旋转在解题中的妙用
中考数学有关旋转的问题
中考数学有关旋转的问题1. 中考旋转问题解题技巧中考数学几何题解不出答案的时候可以旋转。
初三上册数学旋转不是很重要。
在考察学生1时，会以填空题或者单项选择的形式出现。
但是它的概念和技巧比较重要的。
可以用于几何图形当中，尤其是培养动手能力。
2. 中考数学旋转问题初三的几何知识中有旋转几何，以下是旋转几何解题技巧：1. 观察题目：在解决任何几何问题时，首先应该看清楚题目并理解题目所求，然后再考虑如何解决问题。
2. 明确旋转轴：确定问题中的旋转轴，这是解决旋转几何问题的关键。
旋转轴可以是线段，可以是一个点，也可以是一个平面，这取决于题目的情况。
3. 找到旋转规律：根据旋转轴，观察图形的旋转规律，判断数学性质，如旋转角度、角度大小、对称性等等，再根据这些性质设置等式或者简化题目的复杂性。
4. 运用公式：根据旋转规律、对称性、等角关系、余角关系、内角和公式等知识去解题，并选择适合题目的计算方法如比值法、勾股定理等方法来解决问题。
5. 画图辅助：画张清晰准确的图形，并标注出旋转轴、旋转角度、已知边角等信息，辅助你解决这些题目。
6. 细心检查：解决完题目后应该再仔细检查一遍是否符合题意，有无漏选或错选的情况，这样可以避免不必要的错误。
以上就是初三旋转几何解题技巧，如果你掌握这些技巧，应该能够较好地解决旋转几何的问题。
3. 中考旋转问题解题技巧和方法根据1，是：在中考数学中，旋转题的画图方法是如下的。
1.首先，将给定的图形按照要求进行旋转，旋转的角度可以通过题目给出的条件确定。
2.根据旋转后的图形，利用纸和铅笔在试卷上画出旋转后的图形。
在画图时要确保旋转后的图形与给定图形的形状和比例相同，要严格按照题目要求进行画图。
3.可以使用直尺工具和量角器等辅助工具来帮助准确画出旋转后的图形。
4.在画完图形后，根据题目要求进行进一步的分析和计算，以得出最终的解答。
总结可以说，中考数学中的旋转题在解答时需要准确画出旋转后的图形，注意形状和比例的保持，并根据题目要求进行进一步的分析和计算。
巧旋转 妙解题
巧旋转 妙解题河北张家口市第十九中学 贺峰数学课程标准中“空间与图形”部分指出：平移、旋转、轴对称是现实世界运动变化最简捷的基本形式之一，它们不仅是探索图形的一些性质的必要手段，而且也是解决现实世界中的具体问题以及进行数学交流的重要工具，在这一理念的引导下，各地中考和毕业考试加大了这方面的考察力度。
现将旋转在几何中的几个方面的应用举例说明：一、 利用旋转求值例1如图1，P 是正三角形 ABC 内的一点，且P A ＝6，PB ＝8，PC＝10．若将△P AC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P 'AB ，则点P 与点P ' 之间的距离为_______，∠APB ＝______0． 解析：如图2，连接PP '，由旋转可得P A ＝P 'A ，P 'B ＝PC ，∠P AC ＝∠P 'AC ，因为三角形 ABC 为正三角形，所以∠BAC ＝∠BAP ＋∠P AC＝600，所以∠P 'AP ＝600，所以△P 'AP 为正三角形，PP '＝6，在△P 'BP 中，因为PP'＝6，PB ＝8，P'B ＝10，所以△P'B 为直角三角形，此时∠P 'PB ＝900，因此∠APB ＝∠APP '＋∠P 'PB ＝600＋900＝1500。
说明：图形旋转前后，图形的大小形状并不改变，只是位置发生的变化，解决旋转求值问题题一定抓住旋转中心与旋转角将其转化为特殊三角形是解题的关键。
二、 利用旋转说理例2如图3，在网格中有一个四边形图案．(1)请你画出此图案绕点D 顺时针方向旋转900，1800，2700的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；(2)若网格中每个小正方形的边长为l ，旋转后点A 的对应点依次为A 1、A 2、A 3，求四边形AA 1A 2A 3的面积；(3)这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．解析：(1)如图4，正确画出图案(2) S 四边形AA 1A 2A 3＝S 四边形AB 1B 2B 3－4S △BAA 3＝(3＋5)2－4×12×3×5 ＝34故四边形似AA 1A 2A 3的面积为34． (3)结论：AB 2+BC 2=AC 2或勾股定理的文字叙述说明：本题将作图、求值、猜想等知识有机地结合在一起，让学生充分经历到了由形到数、数形结合的数学体验，通过动手操作、计算、观察、归纳、猜想结论的模式来解决问题。
