九年级数学中考专题：动态几何综合压轴题

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(整理版)中考数学专题复习之十：动态几何型题

中考数学专题复习之十：动态几何型题
动态几何问题是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题型出现。

这类问题主要是集中代数、几何、三角、函数知识于一体，综合性较强。

常用到的解题工具有方程的有关理论，三角函数的知识和几何的有关定理。

【范例讲析】
例：如图，长方形ABCD 中，AD=8cm,CD=4cm.
⑴假设点P 是边AD 上的一个动点,当P 在什么位置时PA=PC?
⑵在⑴中,当点P 在点P ＇时，有C P A P ''=，Q 是AB 边上的一个动点,假设4
15AQ =时, QP' 与C P '垂直吗？为什么？
D C
A
【闯关夺冠】：
如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A B ，的坐标分别为(40)43()，，，，动点M N ，分别从O B ，同时出发．以每秒1个的速度运动．其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动．过点M 作MP OA ⊥，交AC 于P ，连结NP ，动点运动了x 秒．
〔1〕P 点的坐标为〔，〕〔用含x 的代数式表示〕；
〔2〕试求NPC △面积S 的表达式，并求出面积S 的最大值及相应的x 值；
〔3〕当x 为何值时，NPC △是一个等腰三角形？简要说明理由．
y。

2021中考数学专题复习：压轴题动态几何问题专项训练题5(附答案详解)

2021中考数学专题复习：压轴题动态几何问题专项训练题5（附答案详解）1．如图①，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P、Q是对角线BD上的两个动点，点P从点D出发沿BD方向以1cm/s的速度向点B运动，运动终点为B；点Q从点B出发沿着BD的方向以2cm/s的速度向点D运动，运动终点为D．两点同时出发，设运动时间为x（s），以A、Q、C、P为顶点的图形面积为y（cm2），y与x的函数图像如图②所示，根据图像回答下列问题：（1）BD= ，a= ；（2）当x为何值时，以A、Q、C、P为顶点的图形面积为43cm2？（3）在整个运动的过程中，若△AQP为直角三角形，请直接写出符合条件的所有x的值：．2．如图，AB＝4，C为射线BA上一动点，以BC为边向上作正三角形BCD，⊙O过A、C、D三点，E为⊙O上一点，满足AD＝ED，直线CE交直线AD于F．（1）求证：CE∥BD；（2）设CF=a，若C在线段AB上运动．①求点E运动的路径长；②求a的范围；（3）若AC＝1，求tan∠DEC．3．如图，已知二次函数1L ：()22311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L ：()2341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），（1）函数()22311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大时，则x 的取值范围是_______；（2）判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线1L ，2L 均会分别经过某些定点；①求所有定点的坐标；②若抛物线1L 位置固定不变，通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是多少？4．已知：如图①，在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AE BD ==⊥，垂足是E .点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ．（1）求AF 和BE 的长；（2）若将ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度)．当点F 分别平移到线段AB AD 、上时，直接写出相应的m 的值．（3）如图②，将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ︒<<︒，记旋转中ABF 为''A BF ，在旋转过程中，设''A F 所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ．是否存在这样的P Q 、两点，使DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由．5．已知：把Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图（1）摆放（点C 与点E 重合），点B 、C （E ）、F 在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC =" 8" cm ，BC =" 6" cm ，EF =" 9" cm ．如图（2），△DEF 从图（1）的位置出发，以1 cm/s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△ABC 的顶点B 出发，以2 cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动.当△DEF 的顶点D 移动到AC 边上时，△DEF 停止移动，点P 也随之停止移动．DE 与AC 相交于点Q ，连接PQ ，设移动时间为t （s ）（0＜t ＜4.5）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上？（2）连接PE ，设四边形APEC 的面积为y （cm2），求y 与t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻t ，使面积y 最小？若存在，求出y 的最小值；若不存在，说明理由．（3）是否存在某一时刻t ，使P 、Q 、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．6．如图1，在ABC 中，2AB AC ==,120BAC ∠=︒，点,D E 分别是,AC BC 的中点，连接DE ．(1)探索发现：图１图２图３图1中，AB BC的值为_____________；AD BE 的值为_________；(2)拓展探究若将CDE △绕点C 逆时针方向旋转一周，在旋转过程中AD BE的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明；(3)问题解决当CDE △旋转至,,A D E 三点在同一直线时，直接写出线段BE 的长．7．如图1，已知△ABC 中，AB=10cm ，AC=8cm ，BC=6cm ．如果点P 由B 出发沿BA 方向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm/s ．连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）（0≤t≤4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ∥BC ．（2）设△AQP 面积为S （单位：cm 2），当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值．（3）是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．（4）如图2，把△AQP 沿AP 翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t ，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1经过A （﹣0.5，0），B （﹣4，﹣3）两点，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P 是抛物线对称轴上一动点，求使得P A +PC 最小时P 点的坐标；（3）直线BC 交x 轴于点D ，连结AC ，若点P 是y 轴上一动点，且点P 不与点C 重合，是否存在点P ，使得以P ，B ，C 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，确定点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．定义：对于函数y ，我们称函数叫做函数|y |的正值函数．例如：函数y 1x的正值函数为y=|1x |．如图，曲线y4x=(x＞0)请你在图中画出y=x+3的正值函数的图象．（1）写出y=x+3的正值函数的两条性质；（2）y=x+3的正值函数的图象与x轴、y轴、曲线y4x=(x＞0)的交点分别是A，B，C．点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与正值函数图象交于另一点E，与曲线交于点P．①试求△P AD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形P AEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D 的坐标；若不能，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，63-），AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，连接BC．点D是线段AC的中点，点E的坐标为（0，43-），点F 是线段EO上的一个动点．过点A，D，F的抛物线与x轴正半轴交于点G，连接DG交线段AB于点M．(1)求∠ACB的度数；(2)当点F运动到原点时，求过A，D，F三点的抛物线的函数表达式及点G的坐标；(3)以线段DM 为一边作等边三角形DMP ，点P 与点A 在直线DG 同侧，当点F 从点E 运动到点O 时，请直接写出点P 运动的路径的长．11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点为A (2，92)，抛线物与y 轴交于点B (0，52)，点C 在其对称轴上且位于点A 下方，将线段AC 绕点C 按顺时针方向旋转90°，点A 落在抛物线上的点P 处．(1)求抛物线的解析式；(2)求线段AC 的长；(3)将抛物线平移，使其顶点A 移到原点O 的位置，这时点P 落在点D 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O ，C ，D ，M 为顶点的四边形的面积为8，求点M 的坐标．12．如图，已知二次函数22(0)y ax ax c a 的图象与x 轴负半轴交于点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B ，顶点为P ，且OB=3OA ，一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B ．(1) 求一次函数解析式；(2)求顶点P 的坐标；(3)平移直线AB 使其过点P ，如果点Ｍ在平移后的直线上，且3tan 2OAM ∠=，求点M 坐标；(4)设抛物线的对称轴交x 轴与点E ，联结AP 交y 轴与点D ，若点Q 、N 分别为两线段PE 、PD 上的动点，联结QD 、QN ，请直接写出QD+QN 的最小值．13．如图1，抛物线2(40) y ax bx a =+-≠与x 轴交于()()4,01,0A B -、两点，过点A 的直线 4y x =-+交抛物线于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）在线段AC 上有一动点E ，当点E 在某个位置时，BDE ∆的面积为7，求此时E 点坐标；（3）如图2，当动点E 在直线AC 与抛物线围成的封闭线A C B D A →→→→上运动时，是否存在以BD 为直角边的直角三角形BDE ∆，若存在，请求出符合要求的所有E 点的坐标；若不存在，请说明理由．14．将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转得到矩形A 1BC 1D 1，点A 、C 、D 的对应点分别为A 1、C 1、D 1．（1）当点A 1落在AC 上时：①如图1，若∠CAB ＝60°，求证：四边形ABD 1C 为平行四边形；②如图2，AD 1交CB 于点O ，若∠CAB ≠60°，求证：DO ＝AO ；（2）如图3，当A 1D 1过点C 时，若BC ＝10，CD ＝6，直接写出A 1A 的长．15．如图，正方形ABCD 中，2AB =，点Q 是正方形所在平面内一动点，满足 1DQ =．（1）当点Q 在直线AD 上方且1=AQ 时，求证：//AQ BD ；（2）若90BQD ∠=︒，求点A 到直线BQ 的距离；（3）记22S AQ BQ =-，在点Q 运动过程中，S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出其值，若不存在，说明理由．16．已知抛物线213222y x x =-++，与x 轴交于两点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（Ⅰ）求点A ，B 和点C 的坐标；（Ⅱ）已知P 是线段BC 上的一个动点．①若PQ x ⊥轴，交抛物线于点Q ，当BP PQ +取最大值时，求点P 的坐标； ②求2AP PB +的最小值．17．如图，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 同侧，∠A=∠C=90°，BD ⊥BE ，AD=BC ．(1)求证：AC=AD+CE ；(2)若AD=3，CE=5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ ⊥DP ，交直线BE 于点Q ； (i)当点P 与A ，B 两点不重合时，求DP PQ的值； (ii)当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径(线段)长．