二、线性规划模型实例

Current Allowable Variable Coefficient Increase X1 72.00000 24.00000 X2 64.00000 8.000000 %利润增加到30元，无需改变生产计划。 Righthand Side Ranges Row
（72-8,72+24）
约束条件右端变化范围
Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease MILK 50.00000 10.00000 6.666667 TIME 480.0000 53.33333 80.00000 CPCT 100.0000 INFINITY 40.00000 %用35元购买1桶牛奶的投资最多10桶。注：敏感性分析只是充分条件，增加10桶牛奶 一定是有利可图的，超过10桶也不一定无利。
max=72*x1+64*x2; [milk] x1+x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100;
end
最优解
1 MILK TIME CPCT
（4）分析结果。
资源增加1个单位时， “效益”的增量。“效益”的增量 可看作资源的潜在价值，该价值 称为影子价格。
Variable X1 X2
Current Coefficient 72.00000 64.00000
（72-8,72+24）
Ranges in which the basis is unchanged:
系数在如下范围内变动时， 最优解保持不变 Objective Coefficient Ranges 目标函数系数的变化范围 Allowable Decrease 8.000000 16.00000
数学模型：
求解模型：MATLAB求解。 Clear; %清理内存 c=[72;64]; %目标函数系数矩阵 A=[1,1;12,8;3,0]; %不等式约束系数阵 b=[50;480;100]; %不等式约束右端阵 %调用线性规划求解函数 x=linprog(-c,a,b,[ ],[ ],zeros(2,1)) g=c’*x %输出目标函数值
2. A,B每千克的获利与它们相互间的产量无关；每桶牛奶加工A,B的数量 和所需时间与它们相互间的产量无关。
3. 加工A,B的牛奶的桶数可以是任意的常数。
（3）模型求解。 求解线性规划问题有许多现成的数学软件，比如用LINGO软件就可以很方便的实现。
Model: Global optimal solution found. Objective value: 3360.00 %全局最优解 Total solver iterations: 2 %迭代次数为2次 Variable Value Reduced Cost x1 20.00000 0.000000 x2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus %剩余 3360.000 0.000000 0.000000 40.00000 Dual Price %影子价格 1.000000 48.00000 2.000000 0.000000
若三个水库每天的最大供应量都提高一倍，供水方案应如何改变？ （1）问题分析。供水能力提高一倍，则总供水量为320，大于总需求量300.水库的 水不能全部卖出，因此不能简单地将获利最多转化为引水管理费最少。而是首先需 要计算A,B,C三个水库分别向甲、乙、丙、丁四个区供应每103t水的净利润，即从 收入900元中减去其他管理费450，再减去上表中的引水管理费，得到下表。
净利润 甲 乙 丙 丁
A
290
320
230
280
B
310
320
260
300
C
260
250
220
/
（2）建立模型。
max z 290 x11 320 x12 230 x13 280 x14 310 x21 320 x22 260 x23 260 x31 250 x32 220 x33 s.t. x11 x12 x13 x14 100 x21 x22 x23 x24 120 and x31 x32 x33 100 x11 x21 x31 80 x12 x22 x32 140 x13 x23 x33 30 x14 x24 50
max z 72 x1 64 x2 x1 x2 50 12 x 8 x 480 1 2 s.t. 3 x 1 0 0 1 x1 0, x2 0
目标函数和约束条件对于决策变量而言都是 线性的，故称为线性规划模型。
>>myex1_1_1 optimization terminated x= 20.0000 30.0000 g= 3.3600e+003
