统计学习题第三章
医学统计学第三章第五版课后习题答案
医学统计学第三章第五版课后习题答案1. 医学统计两个病床之间的距离不少于（B ）A. 0.5mB. 1mC. 1.5mD. 2mE. 3m2. 协助患者向平车挪动的顺序为（A ）A. 上身、臀部、下肢B. 上身、下肢、臀部C. 下肢、臀部、上身D. 臀部、下肢、上身E. 臀部、上身、下肢3. 支气管哮喘急性发作的患者需要采取端坐卧位，此卧位属于（B ）A. 被动卧位B. 被迫卧位C. 主动卧位D. 稳定性卧位E. 不稳定性卧位4. 为胎膜早破的产妇取头低足高位的目的是（D ）A. 预防感染B.防止羊水流出C. 利于引产D. 防止脐带脱出E. 防止出血过多5. 心力衰竭，呼吸极度困难的患者应采取（B ）A. 半坐卧位B. 端坐位C. 头高足低位D. 侧卧位E. 中凹卧位6. 关于医院感染的概念，正确的是（C ）A. 感染和发病应同时发生B. 住院患者和探视陪住者是医院感染的主要对象C. 患者出院后发生的感染可能属于医院感染D. 一定是患者在住院期间遭受并发生的感染E. 入院前处于潜伏期而住院期间发生的感染也属于医院内感染7. 医院感染的主要对象是（C ）A. 门诊患者B. 急诊患者C. 住院患者D. 探视者E. 陪护者8. 无菌持物钳能夹取（E ）A. 凡士林纱布B. 待消毒的治疗碗C. 无菌导尿管导尿D. 碘伏棉球消毒E. 无菌治疗巾9. 使用2%戊二醛浸泡手术刀片时，为了防锈，在使用前可加入（D ）A. 5%碳酸氢钠B. 5%亚硝酸盐C. 0.5%碳酸氢钠D. 0.5%亚硝酸盐E. 0.5%醋酸钠10. 不需要使用保护具的患者为（A ）A. 分娩后产妇B. 昏迷C. 高热D. 躁动E. 谵妄11. 压疮的好发部位不包括（B ）A. 仰卧位—骶尾部B. 侧卧位—肩胛部C. 半坐卧位—足跟D. 俯卧位—髂前上棘12. 可导致脉率减慢的是（A ）A. 颅内压增高B. 贫血C. 冠心病心绞痛D. 急性左心衰E. 心源性休克13. 正常成人每日需水量（D ）A. 200~500mlB. 500~1000mlC. 1500~2000mlD. 2000~3000mlE. 3000~4000ml14. 尿潴留患者首次导尿放出的尿量不应超过（C ）A. 500mlB. 800mlC. 1000mlD. 1500mlE. 2000ml15. 股静脉的穿刺部位为（A ）A. 股动脉内侧0.5cmB. 股动脉外侧0.5cmC. 股神经内侧0.5cmD. 股神经外侧0.5cmE. 股神经和股动脉之间16. 抢救青霉素过敏性休克的首选药物是（C ）A. 盐酸异丙嗪B. 去氧肾上腺素C. 盐酸肾上腺素D.异丙肾上腺素E.去甲肾上腺素17. 最严重的输液反应是（D ）A. 过敏反应B. 心脏负荷过重的反应C. 发热反应D. 空气栓塞E. 静脉炎18. 输血引起溶血反应，最早出现的主要表现为（A ）A. 头部胀痛、面部潮红、恶心、呕吐、腰背部剧痛B. 寒战、高热C. 呼吸困难、血压下降D. 瘙痒、皮疹E. 少尿19. 发生溶血反应是，护士首先应（E ）A. 测量血压、脉搏、呼吸B. 通知医生和家属C. 安慰患者、控制患者情绪D. 热敷腰部，控制腰痛E. 停止输血，给患者吸氧并保留余血20. 意识完全丧失，对各种刺激均无反应，全身肌肉松弛，深浅反射均消失，此时患者处于（E ）A. 嗜睡B. 意识模糊C. 昏睡D. 浅昏迷E. 深昏迷21. 心脏按压时，按压部位及抢救者双手的摆放是（A ）A. 胸骨中、下1/3交界处，双手平行叠放B. 胸骨中、下1/3交界处，双手垂直叠放C. 胸骨左缘两横指，双手平行叠放D. 胸骨左缘两横指，双手垂直叠放22. 吞服强酸、强碱类腐蚀性药物的患者，切忌进行的护理操作是（B ）A. 口腔护理B. 洗胃C. 导泻D. 灌肠E. 输液23. 临床死亡期指征不包括（D ）A. 呼吸停止B. 心跳停止C. 各种反射消失D. 出现尸冷E. 瞳孔散大24. 下列不符合护理文件书写要求的是（A ）A. 文字生动、形象B. 记录及时、准确C. 内容简明扼要D. 医学术语确切E. 记录者全名25. 住院期间排在病历首页的是（E ）A. 住院病历首页B. 长期医嘱单C. 临时医嘱单D. 入院记录E. 体温单26. 下列不属于医院社会环境调控范畴的是（E ）A. 人际关系B. 工作态度C. 病友关系D. 医院规则E. 病室装饰27. 护士的基本任务不包括（C ）A. 预防疾病B. 促进健康C. 抢救生命D.。
统计学习题和答案
第一章绪论习题二、单项选择题1．统计总体的同质性是指( )A总体各单位具有某一共同的品质标志或数量标志B总体各单位具有某一共同的品质标志属性或数量标志值C总体各单位具有若干互不相同的品质标志或数量标志D总体各单位具有若干互不相同的品质标志属性或数量标志值2．设某地区有800家独立核算的工业企业，要研究这些企业的产品生产情况，总体单位是( )A全部工业企业 B 800家工业企业C每一件产品 D 800家工业企业的全部工业产品3．要了解全国的人口情况，总体单位是( )A每个省的人B每一户C全国总人El D每个人4．有200家公司每位职工的工资资料，如果要调查这200家公司的工资水平情况，则统计总体为( )A 200家公司的全部职工B 200家公司C 200家公司职工的全部工资D 200家公司每个职工的工资5．要了解某班50个学生的学习情况，则总体单位是( )A全体学生 B 50个学生的学习成绩C每一个学生D每一个学生的学习成绩6．设某地区有60家生产皮鞋的企业，要研究它们的产品生产情况，总体是( )A每一个企业B所有60家企业C每一双鞋子D所有企业生产的皮鞋7．一个统计总体( )A只能有一个标志B可以有多个标志C只能有一个指标D可以有多个指标8．统计的数量性特征表现在( )A它是一种纯数量的研究B它是从事物量的研究开始，来认识事物的质C它是从定性认识开始，以定量认识为最终目的D它是在质与量的联系中，观察并研究现象的数量方面9．以产品等级来反映某种产品的质量，则该产品等级是( ) A数量标志B数量指标C品质标志D质量指标10．某工人月工资为550元，工资是( )A品质标志B数量标志C变量值D指标11．在调查设计时，学校作为总体，每个班作为总体单位，各班学生人数是( )A变量B指标C变量值D指标值12．某班四名学生金融考试成绩分别为70分、80分、86分和95分，这四个数字是( )A标志B指标值C指标D变量值13．年龄是( )A变量值B离散型变量C连续型变量，但在应用中常按离散型变量处理D连续型变量．14．工业企业的职工人数、职工工资是( )A连续型变量B离散型变量C前者是连续型变量，后者是离散型变量D前者是离散型变量，后者是连续型变量15．质量指标是在数量指标基础上对总体内部数量关系和状况的反映。
统计学练习题
第一章总论一、名词解释1、统计2、总体与总体单位3、标志与指标4、变异与变量5、指标体系二、判断题1、列宁指出：社会经济统计是“社会认识的最有力的武器之一”。
（）2、标志和指标是两个根本不同的概念，两者没有任何联系。
（）3、我国统计法规定：“国家建立统一的统计系统，实行统二领导、分级负责的统计管理体制”。
（）4、政治算术学派的主要代表人物是威廉·配第和约翰·格朗特。
( )三、单项选择题1、“统计”一词的基本含义是（）①统计调查、统计整理、统计分析②统计设计、统计分组、统计计算③统计方法、统计分析、统计预测④统计科学、统计工作、统计资料2、调查某大学2000名学生学习情况，则总体单位是（）①2 000名学生②2000名学生的学习成绩③每一名学生④每一名学生的学习成绩3、就一次统计活动来讲，一个完整的过程包括的阶段有（）①统计调查、统计整理、统计分析、统计决策②统计调查、统计整理、统计分析、统计预测③统计设计、统计调查、统计审核、统计分析④统计设计、统计调查、统计整理、统计分析4、统计学的基本方法包括有（）①调查方法、整理方法、分析方法②调查方法、汇总方法、预测方法③相对数法、平均数法、指数法④大量观察法、分组法、综合指标法5、要了解某市国有工业企业生产设备情况，则统计总体是（）①该市国有的全部工业企业②该市国有的每一个工业企业③该市国有的某一台设备④该市国有制工业企业的全部生产设备6、变量是（）①可变的质量指标②可变的数量指标和标志③可变的品质标志④可变的数量标志7、构成统计总体的个别事物称为（）①调查单位②总体单位③调查对象④填报单位8、统计总体的基本特征是（）①同质性、大量性、差异性②数量性、大量性、差异性③数量性、综合性、具体性④同质性、大量性、可比性9、下列属于品质标志的是（）①工人年龄②工人性别③工人体重④工人工资等级10、标志是说明（）①总体单位的特征的名称②总体单位量的特征的名称③总体质的特征的名称④总体量的特征的名称四、填空题1、统计学是一门独立的社会科学，它以马列主义的哲学和为理论基础。
研究生数理统计第三章习题答案