(直接写出结果，不必写出解答过程)18．如图，在ABC 中，10,90,AB CB ABC ==∠=点D 为直线BC 上一点，点E 为AB 延长线上一点，且BE BD =，连接,AD EC ．()1求证:ABD CBE ≅；()2当20∠=CAD 时，求E ∠的度数；()3点P 是CAD 的外心，当点D 在直线BC 上运动，且点P 恰好在ABC 内部或边上时，直接写出点P 运动的路径的长，19．已知抛物线2y x bx c =++交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为()1,0，与y 轴交于点C ，且对称轴在y 轴的左侧，抛物线的顶点为P .（1）当2b =时，求抛物线的顶点坐标；（2）当BC AB =时，求b 的值；（3）在（1）的条件下，点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，直线AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N .请问DM DN +是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.20．如图1，在平面直角坐标系中，()()()001,2A m B n C -，、，、，且满足式子()2220m m n +++-=. （1）求出mn 、的值；（2）①在x 轴的正半轴上存在一点M ，使COM ∆的面积等于ABC ∆的面积的一半，求出点M 的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M ，使COM ∆的面积等于ABC ∆的面积的一半仍然成立，若存在，直接写出其他．．．．．．符合条件的点M 的坐标；（3）如图2，过点C 作CD y ⊥轴交y 轴于点D ，点P 为线段CD 延长线上一动点，连接OP ，OE 平分AOP ∠，OF OE ⊥，当点P 运动时，求证：2OPD DOE ∠=∠参考答案 1．（1）6，63；（2）23或4；（3）32，3，9334-或4．【解析】【分析】（1）如图①中，连接AC 交BD 于点O ．由题意：点N 的实际意义表示3x =时，点Q 运动到点D ，由此求出BD 即可解决问题；（2）图②求出直线EM ，直线FN 的解析式即可解决问题；（3）分三种情况讨论：当∠AQP=90°，∠APQ=90-°，∠QAP=90°时，求解即可．【详解】解：（1）如图①中，连接AC 交BD 于点O ．由题意：点N 的实际意义表示3x =时，点Q 运动到点D ，236BD ∴=⨯=，四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，30ABD ADB ∴∠=∠=︒，3OB OD ==，3OA OC ∴==223AB AO ==，116236322ABCD S BD AC ∴=⨯⨯=⨯⨯=菱形． 63a ∴=故答案为：6，3（2）设x 秒后P ，Q 相遇．则36x =，2x =，(2,0)M ∴，∴直线EM 的解析式为：3363y x =-+当43y 时，23x =．(3N ，，(6F ，，∴直线NF 的解析式为y =，当43y 时，4x =，综上所述，满足条件的x 的值为23s 或4s ．（3）满足条件的x 的值为32，3或4． △AQP 为直角三角形，有三种情况：I ．当∠AQP=90°时，点Q 运动到BD 的中点O （对角线的交点），132BQ BO BD ===， ∴32x =， II ．当∠APQ=90°时，点P 运动到BD 的中点O （对角线的交点）， 132DP DO BD === ∴3x =，III ．当∠PAQ=90°时，有222AP AQ PQ +=，∵3OP x =- ，32OQ x =-，当03x 时，()2263PQ x =-，()22232AQ x =+-，()2223AP x =+-，∴()()()2222232363x x x +-+-=-+，解得： 3x =>（不合题意舍去）x当36x <时，此时Q 已经到达终点，所以，2212AQ ==，此时222BP PQ x ==，223(3)AP x =+-，∴22123(3)x x ++-=，解得：4x =；综上所述，满足条件的x 的值为32，3或4．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，一次函数的应用，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会构建一次函数解决实际问题，属于中考压轴题．2．（1）证明见解析；（2）①4；②0≤a≤1；（3）335或533；【解析】【分析】（1）连接AE，证△ADE为等边三角形即可得到∠ECD=∠CDB=60°，则有CE∥BD.(2)①首先分析E点的运动轨迹是在于AB平行且距离为23的直线上，再进行计算；②设CB的长为x(0<x<4),通过证明AFC ADB，得到用含x的式子表示a,从而求出a 的取值范围.(3)分两种情况讨论：点C在线段AB上和在A点的左边两种情况分别进行计算求解. 【详解】解：（1）连接AE∵三角形BCD是等边三角形，∴∠B=∠BCD=∠BDC=60°.∵四边形ACDE是圆O的内接四边形，∴∠AED+∠ACD=180°.又∵∠ACD+∠BCD=180°，∴∠AED=∠BCD=60°.∵AD=AE，∴三角形ADE是等边三角形.∴∠EAD=60°，∴∠EAD=∠ECD=∠CDB=60°.∴CE∥BD;(2)①∵∠EDA=∠CDB=60°，∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC，即∠EDC=∠ADB. 又∵ED=AD,CD=DB,∴EDC ADB≅.∴EC=AB=4.过点E作EG⊥AB于点G，在直角三角形CFE中，∠ECA=60°，∴EG=3EC=23∴点E的运动轨迹为于AB平行且距离为3.所以点C在A时，得到点E1, 点C在B时，得到点E2,∴四边形E1ACE2是平行四边形, 所以E1E2=AB=4.∴E的运动路径长为4.②设CB的长为x(0<x<4),则AC=4-x,BD=CB=x.∵CE∥BD，∴AFC ADB≅∴ACAB=CFDB,∴44x-=ax.∴a=-24x+x=-14(x-2)2+1.当x=2时，a有最大值为1；当x=0时，a有最小值0.∴0≤a≤1.(3)当C在AB之间时，过点D作DH⊥AB与点H，则AC=1,BC=BD=3.∴BH=12BC=32，DH=3BD=33. ∴AH=AB-BH =52. ∴tan ∠DEC=tan ∠DAH =DH AH =33.当C 在A 的左边时，同理可以求得tan ∠DEC=tan ∠DAH 53. ∴tan ∠DEC 335533；【点睛】本题是一道圆有关的综合题，考查到的知识点比较多，圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似的性质与判定等，难度较大，需要学生具有分析问题与解决问题的能力.3．（1）()1,41m --+，13x ；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）①所有定点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或()1,1-；②抛物线2L 应平移的距离是423+423-【解析】【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M 的坐标；结合函数图象填空；（2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标，可得AD 的中点为（1，0），MN 的中点为（1，0），则AD 与MN 互相平分，可证四边形AMDN 是矩形；（3）①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----，通过表达式即可得出所过定点；②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【详解】解：（1）12b x a=-=-，顶点坐标M 为(1,41)m --+，由图象得：当13x 时，二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大．故答案为：(1,41)m --+；13x；（2）结论：四边形AMDN 是矩形．由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得：A 点坐标为41(1m m ---，0)，D 点坐标为41(3m m-+，0)，顶点M 坐标为(1,41)m --+，顶点N 坐标为(3,41)m -，AD ∴的中点为(1,0)，MN 的中点为(1,0)，AD ∴与MN 互相平分，∴四边形AMDN 是平行四边形，又AD MN =，∴□AMDN 是矩形；（3）①二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+，故当3x =-或1x =时1y =，即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----，故当1x =或5x =时1y =-，即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，②二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，如图：四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ，(1,1)H -、(5,1)G -，则组成四边形EFGH 为平行四边形，∴FH ⊥HG ，FH=2，HM=4-x ，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，则EH 1=EF=H 1M=4，由勾股定理可得：FH 2+HM 2=FM 2，即22242(4)x =+-，解得：423x =±，抛物线1L 位置固定不变，通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是423+或423-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．4．（1）129,55AF BF==；（2）95m=或165m=；（3）存在4组符合条件的点P、点Q，使DPQ为等腰三角形；DQ的长度分别为2或2585或5【解析】【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；（2）依题意画出图形，如图①-1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可．【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，由勾股定理得：5==，∵S△ABD12=BD•AE=12AB•AD，∴AE=AB AD3412 BD55⋅⨯==，∵点F是点E关于AB的对称点，∴AF=AE125=，BF=BE，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AB=3，AE125 =，由勾股定理得：BE95 ===；（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①-1所示：由对称点性质可知，∠1=∠2．BF=BE95 =，由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′95 =，①当点F′落在AB上时，∵AB∥A′B′，∴∠3=∠4，根据平移的性质知：∠1=∠4，∴∠3=∠2，∴BB′=B′F′95=，即95m=；②当点F′落在AD上时，∵AB∥A′B′，AB⊥AD，∴∠6=∠2，A′B′⊥AD，∵∠1=∠2，∠5=∠1，∴∠5=∠6，又知A′B′⊥AD，∴△B′F′D为等腰三角形，∴B′D=B′F′95 =，∴BB′=BD-B′D=5-91655=，即m165=；（3）存在．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，∴∠2=∠BAE，∵点F是点E关于AB的对称点，∴∠1=∠BAE，∴∠1=∠2，在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：①如图③-1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，则∠Q=∠DPQ，∴∠2=∠Q+∠DPQ=2∠Q，∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，∴∠3=∠Q，∴A′Q=A′B=3，∴F′Q=F′A′+A′Q=1227355+=，在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：2222927910 BF F Q555⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，∴DQ=BQ-BD=105 5-；②如图③-2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，则∠2=∠P，∵∠1=∠2，∴∠1=∠P，∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上．∵∠3=∠2，∴∠3=∠1，∴BQ=A′Q，∴F′Q=F′A′-A′Q=125-BQ，在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，即：222 91255BQ BQ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：158 BQ=，∴DQ= BD-BQ=5-1525 88=；③如图③-3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，则∠3=∠4．∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，∴∠4=90°-12∠2．