中考数学第一部分考点研究复习第四章三角形第1课时全等三角形真题精选含解析7
中考数学一轮复习《三角形及其性质》练习题(含答案)
中考数学一轮复习《三角形及其性质》练习题（含答案）课时1一般三角形及等腰三角形(建议答题时间：40分钟)1. (2017泰州)三角形的重心是()A. 三角形三条边上中线的交点B. 三角形三条边上高线的交点C. 三角形三条边垂直平分线的交点D. 三角形三条内角平分线的交点2. (2017金华)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是()A. 2，3，4B. 5，7，7C. 5，6，12D. 6，8，103. (2017株洲)如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的度数是()A. 145°B. 150°C. 155°D. 160°第3题图4. (2017甘肃)已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为()A. 2a＋2b－2cB. 2a＋2bC. 2cD. 05. (2017德阳)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图第6题图6. (2017滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为()A. 40°B. 36°C. 30°D. 25°7. (2017荆州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC 于点D，则∠CBD的度数为()A. 30°B. 45°C. 50°D. 75°第7题图第8题图第9题图8. (2017郴州)小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于()A. 180°B. 210°C. 360°D. 270°9. (2017天津)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是()．A. BCB. CEC. ADD. AC10. (2017泰州)将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________．第10题图第12题图第13题图11. (2017成都)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为________．12. (2017江西)如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB，若剪刀张开的角为30°，则∠A＝________度．13. (2017湘潭)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E，请任意写出一组相等的线段________．14. (2017徐州)△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DE＝7，则BC＝________.15. (2017丽水)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．16. (2017陕西)如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A ＝52°，则∠1＋∠2的度数为________．第16题图第18题图17. (2017淄博)在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________. 18. (2017宁夏)在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝13DM，当AM⊥BM时，则BC的长为________．19. (2017达州)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．20. (2017内江)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．第20题图21. (2017北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC 于点D.求证：AD＝BC.第21题图22. (2017连云港)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.第22题图课时2直角三角形及勾股定理(建议答题时间：40分钟)1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是()A. 3，4，5B. 1，2， 3C. 6，7，8D. 2，3，42. (2016沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是()A. 433 B.4 C. 83 D. 4 3第2题图第3题图3. (2017大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为()A. 2aB. 22aC. 3aD. 43 3a4. (2017黄石)如图，在△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝32，则∠CDE＋∠ACD＝()A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°第4题图第5题图5. (2017重庆巴蜀月考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若BC＝4，AC＝8，则BD＝()A. 3B. 4C. 5D. 66. (2017陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为()A. 3 3B. 6C. 3 2D. 21第6题图第7题图7. 关注数学文化(2017襄阳)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A. 3B. 4C. 5D. 68. (2017株洲)如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是________度．第8题图第11题图第12题图9. (2017安顺)三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于________．10. (2017岳阳)在△ABC中，BC＝2，AB＝23，AC＝b，且关于x的方程x2－4x ＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．11. (2017常德)如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________．12. (2017娄底)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是________．(用含m的代数式表示)13. (2017杭州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．第13题图第14题图14. (2017武汉)如图，在△ABC中，AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，BD＝2CE，则DE的长为________．15. (2017山西)一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB ＝∠BCD＝90°，∠A＝60°，∠CBD＝45°.E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F.若AD＝4 cm，则EF的长为________cm.第15题图第16题图16. (2017河南)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终．．落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为________．17. (2018原创)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)第17题图18. (2018原创)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高的长．第18题图19. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，(1)求AB的长；(2)求CD的长．第19题图20. (2017徐州)如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝33，将线段AC 绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC、DB.(1)线段DC＝________；(2)求线段DB的长度．第20题图答案课时1 一般三角形及等腰三角形1. A2. C3. B4. D【解析】由三角形中任意两边之和大于第三边，得：a＋b>c，∴c－a－b ＝c－(a＋b)<0，∴|c－a－b|＝a＋b－c，|a＋b－c|＝a＋b－c，∴|a＋b－c|－|c－a －b|＝0.5. B【解析】∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABE＝50°，又∵∠BAC ＝60°，则∠C＝70°，又∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＝20°.6．B【解析】设∠C＝x°，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x°，∴∠ADB＝2x°，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x°，∴∠B＝180°－4x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°，∴180°－4x°＝x°，解得x＝36，∴∠B＝∠C＝36°.7．B【解析】∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，又∵l为AB的垂直平分线，∴DB＝DA，∠DBA＝∠A＝30°∴∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝75°－30°＝45°.8. B【解析】如解图，∵∠C＝∠F＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠2＋∠5＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠3＝∠5，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠5＝180°－∠β，∵∠α＝∠D＋∠1＝∠D＋180°－∠β，∴∠α＋∠β＝∠D＋180°＝30°＋180°＝210°.第8题解图9. B【解析】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点B关于AD的对应点为点C，∴CE等于BP＋EP的最小值．10. 15°11. 40°12. 7513. CD＝DE14. 1415. 100°【解析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为100°，则这个内角为顶角，此时两底角均为40°，即该三角形顶角的度数是100°.16. 64°【解析】∵在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线，∴∠1＝∠ABD＝12∠ABC，∠2＝∠ACE＝12∠ACB，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)，∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－52°＝128°，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)＝12×128°＝64°.17. 23【解析】假设点D与点B重合，可得DE＋DF为等边三角形AC边上的高，再由等边三角形的边长为4，可求AC边上的高为23，故DE＋DF＝2 3.18. 8【解析】∵AM⊥BM，∴∠AMB＝90°，在Rt△ABM中，∵D是AB的中点，∴DM＝12AB＝3，∵ME＝13DM，∴ME＝1，DE＝4，又∵DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝8.19. 1＜m＜4【解析】如解图，延长AD到点E，使AD＝ED，连接CE，∵AD 是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵在△ABD和△ECD中，BD＝CD，DE＝AD，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB＝EC，在△AEC中，∵AC＋EC＞AE，且EC－AC＜AE，即AB＋AC＞2AD，AB－AC＜2AD，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4即1＜m＜4.