巧用旋转法解几何题精编版
巧用旋转法解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。
旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。
旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。
现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参考。
例1．如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E，F分别AC和BC上，且DE⊥DF，求证：EF2=AE2+BF2分析：从所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到EF，AE，BF三条线段不在同一个三角形中，由于D是中点，我们可以考虑以D为旋转中心，将BF旋转到和AE相邻的位置，构造一个直角三角形，问题便迎刃而解。
证明：延长FD到G，使DG=DF，连接AG，EG∵AD=DB，∠ADG=∠BDF∴⊿ADG≌⊿BDF（SAS）∴∠DAG=∠DBF，BF=AG∴AG∥BC∵∠C=90°∴∠EAG=90°∴EG2=AE2+AG2=AE2+BF2∵DE⊥DF∴EG=EF∴EF2=AE2+BF2例2，如图2，在⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是⊿ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数.分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于⊿ACB是等腰直角三角形，宜以直角顶点C为旋转中心。
解：作MC⊥CP，使MC=CP，连接PM，BM∵∠ACB=90°，∠PCM=90°∴∠1=∠2∵AC=BC ， ∴⊿CAP ≌⊿CBM （SAS ）∴MB=AP=3∵PC=MC ，∠PCM=90°∴∠MPC=45°由勾股定理PM==22MC PC =22PC =22， 在⊿MPB 中，PB 2+PM 2=（22）2+12=9=BM 2∴⊿MPB 是直角三角形∴∠BPC=∠CPM+∠MPB=45°+90°=135°例3，如图3，直角三角形ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°,∠EAF=45°，求证：EF 2=BE 2+CF 2分析：本题求证的结论和例1十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将BE ，CF 转移到同一个直角三角形中，由于⊿BAC 是等腰直角三角形，不妨以A 为旋转中心，将∠BAE 和∠CAF 合在一起，取零为整。
中考名师点睛：怎样应用旋转解题
中考名师点睛：怎样应用旋转解题图1图2图3图4精讲精练随着新课程标准的实施，其基本理念对近几年中考数学命题的改革产生了重大影响。
新课程标准下的初中数学教材，增添了图形变化的问题，使数学更贴近生活，几何变换这一重要的数学思想，在近几年的中考、竞赛试题中经常出现，这使得数学试题的解题方法和技巧更加灵活多变。
只改变图形的位置，而不改变其形状大小，使几何图形重新组合，产生新的图形关系，从而找到解决问题的途径，这是进行几何变换的目的，其中旋转变换是最常见的手段之一。
旋转是几何变换中的基本变换，它一般先对给定的图形(或其中一部分图形)，通过旋转，改变位置后重新组合，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，进而揭示条件与结论之间的内在联系，找出证题途径。
旋转变换是一种重要的几何变换，进行几何变换的目的有两个：①揭示几何图形的性质或几何量之间的内在联系;②使分散的元素集中，从而使表面互不相干的条件变得密切相关。