∵∠1=∠2，∴∠4=90°-12∠1，∴∠A′QB=∠4=90°-12∠1，∴∠A′QB=∠A′BQ，∴A′Q=A′B=3，∴F′Q=A′Q-A′F′=3-123 55=，在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=222293310 BF F Q55⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，∴DQ=BQ-BD=3105-；④如图④-4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，则∠2=∠3．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴BQ=BA′=3，∴DQ=BD-BQ=5-3=2．综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形，DQ的长度分别为：2或25891055或35105【点睛】本题是四边形综合题目，主要考查了矩形的性质、轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点；第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论．5．（1）t=2（2）当t = 3时，y 最小=845（3）当t = 1s ，点P 、Q 、F 三点在同一条直线上【解析】【分析】【详解】解：（1）∵点A 在线段PQ 的垂直平分线上，∴AP = AQ.∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF ＋∠ACB ＋∠EQC = 180°，∴∠EQC = 45°.∴∠DEF =∠EQC.∴CE =" CQ."由题意知：CE = t ，BP ="2" t ，∴CQ = t.∴AQ = 8－t.在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB =" 10" cm .则AP = 10－2 t.∴10－2 t = 8－t.解得：t = 2.答：当t =" 2" s 时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上.（2）过P 作PM BE ⊥，交BE 于M ，∴90BMP ∠=︒.在Rt △ABC 和Rt △BPM 中，sin AC PM B AB BP==， ∴8210PM t =. ∴PM =85t . ∵BC =" 6" cm ，CE = t ， ∴BE = 6－t.∴y = S △ABC －S △BPE =12BC AC ⋅－12BC AC ⋅=1682⨯⨯－()18625t t ⨯-⨯ =()18625t t ⨯-⨯=()18625t t ⨯-⨯. ∵8210PM t =，∴抛物线开口向上. ∴当t = 3时，y 最小=85t .答：当t = 3s 时，四边形APEC 的面积最小，最小面积为85t cm 2.（3）假设存在某一时刻t ，使点P 、Q 、F 三点在同一条直线上.过P 作PN AC ⊥，交AC 于N ，∴90ANP ACB PNQ ∠=∠=∠=︒.∵∠PAN=∠BAC ，∴△PAN ∽△BAC.∴PN AP AN BC AB AC==. ∴1026108PN t AN -==.∴665PN t=-，665PNt=-.∵NQ = AQ－AN，∴NQ = 8－t－(885t-) =845．∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.∵∠FQC = ∠PQN，∴△QCF∽△QNP .∴12BE PM⋅. ∴636559t tt t-=-.∵PN AC⊥∴663595tt-=-解得：t = 1.答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上.6．(1)3;3(2)见解析 (3)393+或393-【解析】【分析】（1）先判断出∠AEB=90°，再判断出∠B=30°，进而的粗AE，再用勾股定理求出BE，即可得出结论；（2）先判断出，进而得出△ACD∽△BCE，即可得出结论；（3）分点D在线段AE上和AE的延长线上，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，最后用线段的和差求出AD，即可得出结论．【详解】解:解: (1)如图1，连接AE,∵AB=AC=2，点E 分别是BC 的中点， ∴AE ⊥ BC, ∴∠AEC=90° ,∵AB=AC=2，∠BAC=120° ,∴∠B=∠C=30°,在Rt △ABE 中，AE=12AB=1，根据勾股定理得，BE =3 ∵点E 是BC 的中点,∴BC=2BE =23 ∴3323ABBC ==∵点D 是AC 的中点，∴AD=CD=12AC=1,∴AD 3BE 33==故答案为：3,3;(2)无变化,理由:由(1)知,CD=1,3CE BE ==∴3CD CE =,3ACBC =∴33CD AC CE BC ==,由(1)知,∠ACB=∠DCE=30°,∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD∽△BCE,∴3 AD ACBE BC==,(3)线段BE的长为3932+或3932-，理由如下：当点D在线段AE上时,如图2,过点C作CF⊥AE于F,∠CDF=180°﹣∠CDE=60°, ∴∠DCF=30°,∴1122 DF CD==,∴332 CF DF==,在Rt△AFC中,AC=2,根据勾股定理得,2213AF AC CF=-=,∴AD=AF+DF=131+,由(2)知,33 ADBE=,∴39332 BE AD+==当点D在线段AE的延长线上时,如图3,过点C作CG⊥AD交AD的延长线于G, ∵∠CDG=60°,∴∠DCG=30°,∴1122 DG CD==,∴33CG DG==,在Rt△ACG中,根据勾股定理得,132 AG=,∴1312AD AG DG-=-=,由(2)知,33 ADBE=,∴3933BE AD-==即:线段BE的长为393+或393-.【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，构造出直角三角形是解本题的关键．7．（1）20t9=s（2）当t=52s时，S取得最大值，最大值为152cm2（3）不存在．理由见解析（4）存在，2400 169cm2【解析】解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角．（1）BP=2t，则AP=10﹣2t．若PQ∥BC，则AP AQAB AC=，即102t2t108-=，解得20t9=．∴当20t 9=s 时，PQ ∥BC ．（2）如图1所示，过P 点作PD ⊥AC 于点D ．则PD ∥BC ，∴△APD ∽△ABC ．∴AP PD AB BC =，即102t PD 106-=，解得6PD 6t 5=-． ∴S=12×AQ×PD=12×2t×（66t 5-） 2266515t +6t t +5522⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭． ∴当t=52s 时，S 取得最大值，最大值为152cm 2．（3）不存在．理由如下：假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，则有S △AQP =12S △ABC ，而S △ABC =12AC•BC=24，∴此时S △AQP =12．由（2）可知，S △AQP =26t +6t 5-，∴26t +6t 5-=12，化简得：t 2﹣5t+10=0． ∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，∴不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．（4）存在．假设存在时刻t ，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t ．如图2所示，过P 点作PD ⊥AC 于点D ，则有PD ∥BC ，∴△APD ∽△ABC ． ∴AP PD AD AB BC AC ==，即102t PD AD 1068-==．解得：PD=66t 5-，AD=88t 5-， ∴QD=AD ﹣AQ=8188t 2t=8t 55---．在Rt △PQD 中，由勾股定理得：QD 2+PD 2=PQ 2，即（88t 5-）2+（66t 5-）2=（2t ）2，化简得：13t 2﹣90t+125=0，解得：t 1=5，t 2=2513． ∵t=5s 时，AQ=10cm ＞AC ，不符合题意，舍去，∴t=2513．由（2）可知，S △AQP =26t +6t 5- ∴S 菱形AQPQ′=2S △AQP =2×（26t +6t 5-）=2×[﹣65×（2513）2+6×2513]=2400169． ∴存在时刻t=2513，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为2400169cm 2．（1）由PQ ∥BC 时的比例线段关系，列一元一次方程求解．（2）如图1所示，过P 点作PD ⊥AC 于点D ，得△APD ∽△ABC ，由比例线段，求得PD ，从而可以得到S 的表达式，然后利用二次函数的极值求得S 的最大值．（3）利用（2）中求得的△AQP 的面积表达式，再由线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．（4）根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ 、QD 和PD 的长度；然后在Rt △PQD 中，求得时间t 的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于△AQP 面积的2倍，从而可以利用（2）中△AQP 面积的表达式，这样可以化简计算．8．（1）25331714y x x =---；（2）（﹣3320，﹣2356）；（3）（0，﹣3）或（0，﹣11）【解析】【分析】（1）把A （﹣0.5，0），B （﹣4，3）代入解析式即可求得结果；（2）由（1）可得函数解析式，令y=0得到与x 轴的交点，得出CD 直线坐在的解析式，根据对称的性质即可求解；（3）由点B 、C 的坐标可得直线BC 的表达式，可得△ACD 为直角三角形，且∠ACD ＝90°，若以P ，B ，C 为顶点的三角形与△ACD 相似相似，则可分两种情况考虑，①当∠BPC ＝90°，②当∠PBC ＝90°时，即可求解；【详解】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1经过A （﹣0.5，0），B （﹣4，3）两点，∴0.250.51016413a b a b ⎧--=⎨--=-⎩，解得573314a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴25331714y x x =---；（2）由（1）知25331714y x x =---，令y ＝0，得x 1＝﹣2.8，x 2＝﹣0.5，又A （﹣0.5，0），∴抛物线与x 轴另一交点为E （﹣2.8，0），而点C （0，﹣1），连接CE 交函数对称轴于点P ，则点P 为所求点，∴由点C 、D 的坐标，可得直线CE 表达式为：5114y x =-，又抛物线对称轴为直线3320x =-， ∴使得P A +PC 最小时P 点的坐标为（﹣3320，﹣2356）；（3）由点B 、C 的坐标可得，直线BC 的表达式为：y ＝12x ﹣1，故D （2，0）， ∵tan ∠ADC ＝12＝tan ∠ACO ， ∴∠ADC ＝∠CAO ，又∠ODC +∠OCD ＝90°，∴∠ACO +∠OCD ＝90°，∴△ACD 为直角三角形且∠ACD ＝90°，由点A 、D 的坐标得：AD ＝2.5，同理可得：AC＝5，CD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，若以P，B，C为顶点的三角形与△ACD相似相似，则可分两种情况考虑：①当∠BPC＝90°，即BP⊥y轴时，△CPB∽△ACD，∴P（0，﹣3）；②当∠PBC＝90°时，△CBP∽△ACD，过点B作BF⊥y轴于点F，在Rt△BFC中，BF＝4，CF＝2，则BC＝25∵BC ACPC DA=，52522.5=，解得：PC＝10，∴OP＝11，∴P（0，﹣11），综合以上可得P点的坐标为（0，﹣3）或（0，﹣11）．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，准确应用待定系数法求解解析式是基础，结合三角形相似的知识点进行求解．9．（1）①图象与x轴交于(﹣3，0)，②当x＜﹣3时，y随x的增大而减小；（2）①m32=-时，△P AD的面积最大，最大值为258；②能，D(﹣1，2)．【解析】【分析】（1）利用描点法画出y=x+3的正值函数为y=|x+3|的图形即可；（2）①设D（m，m+3），则P（43m+，m+3），利用三角形的面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可；②如图2中，连接EC．假设四边形APCE是平行四边形，则AD=CD，求出点E，P的坐标，再验证是不是平行四边形即可．【详解】（1）y=x+3的正值函数为y=|x+3|，函数图象如图所示：函数y=|x+3|的性质：①图象与x轴交于（﹣3，0）．②当x＜﹣3时，y随x的增大而减小．③当x＞﹣3时，y随x的增大而增大．（2）①如图2中，设D （m ，m +3），则P （43m +，m +3）， ∴PD 43m =-+m 2343m m m --+=+， ∴S △APD 12=•（2343m m m --++）•（m +3）12=-（m 2+3m ﹣4）12=-（m 32+）2258+， ∵12-＜0， ∴m 32=-时，△P AD 的面积最大，最大值为258． ②如图2中，连接EC ．假设四边形APCE 是平行四边形，则AD =CD ．∵A （﹣3，0），C （1，4），∴D （﹣1，2），∴P （2，2），E （﹣5，2），∴DE =DP =3．∵DE =DP ，AD =DC ，∴四边形APCE 是平行四边形，符合条件．