第11题解图20. 证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAC.∴∠BAD＝∠ADE，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠B＝90°.∵∠BDE＋∠ADE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形．21. 解：∵AB＝AC∴在△ABC中，∠ABC＝∠C＝12(180°－∠A)＝12×(180°－36°)＝72°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC＝12×72°＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD，又∵在△ABC中，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BC.22. (1)解：∠ABE＝∠ACD.理由如下：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)．∴∠ABE＝∠ACD；(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.又∵AB＝AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A、F的直线垂直平分线段BC.课时2直角三角形及勾股定理1. B2. D3. B【解析】∵CD⊥AB，CD＝DE＝a，∴CE＝2a，∵在△ABC中，∠ACB ＝90°，点E是AB的中点，∴AB＝2CE＝22a.4. C【解析】∵点E为BC边的中点，CD⊥AB，DE＝32，∴BE＝CE＝DE＝32，∴∠CDE ＝∠DCE ，BC ＝ 3.在△ABC 中，AC 2＋BC 2＝1＋(3)2＝4＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴∠CDE ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ＝90°.5. C 【解析】设BD ＝x ，∵边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，∴AD ＝BD ＝x ，则CD ＝8－x ，在Rt △BCD 中，根据勾股定理，得x 2－(8－x )2＝42，解得x ＝5.6. A 【解析】∵∠ACB ＝∠A ′C ′B ′＝90°，AC ＝BC ＝3，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋32＝32，又∵△ABC ≌△A ′B ′C ′， ∴A ′B ′＝ AB ＝32， ∠C ′A ′B ′＝∠CAB ＝45°，∴∠CAB ′＝∠C ′AB ′＋∠CAB ＝ 45°＋45°＝90°，在Rt △CAB ′中，AC ＝3，AB ′＝32，∴B ′C ＝AC 2＋AB′2＝32＋（32）2＝3 3.7. C 【解析】如解图，∵S 正方形ABCD ＝13，∴AB ＝13，∵AG ＝a ，BG ＝b ，∴a 2＋b 2＝AB 2＝13，∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝21，∴2ab ＝(a ＋b )2－a 2－b 2＝21－13＝8，∴ab ＝4，∴S △ABG ＝12ab ＝12×4＝2，∴S 小正方形＝S 大正方形－4S △ABG ＝13－4×2＝5.第7题解图8. 25 9. 5210. 2 【解析】∵方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝16－4b ＝0，解得b ＝4.又∵BC ＝2，AB ＝23，AC ＝b ＝4，∴AB 2＋BC 2＝(23)2＋22＝42＝AC 2，∴∠B ＝90°，∴AC 边上的中线长为2.11. 0<CD ≤5 【解析】如解图，取BE 的中点F ，连接AF ，∵∠A ＝90°，则AF ＝12BE ＝EF ＝5，∴∠EAF ＝∠E ＝90°－∠B ＝30°，又∵∠CDE ＝30°，∴∠CDE＝∠EAF ，∴CD ∥AF ，∴CD AF ＝EDEA .当D 与A 重合时，CD 与AF 重合，取得最大值为5，当D 接近于E 时，DE 越小，CD 越小，∵线段CD 不能为0，∴0<CD≤5.第11题解图12. 2＋2m【解析】如解图，连接BD，∵D为AC的中点，∴BD⊥AC，BD 平分∠ABC，∴∠BDC＝90°，∠ABD＝∠C＝45°，∴∠BDF＋∠FDC＝90°，又∵∠EDF＝90°，∴∠BDF＋∠BDE＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，∴△BED≌△CFD(ASA)，∴BE＝CF，DE＝DF，则BE＋BF＋EF＝BC＋EF＝2＋EF，而Rt △DEF中，DE＝DF＝m，∴EF＝2m，则△BEF的周长为2＋ 2 m.第12题解图13. 78【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝15，AC＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC＝152＋202＝25，∵AD＝5，∴DC＝20－5＝15，∵DE⊥BC，∠BAC＝90°，∴△CDE∽△CBA，∴CECA＝CDCB，∴CE＝1525×20＝12.第13题解图14. 33－3【解析】∵AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，∴BC＝6，∠B＝∠BCA ＝30°，如解图，将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACD′，∴∠D′CA＝∠B ＝30°，AD＝AD′，∴∠D′CE＝60°，∵∠DAE＝60°，∠DAD′＝120°，∴∠EAD′＝60°，∴△EAD′≌∠EAD(SAS)，∴ED′＝ED，∴ED′＋BD＋EC＝6，∴EC＝6－DE3，∵CD ′＝BD ＝2CE ，∠D ′CE ＝60°，∴∠D ′EC ＝90°，∴D ′E 2＋EC 2＝D ′C 2，即DE 2＋(6－DE 3)2＝(6－DE3×2)2，解得DE ＝33－3(负根舍去)．第14题解图15. 2＋6 【解析】如解图，连接DE ，在EF 上找一点G ，使得DG ＝EG ，连接DG ，在Rt △ABD 中，∠A ＝60°， ∴AD ＝12AB ，又∵E 为AB 的中点，∴AE ＝12AB ＝DE ，∴AD ＝AE ＝DE ，∴△ADE 为等边三角形 ，∴DE ＝AD ＝4 cm ，∠DEA ＝60°，又∵EF ⊥CD ，∠C ＝90°，∴EF ∥CB ，∴∠AEF ＝∠ABC ＝75°，∴∠DEF ＝15°，在Rt △EFD 中，∠EFD ＝90°，∵DG ＝EG ，∴∠GDE ＝∠DEF ＝15°，∴∠DGF ＝30°，设DF ＝x ，则EG ＝DG ＝2x ，FG ＝3x ，EF ＝(2＋3)x ，根据勾股定理得DF 2＋EF 2＝DE 2，即x 2＋(2＋3)2x 2＝16，解得x ＝6－2，∴EF ＝(2＋6) cm .第15题解图16. 2＋12或1 【解析】(1)当∠B ′MC 为直角时，此时点M 在BC 的中点位置，点B ′与点A 重合，如解图①，则BM 长度为12BC ＝2＋12；(2)当∠MB ′C 为直角时，如解图②，根据折叠性质得，BM ＝B ′M ，BN ＝B ′N ，B ′M ∥BA ，∴MC BC ＝B ′MAB ，即MC B ′M ＝BC AB ＝2，∴MC B ′M＝2，即MC ＋BM BM ＝2＋11，即BCBM ＝2＋11，∵BC＝2＋1，∴BM＝1.故BM长为2＋12或1.第16题解图17. 解：∵∠BDC＝45°，∠ABC＝90°，∴△BDC为等腰直角三角形，∴BD＝BC，∵∠A＝30°，∴BC＝12AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，即(2BC)2＝(4＋BD)2＋BC2，解得BC＝BD＝2＋23(负根舍去)．18. 解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴BD＝52－42＝3；(2)如解图，延长CB，过点A作AE⊥CB交CB延长线于点E，∵DB⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥DB，∵D为AC边的中点，∴BD＝12AE，∴AE＝6，即BC边上高的长为6.第18题解图19. 解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，∴AB＝AC2＋BC2＝202＋152＝25，即AB的长是25；(2)∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD，∴20×15＝25·CD，∴CD＝12.20. 解：(1) 4；【解法提示】在△ACD中，∵∠A＝60°，AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴DC＝AC＝4.(2)如解图，过点D作DE⊥BC于点E.第20题解图在△CDE中，∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，CD＝4，∴DE＝2，根据勾股定理得CE＝CD2－DE2＝23，∴BE＝BC－CE＝33－23＝3，∴DB＝BE2＋DE2＝（3）2＋22＝7.。
2020深圳中考数学一轮复习宝典课件 第1部分 第4章 第4讲 全等三角形
BC＝AC ∴△CEB≌△ADC(AAS)，
∴BE＝DC，AD＝CE＝2.5
∴BE＝CD＝CE－DE＝2.5－1.8＝0.7.
——基于深圳考纲的 2 个中考考点
考点 1 全等三角形的判定(6 年 1 考)
六年深圳 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 2019 年
中考
1
1．(2014 深圳中考第 1 题)如图，在△ABC 和△DEF 中，AB＝DE、
∠B ＝ ∠DEF ， 添 加 下 列 哪 一 个 条 件 无 法 证 明 △ABC ≌
△DEF( C )
A．AC∥DF
B．∠A＝∠D
C．AC＝DF
D．∠ACB＝∠F
思路分析：在已知条件中，已经具备了一组边、一组角对应相等，
方法总结：本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；解答的 关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找两个 角的数量关系，把问题转化到同一个三角形中．
2．(2020 年深圳中考预测)王强同学用 10 块高度都是 2 cm 的相同 长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可 以放进一个等腰直角三角板(AC＝BC，∠ACB＝90°)，点 C 在 DE 上，点 A 和点 B 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之 间的距离．
对点练习 7：如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE， 垂足分别为 D，E，AD＝2.5，DE＝1.8，求 BE 的长．
解：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC＋∠BCE＝90°. ∵∠BCE＋∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA.
在△CEB 和△ADC 中，
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 第四节 全等三角形
证明：∵AB＝AC，点 D，E 分别是 AC 和 AB 的中点，
∴AD＝AE.
AB＝AC，
在△ABD 和△ACE 中，∠A＝∠A，
AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD＝CE.
5．(2021·兰州第 20 题 5 分)如图，点 E，C 在
线段 BF 上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF.求证：
(3)添加条件：BE＝CD，所用判定方法是 SASASS；
(4)能不能添加条件“BC＝DE”？不能不能 (选填“能”或“不能”)．
2．如图，已知△ABC 中，∠ABC＝45°，AC＝4，H 是高 AD 和 BE 的交点， 则线段 BH 的长度是__44__.
3．(数学文化)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股 形)分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°， BD＝4，CF＝6，则正方形 ADOF 的边长是 2 .
AC＝DF. 证明：∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF， ∠A＝∠D，
在△ABC 与△DEF 中，∠ABC＝∠DEF， BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴AC＝DF.
6．(2019·兰州第 20 题 6 分)如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E.求证： AC∥DF.
