解答压轴题2022年上海数学中考真题汇编
冲刺2022年上海中考数学压轴题第7讲 相似三角形的存在性 解法分析与经典变式(解析版)
第7讲相似三角形的存在性在很多与相似三角形相关的压轴题中，其中常见的一种题型就是相似三角形的存在性讨论。
对于相似三角形的存在性问题，一般来说，会有一组等角，然后从边或从角的角度进行分类讨论：通常，我们还可以借助基本图形分析法，找到边与角的数量关系，从而完成上述问题的讨论。
例1.（2022金山一模25题）.已知：如图 11，AD⊥直线MN，垂足为D，AD=8，点B 是射线DM 上的一个动点，∠BAC=90°，边AC 交射线DN 于点C，∠ABC 的平分线分别与AD、AC 相交于点E、F.（1）求证：△ABE∽△CBF；（2）如果AE=x，FC=y，求y 关于x 的函数关系式；（3）联结DF，如果以点D、E、F 为顶点的三角形与△BCF 相似，求AE 的长.2022金山一模25题的图形背景是母子型+角平分线，解题路径围绕着相似三角形的性质定理、判定定理以及射影定理展开。
题型主要围绕证明三角相似，函数关系的建立以及相似三角形的存在性讨论。
本题的关键是根据三角形的相似或角平分线的性质标出图形中的等角，然后再根据角的等量关系确定线段间的数量关系。
解法分析：本题的第一问是相似三角形的判定。
利用角平分线和平行线得到等角，继而再射影定理模型中的等角关系，利用A.A判定相似即可。
解法分析：本题的第二问是函数关系的确立。
利用第一问中相似三角形对应线段成比例以及等角的三角比相等可以顺利地建立函数关系。
解法分析：本题的第三问是相似三角形的存在性讨论。
由第一问中角的数量关系可得∠BFC=∠DEF ，因此由角进行分类讨论。
在分类讨论的过程中，善于运用斜X 型和射影定理模型即可快速得到结论，对于不存在的情况要能够排除。
解：（1）∵AD ⊥直线MN ，∠BAC =90°，∴∠BAD +∠ABD = 90°， ∠BCF +∠ABD = 90°，∴∠BAD =∠BCF ……………………………………………………………………………（1分）∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠CBF ………………………………………………………（1分） ∴△ABE ∽△CBF . …………………………………………………………………………（1分）（2）作FH ⊥BC 垂足为点H .∵△ABE ∽△CBF ，∴∠AEB =∠CFB ，∵∠AEB+∠AEF =180°，∠CFB+∠CFE =180°∴∠AEF =∠CFE ，∴AE =AF=x ；…………………………………………………………（1分） ∵BF 平分∠ABC ，FH ⊥BC ，∠BAC =90°，∴AF=FH=x .∵FH ⊥BC ，AD ⊥直线MN ，∴FH∥AD ，∴FH FC AD AC=，即8x y y x =+，…………（2分） 解得：28x y x=-（48x <<）……………………………………………………………（2分）（3）设AE=x ，由△ABE ∽△CBF ，如果以点D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCF 相似，即以点D 、E 、F 为顶点的三角形与△ABE 相似.∵∠AEB =∠DEF ，如果∠BAE =∠FDE ，得DF∥AB ，∴∠ABE =∠DFE ，∵∠ABE =∠DBE , ∴∠DBE =∠DFE ，∴BD=DF , ………………………………………（1分） 由DF∥AB ，得∠DFC=∠BAC =90°，∴∠DFC=∠ABD =90°，又∠BAD =∠BCF ，∴△ABD ≌△CDF ，…………………………………………………（1分）CF=AD=8，即2=88x x-，解得：4x =-±（舍去负值），∴4AE x ==-+…………………………（1分）如果∠BAE =∠DFE ，得AE BE EF DE=，∵∠ABF =∠BED ，∴△AEF ∽△BED ，∴∠AFE =∠BDE ， 因为∠AFE 是锐角，∠BDE 是直角，所以这种情况不成立。
备考练习2022年上海市徐汇区中考数学三年高频真题汇总卷(含答案及解析)
2022年上海市徐汇区中考数学三年高频真题汇总卷考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；③AM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．1个2、点P（3，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（3，5）B．（5，3）C．（﹣3，5）D．（﹣3，﹣5）3、已知,x y为实数且|1|0x+,则2012xy⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )·线○封○密○外A ．0B ．1C ．-1D ．20124、下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A ．1,1,3cm cm cmB ．1,2,3cm cm cmC ．1,2,2cm cm cmD ．1,4,2cm cm cm5、若函数y ＝3x ﹣1与函数y ＝x ﹣k 的图象交点在第四象限，则k 的取值范围为（ ）A ．13k < B ．113k << C ．k ＜1 D ．1k > 或13k < 6、点 P （m + 3，m + 1）在x 轴上，则P 点坐标为（ ）A ．（0，﹣2）B ．（0，﹣4）C ．（4，0）D ．（2，0）7、下图中，不可能围成正方体的是（ ）A ．B ．C ．D ．8、如果22324M x xy y =--，2245N x xy y =+-，那么2281315x xy y --等于（ ）A ．2M N -B ．4M N -C ．23M N -D ．32M N -9、下列计算中，正确的是（ ）A ．()23313a a a a -+=-+B ．()222a b a b +=+ C ．()()2232394a a a ---=- D ．()222242a b a ab b -=-+ 10、一个多边形内角和是1440°，则这个多边形的边数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、多项式2213x x --的常数项是_____2、角是轴对称图形，__是它的对称轴．3、O ，T ，T ，F ，F ，S ，S ，E 是正整数英文的第一个字母，请你细心观察后填写后两个____，____．4、如图,在平面直角坐标系中，有若千个整数点，其顺序按图中“→”方向排列,如()()()1, 0, 2, 0, 2, 1，….根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为__________．5、计算：2(2)(2)(2)a b a b a b ---+=_______． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：这批样品的质量比标准总质量质量多还是少？多或少几克？若每袋标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少？2、为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m ) 绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图． ·线○封○密○外请根据图表中所提供的信息，完成下列问题（1）表中a= ，b= ；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）跳远成绩大于等于2.0m为优秀，若该校九年级共有550名学生，估计该年级学生立定跳远成绩优秀的学生有多少人？3、如图，直线y=2x+6与直线l：y=kx+b交于点P（-1，m）（1）求m 的值；（2）方程组26y x y kx b =+⎧⎨=+⎩的解是______； 4、如图所示，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，BC =30C ∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度向点B 匀速运动，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒(0)t >，过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE 、EF . （1）求证：AE DF =； （2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由； （3）当t =________时，DEF ∆为直角三角形. 5、如图，点E 是△ABC 的BC 边上的一点，∠AEC ＝∠AED ，ED ＝EC ，∠D ＝∠B ，求证：AB ＝AC ． ·线○封○密○外-参考答案-一、单选题1、B【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD，DF=12AD，从而可证明②正确；③若DM平分∠ADF，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．【详解】如图所示：连接BD、DC，①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED=DF，∴①正确；②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD=30°，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∵∠AED=90°，∠EAD=30°， ∴ED=12AD ， 同理：DF=12AD ， ∴DE+DF=AD，∴②正确；③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°，假设MD 平分∠ADF，则∠ADM=30°．则∠EDM=90°， 又∵∠E=∠BMD=90°， ∴∠EBM=90°， ∴∠ABC=90°， ∵∠ABC 是否等于90°不知道， ∴不能判定MD 平分∠ADF， 故③错误； ④∵DM 是BC 的垂直平分线， ∴DB=DC， 在Rt△BED 和Rt△CFD 中 DB DC DE DF =⎧⎨=⎩， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL ），∴BE=FC，∴AB+AC=AE﹣BE+AF+FC ，又∵AE=AF，BE=FC ，·线○封○密·○外∴AB+AC=2AE，故④正确，所以正确的有3个，故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．2、A【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．【详解】点P（3，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为（3，5）．故选A．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．3、B【分析】利用非负数的性质求出x、y，然后代入所求式子进行计算即可.【详解】由题意，得x+1=0，y-1=0，解得：x=-1，y=1， 所以2012x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=（-1）2012=1， 故选B. 【点睛】 本题考查了非负数的性质，熟知几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0是解题的关键.4、C【分析】根据三角形的三边关系：在一个三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可得解. 【详解】 A.113+<，不满足三边关系，A 选项错误； B.123+=，不满足三边关系，B 选项错误； C.满足三边关系，C 选项正确； D.124+<，不满足三边关系，D 选项错误， 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系的知识是解决本题的关键.5、B【分析】先解方程组，求出方程组的解，得出两函数交点的坐标，根据点所在的位置得出不等式组，求出不等式组的解集即可．·线○封○密○外【详解】解：解方程组31y xy x k=-⎧⎨=-⎩得：12132kxky-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，即两函数的交点坐标是113 () 22k k--，，∵函数y＝3x﹣1与函数y＝x﹣k的图象交点在第四象限，∴12132kk-⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＞＜，解得：11 3k＜＜，故选：B．【点睛】本题考查了两直线相交于平行，解不等式组等知识点，能得出关于k的不等式组是解此题的关键．6、D【分析】根据点在x轴上的特征,纵坐标为0,可得m+1=0,解得:m=-1,然后再代入m+3,可求出横坐标.【详解】解:因为点P（m + 3，m + 1）在x轴上,所以m+1=0,解得:m=-1,所以m+3=2,所以P点坐标为（2，0）.故选D.【点睛】本题主要考查点在坐标轴上的特征,解决本题的关键是要熟练掌握点在坐标轴上的特征.7、D【解析】【分析】根据题意利用折叠的方法，逐一判断四个选项是否能折成正方体即可．【详解】根据题意，利用折叠的方法，A 可以折成正方体，B 也可以折成正方体，C 也可以折成正方体，D 有重合的面，不能直接折成正方体． 故选D ． 【点睛】 本题考查了正方体表面展开图的应用问题，是基础题． 8、B 【分析】 根据题意首先计算系数之间的关系，根据系数之间的关系即可得到答案.【详解】解：根据题意可得：222222813154(324)(45)x xy y x xy y x xy y --=---+-所以可得：2281315x xy y --=4M-N 故选B. 【点睛】 ·线○封○密·○外本题主要考查多项式的组合，根据结果凑成答案即可，关键在于凑的思想，根据系数凑.9、C【分析】根据多项式的化简计算即可.【详解】A 错误，()23313a a a a -+=--B 错误，()2222a b a b ab +=++C 正确;D 错误，()222244a b a ab b -=-+ 故选C.【点睛】本题主要考查完全平方式，必须熟练掌握,不能忘记2ab.10、D【分析】直接根据多边形的内角和公式进行求解即可．【详解】解：由题意得：()21801440n -⨯︒=︒解得10n =．故选D ．【点睛】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握公式是解题的关键．二、填空题1、13- 【分析】 根据常数项的定义即可求解. 【详解】 ∵2213x x --=2211333x x -- ∴常数项为13- 故填：13-.【点睛】 此题主要考查常数项，解题的关键是熟知多项式的性质特点. 2、角平分线所在的直线 【分析】 根据角平分线的定义即可解答． 【详解】 解：角的对称轴是“角平分线所在的直线”． 故答案为：角平分线所在的直线．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，理解轴对称图形沿对称轴折叠能够完全重合是解题的关键． 3、N T【解析】·线○封○密○外【分析】O ，T ，T ，F ，F ，S ，S ，E 是正整数从1到8这几个数的第一个字母．因而后面应填9和10的第一个字母．【详解】O ，T ，T ，F ，F ，S ，S ，E 是正整数英文从1到8这几个数的第一个字母，所以后面的两个应该是9和10的第一个字母，为N ，T ，故答案为：N ，T.【点睛】本题考查的是规律型：图形的变化类，本题与英语相结合，解决的关键是注意学科之间的联系．