什么时候考虑用旋转变换?怎样运用旋转变换呢?下面结合例题谈谈旋转变换在平面几何解题中的应用：例1.如图，正方形ABCD的边长为a，将正方形OMNP的一顶点O放在正方形ABCD的对角线AC、BD的交点处，你能求出两正方形重叠部分的面积吗?这道题是初二课本上的一道课后练习题，当时我们解这道题时是从全等的角度来考虑的。
现在我们可以尝试着用新方法——旋转来解这道题。
分析：重叠部分被分为两部分△OCF和△OCE，而△OCF ≌△OBE，△OCE≌△ODF，我们可以将△OCF绕点O顺时针旋转90°与原有的△O BE重合，或将△OCE绕点O逆时针旋转90°与原有的△ODF重合。
这样，通过旋转我们能轻而易举地知道重叠部分面积为正方形ABCD面积的■，所以重叠部分面积为■a2。
解：∵OB=OC∴将△OCF绕点O顺时针旋转90°∴△OCF≌△OBE∴S阴影=S△OBC∴S阴影=■a2这道题也可将△OEC绕点O逆时针旋转90°，进行解答。
初中几何旋转解题技巧
初中几何旋转解题技巧引言几何学作为数学的一个重要分支，是初中数学教育中不可或缺的一部分。
而在几何学中，旋转是一种常见的变换方式。
通过旋转，我们可以改变图形的位置、形状和方向，从而解决与旋转相关的问题。
本文将介绍初中几何中常见的旋转解题技巧。
什么是旋转在几何学中，旋转是指将一个图形绕着某个点或某条线进行转动，使得图形保持形状不变但位置发生改变的操作。
我们可以通过角度来描述旋转的程度，常用单位为度（°）或弧度（rad）。
旋转解题技巧1. 确定旋转中心在解决旋转问题时，首先需要确定一个旋转中心。
这个中心可以是图形内部的一个点，也可以是图形外部的一个点。
根据问题给出的条件来选择合适的旋转中心。
2. 确定旋转方向确定了旋转中心后，接下来需要确定旋转方向。
根据问题描述和图形特点来判断顺时针还是逆时针方向进行旋转。
3. 确定旋转角度旋转角度是解决旋转问题的关键。
根据问题给出的条件，确定旋转角度。
常见的旋转角度有90°、180°和360°等。
4. 应用旋转公式在确定了旋转中心、旋转方向和旋转角度后，我们可以根据几何学中的旋转公式来解题。
以下是常见的几个旋转公式：•绕原点逆时针旋转θ°：对于坐标(x, y)，其逆时针旋转θ°后的新坐标为(x cosθ - y sinθ, x sinθ + y cosθ)。
•绕原点顺时针旋转θ°：对于坐标(x, y)，其顺时针旋转θ°后的新坐标为(x cosθ + y sinθ, -x sinθ + y cosθ)。
•绕任意点逆时针旋转θ°：先将图形平移使得旋转中心位于原点，然后按照绕原点逆时针旋转的方式计算新坐标，最后再将图形平移回原来位置。
5. 注意坐标变换在应用上述旋转公式进行计算时，需要注意坐标变换。
通常情况下，我们使用直角坐标系进行计算，在计算过程中需要将问题中给出的坐标转换为直角坐标系下的坐标，最后再将计算得到的坐标转换回原来的坐标系。
巧用旋转解题例说
)))巧用旋转解题例说■ 韩敬摘要: 旋转是图形变换之一，它在解题中有着广泛的应用，本文是从等线段的视角下，利用旋转来思考，达到快速解题的目的．关键词: 等线段; 旋转; 速解题所谓旋转就是在平面内，把一个图形绕着一个定点沿顺时针或逆时针方向旋转一定的角度得到另一个 图形的变换． 旋转“前后的对应线段相等”这一特性在解题或分析问题中有着重要的作用． 当条件中或结论中出现或隐含着共顶点等线段，且不能直接解决时，我 们可用旋转法来解答，会有出奇制胜的效果．一、直接利用共顶点等线段旋转来解答 例 1 ( 2015 年江苏常州市)如图 1，在 ⊙O 的内接四边形接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判 定的应用． 速解本题的关键是将 △ACD 绕点 C 逆时针旋转120° 得 △C B E ． 二、先寻找共顶点的等线段，再用旋转来解答 例2 ( 2014 年湖北武汉) 如图2，在四边形 A B C D 中，A D = 4，C D = 3，∠A B C = ∠A C B = ∠A D C = 45°， 则BD的长为 ．解析: 由 ∠A B C = ∠A C B = ∠A D C = 45°，得 A C = A B ，∠B A C = 90°，这里有共顶点等线段 A C = A B ，特殊角 ∠B A C = 90°，可考虑旋转，即把 △A B C 绕点 A 顺时针旋转90° 得△A C D '，由旋转性质得: C D ' = BD ， A D ' = A D ，∠D A D ' = ∠B A C = 90°，连接 DD '，从而得 ∠A DD ' = ∠A D 'D = 45°，所以 ∠C DD ' = ∠A DD ' + A B C D 中，A B = 3，A D = 5，∠B A D∠A D C = 90°，由勾股定理得 DD ' = 槡AD 2+ AD'2= = 60°，点 C 为BD 的中点，则 A C 4 槡2 ，C D ' = 槡CD 2+ DD'2= 槡41 ． 