习 题 三1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量()24.55,0.108XN .现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化()0.05α=？ 解 由题意知，()24.55,0.108XN ，5n =，511 4.3645i i x x ===∑，0.05α=，()5220110.095265i i s x μ==-=∑.1)当00.108σ=时，①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时，0.975121.96uu α-==，临界值121.960.0947c α-===， 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->.③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化.2)当0 4.55μ=时，①设统计假设2222220010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值()()()()222210.02520.975122111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-======， 拒绝域为222202122220000{}{2.56660.1662}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③202200.095268.16700.108sK σ==∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即均值没有改变时，总体方差有显著变化.2.一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值950x h =.该种元件寿命()2,100XN μ，问这批元件是否合格()0.05α=？解 由题意知，()2,100XN μ，25n =，950x =，0.05α=，0100σ=.①设统计假设0010:1000,:1000H H μμμμ≥=<=. ②当0.05α=时，0.05 1.65u u α==-，临界值()1.6533c α==-=-， 拒绝域为000{}{33}K x c x μμ=-<=-<-.③00950100050x K μ-=-=-∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为这批元件不合格. 3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其质量分别为510,505,498,503,492,502,497,506,495〔单位：g1)机器工作是否正常()0.05α=？2)能否认为这批罐头质量的方差为25.5()0.05α=？解 设X 表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量〔单位：g 〕.由题意知()2500,XN σ，方差2σ未知. 9n =，911500.88899i i x x ===∑，0.05α=，()()222111133.6111118nni i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑，()52201130.66679i i s x μ==-=∑1)①设统计假设0010:500,:500H H μμμμ==≠=.②()()0.9751218 2.306tn t α--==，临界值()121 2.306 4.4564c n α-=-==，拒绝域为000{}{ 4.4564}K x c x μμ=->=->.③00500.88895000.8889x K μ-=-=∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即认为机器工作正常.2)当0500μ=时，①设统计假设2222220010: 5.5,: 5.5H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值()()()()222210.02520.975122111190.3,9 2.113399c n c n n n ααχχχχ-======，拒绝域为222202122220000{}{2.11330.3}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③2022030.66671.013785.5sK σ==∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即为这批罐头质量的方差为25.5.4.某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为()3.399元/500克，标准差为()0.269元/500克.往年的平均售价一直稳定 ()3.25元/500克左右，问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年()0.05α=？解 由题意知，()23.25,XN σ，20n =， 3.399x =，0.05α=，0.269s =.①设统计假设0010: 3.25,: 3.25H H μμμμ≤=>=. ②当0.05α=时，()()10.95119 1.729t n t α--==，临界值()11 1.7290.1067c n α-=-==， 拒绝域为000{}{0.1067}K x c x μμ=->=->③003.399 3.250.149x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为市场当前的鸡蛋售价是明显高于往年. 5.某厂生产的维尼纶纤度()2,0.048XN μ，某日抽测8根纤维，其纤度分别为1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,,1.50,1.44,1.39，问这天生产的维尼纶纤度的方差2σ是否明显变大了()0.05α=？ 解 由题意知()2,0.048XN μ，8n =，811 1.421258i i x x ===∑，0.05α=，()()22211110.0122118nni i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑.①设统计假设2222220010:0.048,:0.048H H σσσσ==>=. ②当0.05α=时，临界值()()2210.951117 2.0117c n n αχχ-=-==-，拒绝域为2202200{}{ 2.01}s s K c σσ=>=>.③202200.012215.29950.048s K σ==∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即这天生产的维尼纶纤度的方差2σ明显变大了.6.某种电子元件，要求平均寿命不得低于2000h ，标准差不得超过130h .现从一批该种元件中抽取25个，测得寿命均值为1950h ，标准差148s h =.设元件寿命服从正态分布。
第三章统计整理习题
第三章统计整理习题部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑第三章统计整理一、单项选择题1、统计分组就是根据统计研究的目的，按照一个或几个分组标志< ）。
①将总体分成性质相同的若干部分②将总体分成性质不同的若干部分③将总体划分成数量相同的若干部分④将总体划分成数量不同的若干部分2、按某一标志分组的结果，表现出< ）。
① 组内同质性和组间差异性② 组内差异性和组间差异性③ 组内同质性和组间同质性④ 组内差异性和组间同质性3、变量数列中各组频率的总和应该<）①小于1②等于1③大于1④不等于14、组距、组限和组中值之间的关系是< ）。
① 组距＝<上限－下限）÷2 ② 组中值＝<上限+下限）÷2③ 组中值＝<上限－下限）÷2 ④ 组限＝组中值÷25、就某一变量数列而言，组距和组数的关系是< ）。
① 组距大小与组数多少成反比② 组距大小与组数多少成正比③ 组距大小与组数多少无关④ 组数越多，组距越大6、某连续变量数列，其末组为开口组，下限为500，又知其邻组组中值为480，则末组组中值为< ）。
b5E2RGbCAP① 490 ② 500 ③ 510 ④ 5207、变量数列是< ）。
① 按数量标志分组的数列② 按品质标志分组的数列③ 按数量标志或质量分组的数列④ 组距式数列8、统计分组的关键在于< ）。
① 正确选择不同特征的品质标志和数量标志② 确定组距③ 选择统计指标和统计指标体系④ 选择分组标志和划分各组界限9、如果数据分布很不均匀，则应编制< ）。
① 开口组② 闭口组③ 等距数列④ 不等距数列p1EanqFDPw10、按连续变量分组，第一组45～55，第二组55～65，第三组65～75，第四组75以上。
则< ）。
DXDiTa9E3d① 55在第一组② 65在第二组③ 65在第三组④ 75第三组RTCrpUDGiT11、某同学考试成绩为80分，应将其计入< ）。
概率论与数理统计第三章课后习题答案