4、()142，【分析】从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，⋯依此类推横坐标为n 的有n 个点.题目要求写出第100个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第100个点位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．【详解】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点.…第n 个有n 个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y 轴上方比下方多一个， 所以奇数列的坐标为111,,1,222n n n n n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋯ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ； 偶数列的坐标为,,1,1222n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋯- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 由加法推算可得到第100个点位于第14列自上而下第六行.14代入上式得（14，1452-）即（14，2）， 故答案为（14，2）.【点睛】本题的考查了对平面直角坐标系的熟练运用能力，用“从特殊到一般”的方法入手寻找规律是解答本题的关键. 5、-3a 2-4ab+5b 2 【解析】【分析】根据完全平方式和平方差公式计算即可.【详解】 解： 原式=222222222244(4)444345a ab b a b a ab b a b a ab b -+--=-+-+=--+ 【点睛】 本题主要考查完全平方公式和平方差公式，必须熟练掌握. 三、解答题 1、这批样品的质量比标准总质量质量多，多24克；若每袋标准质量为450克，则抽样检测的总质量是9024克． 【分析】 根据表格中的数据计算与标准质量的差值的总数，如果是正数，即多，如果是负数，即少；根据标准质量结合前边的结论进行计算抽样检测的总质量． 【详解】 解：与标准质量的差值的和=-5×1+（-2）×4+0×3+1×4+3×5+6×3=24， ∴这批样品的质量比标准总质量多，多24克． ∴抽样检测的总质量是450×20+24=9024（克）． 答：这批样品的质量比标准总质量质量多，多24克；若每袋标准质量为450克，则抽样检测的总质·线○封○密○外量是9024克．【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．2、（1）8，20 （2）见解析（3）330人【解析】【分析】（1）根据频数分布直方图可知a的值，然后根据题目中随机抽取该年级50名学生进行测试，可以求得b的值；（2）根据（1）中b的值可以将频数分布直方图补充完整；（3）根据频数分布表中的数据，可以算出该年级学生立定跳远成绩优秀的学生有多少人．【详解】（1）由频数分布直方图可知，a=8，b=50-8-12-10=20，故答案为：8，20；（2）由（1）知，b=20，补全的频数分布直方图如图所示；（3）550×201050+=330（人）， 答：该年级学生立定跳远成绩优秀的学生有330人． 【点睛】 本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3、（1）m=4；（2）14x y =-⎧⎨=⎩. 【分析】 （1）将点P （-1，m ）代入直线方程y=2x+6，解出m 的值； （2）因为直线y=2x+6直线y=kx+b 交于点P ，所以方程组26y x y kx b =+⎧⎨=+⎩的解就是P 点的坐标. 【详解】（1）将点P （-1，m ）代入直线方程y=2x+6得：-2+6=m ，所以m=4；（2）方程组26y x y kx b =+⎧⎨=+⎩的解为14x y =-⎧⎨=⎩， 故答案为：14x y =-⎧⎨=⎩ 【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上点，就一定满足函数解析式．4、（1）详见解析；（2）能；（3）2或165秒 【解析】·线○封○密○外【分析】（1）在中DFC △，90DFC ∠=︒,30C ∠=︒，由已知条件求证；（2）求得四边形AEFD 为平行四边形，若使平行四边形EFD A 为菱形则需要满足的条件及求得；（3）分三种情况：①90EDF ︒∠=时，四边形EBFD 为矩形．在直角三角形ABD 中求得2AD AE =即求得．②90DEF ︒∠=时，由（2）知//EF AD ，则得90ADE DEF ︒∠=∠=，求得cos60AD AE ︒=．③90EFD ︒∠=时，此种情况不存在．【详解】（1）在Rt DFC ∆中，90DFC ∠=︒ 30C ∠=︒ ∴12DF DC t == 又∵AE t =∴AE DF =（2）能. 理由如下：∵DF BC ⊥，AB BC ⊥∴AE DF又∵AE DF =∴四边形AEFD 为平行四边形在Rt ABC ∆中，30C ∠=︒∴2AC AB =又∵222AC AB BC =+∴2348AB =∴4AB =,8AC =∴82AD t =-当AD AE =时，AEFD 为菱形∴AD=82t t -= ∴83t =，即83t =秒时，四边形AEFD 为菱形 （3）①90EDF ︒∠=时，四边形EBFD 为矩形． 在 Rt AED 中，30ADE C ︒∠=∠=，2AD AE ∴=． 即822t t -=，2t =． ②90DEF ︒∠=时，由（2）四边形AEFD 为平行四边形知//EF AD ， 90ADE DEF ︒∴∠=∠=．9060A C ︒︒∠=-∠=， cos60AD AE ︒∴=⋅． 则有1822t t -=，165t =． ③当90EFD ︒∠=时，此种情况不存在．综上所述，当2t =秒或165秒时，DEF 为直角三角形． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，考查了菱形是平行四边形，考查了菱形的判定定理，以及菱形与矩形之间的联系．难度适宜，计算繁琐． 5、见解析． 【分析】 由SAS 证明△AED 与△AEC 全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定解答即可． 【详解】 （1）在△AED 与△AEC 中 ·线○封○密·○外AE AE AED AEC ED EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AED ≌△AEC （SAS ），∴∠D ＝∠C ，∵∠D ＝∠B ，∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ；【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，关键是根据SAS 证明△AED 与△AEC 全等．。
专题02 填空压轴题-备战2022年中考数学满分真题模拟题分类汇编(上海专用)(解析版)
专题02 填空压轴题1．（2021•上海）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P，2OP=，当正方形绕着点O旋转时，则点P 到正方形的最短距离d的取值范围为 ．d…【答案】21【详解】如图：设AB的中点是E，OP过点E时，点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时d PE=最大，OP过顶点A时，点O与边AB上所有点的连线中，OA最大，此时d PA=最小，如图①：Q正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，\=，45AE1^，Ð=°，OE ABOAEOE\=，1Q，OP=2\==；d PE1如图②：Q正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，\=，451AE^，OAEÐ=°，OE AB\=OAQ，OP=2\==-；2d PAd \的取值范围为21d …．2．（2020•上海）在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点O 在对角线AC 上，圆O 的半径为2，如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是 ．【答案】102033AO <<【详解】在矩形ABCD 中，90D Ð=°Q ，6AB =，8BC =，10AC \=，如图1，设O e 与AD 边相切于E ，连接OE ，则OE AD ^，//OE CD \，AOE ACD \D D ∽，\OE AO CD AC =，\2106AO =，103AO \=，如图2，设O e 与BC 边相切于F ，连接OF ，则OF BC ^，//OF AB \，COF CAB \D D ∽，\OC OF AC AB =，\2106OC =，103OC \=，203AO \=，\如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是102033AO <<3．（2019•上海）在ABC D 和△111A B C 中，已知190C C Ð=Ð=°，113AC A C ==，4BC =，112B C =，点D 、1D 分别在边AB 、11A B 上，且ACD D @△111C A D ，那么AD 的长是 ．【答案】53【详解】ACD D @Q △111C A D ，可以将△111C A D 与ACD D 重合，如图，11190ACB A C B Ð=Ð=°Q ，11//BC B C \，\11B C AD BD BC=，3AC =Q ，4BC =，5AB \==，\254AD AD =-，解得53AD =，AD \的长为534．（2018•上海）已知任一平面封闭图形，现在其外部存在一水平放置的矩形，使得矩形每条边都与该图形有至少一个交点，且构成该图形的所有点都在矩形内部或矩形边上，那么就称这个矩形为“该图形的矩形”，且这个矩形的水平长成为该图形的宽，铅直高称为该图形的高．如图，边长为1的菱形的一条边水平放置，已知“该菱形的矩形”的“高”是“宽”的23，则该“菱形的矩形”的“宽”为 ．【答案】1813【详解】在菱形上建立如图所示的矩形EAFC ，设AF x =，则23CF x =，在Rt CBF D 中，1CB =，1BF x =-，由勾股定理得：222BC BF CF =+，22221(1)()3x x =-+，解得：1813x =或0（舍)，则该“菱形的矩形”的“宽”是18135．（2021•普陀区二模）如图，正方形ABCD 中，4AB =，E 为边BC 的中点，点F 在AE 上，过点F 作MN AE ^，分别交边AB 、DC 于点M 、N ，联结FC ，如果FNC D 是以CN 为底边的等腰三角形，那么FC = ．【详解】延长AE ，DC 交于点A ¢，过点F 作FH CD ^于H ，ABCD Q 是正方形，4AB BC \==，//AB CD ，1A \Ð=Т．在ABE D 和△A CE ¢中，1A AEB A EC BE EC Ð=ТìïÐ=Тíï=î．ABE \D @△()A CE AAS ¢．4AB A C \=¢=．E Q 为边BC 的中点，122BE EC BC \===．AE \==sin 1BE AE \Ð==．sin A \Т=．AE MN ^Q ，90A FN \Т=°．290A\Т+Ð=°．cos 2sin A \Ð=Т=FN FC =Q ，FH CN ^，12NH CH CN \==．设NH x =，则2NC x =．42A N A C NC x \¢=¢+=+．在Rt FHN D 中，cos 2NH FN Ð==，FN \=．在Rt △A FN ¢中，cos 2FN A N Ð==¢\=43x \=．FC FN \===．6．（2021•嘉定区二模）在矩形ABCD 中，6AB =，4BC =（如图），点E 是边AB 的中点，联结DE ．将DAE D 沿直线DE 翻折，点A 的对应点为A ¢，那么点A ¢到直线BC 的距离为 ．【答案】5425【详解】过A ¢作//FG BC 交AB 于F ，交CD 于G ，过A ¢作A H BC ¢^于H ，如图：Q 矩形ABCD 中，6AB =，4BC =，E 是边AB 的中点90A \Ð=°，4AD BC ==，6CD AB ==，3AE =，DAE D Q 沿直线DE 翻折，点A 的对应点为A ¢，90DA E A \Т=Ð=°，4A D AD ¢==，3A E AE ¢==，又//FG BC ，90A DG DA G EA F \Т=°-Т=Т，而90EFA A GD Т=Т=°，EFA \D ¢∽△A GD ¢，\34EF FA EA A G DG A D ¢¢===¢¢，设3EF m =，3FA n ¢=，则4A G m ¢=，4DG n =，4FA A G BC ¢+¢==Q ，AE EF DG +=，\344334n m m n +=ìí+=î，解得2425n =，96425DG n \==，5425CG CD DG \=-=，5425A H \¢=7．（2021•闵行区二模）对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．问题：如图，在ABC D 中，AB AC =，4BC =，且ABC D 的面积为m ，如果ABC D 存在“最优覆盖菱形”为菱形BCMN ，那么m 的取值范围是 ．【答案】8m …【详解】ABC D Q 的面积为m ，ABC \D 的BC 边上的为高2m ，如图：当高取最小值时，ABC D 为等边三角形，点A 与M 或N 重合，如图：过A 作AD BC ^，垂足为DQ 等边三角形ABC ，4BC =，60ABC \Ð=°，4BC =，30BAD Ð=°．2BD \=，AD \==，\2m =，即m =如图：当高取取最大值时，菱形为正方形．\点A 在MN 的中点，\4,82m m ==即，8m \…8．（2021•青浦区二模）在矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，4AB cm =，8AD cm =．Q 为直线BC 上一动点，如果以5cm 为半径的Q e 与矩形ABCD 的各边有4个公共点，那么线段OQ 长的取值范围是 ．【答案】2OQ <…【详解】临界情况，如图所示，1Q e 与CD 切于点C ，2Q e 与AB 切于点B ，当Q 在12Q Q 上移动时Q e 与AB 有一个交点，与AD 有2个交点，与CD 有1个交点，15CQ \=，113BQ BC CQ =-=，4AB =，15AQ \==，即A 在1Q e 上，同理，D 在2Q 上，临界条件下，圆与矩形存在三个交点，当OQ BC ^时，OQ 取最小值，2OQ =，当Q 在1Q 或Q 时，OQ 取最大值，12OQ OQ ===2OQ \<…．9．（2021•松江区二模）如图，已知Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，6AC =，8BC =．将ABC D 翻折，使点C 落在AB 边上的点D 处，折痕EF 交边AC 于点E ，交边BC 于点F ，如果//DE BC ，则线段EF 的长为 ．【详解】如图，由折叠可知，EC ED =，FC FD =，CEF DEF Ð=Ð，EF 是CD 的垂直平分线，//DE BC Q ，90ACB Ð=°，90AED ACB \Ð=Ð=°，45CEF DEF \Ð=Ð=°，90CED ECF EDF \Ð=Ð=Ð=°\四边形CEDF 是正方形，设CF x=，则6AE x=-，8BF x=-，由AED DFBD D∽得，AE EDDF FB=，即，68x xx x-=-，解得，247x=，在Rt CEFD中，EF=10．（2021•虹口区二模）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，将BCMD沿直线BM翻折，使得点C落在同一平面内的点C¢处，联结DC¢并延长交正方形ABCD一边于点N．