的长是．解析: 因为 A 、B 、C 、D 四点共圆，所以 ∠ABC + ∠D = 180°， ∠BCD = 180° － ∠BAD = 120°，图 1因为B C = C D ，所以B C = C D ，∠C A D = ∠C A B = 30°， 这里有共顶点等线段 BC = CD ，特殊角 ∠BCD = 120°，可考虑旋转，即将△A C D 绕点C 逆时针旋转120°得 △C B E ，则 ∠E = ∠C A D = 30°，∠D = ∠E B C ，B E = A D = 5，A C = C E ，从而得 ∠A B C + ∠E B C = 180°， 即 A 、B 、E 三点共线，过 C 作 CM ⊥ A E 于 M ，因为A C = C E ，所以 A M = E M = 1 × A E = 1× ( 5 + 3) = 4，在点评: 本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形 的判定与性质，勾股定理，难度较大，利用旋转方法来解答，可很快得解．图2 图3 三、挖掘共顶点等线段，用以探索解题思路 例 3 ( 2014 重庆市) 如图 3，正方形 A B C D 的边 2 2 长为6，点 O 是对角线 A C 、BD 的交点，点 E 在 C D 上，且Ｒt △A MC 中，A C = A M= 4 = 8 槡3 ． 故填: 8 槡3．D E = 2C E ，连接 B E ． 过点 C 作 C F ⊥ B E ，垂足是 F ，连 cos30° cos30° 3 3点评: 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接 O F ，则O F 的长为 ．作者简介: 韩敬( 1977 － ) ，男，中学高级教师，主要从事中学数学教学研究·36·5解析: 在 B E 上截取 B G = C F ，连接 O G ，由 C F ⊥ B E ，可得 ∠E B C = ∠E C F ，因为 ∠OB C = ∠O C D = 45°，所以 ∠OB G = ∠O C F ，又 OB = O C ，可证 △OB G ≌ △O C F ，所以 O G = O F ，∠BO G = ∠C O F ，在 Ｒt △B C E 中，B C = D C = 6，D E = 2E C ，可得 E C = 2， BE = 槡BC 2+ CE 2== 2 槡10 ，由 CF ⊥ 图 4 图5 ( 2) 在图6 中，D E 与 A C B E ，易证 △B C F ∽ △B E C ，所以 B C ∶ B E = B F ∶ B C ，即6 ∶ 2 槡10 = B F ∶ 6，解得 B F = 9槡10s ，所以E F = B E － BF = 槡10 ，类似地可得 CF = 3 槡10，所以 GF = BF延长线交于点P ，BD 与D P 是否相等? 请直接写出你的结论，无需证明．分析: ( 1) 要证5－ BG = BF － CF = 5，因为 ∠BOC = ∠BOG + 5 BD =D P ，直观观察 BD 所在的三 角形只有 △ABD ，且它是钝图6∠G O C = ∠C O F + ∠G O C = ∠G O F = 90°，所以O G ⊥O F ，即在等腰直角 △O G F 中，O F 2= 1 G F 2 = 1 · 角的邻边，而 DP 所在的三角形只有△A D P ，且它是钝角的对边，因此这两个三角形 2 ( 6 槡10 ) 2，解得O F = 6 槡5 ． 故填: 6 槡5． 5 5 52 不可能全等． 于是利用所证结论 BD = DP 逆向思考， 利用旋转方法，把 △A D P 绕点 D 顺时针旋转 90°，得 △F DB ，这样就找到解题思路，即可过点 D 作 D F ⊥ A D 点评: 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角 三角形的判定以及相似三角形的判定与性质、勾股定理． 