量引起的 能量附加值为：
pl
B
ps
pl
B
s
ps
Els s B cos
a图（较大的j）的能量大于 b图（较小的j）的能量，附 加能量引起双层能级。
讨论：
2 4 hcR Z 双层能级的间隔： E n3l l 1
1．能级由n、j、l三个量子数决定， 当l=0时，j=s，能级不分裂； 1 当时 l 0，j l ，能级为双层。 2 2. 能级分裂的间隔由n、l决定
E 小，即 E4 p E4 d E4 f 当n一定时，l 大， E 小，即 E2 p E3 p E4 p 当l一定时，n 大，
2D 3/2
2P 1/2
2P 3/2 2D 3/2 2D 5/2
l 1, j 0,1
三线结构
l 1, j 0,1
三线结构
以上是量子力学对碱金属光谱精细结构的理论解释。
例 Na 原子光谱中得知其3D 项的项值T3D=1.2274×106m-1， 试计算该谱项之精细结构裂距。
已知 T3D=1.2274×106m-1 ， RNa=1.0974×107m-1
2 2 2 p p p 1 1 e Ze 1 j l s El ,s 2 4 0 m mc2 r 3 2
2 e 2 4 0ch 2 2 m e 4 R (4 0 ) 2 ch3
1 Z e2 h2 1 j 2 l 2 s2 40 2m2c 2 4 2 r 3 2
碱金属光谱的精细结构
2P 1/2
2P 3/2
选择定则
2S 1/2
2P 1/2 2P 3/2
主线系
l 1, j 0,1
双线结构
锐线系 2S （第二辅线系） 1/2
漫线系 （第一辅线系） 2D5/2 基线系 （柏格曼系） 2F7/2
2F 5/2
l 1, j 0, 1
双线结构
§ 4.4 电子自旋同轨道的相互作用
一、施特恩—盖拉赫实验 1921年施特恩和盖拉赫用实验证明了原子具有磁矩，磁矩的数 值和取向是量子化的。
银原子的实验结果： 当B=0时，P上只有一条细痕， 磁矩不受力的作用。 当B均匀时，P上仍只有一条 细痕，磁矩不受力的作用。 当B不均匀时，P上有两条细 痕，磁矩受力的作用。 怎样解释这一奇怪的现象呢？
论文发表后，海森伯表示赞许，后经爱因斯坦等人的努力， 物理界普遍接受了自旋的概念，但泡利始终反对。
泡利认为“一种新的邪说被引进了物理学”。应当说泡利并没 有错，两年后狄拉克建立了相对论量子力学，自然地得到了电 子具有内禀角动量的重要结论。
1. 电子自旋角动量和自旋磁矩 1925年，荷兰的乌伦贝克和古德史密特提出了电子自旋的假设： 每个电子都具有自旋的特性，由于自旋而具有自旋角动量和自 旋磁矩，它们是电子本身所固有的，是电子的属性之一，又称 固有矩和固有磁矩。 从运动的相对性原理，在固定于电子的一个坐标系中，相当于 带正电的原子实绕着电子运动，电子会感受到一个磁场的存在， 其方向为原子实绕电子运动的角动量方向，因而电子自旋取向 就必须量子化，不同的取向具有不同的能量。 从实验上分析，碱金属能级是双层的，因而可以认为电子自旋 有两个取向。
pj
s
ps pl
a
psbpl源自j l1 2 pj
1 2
j l
根据量子力学角动量具有以下的形式：
Pl l( l 1) l *
* 其中l*为简略符号 l l( l 1)
Ps s( s 1) s * , ( s 1/2)
Pj
j( j 1) j * , ( j l s或l s )