山东省平邑县曾子学校九年级数学上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系导学案(无答案)(新版)新人教版
合集下载
人教版九年级数学上册第21章21.2.4一元二次方程根与系数的关系精品教案
人教版九年级数学上册第21章21.2.4一元二次方程根与系数的关系精品教案
教学内容
一、教学内容
人教版九年级数学上册第21章21.2.4节，主要围绕一元二次方程根与系数的关系展开，包括以下内容：
1.一元二次方程的根的判别式：Δ = b² - 4ac。
2.根与系数的关系：
（1）当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当Δ < 0时，方程无实数根。
3.根与系数的具体关系：
（1）两根之和：x₁ + x₂ = -b/a；
（2）两根之积：x₁x₂ = c/a。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.理解能力：通过学习一元二次方程根与系数的关系，使学生理解数学知识之间的内在联系，提高对数学问题的深入理解。
2.推理能力：培养学生运用根的判别式，分析一元二次方程的根的情况，并能推导出根与系数之间的关系，提高逻辑推理能力。
3.应用能力：使学生能够将一元二次方程根与系数的关系应用于解决实际问题，培养学以致用的能力。
4.合作交流能力：通过小组讨论和问题探究，培养学生与他人合作交流、共同解决问题的能力，提高团队协作精神。
-难点细节：
-推导两根之和与两根之积的表达式，理解其背后的代数原理。
-将实际问题抽象成一元二次方程，并运用根与系数的关系解决问题。
-在解决问题时，能够灵活运用根的判别式和根与系数的关系，尤其是在涉及多个方程或方程组的情况下。
举例：
-学生可能难以理解为什么两根之和是-b/a，两根之积是c/a。需要通过图解法或代数推导法，直观展示这一关系的由来。
实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生们积极参与其中，但我注意到有的小组在讨论过程中偏离了主题。为了提高讨论效率，我应该在讨论前给出明确的指导，确保学生们能够围绕主题展开讨论。
教学内容
一、教学内容
人教版九年级数学上册第21章21.2.4节，主要围绕一元二次方程根与系数的关系展开，包括以下内容：
1.一元二次方程的根的判别式：Δ = b² - 4ac。
2.根与系数的关系：
（1）当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当Δ < 0时，方程无实数根。
3.根与系数的具体关系：
（1）两根之和：x₁ + x₂ = -b/a；
（2）两根之积：x₁x₂ = c/a。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.理解能力：通过学习一元二次方程根与系数的关系，使学生理解数学知识之间的内在联系，提高对数学问题的深入理解。
2.推理能力：培养学生运用根的判别式，分析一元二次方程的根的情况，并能推导出根与系数之间的关系，提高逻辑推理能力。
3.应用能力：使学生能够将一元二次方程根与系数的关系应用于解决实际问题，培养学以致用的能力。
4.合作交流能力：通过小组讨论和问题探究，培养学生与他人合作交流、共同解决问题的能力，提高团队协作精神。
-难点细节：
-推导两根之和与两根之积的表达式，理解其背后的代数原理。
-将实际问题抽象成一元二次方程，并运用根与系数的关系解决问题。
-在解决问题时，能够灵活运用根的判别式和根与系数的关系，尤其是在涉及多个方程或方程组的情况下。
举例：
-学生可能难以理解为什么两根之和是-b/a，两根之积是c/a。需要通过图解法或代数推导法，直观展示这一关系的由来。
实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生们积极参与其中，但我注意到有的小组在讨论过程中偏离了主题。为了提高讨论效率，我应该在讨论前给出明确的指导，确保学生们能够围绕主题展开讨论。
新人教版九上《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件
三、构造新方程
例3、求一个一元二次方程，使 它的两个根是2和3，且二 次项系数为1.
变式：且二次项系数为5
三、构造新方程
例4、已知关于x的方程x2-5x-2=0（1）, 的两根的相反数 的平方 的倒数 都大2. . .
求关于y的方程.