为什么要“在 B E 上截取 B G = C F ，连接 O G ”呢?理由: 由正方形 A B C D 得OB = O C ，∠BO C = 90°，因此可以考虑用旋转来找思路，即将把 △OCF 绕点 O 顺时针旋转90° 得△OB G ，此时△O G F 为等腰直角三角形，要求 O F 的长，只要求 G F 的长，而 G F = B F － B G ，于是只要求BF 与BG 的长，这可利用相似三角形求得，于是问题得解．四、根据结论中的共顶点等线段，逆向分析来探索解题思路例4 ( 2014 年黑龙江齐齐哈尔市) 在等腰直角三角形 A B C 中，∠B A C = 90°，A B = A C ，直线 M N 过点 A 且 M N ∥ B C ． 以点 B 为一锐角顶点作Ｒt △BD E ，∠BD E = 90°，且点 D 在直线 M N 上( 不与点 A 重合) ． 如图 4， D E 与 A C 交于点 P ，易证: BD = D P ． ( 无需写证明过程)( 1) 在图 5 中，D E 与 C A 延长线交于点 P ，BD = DP 是否成立? 如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由;交A B 于点 F ． 易证△A D P ≌ △F DB ，所以 BD = D P ; 可用同样的方法完成( 2) 、( 3) 问的解答． 解: ( 1) BD = DP 成立．证明: 过点 D 作 D F ⊥ M N ，交 A B 的延长线于点 F ，则△A D F 为等腰直角三角形，所以 D A = D F ． 因为∠1 + ∠A DB = 90°，∠A DB + ∠2 = 90°，所以 ∠1 = ∠2．因为∠D F B = ∠D A P = 45°，所以△BD F ≌ △P D A ，所以 BD = D P ．( 2) 答: BD = D P ．点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质． 本例是从结论入手，用旋转法逆向推理找到解题的思路，这就是作辅助线构造全等三角形的巧妙之处．通过上面的例子，可以看出: 共顶点的等线段有时在条件中直接给出( 如例 1) ，有时需要我们去寻找( 如例2、3) ，共顶点的等线段可以是条件中的( 如例2、3) ， 也可以是结论中的( 如例 4) ，若在条件中，则可顺推; 若在结论中，则可逆推．［安徽省定远县第一初级中学 ( 233200) ］·37·槡62+ 226 槡10。
沪科版九年级数学下册第24章阶段核心技巧 旋转在解几何题中的九种常见技巧
阶段核心技巧
2 ． 【 中 考 ·毕 节 】 如 图 ， 已 知 △ABC 中 ， AB ＝ AC ， 把 △ABC绕A点沿顺时针方向旋转 得到△ADE，连接BD，CE交于 点F.
阶段核心技巧
(1)求证：△AEC≌△ADB； 证明：由旋转的性质得△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE. 又∵AB＝AC，∴AE＝AD. 由 ∠ BAC ＝ ∠ DAE 得 ∠ BAC ＋ ∠ BAE ＝ ∠ DAE ＋ ∠BAE，即∠CAE＝∠BAD.
阶段核心技巧
(1)求PP′的长； 解：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ABC＝90°. ∵把△ ABP 绕点 B 顺时针旋转得到△ CBP′， ∴△ABP≌△CBP′，BP＝BP′，∠ABC＝∠PBP′＝90°. 在 Rt△ BPP′中，PP′＝ BP2＋P′B2＝ 22＋22＝2 2.
阶段核心技巧
连接EQ.求证：
阶段核心技巧
(1)EA是∠QED的平分线； 证 明 ： ∵ 将 △ADF 绕 点 A 顺 时 针 旋 转 90° 后 ， 得 到 △ABQ，∴AQ＝AF，∠QAF＝90°. ∵∠EAF＝45°，∴∠QAE＝∠QAF－∠EAF＝45°. ∴∠QAE＝∠FAE.
阶段核心技巧
如图，过点 P 作 PF⊥CD 于 F， ∴在 Rt△ PEF 中，∠FPE＝∠EAD＝30°. ∴EF＝12PE＝2－ 3. ∴PF＝ PE2－EF2＝2 3－3. ∴S△PCE＝12CE·PF＝12×(2 3－2)× (2 3－3)＝9－5 3.