当BN DM=时，CM 的长为 ．【答案】2或8-【详解】如图1中，当BN DM=时，连接CC¢交BM于J．BN DM=Q，//BN DM，\四边形BNDM 是平行四边形，//BM DN \，BMC NDM \Ð=Ð，BMC DC M Т=Т，由折叠知，MC MC ¢=，BMC BMC Ð=Т，NDM DC M \Ð=Т，MC MD \¢=，122CM DM CD \===．如图2中，当BN DM =时，过点C ¢作C T CD ¢^于T ．CB CD =Q ，BN DM =，CN CM MC \==¢，在BCM D 和DCN D 中，CB CD BCM DCN CM CN =ìïÐ=Ðíï=î，()BCM DCN SAS \D @D ，CDN CBM \Ð=Ð，90CBM BCC Ð+Т=°Q ，90BCC C CD Т+Т=°，CBM C CD \Ð=Т，C CD DCN \Т=Ð，C D C C \¢=¢，C T CD ¢^Q ，2DT TC \==，//C T CN ¢Q，DC C N \¢=¢，12C T CN \¢=，设C T x ¢=，则2CN CM MC x ==¢=，TM =，22x \=，4x \=-，8CM \=-综上所述，CM 的值为2或8-．11．（2021•长宁区二模）如图，已知ABC D 中，90C Ð=°，6AB =，CD 是斜边AB 的中线．将ABC D 绕点A 旋转，点B 、点C 分别落在点B ¢、点C ¢处，且点B ¢在射线CD 上，边AC ¢与射线CD 交于点E ．如果3AE EC =¢，那么线段CE 的长是 ．【答案】72【详解】根据已知，作出的图形，如图所示：ABC D Q 中，90C Ð=°，6AB =，CD 是斜边AB 的中线．132AD CD DB AB \====，DAC ACD \Ð=Ð，根据旋转性质：B AE B CA Т=Т，\△B AE ¢∽△B CA ¢，\B A AE B E BC AC B A ¢¢==¢¢，\3AE E C =¢，\34AE AE AC AC ==¢，\6346B E BC ¢==¢，8B C \¢=，92B E ¢=，97822EC B C B E \=¢-¢=-=12．（2021•黄浦区二模）如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ．将ABD D 沿对角线BD 翻折，点A 的对应点E 恰好位于边BC 上，且:3:2BE EC =，则C Ð的余切值是 ．【详解】如图，过点A 作AF BC ^于F ，DH BC ^于H ，//AF DH \，又//AD BC Q ，\四边形ADHF 是平行四边形，又AF BC ^Q ，\四边形ADHF 是矩形，AF DH \=，AD FH =，在Rt ABF D 和Rt DCH D 中，AB DC AF DH =ìí=î，Rt ABF Rt DCH(HL)\D @D ，BF CH \=，Q 将ABD D 沿对角线BD 翻折，AB BE \=，ABD DBC Ð=Ð，//AD BC Q ，ADB DBC ABD \Ð=Ð=Ð，AB AD \=，:3:2BE EC =Q ，\设3BE x =，2EC x =，3AB CD x AD FH \====，BF CH x \==，DH \==，C \Ð的余切值==13．（2021•杨浦区二模）如图，已知在ABCD 中，90C Ð=°，30B Ð=°，2AC =，点D 是边BC 的中点，点E 是边AB 上一点，将BDE D 沿直线DE 翻折，点B 落在B ¢处，联结AB ¢，如果90AB D ¢Ð=°，那么线段AE 的长为 ．【答案】145或2【详解】在ABC D 中，90C Ð=°，30B Ð=°，2AC =，4AB \=，BC ==Q 点D 是边BC 的中点，BD CD \==，Q 将BDE D 沿直线DE 翻折，B D BD ¢\==，\点B ¢在以点D 为圆心，BD 为半径的圆上，如图，当点B ¢与点C 不重合时，过点E 作EH BC ^于H ，连接AD ，在Rt ACD D 和Rt △AB D ¢中，AD AD CD DB =ìí¢=î，Rt ACD Rt \D @△()AB D HL ¢，DAC DAB ¢\Ð=Ð，180BDB B DC B AC B DC ¢¢¢¢Ð+Ð=°=Ð+ÐQ ，B AC BDB ¢¢\Ð=Ð，Q 折叠，BDE EDB ¢\Ð=Ð，BDE DAC \Ð=Ð，tan tan DC HE DAC BDE AC DH \Ð=Ð===\设EH =，2DH x =，30B Ð=°Q ，3BH x \==，BE =BD ==Q ，x \=35EH \=，65BE =，145AE \=，当点B ¢与点C 重合时，90AB D ¢Ð=°，DE \是BC 的垂直平分线，//DE AC \，\1AE CD BE BD==，122AE BE AB \===，综上所述：145AE =或2．14．（2021•静安区二模）在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的n 倍(n 为整数），那么我们称这个三角形为n 倍角三角形，如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为 ．【答案】30°或20°或18°或36011°【详解】①设最小内角度数为n °，2倍角为2n °，3倍角为3n °，23180n n n \++=，30n \=；②设最小内角度数为n °，2倍角为2n °，3倍角为6n °，26180n n n \++=，20n \=．③设最小内角度数为n °，3倍角为3n °，2倍角为6n °，36180n n n \++=，18n \=．④设最小内角度数为2n °，其余两个角为3n °和6n °，236180n n n \++=，18011n \=，360211n \=．15．（2021•都江堰市模拟）如图，在ABC D 中，AD 是BC 边上的中线，60ADC Ð=°，3BC AD =．将ABD D 沿直线AD 翻折，点B 落在平面上的B ¢处，联结AB ¢交BC 于点E ，那么CE BE的值为 ．【答案】37【详解】过A 作AF BC ^于F ，过B ¢作B G BC ¢^于G ，如图：60ADC Ð=°Q ，120ADB \Ð=°，ABD D Q 沿直线AD 翻折，点B 落在平面上的B ¢处，120ADB \Т=°，60CDB Т=°，B D BD ¢=，3BC AD =Q ，AD 是BC 边上的中线，\设AD m =，则3BC m =，32BD B D m =¢=，Rt ADF D 中，1cos602DF AD m =×°=，sin 60AF AD =×°=，2BF BD DF m \=+=，CF BC BF m=-=Rt △B DG ¢中，3cos604DG B D m =¢×°=，sin 60B G B D ¢=¢×°=，14FG DG DF m \=-=，AF BC ^Q ，B G BC ¢^，//AF B G \¢，\23FE AF GE B G ===¢，14FE GE FG m +==Q ，110FE m \=，2110BE BF EF m \=+=，910CE CF EF m =-=，\931021710m CE BE m ==方法二：如图：AD Q 是BC 边上的中线，CD BD \=，Q 将ABD D 沿直线AD 翻折，点B 落在平面上的B ¢处，B D BD CD ¢\==，60ADC Ð=°Q ，120ADB ADB ¢\Ð=Ð=°，60CDB ¢\Ð=°，CDB ¢\D 是等边三角形，B C CD BD ¢\==，60B CD ¢Ð=°，60B CD ADC ¢\Ð=Ð=°，//AD B C ¢，\AD DE B C CE=¢，由3BC AD =，设2AD m =，则6BC m =，3B C CD BD m ¢===，\23DE AD CE B C ==¢，3955CE CD m \==，2655DE CD m ==，215BE BD DE m \=+=，\9352175m CE BE m ==16．（2021•金山区二模）如图，在矩形ABCD中，3AB=，4BC=，点E在对角线BD上，联结AE，作EF AE^交边BC于F，若3916BF=，那么BE= ．【答案】15 4【详解】方法一、如图，连接AF，过点E作EH BC^于H，3AB CD==Q，4AD BC==，5BD\===，3 AB= Q，3916 BF=，AF\===，90ABC AEFÐ=Ð=°Q，\点A，点B，点F，点E四点共圆，DBC EAF\Ð=Ð，sin sinDC EFDBC EAFBD AF\Ð=Ð==，\35=，EF\=，tanDC EHDBCBC BHÐ==Q，\34EHBH=，设3EH x =，4BH x =，222EF FH EH =+Q ，\228117399(425616x x ´=+-，34x \=或3100x =（不合题意舍去），94EH \=，3BH =，154BE \===，方法二、如图，过点E 作MN BC ^于N ，交AD 于M ，则四边形ABNM 是矩形，3AB MN \==，AM BN =，设BE x =，则35EN x =，45BN x =，439516FN x \=-，335ME x =-，易证AEM EFN D D ∽，\AM ME EN FN=，\4335534395516x x x x -=-，154x \=，154BE \=17．（2021•宝山区二模）如图，矩形ABCD 中，2AB =．5AD =，点E 是BC 边上一点，联结AE ，将AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 的对应点记为点F ，如果点F 在对角线BD 上，那么BF DF = ．【答案】2【详解】根据题意画出图形，过点F 作FG BC ^于点G ，由旋转可知：EA EF =，90AEF Ð=°，90AEB FEG \Ð+Ð=°，Q 四边形ABCD 是矩形，90ABE \Ð=°，2AB CD ==，5BC AD ==，90BAE AEB \Ð+Ð=°，BAE FEG \Ð=Ð，在ABE D 和EGF D 中，90BAE GEF ABE EGF AE FE Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î，()ABE EGF AAS \D @D ，BE FG \=，2AB EG ==，设CG x =，则523BE BC CG EG x x =--=--=-，3FG BE x \==-，//FG DC Q ，BFG BDC \D D ∽，\BG FG BC DC =，\5352x x --=，解得53x =，53CG \=，510533BG BC CG \=-=-=，543333FG x =-==-=，//FG DC Q ，\103253BF BG DF CG ===．18．（2021•浦东新区二模）如图，矩形ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、BC 边上，2DE AE =、2BF CF =，将四边形ABFE 沿BF 所在直线翻折，点A 落在点A ¢处，点E 落在点E ¢处，如果EF CE ¢^，那么AB AD 的值为 ．【详解】如右图，作EF CE ^¢交于点H ，连接EE ¢，交BC 于点Q ，由题可知，90EQC FHC Ð=Ð=°，EFQ CFH Ð=ÐQ ，EFQ CFH \D D ∽，设AB 长为y ，AD 长为x，2DE AE =Q 、2BF CF =，\23DE x =，13QF FC x ==，\13x FH FQ HC EQ y==，90FHC QEC Ð=Ð=°Q ，C C Ð=Ð，FHC \D ∽△E QC ¢，\23FH QE y HC QC x ¢==，\1323x y y x =，\y x =\AB AD =．19．（2021•奉贤区三模）如图，已知在等边ABC D 中，4AB =，点P 在边BC 上，如果以线段PB 为半径的P e 与以边AC 为直径的O e 外切，那么P e 的半径长是 ．【答案】45【详解】如图，连接OP ，过点O 作OH BC ^于P，在等边ABC D 中，4AB =，4AC BC AB \===，60ACB Ð=°，Q 点O 是AC 的中点，2AO OC \==，Q 以线段PB 为半径的P e 与以边AC 为直径的O e 外切，2PO BP \=+，OH BC ^Q ，30COH \Ð=°，1HC \=，OH ，222OP OH PH =+Q ，22(2)3(41)BP BP \+=+--，45BP \=20．（2021•宝山区三模）在Rt ABC D 中，90C Ð=°，3AC =，以点A 为圆心，1为半径作A e ，将A e 绕着点C 顺时针旋转，设旋转角为(090)a a <<°，若A e 与直线BC 相切，则a Ð的余弦值为 ．【答案】13【详解】设将A e 绕着点C 顺时针旋转，点A 至点A ¢时，A ¢e 与直线BC 相切相切于点D ，连接A D ¢，则90A DC Т=°，1A D ¢=，由旋转的性质可知，3CA CA ¢==，1cos 3A D CA D A C ¢\Т==¢，//AC A D ¢Q ，CA D a \=Т，a \Ð的余弦值为1321．（2021•上海模拟）在ABC D 中，36BAC Ð=°，AB AC =，BF 平分ABC Ð交AC 于F ，取AB 中点E ，连接EF 交BC 延长线于D ，连接AD ，则AB BD = ．【详解】36BAC Ð=°Q ，AB AC =，180BAC ABC ACB Ð+Ð+Ð=°，1(180)722ABC ACB BAC \Ð=Ð=°-Ð=°，BF Q 平分ABC Ð交AC 于F ，36ABF \Ð=°，ABF BAC \Ð=Ð，FA FB \=，Q 点E 为AB 的中点，EF \垂直平分AB ，DA DB \=，72DAB ABD \Ð=Ð=°，(180)36ADB DAB ABD \Ð=°-Ð-Ð=а，BAC ADB \Ð=Ð，ABC ABD Ð=Ð，ABC DAB \D D ∽，\AB BC BD AB=，2AB BC BD \=×，36CAD DAB BAC Ð=Ð-Ð=°Q ，ADB CAD \Ð=Ð，CD AC AB \==，22()AB BC BC CD BC AB BC \=+=×+，220AB BC AB BC \-×-=，AB \==，\BC AB =，\AB BD =22．（2021•浦东新区模拟）已知，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，9AC =，12BC =，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且:3:4CD CE =．将CDE D 绕点D 顺时针旋转，当点C 落在线段DE 上的点F 处时，BF 恰好是ABC Ð的平分线，此时线段CD 的长是 ．【答案】6【详解】如图所示，设3CD x =，则4CE x =，124BE x =-，Q 34CD CA CE CB ==，90DCE ACB Ð=Ð=°，ACB DCE \D D ∽，DEC ABC \Ð=Ð，//AB DE \，ABF BFE \Ð=Ð，又BF Q 平分ABC Ð，ABF CBF \Ð=Ð，EBF EFB \Ð=Ð，124EF BE x \==-，由旋转可得3DF CD x ==，Rt DCE D Q 中，222CD CE DE +=，222(3)(4)(3124)x x x x \+=+-，解得12x =，23x =-（舍去），236CD \=´=23．（2021•浦东新区模拟）如图，已知在ABC D 中，AB AC =，BM 是腰AC 上的中线，且BM BC =，将BCM D 沿直线BM 翻折，点C 落在ABC D 所在平面内的点D 处，如果7BC =，那么AD = ．