习题三1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222⨯⨯222⨯⨯=2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324C 35= 324C 35= 3224C 35= 113224C C 12C 35=1324C 2C 35= 213224C C 6C 35= 2324C 3C 35=3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.,020,20,sin sin 其他ππy x y x求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636F F F F --+ππππππsin sin sin sin sin0sin sin0sin4346362(31).4=--+=-题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量（X，Y）的分布密度f（x，y）=⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)43(其他yxA yxe求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.【解】（1）由-(34)00(,)d d e d d112x yAf x y x y A x y+∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得A=12（2）由定义，有(,)(,)d dy xF x y f u v u v-∞-∞=⎰⎰(34)340012e d d(1e)(1e)0,0,0,0,y y u vx yu v y x-+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他(3) {01,02}P X Y≤<≤<12(34)3800{01,02}12e d d(1e)(1e)0.9499.x yP X Yx y-+--=<≤<≤==--≈⎰⎰5.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=⎩⎨⎧<<<<--.,0,42,2),6(其他yxyxk（1）确定常数k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X<1.5}；（4）求P{X+Y≤4}.【解】（1）由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==⎰⎰⎰⎰故 18R =（2） 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰130213(6)d d 88k x y y x =--=⎰⎰ (3) 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=⎰⎰⎰⎰如图1.542127d (6)d .832x x y y =--=⎰⎰(4) 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b240212d (6)d .83xx x y y -=--=⎰⎰题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为f Y （y ）=⎩⎨⎧>-.,0,0,55其他y y e求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.题6图【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 而55e ,0,()0,.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其他 所以(,),()()X Y f x y X Y f x f y 独立5515e25e ,00.20,0.20,0,yy x y --⎧⎧⨯<<>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩且其他. (2) 5()(,)d d 25e d d y y xDP Y X f x y x y x y -≤≤=⎰⎰⎰⎰如图0.20.2-5500-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xyx x y x -==-+≈⎰⎰⎰7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求（X ，Y ）的联合分布密度.【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他. 8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ⎧⎧--≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰12y 4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ⎧-⎧-+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题8图 题9图9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<-.,0,0,其他e y x y求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y --⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题10图10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧≤≤.,0,1,22其他y x y cx（1） 试确定常数c ；（2） 求边缘概率密度. 【解】（1）(,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==⎰⎰ 得214c =. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ⎧⎧--≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰522217d ,01,420,0, .y y x y x y y -⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<.,0,10,,1其他x x y求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.题11图【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰1d 2,01,0,.xx y x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他 12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大的号码为Y .（1） 求X 与Y 的联合概率分布； （2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表3 4 5{}i P X x =13511C 10= 3522C 10= 3533C 10= 610 23511C 10= 3522C 10= 310 3 02511C 10= 110{}i P Y y =110 310 610(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立2 5 80.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03（2） X 与Y 是否相互独立？ 2 5 8 P {Y=y i } 0.4 0.15 0.30 0.35 0.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2{}i P X x =0.20.420.38YXXYXY(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为f Y （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-.,0,0,212/其他y y e（1）求X 和Y 的联合概率密度；（2） 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率.【解】（1） 因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他; 21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩独立其他题14图(2) 方程220a Xa Y ++=有实根的条件是2(2)40X Y ∆=-≥故 X 2≥Y ，从而方程有实根的概率为：22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=⎰⎰21/2001d e d 212[(1)(0)]0.1445.x y x yπ-==-Φ-Φ=⎰⎰15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}Z XF z P Z zP z Y=≤=≤ (1) 当z ≤0时，()0Z F z =（2） 当0<z <1时，（这时当x =1000时,y =1000z）(如图a) 3366102222101010()d d d d yz Z zx y zF z x y y x x y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 33610231010=d 2z zy yzy +∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰题15图(3) 当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ）3366222210101010()d d d d zy Z xy zF z x y y x x yx y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 336231010101=d 12y y zy z +∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰即 11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故 21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4)，则X i ~N （160，202），从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥ 1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡-⎤⎛⎫=-<=-Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-Φ== 17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…， P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，….