证明：∵BF＝EC，
第四节 全等三角形
1．(RJ 八上 P43 习题 T1 变式)如图，点 B 在 AE 上，点 D 在 AC 上，AB＝ AD.要证△ABC≌△ADE.
(1)添加条件：∠A∠BCA＝B∠C＝AD E，所用判定方法是 ASA； (2)添加条件：∠∠C∠＝CA＝DE∠∠EE，所用判定 3 分)如图，已知∠1＝∠2，AC
＝AD.请添加一个条件，使△ABC≌△AED，则添加的条
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(四) 全等三角形之六大模型
得对应边相等
2．(2021·泸州)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求
证：BD＝CE. 证明：在△ABE与△ACD中，
∠A＝∠A，
AB＝AM，
在△ABN 和△AMC 中，∠BAN＝∠MAC， AN＝AC，
∴△ABN≌△AMC(SAS)，∴BN＝MC.
6．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE 与 BD 交于点 F.
(1)求证：AE＝BD； 证明：∵AC⊥BC， DC⊥EC， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE， 即∠ACE＝∠BCD.在△ACE 和△BCD 中， AC＝BC，
证明：∵ BF＝EC，
∴EF＝ BC，
在△BCA与△EFD中，
AB＝DE，
∠B＝∠E， BC＝EF， ∴△BCA≌△FED（SAS）， ∴∠A＝∠D，
模型二：轴对称型 【模型归纳】
有公 模型 共边 展示 有公共
顶点Leabharlann 模型 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线 特点 折叠，两个三角形能完全重合
5．如图，在△ABC 中，分别以 AB，AC 为边向外作等边三角形 ABM 与等边 三角形 ACN，连接 MC，BN.求证：BN＝MC.
证明：∵△ABM 和△ACN 是等边三角形， ∴AB＝AM，AN＝AC，∠BAM＝∠NAC＝60°， 又∵∠BAN＝∠BAC＋∠NAC， ∠CAM＝∠BAC＋∠BAM， ∴∠BAN＝∠MAC，
＝ 43BD2
解题 常过顶点作角两边的垂线，构造全等三角形，或旋转一定的角
专题 04全等三角形(3个知识点4种题型1个易错点1种中考考法)(解析版)
专题 04全等三角形（3个知识点4种题型1个易错点1种中考考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.全等形的概念（重点）知识点2.全等三角形的概念和表示方法（重点）知识点3全等三角形的性质（重点）【方法二】实例探索法题型1.根据全等图形的定义作图题型2.全等三角形性质的应用题型3.图形变换中的全等三角形问题题型4.利用全等三角形的性质解决探究性问题【方法三】差异对比法易错点. 对应关系考虑不全面而出错【方法四】仿真实战法考法.全等三角形的性质【方法五】成果评定法【学习目标】1.了解全等形的概念，会判断两个图形是不是全等形。
2.理解全等三角形的概念，学会判断对应元素的方法。
3.掌握全等三角形的性质，能利用全等三角形的性质解决相关的证明和计算问题。
【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.全等形的概念（重点）形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.【例1】下列各组的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可．【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，B.两个图形不能完全重合，不是全等图形，符合题意，C.两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，D.两个图形能完全重合，是全等图形，不符合题意，【变式】找出下列各组图中的全等图形（ ）A．②和⑥B．②和⑦C．③和④D．⑥和⑦【答案】C【详解】解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合，故A选项不符合题意；∵图形②和图形⑦不能够完全重合，故B选项不符合题意；∵图形③和图形④能够完全重合，故C选项符合题意；∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合，故D选项不符合题意；知识点2.全等三角形的概念和表示方法（重点）1.全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.2. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.3. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.【例2】（2022秋·江苏徐州阶段练习）下图中全等的三角形是（）A ．①和②B ．②和④C ．②和③D ．①和③【答案】D 【详解】A 、①和②，SA ，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意；B 、②和④，5cm 分别是图②和图④30°的邻边和对边，两个三角形不全等，不符合题意；C 、②和③，SA ，角的另一条邻边不相等，两个三角形不全等，不符合题意；D 、①和③，SAS ，两个三角形全等，符合题意；【变式】下列各组图形中，一定全等的是（ ） A.各有一个角是45°的两个等腰三角形 B.两个等边三角形 C.各有一个角是40°，腰长3cm 的两个等腰三角形 D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形【答案】D ；解析：A 、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；B 、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；C 、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；D 、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．【例3】（2022秋·江苏·专题练习）如图，ABC CDA △△≌，AB 和CD ，BC 和DA 是对应边．写出其他对应边及对应角．【答案】其他对应边：AC 和CA ．对应角：BAC Ð和DCA Ð，B Ð和D Ð，ACB Ð和CAD Ð．【详解】解：∵△ABC ≌△CDA ，∴其他对应边：AC 和CA ．对应角：∠BAC 和∠DCA ，∠B 和∠D ，∠ACB 和∠CAD ．【变式】如图，△ABN ≌△ACM ，∠B 和∠C 是对应角，AB 与AC 是对应边，写出其他对应边和对应角. 【答案与解析】对应边：AN 与AM ，BN 与CM 对应角：∠BAN 与∠CAM ， ∠ANB 与∠AMC 【总结】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角.知识点3全等三角形的性质（重点） 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【例4】（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，AOD COB △△≌，若5AO =，则AC 的长度为（ ）A ．2B ．5C ．10D ．15【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到5AO CO ==即可求解．【详解】∵AOD COB △△≌，5AO =，∴5AO CO ==，∴10AC AO CO =+=，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟记全等三角形对应边相等是解题的关键．【变式】如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线经过点E ，交AD 于F ，∠ACB ＝∠AED ＝105°，∠CAD ＝10°，∠B ＝50°，则∠AFE ＝_______°．【答案】85【详解】解：在△ABC 中，∵∠B ＝50°，∠ACB ＝105°，∴∠BAC ＝25°，∵∠CAD ＝10°，∠B ＝50°，∴∠AFE ＝∠BAD +∠B ＝∠BAC +∠CAD +∠B ＝25°+10°+50°＝85°，故答案为：85．【方法二】实例探索法题型1.根据全等图形的定义作图1．在3×3的方格纸中，试用格点连线将方格纸分割成两个大小、形状都相同的多边形．试画出四种不同的分割方法：【分析】根据全等图形的定义和方格的特点解答即可．【详解】解：如图：【点睛】本题考查了图形的分割和全等图形的定义，熟练掌握方格纸的特点是解答本题的关键．2．（2022秋·吉林长春·八年级统考期中）已知：图①、图②是正方形网格，△PQR的顶点及点A、B、C、D、E均在格点上，在图①、图②中，按要求各画一个与△PQR全等的三角形要求：（1）两个三角形分别以A、B、C、D、E中的三个点为顶点；（2）两个三角形的顶点不完全相同．【分析】（1）由全等的性质知，对应边相等，对应角相等，由此结合要求画图即可；（2）由全等的性质知，对应边相等，对应角相等，由此结合要求画图即可．【详解】解：（1）如图所示，ABEV即为所求．V即为所求．（2）如果所示，EDC【点睛】本题考查全等三角形的性质，牢记性质内容并能够灵活应用是解题关键．3．（2022秋·全国·八年级专题练习）将网格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．【分析】根据全等的性质可进行求解．【详解】如图所示，（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义：形状和大小完全相同的两个图形叫全等形．4．（2022秋·全国·八年级专题练习）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形．【分析】直接利用图形总面积得出每一部分的面积，进而求出答案．【详解】Q共有3412´=个小正方形，\被分成四个全等的图形后每个图形有1243¸=，\如图所示：，【点睛】本题主要考查了应用设计图作图，正确求出每部分面积是解题关键．5．着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．【分析】如图所示，按图中实线部分即可将原图形划分为4个全等的图形，且能拼成一个正方形．（答案不唯一）【详解】【点睛】本题考查全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．题型2.全等三角形性质的应用6．如图，已知△ABF≌△CDE．（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；（2）若BD＝10，EF＝2，求BF的长．【解答】解：（1）∵△ABF≌△CDE，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠EFC＝∠DCF+∠D＝70°；（2）∵△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，∴BF﹣EF＝DE﹣EF，即BE＝DF，∵BD＝10，EF＝2，∴BE＝（10﹣2）÷2＝4，∴BF＝BE+EF＝6．7.（2022秋•句容市期末）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．（1）当DE＝8，BC＝5时，求线段AE的长；（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC与∠AFD的度数．