比 且关于y的方程的两根分别是方程（ 1）
三、构造新方程
例5、小明和小敏解同一个一元二次
分析: (1)列出△的代数式,证其恒大于零
(2)(x1-1)(x2-1)<0 解:(1)∵△=(m+7)2-4(m-3)=(m+5)2+36>0 ∴方程总有两个不相等的实数根
m7 x x 1 2 9 m3 13 解得: m (2)由题意得: x1 x2 9 2 ( x1 1)( x2 1) 0 13 时方程的一根大于1,另一根小于1 m 当 2
x1
2
x
1
x x x x1. x2
2
1
2
2 1 1 9 x 6x 1 0 3 3 3 4 2 2 7 2 7 3 x 4x 1 0 3 3 3 2 1 7 3 x 7x 2 0 -2 3 3
1 9 1 3 2 3
-b+ b2-4ac -b- b2-4ac x1+x2= + 2a 2a
. x1 x2
-b- b2-4ac x2= 2a
-b+ b2-4ac -b- b2-4ac x1x2= 2a 2a
-2b = 2a b a
(-b+ b2-4ac)(-b- b2-4ac) = 4a2
b2-(b2-4ac) = 4a2
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= ∴
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 人教版数学九年级上册
也可以把 x=2 代入方程，求得 q=8，再解 x2 － 6x+8=0，求得另一个根为4.
知1－练
感悟新知
知1－练
2-1.[中考·怀化] 已知关于x 的一元二次方程x2＋mx－ 2=0 的一个根为－1，则m 的值为___－__1__ ，另一 个根为___2____ .
感悟新知
知识点 2 二次项系数为 1 的一元二次方程的性质 知2－讲
21.2 解一元二次方程
*21.2.4 一元二次方程的根 与系数的关系
ห้องสมุดไป่ตู้悟新知
知识点 1 一元二次方程的根与系数的关系 知1－讲
1.一元二次方程的根与系数的关系
方程 ax2+bx+c=0(a ≠ 0)，当 b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，
设这两个实数根分别为 x1， x2. 这两个根与系数的关系是
知2－练
解题秘方：直接用以 x1， x2 为根的一元二次方程 (未知数为 x，二次项系数为 1)是 x2－ ( x1+x2) x+x1x2=0 求解 .
解：由题可知所求方程是 x2－( x1+x2) x+x1x2=0， ∴所求的一元二次方程是 x2－7x+12=0. 答案：A
感悟新知
知2－练
3-1. ［ 中考·淄博］ 若x1+x2=3，x12+x22=5， 则以 x1， x2 为根的一元二次方程是( A ) A. x2－3x+2=0 B. x2+3x－2=0 C. x2+3x+2=0 D. x2－3x－2=0
转化记忆一元二次方程根与系数的关系 .
感悟新知
知2－练
例3 [ 中考·来宾 ]已知实数 x1， x2 满足 x1+x2=7，
知1－练
感悟新知
知1－练
2-1.[中考·怀化] 已知关于x 的一元二次方程x2＋mx－ 2=0 的一个根为－1，则m 的值为___－__1__ ，另一 个根为___2____ .
感悟新知
知识点 2 二次项系数为 1 的一元二次方程的性质 知2－讲
21.2 解一元二次方程
*21.2.4 一元二次方程的根 与系数的关系
ห้องสมุดไป่ตู้悟新知
知识点 1 一元二次方程的根与系数的关系 知1－讲
1.一元二次方程的根与系数的关系
方程 ax2+bx+c=0(a ≠ 0)，当 b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，
设这两个实数根分别为 x1， x2. 这两个根与系数的关系是
知2－练
解题秘方：直接用以 x1， x2 为根的一元二次方程 (未知数为 x，二次项系数为 1)是 x2－ ( x1+x2) x+x1x2=0 求解 .
解：由题可知所求方程是 x2－( x1+x2) x+x1x2=0， ∴所求的一元二次方程是 x2－7x+12=0. 答案：A
感悟新知
知2－练
3-1. ［ 中考·淄博］ 若x1+x2=3，x12+x22=5， 则以 x1， x2 为根的一元二次方程是( A ) A. x2－3x+2=0 B. x2+3x－2=0 C. x2+3x+2=0 D. x2－3x－2=0
转化记忆一元二次方程根与系数的关系 .
感悟新知
知2－练
例3 [ 中考·来宾 ]已知实数 x1， x2 满足 x1+x2=7，
人教版数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共19张PPT)
的关系进行简单计算。
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.
B.
a≠b，则 + 的值是( A )
−
C.
D.