证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=-ik k i q k p 0)()(，i =0，1，2，….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数，所以 {}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==于是0{}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}ik P X k P Y i k ===-∑()()ik p k q i k ==-∑18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ，p 的二项分布.【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n .{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑00202(){}2ki ki n i k i n k ii k k n k i k n k P X i P Y k i n n p q p q i k i n n p q i k i n p q k =---+=-=-===-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑方法二：设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…，μn ′均服从两点分布（参数为p ），则X =μ1+μ2+…+μn ，Y =μ1′+μ2′+…+μn ′, X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,所以，X +Y 服从参数为（2n ,p )的二项分布.(1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}； （2） 求V =max （X ，Y ）的分布律； （3） 求U =min （X ，Y ）的分布律； （4） 求W =X +Y 的分布律. 【解】（1）{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑ {3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑ （2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i =====<+≤=10{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i -=====+==∑∑ 0,1,2,3,4,5i =所以V的分布律为V=max(X,Y) 0 1 2 3 4 5P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28(3) {}{min(,)}P U i P X Y i===351{,}{,}{,}{,}k i k iP X i Y i P X i Y iP X i Y k P X k Y i==+==≥+>====+==∑∑0,1,2,3,i=于是U=min(X,Y) 0 1 2 3P 0.28 0.30 0.25 0.17W=X+Y0 1 2 3 4 5 6 7 8P0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05（1）求P{Y＞0｜Y＞X}；（2）设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.题20图【解】因（X，Y）的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y Rf x y R⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他（1）{0,}{0|}{}P Y Y XP Y Y XP Y X>>>>=>(,)d(,)dyy xy xf x yf x yσσ>>>=⎰⎰⎰⎰π2π/405π42π/401d dπ1d dπRRr rRr rRθθ=⎰⎰⎰⎰3/83;1/24== (2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-=-=⎰⎰21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少？题21图【解】区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===⎰（X ,Y ）的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x ⎧≤≤<≤⎪=⎨⎪⎩其他（X ，Y ）关于X 的边缘密度函数为1/2011d ,1e ,()220,.x X y x f x x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其他 所以1(2).4X f =22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和y 1 y 2 y 3P {X =x i }=p ix 1 x 21/81/8P {Y =y j }=p j 1/61【解】因21{}{,}j j iji P Y y P P X x Y y ======∑,故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824P X x Y y ===-= YX而X 与Y 独立，故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====,从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =⨯==== 即：1111{}/.2464P X x ===又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==即1,3111{},4248P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y ===同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y ===又31{}1j j P Y y ===∑,故3111{}1623P Y y ==--=. 同理23{}.4P X x == 从而23313111{,}{}{,}.3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p （0<p <1），且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X ，Y ）的概率分布.【解】(1) {|}C (1),0,0,1,2,m m n mn P Y m X n p p m n n -===-≤≤=.(2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======e C (1),,0,1,2,.!m m n mnnp p n m n n n λλ--=-≤≤=24.设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为X ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021，而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).【解】设F （y ）是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U =X +Y 的分布函数为(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 和Y 独立，可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-由此，得U 的概率密度为()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+-0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-25. 25. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P {max{X ,Y }≤1}.