【点晴】考查了反比例函数的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建二次函数解决最值问题．10．(1)60;ACB ∠=︒ (2)2333;3y x x =- (9,0);G 3.【解析】【分析】（1）先确定出AB ，AC ，再判断出∠BAC ＝90°，最后用锐角三角函数即可得出结论；（2）先确定出点C 的坐标，进而确定出点D 的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；（3）先判断出点F 从点E 运动到点O 时，点M 的运动轨迹是MM '，进而判断出点P 的运动轨迹，再判断出△MDM '≌△PDP '，求出直线BG 的解析式，进而求出点M 的坐标，即可得出结论．【详解】解：（1）∵点A 的坐标为(6-，，AB ⊥x 轴于点B ， ∴B （6，0），∴AB ＝∵点A 的坐标为(6-，，AC ⊥y 轴于点C ，∴C （0，-，∴AC ＝6，∵AB ⊥x 轴，AC ⊥y 轴，∴∠ABO ＝∠ACO ＝90°＝∠BOC ，∴四边形OBAC 是矩形，∴∠BAC ＝90°，在Rt △ABC 中，tan ∠ACB ＝6AB AC == ∴∠ACB ＝60°；（2）由（1）知，C （0，-，∵点D 是AC 的中点，∴D （3，-），设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，将点A （6，-，D （3，-，O （0，0）代入抛物线解析式中，得366930a b c a b c c ⎧++=-⎪⎪++=-⎨⎪=⎪⎩，∴0a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴抛物线的解析式为2y x =-，令y ＝020x -=， ∴x ＝0或x ＝9，∴G （9，0）；（3）如图，当点F 从点E 运动到点O 时，点M 的运动轨迹是线段MM '，∴以DM 为边的等边三角形的顶点P 的轨迹是线段PP '，当抛物线过原点时，DG 与AB 的交点记作点M ，当抛物线过点E 时，DG '与AB 的交点为M '，∵△DMP 是等边三角形，∴DM ＝DP ，∠MDP ＝60°，∵△DM 'P '是等边三角形∴DM '＝DP '，∠M 'DP '＝60°，∴∠MDM '＝∠PDP '，∴△MDM '≌△PDP '（SAS ），∴PP '＝MM '，由（2）知，G （9，0），∵D （3，-），∴直线DG的解析式y =-令x ＝6，则y＝-∴M (6-，，当抛物线过点E 时，即抛物线过点A ，D ，E ，设抛物线的解析式为2'''y a x b x c =++，∴36'6''9'3'''a b c a b c c ⎧++=-⎪⎪++=-⎨⎪=-⎪⎩，∴'9''a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，∴过点A ，D ，E的抛物线的解析式为29y x =-- 令y ＝0，则209x =--， ∴x ＝﹣3或x ＝12，∴G '（12，0），∴DG '的解析式为y x =- 令x ＝6，则y＝-∴M '（6，-，∴PP '＝MM '＝(--=即点P．【点睛】本题为二次函数综合题，难度较大，理解好方程与函数关系第（3）问根据点F的运动路线得到点M的运动轨迹是解题关键．11．(1)y＝﹣12(x﹣2)2+92；(2)2；(3)M点的坐标为(0，72)或(0，﹣72)【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-2）2+92，将点B坐标代入可求a的值，即可求解；（2）设AC=t，则点C（2，92-t），利用参数t表示点P坐标，代入解析式可求解；（3）由平移的性质可求点D坐标，由面积公式可求解．【详解】解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x﹣2)2+92，∵抛线物与y轴交于点B(0，52 )，∴52＝a(0﹣2)2+92，∴a＝﹣1 2∴物线的解析式为：y＝﹣12(x﹣2)2+92；(2)∵顶点A(2，92 )，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴设AC＝t，则点C(2，92﹣t)，∵将线段AC绕点C按顺时针方向旋转90°，点A落在抛物线上的点P处．∴∠ACP＝90°，AC＝PC＝t，∴点P(2+t，92﹣t)，∵点P在抛物线上，∴92﹣t＝﹣12(2+t﹣2)2+92，∴t1＝0(不合题意舍去)，t2＝2，∴线段AC的长为2；(3)∵AC＝2，P点坐标为(4，52)，C点坐标为(2，52)，∵抛物线平移，使其顶点A(2，92)移到原点O的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位，而P点(4，52)向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点D，∴D点坐标为(2，﹣2)，设M(0，m)，当m＞0时，12•(m+52+2)•2＝8，解得m＝72，此时M点坐标为(0，72)；当m＜0时，12•(﹣m+52+2)•2＝8，解得m＝﹣72，此时M点坐标为(0，﹣72)；综上所述，M点的坐标为(0，72)或(0，﹣72)．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质和旋转的性质，利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，运用分类讨论的思想解决数学问题是本题的关键．12．(1) 一次函数的解析式为：y=3x+3(2)顶点P的坐标为（1，4）(3) M点的坐标为：15,2(,39⎛⎫-⎪⎝⎭或23-）（4【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式即可得出B（0，3），根据OB=3OA，可求出OA的长，也就得出了A点的坐标，然后将A、B的坐标代入直线AB的解析式中，即可得出所求；（2）将（1）得出的A点坐标代入抛物线的解析式中，可求出a的值，也就确定了抛物线的解析式进而可求出P点的坐标；（3）易求出平移后的直线的解析式，可根据此解析式设出M点坐标（设横坐标，根据直线的解析式表示出纵坐标）．然后过M作x轴的垂线设垂足为E，在构建的直角三角形AME 中，可用M点的坐标表示出ME和AE的长，然后根据∠OAM的正切值求出M的坐标．（本题要分M在x轴上方和x轴下方两种情况求解．方法一样．）（4）作点D关于直线x=1的对称点D′，过点D′作D′N⊥PD于点N，根据垂线段最短求出QD+QN的最小值．【详解】(1)∵A（-1，0）,∴OA=1∵OB=3OA，∴B（0，3）∴图象过A、B两点的一次函数的解析式为：y=3x+3。

2021中考数学专题复习：压轴题动态几何问题专项训练题7(附答案详解)

2021中考数学专题复习：压轴题动态几何问题专项训练题7（附答案详解）1．如图，在平面直角坐标系中，直线y=34-x+15分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，交直线y=12x 于点M ．动点C 在直线AB 上以每秒3个单位的速度从点A 向终点B 运动，同时，动点D 以每秒a 个单位的速度从点0沿OA 的方向运动，当点C 到达终点B 时，点D 同时停止运动．设运动时间为t 秒．（1）求点A 的坐标和AM 的长．（2）当t=5时，线段CD 交OM 于点P ，且PC=PD ，求a 的值．（3）在点C 的整个运动过程中，①直接用含t 的代数式表示点C 的坐标．②利用（2）的结论，以C 为直角顶点作等腰直角△CDE （点C ，D ，E 按逆时针顺序排列），当OM 与△CDE 的一边平行时，求所有满足条件的t 的值．2．如图（1），已知抛物线223y ax ax a =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴负方向交于C 点，且1tan 3ACO ∠=．（1）试求出抛物线的解析式；（2）E 为直线1y =上．动点，F 为抛物线对称轴上一点，当F 点在对称轴上何处时，四边形ACFE 的周长最短，并求出此时四边形的周长；（3）如图（2），()1,0D 为x 轴上一点，抛物线上x 轴的上方是否存在点P ，使得线段AP 与直线CD 相交且它们的夹角为45°，若存在这样的P 点，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．3．如图（1），在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一个动点（点E 与点A ，B 不重合），连接CE ，过点B 作BF CE ⊥于点G ，交AD 于点F ．（1）求证：ABF BCE ≅；（2）如图（2），当点E 运动到AB 的中点时，连接DG ，求证：DC DG =；（3）如图（3），在（2）的条件下，过点C 作CM DG ⊥于点H ，分别交AD ，BF 于点M ，N ，求证：2FN NG MN NH ⋅=⋅．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），对称轴为直线l ．(1)求抛物线的解析式及点A 的坐标；(2)在对称轴l 上是否存在一点M ，使得△BCM 周长最小？若存在，求出△BCM 周长；若不存在，请说明理由；(3)若点P 是抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动，过点P 作PD//y 轴，交AC 于点D ，当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，与y轴交于点C ，其中(10)A -，，0(4)B ，. （1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，在直线BC 上方的抛物线上有一动点D ，连接AD ，与直线BC 相交于点E ，当:45DE AE =：时，求tan DAB ∠的值；（3）点P 是直线BC 上一点，在平面内是否存在点Q ，使以点P ，Q ，C ，A 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.6．如图，已知二次函数212y x bx =+的图像经过点()4,0A -，顶点为B 一次函数 122y x =+的图像交y 轴于点,M P 是抛物线上-一点，点M 关于直线AP 的对称点N 恰好落在抛物线的对称轴直线BH 上（对称轴直线BH 与x 轴交于点H ）．（1）求二次函数的表达式；（2）求点P 的坐标；（3）若点G 是第二象限内抛物线上一点，G 关于抛物线的对称轴的对称点是E ，连接OG ，点F 是线段OG 上一点，点D 是坐标平面内一点，若四边形BDEF 是正方形，求点G 的坐标．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =++交x 轴于A （﹣1，0）和B （5，0）两点，交y 轴于点C ，点D 是线段OB 上一动点，连接CD ，将线段CD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ，过点E 作直线l ⊥x 轴于H ，过点C 作CF ⊥l 于F ．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F 恰好在抛物线上时，求线段OD 的长；（3）在（2）的条件下：①连接DF ，求tan ∠FDE 的值；②试探究在直线l 上，是否存在点G ，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知60AOB ∠=︒，在AOB ∠的角平分线OM 上有一点C ，将一个120︒角的顶点与点C 重合，它的两条边分别与射线,OA OB 相交于点,D E .（1）如图1，当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时，请猜想+OD OE 与OC 的数量关系，并说明理由；（2）当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）如图3，当DCE ∠绕点C 旋转到点D 位于OA 的反向延长线上时，求线段,OD OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.9．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，20AC =，15BC =．点P 从点A 出发，沿AC 向终点C 运动，同时点Q 从点C 出发，沿射线CB 运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P 到达终点时，P 、Q 同时停止运动．当点P 不与点A 、C 重合时，过点P 作PN AB ⊥于点N ，连结PQ ，以PN 、PQ 为邻边作PQMN .设PQMN 与ABC ∆重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒．（1）用含t 的代数式表示PN 的长为________；（2）是否存在某一时刻t ，使四边形PQMN 为矩形，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）03t <<时，求S 与t 的函数关系式．10．如图，抛物线()21y x a x a =-++与x 轴交于,A B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y 轴的负半轴交于点C ．()1求点B 的坐标．()2若ABC 的面积为6．①求这条抛物线相应的函数解析式．②在拋物线上是否存在一点,P 使得POB CBO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．我们知道求函数图象的交点坐标，可以联立两个函数解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标．如：求直线y ＝2x +3与y ＝﹣x +6的交点坐标，我们可以联立两个解析式得到方程组236y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得15x y =⎧⎨=⎩，所以直线y ＝2x +3与y ＝﹣x +6的交点坐标为（1，5）．