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，∴AE＝AB＝BE＝8﹣5＝3；（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝35°，∠C＝60°，∴∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，∠ABC＝∠DEB，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°，∵∠ABC＝85°，∴∠DEB ＝85°，∴∠AED ＝95°，∴∠AFD ＝∠A +∠AED ＝35°+95°＝130°．题型3.图形变换中的全等三角形问题8．（2022秋·八年级课时练习）如图，Rt ABC V 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到DEF V ，下列结论错误的是（ ）A ．ABC V ≌DEFV B ．90DEF Ð=°C ．BE EC =D ．D AÐ=Ð【答案】C 【详解】解：A 、Rt ABC V 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到DEF V ，则ABC V ≌DEF V 成立，故正确，不符合题意；B 、DEF V 为直角三角形，则90DEF Ð=°成立，故正确，不符合题意；C 、BE EC =不能成立，故错误，符合题意；D 、D A Ð=Ð为对应角，正确，不符合题意；9．（2022秋·八年级课时练习）如图，把△ABC 沿线段DE 折叠，使点B 落在点F 处；若AC DE ∥，∠A =70°，AB =AC ，则∠CEF 的度数为（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°【答案】D 【详解】解：ABC QV 沿线段DE 折叠，使点B 落在点F 处，BDE FDE \@V V ，DEB DEF \Ð=Ð，70A AB AC Ð=°=，Q ，12180705)5(B C \Ð=Ð=´°-°=°，【答案】39【详解】解：由平移的性质知，∴PE ＝DE −DP ＝8−3＝5，11.如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在位置，A 点落在位置，若，则的度数是____________.【答案】70°；提示：＝∠＝90°－20°＝70°.12.如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.B 'A 'AC A B ''^BAC ÐBAC ÐB A C ''【答案】∠α＝80°【解析】∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28，∠2＝5，∠3＝3，∴28＋5＋3＝36＝180°，＝5°即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°∵△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 翻折180°形成的，∴△ABE ≌△ADC ≌△ABC∴∠2＝∠ABE ，∠3＝∠ACD∴∠α＝∠EBC ＋∠BCD ＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°13.已知：如图所示，Rt △EBC 中，∠EBC ＝90°，∠E ＝35°.以B 为中心，将Rt △EBC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABD ，求∠ADB 的度数.解：∵Rt △EBC 中，∠EBC ＝90°，∠E ＝35°，∴∠ECB ＝________°.∵将Rt △EBC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABD ，∴△________≌△_________.∴∠ADB ＝∠________＝________°.【思路点拨】由旋转的定义，△ABD ≌△EBC ，∠ADB 与∠ECB 是对应角，通过计算得出结论.【答案】55；ABD ，EBC ；ECB ，55【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.题型4.利用全等三角形的性质解决探究性问题14.如图，△ABD ≌△EBC ，AB=3cm ，BC=6cm ，（1）求DE 的长．（2）若A 、B 、C 在一条直线上，则DB 与AC 垂直吗？为什么？x x x x x x xx【答案与解析】解：（1）∵△ABD≌△EBC，∴BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，∴DE=BD﹣BE=3cm；（2）DB⊥AC．理由如下：∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD=∠EBC，又∵∠ABD+∠EBC=180°，∴∠ABD=∠EBC=90°，∴DB⊥AC．15．（2022秋•盐都区月考）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．（1）线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．（2）请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．【解答】（1）解：DE＝CE+BC．理由：∵△ABC≌△DAE，∴AE＝BC，DE＝AC．∵A，E，C三点在同一直线上，∴AC＝AE+CE，∴DE＝CE+BC；（2）当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC，证明：∵△ABC≌△DAE，∠AED＝90°，∴∠C＝∠AED＝90°，∠DEC＝180°﹣∠AED＝90°，∴∠C＝∠DEC．∴DE∥BC，即当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC．(1)如图①，当P在BC上，t＝ 时，△APC的面积等于(2)如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，【方法三】差异对比法易错点. 对应关系考虑不全面而出错17．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝8cm，CD＝6cm，∠B＝∠C，【方法四】仿真实战法考法.全等三角形的性质18．（2020•淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．19．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 ．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，又BC＝8，∴EF＝8，∵EC＝5，∴CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3．故答案为：3．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）下列图形中被虚线分成的两部分不是全等形的是（）A．B．C．D．A．3cm B．4cm【答案】D【分析】根据全等三角形的性质和三角形的三边关系解答即可【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的三边关系，正确求出26AB <<是解题的关键.4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，,28,95,20ABC ADE B E EAB Ð=°Ð=°Ð=°V V ≌，则BAD Ð为（ ）A ．77°B ．62°C ．57°D ．55°【答案】A 【分析】根据全等三角形的对应角相等得到28D B Ð=Ð=°，根据三角形内角和定理求出EAD Ð，进而求出BAD Ð．【详解】解：∵,28ABC ADE B Ð=°V V ≌，∴28D B Ð=Ð=°，∴180180952857EAD E D Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，∴572077BAD EAB EAD Ð=Ð+Ð=°+°=°，故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握全等三角形的对应角相等，是解题的关键．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）下列说法中，正确的有（ ）①形状相同的两个图形是全等形 ②面积相等的两个图形是全等形 ③全等三角形的周长相等，面积相等 ④若ABC DEF ≌△△，则A D Ð=Ð，AB EF=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】根据全等的定义和性质判断即可．【详解】①形状大小都相同的两个图形是全等形，故①错误；②面积相等的两个图形不一定是全等形，故②错误；③全等三角形的周长相等，面积相等，是对的，故③正确；④若ABC DEF ≌△△，则A D Ð=Ð，AB DE =，故④错误；故正确的有1个．故选：A【点睛】此题考查全等三角形的定义和性质，解题关键是掌握全等三角形的定义．6．（2022秋·江苏徐州·八年级校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）A ．两个直角三角形一定全等B ．形状相同的两个三角形全等C ．面积相等的两个三角形全等D ．全等三角形的面积一定相等【答案】D【分析】根据全等三角形定义进行分析即可．【详解】解：A ，两个直角三角形只满足一组角相等，不一定全等，说法不正确；B ，形状相同的两个三角形大小不一定相同，不一定全等，说法不正确；C ，面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定全等，说法不正确；D ，全等三角形能够完全重合，因此面积一定相等，说法正确．故选D ．【点睛】本题考查全等三角形的定义，解题的关键是牢记定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．7．（2023秋·河南周口·八年级校考期末）如图，已知ABC CDA △△≌，4AB =，5BC =，6AC =，则AD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】B 【分析】根据全等三角形对应边相等解答即可．【详解】解：ABC CDA QV V ≌，5BC =，5AD BC \==，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出AD 的对应边是解题的关键．8．（2023春·四川达州·八年级四川省万源中学校考阶段练习）如果△ABC 的三边长分别为3、5、7，△A．1或3C．1或115或235【答案】C二、填空题【答案】15【分析】根据全等三角形的性质求解即可．△△【详解】解：∵ABC≌【答案】40°/40度【分析】根据全等三角形的性质得出【详解】解：∵ABC ADE △≌△∴BAC DAE Ð=Ð，【答案】50°【分析】三角形全等，有对应边相等，对应角相等，找到【详解】解：如图，a Ð是边a 和c 的夹角，左图是故50a Ð=°【答案】105【分析】根据全等的性质求出A A'Ð=Ð′，D DÐ=ÐA'Ð度数．【详解】解：Q四边形ABCD≌四边形A B C D''''，【答案】1s或7s4．【分析】根据题意分两种情况讨论：①可．【详解】解：分两种情况：【答案】()1,4-或()1,2--或(3,【分析】根据题意画出图形，根据【详解】解：符合题意的有3个，如图，∵点A 、B 、C 坐标为()1,3，(1,∴1D 的坐标是()1,4-，2D 的坐标是【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是正确画出图形，此题难度不大．17．