【答案】72【详解】BCM D Q 沿直线BM 翻折得到BMD D ，BCM BMC BMD BDM \Ð=Ð=Ð=Ð，7BD BM BC ===，又AB AC =Q ，BCM ABC BMC BMD BDM \Ð=Ð=Ð=Ð=Ð，BM Q 是腰AC 上的中线，CM AM \=，又DM CM =Q ，AM DM \=，ADM DAM \Ð=Ð，又Q 三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和，2DMC ADM DAM ADM \Ð=Ð+Ð=Ð，12ADM DMC DMB BCA Ð=Ð=Ð=ÐQ ，ADM BCA Ð=Ð，DAM ABC Ð=Ð，MAD ABC \D D ∽，又12MA AC =Q ，1722AD BC \==24．（2021•上海模拟）如图，已知等腰ABC D ，AD 是底边BC 上的高，:1:3AD DC =，将ADC D 绕着点D 旋转，得DEF D ，点A 、C 分别与点E 、F 对应，且EF 与直线AB 重合，设AC 与DF 相交于点O ，则:AOF DOC S S D D = ．【答案】3245【详解】作DG AB ^于G ，AB AC =Q ，AD BC ^，90ADB ADC \Ð=Ð=°，BAD CAD Ð=Ð，B C Ð=Ð．设AD x =，则3BD x =，由勾股定理，得AB =，AC \=．\22AD BD AB GD =g g ，\32x x =g GD \=Q 1tan 3AD C DC ==Ð．1tan 3B \Ð=．90ADG GAD Ð+Ð=°Q ，90B GAD Ð+Ð=°，ADG B \Ð=Ð．1tan 3AG ADG GD \Ð==，\\．FDE D Q 是由CDA D 旋转得来的，FDE CDA \D @D ，DE DA \=．F C Ð=Ð．DG AB ^Q ，AG EG \=．2AE AG \=，AE \=．AF \=-=．AOF DOC Ð=ÐQ ，F C Ð=Ð，AFO DCO \D D ∽，22:()AOF DOCAF S S DC D D \==．3245=．25．（2021•合肥三模）如图，已知在中，，，点是边的中点，，将沿直线翻折，点落在点处，连接，那么线段的长为 ．【详解】如图所示：，点是边的中点，，ABC D 90C Ð=°2BC =D BC ABC CAD Ð=ÐACD AD C E BE BE 2BC =Q D BC 1BD CD \==，，，，，，，由折叠的性质得：，，，作于，则，，，，，又，，，即，；26．（2020•虹口区二模）如图，在Rt ABCD 中，90C Ð=°，6AC=，8BC =，点D 、E 分别是边BC 、AB 上一点，//DE AC ，BD =，把BDE D 绕着点B 旋转得到△BD E ¢¢（点D 、E 分别与点D ¢，E ¢对应），如果点A ，D ¢、E ¢在同一直线上，那么AE ¢的长为 ．ABC CAD Ð=ÐQ C C Ð=ÐABC DAC \D D ∽::AC CD BC AC \=2212AC BC CD \=´=´=AC \=AD \===1ED CD ==ADE ADC Ð=ÐBD ED \=DF BE ^F BF EF =BDF EDF Ð=Ð1180902BDF ADC \Ð+Ð=´°=°90ADC DAC Ð+Ð=°Q BDF DAC \Ð=Ð90DFB C Ð=Ð=°Q BDF DAC \D D ∽\BF BD CD AD =1BF =BF \=2BE BF \==【详解】如图1中，当点D ¢在线段AE ¢上时，在Rt ACB D 中，90ACB Ð=°Q ，6AC =，8BC =，10AB \===，//DE AC Q ，BDE BCA \D D ∽，\DE BD AC BC =，\6DE =，DE \=，90AD B Т=°Q ，AD \¢===，AE AD D E \¢=¢+¢¢==，如图2中，当E ¢在线段AD ¢上时，同法可得AE AD D E ¢=¢-¢¢==综上所述，满足条件的AE ¢．27．（2020•宝山区二模）如图，在ABC D 中，5AB AC ==，3tan 4B =，将ABC D 绕点B 逆时针旋转，得到△11A BC ，当点1C 在线段CA 延长线上时1ABC D 的面积为 ．【答案】46825【详解】如图，过点B 作BE CC ¢^于点E ，过点A 作AF BC ^于F ，3tan 4AF ABC BFÐ==Q ，\设3AF x =，4BF x =，22225AF BF AB +==Q ，1x \=，3AF \=，4BF =，5AB AC ==Q ，AF BC ^，28BC BF \==，1122ABC S BC AF AC BE D =´´=´´Q ，832455BE ´\==，325CE \===，Q 将ABC D 绕点B 逆时针旋转，8BC BC ¢\==，且BE CC ¢^，6425CC EC ¢\==，1ABC \D 的面积116424468(5)225525AC BE ¢=´´=´-´=28．（2020•徐汇区二模）如图，在平行四边形ABCD 中，3AD =，5AB =，4sin 5A =，将平行四边形ABCD 绕着点B 顺时针旋转(090)q q °<<°后，点A 的对应是点A ¢，联结A C ¢，如果A C BC ¢^，那么cos q 的值是 ．【答案】725【详解】如图，连接BD ，连接A D ¢，过点B 作BH AD ^于H ，过点A ¢作A E AB ¢^于E ，4sin 5BH A AB==Q ，4BH \=，3AH \===，3AD AH \==，\点D 与点H 重合，90ADB \Ð=°，Q 四边形ABCD 是平行四边形，3AD BC \==，//AD BC ，90ADB DBC \Ð=Ð=°，又A C BC ¢^Q ，//BD A C ¢\，Q 将平行四边形ABCD 绕着点B 顺时针旋转(090)q q °<<°，5A B AB ¢\==，A C BC ¢^Q ，4A C ¢\===，A C BD ¢\=，\四边形A CBD ¢是平行四边形，90DBC Ð=°Q ，3BC A D ¢==，\四边形A CBD ¢是矩形，90A DB ¢\Ð=°，180A DB ADB ¢\Ð+Ð=°，\点A ，点D ，点A ¢共线，1122A BA S AB A E AA BD ¢¢¢=´´=´´V Q ，245A E ¢\=，75BE \===，775cos 525BE A B q \===¢29．（2020•静安区二模）如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90A Ð=°，DC AD =，B Ð是锐角，5cot 12B =，17AB =．如果点E 在梯形的边上，CE 是梯形ABCD 的“等分周长线”，那么BCE D 的周长为 ．【答案】42【详解】作CH AB ^于H ，设5BH a =，5cot 12B =Q ，\512BH CH =，12CH a \=，//AB CD Q ，90D A \Ð=Ð=°，又CH AB ^，\四边形ADCH 为矩形，12AD CH a \==，CD AH =，DC AD =Q ，12AH CD a \==，由题意得，12517a a +=，解得，，，，在中，，四边形的周长，是梯形的“等分周长线”，点在上，，，由勾股定理得，，的周长30．（2020•杨浦区二模）如图，已知在平行四边形ABCD 中，10AB =，15BC =，4tan 3A Ð=，点P 是边AD 上一点，联结PB ，将线段PB 绕着点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，如果点Q 恰好落在平行四边形ABCD 的边上，那么AP 的值是 ．1a =12AD CD AH \===5BH =Rt CHBD 13BC ==\ABCD 1212171354=+++=CE Q ABCD \E AB 1713273AE \=+-=1239EH \=-=15EC ==BCE \D 14131542=++=【答案】6或10【详解】如图1中，当点Q落在CD上时，作BE AD^于E，QF AD^交AD的延长线于F．设PE x=．在Rt AEBD中，4tan3BEAAE==Q，10AB=，8BE\=，6AE=，Q将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，90BPQ\Ð=°，90EBP BPE BPE FPQ\Ð+Ð=Ð+Ð=°，EBP FPQ\Ð=Ð，PB PQ=Q，90PEB PFQÐ=Ð=°，()PBE QPF AAS\D@D，PE QF x\==，8EB PF==，1DF AE PE PF AD x\=++-=-，//CD ABQ，FDQ A\Ð=Ð，4 tan tan3FQFDQ ADF\Ð===，\413xx=-，4x\=，4PE\=，6410AP\=+=；如图2，当点Q落在AD上时，Q将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，90BPQ\Ð=°，90APB BPQ\Ð=Ð=°，在Rt APBD中，4tan3APABP==Q，10AB=，6AP\=；如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE AD^于E，PF BC^于F．则四边形BEPF是矩形．在Rt AEB D 中，4tan 3BE A AE ==Q ，10AB =，8BE \=，6AE =，8PF BE \==，BPQ D Q 是等腰直角三角形，PF BQ ^，8PF BF FQ \===，PB PQ \==，1615BQ ==>（不合题意舍去），综上所述，AP 的值是6或1031．（2020•金山区二模）如图，在中，，，，把绕点旋转得到△，其中点在线段上，那么的正切值等于 ．【答案】【详解】把绕点旋转得到△，点在线段上，ABC D 90C Ð=°3AC =4BC =ABC D C A B C ¢¢A ¢AB A B B ¢¢Ð724ABC D C A B C ¢¢A ¢AB，，，，，，，，，，，，，，，设，则，，解得，舍去），，，．32．（2020•嘉定区二模）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么，我们将这样的三ACA BCB ¢¢\Ð=ÐCA CA ¢=CB CB ¢=A CA A ¢\Ð=ÐCBB CB B ¢¢Ð=ÐA CBB ¢\Ð=ÐCAA CBB ¢¢\D D ∽\CA AA CB BB ¢=¢90C Ð=°Q 3AC =4BC =5AB \===90A CBA Ð+Ð=°90CBB CBA ¢\Ð+Ð=°90A BB ¢¢\Ð=°A B a ¢=5AA a ¢=-BB ¢=\34=7(55a a ==75A B ¢\=245BB ¢\==775tan 24245A B A B B BB ¢¢¢\Ð===¢a Ðb Ð2a b Ð=Ð角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为 ．【详解】若等腰三角形的三个内角、，，，，，解得，此“倍角三角形”为等腰直角三角形，；若等腰三角形的三个内角、，，，，，解得，如图，，，作的平分线，则，，，，，即，，，，，即，整理得，解得，即，a Ðb Ðb Ð2180a b Ð+Ð=°Q 2a b Ð=Ð4180b \Ð=°45b =°\\a Ða Ðb Ð2180a b Ð+Ð=°Q 2a b Ð=Ð5180b \Ð=°36b =°72B C Ð=Ð=°36A Ð=°ABC ÐBD 36ABD CBD Ð=Ð=°DA DB \=72BDC A ABD Ð=Ð+Ð=°Q BDC C \Ð=ÐBD BC \=DA DB CB ==CBD A Ð=ÐQ BCD ACB Ð=ÐBDC ACB \D D ∽::BC AC CD BC \=:():BC AC AC BC BC =-220AC AC BC BC --=g AC =AC BC =33．（2020•浦东新区二模）在中，，，，是边上一点，沿直线翻折，点落在点处，如果，那么的长为 ．【答案】【详解】如图所示，过作于，中，，，，，，由折叠可得，，，，，，，，设，则，，，，解得，，Rt ABC D 90ACB Ð=°60BAC Ð=°BC =D BC AD ABD D B E 45ABE Ð=°BD 2-D DF AB ^F Rt ABC D Q 90ACB Ð=°60BAC Ð=°BC =2AB \=30ABC Ð=°AB AE =BAD EAD Ð=Ð45ABE AEB \Ð=Ð=°90BAE \Ð=°1452BAD BAE \Ð=Ð=°45ADF DAF \Ð=Ð=°AF DF \=DF AF x ==BF =2BD x =AB AF BF =+Q 2x \=+1x =22BD x \==-故答案为：．34．（2020•奉贤区二模）如图，在中，，，是斜边上的中线，如果将沿所在直线翻折，点落在点处，联结，那么的度数是 度．【答案】125【详解】如图所示，是斜边上的中线，，，，由折叠可得，，，，，又中，，35．（2020•青浦区二模）小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三2-Rt ABC D 90ACB Ð=°35B Ð=°CD AB BCD D CD B E AE CAEÐCD Q AB CD BD AD \==35BCD B \Ð=Ð=°110BDC \Ð=°110CDE CDB Ð=Ð=°DE DB AD ==3601102140BDE \Ð=°-°´=°1702DAE BDE \Ð=Ð=°Rt ABC D Q 903555BAC Ð=°-°=°5570125CAE \Ð=°+°=°角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．如图1、图2，直线、分别是两个不相似的和的相似分割线，、分别与斜边、交于点、，如果与相似，，，，，那么 ．【答案】2【详解】，，，由勾股定理得：，，，已知，设，则，，，，，，，，，，，，又，，解得：，CG DH Rt ABC D Rt DEF D CG DH AB EF G H BCG D DFH D 3AC =5AB =4DE =8DF =AG =Rt ABC D Q 3AC =5AB =\4BC =BCG DFH D D Q ∽\BG BC DH DF =8DF =AG x =5BG x =-\548x DH -=102DH x \=-BCG DFH D D Q ∽B FDH \Ð=ÐBGC CHF Ð=ÐAGC DHE \Ð=Ð90A B Ð+Ð=°Q 90EDH FDH Ð+Ð=°A EDH \Ð=ÐAGC DHE \D ∽\AG AC DH DE=4DE =\31024x x =-3x =经检验，是原方程的解，且符合题意．．3x =3AG \=。
专题20 与圆相关的压轴题-2022年中考数学真题分项汇编(第2期)试题及答案