请利用上述知识解决下列问题：（1）已知直线y ＝kx ﹣2和抛物线y ＝x 2﹣2x +3，①当k ＝4时，求直线与抛物线的交点坐标；②当k 为何值时，直线与抛物线只有一个交点？（2）已知点A （a ，0）是x 轴上的动点，B （0，42），以AB 为边在AB 右侧做正方形ABCD ，当正方形ABCD 的边与反比例函数y ＝22的图象有4个交点时，试求a 的取值范围．12．如图，一次函数3y x =-+的图象与抛物线2y x bx c =++交x 轴于B 点，交y 轴于C 点，抛物线交x 轴的另一个交点为点A （点B 的左边）．点D 为抛物线上一个动点（且点D 的横坐标x 满足03x <<，过点D 作DE y 轴交BC 于点E ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若BDE 为直角三角形，求点D 的坐标；（3）在（2）的结论下，点P 为抛物线上任意一个动点，点Q 为x 轴上一个动点，则以B ，D ，P ，Q 四点为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由．13．如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ．另一边交CB 的延长线于点G ．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是_____；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使，请探究线段EF与线段三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB a、BC bEG之间存在怎样的数量关系？（用含a、b的代数式表示）14．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O是坐标原点，OA、OC分别在x 轴、y轴的正半轴上，且OA＝5，OC＝4．(1)如图①，将矩形沿对角线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与CB相交于点E，请问重叠部分△OBE是什么三角形？说明你的理由：并求出这个三角形的面积；(2)如图②，点E、F分别是OC、OA边上的点，将△OEF沿EF折叠，使得点O正好落在BC边上的D点，过点D作DH⊥OA，交EF于点G，交OA于点H，若CD＝2，求点G的坐标；(3)如图③，照(2)中条件，当点E、F在OC、OA上移动时，点D也在边BC上随之移动，请直接写出BD的取值范围．15．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC交x轴负半轴于点C，∠BCA＝30°，如图①．（1）求直线BC的解析式．（2）在图①中，过点A作x轴的垂线交直线CB于点D，若动点M从点A出发，沿射线AB方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时，动点N从点C出发，沿射线CB 方向以每秒2个单位长度的速度运动，直线MN与直线AD交于点S，如图②，设运动时间为t秒，当△DSN≌△BOC时，求t的值．（3）若点M是直线AB在第二象限上的一点，点N、P分别在直线BC、直线AD上，是否存在以M、B、N、P为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．已如两个全等的等腰△ABC、△DEF，其中∠ACB=∠DFE=90°，E为AB中点，△DEF 可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB（或它们所在的直线）于M、N．（1）如图1，当线段EF经过△ABC的顶点时，点N与点C重合，线段DE交AC于M，已知AC=BC=5，则MC=；（2）如果2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请探究AM，MN，CN之间的等量关系，并说明理由；（3）如图3，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，则（2）中AM，MN，CN之间的等量关系还成立吗？请说明理由．17．如图，在等边三角形ABC中，AB=12cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AC 匀速运动，动点Q同时从点B出发以同样的速度沿CB的延长线方向匀速运动，当点P 到达点C时，点P，Q同时停止运动.设运动时间为ts，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.⑴当t为何值时，△CPQ为直角三角形？⑵求DE的长.⑶取线段BC 的中点M ，连接PM ，将△CPM 沿直线PM 翻折，得到△C ，PM ，连接AC ，，当t = 时，AC ，的值最小，最小值为 .18．已知，AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直平分AO ，垂足为F ，连接,BC BD ．（1）如图1，求BCD ∠的度数；（2）如图2，点,M N 分别为,BD CD 上一点，并且BM DN =，连接, CM BN ，交点为G ，R 为BC 上一点，连接DR 与CM 交于点H ，22BCM BGM DHM ∠+∠=∠，求证：23BCM CDR ∠=∠；（3）如图3，在（2）的条件下，4 3 ,6CG CH ==，求⊙O 半径．19．已知，在Rt ABC 中，90A ∠=︒，点D 在BC 边上，点E 在AB 边上，12BDE C ∠=∠，过点B 作BF DE ⊥交DE 的延长线于点F ．（1）如图1，当AB AC =时：①EBF ∠的度数为__________；②求证；2DE BF =；（2）如图2，当AB kAC =时，求BF DE的值（用含k 的式子表示）． 20．在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=，24AC BC ==，点P 为AB 中点，点D 为AC 边上不与端点重合的一动点，将APD ∆沿PD 折叠得EPD ∆，点A 的对应点为点E ，若DE AB ⊥，则AD 的长为__________．参考答案1．（1）A(20，0)，10；（2）2；（3）①129(20,)55t t-，②52或407或4【解析】【分析】（1）在3154y x=-+中，令0y=，得点A坐标，联立AB，OM解析式，求出点M坐标，过点M作x轴垂线，垂足为G，由M坐标得出OG，MG，AG长度，由勾股定理可得结果．（2）过点C作CQ x轴交OM延长线与Q，证明△CPQ≌△DPO（AAS），得出CQ=OD，解出CQ长度即可．（3）①作CK⊥x轴与K，由CK y轴，得AC CKAB OB=，解出cy=CK，代入3154y x=-+中，得cx．②当OM于△CDE的一边，分三种情况进行讨论：当OM CD 时，用AC ADAM AO=解得t值；当OM CE时，用CK=2DK解得t值；当OM DE时，证明△CDK≌△CEG，用DH=2EH 解得t值．【详解】解：（1）当y=0时，3x1504-+=，解得：x=20∴点A（20，0）；∵两直线相交于点M∴315412y xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：126xy=⎧⎨=⎩∴点M（12，6）过点M作MG⊥OA于点G∴OG=12，MG=6∴AG=20-12=8在Rt△AMG中，2222AM AG MG8610=+=+=;（2）∵动点C在直线AB上以每秒3个单位的速度从点A向终点B运动，同时，动点D以每秒a个单位的速度从点0沿OA的方向运动，∴当t=5时则AC=15，OD=5a，AB=25点C（8，9）过点C作CQ∥x轴交OM的延长线于点Q，∴点Q（18，9）∴CQ=18-8=10，∵CQ∥x轴∴∠G=∠DOP在△CPQ和△DPO中，Q DOPCPQ OPDPC PD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CPQ≌△DPO（AAS）∴CQ=OD即5a=10，解之：a=2.（3）解：①过点C作CK⊥x轴于点K，由题意可知AC=3t，AB=25，OB=15，∴CK∥y轴，∴△ACK∽△ABO∴AC CKAB OB=即3t CK2515=解之：9 CK t5=当9y t5=时，则39x15t45-+=解之：12 x20t5 =-∴点129C20t t55⎛⎫-⎪⎝⎭，;②由①可知CK=9t5，OK=1220t5-∵AC=3t，OD=2t，tan∠MOA=1 2当CD∥OM时，AC AD AM AO =即3t 202t1020-= 解之：t=52；当CE ∥OM 时，∴∠ECD=∠CPO=90°∴∠DCK+∠CDK=∠DOP+∠CDK=90° ∴∠DCK=∠DOP ∴tan ∠DCK=DK 1CK 2= ∴CK=2DK∴DK=OD-OK=12222t 20t t 2055⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ ∴2292t 20t 55⎛⎫-=⎪⎝⎭ 解之：40t 7=; 当DE ∥OM 时，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，过点C 作CK ⊥x 轴于点K ，过点C 作CG ∥x轴交HE 于点G ，∵等腰直角△CDE ∴CD=CE易证△CDK ≌△CEG ， ∴CK=CG=GH=9t 5， 1222GE DK OK OD 20t 2t 20t 55==-=--=-,92231EH GH GE t 20t t 20555⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭, 22913DH DK KH DK CK 20t t 20t 555=+=+=-+=-, ∵OM ∥ED ，∴∠MOA=∠EDH ，EH 1tan EDH DH 2∠== ∴DH=2EH ∴133120t 2t 2055⎛⎫-=- ⎪⎝⎭解之：t=4. ∴t 的值为52或407或4.【点睛】熟练掌握一次函数与坐标轴相交，与正比例函数相交的交点计算，平面直角坐标系中求线段长度，用字母表示点的坐标，及关于动点问题的讨论，是解题的关键．2．（1）1a =；（2）四边形ACFE 103441,3F ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）存在这样的P 点，且79,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）令y=0，可求得A(-1.0),B(3,0),根据条件求出点C 的坐标，把点C 的坐标代入抛物线的解析式求出a 即可;（2）设点A 关于直线y=1的对称点A ',点C 关于抛物线对称轴的对称点C '，连接A C ''与直线y=1交于点E ，与对称轴交于点F ，此时四边形ACEF 的周长最短，求出直线A C ''与对称轴的交点即可;（3）设AP 交CD 于M ，连BC ．可证MDA BDC ∽△△，得出MD =过M 作ME x ⊥轴于E ，则可证DME DCO ∽△△，得到25DE =，65ME =，得到AM 的解析式1122y x =+，联立方程组即可求解. 【详解】解：（1）()222323(3)(1)y ax ax a a x x a x x =--=--=-⋅+，∴(1,0)A -，(3,0)B ． ∵1tan 3ACO ∠=，3OC =， ∴()0,3C ．∴33a -=-，∴1a =（2）设A 关于1y =的对称点为A '，则()1,2A '-，设C 关于抛物线对称轴1x =的对称点为C '则()2,3C '-．设直线A C ''的解析式为y kx m =+，则有21,32,k m k m =-⋅+⎧⎨-=+⎩，解得5,31.3k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴5133y x =-+，当1x =时，514333y =-+=-，∴41,3F ⎛⎫- ⎪⎝⎭．四边形ACFE 的最短周长AC CF FE EA AC C F EF EA AC A C ''''=+++=+++=+，AC ==A C ''∴四边形ACFE的最短周长=41,3F ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）设AP 交CD 于M ，连BC ．可证：MDA BDC ∽△△， ∴MD BDAD CD=，即2MD =∴MD 过M 作ME x ⊥轴于E ，则可证DME DCO ∽△△， ∴MD DE ME DC OD OC ==13DE ME ==． ∴25DE =，65ME =， ∴AM 的解析式为：1122y x =+．由211,2223,y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩解得111,0,x y =-⎧⎨=⎩舍去227,29,4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴存在这样的P 点，且79,24P ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查了二次函数综合知识的应用.综合程度较高，解题关键在于能够将所学知识点进行综合.3．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析【解析】【分析】（1）先判断出∠GCB +∠CBG ＝90，再由四边形ABCD 是正方形，得出∠CBE ＝90°＝∠A ，BC ＝AB ，即可得出结论；（2）取BC 中点P ，连接PD 交CG 于Q ，先证平行四边形PBFD ，进而可证PD 是CG 的垂直平分线，由此可得结论；（3）先证CGB CGN ≅△△得NG GB =，再证FMN BNC ∽△△得2FN NB NGMN NC NC==，继续证得NCG NGH ∽△△得NG NHNC NG=进而可得结论．