阶段核心技巧
6．【中考·日照】如图，在正方形ABCD中，E，F是对角 线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时 针旋转90°后，得到△ABQ，
旋转变换与解题、几何证题
旋转变换与解题、几何证题
旋转变换与解题和几何证明之间有一定的联系，其中的几何证明的基础就是旋转变换的相关概念。
旋转变换是一种广泛使用的结构运算，可以将三角形或四边形的形状及特征量旋转到一定的角度，达到一定的特殊效果，是几何学的一个重要概念。
解题也可以用旋转变换来解决，尤其是一些平面几何的问题。
比如，如果想要求3个点确定一个三角形，可以先用旋转变换把三角形旋转到一个标准角度，这样就可以容易地计算出三角形的面积，角度，等特征量。
此外，旋转变换也是几何证明的基础，特别是一些复杂的几何问题。
旋转变换可以把形状复杂的问题旋转到简单的、容易计算的角度上，进而通过一定的几何推导和数学演算，得到正确的证明结果。
总之，旋转变换与解题和几何证明有着千丝万缕的联系，它不仅是几何学的重要概念，更是解决一些复杂的几何问题的重要方法。
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一
１ 如图 ５０是等边￣ＡＢ ． ， ￣ Ｃ内
点 ， 知 Ａ０ 已 Ｂ一 １ ５， Ｂ Ｃ １。 ０
图４
＝１５， ２ 。求以 Ｏ Ｏ ０ ２ Ａ、 Ｂ、 （为边构成的三角形 的各角的度
数．
二 、 求 角的 度 数上 在
【 ２ 如 图 ２ 正方形 ＡＢ Ｄ 中有一 点 Ｐ， Ａ＝ 例 】 ， Ｃ Ｐ ａＰ ， Ｂ＝２ ， Ｃ ａ 求 Ａ Ｂ的度数． ａ Ｐ ＝３ ， Ｐ 分 析 ： 知 条 件 Ｐ Ｐ Ｐ 的 已 Ａ、 Ｂ、 Ｃ 长是 边 ， 所求 的结论 是角 ， 由图形不 可 直 接得 出结 论 ． 果 旋 转 图 中 的 三 如 角形 ， 改变 图形 的位 置 ， 利用 特殊 图 形， 寻找解题思路 ． 可以把△ＡＢ Ｐ绕 着点 Ｂ按顺 时 针方向旋转 ９ 。得 ＡＣ Ｑ， Ｏ， Ｂ 连接 Ｐ Ｑ， 则△ Ｐ Ｑ是 等 腰 直角 三 角 形 ， Ｂ
线 段 Ｃ 的 中点 ， 证 ： Ｂ ＝２ Ｄ Ｅ Ｅ 求 ＡＦ Ａ ．
Ｃ
【 ３ 如 图 ３ 尸是等边＆Ａ Ｃ内一点 ， Ａ一２ 例 】 ， Ｂ Ｐ ，
图７
图８
Ｐ Ｂ＝２／ ， Ｃ ， ， Ｐ ＝４求△ＡＢ ５ ｃ的边长．
分析 ： 已知条 件 中三 条线段 Ｐ Ｐ Ｐ Ａ、 Ｂ、 Ｃ不 是一 个 三角形的三条边 ， 条件不好直接用 ， 如果把△Ｂ Ｐ旋转 ， Ｃ
中学 教 学 参考
教学 时空
旋 转 在 解 题 中 的 妙 用
江 苏南京 市九龙 中学（ １ ０ ５ 朱 定兰 ２０３ ）
图形与变换是《 数学课程标 准》 里的规定 内容 ， 图形 的变换是平 面几何的重要组成部 分 ， 种版本 的新教材 各 对该部分知识都给予了足够的关注． “ 图形的平移、何变换 中的基本 变换 ， 旋转 的两个基本 要素是： 旋转中心和旋转角． 中心对称是旋转的特殊情况． 旋转在解题中的作用是不可代替 的 ， 常常能巧妙地 解决 问题 ， 它也是初 中数学 的难 点之一 ， 文举 例说 但 本 明旋转在解题中的妙用．