解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有1, 03,()30, 0,3;x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 1, 03,()30, 0, 3.y f y y y ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 因为X ，Y 相互独立，所以1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3.x y f x y x y x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪<<>>⎩ 推得 1{max{,}1}9P X Y ≤=. 26. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为其中a ,b ,c 为常数，且X 的数学期望E (X )= -0.2,P {Y ≤0|X ≤0}=0.5，记Z =X +Y .求： （1） a ,b ,c 的值； （2） Z 的概率分布； （3） P {X =Z }.解 (1) 由概率分布的性质知，a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由()0.2E X =-，可得0.1a c -+=-.再由 {0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,得 0.3a b +=.解以上关于a ，b ，c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===.(2) Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2，{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=，{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=，{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===，{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====，即Z 的概率分布为(3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.习题四1.设随机变量X 的分布律为求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111()(1)012;82842E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= (2) 2222211115()(1)012;82844E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=(3) 1(23)2()32342E X E X +=+=⨯+=2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X ，则X 的分布律为X 0 1 2 3 4 5P5905100C 0.583C = 1410905100C C 0.340C = 2310905100C C 0.070C = 3210905100C C 0.007C = 4110905100C C 0C = 5105100C 0C =故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 0.501,= 52()[()]iii D X x E X P ==-∑222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-⨯+-⨯++-⨯=3.设随机变量X -1 0 1Pp 1 p 2 p 3且已知E 123【解】因1231P P P ++=……①,又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②,222212313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则(){|}{}Nk P A P A X k P X k ===∑全概率公式1{}{}1().NNk k k P X k kP X k N Nn E X N N========∑∑5.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x求E （X ），D （X ）. 【解】1221()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰21332011 1.33x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰ 故 221()()[()].6D XE X E X =-=6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望.（1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ -4X .【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+=(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立1184568.=⨯-⨯= 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<.,0,0,10,其他x y x k试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因1001(,)d d d d 1,2xf x y x y x k y k +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰故k =210()(,)d d d 2d 0.25xE XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其他x x f Y （y ）=(5)e ,5,0,.y y --⎧>⎨⎩其他 求E （XY ）.【解】方法一：先求X 与Y 的均值12()2d ,3E X x x x ==⎰ 5(5)5()ed 5e d e d 51 6.z y y zz E Y y yz z z +∞+∞+∞=-----=+=+=⎰⎰⎰令由X 与Y 的独立性，得2()()()6 4.3E XY E X E Y ==⨯=方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为(5)2e ,01,5,(,)()()0,,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨⎩其他 于是11(5)2(5)552()2ed d 2de d 6 4.3y y E XY xy x x y x xy y +∞+∞----===⨯=⎰⎰⎰⎰10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e f Y （y ）=⎩⎨⎧≤>-.0,0,0,44y y y e 求（1） E （X +Y ）;（2） E （2X -3Y 2）. 【解】22-200()()d 2e d [e ]e d x x xX X xf x x x x x x +∞+∞+∞--+∞-∞==-⎰⎰⎰201e d .2x x +∞-==⎰401()()d 4e dy .4y Y E Y yf y y y +∞+∞--∞==⎰⎰22242021()()d 4e d .48y Y E Y y f y y y y +∞+∞--∞====⎰⎰从而(1)113()()().244E X Y E X E Y +=+=+=(2)22115(23)2()3()23288E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=11.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,22x x cx xke求（1） 系数c ;（2） E （X ）;（3） D （X ）. 【解】(1) 由222()d e d 12k x c f x x cx x k+∞+∞--∞===⎰⎰得22c k =. (2) 2220()()d()2e dk x E X xf x x x k x x +∞+∞--∞==⎰⎰222202e d 2k x kx x k+∞-==⎰(3) 22222221()()d()2e .kxE X x f x x x k x k +∞+∞--∞==⎰⎰故 222221π4π()()[()].24D X E X E X k k k⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求E （X ）和D （X ）. 【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知9{0}0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==⨯= 329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219{3}0.005.1211109P X ==⨯⨯⨯=于是，得到X 的概率分布表如下： X 0 1 2 3 P0.7500.2040.0410.005由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,414x x xe为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和 -200元 /41/411{100}{1}e d e 4x P Y P X x +∞--==≥==⎰1/4{200}{1}1e.P Y P X -=-=<=-故1/41/41/4()100e(200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元).14.