【详解】证明：（1）∵BF ⊥CE ， ∴∠CGB ＝90°，∴∠GCB +∠CBG ＝90， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠CBE ＝90°＝∠A ，BC ＝AB ， ∴∠FBA +∠CBG ＝90， ∴∠GCB ＝∠FBA ， ∴△ABF ≌△BCE （ASA ）；（2）如图，取BC 中点P ，连接PD 交CG 于Q ， ∵F 是AD 中点 ∴//BP DF ，BP DF = ∴PBFD 为平行四边形， ∴//DP BF ， ∴Q 是CG 中点，又BF CG ⊥， ∴PD CG ⊥，∴PD 是CG 的垂直平分线， ∴DC DG =，（3）∵E 是AB 中点，P 是BC 中点， ∴ECB PDC ∠=∠，又∵CH DG ⊥，DQ CG ⊥ ∴HCG QDG ∠=∠，由（2）知：PDC QDG ∠=∠ ∴ECB HCG ∠=∠又∵90CGB CGN ︒∠=∠=，CG CG =， ∴CGB CGN ≅△△ ∴NG GB =又∵FMN BNC ∽△△ ∴2FN NB NGMN NC NC== 又∵在Rt NGC △中，GH NC ⊥ ∴NCG NGH ∽△△∴NG NHNC NG= ∴22FN NG NHMN NC NG==， ∴2FN NG MN NH ⋅=⋅．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定及性质是解本题的关键． 4．（1）y=x 2﹣4x+3；（21032（3）P （1,0）或（2，-1）【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）连接AC 交直线l 于点M ，连接BM ．由轴对称的性质可知此时BM+MC=AM+MC=AC ，即△ABM 周长最短；（3）分当∠APD=90°时和当∠PAD=90°时两种情况求解即可．【详解】解：（1）将B(1，0)，C(0，3)代入2y x bx c =++中，得103b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为y=x 2﹣4x+3；（2）存在．连接AC 交直线l 于点M ，连接BM ． ∵点A ，B 关于直线l 对称， ∴BM=CM ，∴BM+MC=AM+MC=AC ， ∴此时△ABM 周长最短．∵22221032BC OB OC AC OA OC =+==+=，， ∴△ABM 的周长最小为AC+BC=1032+；（3）由题得，A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)， ∴OA=OC ，∴∠CAO=45°，当∠APD=90°时，∵PD//y 轴，AB ⊥y 轴， ∴PD ⊥AB ，∴点P 与点B 重合， ∴P 点坐标为（1，0）；当∠PAD=90°时，则∠PAB=∠DAB=45°， ∵AB ⊥PD ，∴P -y D y =，设直线AC 的解析式为y=kx+b ，把A(3，0)， C(0，3)代入得303k b b +=⎧⎨=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为y=-x+3，设点D(m ，-m+3)，点P(m ，m 2﹣4m+3)，∴2343m m m -=-+，解得122,3m m ==（舍去），∴P 点坐标为(2，-1)，综上所述，P(1，0)或(2，-1)．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题，等腰直角三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解（3）的关键．5．（1）239344y x x =-++（2）32（3）14103101,Q -，2410310()Q ，3(5,3)Q -，41324(,)55Q 【解析】【分析】（1）将(10)A -，，0(4)B ，代入23y ax bx =++得出关于a ，b 的二元一次方程，求解即可；（2）过点D 作y 轴的平行线，交直线BC 与点F ，交x 轴于点H ，过点A 作y 轴的平行线，交直线BC 与点G ，证明~DEF AEG ∆∆，得出3DF =，设239(,3)44D t t t -++，3(,3)4F t t -+，可得出关于t 的方程，解出t 值，即可得出答案；（3）分①当PC 为菱形的边时，②当PC 为对角线时，两种情况讨论即可．【详解】（1）将(10)A -，，0(4)B ，代入23y ax bx =++得3016430a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得3494a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴解析式为239344y x x =-++；（2）当0x =时239344y x x =-++(0,3)C ∴设直线BC 的解析式为y kx b =+，将0(4)B ，，(0,3)C 分别代入得：334y x =-+过点D 作y 轴的平行线，交直线BC 与点F ，交x 轴于点H过点A 作y 轴的平行线，交直线BC 与点G(10)A -，∴当1x =-时315344y x =-+=15(1,)4G ∴-，154AG =//AG y 轴//DF~DEF AEG ∴∆∆DE EDAG AE ∴=41554DE ∴=3DF ∴= 设239(,3)44D t t t -++，3(,3)4F t t -+223933(3)(3)334444DF t t t t t ∴=-++--+=-+=解得：122t t ==9(2,)2D ∴ 92DH ∴=，123AH =+= 在Rt ADH ∆中，932tan 32DH DAB AH ∠===；（3）设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，将B(4，0)，C(0，3)代入得043k b b=+⎧⎨=⎩，解得343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为：y=34-x+3， ①当PC 为菱形的边时，∵四边形PQCA 是菱形，∴AQ ∥PC ，可设AQ 的解析式为：y=34-x+b 1，将点A(-1，0)代入得b 1=34-， ∴AQ 的解析式为：y=34-x 34-， ∴可设Q(m ，34-m 34-)，根据勾股定理得AC，根据菱形的性质可得AC=AQ ，解得m=1±-，∴m 1=15-，m 2=15--，将m 1，m 2代入y=34-x 34-，可得11,Q ，2(Q -； ②当PC 为对角线时，根据菱形的性质可得AQ ⊥PC ，∴可设AQ 的解析式为：y=43x+b 3，将A(-1，0)代入得b 3=43， ∴AQ 的解析式为：y=43x+43， ∴可设Q(n ，43n+43)，根据菱形的性质可得AC=CQ ，解得n 1=-5，n 2=135，将n 1，n 2代入y=43x+43，可得3(5,3)Q -，41324(,)55Q ；综上，Q 点的坐标为1(1,55Q --，2(1,55Q --，3(5,3)Q -，41324(,)55Q ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，一次函数的几何综合，二次函数综合，根据题意得出关于所求值的方程是解题关键．6．（1）2122y x x =+；（2）点P 的坐标为：（2，6）或（23-，109-）；（3）点G 的坐标为：（6-，6）．【解析】【分析】（1）直接把点A 代入解析式，即可求出解析式；（2）由题意，设点N 的坐标为（2-，n ），连接MN ，过点A 作AD ⊥MN ，AD 交抛物线与点P ，则点D 为（1-，22n +），由AD ⊥MN ，则1AD MN k k •=-，求出n 的值，然后求出直线AD 的解析式，联合抛物线得到方程组，即可求出点P 的坐标；（3）由题意，设点G 为（p ，2122p p +），然后得到点E 的坐标和直线OG 的解析式，由点F 在线段OG 上，得到点F 的坐标，再结合正方形的性质，有2BF EF BE ==，分别求出BF 、BE 、EF ，联立方程组，求出p 的值，即可得到点G 的坐标．【详解】解：（1）∵二次函数212y x bx =+的图像经过点()4,0A -， ∴21(4)402b ⨯--=，解得：2b =； ∴二次函数的解析式为：2122y x x =+．（2）由（1）知，2122y x x =+， ∴顶点B 为（2-，2-），∴对称轴为2x =-；在一次函数122y x =+中，令0x =，则2y =，∴点M 的坐标为（0，2），设点N 的坐标为（2-，n ），连接MN ，过点A 作AD ⊥MN ，AD 交抛物线与点P ，如图：∵点M 、N 关于直线AP 对称，则AD 垂直平分MN ，即点D 是MN 的中点，∴点D 的坐标为（1-，22n +）， ∵1AD MN k k •=-， ∴202214(1)0(2)n n +--•=------， ∴22162n n +-•=-，解得：4n =±，∴点D 的坐标为（1-，3）或（1-，1-），结合点A （4-，0），可求得：直线AD 的解析式为：4y x =+或1433y x =--； ∵抛物线的解析式为2122y x x =+，联合直线AD 和抛物线，得∴21224y x x y x ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩或21221433y x x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得：114xy=-⎧⎨=⎩，2226xy=⎧⎨=⎩或114xy=-⎧⎨=⎩，2223109xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；∵点A的坐标为（4-，0），∴点P的坐标为：（2，6）或（23-，109-）；（3）由题意可知，点G在第二象限，且点G在抛物线上，四边形BDEF是正方形，连接BE、DF，如图：设点G为（p，2122p p+），∵点G与点E关于2x=-对称，∴点E为（4p--，2122p p+）；设直线OG为y kx=，则2122kp p p=+，则122k p=+，∴直线OG为1(2)2y p x=+；∵点F在线段OG上，则设点F为（q，122pq q+），点F在第二象限，∵四边形BDEF是正方形，∴2BF EF BE==，∵点B 为（2-，2-），∴BE =BF =，EF =联合2BF EF BF BE =⎧⎪⎨=⎪⎩，可解得：64p q =-⎧⎨=-⎩或64p q =-⎧⎨=⎩， ∵点F 在第二象限，则0q <，∴64p q =-⎧⎨=-⎩； ∴21(6)2(6)62⨯-+⨯-= ∴点G 的坐标为：（6-，6）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，也考查了正方形的性质，勾股定理，以及一次函数的性质．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键． 7．（1）2312355y x x =-++；（2）1；（3）①12；②G （4，32-）或（4，6）．【解析】【分析】（1）把A 、B 的坐标代入抛物线的解析式，解方程组即可；（2）由C 的纵坐标求得F 的坐标，由△OCD ≌△HDE ，得出DH=OC=3，即可求得OD 的长；（3）①先确定C 、D 、E 、F 四点共圆，由圆周角定理求得∠ECF=∠EDF ，由tan ∠ECF=EF CF =12，得到tan ∠FDE=12； ②连接CE ，得出△CDE 是等腰直角三角形，∠CED=45°，过D 点作DG 1∥CE ，交直线l 于G 1，过D 点作DG 2⊥CE ，交直线l 于G 2，则∠EDG 1=45°，∠EDG 2=45°，求得直线CE 的解析式为132y x =-+，设直线DG 1的解析式为12y x m =-+，设直线DG 2的解析式为2y x n =+，把D 的坐标代入即可求得m 、n ，从而求得解析式，进而求得G 的坐标．【详解】（1）如图1，∵抛物线23y ax bx =++交x 轴于A （﹣1，0）和B （5，0）两点，∴30{25530a b a b -+=++=，解得：35{125a b =-=，∴抛物线解析式为2312355y x x =-++；（2）如图2，∵点F 恰好在抛物线上，C （0，3），∴F 的纵坐标为3，把y=3代入2312355y x x =-++得，23123355x x -++=，解得x=0或x=4，∴F （4，3），∴OH=4，∵∠CDE=90°，∴∠ODC+∠EDH=90°，∴∠OCD=∠EDH ，在△OCD 和△HDE 中，∵∠OCD=∠EDH ，∠COD=∠DHE=90°，CD=DE ，∴△OCD ≌△HDE （AAS ），∴DH=OC=3，∴OD=4﹣3=1；（3）①如图3，连接CE ，∵△OCD ≌△HDE ，∴HE=OD=1，∵BF=OC=3，∴EF=3﹣1=2，∵∠CDE=∠CFE=90°，∴C 、D 、E 、F 四点共圆，∴∠ECF=∠EDF ，在RT △CEF 中，∵CF=OH=4，∴tan ∠ECF=24EF CF ==12，∴tan ∠FDE=12； ②如图4，连接CE ，∵CD=DE ，∠CDE=90°，∴∠CED=45°，过D 点作DG 1∥CE ，交直线l 于G 1，过D 点作DG 2⊥CE ，交直线l 于G 2，则∠EDG 1=45°，∠EDG 2=45°，∵EH=1，OH=4，∴E （4，1），∵C （0，3），∴直线CE 的解析式为132y x =-+，设直线DG 1的解析式为12y x m =-+，∵D （1，0），∴1012m =-⨯+，解得m=12，∴直线DG 1的解析式为1122y x =-+，当x=4时，11422y =-⨯+=32-，∴G 1（4，32-）；设直线DG 2的解析式为2y x n =+，∵D （1，0），∴0=2×1+n ，解得n=﹣2，∴直线DG 2的解析式为22y x =-，当x=4时，y=2×4﹣2=6，∴G 2（4，6）；综上，在直线l 上，是否存在点G ，使∠EDG=45°，点G 的坐标为（4，32-）或（4，6）．8．