专题20 与圆相关的压轴题解答题1．（2022·湖北宜昌）已知，在ABC 中，90ACB ∠=︒，6BC =，以BC 为直径的O 与AB 交于点H ，将ABC 沿射线AC 平移得到DEF ，连接BE ．(1)如图1，DE 与O 相切于点G ．①求证：BE EG =；②求BE CD ⋅的值；(2)如图2，延长HO 与O 交于点K ，将DEF 沿DE 折叠，点F 的对称点'F 恰好落在射线BK 上．①求证：'HK EF ∥；②若'3KF =，求AC 的长．2．（2022·贵州遵义）与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段AC 同侧有两点B ，D ，连接AD ，AB ，BC ，CD ，如果B D ∠=∠，那么A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A ，C ，D 的O ，在劣弧AC 上取一点E （不与A ，C 重合），连接AE ，CE 则180AEC D ∠+∠=︒（依据1）B D ∠=∠ 180AEC B ∴∠+∠=︒∴点A ，B ，C ，E 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）∴点B ，D 在点A ，C ，E 所确定的O 上（依据2）∴点A ，B ，C ，E 四点在同一个圆上(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：__________；依据2：__________．(2)图3，在四边形ABCD 中，12∠=∠，345∠=︒，则4∠的度数为__________．(3)展探究：如图4，已知ABC 是等腰三角形，AB AC =，点D 在BC 上（不与BC 的中点重合），连接AD ．作点C 关于AD 的对称点E ，连接EB 并延长交AD 的延长线于F ，连接AE ，DE ．①求证：A ，D ，B ，E 四点共圆；②若AB =AD AF ⋅的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．3．（2022·黑龙江哈尔滨）已知CH 是O 的直径，点A ，点B 是O 上的两个点，连接,OA OB ，点D ，点E 分别是半径,OA OB 的中点，连接,,CD CE BH ，且2AOC CHB ∠=∠．(1)如图1，求证：ODC OEC ∠=∠；(2)如图2，延长CE 交BH 于点F ，若CD OA ⊥，求证：FC FH =；(3)如图3，在（2）的条件下，点G 是BH 上一点，连接,,,AG BG HG OF ，若:5:3AG BG =，2HG =，求OF 的长．4．（2022·黑龙江绥化）如图所示，在O 的内接AMN 中，90MAN ∠=︒，2AM AN =，作AB MN ⊥于点P ，交O 于另一点B ，C 是AM 上的一个动点（不与A ，M 重合），射线MC 交线段BA 的延长线于点D ，分别连接AC 和BC ，BC 交MN 于点E ．(1)求证：CMA CBD △∽△．(2)若10MN =，MC NC =，求BC 的长．(3)在点C 运动过程中，当3tan 4MDB ∠=时，求ME NE的值．5．（2022·黑龙江大庆）如图，已知BC 是ABC 外接圆O 的直径，16BC =．点D 为O 外的一点，ACD B ∠=∠．点E 为AC 中点，弦FG 过点E ．2EF EG =．连接OE ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)求证：()()OC OE OC OE EG EF +-=⋅；(3)当FG BC 时，求弦FG 的长．6．（2022·湖南长沙）如图，四边形ABCD 内接于O ，对角线AC ，BD 相交于点E ，点F 在边AD 上，连接EF ．(1)求证：ABE DCE ∽△△；(2)当2DC CB DFE CDB =∠=∠，时，则AE DE BE CE -=___________；AF FE AB AD +=___________；111AB AD AF+-=___________．（直接将结果填写在相应的横线上）(3)①记四边形ABCD ，ABE CDE ，△△的面积依次为12,,S S S =断，ABE CDE ，△△的形状，并说明理由．②当DC CB =，AB m AD n CD p ===，，时，试用含m ，n ，p 的式子表示AE CE ⋅．7．（2022·湖南娄底）如图，已知BD 是Rt ABC 的角平分线，点O 是斜边AB 上的动点，以点O 为圆心，OB 长为半径的O 经过点D ，与OA 相交于点E ．(1)判定AC 与O 的位置关系，为什么？(2)若3BC =，32CD =，①求sin DBC ∠、sin ABC ∠的值；②试用sin DBC ∠和cos DBC ∠表示sin ABC ∠，猜测sin 2α与sin α，cos α的关系，并用30α=︒给予验证．8．（2022·四川凉山）如图，已知半径为5的⊙M 经过x 轴上一点C ，与y 轴交于A 、B 两点，连接AM 、AC ，AC 平分∠OAM ，AO ＋CO ＝6。
专题18 圆压轴题 -备战2023年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)(解析版)
专题18 圆压轴题以圆为背景的综合问题是中考压轴题的命题趋势之一，按往年命题趋势猜测，很大概率会和平行线段分线段成比例（2020年），梯形，特殊平行四边形（最新热点）等知识点结合，主要考查学生挖掘信息的能力，难题分解能力，数学综合能力考点一定圆结合直角三角形，考察函数关系，圆心距，存在性问题；考点二定圆结合直角三角形；三角形相似，线段与周长的函数关系；考点三定圆结合直角三角形；考察函数关系，三角形面积比值问题；考点四定圆结合平行线，弧中点，考察函数关系，与圆相切问题；考点五动圆结合三角形，考察三角形相似，考察三角形相似，函数关系；考点六动圆结合内切直角三角形，三角形相似，线段比，圆位置关系；考点七动圆结合定圆，考察函数关系，与圆有关的位置关系；考点八动圆结合定圆，函数关系，四边形，正多边形结合的问题。
一、解答题1．（2022·上海嘉定·统考二模）在半圆O中，AB为直径，AC，AD为两条弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°．(1)如图1，求证：»等于»CD；AD(2)如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E，若AE＝DE，求证：AC＝2DF；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的长．AB为直径Q\∠ADB=90°\∠DBA+∠DAB=90°DAC＋∠DAB＝90°Q∠\∠DAC=∠DBA又Q∠DCA=∠DBA\∠DAC=∠DCA\AD=CD\»AD=»CD（2）证明：如图：连接BD、CD，过点D作DG⊥AC于点G \аDGA=90由(1)知AD=CD\垂直平分ACDG\AC AG=2QAE DE=\ÐÐ=ADF DACDAC＋∠DAB＝90°Q∠\∠ADF＋∠DAB＝90°\ÐаDFA AGD==90又=QAD DA()\△≌△ADF DAG AASDF AG\=\AC DF=2（3）2．（2021春·上海徐汇·九年级统考阶段练习）已知：⊙O 的半径为3，OC ^弦AB ，垂足为D ，点E 在⊙O 上，ECO BOC Ð=Ð，射线CE 与射线OB 相交于点F ．设,AB x =，CE y =，(1)求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域；(2)当OEFD为直角三角形时，求AB的长；(3)如果1BF=，求EF的长．∴AB =OB =3（3）①当CF ＝OF ＝OB –BF ＝2时，可得：△CFO ∽△COE ，CE ＝292OC CF =，∴EF ＝CE –CF ＝95222-=．②当CF ＝OF ＝OB +BF ＝4时，可得：△CFO ∽△COE ，CE ＝294OC CF =，∴EF ＝CF–CE ＝97444-=．【点睛】本题考查了有关圆的知识的综合题，分类讨论是解决问题的关键．3．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，等边△ABC 内接于⊙O ，P 是»AB上任一点（点P 与点A 、B 重合），连接AP 、BP ，过点C 作CM ∥BP 交P A 的延长线于点M ．(1)求∠APC 和∠BPC 的度数；(2)求证：△ACM ≌△BCP ；(3)若P A ＝1，PB ＝2，求四边形PBCM 的面积；(4)在（3）的条件下，求»AB的长度．【答案】(1)∠APC ＝60°，∠BPC ＝60°(2)见解析(3)15344．（2021秋·上海金山·九年级期末）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A ＝12∠O ．已知：如图2，AC 是⊙O 的一条弦，点D 在⊙O 上（与A 、C 不重合），联结DE 交射线AO 于点E ，联结OD ，⊙O 的半径为5，tan ∠OAC ＝34．(1)求弦AC 的长．(2)当点E 在线段OA 上时，若△DOE 与△AEC 相似，求∠DCA 的正切值．(3)当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．由垂径定理得：AH＝在Rt△OAH中，tanÐ∴设OH＝3x，AH＝∵OH2+AH2＝OA2，由（1）可得OH＝3，∵OE＝1，∴AE＝4，ME＝6，∵EG∥OH，∴△AEG∽△AOH，又∵∠M ＝∠C ， 同理可求EG ＝185，∴EC ＝22GC EG +∵AM 是直径，∴∠ADM ＝90°＝∠EGC又∵∠M ＝∠C ，∴△EGC ∽△ADM ，5．（2021·上海·统考二模）如图，已知扇形AOB 的半径4OA =，90AOB Ð=°，点C 、D 分别在半径OA 、OB 上（点C 不与点A 重合），联结CD ．点P 是弧AB 上一点，PC PD =．（1）当3cot 4ODC Ð=，以CD 为半径的圆D 与圆O 相切时，求CD 的长；（2）当点D 与点B 重合，点P 为弧AB 的中点时，求OCD Ð的度数；（3）如果2OC =，且四边形ODPC 是梯形，求PCD OCDS S △△的值．6．（2021·上海青浦·统考二模）已知：在半径为2的扇形AOB 中，0180AOB m m Ð=°£（＜），点C 是»AB上的一个动点，直线AC 与直线OB 相交于点D ．（1）如图1，当090m BCD V ＜＜，是等腰三角形时，求D Ð的大小（用含m 的代数式表示）；（2）如图2，当90m =，点C 是»AB 的中点时，连接AB ，求ABD ABCS S V V 的值；（3）将»AC沿AC所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与OB所在的直线相切于点E，且OE=时，求线段AD的长．1（3）图2如下：【点睛】本题考查圆的综合菱形的判定和性质、勾股定理等是解题关键．7．（2022春·上海·九年级专题练习）已知⊙O的直径AB＝4，点P为弧AB上一点，联结P A、PO，点C为劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结BC交P A、PO于点D、E．（1）如图，当cos∠CBO＝7时，求BC的长；8（2）当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；（3）当AD＝2DP，且△BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积．8．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知在四边形ABCD 中，//AD BC ，90ABC Ð=°，以AB 为直径的O e 交边DC 于E 、F 两点，1AD =，5BC =，设O e 的半径长为r ．（1）联结OF ，当//OF BC 时，求O e 的半径长；（2）过点O 作OH EF ^，垂足为点H ，设OH y =，试用r 的代数式表示y ；（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，ODGV是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．Ð=Ð，GOD GDO∵//OG AD，∴ADO GODÐ=Ð，∴ADO GDOÐ=Ð，∴DO是ADGÐ的平分线，由题意知：OA AD^，，又OH CD^∴OA OH=，则此时圆O和CD相切，不合题意；综上所述，ODGV能成为等腰三角形，22r=．【点睛】本题考查了垂径定理、梯形中位线定理、勾股定理、角平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和梯形中位线定理是解题的关键．9．（2022·上海·九年级专题练习）如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝6，点C在半圆⊥，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点O上．过点A作AD OCF（点F不与点B重合）．的中点时，求弦BC的长；（1）当点F为¶BC（2）设OD＝x，DE＝y，求y与x的函数关系式；AE（3）当△AOD与△CDE相似时，求线段OD的长．10．（2021·上海·九年级专题练习）如图，已知半圆⊙O的直径AB＝10，弦CD∥AB，且CD＝8，E为弧CD的中点，点P在弦CD上，联结PE，过点E作PE的垂线交弦CD于点G，交射线OB于点F．（1）当点F与点B重合时，求CP的长；（2）设CP＝x，OF＝y，求y与x的函数关系式及定义域；（3）如果GP＝GF，求△EPF的面积．一、解答题1．（2022·上海嘉定·统考二模）在半圆O中，AB为直径，AC，AD为两条弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°．(1)如图1，求证：»等于»CD；AD(2)如图2，点F在直径AB上，DF交AC于点E，若AE＝DE，求证：AC＝2DF；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的长．(3)取BC中点H，连接OH、OD，则BH=CH=1BC=3，OH⊥BC，证2Rt△OED≌Rt△BHO，推出OE=BH=3，OD=OA=5，则在Rt△OED中，求出DE的长，在Rt△AED中，可求出AD的长．（1）证明：如图：连接BD、CDAB为直径Q\∠ADB=90°\∠DBA+∠DAB=90°DAC＋∠DAB＝90°Q∠\∠DAC=∠DBA又Q∠DCA=∠DBA\∠DAC=∠DCA\AD=CD\»AD=»CD（2）证明：如图：连接BD、CD，过点D作DG⊥AC于点G\а=90DGA由(1)知AD=CD\垂直平分ACDG\AC AG=2Q=AE DE\ÐÐ=ADF DAC2．（2021春·上海徐汇·九年级统考阶段练习）已知：⊙O的半径为3，OC^弦AB，垂足为D ，点E 在⊙O 上，ECO BOC Ð=Ð，射线CE 与射线OB 相交于点F ．设,AB x =，CE y =，(1)求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数定义域；(2)当OEF D 为直角三角形时，求AB 的长；(3)如果1BF =，求EF 的长．3．（2023春·上海·九年级专题练习）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是»上任一点AB（点P与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交P A的延长线于点M．(1)求∠APC和∠BPC的度数；(2)求证：△ACM≌△BCP；(3)若P A＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积；(4)在（3）的条件下，求»的长度．AB4．（2021秋·上海金山·九年级期末）定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．如图1，∠A＝12∠O．已知：如图2，AC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上（与A、C不重合），联结DE交射线AO于点E，联结OD，⊙O的半径为5，tan∠OAC＝34．(1)求弦AC的长．(2)当点E在线段OA上时，若△DOE与△AEC相似，求∠DCA的正切值．(3)当OE＝1时，求点A与点D之间的距离（直接写出答案）．由垂径定理得：AH＝∵∠DEO ＝∠AEC ，∴当△DOE 与△AEC »»AD AD=Q \12ACD DOE Ð=Ð，∴△AEG∽△AOH，∴AE EG AGAO OH AH==，∴4013345EG AG==，∴2413EG=，由（1）可得 OH ＝3，∵OE ＝1，∴AE ＝4，ME ＝6，∵EG ∥OH ，∴△AEG ∽△AOH ，∴45AE AG EG AO AH OH ===AG 16EG 12又∵∠M ＝∠C ，同理可求EG ＝185，∴EC ＝22GC EG +∵AM 是直径，∴∠ADM ＝90°＝∠EGC 又∵∠M ＝∠C ，∴△EGC ∽△ADM ，5．（2021·上海·统考二模）如图，已知扇形AOB 的半径4OA =，90AOB Ð=°，点C 、D 分别在半径OA 、OB 上（点C 不与点A 重合），联结CD ．点P 是弧AB 上一点，PC PD =．（1）当3cot 4ODC Ð=，以CD 为半径的圆D 与圆O 相切时，求CD 的长；（2）当点D 与点B 重合，点P 为弧AB 的中点时，求OCD Ð的度数；（3）如果2OC =，且四边形ODPC 是梯形，求PCD OCDS S △△的值．。