−
解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，
∴
+ =
+
=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.
B.
a≠b，则 + 的值是( A )
−
C.
D.
−
解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，
∴
+ =
+
=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件(共17张PPT) 人教版数学九年级上册
求 a 的值及该方程的另一个根.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4 ≥0，
即 a ≥ 2或a ≤ -2.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2a，x1 x2 = 16.
∴
x1 x2
x1 x2
1
1
1
x1
x2
x1 x2
16
解得 a = 8
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2
3.
;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
九年级上
学习目标
目
录
新课引入
新知学习
随堂练习
课堂小结
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. （2022年版课标将*删除）
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
21.2.4 一元二次方程Βιβλιοθήκη 与系数的关系7－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1
1
秋九年级数学人教版上册课件第21章21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
2 1
x2＋x1x
2 2
的
值为( A )
A．－3
B．3
C．－6
D．6
7．已知一元二次方程x2－2x＋m＝0的两根为x1、x2，且x1＋3x2＝3，求m 的值．
解：由题意，得xx11＋ ＋x32x＝2＝23 ，解得xx12＝＝3212
，又∵x1·x2＝m，
∴m＝23×12＝34
8．已知关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根分别是0和－2，则p和q的值分
别是( A )
A．p＝－2，q＝0
B．p＝2，q＝0
C．p＝21，q＝0
D．p＝－12，q＝0
9．方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2， 则m的值是( C )
A．－2或3
B．3
C．－2
D．－3或2
10．已知实数a、b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则
15．已知关于x的一元二次方程mx2－(2m－1)x＋m－2＝0(m＞0)． (1)求证：这个方程有两个不相等的实数根； (2)如果这个方程的两个实数根分别为x1、x2，且(x1－3)(x2－3)＝5m，求m 的值．
解：(1)证明：Δ＝[－(2m－1)]2－4m(m－2) ＝4m2－4m＋1－4m2＋8m＝4m＋1 ∵m＞0，∴4m＋1＞0 ∴方程有两个不相等的实数根；
3．以1和－3为根的一元二次方程为 x2＋2x－3＝0 .
4．已知一元二次方程x2－6x＋m＝0有一个根为2，则另一根为( C )
A．2
B．3
C．4
D．8
5．已知m、n是方程x2－x－1＝0的两实数根，则m1 ＋n1的值为( A )
A．－1
人教版数学九年级上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 教学课件
第 二十一章 一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
1 理解一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）
新课导入
复习交流
1.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
解得k＝－2或k＝6(不符合题意，舍去)．
∴实数k的值为－2.
课堂小结
内容
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么 x1+x2= -p ,x1 ·x2=q
根与系数的关系 （韦达定理）
应用
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、源自x1x2b a
x2x，1 x那2 么 ac
知识讲解
★ 探索一元二次方程的根与系数的关系
算一算：解下列方程并完成填空： （1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.
一元二次方程
x2+3x-4=0 x2-5x+6=0
x2 3 x 1 0 22
两根
x1
x2
-4 1
23
1 -1
2
关系
x1+x2=-3，x1 ·x2=-4 x1+x2=5， x1 ·x2=6
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0 x1+x2= -p ,x1 ·x2=q. x2+px+q=0 重要发现 如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 ·x2=q.
第二十一章 一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
学习目标
1 理解一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）
新课导入
复习交流
1.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
解得k＝－2或k＝6(不符合题意，舍去)．
∴实数k的值为－2.
课堂小结
内容
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么 x1+x2= -p ,x1 ·x2=q
根与系数的关系 （韦达定理）
应用
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、源自x1x2b a
x2x，1 x那2 么 ac
知识讲解
★ 探索一元二次方程的根与系数的关系
算一算：解下列方程并完成填空： （1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.
一元二次方程
x2+3x-4=0 x2-5x+6=0
x2 3 x 1 0 22
两根
x1
x2
-4 1
23
1 -1
2
关系
x1+x2=-3，x1 ·x2=-4 x1+x2=5， x1 ·x2=6
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0 x1+x2= -p ,x1 ·x2=q. x2+px+q=0 重要发现 如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p ,x1 ·x2=q.
21.2.4+一元二次方程根与系数的关系+课件+2024—2025学年人教版数学九年级上册
意图
体会到了可以将新问题化归为已 学过的知识来解决，加强了对化 归思想的理解和应用.