（1）3OD OE OC +=，见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3）3OE OD OC -=【解析】【分析】（1）先判断出∠OCE ＝60°，再利用特殊角的三角函数得出OD ＝32OC ，同OE ＝32OC ，即可得出结论；（2）同（1）的方法得OF ＋OG 3，再判断出△CFD ≌△CGE ，得出DF ＝EG ，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【详解】解：（1）OM 是AOB ∠的角平分线1302AOC BOC AOB ∴∠=∠=∠=︒ ,90,60CD OA ODC OCD ⊥∴∠=︒∴∠=︒60OCE DCE OCD ∴∠=∠-∠=︒在Rt OCD ∆中，3cos30OD OC =⋅︒=，同理：OE =OD OE ∴+=（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C 作CF OA ⊥于F ，CG OB ⊥于G90OFC OGC ∴∠=∠=︒60AOB ∠=︒120FCG ∴∠=︒由（1）知，,22OF OG OC ==OF OG ∴+=,CF OA CG OB ⊥⊥，且点C 是AOB ∠的平分线OM 上一点CF CG ∴=120,120DCF FCG ∠=︒∠=︒,DCF ECG CFD CGE ∴∠=∠∴∆≅∆DF EG ∴=,OF OD DF OD EG OG OE EG ∴=+=+=-OF OG OD EG OE EG OD OE ∴+=++-=+OD OE ∴+=（3）结论为：OE OD -=.理由：过点C 作CF ⊥OA 于F ，CG ⊥OB 于G ，∴∠OFC ＝∠OGC ＝90°，∵∠AOB ＝60°，∴∠FCG ＝120°，同（1）的方法得，OF ，OG ，∴OF ＋OG OC ，∵CF ⊥OA ，CG ⊥OB ，且点C 是∠AOB 的平分线OM 上一点，∴CF ＝CG ，∵∠DCE ＝120°，∠FCG ＝120°，∴∠DCF ＝∠ECG ，∴△CFD ≌△CGE ，∴DF ＝EG ，∴OF ＝DF−OD ＝EG−OD ，OG ＝OE−EG ，∴OF ＋OG ＝EG−OD ＋OE−EG ＝OE−OD ，∴OE−OD．【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用，正确作出辅助线，构造全等三角形是解本题的关键．9．（1）3PN t =；（2）存在，127t =；（3）S 与t 之间的函数关系式为22123t 48t 07112t -14t+96327t S t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪<< ⎪⎪⎝⎭⎩．【解析】【分析】（1）根据三角函数即可计算出PN 的长度；（2）当口POMN 为矩形时，由PN ⊥AB 可得PQ//AB ，再根据平行线分线段成比例定理可得CP CQ CA BC=，最后计算即可；（3）分PQMN 在三角形内部时和PQMN 有部分在外边时，分别由三角函数可计算各图形中的高，最后运用三角形的面积公式解答即可．【详解】解：（1）∵在Rt△ABC 中，C=90°，AC=20，BC=15.25= ∴sin∠CAB=35 由题可知AP=5t.则PN=AP·sin∠CAB=5t×35=3t. 故答案为：3PN t =；（2）当PQMN 为矩形时，90NPQ ∠=︒，∵PN AB ⊥，∴//PQ AB ，∴CP CQ CA BC=，由题意可知5AP CQ t ==，205CP t =-， ∴20552015t t -=，解得；127t =，即当PQMN 为矩形时127t =. （3）①如图所示.PQMN 在三角形内部时.延长QM 交AB 于G 点，由（1）题可知：4cos sin 5A B ==，3cos 5B =， 5AP t =，155BQ t =-，3PN QM t ==.∴cos 4AN AP A t =⋅=，cos 93BG BQ B t =⋅=-， sin 124QG BQ B t =⋅=-，∵PQMN 在三角形内部时.有0QM QG <≤，∴03124t t <≤-，∴1207t <≤.∴254(93)16NG t t t =---=-.∴当1207t <≤时，PQMN 与ABC ∆重叠部分图形为PQMN ，S 与t 之间的函数关系式为23(16)348S PN NG t t t t =⋅=⋅-=-+.②如图所示.当0QG QM <<时，PQMN 与ABC ∆重叠部分图形为梯形PQGN ，即：01243t t <-<，解得：1237t <<， PQMN 与ABC ∆重叠部分图形为梯形PQGN 的面积211()(16)(3124)149622PQGN S NG PN QG t t t t t =+=-+-=-+梯形当1237t <<，2114962S t t =-+. 综上，22123t 48t 07112t -14t+96327t S t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪<< ⎪⎪⎝⎭⎩【点睛】本题考查了勾股定理、三角形中位线定理、平行线等分线段定理、函数解析式等知识点，根据题意画出图形并分情况进行讨论是解答本题的关键．10．（1）（1，0）；（2）①223y x x =+-；②存在，点P 的坐标为1133313,22⎛++ ⎝⎭或515,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）直接令0y =，即可求出点B 的坐标；（2）①令x=0，求出点C 坐标为（0，a ），再由△ABC 的面积得到12(1−a)•(−a)＝6即可求a 的值，即可得到解析式；②当点P 在x 轴上方时，直线OP 的函数表达式为y=3x ，则直线与抛物线的交点为P ；当点P 在x 轴下方时，直线OP 的函数表达式为y=-3x ，则直线与抛物线的交点为P ；分别求出点P 的坐标即可．【详解】解：()1当0y =时，()210,x a x a -++= 解得121,.x x a ==点A 位于点B 的左侧，与y 轴的负半轴交于点,C0,a ∴<∴点B 坐标为()1,0．()2①由()1可得，点A 的坐标为(),0a ，点C 的坐标为()0,,0,a a <1,AB a OC a ∴=-=- ABC 的面积为6,()()116,2a a ∴--⋅= 123,4a a ∴=-=．0,a <3a ∴=-22 3.y x x =+-②点B 的坐标为()1,0,点C 的坐标为()0,3-，∴设直线BC 的解析式为3,y kx =-则03,k =-3k ∴=．,POB CBO ∠=∠∴当点P 在x 轴上方时，直线//OP 直线,BC∴直线OP 的函数解析式3,y x =为则23,23,y x y x x =⎧⎨=+-⎩11x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩舍去)，22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点的P坐标为1322⎛+ ⎝⎭；当点P 在x 轴下方时，直线'OP 与直线OP 关于x 轴对称，则直线'OP 的函数解析式为3,y x =-则23,23,y x y x x =-⎧⎨=+-⎩1152152x y ⎧-=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩舍去)，2252152x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∴点P'的坐标为⎝⎭综上可得，点P的坐标为⎝⎭或⎝⎭【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合数形结合的思想和分类讨论的思想解题是解本题的关键．11．（1）①（1，2），（5，18）；②k ＝﹣225±；（2）a 的取值范围是a ＞2或﹣16＜a ＜﹣4【解析】【分析】（1）①由题意得：24223y x y x x =-⎧⎨=-+⎩，解得1112x y =⎧⎨=⎩，22518x y =⎧⎨=⎩，即可求解； ②利用△＝0，即可求解；（2）分a ＞0、a ＜0两种情况，探讨正方形的边与反比例函数图象交点的情况，进而求解．【详解】解：（1）①由题意得：24223y x y x x =-⎧⎨=-+⎩，解得1112x y =⎧⎨=⎩，22518x y =⎧⎨=⎩， ∴直线与抛物线的交点坐标是（1，2），（5，18）；②联立两个函数并整理得：x 2﹣（k +2）x +5＝0，△＝（﹣k ﹣2）2﹣4×5＝0，解得：k ＝﹣225±；（2）①当a ＞0时，如图1，点A 、B 的坐标分别为：（a ，0）、（0，2），由点A 、B 的坐标得，直线AB 的表达式为：y ＝﹣42a x 2，当线段AB 与双曲线有一个交点时，联立AB 表达式与反比例函数表达式得：﹣42ax 222，整理得：4x2﹣4ax+2a＝0，△＝（﹣4a）2﹣16×2a＝0，解得：a＝2，故当a＞2时，正方形ABCD与反比例函数的图象有4个交点；②当a＜0时，如图2，（Ⅰ）当边AD与双曲线有一个交点时，过点D作ED⊥x轴于点E，∵∠BAO+∠DAE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAO，∵AB＝AD，∠AOB＝∠DEA＝90°，∴△AOB≌△DEA（AAS），∴ED＝AO＝﹣a，AE＝OB＝2，故点D（a2，a），由点A、D的坐标可得，直线AD的表达式为：y＝28a（x﹣a），联立AD与反比例函数表达式并整理得：ax2﹣a2x﹣16＝0，△＝（﹣a2）2﹣4a×（16）＝0，解得：a＝﹣4（不合题意值已舍去）；（Ⅱ）当边BC与双曲线有一个交点时，同理可得：a＝﹣16，所以当正方形ABCD的边与反比例函数的图象有4个交点时，a的取值范围为：﹣16＜a＜﹣4；综上所述，a的取值范围是a＞2或﹣16＜a＜﹣4．【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，二次函数的性质，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键．12．（1）y =x 2﹣4x +3；（2）D 点坐标为D 1（1，0），D 2（2，﹣1）；（3）能，1(2P ，2(2P【解析】【分析】（1）先求出点B 、C 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；（2）根据题意，可分为两种情况进行分析：①当点D 1为直角顶点时，点D 1与点A 重合；②当点B 为△BD 2E 2的直角顶点时；分别求出坐标即可；（3）由题意，利用平行四边形的判定和性质，通过平移直线BD 进行讨论，即可求出点P 的坐标．【详解】解：（1）由一次函数3y x =-+的图象交x 轴于B 点，交y 轴于C 点可得，∴B （3，0），C （0，3），把B 、C 代入抛物线2y x bx c =++可得， 20333b c c⎧=++⎨=⎩， ∴43b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线为y =x 2﹣4x +3；（2）分两种情况：①当点D 1为直角顶点时，点D 1与点A 重合；令y =0，得x 2﹣4x +3=0，解得：x 1=1，x 2=3；∵点B 在点A 的右边，∴A （1，0），B （3，0）；∴D 1（1，0）；②当点B 为△BD 2E 2的直角顶点时；∵OB =OC ，∠BOC =90°，∴∠OBE 2=45°；当∠E 2BD 2=90°时，∠OBD 2=45°，∴BO 平分∠E 2BD 2；又∵D 2E 2∥y 轴，∴D 2E 2⊥BO ，∴D 2、E 2关于x 轴对称；直线BC 的函数关系式为y =﹣x +3；设E 2（x ，﹣x +3），D 2（x ，x 2﹣4x +3），则有：（﹣x +3）+（x 2﹣4x +3）=0，即x 2﹣5x +6=0；解得：x 1=2，x 2=3（舍去）；∴当x =2时，y =x 2﹣4x +3=22﹣4×2+3=﹣1；∴D 2的坐标为D 2（2，﹣1）．∴D 点坐标为D 1（1，0），D 2（2，﹣1）；（3）由（2）知，当D 点的坐标为D 1（1，0）时，不能构成平行四边形；当点D 的坐标为D 2（2，﹣1）（即抛物线顶点）时，平移直线BD 交x 轴于点N ，交抛物线于P ；∵D （2，﹣1），∴可设P （x ，1）；∴x 2﹣4x +3=1，解得：12x =-22x =+∴符合条件的P 点有两个，即1(2P -，2(2P +．【点睛】本题考查了二次函数的综合，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的判定和性质等知识点，综合性较强，考查学生运用方程组、数形结合的思想方法．13．（1）EF =EG （2）见解析（3）EF b EG a= 【解析】【分析】（1）因为四边形ABCD 是正方形，可得∠BED ＝∠DEF ＋∠BEF ＝90°，根据题意可得，∠GEF ＝∠GEB ＋∠BEF ＝90°，继而可证∴∠GEB ＝∠DEF ，然后利用ASA 判定Rt △EGB ≌Rt △EFD ，最后根据全等三角形对应边相等即可求解．（2）过点E 分别作EH ⊥BC ,EI ⊥CD ，垂足分别为H ，I ，则四边形EHCI 是矩形, 可得∠FEI +∠HEF =∠GEH +∠HEF =90° ，即∠FEI =∠GEH ，根据正方形的性质，得出CE 平分∠BCD, 可证得EI =EH ，利用ASA 可判定△FEI ≌△GEH ，继而得出结论．（3）过点E 分别作EM ⊥BC ,EN ⊥CD ，垂足分别为M ,N ，同（2）可知，∠FEN =∠GEM 由长方形性质得：∠D =∠ENC =90°,进而可得EN ∥AD ,EM ∥AB ，由相似三角形的判定可得△CEN ∽△CAD ,△CEM ∽△CAB ，再由相似三角形对应边成比例，等量代换可得EN EM AD AB =，继而得EN AD b EM AB a==，根据相似三角形的判定可得△FEN ∽△GEM ，继而求解EF EN b EG EM a==．【详解】证明：（1）EF =EG∵四边形ABCD 是正方形∴ED ＝EB ，∠D ＝∠GBE∵∠GEF ＝90°∴∠GEB ＋∠BEF ＝90°∵∠BED ＝90°,∴∠DEF ＋∠BEF ＝90°∴∠GEB ＝∠DEF在Rt △EGB 和Rt △EFD 中，D GBE ED EBGEB DEF ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝ ∴Rt △EGB ≌Rt △EFD （ASA ）∴EF ＝EG ．。

2024年九年级数学中考复习——反比例函数-动态几何问题(含答案)