上海市2001-2022年中考数学试题分类解析专题12押轴题
2022-2022年上海市中考数学试题分类解析汇编〔12专题〕专题12：押轴题锦元数学工作室编辑一、选择题1.〔2022上海市3分〕如果⊙O1、⊙O2的半径分别为4、5，那么以下表达中，正确的选项是【】．A．当O1 O2＝1时，⊙O1与⊙O2相切B．当O1 O2＝5时，⊙O1与⊙O2有两个公共点C．当O1 O2＞6时，⊙O1与⊙O2必有公共点D．当O1 O2＞1时，⊙O1与⊙O2至少有两条公切线【答案】A，B，D。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切〔两圆圆心距离等于两圆半径之和〕，内切〔两圆圆心距离等于两圆半径之差〕，相离〔两圆圆心距离大于两圆半径之和〕，相交〔两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差〕，内含〔两圆圆心距离小于两圆半径之差〕。
因此，A．当O1 O2＝1时，两圆圆心距离等于两圆半径之差，⊙O1与⊙O2内切，正确；B．当O1O2＝5时，两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差，⊙O1与⊙O2相交，⊙O1与⊙O2有两个公共点，正确；C．当O1 O2＞9时，两圆圆心距离大于两圆半径之和，⊙O1与⊙O2相离，⊙O1与⊙O2没有公共点，错误；D．当1＜O1 O2＜9时，两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差，⊙O1与⊙O2相交，⊙O1与⊙O2有两条公切线，当O1 O2=9时，两圆圆心距离等于两圆半径之和，⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2有三条公切线，当O1 O2＞9时，两圆圆心距离大于两圆半径之和，⊙O1与⊙O2相离，⊙O1与⊙O2有四条公切线，∴当O1 O2＞1时，⊙O1与⊙O2至少有两条公切线，正确。
应选A，B，D。
2.〔上海市2022年3分〕以下命题中，正确的选项是【 】〔A 〕正多边形都是轴对称图形；〔B 〕正多边形一个内角的大小与边数成正比例；〔C 〕正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少；〔D 〕边数大于3的正多边形的对角线长相等．【答案】A ，C 。
2022届上海市宝山区名校中考数学考前最后一卷(含答案解析)
2022届上海市宝山区名校中考数学考前最后一卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、测试卷卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图，ABC ∆的三边,,AB BC CA 的长分别为20，30，40，点O 是ABC ∆三条角平分线的交点，则::ABO BCO CAO S S S ∆∆∆等于（ ）A ．1∶1∶1B ．1∶2∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶52．甲、乙两盒中分别放入编号为1、2、3、4的形状相同的4个小球，从甲盒中任意摸出一球，再从乙盒中任意摸出一球，将两球编号数相加得到一个数，则得到数（ ）的概率最大． A ．3B ．4C ．5D ．63．如图，四边形ABCE 内接于⊙O ，∠DCE=50°，则∠BOE=（ ）A ．100°B ．50°C ．70°D ．130°4．如图，水平的讲台上放置的圆柱体笔筒和正方体粉笔盒，其左视图是（ ）A ．B ．C．D．5．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．下列计算正确的是（）A．（a2）3＝a6B．a2•a3＝a6C．a3+a4＝a7D．（ab）3＝ab37．下列各数是不等式组32123xx+⎧⎨--⎩的解是（）A．0 B．1-C．2 D．38．抛物线y=–x2+bx+c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示：x …–2 –1 0 1 2 …y …0 4 6 6 4 …从上表可知，下列说法错误的是A．抛物线与x轴的一个交点坐标为(–2，0) B．抛物线与y轴的交点坐标为(0，6)C．抛物线的对称轴是直线x=0 D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的9．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．710．某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格为x元，则下列所列方程正确的是（）A．2003503x x=-B．2003503x x=+C．2003503x x=+D．2003503x x=-11．下列各数中是有理数的是（）A．πB．0 C．2D．3512．若分式11x有意义，则x的取值范围是A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1D．x≠0二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y＝kx＋b上，且直线经过第一、三、四象限，当x1＜x2时，y1与y2的大小关系为______________．14．如图，数轴上点A、B、C所表示的数分别为a、b、c，点C是线段AB的中点，若原点O是线段AC上的任意一点，那么a+b-2c= ______ ．15．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为．16．如图，ABCD是菱形，AC是对角线，点E是AB的中点，过点E作对角线AC的垂线，垂足是点M，交AD边于点F，连结DM．若∠BAD=120°，AE=2，则DM=__．17．如图，AG∥BC，如果AF：FB＝3：5，BC：CD＝3：2，那么AE：EC＝_____．18．如图，AB是半径为2的⊙O的弦，将AB沿着弦AB折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的AB上一动点，连接并延长BC交⊙O于点D，点E是CD的中点，连接AC，AD，EO．则下列结论：①∠ACB=120°，②△ACD是等边三角形，③EO的最小值为1，其中正确的是_____．（请将正确答案的序号填在横线上）三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）在学习了矩形这节内容之后，明明同学发现生活中的很多矩形都很特殊，如我们的课本封面、A 4 的打印纸等，这些矩形的长与宽之比都为2：1，我们将具有这类特征的矩形称为“完美矩形”如图（1），在“完美矩形”ABCD 中，点 P 为 AB 边上的定点，且 AP ＝AD ． 求证：PD ＝AB ．如图（2），若在“完美矩形“ABCD 的边 BC 上有一动点 E ，当BECE的值是多少时，△PDE 的周长最小？如图（3），点 Q 是边 AB 上的定点，且 BQ ＝BC ．已知 AD ＝1，在（2）的条件下连接 DE 并延长交 AB 的延长线于点 F ，连接 CF ，G 为 CF 的中点，M 、N 分别为线段 QF 和 CD 上的动点，且始终保持 QM ＝CN ，MN 与 DF 相交于点 H ，请问 GH 的长度是定值吗？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由．20．（6分）如图，数轴上的点A 、B 、C 、D 、E 表示连续的五个整数，对应数分别为a 、b 、c 、d 、e ．（1）若a+e=0，则代数式b+c+d= ； （2）若a 是最小的正整数，先化简，再求值：；（3）若a+b+c+d=2，数轴上的点M 表示的实数为m （m 与a 、b 、c 、d 、e 不同），且满足MA+MD=3，则m 的范围是 ．21．（6分）如图，已知反比例函数1ky x=和一次函数21y ax =+的图象相交于第一象限内的点A ，且点A 的横坐标为1.过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1.求反比例函数和一次函数的解析式.若一次函数21y ax =+的图象与x 轴相交于点C ，求∠ACO 的度数.结合图象直接写出：当1y ＞2y ＞0时，x 的取值范围.22．（8分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩x 取整数，总分100分)作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩x /分 频数 频率 50≤x ＜60 10 0.05 60≤x ＜70 30 0.15 70≤x ＜80 40 n 80≤x ＜90 m 0.35 90≤x ≤100500.25请根据所给信息，解答下列问题：m ＝ ，n ＝ ；请补全频数分布直方图；若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？23．（8分）如图，在▱ABCD 中，AB=4，AD=5，tanA=43，点P 从点A 出发，沿折线AB ﹣BC 以每秒1个单位长度的速度向中点C 运动，过点P 作PQ ⊥AB ，交折线AD ﹣DC 于点Q ，将线段PQ 绕点P 顺时针旋转90°，得到线段PR ，连接QR ．设△PQR 与▱ABCD 重叠部分图形的面积为S （平方单位），点P 运动的时间为t （秒）． （1）当点R 与点B 重合时，求t 的值；（2）当点P 在BC 边上运动时，求线段PQ 的长（用含有t 的代数式表示）；（3）当点R 落在▱ABCD 的外部时，求S 与t 的函数关系式； （4）直接写出点P 运动过程中，△PCD 是等腰三角形时所有的t 值．24．（10分）如图，已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过()2,0A ，()0,6B -两点． 求这个二次函数的解析式；设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求ABC∆的面积．25．（10分）在平面直角坐标系中，点A (1,0)，B (0,2)，将直线AB 平移与双曲线(0)ky x x=>在第一象限的图象交于C 、D 两点．（1）如图1，将AOB ∆绕O 逆时针旋转90︒得(EOF E ∆与A 对应，F 与B 对应)，在图1中画出旋转后的图形并直接写出E 、F 坐标； （2）若2CD AB =，①如图2，当135OAC ∠=︒时，求k 的值；②如图3，作CM x ⊥轴于点M ，DN y ⊥轴于点N ，直线MN 与双曲线ky x=有唯一公共点时，k 的值为 ． 26．（12分）已知2410x x --=，求代数式22(23)()()x x y x y y --+--的值．27．（12分）如图，已知△ABC 是等边三角形，点D 在AC 边上一点，连接BD ，以BD 为边在AB 的左侧作等边△DEB ，连接AE，求证：AB平分∠EAC．2022学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、C【答案解析】作OF⊥AB于F，OE⊥AC于E，OD⊥BC于D，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据三角形的面积公式计算即可．【题目详解】作OF⊥AB于F，OE⊥AC于E，OD⊥BC于D，∵三条角平分线交于点O，OF⊥AB，OE⊥AC，OD⊥BC，∴OD=OE=OF，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB：BC：CA=20：30：40＝2：3：4，故选C．【答案点睛】考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．2、C 【答案解析】解：甲和乙盒中1个小球任意摸出一球编号为1、2、3、1的概率各为，其中得到的编号相加后得到的值为{2，3，1，5，6，7，8} 和为2的只有1+1； 和为3的有1+2；2+1； 和为1的有1+3；2+2；3+1； 和为5的有1+1；2+3；3+2；1+1； 和为6的有2+1；1+2； 和为7的有3+1；1+3； 和为8的有1+1． 故p （5）最大，故选C ． 3、A 【答案解析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角求出∠A ，根据圆周角定理计算即可． 【题目详解】四边形ABCE 内接于⊙O ，50A DCE ∴∠=∠=︒，由圆周角定理可得，2100BOE A ∠=∠=︒， 故选：A ． 【答案点睛】本题考查的知识点是圆的内接四边形性质，解题关键是熟记圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 4、C 【答案解析】根据左视图是从物体的左面看得到的视图解答即可． 【题目详解】解：水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和正方体形粉笔盒，其左视图是一个含虚线的 长方形， 故选C ． 【答案点睛】本题考查的是几何体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图． 5、C 【答案解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【题目详解】A 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；B 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C 、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确；D 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误， 故选C ．【答案点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形. 6、A 【答案解析】分析：根据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方公式即可得出答案．详解：A 、幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，原式计算正确；B 、同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，原式=5a ，故错误；C 、不是同类项，无法进行加法计算；D 、积的乘方等于乘方的积，原式=33a b ，计算错误；故选A ． 点睛：本题主要考查的是幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方计算法则，属于基础题型．理解各种计算法则是解题的关键． 7、D 【答案解析】求出不等式组的解集，判断即可． 【题目详解】32123x x ①②+>⎧⎨-<-⎩， 由①得：x ＞-1， 由②得：x ＞2，则不等式组的解集为x ＞2，即3是不等式组的解， 故选D ． 【答案点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8、C【答案解析】当x=-2时，y=0，∴抛物线过（-2，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（-2，0），故A正确；当x=0时，y=6，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确；当x=0和x=1时，y=6，∴对称轴为x=12，故C错误；当x＜12时，y随x的增大而增大，∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；故选C．