再见
一. 第一章 教学内容分析
●猜想一元二次方程的根与系数的关系
教学 内容
一元二次方程的
●证明一元二次方程的根与系数的关系 ●应用一元二次方程的根与系数的关系
根与系数的关系 教学
●探究一元二次方程的根与系数的关系
重点 ●应用一元二次方程的根与系数的关系
二. 第三章 学情分析
推理与 计算基础
推理 证明
人教版九年级数学上册第二十一章
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
CONTENTS 目录页
PAGE
1.教学内容分析 2. 学情分析
3.教学目标 4.教学方法 5.教学过程
一. 第一章 教学内容分析
一元二次方程的解法
一元二次方程的求根公式 准备知识
一元二次方程的根与系数的关系
揭示了一元二次方程的两根与系数之间的关系
系数的关系解
决不等式问题。
五. TRANSITION 教过学渡过页程 PAGE 五. 教学过程
1 复习回顾 抛出问题 2 观察猜想 探究新知 3 推理论证 归纳总结 4 运用新知 能力提升 5 知识迁移 能力拓展 6 课堂小结 布置作业
五. 第四章 教学过程 1.复习回顾 抛出问题
复习回顾 一元二次方程的解法
逆向 思维
知 迁移
能力 目标
一元二 次方程
解法
知识 储备
熟悉求 根公式
技能 储备
三. 第一章 教学目标
1.理解并掌握一元 二次方程的根与系 数的关系，能运用 根与系数的关系解 决求根、验根、简 化计算等问题。
教学目标
人教版数学九年级上册第二十一章《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》课件(共24张PPT)
课堂练习
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1)x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0， x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
2.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
3.已知 x1，x2 是方程 x2+3x-1=0 的两个根，求以x1-1和x2-1为根的一元二 次方程.
解：根据题意，得 x1+x2=-3，x1x2=-1， 所以 x1-1+x2-1=-5， (x1-1)(x2-1)=x1x2- (x1+x2)+1=-1+3+1=3， 所以以 x1-1 和 x2-1 为根的一个一元次方程可以是 x2+5x+3=0(答案不唯一).
回顾旧知
1.写出一元二次方程的一般式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
2.一元二次方程的求根公式：
x1,2 b
b2 4ac 2a
3.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
(1) x2－6x－15＝0； (2) 3x2＋7x－9＝0；
(3) 5x－1＝4x2.
解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
(2)
x1＋x2＝－
7 3
，x1
x2＝－39
数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
2
猜想 :如果方程 x px q 0 的根是 x 和 x , 1 2 ).
则 x x ( -p ), x x (q 1 2 1 2
问题 : 方 4 程5 3 xx 20 的 根 与 系 数
2
有上述关系吗?
3 x1 x2 5
2 x1 x2 5
2
问题5 :写出一元二次方程a x bx c 0(a 0 两根与系数的关系.
你能证明 吗
例 : 1 求下列方程 , x 的 两和 根与 x : 积 1 2
2 2 (1) x 6x 15 0 ( 2 ) 3 7 xx 90
( 3 ) 5 1 x 4 x (1)由于根与系数的 关系可知： x x 15 1 x 2 6, 1x 2 (2)由根与系数的关 系可知： 7 x1 x2 , x1x2 3 3
二次方程的一般形式； （2）方程必须有实 根。两
3.对于一些数学思想 ，譬如特殊到一般的 想，转 的思想，方程的思想等 有初步的认识.
作业布置
《学习辅导》P12-13
2
解得：x 1, x2 3 1 故方程的另一个根为 -1，c的值为 -3.
例 2 : 已知方程 x 2 x c 0 的一个根 3 ,
2
求方程的另一个根及 c 的值 .
解(二）：设方程的另 一个根为x 则由 0, 根与系数的关系可知 x0 3 2 x0 1 , 解得： c 3 x0 3 c 答：方程的另一个根为 -1，c的値为 -3.
(4 ) x x ( 原 x ) 6 式 5 30 1 2 1 2
(5)原式 x x (x x ) 1 6 5 1 10 1 2 1 2
猜想 :如果方程 x px q 0 的根是 x 和 x , 1 2 ).