目标：每天获利最大。要做的决策是，每天用多少桶牛奶生产A产品，用 多少桶牛奶生产B产品。决策受到3个条件的限制：牛奶供应、劳动时间和 设备生产能力（甲类）。
产量 甲车间A产品 乙车间B产品 每天总资源 3kg/桶 4kg/桶
耗时 12h/桶 8h/桶 50桶牛奶，480h
利润 24元/kg 16元/kg
乙车间B产品 每天总资源
3kg/桶
4kg/桶
12h/桶
8h/桶 50桶牛奶，480h
24元/kg
16元/kg
100kg
无限大
产量
耗时
利润
最大加工量
甲车间A产品
乙车间B产品 每天总资源
3kg/桶
4kg/桶
12h/桶
8h/桶 50桶牛奶，480h
24元/kg
16元/kg
100kg
无限大
（1）问题分析。
某种物质从若干供应点运往一些需求点，在供需量约束条件下使总费用最小或 利润最大的一类问题一般称为运输问题。
评注 本例在产品利润、加工时间等参数均可设为常数的情况下，建立了线性规划 模型。线性规划模型的三要素是：决策变量、目标函数和约束条件。线性规 化模型可以方便地用LINGO软件求解，得到内容丰富的输出，而且利用其中 的影子价格和敏感性分析，可对模型结果作进一步的研究。
最典型的线性规划模型之一是运输问题。 例2. 某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A,B,C三个水库供应。四个区每天 必须得到保证的基本生活用水量（单位：103 t）分别为30,70,10,10,但由于水源 紧张，三个水库每天最多只能分别供应自来水50,60,50.由于地理位置的差别，自 来水公司从各水库向各地区送水所需付出的引水管理费用不同（见下表，其中C 水库与丁区之间没有输水管道），其他管理费用（单位：元/103 t）都是450.根据 公司规定，各区用户按照统一标准900收费。此外，四个区都向公司申请了额外用 水量，分别为每天50,70,20,40.该公司应如何分配供水量，才能获利最多？
数学规划模型
数学规划模型也可以称为优化模型，可表示为
min(or max) f ( x), x
其中x表示决策变量；f(x)表示目标函数；Ω称为可行域，它表示实际问题中，x的 取值范围，这一范围往往是用一组不等式（或等式）来约束，称为约束条件。 通过上述表达式，可以看出数学规划模型应用于需要寻求“最优”方案的实际问题中。
如果将牛奶的约束条件 x1 x2 50 变为 x1 x2 51，则利润为 3360+48
分析三个附加问题： （1）若用35元可买到1桶牛奶，是否要购买？若购买，每天应购买多少桶牛奶？ （2）若聘用临时工人可以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？ （3）如果市场需求增加，A产品获利增加到30元/kg，问是否应改变生产计划？ （1）牛奶的影子价格为48元（>35元），应该购买。 （2）劳动时间的影子价格为2元，可以聘用工人，但工资不能超过2元/时。 （3）目标函数系数改变，此时 z 90x1 64x2 对目标函数系数变化的影响的讨论，称为对目标函数系数的敏感性分析。 Ranges in which the basis is unchanged: 系数在如下范围内变动时， 最优解保持不变 Objective Coefficient Ranges 目标函数系数的变化范围 Allowable Increase 24.00000 8.000000 Allowable Decrease 8.000000 16.00000
最大加工量 100kg 无限大
（2）建立模型。 决策变量：设每天用x1桶牛奶生产A，用x2桶牛奶生产B. x1 , x2 0 目标函数：设每天获利为z元。z 72x1 64x2 约束条件：牛奶供应 x1 x2 50 劳动时间 12 x1 +8x2 480 设备能力 3x1 100
实际问题具有什么性质，其模型才是线性的？ 比例性 每个决策变量对目标函数以及每个约束条件右端项的影响，与该变量的 取值成正比； 可加性 各个决策变量对目标函数以及每个约束条件右端项的影响，与其他决策 变量的取值无关； 连续性 每个决策变量的取值是连续的。 分析本例：1. A,B两种产品每千克的获利与其各自产量无关；每桶牛奶加工A,B的数 量和所需时间与其各自产量无关。
实际问题具有什么性质，其模型才是线性的？ 比例性 每个决策变量对目标函数以及每个约束条件右端项的影响，与该变量的 取值成正比； 可加性 各个决策变量对目标函数以及每个约束条件右端项的影响，与其他决策 变量的取值无关； 连续性 每个决策变量的取值是连续的。 比例性和可加性保证了目标函数和约束条件对于决策变量的线性性，连续性则 允许得到决策变量的实数最优解。
引水管理费 A
甲 160
乙 130
丙 220
丁 170
B
C
140
190
130