知 ， ＡＤＰ一 ３ 。 ／ ０．
图 ３
所以 Ａ ＝９。在 Ｒ ＡＡＣ 中 ， ＤＣ ０． ｔ Ｄ 由勾股 定理得
、
在 分 析旋 转 变 换 中
Ａ一 Ｃ
丽
一 ２
【 １ 如 图 １ △Ａ Ｃ和△Ｃ Ｅ均 为 等边 三 角 例 】 ， Ｂ Ｄ 形 ， Ｂ、 、 且 Ｃ Ｄ在一条直线上 ， 析图 中哪两个 三角形 可 分 以通过怎样的旋转得到？ 分 析 ：由 题 意 ，可 证 得
Ｐ ｌ ５， Ｑ一２ ￣ 。 Ｑ 一４ 。Ｐ Ｂ ４ａ 又 因为 在 △ Ｃ Ｐ 中 ， ：９ Ｑ Ｐ ａ Ｐ ２ 一８ ａ ＝Ｐ ， Ｑ ＋Ｃ ａ＋口 一９ 所 以 Ｐ Ｃ ９。那 么 Ｂ Ｃ １５． Ｑ 一 ０， Ｑ 一 ３。 因为 △ＡＢ △ Ｃ Ｑ， Ｐ Ｂ 所 以 ＡＰ Ｂ＝１ ５． ３。 三 、 求 线段 的长 度 上 在
—
Ｄ
Ｐ 在 △Ｐ Ｄ 中 ， Ｄ＜ Ｃ Ｂ， Ｃ Ｐ Ｄ十 【 习】 练
ＰＣ， 以 Ｐ 所 Ａ＜ＰＢ＋ＰＣ ．
所 以 ， △ＡＣ 按 逆 时 针 方 把 Ｄ
图１
向旋转 ６ 。 到了△Ｂ Ｅ； ＡＢ Ｍ 按顺 时针方 向旋 转 ０得 Ｃ 把 Ｃ ６。 到了ＡＡ Ｎ； ０得 Ｃ 把△ＤＣ 按顺 时针方 向旋转 ６ 。 Ｎ ０得
图５ 图６
２ 如图 ６ 已知 正方形 Ａ Ｃ 的对 角线 交 于点 Ｏ， ． ， Ｂ Ｄ （Ｅ ＿ ｌ， ） Ｊ ０ 分别交 Ａ Ｂ Ｆ Ｂ、 Ｃ于 Ｅ、 若 ＡＢ＝８ 求 四边形 Ｆ ，
０ Ｂ Ｅ Ｆ的 面 积 ； ＡＥ ， Ｆ ２求 Ｅ 的长 ． 若 一６ Ｃ ＝ ， Ｆ
３ 如 图 ７ Ｅ是正方形 Ａ Ｃ 的边 Ｃ 的中点 ， ． ， Ｂ Ｄ Ｄ Ｆ是
一
解 ： △Ｂ Ｐ绕 着点 Ｃ逆 时 把 Ｃ 针方 向旋 转 ６。得 到 ＡＡ Ｄ， ０， Ｃ 则 △Ｐ Ｄ是等边三角形 ， 以 Ｐ Ｃ 所 Ｄ一
４ＡＤ— Ｐ ， Ｂ一 ２ ３ 在 △ Ｐ √． ＡＤ 中 ，
ＰＤ ＡＤ２ ＡＰ 一 ＋ ．
Ｂ Ｃ
又根据 等边 三角形 得性质 可
４ 如 图 ８ 已知 ＡＡＢ ． ， Ｃ中 ， ／ＡＣ Ｂ＝９ 。 为 ＡＢ 的 Ｏ， Ｍ
中点 ， Ｐ ＭＱ＝９ 。求证 ： ＝ＡＰ ＋Ｂ ２ ０， Ｐ 。 Ｑ． （ 责任编辑 金 铃）
可使条件相对集 中， 构成新的图形 ， 出／ＡＢ 得 ｋ Ｃ的边长．
９ ２ 学教学参考 ‘ 上句 ’ 。 。 。总第 。期 ・
△ ＡＣＤ △ Ｂ Ｅ（ ＡＳ） 继 而 可 Ｃ Ｓ ， 证 得 △ ＢＣ Ｍ △ ＡＣＮ（ Ａ） ＡＳ ， 还 可 证 得 △ ＤＣ』 △ Ｅａ ＼ ，
（ Ａ） Ｓ ．
四 、 判 别 大小 关 系上 在
【 ４ 如图 ４ Ｐ是等边ＡＡＢ 例 】 ， Ｃ内任 意一点 ， 判断
Ｐ Ａ与 Ｐ Ｂ＋Ｐ Ｃ的大小关系 ， 并说 明理 由． 解 ： △ＡＢ 把 Ｐ按 逆 时针方 向 旋转 ６。 得 到△ＡＣ 则 ＡＡＰ ０， Ｄ， Ｄ 为等边三角形 ， 以‘ Ｄ＝Ｐ Ｃ 所 Ｐ Ａ， Ｄ