（2022秋·北京·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系点，其中点P 以每秒2个单位长度的速度沿折线位长度的速度沿折线BOA （按照到各自的终点时停止．设运动时间为垂足为E ，F ，当OPE V 与OQF △【答案】23或2或6【分析】根据题意可分三种情况：①点上，点Q 在点A 处，可画出对应图形，利用全等三角形的性质求解即可．【详解】解：根据题意，6OA =，当点P 运动到点O 时，62t =¸=点Q 运动到点O 时，8855t =¸=，点当OPE V 与OQF △全等时OP OQ =∵62OP t =-，85OQ t =-，∴6285t t -=-，解得：23t =；②点P 、Q 都在OA 上，如图，当OPE V 与OQF △全等时，点P 、Q ∵62OP t =-，58OQ t =-，∴6258t t -=-，解得：2t =；③点P 在OB 上，点Q 在点A 处，如图，当OPE V 与OQF △全等时OP OA =，则266t -=，解得：6t =，综上，满足条件的t 值为23或2或6，故答案为：23或2或6．【点睛】本题考查全等三角形的性质、坐标与图形、一元一次方程的应用，理解题意，利用数形结合和分类讨论思想解决动点问题是解答的关键．18．（2022秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）如图，在9BC =cm ，12AC =cm ，15AB =cm （1）如上图，当（2）如图，在V 个动点Q ，与点时刻，恰好APQ △【答案】2s或5.5s【分析】（1）根据三角形中线的性质，分即可；（2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点此时12 4.55.5s3t+==当P点运动到AC此时12APC ABC S S=V V∴此时P点在AC此时62s3t==，综上所述，当2t=4cmAP DE AQ DF ===，∴435x¸=¸解得x=154；②当点P在AC上，点Q在5cmAP DF AQ DE ====，∴534x¸=¸，解得x=125；③当点P在AB上，点Q在5cmAP DF AQ DE ===，∴点P的路程为91215++-∴31332x¸=¸解得x=96 31；4cm AP DE AQ DF ===，∴点P 的路程为91215++-∴32331x¸=¸解得x =9332；三、解答题19．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图所示，已知ABE ACD V V ≌，指出它们的对应边和对应角．【答案】见解析【分析】根据全等三角形的概念，正确的确定对应边和对应角即可．【详解】解：∵ABE ACD V V ≌，∴AB 的对应边是AC ，BE 的对应边是CD ，AE 的对应边是AD ，B Ð的对应角是C Ð，BAE Ð的对应角是CAD Ð，E Ð的对应角是D Ð．【点睛】本题考查全等三角形的概念．熟练掌握全等三角形对应边和对应角的概念，是解题的关键．20．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图，ABC DEC ≌△△，点B ，,C D 在同一直线上，点E 在AC 上．(1)若3,5BC CD ==，求AE (2)判断AB 与DE 所在直线的位置关系，并说明理由．【答案】(1)2AE =(2)AB DE ^，理由见解析【点睛】本题考查了全等三角形的性质、三角形的外角性质、线段的和差以及垂线定义等知识，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．21．（2022秋·江苏宿迁·八年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案．【答案】见解答过程．【分析】根据正方形的性质，①两条对角线把正方形分成四个全等的三角形；②作一组对边的平行线也能把正方形分成四个全等的矩形；③连接一组对边的中点，把正方形分成两个全等的矩形，再作矩形的对角线就把每个矩形都分成两个全等的三角形，这样就分成了四个全等的三角形；④过正方形的中心做互相垂直的两条线也能把正方形分成四个全等的四边形．【详解】解：设计方案如下：【点睛】本题主要考查了全等图形的意义，要利用正方形及全等形的性质求解，方案多种多样，只需要满足要求即就．22．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形．【答案】画图见解析.【详解】如图所示：．23．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知ABC DEF ≌△△，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上．(1)若140BED Ð=°，75D Ð=°，求ACB Ð的度数；(2)若2BE =，3EC =，求BF 的长．【答案】(1)65°(2)7【分析】（1）由三角形外角性质，得65F BED D Ð=Ð-Ð=°，由三角形全等知65ACB F Ð=Ð=°；（2）由条件可推出5BC BE EC =+=，由三角形全等知5BC EF ==，故7BF BE EF =+=．【详解】（1）解：∵140BED Ð=°，75D Ð=°，∴65F BED D Ð=Ð-Ð=°．∵ABC DEF ≌△△，∴65ACB F Ð=Ð=°；（2）解：∵2BE =，3EC =，∴5BC BE EC =+=∵ABC DEF ≌△△，∴5BC EF ==，∴257BF BE EF =+=+=．故答案为：7．【点睛】本题考查三角形外角的性质，全等三角形的性质，由全等三角形得出角之间，线段之间的相等关系是解题的关键．24．（2022秋·甘肃定西·八年级校联考阶段练习）如图，已知ABE ACD V V ≌，且AB AC =．(1)BAD Ð与CAE Ð有何关系？请说明理由；(2)BD 与CE 相等吗？为什么？【答案】(1)BAD CAE Ð=Ð，理由见解析(2)相等，理由见解析【分析】(1)根据全等三角形的性质，利用等式性质证明即可．(2)根据全等三角形的性质，利用等式性质证明即可．【详解】（1）BAD CAE Ð=Ð．理由：,ABE ACD BAE CAD \Ð=ÐQ △≌△．,,BAE BAD DAE CAD CAE DAE ÐÐÐÐÐÐ=+=+BAD CAE ÐÐ\=．（2）相等．理由：ABE ACD V V ≌，BE CD \=，BD CE \=．【点睛】本题考查了三角形全等的性质，等式的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．25．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，长方形ABCD 中，4AB =cm ，6BC =cm ，现有一动点P 从t=秒时，BP= cm；(1)当3DQ=，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点(2)Q为AD边上的点，且5等．【答案】(1)2(2)2.5或4.5或7.5或9.5∴要使一个三角形与①当点P运动到P(1)如图①，当t ＝ 时，APC D 的面积等于ABC D 面积的一半；(2)如图②，在DEF D 中，90E а＝，4cm DE ＝，5cm DF =点Q ，与点P 同时从点A 出发，沿着边AC 运动，到点C APQ D 与DEF D 全等，求点Q 的运动速度．【答案】(1)52或132；D的面积等于若APC此时，5AP DF ==\点Q 移动的速度为②当APQ DEF D @D 时，即，对应顶点为此时，4AP DE ==\点Q 移动的速度为综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好使。
中考数学第一部分考点研究第四章三角形课时20全等三角形习题新人教版
第四章三角形课时20 全等三角形玩转江西9年中考真题(2008～2016年)命题点全等三角形的性质及判定(必考)1. (2009江西7题3分)如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定．．．．△ABC≌△ADC的是( )A. CB＝CDB. ∠BAC＝∠DACC. ∠BCA＝∠DCAD. ∠B＝∠D＝90°第1题图第2题图2. (2011江西7题3分)如图，在下列条件中，不能．．证明△ABD≌△ACD的是( )A.BD＝DC，AB＝ACB. ∠ADB＝∠ADC，BD＝DCC. ∠B＝∠C，∠BAD＝∠CADD. ∠B＝∠C，BD＝DC3. (2015江西9题3分)如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有________对全等三角形．4. (2011江西16题3分)如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB＝30°.有以下四个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG∶DE ＝3∶4.其中正确结论的序号是________．(错填得0分，少填酌情给分)第3题图第4题图拓展猜押题图【拓展猜押】如图，点B、E在线段CD上，若∠C＝∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是( )A. BC＝FD，AC＝EDB. ∠A＝∠DEF，AC＝EDC. AC＝ED，AB＝EFD. ∠ABC＝∠EFD，BC＝FD【试题链接】2016年22题见P127，2014年17题未呈现，2014年22题见P72，2014年23题见P132，2013年21题见P58，2013年23题未呈现，2012年17题见P64，2010年25题见P133，2008年25题见P135.【答案】1. C 【解析】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL .本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，已经具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能判定两三角形全等．2. D 【解析】要证明△ABD≌△ACD，就要用到三角形全等的判定方法，其中AD＝AD是隐含条件，选项A可用SSS证两三角形全等；选项B可用SAS证两三角形全等；选项C 可用AAS证两三角形全等；而选项D不能判定两三角形全等．3. 3 【解析】由OP平分∠MON，PE⊥OM，PF⊥ON可得PE＝PF，∠POE＝∠POF，由AAS可证得△POE≌△POF，又∵OA＝OB，由SAS可证得△POA≌△POB，∴PA＝PB，在Rt△PAE 和Rt△PBF中，由HL可证得Rt△PAE≌Rt△PBF，即图中全等的三角形有3对．4.①②③④【解析】如解图，∵两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB＝30°，∴∠CAF＝30°，∴∠GAF＝60°，∴∠AFB＝90°，∴①正确；∵AD＝AC，∠DAG＝∠CAF，∠D＝∠C＝60°，∴②正确；∵△ADG≌△ACF(ASA)，∴AG＝AF，∵AO＝AO，∠AGO＝∠AFO＝90°，∴Rt△AGO≌Rt△AFO(HL)，∴∠OAF＝30°，∴∠OAC＝60°，∴AO ＝CO＝AC，BO＝AO＝CO，∴③正确；假设DG＝x，∵∠DAG＝30°，∴AG＝3x，∵DE＝DG ＋GE＝4x，∴GE＝3x，∴AG∶DE＝3∶4，∴④正确；故答案为：①②③④.【拓展猜押】C【解析】A.添加BC＝FD，AC＝ED可利用SAS判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；B.添加∠A＝∠DEF，AC＝ED可利用ASA判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；C.添加AC＝ED，AB＝EF不能判定△ABC≌△EFD，故此选项符合题意；D.添加∠ABC＝∠EFD，BC＝FD可利用ASA判定△ABC≌△EFD，故此选项不合题意；故选C.第4题解图。