9、B【答案解析】测试卷解析：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．∵DC=1，BC=4，∴BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=41°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=41°，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得DC22'BC BD+2234+．故选B．10、B【答案解析】测试卷分析：设每个笔记本的价格为x元，根据“用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同”这一等量关系列出方程即可．考点：由实际问题抽象出分式方程11、B【答案解析】【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，结合无理数的定义进行判断即可得答案．【题目详解】A 、π是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误；B 、0是有理数，故本选项正确；C 是无理数，故本选项错误；D故选B ．【答案点睛】本题考查了实数的分类，熟知有理数是有限小数或无限循环小数是解题的关键．12、C【答案解析】分式分母不为0，所以10x -≠，解得1x ≠.故选：C.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、y 1<y 1【答案解析】直接利用一次函数的性质分析得出答案．【题目详解】解：∵直线经过第一、三、四象限，∴y 随x 的增大而增大，∵x 1＜x 1，∴y 1与y 1的大小关系为：y 1＜y 1．故答案为：y 1<y 1．【答案点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握一次函数增减性是解题关键．14、1【答案解析】∵点A 、B 、C 所表示的数分别为a 、b 、c ，点C 是线段AB 的中点，∴由中点公式得：c =2a b +， ∴a +b =2c ，∴a +b -2c =1．故答案为1．15、1．【答案解析】测试卷解析：根据题意，将周长为8的△ABC 沿边BC 向右平移1个单位得到△DEF ，则AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC ，又∵AB+BC+AC=1，∴四边形ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=1．考点：平移的性质．16【答案解析】作辅助线，构建直角△DMN ，先根据菱形的性质得：∠DAC=60°，AE=AF=2，也知菱形的边长为4，利用勾股定理求MN 和DN 的长，从而计算DM 的长．【题目详解】解：过M 作MN ⊥AD 于N ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴111206022DAC BAC BAD ∠=∠=∠=⨯︒=︒， ∵EF ⊥AC ，∴AE=AF=2，∠AFM=30°，∴AM=1，Rt △AMN 中，∠AMN=30°，∴122AN MN ==， ∵AD=AB=2AE=4， ∴17422DN =-=，由勾股定理得： DM ===【答案点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及直角三角形30度角的性质，熟练掌握直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半．17、3:2；【答案解析】由AG//BC可得△AFG与△BFD相似,△AEG与△CED相似，根据相似比求解.【题目详解】假设：AF＝3x,BF＝5x ,∵△AFG与△BFD相似∴AG＝3y,BD＝5y由题意BC:CD＝3:2则CD＝2y∵△AEG与△CED相似∴AE:EC＝AG:DC＝3:2.【答案点睛】本题考查的是相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.18、①②【答案解析】根据折叠的性质可知，结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断①②是否正确，EO的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住E在什么轨迹上运动，便可解决问题．【题目详解】如图1，连接OA和OB，作OF⊥AB．由题知：AB沿着弦AB折叠，正好经过圆心O∴OF=OA=12OB∴∠AOF=∠BOF=60°∴∠AOB=120°∴∠ACB=120°（同弧所对圆周角相等）∠D=12∠AOB=60°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）∴∠ACD=180°-∠ACB=60°∴△ACD是等边三角形（有两个角是60°的三角形是等边三角形）故，①②正确下面研究问题EO的最小值是否是1如图2，连接AE和EF∵△ACD是等边三角形，E是CD中点∴AE⊥BD（三线合一）又∵OF⊥AB∴F是AB中点即，EF是△ABE斜边中线∴AF=EF=BF即，E点在以AB为直径的圆上运动．所以，如图3，当E、O、F在同一直线时，OE长度最小此时，AE=EF，AE⊥EF∵⊙O的半径是2，即OA=2，OF=1∴（勾股定理）∴所以，③不正确综上所述：①②正确，③不正确．故答案是：①②．【答案点睛】考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）证明见解析（2（3【答案解析】（1）根据题中“完美矩形”的定义设出AD与AB，根据AP=AD，利用勾股定理表示出PD，即可得证；（2）如图，作点P关于BC的对称点P′，连接DP′交BC于点E，此时△PDE的周长最小，设AD=PA=BC=a，表示出AB与CD，由AB-AP表示出BP，由对称的性质得到BP=BP′，由平行得比例，求出所求比值即可；（3），理由为：由（2）可知BF=BP=AB-AP，由等式的性质得到MF=DN，利用AAS得到△MFH≌△NDH，利用全等三角形对应边相等得到FH=DH，再由G为CF中点，得到HG为中位线，利用中位线性质求出GH的长即可．【题目详解】（1）在图1中，设AD=BC=a，则有a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵PA=AD=BC=a，∴a，∵a，∴PD=AB；（2）如图，作点P关于BC的对称点P′，连接DP′交BC于点E，此时△PDE的周长最小，设AD=PA=BC=a ，则有2a ，∵BP=AB-PA ，∴2a-a ，∵BP′∥CD ， ∴22222BE BP a CE CD a=== ； （3）2，理由为：由（2）可知BF=BP=AB-AP ，∵AP=AD ，∴BF=AB-AD ，∵BQ=BC ，∴AQ=AB-BQ=AB-BC ，∵BC=AD ，∴AQ=AB-AD ，∴BF=AQ ，∴QF=BQ+BF=BQ+AQ=AB ，∵AB=CD ，∴QF=CD ，∵QM=CN ，∴QF-QM=CD-CN ，即MF=DN ，∵MF ∥DN ，∴∠NFH=∠NDH ，在△MFH 和△NDH 中，{MFH NDHMHF NHD MF DN∠∠∠∠＝＝＝ ，∴△MFH ≌△NDH （AAS ），∴FH=DH ，∵G为CF的中点，∴GH是△CFD的中位线，∴GH=12CD=122×2=2．【答案点睛】此题属于相似综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．20、(1)0;(1),;(3) ﹣1＜x＜1.【答案解析】（1）根据a+e=0，可知a与e互为相反数，则c=0，可得b=-1，d=1，代入可得代数式b+c+d的值；（1）根据题意可得：a=1，将分式计算并代入可得结论即可；（3）先根据A、B、C、D、E为连续整数，即可求出a的值，再根据MA+MD=3，列不等式可得结论．【题目详解】解：（1）∵a+e=0，即a、e互为相反数，∴点C表示原点，∴b、d也互为相反数，则a+b+c+d+e=0，故答案为：0；（1）∵a是最小的正整数，∴a=1，则原式=÷[+]=÷=•=，当a=1时，原式==；（3）∵A、B、C、D、E为连续整数，∴b=a+1，c=a+1，d=a+3，e=a+4，∵a+b+c+d=1，∴a+a+1+a+1+a+3=1，4a=﹣4，a=﹣1，∵MA+MD=3，∴点M再A、D两点之间，∴﹣1＜x＜1，故答案为：﹣1＜x＜1．【答案点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的相关知识点.21、（1）y1=2x；y2=x+1；（2）∠ACO=45°；（3）0<x<1.【答案解析】（1）根据△AOB的面积可求AB，得A点坐标．从而易求两个函数的解析式；（2）求出C点坐标，在△ABC中运用三角函数可求∠ACO的度数；（3）观察第一象限内的图形，反比例函数的图象在一次函数的图象的上面部分对应的x的值即为取值范围．【题目详解】(1)∵△AOB的面积为1，并且点A在第一象限，∴k=2,∴y1=2x；∵点A的横坐标为1，∴A(1,2).把A(1,2)代入y2=ax+1得，a=1.∴y2=x+1.(2)令y2=0，0=x+1，∴x=−1,∴C(−1,0).∴OC=1，BC=OB+OC=2.∴AB=CB,∴∠ACO=45°.(3)由图象可知,在第一象限,当y1>y2>0时,0<x<1.在第三象限,当y1>y2>0时,−1<x<0(舍去).【答案点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于结合函数图象进行解答.22、（1）70，0.2（2）70（3）750【答案解析】（1）根据题意和统计表中的数据可以求得m、n的值；（2）根据（1）中求得的m的值，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计表中的数据可以估计该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人．【题目详解】解：（1）由题意可得，m＝200×0.35＝70，n＝40÷200＝0.2，故答案为70，0.2；（2）由（1）知，m＝70，补全的频数分布直方图，如下图所示；（3）由题意可得，该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有：3000×0.25＝750（人），答：该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有750人．【答案点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．23、（1）127；（2）45（9﹣t）；（3）①S =﹣23t2+163t﹣327；②S=﹣27t2+1．③S=24175（9﹣t）2;（3）3或215或4或173．【答案解析】（1）根据题意点R与点B重合时t+43t=3，即可求出t的值；（2）根据题意运用t表示出PQ即可；（3）当点R落在□ABCD的外部时可得出t的取值范围，再根据等量关系列出函数关系式；（3）根据等腰三角形的性质即可得出结论.【题目详解】解：（1）∵将线段PQ绕点P顺时针旋转90°，得到线段PR，∴PQ=PR，∠QPR=90°，∴△QPR为等腰直角三角形．当运动时间为t秒时，AP=t，PQ=PQ=AP•tanA=43t．∵点R与点B重合，∴AP+PR=t+43t=AB=3，解得：t=127．（2）当点P在BC边上时，3≤t≤9，CP=9﹣t，∵tanA=43，∴tanC=43，sinC=45，∴PQ=CP•sinC=45（9﹣t）．（3）①如图1中，当127＜t≤3时，重叠部分是四边形PQKB．作KM⊥AR于M．∵△KBR∽△QAR，∴KMQP=BRAR，∴KM4t3=74373tt，∴KM=47（73t﹣3）=43t﹣167，∴S=S△PQR﹣S△KBR=12×（43t）2﹣12×（73t﹣3）（43t﹣167）=﹣23t2+163t﹣327．②如图2中，当3＜t≤3时，重叠部分是四边形PQKB．S=S△PQR﹣S△KBR=12×3×3﹣12×t×47t=﹣27t2+1．③如图3中，当3＜t＜9时，重叠部分是△PQK．S=47•S△PQC=47×12×35（9﹣t）•45（9﹣t）=24175（9﹣t）2．（3）如图3中，①当DC=DP1=3时，易知AP1=3，t=3．②当DC=DP2时，CP2=2•CD•324=55，∴BP2=15，∴t=3+121 =55．③当CD=CP 3时，t=4．④当CP 3=DP 3时，CP 3=2÷310=53， ∴t=9﹣103=173． 综上所述，满足条件的t 的值为3或215或4或173． 【答案点睛】本题考查四边形综合题、动点问题、平行四边形的性质、多边形的面积、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．24、见解析【答案解析】（1）二次函数图象经过A （2，0）、B （0，-6）两点，两点代入y=-12x 2+bx+c ，算出b 和c ，即可得解析式； （2）先求出对称轴方程，写出C 点的坐标，计算出AC ，然后由面积公式计算值．【题目详解】（1）把()2,0A ，()0,6B -代入212y x bx c =-++得 2206b c c -++=⎧⎨=-⎩， 解得46b c =⎧⎨=-⎩. ∴这个二次函数解析式为21462y x x =-+-. （2）∵抛物线对称轴为直线44122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， ∴C 的坐标为()4,0，∴422AC OC OA =-=-=， ∴1126622ABC S AC OB ∆=⨯=⨯⨯=. 【答案点睛】本题是二次函数的综合题，要会求二次函数的对称轴，会运用面积公式．25、（1）作图见解析，(0,1)E ，(2,0)F -；（2）①k =6；②329． 【答案解析】 （1）根据题意，画出对应的图形，根据旋转的性质可得1OE OA ==，2OF OB ==，从而求出点E 、F 的坐标； （2）过点D 作DG x ⊥轴于G ，过点C 作⊥CH x 轴于H ，过点C 作CP DG ⊥于P ，根据相似三角形的判定证出PCD OAB ∆∆∽，列出比例式，设(,)D m n ，根据反比例函数解析式可得24n m =+（Ⅰ）；①根据等角对等边可得AH CH =，可列方程14m n +=-(Ⅱ)，然后联立方程即可求出点D 的坐标，从而求出k 的值； ②用m 、n 表示出点M 、N 的坐标即可求出直线MN 的解析式，利于点D 和点C 的坐标即可求出反比例函数的解析式，联立两个解析式，令△=0即可求出m 的值，从而求出k 的值．【题目详解】解：（1）点A (1,0)，B (0,2)，1OA ∴=，2OB =，如图1，由旋转知，90AOE BOF ∠=∠=︒，1OE OA ==，2OF OB ==，∴点E 在y 轴正半轴上，点F 在x 轴负半轴上，(0,1)E ∴，(2,0)F -；（2）过点D 作DG x ⊥轴于G ，过点C 作⊥CH x 轴于H ，过点C 作CP DG ⊥于P ，PC GH ∴=，90CPD AOB ∠=∠=︒，//CD AB ，OAB OQD ∴∠=∠，//CP OQ ，PCD AQD ∴∠=∠，PCD OAB ∴∠=∠，90CPD AOB ∠=∠=︒，PCD OAB ∴∆∆∽， ∴PC PD CD OA OB AB==， 1OA =，2OB =，2CD AB =，22PC OA ∴==，24PD OB ==，2GH PC ∴==，设(,)D m n ，(2,4)C m n ∴+-，4CH n ∴=-，211AH m m =+-=+，点C ，D 在双曲线(0)k y x x=>上， (2)(4)mn k m n ∴==+-，24n m ∴=+(Ⅰ)①135OAC ∠=︒，45CAQ ∴∠=︒，90OHC ∠=︒，AH CH ∴=，14m n ∴+=-(Ⅱ)，联立(Ⅰ)(Ⅱ)解得：1m =，6n =，6k mn ∴==；②如图3，(,)D m n ，(2,4)C m n +-，(2,0)M m ∴+，(0,)N n ，24n m =+，(0,24)N m ∴+，∴直线MN 的解析式为224y x m =-++(Ⅲ)， 双曲线(24)k mn m m y x x x+===(Ⅳ)， 联立(Ⅲ)(Ⅳ)得：(24)224m m x m x +-++=， 即：22(2)(2)0x m x m m -+++=，∴△22(2)4(2)m m m =+-+，直线MN 与双曲线k y x=有唯一公共点， ∴△0=，∴△22(2)4(2)0m m m =+-+=，2m ∴=-(舍)或23m =， 216242433n m ∴=+=⨯+=， 329k mn ∴==． 