设X 1，X 2，…，X n 是相互独立的随机变量，且有E （X i ）=μ，D （X i ）=σ2，i =1，2，…，n ，记∑==n i i S X n X 12,1，S 2=∑=--n i i X X n 12)(11. （1） 验证)(X E =μ，)(X D =n2σ；（2） 验证S 2=)(11122∑=--ni i X n X n ； （3） 验证E （S 2）=σ2.【证】(1) 1111111()()().n nn i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑22111111()()n nni i i ii i i D X D X D X X DXn nn ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑之间相互独立2221.n n nσσ==(2) 因222221111()(2)2nnnniii ii i i i i XX X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑2222112nnii i i X nX X nX X nX ===+-=-∑∑故22211()1ni i S X nX n ==--∑. (3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故2222()()().i i i E X D X EX u σ=+=+同理因2(),()E X u D X nσ==,故222()E X u nσ=+.从而222221111()()[()()]11n ni i i i E s E X nX E X nE X n n ==⎡⎤=-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑221222221[()()]11().1ni i E X nE X n n u n u n n σσσ==--⎡⎤⎛⎫=+-+=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦∑15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X ,Y )= -1,计算：Cov （3X -2Y +1，X +4Y -3）. 【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=-(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X ,3)=Cov(Y ,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=221,1,π0,.x y ⎧+≤⎪⎨⎪⎩其他试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤.2211()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞+≤==⎰⎰⎰⎰ 2π1001=cos d d 0.πr r r θθ=⎰⎰同理E (Y )=0. 而 Cov(,)[()][()](,)d d X Y x E x y E Y f x y x y +∞+∞-∞-∞=--⎰⎰222π1200111d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤===⎰⎰⎰⎰, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关. 下面讨论独立性，当|x |≤1时，1()X f x y 当|y |≤1时，1()Y f y x 显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠故X 和Y 不是相互独立的.17.验证X 和【解】联合分布表中含有零元素，X 与Y 显然不独立，由联合分布律易求得X ，Y 及XY 的分布律，其分布律如下表X -1 0 1P382838Y -11P382838XY -11P28 48 28由期望定义易得E （X ）=E （Y ）=E （XY ）=0. 从而E (XY )=E (X )·E (Y ),再由相关系数性质知ρXY =0, 即X 与Y 的相关系数为0，从而X 和Y 是不相关的. 又331{1}{1}{1,1}888P X P Y P X Y =-=-=⨯≠==-=- 从而X 与Y 不是相互独立的.18.设二维随机变量（X ，Y ）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov （X ，Y ），ρXY . 【解】如图，S D =12，故（X ，Y ）的概率密度为题18图2,(,),(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其他. ()(,)d d DE X xf x y x y =⎰⎰11001d 2d 3xx x y -==⎰⎰22()(,)d d DE X x f x y x y =⎰⎰11201d 2d 6xx x y -==⎰⎰从而222111()()[()].6318D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭同理11(),().318E Y D Y ==而 1101()(,)d d 2d d d 2d .12xDDE XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-. 从而112)()XY D Y ρ-===-19.设（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=1ππsin(),0,0,2220.x y x y ,⎧+≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其他求协方差Cov （X ，Y ）和相关系数ρXY . 【解】π/2π/21π()(,)d d d sin()d .24E X xf x y x y x xx y y +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰ππ2222201ππ()d sin()d 2.282E X x x x y y =+=+-⎰⎰从而222ππ()()[()] 2.162D XE X E X =-=+-同理 2πππ(),() 2.4162E Y D Y ==+- 又 π/2π/2π()d sin()d d 1,2E XY x xy x y x y =+=-⎰⎰故 2ππππ4Cov(,)()()()1.2444X Y E XY E X E Y -⎛⎫⎛⎫=-=--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222π4(π4)π8π164.πππ8π32π8π32)()2162XY D Y ρ-⎛⎫- ⎪--+⎝⎭===-=-+-+-+- 20.已知二维随机变量（X ，Y ）的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4111，试求Z 1=X -2Y 和Z 2=2X -Y 的相关系数.【解】由已知知：D (X )=1,D (Y )=4,Cov(X ,Y )=1.从而12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,D Z D X Y D X D Y X Y D Z D X Y D X D Y X Y =-=+-=+⨯-⨯==-=+-=⨯+-⨯=12Cov(,)Cov(2,2)Z Z X Y X Y =--2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2()5Cov(,)2()215124 5.X X Y X X Y Y Y D X X Y D Y =--+=-+=⨯-⨯+⨯=故12122)()Z Z D Z ρ===21.对于两个随机变量V ，W ，若E （V 2），E （W 2）存在，证明：［E （VW ）］2≤E （V 2）E （W 2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy -Schwarz ）不等式. 【证】令2(){[]},.g t E V tW t R =+∈显然22220()[()][2]g t E V tW E V tVW t W ≤=+=++222[]2[][],.E V t E VW t E W t R =++∀∈可见此关于t 的二次式非负，故其判别式Δ≤0， 即2220[2()]4()()E VW E W E V ≥∆=- 2224{[()]()()}.E VW E V E W =-故222[()]()()}.E VW E V E W ≤22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F （y ）.【解】设Y 表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X ~E (λ),E (X )=1λ=5. 依题意Y =min(X ,2).对于y <0,f (y )=P {Y ≤y }=0. 对于y ≥2,F (y )=P (X ≤y )=1.对于0≤y <2,当x ≥0时，在(0,x )内无故障的概率分布为 P {X ≤x }=1 -e -λx ,所以F (y )=P {Y ≤y }=P {min(X ,2)≤y }=P {X ≤y }=1 -e -y/5.。