中考数学 第一部分 考点研究 第四章 三角形 课时20 全等三角形习题 新人教版(2021年整理)
江西省2017年中考数学第一部分考点研究第四章三角形课时20 全等三角形习题新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江西省2017年中考数学第一部分考点研究第四章三角形课时20 全等三角形习题新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第四章 三角形课时20 全等三角形玩转江西9年中考真题(2008～2016年)命题点 全等三角形的性质及判定(必考）1。
（2009江西7题3分）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定．．．．△ABC ≌△ADC 的是（ ）A 。
CB ＝CD B. ∠BAC ＝∠DACC. ∠BCA ＝∠DCAD. ∠B ＝∠D ＝90°第1题图 第2题图2。
(2011江西7题3分）如图，在下列条件中，不能．．证明△ABD ≌△ACD 的是( ） A. BD ＝DC ，AB ＝AC B 。
∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝DCC. ∠B ＝∠C ，∠BAD ＝∠CAD D 。
∠B ＝∠C ，BD ＝DC3。
（2015江西9题3分)如图，OP 平分∠MON ，PE ⊥OM 于E ,PF ⊥ON 于F ，OA ＝OB ，则图中有________对全等三角形．4. （2011江西16题3分)如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB ＝30°.有以下四个结论：①AF ⊥BC ；②△ADG ≌△ACF ；③O 为BC 的中点；④AG ∶DE 第3题图 第4题图＝3∶4.其中正确结论的序号是________．（错填得0分，少填酌情给分）拓展猜押题图【拓展猜押】如图，点B、E在线段CD上,若∠C＝∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是（）A。
中考数学 第四章 课时14 三角形及其全等(知识清单重难点讲解中考真题演练)
中考数学一轮复习·学与练第四章 三角形 课时14 三角形及其全等知 识 清 单考点一 三角形的概念及分类 1．三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的 图形叫做三角形． 2．三角形的分类(1)按边分一般三角形：三条边都不相等等腰三角形：有两条边相等等边三角形：三条边都相等(2)按角分90锐角三角形：三个角都是锐角直角三角形：有一个角为钝角三角形：有一个角为钝角考点二 三角形的边角关系1．边的关系：两边之和 第三边，两边之差 第三边．判断三条边(a ，b ，c ，a ≤b ≤c )能否构成三角形，只需比较两条短边(a ，b )的和与第三边(c )的大小，若a ＋b >c ，则能构成三角形；反之不能构成三角形．2．角的关系(1)三角形内角和等于 ；(2)任意一个外角 与它不相邻的两个内角之和； (3)任意一个外角 任何一个和它不相邻的内角．3．边角关系：同一个三角形中，等边对等角，等角对 ，大边对 ． 4．三角形的稳定性三角形具有稳定性，即当三角形的三边确定时，三角形的形状和大小也就随之确定，而不再发生改变．考点三 三角形中的重要线段 1．角平分线(1)概念：一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段．(2)图形及性质：如图1，在△ABC 中，AD 为角平分线，则有∠1＝ ＝12∠BAC .(3)内心(三角形内切圆的圆心)：三角形的三条角平分线交于一点，该点称为三角形的内心，该点到三角形三边的距离相等．图1 图22．中线(1)概念：连接一个顶点与它对边中点的线段．(2)图形及性质：如图2，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，则有BD ＝ ＝12BC .(3)重心：三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，该点到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的 倍．3．高线(1)概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．(2)图形及性质：如图3，在△ABC 中，AD 为BC 边上的高线，则有AD ⊥ ，即∠ADB ＝∠ADC ＝90°.(3)垂心：三角形的三条高线的交点，该点称为三角形的垂心．图3 图4知识延伸：外心(三角形外接圆的圆心)：三角形三条边中垂线的交点．外心到三角形三个顶点的距离 ．4．中位线(1)概念：连接三角形两边中点的 ．(2)图形及性质：如图4，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则DE 为△ABC 中位线，DE ∥ 且DE ＝12BC .考点四全等三角形的性质及判定1．全等三角形的概念能够的两个三角形叫的全等三角形．2．全等三角形的性质(1)全等三角形的对应角、对应边、周长、面积；(2)全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线都分别．3．全等三角形的判定判定1：三边分别的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).判定2：两边和它们的分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”).判定3：两角和它们的分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”).判定4：两角和其中一个角的对边分别的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”).判定5：斜边和一条直角边分别的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).重难点讲解命题点1 利用三角形“三线”的性质解题三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角；由三角形的中线可得线段之间的关系；由三角形的角平分线可得角之间的关系，可利用角平分线的性质和三角形的内角与外角的关系建立所求角度与已知条件的联系，达到解题的目的．经典例题1如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是()A．15°B．20°C．25°D．30°【解析】根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠ABE，由AD是BC边上的高可得∠ADB＝90°，再由三角形内角和定理可得∠BAD的度数，根据∠DAC＝∠BAC－∠BAD即可得解．【答案】B命题点2 全等三角形判定方法的合理选择从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等，我们可以利用题目中的已知边(角)确定要补充的边(角)，完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．(1)已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS ，找直角→HL ，找第三边→SSS.(2)已知一边、一角⎩⎪⎨⎪⎧一边为角的对边→找另一角→AAS ，一边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS ，找夹边的另一角→ASA ，找边的对角→AAS.(3)已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA ，找其中一角的对边→AAS.经典例题2 如图，点E ，F 在AB 上，AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AE ＝BF .求证：∠C ＝∠D .【解析】根据题意选择“边角边”(SAS)即可求证．【证明】 ∵AE ＝BF ，∴AE ＋EF ＝BF ＋EF ，即AF ＝BE .在△ADF 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AF ＝BE ，∴△ADF ≌△BCE . ∴∠C ＝∠D .命题点3 三角形的角度计算问题中的方程思想方程思想的本质是设未知数，用未知量表示已知量的方法，通过分析题目，利用所学定理、性质等寻找出等量关系．三角形有关角度的计算问题，可利用三角形内角和及外角性质构建方程，利用方程思想解决有关角度问题.经典例题3 在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶6∶7，则∠B 的度数是( )A ．50°B ．60°C ．70°D ．80° 【解析】因为∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶6∶7，设∠A ＝5x °，∠B ＝6x °，∠C ＝7x °，根据三角形的内角和是180°，可得5x ＋6x ＋7x ＝180，解得x ＝10，所以∠B ＝6x °＝60°.【答案】 B中 考 真 题 演 练一、选择题1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )A ．4cm ，5cm ，9cmB ．8cm ，8cm ，15cmC ．5cm ，5cm ，10cmD ．6cm ，7cm ，14cm 2. 已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是( ) A ．1 B ．2 C ．8 D ．113. 如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E .若∠A ＝54°，∠B ＝48°，则∠CDE 的大小为( )A ．44°B ．40°C ．39°D ．38°第3题 第4题4. 如图，在△ABC 中有四条线段DE ，BE ，EF ，FG ，其中有一条线段是△ABC 的中线，则该线段是( )A ．线段DEB ．线段BEC ．线段EFD ．线段FG 5. 若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是( )A ．14B ．10C ．3D ．26. 如图，点D 在△ABC 边AB 的延长线上，DE ∥BC ．若∠A ＝35°，∠C ＝24°，则∠D 的度数是( )A ．24°B ．59°C ．60°D ．69°第6题 第7题7. 如图，在△ABC 中，延长BC 至D ，使得CD ＝12BC ，过AC 中点E 作EF ∥CD (点F 位于点E右侧)，且EF ＝2CD ，连接DF .若AB ＝8，则DF 的长为( )A ．3B ．4C ．2 3D ．3 2 8. 在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ，点E 在边AB 上，∠AED ＝60°，则一定有( ) A ．∠ADE ＝20° B ．∠ADE ＝30° C ．∠ADE ＝12∠ADC D ．∠ADE ＝13∠ADC9. 如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝6，BD ＝4，CD ＝3，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，CD ，BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是( )A ．7B ．9C ．10D ．11第9题 第10题10. 如图，直线l 1∥l 2，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为( )A ．