故答案为：329． 【答案点睛】此题考查的是反比例函数与一次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式、旋转的性质、相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．26、12【答案解析】解：∵2410x x --=，∴241x x -=．∴()22222222(23)()()4129312934931912x x y x y y x x x y y x x x x --+--=-+-+-=-+=-+=⨯+=．将代数式应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，将241x x -=整体代入求值．27、详见解析【答案解析】由等边三角形的性质得出AB=BC，BD=BE，∠BAC=∠BCA=∠ABC=∠DBE=60°，证出∠ABE=∠CBD，证明△ABE≌△CBD（SAS），得出∠BAE=∠BCD=60°，得出∠BAE=∠BAC，即可得出结论．【题目详解】证明：∵△ABC，△DEB都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠BAC＝∠BCA＝∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，即∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，∵AB=CB,∠ABE=∠CBD,BE=BD,，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠BAE＝∠BCD＝60°，∴∠BAE＝∠BAC，∴AB平分∠EAC．【答案点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．。
冲刺2022年上海中考数学压轴题第3讲 角相等或倍半关系 解法分析与经典变式(练习版)
第3讲角相等或倍半关系-（2022长宁、松江、徐汇、虹口、黄浦一模24题解法分析+经典变式练）对于平面直角坐标系中的二倍角问题，往往将其转化成等角问题。
对于等角问题，往往有以下解决路径：①利用等角的三角比相等，构造直角三角形，寻找比例关系；②将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决；③利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段构建数量关系；④利用角平分线的相关性质定理。
例1.（2022长宁一模24）抛物线22y ax ax c =++与x 轴相交于A B 、两点 (点A 在点B 左侧), 与y 轴交于点()0,3C , 其顶点D 的纵坐标为 4．（1）求该抛物线的表达式； （2）求ACB ∠ 的正切值；（3）点F 在线段CB 的延长线上, 且 AFC DAB ∠∠=, 求 CF 的长．例2.（2022年虹口一模24）已知开口向上的抛物线y ＝ax 2﹣4ax +3与y 轴的交点为A ，顶点为B ，点A 与点C 关于对称轴对称，直线AB 与OC 交于点D ．（1）求点C 的坐标，并用含a 的代数式表示点B 的坐标； （2）当∠ABC ＝90°时，求抛物线y ＝ax 2﹣4ax +3的表达式； （3）当∠ABC ＝2∠BCD 时，求OD 的长。
例3.（2022黄埔一模24）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线234(0)y ax ax a a =--<与x 轴交于()1,0,A B -两点与y 轴交于点C ，点M 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l 与BC 交于点D ，与x 轴交于点E ．（1）求抛物线的对称轴及B 点的坐标 （2）如果158MD =，求抛物线234(0)y ax ax a a =--<的表达式； （3）在（2）的条件下，已知点F 是该抛物线对称轴上一点，且在线段BC 的下方，CFB BCO ∠=∠，求点F 的坐标例4.（2022年松江一模24题）如图，已知直线y＝﹣23x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣23x2+bx+c经过A、B两点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．①当DECD＝AEOE时，求t的值；②当CD平分∠ACB时，求△ABC的面积．模型：对于在二次函数背景下的斜三角形面积的求法，通常可以采用以下五种方法来求三角形的面积，但是首选的是图4和图5，通过作铅垂高或者水平高，分割三角形，继而求得面积。
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解答压轴题2022年上海数学中考真题汇编1.如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．(1) 求证：∠BAC=2∠ABD；(2) 当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；(3) 当AD=2，CD=3时，求边BC的长．2.如图1，AD，BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．∠C．(1) 求证：∠E=12(2) 如图2如果AE=AB，且BD:DE=2:3，求cos∠ABC的值；．(3) 如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出S△ADES△ABC3.已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．(1) 如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；(2) 如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；(3) 连接BC，CD，DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正(n+4)边形的一边，求△ACD的面积．4.如图，已知⊙O的半径长为1，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，连接OA，OC．(1) 求证：△OAD∽△ABD；(2) 当△OCD是直角三角形时，求B，C两点的距离；(3) 记△AOB，△AOD，△COD的面积分别为S1，S2，S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．5.如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90∘，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．(1) 求线段CD的长；(2) 如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；(3) 如果点F在边CD上（不与点C，D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．答案1. 【答案】(1) 连接OA．∵AB=AC，∴AB⏜=AC⏜，∴OA⊥BC，∴∠BAO=∠CAO，∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，∴∠BAC=2∠ABD．(2) 如图2中，延长AO交BC于H．①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DBC=2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC=180∘，∴8∠ABD=180∘，∴∠C=3∠ABD=67.5∘．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠CDB=180∘，∴10∠ABD=180∘，∴∠BCD=4∠ABD=72∘．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述，∠C的值为67.5∘或72∘．(3) 如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AEBC =ADDC=23，∴AOOH =EBH=43，设OB=OA=4a，OH=3a，∵BH2=AB2−AH2=OB2−OH2，∴25−49a2=16a2−9a2，∴a2=2556，∴BH=5√24，∴BC=2BH=5√22．2. 【答案】(1) 如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE=90∘，∠E=90∘−∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC，同理∠ABD=12∠ABC，∵∠ADE=∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC=180∘−∠C，∴∠ADE=12(∠ABC+∠BAC)=90∘−12∠C，∴∠E=90∘−(90∘−12∠C)=12∠C．(2) 延长AD交BC于点F．∵AB=AE，∴∠ABE=∠E，BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠E=∠CBE，∴AE∥BC，∴∠AFB=∠EAD=90∘，BF AE =BDDE，∵BD:DE=2:3，∴cos∠ABC=BFAB =BFAE=32．(3) ∵△ABC与△ADE相似，∠DAE=90∘，∴∠ABC中必有一个内角为90∘，∵∠ABC是锐角，∴∠ABC≠90∘．①当∠BAC=∠DAE=90∘时，∵∠E=12∠C，∴∠ABC=∠E=12∠C，∵∠ABC+∠C=90∘，∴∠ABC=30∘，此时S△ADES△ABC=2−√3．② 当∠C=∠DAE=90∘时，∠E=12∠C=45∘，∴∠EDA =45∘，∵△ABC 与 △ADE 相似，∴∠ABC =45∘，此时 S△ADE S △ABC =2−√2． 综上所述，∠ABC =30∘或45∘，S△ADE S △ABC =2−√3或2−√2．3. 【答案】(1) ∵OD ⊥AC ，∴AD⏜=CD ⏜，∠AFO =90∘， 又 ∵AC =BD ，∴AC ⏜=BD ⏜，即 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD⏜=BC ⏜， ∴AD⏜=CD ⏜=BC ⏜， ∴∠AOD =∠DOC =∠BOC =60∘，∵AB =2，∴AO =BO =1，∴AF =AOsin∠AOF =1×√32=√32， ∴AC =2AF =√3．(2) 如图 1，连接 BC ，∵AB 为直径，OD ⊥AC ，∴∠AFO =∠C =90∘，∴OD ∥BC ，∴∠D =∠EBC ，在 △DEF 和 △BEC 中，{∠D =∠EBC,DE =BE,∠DEF =∠BEC,∴△DEF ≌△BEC (ASA )，∴BC =DF ，EC =EF ，又 ∵AO =OB ，∴OF 是 △ABC 的中位线，设 OF =t ，则 BC =DF =2t ，∵DF =DO −OF =1−t ，∴1−t =2t ，解得：t =13，则 DF =BC =23，AC =√AB 2−BC 2=√22−(23)2=4√23，∴EF =12FC =14AC =√23， ∵OB =OD ，∴∠ABD =∠D ， 则 cot∠ABD =cot∠D =DF EF =23√23=√2．(3) 如图 2， ∵BC 是 ⊙O 的内接正 n 边形的一边，CD 是 ⊙O 的内接正 (n +4) 边形的一边， ∴∠BOC =360n ，∠AOD =∠COD =360n+4， 则 360n +2×360n+4=180， 解得：n =4，经检验，n =4 是原方程的解，并且满足题意．∴∠BOC =90∘，∠AOD =∠COD =45∘，∴BC =AC =√2，∵∠AFO =90∘，∴OF =AOcos∠AOF =√22， 则 DF =OD −OF =1−√22， ∴S △ACD =12AC ⋅DF =12×√2×(1−√22)=√2−12．4. 【答案】 (1) 如图 1 中，在 △AOB 和 △AOC 中，{OA =OA,AB =AC,OB =OC,∴ △AOB ≌△AOC ，∴ ∠C =∠B ，∵ OA =OC ，∴ ∠OAC =∠C =∠B ，∵ ∠ADO =∠ADB ，∴ △OAD ∽△ABD ．(2) 如图 1 中，连接 BC ，∵ BD ⊥AC ，OA =OC ，∴ AD =DC ，∴ BA =BC =AC ，∴ △ABC 是等边三角形，在 Rt △OAD 中，∴ OD =12OA =12， ∴ AD =√OA 2−OD 2=√32， ∴ BC =AC =2AD =√3．答：B ，C 两点的距离为 √3．(3) 如图 3 中，作 OH ⊥AC 于点 H ，设 OD =x ．∵ △DAO ∽△DBA ，∴ AD DB =OD AD =OA AB ，∴ AD x+1=x AD =1AB ，∴ AD =√x (x +1)，AB =√x (x+1)x ， ∵ S 2 是 S 1 和 S 3 的比例中项，∴ S 22=S 1S 3， ∵ S 2=12AD ⋅OH ，S 1=S △OAC =12AC ⋅OH ，S 3=12CD ⋅OH ，∴ (12AD ⋅OH)2=12AC ⋅OH ×12CD ⋅OH ， ∴ AD 2=AC ⋅CD ，∵ AC =AB ，CD =AC −AD =√x (x+1)x −√x (x +1)， ∴ (√x (x +1))2=√x (x+1)x ×(√x (x+1)x −√x (x +1))，整理得 (x +1)(x 2+x −1)=0，解得 x =√5−12 或 x =−√5−12（舍去）或 x =−1（舍去），经检验：x =√5−12 是分式方程的根，且符合题意， ∴ OD =√5−12． 答：OD 的长为√5−12．5. 【答案】(1) 过点 D 作 DH ⊥AB ，垂足为点 H ．在 Rt △DAH 中，∠AHD =90∘，AD =15，DH =12，又∵AB=16，∴CD=BH=AB−AH=7．(2) ∵∠AEG=∠DEA，又∠AGE=∠DAE，∴△AEG∽△DEA．由△AEG是以EG为腰的等腰三角形，可得△DEA是以AE为腰的等腰三角形．①若AE=AD，∵AD=15，∴AE=15．②若AE=DE，过点E做EQ⊥AD，垂足为点Q．∴AQ=12AD=152．在Rt△DAH中，∠AHD=90∘，cos∠DAH=AHAD =35．在Rt△AEQ中，∠AQE=90∘，cos∠QAE=AQAE =35，∴AE=252．综上所述：当△AEG是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为15或252．(3) 在Rt△DHE中，∠DHE=90∘，DE=√DH2+EH2=√122+(x−9)2．∵△AEG∽△DEA，∴AEDE =EGAE．∴EG=2√122+(x−9)2，∴DG=√122+(x−9)2−2√122+(x−9)2．∵DF∥AE，∴DFAE =DGEG，yx=122+(x−9)2−x2x2．∴y=225−18xx ，x的取值范围为9<x<252．。