则 x x ( -p ), x x (q 1 2 1 2
问题 : 方 4 程5 3 xx 20 的 根 与 系 数
2
有上述关系吗?
3 x1 x2 5
2 x1 x2 5
2
问题5 :写出一元二次方程a x bx c 0(a 0 两根与系数的关系.
你能证明 吗
例 : 1 求下列方程 , x 的 两和 根与 x : 积 1 2
2 2 (1) x 6x 15 0 ( 2 ) 3 7 xx 90
( 3 ) 5 1 x 4 x (1)由于根与系数的 关系可知： x x 15 1 x 2 6, 1x 2 (2)由根与系数的关 系可知： 7 x1 x2 , x1x2 3 3
二次方程的一般形式； （2）方程必须有实 根。两
3.对于一些数学思想 ，譬如特殊到一般的 想，转 的思想，方程的思想等 有初步的认识.
作业布置
《学习辅导》P12-13
2
解得：x 1, x2 3 1 故方程的另一个根为 -1，c的值为 -3.
例 2 : 已知方程 x 2 x c 0 的一个根 3 ,
2
求方程的另一个根及 c 的值 .
解(二）：设方程的另 一个根为x 则由 0, 根与系数的关系可知 x0 3 2 x0 1 , 解得： c 3 x0 3 c 答：方程的另一个根为 -1，c的値为 -3.
(4 ) x x ( 原 x ) 6 式 5 30 1 2 1 2
(5)原式 x x (x x ) 1 6 5 1 10 1 2 1 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元二次方程的根与系数的关系
学习目标：1.通过观察，归纳，猜想根与系数的关系，并证明成立，使学生理解其理论依据； 2.使学生会运用根与系数关系解决有关问题；
3.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神。
学习重点：根与系数的关系及推导。
学习难点：正确理解根与系数的关系
学前准备：解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x 1+x 2，x 1·x 2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？ 探究活动（一）尝试探索，发现规律：
1．若x 1、x 2为方程ax 2
+bx+c=0（a ≠0）的两个根，结合上表，说明x 1+x 2与x 1·x 2与a 、b 、c 有何关系？请你写出关系式
2、请用文字语言概括一元二次方程的两个解的和、积与原来的方程有什么联系？
小结： 1．如果一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=____，x 1x 2=____．
2．如果方程x 2+px+q=0（p 、q 为已知常数，p 2
－4ｑ≥0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=_____，x 1x 2=________；以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是________________________．
注意：根与系数的关系使用的前提条件___________________________ （二）巩固练习
１.不解方程，求出方程两根的和与两根的积（直接口答）：
① x 2 + 3x -1= 0 ② x 2 + 6x +2= 0 ③ 3x 2 －4x+1= 0 (4)4x 2
-2x -7= 0
2.已知关于x 的方程x 2
+ mx －3= 0的一个根是-1，求m 的值及另一个根.
三.达标测试
1．如果一元二次方程0752
=--x x 的两个根为βαβα+则.,的值为 。
2.设x 1，x 2是方程2x 2
－6x ＋3＝0的两根，则x 12
＋x 22
的值是 。
一元二次方程
3．一元二次方程230x x --=的两根为12,x x ，则
1
2
1
1
x x +
=______。
4.若x 1,x 2是方程x 2
-2x-1=0的两根,则(x 1+1)(x 2+1)的值为 .
5．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则（x 1－x 2）2
＝ 6．已知一元二次方程0822=-+x x 的一个根 2，则另一个根是 . 7.若实数a 、b 满足a 2
-7a+2=0和b 2
-7b+2=0,则式子b
a
a b +的值是 . 8．方程2
(1)210x
m x m -++-=，当m=_____时，此方程两个根互为相反数；当
m=_____时，两根互为倒数。
9.下列一元二次方程中，两根分别为51,51--+-的是（ ）
A 、0422
=++x x B 、0422
=-+x x C 、0422
=+-x x D 、0422
=--x x 10．关于x 的方程2
(2)04
k
kx
k x +++
=有两个不相等的实数根。
（1）求k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。
11.已知关于x 的方程为2
(2)2(1)x (1)0k x k k ---++=，且3≤k .
求证：（1）此方程总有实数根；（2）当方程有两个实数根，且两实数根的平方和等于4时，求k 的值.。