50°B ．55°C ．60°D ．65° 11. 如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD ．E ，F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ．若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为( )A ．a ＋cB ．b ＋cC ．a －b ＋cD ．a ＋b －c第11题 第12题12. 如图，已知点P 在线段AB 外，且P A ＝PB ，求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是( )A ．作∠APB 的平分线PC 交AB 于点C B ．过点P 作PC ⊥AB 于点C 且AC ＝BC C ．取AB 中点C ，连接PCD ．过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C13. 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长线交AC于点E.若DF＝5，BC＝16，则线段EF的长为( )A．4 B．3 C．2 D．1第13题第14题14. 如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．给出下列结论：①BD＝CE；②∠ABD＋∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2(AD2＋AB2)－CD2. 其中正确的是( )A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④二、填空题15. 三角形三边长分别为3，2a－1，4，则a的取值范围是 .16. 如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF.第16题第17题17. 如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB．若∠BOC＝110°，则∠A＝.18. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AC＝6，则AB＝.第18题第19题19. 如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E，A，B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是.20. 等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为.三、解答题21. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与点A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，交BC于点F，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数．22. 如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE.(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)当AB＝5时，求CD的长．23. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF.(1)求证：△AEF≌△DEC；(2)若CF＝AD，试判断四边形AFDC是什么样的四边形？并说明理由．24. 如图，AB∥CD，E，F分别为AB，CD上的点，且EC∥BF，连接AD，分别与EC，BF相交于点G，H，若AB＝CD，求证：AG＝DH.25. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O.求证：AD与BE互相平分．26. 在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上(AP＞BP)．作AQ⊥AB，且AQ＝BP，连接CQ(如图1)．(1)求证：△ACQ≌△BCP；(2)延长QA至点R，使得∠RCP＝45°，RC与AB交于点H，如图2.①求证：CQ2＝QA·QR；②判断三条线段AH，HP，PB的长度满足的数量关系，并说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网(.21c.c)。
中考数学一轮复习第四章几何初步与三角形第三节全等三角形同步测试题及答案.doc
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】第三节全等三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列说法正确的是( )A．两个等边三角形一定全等B．腰对应相等的两个等腰三角形全等C．形状相同的两个三角形全等D．全等三角形的面积一定相等2．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，那么添加的条件不能为( )A．BE＝DF B．BF＝DEC．AE＝CF D．∠1＝∠23．如图，在方格纸中，以AB为一边作△AB P，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．(2017·四川眉山中考)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )A．14 B．13 C．12 D．105．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝7，AC＝3，则BE的值为______．6．如图，在△ABC和△ED B中，∠C＝∠EBD＝90°，点E在AB上．若△ABC≌△EDB，AC＝4，BC＝3，则AE＝______.7．(2019·易错题)如图，在平面直角坐标系中，A，B两点分别在x轴、y轴上，OA＝3，OB＝4，连结AB.点P在平面内，若以点P，A，B为顶点的三角形与△AOB全等(点P与点O不重合)，则点P的坐标为_______________________.8．(2018·广西桂林中考)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．相交于点G，H，若AB＝CD，求证：AG＝DH.10．如图，△ABC≌△ADE且BC，DE交于点O，连结BD，CE，则下列四个结论：①BC＝DE，②∠ABC＝∠ADE，③∠BAD＝∠CAE，④BD＝CE.其中一定成立的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个11．在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A(－4，0)，B(0，3)．若在该坐标平面内有以点P(不与点A，B，O重合)为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为( )A．9 B．7C．5 D．312．如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE 于点F.若BP＝4，则PF的长为( )A．2 B．3C．1 D．813．在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC(或它们的延长线)于点M，N，设∠AEM＝α(0°<α<90°)，给出下列结论：①AM＝CN；②∠AME＝∠BNE；③BN－AM＝2；④S△EMN＝2cos2α.上述结论中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．414．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是________(请写出正确结论的序号).15．(2017·陕西中考)四边形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠BCD＝90°，连结AC.若AC＝6，则四边形ABCD 的面积为________.16．(2017·四川广安中考)如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为点G.求证：AF＝BE.17．(2017·江苏常州中考)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE.(1)求证：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠DEC的度数．18．(2017·湖北恩施州中考)如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连结BD，AE交于点O，BC与AE交于点P.求证：∠AOB＝60°.19．(2017·重庆中考)在△ABM中，∠ABM＝45°，A M⊥BM，垂足为M.点C是BM延长线上一点，连结AC.(1)如图1，若AB＝32，BC＝5，求AC的长．(2)如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连结ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.参考答案【基础训练】 1．D 2.C 3.C 4.C5．4 6.1 7.(3，4)或(－2125，2825)或(9625，7225)8．(1)证明：∵AC＝AD ＋DC ，DF ＝DC ＋CF ，且AD ＝CF ， ∴AC＝DF.在△ABC 和△DEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC≌△DEF(SSS)．(2)解：由(1)可知，∠F＝∠ACB， ∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(55°＋88°)＝37°， ∴∠F＝∠ACB＝37°. 9．证明：∵AB∥C D ，EC∥BF，∴四边形BFCE 是平行四边形，∠A＝∠D， ∴∠BEC＝∠BFC，BE ＝CF ， ∴∠AEG＝∠DFH. ∵AB＝CD ，∴AE＝DF. 在△AEG 和△DFH 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D，AE ＝DF ，∠AEG＝∠DFH， ∴△AEG≌△DFH(ASA)， ∴AG＝DH. 【拔高训练】10．C 11.A 12.A 13.C 14．①② 15.18∴AB＝BC ，∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠AFB＋∠ABF ＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BEC＋∠ABF＝90°， ∴∠AFB＝∠BEC(等角的余角相等)． 在△AFB 和△BEC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠EBC，∠AFB＝∠BEC，AB ＝BC ， ∴△AFB≌△BEC(AAS)， ∴AF＝BE.17．(1)证明：∵∠BCE＝∠A CD ＝90°， ∴∠BCA＝∠ECD. 在△BCA 和△ECD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BCA＝∠ECD，∠BAC＝∠D，BC ＝EC ， ∴△BCA≌△ECD，∴AC＝CD. (2)解：∵AC＝AE ，∴∠AEC＝∠ACE. 又∵∠ACD＝90°，AC ＝CD ， ∴△ACD 是等腰直角三角形， ∴∠DAC＝45°，∴∠AEC＝12(180°－∠DAC)＝12(180°－45°)＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠AEC＝180°－67.5°＝112.5°. 18．证明：在△ACE 和△BCD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE＝∠BCD，CE ＝CD ， ∴△ACE≌△BCD， ∴∠CAE＝∠CBD，∴∠AOB＝180°－∠BAO－∠ABO ＝180°－∠BAO－∠ABC－∠CBD＝180°－∠ABC－∠BAO－∠CAE＝180°－60°－60°＝60°.【培优训练】19．解：(1)∵AM⊥BM，∴∠AMB＝∠AMC＝90°.∵∠ABM＝45°，∴∠ABM＝∠BAM＝45°，∴AM＝BM.∵AB＝32，∴AM＝BM＝3.∵BC＝5，∴MC＝2，∴AC＝AM2＋CM2＝13.(2)证明：如图，延长EF到点G，使得FG＝EF，连结BG.∵DM＝MC，∠BMD＝∠A MC＝90°，BM＝AM，∴△BMD≌△AMC，故AC＝BD.又CE＝AC，因此BD＝CE.∵点F是线段BC的中点，∴BF＝FC，由BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，FG＝FE，∴△BFG≌△CFE，故BG＝CE，∠G＝∠CEF，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDG＝∠G，∴∠BDF＝∠CEF.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式的一个数或字母也是代数式。