统计学计算题(54学时)
统计学习题集第三章数据分布特征的描述五、计算题1。
某企业两个车间的工人生产定额完成情况如下表:技术水平A车间B车间工人数完成定额工时人均完成工时工人数完成工时定额人均完成工时高50 14000 280 20 6000 300中30 7500 250 40 10400 260低20 4000 200 40 8200 205合计100 25500 255 100 24600 246从表中看，各个技术级别的工人劳动生产率（人均完成工时定额）都是A车间低于B车间,试问：为什么A车间的平均劳动生产率又会高于B车间呢?3。
根据某城市500户居民家计调查结果,将居民户按其食品开支占全部消费开支的比重（即恩格尔系数）分组后，得到如下的频数分布资料：恩格尔系数（%) 居民户数20以下620～30 3830～40 10740～50 13750～60 11460～70 7470以上24合计500要求：(1)据资料估计该城市恩格尔系数的中位数和众数，并说明这两个平均数的具体分析意义。
（2）利用上表资料，按居民户数加权计算该城市恩格尔系数的算术平均数.（3)试考虑，上面计算的算术平均数能否说明该城市恩格尔系数的一般水平？为什么？恩格尔系数（%）居民户数(户）f 组中值x 向上累积频数20以下 6 15 620~30 38 25 4430～40 107 35 15140～50 137 45 28850～60 114 55 40260~70 74 65 47670以上24 75 500合计500 －－答:（1)Me＝47。
226％,指处于中间位置的居民家庭恩格尔系数水平；Mo＝45。
661％,指居民家庭中出现最多的恩格尔系数水平;（2）均值＝47。
660％；4. 某学院二年级两个班的学生英语统考成绩如下表。
要求：（1）分别计算两个班的平均成绩;（2)试比较说明，哪个班的平均成绩更有代表性？哪个班的学生英语水平差距更大？你是用什么指标来说明这些问题的；为什么？英语统考成绩学生人数A班B班60以下4 660~70 12 1370~80 24 2880～90 6 890以上4 5合计50 605. 利用上题资料，试计算A班成绩分布的极差与平均差,并与标准差的计算结果进行比较，看看三者之间是何种数量关系。
统计学练习题及答案
统计学练习题及答案第⼀章导论练习题1．单选题（1）统计研究对象的特点包括（C）。
A、总体性B、具体性C、总体性和具体性D、同⼀性（2）下列指标中不属于质量指标的是（D）。
A、平均价格B、单位成本C、资产负债率D、利润总额（3）下列指标中不属于数量指标的是（C）。
A、资产总额B、总⼈⼝C、资产报酬率D、⼈⼝增加数（4）描述统计和推断统计的之间的关系是（A）。
A、前者是后者的基础B、后者是前者的基础C、两者没有关系D、两这互为基础（5）⼀个统计总体（D）A、只能有⼀个标志B、只能有⼀个指标C、可以有多个标志D、可以有多个指标（6）若要了解某市⼯业⽣产设备情况，则总体单位是该市（D）A每⼀个⼯业企业B每⼀台设备C每⼀台⽣产设备D每⼀台⼯业⽣产设备（7）某班学⽣数学考试成绩分别为65分71分、80分和87分，这四个数字是（D）A指标B标志C变量D标志值（8）下列属于品质标志的是（B）A⼯⼈年龄B⼯⼈性别C⼯⼈体重D⼯⼈⼯资（9）现要了解某机床⼚的⽣产经营情况，该⼚的产量和利润是（D）A连续变量B离散变量C前者是连续变量，后者是离散变量D前者是离散变量，后者是连续变量（10）劳动⽣产率是（B）A动态指标B质量指标C流量指标D强度指标（11）统计规律性主要是通过运⽤下述⽅法整理、分析后得出的结论（B）A统计分组法B⼤量观察法C综合指标法D统计推断法（12）（C）是统计的基础功能A管理功能B咨询功能C信息功能D监督功能（13）（A）是统计的根本准则，是统计的⽣命线A真实性B及时性C总体性D连续性（14）统计研究的数量是（B）A抽象的量B具体的量C连续不断的量D可直接相加的量（15）数量指标⼀般表现为（C）A平均数B相对数C绝对数D众数（16）指标是说明总体特征的，标志是说明总体单位特征的，所以（A）A指标和标志之间在⼀定条件下可以相互转换B指标和标志都是可以⽤数值表⽰的C指标和标志之间是不存在关系的D指标和标志之间的关系是固定不变的2．多选题（1）统计学发展过程中经历的主要学派有（ABCB）。
统计学习题03
第三章 数据的描述一、单项选择题1、平均数是对（ ）。
A 、总体单位数的平均B 、变量值的平均C 、标志的平均D 、变异的平均 答案：B2、权数的最根本作用体现在（ ）的变动上。
A 、数 B 、标志值C 、权数比重D 、标志值和次数 答案：C3、某单位职工的平均年龄为35岁，这是对（ ）的平均。
A 、变量 B 、变量值 C 、数量标志 D 、数量指标答案：B4、加权算术平均数的实质权数是（ ）。
A 、各单位占总单位数的比重 B 、各组的次数 C 、各组的标志值 D 、各组的频数答案：A5、集中趋势的主要测度值是（ ）。
A 、算术平均数B 、中位数C 、众数D 、几何平均数答案：A6、某副食品公司所属的三个商店，2004年计划规定销售额分别为500万元，600万元，800万元，执行的结果分别为104%，105%，105%，则该公司三个商店平均完成计划的计算方法为（ ）。
A 、32*1051*%104+B 、 800600500800*%105600*%105500*%104++++C 、%105800%105600%104500800600500++++D 、%105*%105*%1043答案：B7.在常用的 平均数中，易受极端值影响的是（ ）。
A 、算术平均数和几何平均数B 、调和平均数和几何平均数C 、算术平均数和众数D 、众数和中位数答案：D8、在有组距数列计算平均数时，用组中值代表组内变量一般水平的假定条件是（ ）。
A、各组的次数必须相等B、组中值能取整数C、各组变量值在本组内呈均匀分布D、各组必须是封闭组答案：C9、标志变异指标与平均数代表性之间存在（）。
A、正比关系B、反比关系C、恒等关系D、倒数关系答案：B10、在掌握了各组单位成本和各组产量资料时，计算平均单位成本所使用的方法应是（）。
A、算术平均数B、调和平均数C、几何平均数D、中位数答案：A11、两个总体的平均数不等，但标准差相等，则（）。
概率论与数理统计第三章习题答案
3
3 = ⋅ lim 4 n→∞
1⎡ ⎛1⎞ ⎢1 − ⎜ ⎟ 4⎣ ⎢ ⎝4⎠
0， 1， 2， 5，由题意，显然 ξ ~ B(5,0.2) 解：设 ξ代表设备使用的个数， ξ＝ "，
2 2 3 2 (1) P (ξ = 2) = C 5 p q = C5 ⋅ (0.2) 2 ⋅ (0.8) 3 = 0.2048
( 2) P (ξ ≤ 2) = P (ξ = 0) ＋P (ξ = 1) ＋P (ξ = 2)
2⎡ ⎛2⎞ ⎢1 − ⎜ ⎟ k ∞ 3⎣ ⎢ ⎝3⎠ ⎛2⎞ 而 ∑ ⎜ ⎟ = lim n →∞ 2 k =1 ⎝ 3 ⎠ 1− 3 1 所以， 2 c＝1，从而 c = . 2
n −1
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
=
2 1− 3
2 3
=2
3 ，以 ξ 表示首次取得成功的试 验 4 次数序号，试写出 ξ 的分布律，并求出 ξ 为偶数的概率 p。 7.设在某种试验中，试验 成功的概率为
0 1 2 = C5 (0.2) 0 (0.8) 5 + C 5 (0.2)1 (0.8) 4 + C 5 (0.2) 2 (0.8) 3 = 0.94208
( 3) P (ξ ≥ 2) = 1 − P (ξ = 0) − P (ξ = 1)
0 1 = 1 − C5 (0.2) 0 (0.8) 5 − C 5 (0.2)1 (0.8) 4 = 0.26272
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第三章 课后补充练习 一、判断题
1.总量指标是指能概括所有事物总量的一个综合指标（） 2.总量指标不仅反映现象在具体时间、空间条件下的总规模或总水平，而且也表现为总量之间的差额（） 3.总量指标的计量单位一般有实物单位、标准实物单位和复合单位（） 4.相对指标的数值一般表现为无名数，也有表现为有名数（） 5.强度相对数与算术平均数的主要区别在于“强度”与“算术”不一样（） 6.结构相对数中的“结构”是指总体内部的构成状况（） 7.某银行年末贷款余额为时点指标，储蓄余额为时期指标（） 8.某企业产品单位成本计划比上年降低4%，实际降低5%，则实际完成程度为1%。（） 9.算术（调和）平均数的基本形式是总体标志总量与总体单位总量的比值。（） 10.比较相对指标与比例相对指标没有实质区别。（） 11.某厂计划工业总产值完成250万元，实际于11月10日即达到国家计划，到年末完成300万元。则工业总产值计划完成度百分数为120%，提前50天完成任务。（） 12.某厂规定产品成本计划降低5%，实际降低10%，则产品成本降低计划完成程度为5%。（） 13.以下都属于平均指标：A 平均工资；B 平均单位成本；C 平均亩产量。（） 14.标志变异指标数值越大，则平均数的代表性就越高。（） 15.若平均数为820，标准差系数等于0.2，其方差等于164.（） 16.比较平均数不同的两个总体的各单位标志值变异程度应采用变异指标。（） 18.计算相对指标时，分子、分母属于同一总体的有：A 计划完成度相对指标；B 结构相对指标；C 比较相对指标；D 动态相对指标 20. 甲乙两个公司的平均工资分别为1200元、1400元；工资的标准差分别为220，240元。则乙公司平均工资的代表性更大。（）
21. 简单平均数是加权平均数的特例。（） 22. 加权平均数的实质在于比重权数。（） 23. 计划完成度相对指标，可以用总量指标计算，也可以用相对指标或平均指标计算。（） 24. 用比重权数计算的加权算术平均数可明确地显示出权数的实质。（） 25. 标志变动度的大小，不仅受变量值本身大小的影响，还受平均水平大小的影响。（） 26. 对开口组组距数列，以位置平均数代表现象的一般水平可能会收到更理想的效果。（） 27. 设某资料的中位数和众数分别为45和55，则算术平均数为50.（） 28. 计算标准差时，所用的离差的含义是平均差。（） 29. 某厂生产某种机床配件，要经过三道工序，各加工工序的合格率分别为96.5%，95.5%，92.5%，则三道工序的平均合格率为95.5%。（） 30. 某企业单位产品成本计划比上年降低6%，实际比上年降低3%，则单位产品成本计划仅完成一半。（） 31. 计划完成相对指标的数值只有大于100%，才说明超额完成计划。（） 32. 某市土地面积为15000平方公里，这是时期指标。（） 33. 相对指标是两个总量指标对比的比值，用百分数表示。（） 34. 平均数的代表性与标志变动度的大小成正比关系。（） 35. 职工平均工资，粮食平均每亩产量，平均每公顷耕地所占有的拖拉机台数，这些都是平均指标。？（） 36. 标准差是总体各单位标志值与其平均数离差平方和的平方根。（） 37. 某种商品在三个销售点的销售量和销售单价已知，计算该种商品的平均售价，应采用倒数算术平均数的计算公式计算。（） 38. 某公司所属三个企业，已知三个企业的产值计划完成程度和实际产值，计算该公司三个企业的产值平均计划完成程度应采用加权算术平均法。（） 39. 已知各个变量值的平均数等于4，各个变量值平方的平均数等于25，则标准差系数等于0.75.（） 40. 变量值越大，标准差也越大。（） 41. 如果两个变量数列的标准差相同，则说明标志变异程度也相同。（） 42. 成数的数值越接近0.5，成数的方差越大。（） 43. 几何平均数是算术平均数的变形。（）
二、选择题 1.在企业职工总体中，总体标志量有（ ） ① 企业数 ② 职工人数 ③ 固定资产投资总额 ④ 能源消耗量 ⑤ 固定资产折旧额 2.指出下列标志中的强度相对数（ ） ① 全员劳动生产率 ② 工人劳动生产率 ③ 人均能源消耗量 ④ 单位产品原材料消耗量 ⑤ 万元产值固定资产投资总额 3.某厂1997年计划规定工业总产值比15%，实际执行结果增长了20%，则1997年工业总产值计划完成程度（ ） ① 105% ② 133.3% ③ 104.34% ④ 95.83% ⑤ 75% 4.某厂去年第四季度计划规定万元产值消耗能源比第三季度下降10%，实际降低了6.6%，则该厂去年第四季度能源消耗水平计划完成情况为（ ）。 ① 超额3.78%完成计划 ② 差3.4%完成计划 ③ 完成计划的96.40& ④ 完成程度为96.91% ⑤ 实际能源消耗水平高于计划3.78%，未完成计划 5.某企业某种产品上年实际成本为500元，本年计划降低5%，实际降低了6^%，则成本降低计划完成程度为（ ） ① 1.05% ② 1% ③ 98.95% ④ 83.33% ⑤ 1.1% 6.某厂1966年完成产值200万元，1997年计划增长10%，实际完成231万元，则超额完成计划（ ） ① 5.5% ② 5% ③ 115.5% ④ 15.5% ⑤ 105% 7.下列指标中哪些是结构相对数（ ） ① 某年全民所有制职工占总数量的比重 ② 1997年某年产品产量比1996年增长30% ③ 1997年工业企业总数量中，全民所有制工业企业占25% ④ 1997年全民所有制工业企业的产量是集体所有制工业企业的2.5倍 ⑤ 1997年某地区的积累率为30.3% 8.价值指标的主要优点和不足是（ ） ① 能具体的表明事物的规模和水平 ② 不能用来反映现象的总规模和总水平 ③ 具有最广泛的综合性能和概括能力 ④ 不能用以对不同类型产品的综合比较 ⑤ 脱离了现象的物质内容，比较抽象，甚至不能确切地反映实际情况 9.不同质现象总体数量对比所形成的相对数是（ ） ① 动态相对数 ② 结构相对数 ③ 强度相对数 ④ 比较相对数 ⑤ 比例相对数 10.在相对指标中，计算结果一定小于100%的有（ ） ① 比较相对指标 ② 比例相对指标 ③ 结构相对指标 ④ 强度相对指标 ⑤ 动态相对数 11.某企业原材料消耗，计划比上期下降5%，实际比上期下降1%，则计划完成相对指标为（ ）。 ① 12% ② 80% ③ 95.96% ④ 104.21% ⑤ 4% 12.某企业产值计划比上年增长10%，实际比上年增长12%，则该企业产值计划超额完成（ ）。 ① 2% ② 18% ③ 1.8% ④ 20% ⑤ 12% 13.已知不同等级苹果的销售额和销售单价，计算苹果综合平均售价，应采用的方法有（ ） ① 简单算术平均数 ② 加权算术平均数 ③ 几何平均数 ④ 简单调和平均数 ⑤ 加权调和平均数 14.已知甲、乙两个变量数列的平均数分别为200个单位和100个单位，其标准差相等，则两个数列平均数的代表性（ ） ①甲大于乙 ② 甲小于乙 ③ 甲、乙相等 ④ 不可确定 15.要衡量平均数不等的两个总体各单位标志值的差异程度，要用（ ）。 ① 平均差 ② 标准差 ③ 全距 ④ 标准差系数 ⑤ 平均差系数 16.从相对指标的概念来看，用于对比的两个指标（ ） ① 必须都是总量指标 ② 必须都是同类指标 ③ 必须一个是数量指标，一个是质量指标 ④ 可以是同类指标，也可以是不同类指标 17.两个企业，甲企业劳动生产率是乙企业劳动生产率的1.5倍，这是（ ）。 ① 结构相对指标 ② 比例相对指标 ③ 比较相对指标 ④ 强度相对指标 ⑤ 平均指标 18.成本计划完成百分数（ ）100%，表明没有完成计划。 ①大于 ② 小于 ③ 等于 19.在我国的某镇人口自然增长率计划为0.4%，而实际增长率为0.5%，则该镇人口自然增长率计划完成相对数为（ ） ① 0.5%/0.4%=125%超额完成计划 ② 0.5%/0.4%=125%未完成计划 ③ （1+0.5%）/（1+0.4%）=100.1%超额完成计划 ④ （1+0.5%）/（1+0.4%）=100.1未完成计划 20.平均指标将总体单位标志值的数量差异（ ） ① 具体化 ② 明显化 ③ 扩大化 ④ 抽象化 ⑤ 缩小化 21.同一变量数列，简单算术平均数等于加权算术平均数的条件是（ ） ① 各组次数是正态分布 ② 各组次数相同 ③ 各组变量值相同 ④ 各组次数按一定比例增加 ⑤ 各组次数按一定比例减少 22.平均指标是说明（ ）。 ① 不同总体某一数量标志值的一般水平 ② 两种现象在一定条件下的平均水平 ③ 同质总体内某一数量标志值的一般水平 ④ 大量现象在一定条件下的一般水平 ⑤ 一切现象在一定条件下的一般水平 23.对所有乡办企业进行调查，其标志总量指标可以是（ ）。 ① 各企业总产值之和 ② 各企业职工人数总和 ③ 乡办企业总个数 ④ 各企业固定资产原值之和 ⑤ 各企业利润之和 24.下列指标属于数量指标的有（ ） ①粮食总产量 ② 人口密度 ③ 总人口数 ④ 与前期耕地面积之差 ⑤ 人均粮食消费量 25.分子、分母可以互换得相对指标有（ ） ① 比较相对指标 ② 比例相对指标 ③ 强度相对指标 ④ 计划完成相对指标 ⑤ 动态相对指标 26.相对指标的表现形式有（ ） ① 有名数 ② 系数 ③ 倍数 ④ 百分数 ⑤ 倒数 27.在对某镇的调查中，下列指标属于比较相对指标的有（ ） ① 甲镇工业增加值比乙镇工业增加值少8000万元 ② 甲镇2008年出生人数是2007年出生人数的102% ③ 甲镇的国内生产总值是乙镇的1.2倍 ④ 甲镇工厂女职工人数是男职工人数的5倍 ⑤ 甲镇工厂职工人数是乙镇工厂职工人数的5倍 28.相对指标中子项和母项属于同一个总体的有（ ） ① 比较相对指标 ② 比例相对指标 ③ 强度相对指标 ④ 结构相对指标 ⑤ 计划完成相对指标 ⑥ 动态相对指标 29.下列指标属于强度相对指标的有（ ） ① 某单位女职工占全体职工人数的80% ② 平均每人占有住房面积 ③ 粮食平均亩产量 ④ 人口自然增长率 ⑤ 甲地区人口密度是乙地区的2.5倍 30.平均指标是（ ） ① 质量指标 ② 在同一总体中计算的指标 ③ 数量指数 ④ 在不同总体中计算的指标 31.下列各项中应采用加权调和平均数计算的有（ ） ① 已知某种产品不同等级的销售单价和销售额，计算平均售价 ② 已知五个企业的产值计划完成程度和计划产值，计算平均计划完成程度 ③ 已知各种粮食作物亩产量和播种面积，求平均亩产量 ④ 已知各生产小组工人劳动生产率（件/人）和产品总数量，求平均工人劳动生产率 ⑤ 已知企业的全员劳动生产率（件/人）和产品总数量，求平均全员劳动生产率 32.下列指标属于平均指标的有（ ） ① 平均亩产量 ② 平均每平方公里土地面积上拥有128人 ③ 平均工人劳动生产率 ④ 平均每个农业劳动力生产的粮食数量 33.标志变异指标反映（ ） ① 变量值的集中趁势 ② 总体各单位标志值的差异程度 ③ 变量值的离散程度 ④ 总体各单位标志值的一般水平 34.标准差（ ） ① 又叫方差 ② 又叫均方差 ③ 是标志表一指标 ④ 是各单位指标值与其平均数离差平方的平均数的平方根 ⑤ 是各单位标志值与其平均数离差的平均数的平方根 35.几何平均数（ ） ① 是算数平均数的变形 ② 等于N个变量值连乘积的N次方根 ③ 用于求各中形式变量值的一般水平 ④ 适用于标志值按一定比率变化，求变化率的一般水平 ⑤ 是一个代表值 36.比较水平不同的两个变量数列的平均指标的代表性大小可采用（ ） ① 平均差 ② 均方差 ③ 全距 ④ 平均差系数 ⑤ 标准差系数 37.第一批产品废品率为1%。第二批废品率为1.5%，第三批废品率为2%；第一批数量占总数量的25%，第三批占30%，则产品废品率为（ ）