中考数学第一部分考点研究复习第四章三角形第21课时全等三角形真题精选含解析
第四章三角形第21课时全等三角形江苏近4年中考真题精选命题点全等三角形的性质与判定(2016年11次，2015年11次，2014年8次，2013年7次)1. (2015泰州6题3分)如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是( )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对第1题图第2题图2. (2015盐城13题3分)如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB.在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个．．条件可以是____________．3. (2016南京14题3分)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.其中所有正确结论的序号是________．第3题图(2013～2016)4. (2014无锡21题6分)如图，已知：△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点．D、E分别是AB、AC边上的点，且BD＝CE，求证：MD＝ME.第4题图5. (2015无锡21题8分)已知：如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE＝DE.第5题图求证：(1)∠AEC＝∠BED；(2)AC＝BD.6. (2016常州23题8分)如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O.(1)求证：OB＝OC；(2)若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．第6题图7. (2014苏州23题6分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．第7题图8. (2014南京27题11分)【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF.小学+初中+高中(1)如图①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据________，可以知道Rt △ABC≌Rt△DEF.第8题图①第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF.(2)如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角．求证：△ABC≌△DEF.第8题图②第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．(3)在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．(不写作法，保留作图痕迹)第8题图③(4)∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接填写结论：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角，若________，则△ABC≌△DEF.答案1. D 【解析】由等腰三角形的“三线合一”可知，△ACD≌△ABD、△ACO≌△ABO、△OCD≌△OBD、△AEO≌△CEO.2. DC＝BC(答案不唯一) 【解析】∵△ABC和△ADC中，AD＝AB，AC＝AC，要使△ABC≌△ADC，可以添加的条件有：DC＝BC或∠DAC＝∠BAC.3. ①②③【解析】∵△ABO≌△ADO，∴AB＝AD，∠AOB＝∠AOD＝90°，∴AC⊥BD，∴①正确；∵△ABO≌△ADO，∴BO＝OD，又∵由①知AC⊥BD，∴AC是BD的中垂线，∴CB＝CD，∴②正确；∵△ABO≌△ADO，∴AB＝AD，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴③正确；∵DA和DC不一定相等，∴④不正确．4. 【思维教练】根据等腰三角形的性质可证∠DBM＝∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD＝ME，即可求得．小学+初中+高中证明：在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∴∠DBM ＝∠ECM ，∵M 是BC 的中点，∴BM ＝CM ，在△BDM 和△CEM 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CE ∠DBM＝∠E CM BM ＝CM，∴△BDM ≌△CEM (SAS)，∴MD ＝ME .5. 证明：(1)∵AB ∥CD ，∴∠AEC ＝∠ECD ，∠BED ＝∠EDC .∵CE ＝DE ，∴∠ECD ＝∠EDC .∴∠AEC ＝∠BED ；(2)∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE .在△AEC 和△BED 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BE ，∠AEC ＝∠BED，EC ＝ED ，∴△AEC ≌△BED (SAS)．∴AC ＝BD .6. (1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，即∠EBC ＝∠DCB ，又∵CE ⊥AB ，∴∠BEC ＝90°，同理∠CDB ＝90°，在△BEC 和△CDB 中：⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC＝∠CDB ∠EBC＝∠DCB BC ＝CB，∴△BEC ≌△CDB (AAS)，∴∠ECB ＝∠DBC ，∴OB ＝OC ；(2)解：由题知，∠ABC ＝50°，AB ＝AC ，∴∠A ＝180°－50°－50°＝80°，又∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝90°，∴∠A ＋∠ABD ＝90°，小学+初中+高中∴∠ABD ＝10°.又∵∠BOC 为Rt △BEO 的外角，∴∠BOC ＝∠BEO ＋∠ABD ＝90°＋10°＝100°.7. (1)证明：∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD ＝∠FCE ，在△BCD 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ∠BCD＝∠FCE CD ＝CE，∴△BCD ≌△FCE (SAS)；(2)解：由(1)可知△BCD ≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E ，∵EF ∥CD ，∠DCE ＝90°，∴∠E ＝180°－∠DCE ＝90°，∴∠BDC ＝90°.8. (1)解：HL ；【解法提示】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写为“HL .”(2)证明：如解图①，分别过点C 、F 作对边AB 、DH 上的高CG 、FH ，其中G 、H 为垂足．第8题解图①∵∠ABC 、∠DEF 都是钝角，∴G 、H 分别在AB 、DE 的延长线上，∵CG ⊥AG ，FH ⊥DH .∴∠CBG ＝180°－∠ABC ，∠FEH ＝180°－∠DEF ，∠ABC ＝∠DEF .∴ ∠CBG ＝∠FEH .在△BCG 和△EFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CGB＝∠FHE ∠CBG＝∠F EH BC ＝EF，∴△BCG ≌△EFH (AAS )．∴CG ＝FH .又∵AC ＝DF ，∠CGB ＝∠FHE ＝90°，小学+初中+高中∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，∴∠A＝∠D.∵∠ABC＝∠DEF，AC＝DF.∴△ABC≌△DEF(AAS)；(3)解：如解图②，△DEF就是所求作的三角形；第8题解图②【解法提示】以点C为圆心，AC为半径作弧，交AB于点D，故根据圆的性质可知AC＝CD，如解图满足AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，而△ABC为锐角三角形，△DEF为钝角三角形，故两个三角形不全等．(4)解：∠B≥∠A.第8题解图③【解法提示】只要保证以C为圆心，AC长为半径的圆弧与直线AB的另一个交点在三角形外部如解图③，AC＝CD则∠CAD＝∠CDA，而∠CBA＝∠BCD＋∠CDB，所以∠CBA＞∠CAB；当∠CAB＝∠ABC时，△ABC为等腰三角形，利用等边对等角可推导有一组对应角相等，从而由“ASA”证明△ABC≌△DEF.。
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第四章三角形
第21课时全等三角形
江苏近4年中考真题精选
命题点全等三角形的性质与判定(2016年11次，2015年11次，2014年8次，2013年7次)
1. (2015泰州6题3分)如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、
AD、AB于点E、O、F
，则图中全等三角形的对数是( )
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
第1题图第2题图
2. (2015盐城13题3分)如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB.在不添加任何辅助线的前提下，
要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个．．条件可以是____________．
3. (2016南京14题3分)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下
列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.其中所有正确结论的序号是
________．
(2013～2016)