2024年九年级数学中考复习——反比例函数-动态几何问题1．如图，在矩形ABCD 中，已知点A （2，1），且AB ＝4，AD ＝3，把矩形ABCD 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为靓点，反比例函数y＝（x ＞0）的图象为曲线L ．（1）若曲线L 过AB 的中点．①求k 的值．②求该曲线L 下方（包括边界）的靓点坐标．（2）若分布在曲线L 上方与下方的靓点个数相同，求k 的取值范围．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数相交于点，与轴相交于点，点的横坐标为-2.（1）求的值；（2）直接写出当且时，的取值范围；（3）设点是直线AB 上的一点，过点作轴，交反比例函数的图象于点 .若以A ，O ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标.k x12y x =-+2(0)k y x x=<B x A B k 0x <12y y <x M M //MN x 2(0)k y x x=<N M3．如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴于点C ，点A （，1）在反比例函数y ＝的图象上．（1）求反比例函数y ＝的表达式；（2）在x 轴上是否存在一点P ，使得S △AOP ＝S △AOB ，若存在，求所有符合条件点P 的坐标；若不存在，简述你的理由．4．如图，点，在轴上，以为边的正方形在轴上方，点的坐标为，反比例函数的图象经过的中点，是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到 .（1）求反比例函数的表达式；（2）若点落在轴上，求线段的长及点的坐标.k x k x12A B x AB ABCD x C (14)，(0)k y k x=≠CD E F AD DEF EF GEF (0)k y k x=≠G y OG F5．如图，已知反比例函数y＝（x ＞0）的图象经过点A （4，2），过A 作AC ⊥y 轴于点C ．点B 为反比例函数图象上的一动点，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，连接AD ．直线BC 与x 轴的负半轴交于点E ．（1）求k 的值；（2）连接CD ，求△ACD 的面积；（3）若BD ＝3OC ，求四边形ACED 的面积．6．已知：如图1，点是反比例函数图象上的一点．（1）求的值和直线的解析式；（2）如图2，将反比例函数的图象绕原点逆时针旋转后，与轴交于点，求线段的长度；（3）如图3，将直线绕原点逆时针旋转，与反比例函数的图象交于点，求点的坐标．k x(4)A n ，8(0)y x x=>n OA 8(0)y x x =>O 45︒y M OM OA O 45︒8(0)y x x=>B B7．已知：反比例函数的图像过点A （，），B （，）且（1）求m 的值；（2）点C 在x 轴上，且，求C 点的坐标；（3）点Q 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的右侧，设直线QA ，QB 与y 轴分别交于点E 、D ，试判断DE 的长度是否变化，若变化请说明理由，若不变，请求出长度.8．规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点，点，在反比例函数的图象上；（1）m= ；（2）已知，过点、D 点作直线交双曲线于E 点，连接OB ，若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，求b 的取值范围．m y x =1x 121m --2x 45m-120x x +=16ABC s ∆=()22A ，()1B m ，()0k y x x=>0b >()40C b -，()0b ，()0k y x x=>9．已知，矩形OCBA 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 在x 轴的正半轴上，点A 在y 轴的正半轴上，已知点B 坐标为（3，6），反比例函数的图象经过AB 的中点D ，且与BC 交于点E ，顺次连接O ，D ，E ．（1）求m 的值及点E 的坐标；（2）点M 为y 轴正半轴上一点，若△MBO 的面积等于△ODE 的面积，求点M 的坐标；（3）平面直角坐标系中是否存在一点N ，使得O ，D ，E ，N 四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，点P 为函数与函数图象的交点，点P 的纵坐标为4，轴，垂足为点B ．（1）求m 的值；（2）点M 是函数图象上一动点，过点M 作于点D ，若，求点M的坐标．m y x=1y x =+()0m y x x=>PB x ⊥()0m y x x =>MD BP ⊥12tan PMD ∠=11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点，直线分别与直线和双曲线交于点、．（1）求和的值；（2）当点在线段上时，如果，求的值；（3）点是轴上一点，如果四边形是菱形，求点的坐标．12．如图，等边和等边的一边都在x 轴上，双曲线经过的中点C 和的中点D ．已知等边的边长为4．（1）求k 的值；（2）求等边的边长；（3）将等边绕点A 任意旋转，得到等边，P 是的中点（如图2所示），连结，直接写出的最大值．xOy 34l y x b =+：x y A B x k H y =：922P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，x m =H E D k b E AB ED BO =m C y BCDE C OAB AEF ()0k y k x=>OB AE OAB AEF AEF AE F '' E F ''BP BP13．如图，点A 、B 是反比例函数y ＝的图象上的两个动点，过A 、B 分别作AC ⊥x 轴、BD ⊥x 轴，分别交反比例函数y ＝－的图象于点C 、D ，四边形ACBD 是平行四边形. （1）若点A 的横坐标为－4.①直接写出线段AC 的长度；②求出点B 的坐标；（2）当点A 、B 不断运动时，下列关于□ACBD 的结论：①□ACBD 可能是矩形；②□ACBD 可能是菱形；③□ACBD 可能是正方形；④□ACBD 的周长始终不变；⑤□ACBD 的面积始终不变.其中所有正确结论的序号是 .8x2x14．在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于点与点Q ．（1）求点Q 的坐标；（2）若存在点，使得，求c 的值；（3）过点平行于x 轴的直线，分别与第一象限内的正比例函数、反比例函数数的图象相交于点、点，当时，请直接写出a 的取值范围．15．在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，并与反比例函数y=（k≠0）的图象在第一象限相交于点C ，且点B 是AC 的中点xOy ()1110y k x k =≠()2220k y k x=≠(11)P ，(0)C c ，2PQC S = (0)M a ，()1110y k x k =≠()2220k y k x =≠()11A x y ，()22B x y ，1252x x +≤kx（1）如图1，求反比例函数y=（k≠0）的解析式；（2）如图2，若矩形FEHG 的顶点E 在直线AB 上，顶点F 在点C 右侧的反比例函数y=（k≠0）图象上，顶点H ，G 在x 轴上，且EF=4．①求点F 的坐标；②若点M 是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F 的左侧，连结MG ，并在MG 左侧作正方形GMNP ．当顶点N 或顶点P 恰好落在直线AB 上，直接写出对应的点M 的横坐标．16．如图，动点P 在函数y （x ＞0）的图象上，过点P 分别作x 轴和y 轴的平行线，交函数y 的图象于点A 、B ，连接AB 、OA 、OB ．设点P 横坐标为a ．（1）直接写出点P 、A 、B 的坐标（用a 的代数式表示）；（2）点P 在运动的过程中，△AOB 的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在平面内有一点Q （，1），且点Q 始终在△PAB 的内部（不包含边），求a 的取值范围．k xk x 3x =1x =-1317．如图1，一次函数y ＝kx ﹣3（k≠0）的图象与y 轴交于点B ，与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交于点A （8，1）．（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），过点C 作y 轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D ，连接OC ，OD ，AD ，当CD 等于6时，求点C 的坐标和△ACD 的面积；（3）在（2）的前提下，将△OCD 沿射线BA 方向平移一定的距离后，得到△O'CD'，若点O 的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O'，D'的坐标．18．如图1所示，已知图象上一点轴于点，点，动点是轴正半轴点上方的点，动点在射线AP 上，过点作AB 的垂线，交射线AP 于点，交直线MN 于点，连结AQ ，取AQ 的中点 . m x6(0)y x x=>P PA x ⊥，(0)A a ，(0)(0)B b b >，M y B N B D Q C（1）如图2，连结BP ，求的面积；（2）当点在线段BD 上时，若四边形BQNC 是菱形，面积为 .①求此时点Q ，P 的坐标；②此时在y 轴上找到一点E ，求使|EQ-EP|最大时的点E 的坐标.19．已知反比例函数y=的图象经过点A （6，1）．（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数y=在第一象限的图象上点A 的左侧取点C ，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点H ，过点C 作y 轴的垂线CE ，垂足为点E ，交直线AH 于点D ．①过点A 、点C 分别作y 轴、x 轴的垂线，两条垂线相交于点B ，求证：O 、B 、D 三点共线；②若AC=2CO ，求证：∠OCE=3∠CDO ．PAB Q k xk x20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y 轴交于点C ．（1），；（2）过点A 作轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点E ，当时，求点P 的坐标．（3）点M 是坐标轴上的一个动点，点N 是平面内的任意一点，当四边形是矩形时，求出点M 的坐标．21．如图1，将函数的图象T 1向左平移4个单位得到函数的图象T 2，T 2与y 轴交于点．（1）若，求k 的值（2）如图2，B 为x 轴正半轴上一点，以AB 为边，向上作正方形ABCD ，若D 、C 恰好落在T 1上，线段BC 与T 2相交于点E①求正方形ABCD 的面积；②直接写出点E 的坐标．114y k x =+22k y x=()2A m ，()62B --，1k =2k =AD x ⊥OP AD Δ41ODE ODAC S S =四边形：：ABMN ()0k y x x =>()44k y x x =>-+()0A a ，3a =22．如图1，直线的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点D 是线段AB 上一点，过D 点分别作OA 、OB 的垂线，垂足分别是C 、E ，矩形OCDE 的面积为4，且．（1）求D 点坐标；（2）将矩形OCDE 以1个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形MNPQ ，记平移时间为t 秒．①如图2，当矩形MNPQ 的面积被直线AB 平分时，求t 的值；②如图3，当矩形MNPQ 的边与反比例函数的图像有两个交点，记为T 、K ，若直线TK 把矩形面积分成1：7两部分，请直接写出t 的值．23．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点，26y x =-+CD DE >12y x=()40A -，()04B ，AB ()0k y k x=≠()6C a ，（1）求反比例函数的解析式；（2）如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，试问在x 轴上是否存在一点D ，使的面积与的面积相等，若存在，请求点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）新定义：如图3，在平面内，如果三角形的一边等于另一边的3倍，这两条边中较长的边称为“麒麟边”，两条边所夹的角称为“麒麟角”，则称该三角形为“麒麟三角形”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“麒麟三角形”，为“麒麟边”，为“麒麟角”，其中A ，B 两点在反比例函数图象上，且A 点横坐标为，点C 坐标为，当为直角三角形时，求n 的值．24．如图1，已知点A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足 +（a +b +3）2＝0，平等四边形ABCD的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 中点，双曲线y ＝经过C 、D 两点．（1）a ＝，b ＝；（2）求D 点的坐标；（3）点P 在双曲线y ＝上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q 的坐标；（4）以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图3），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN ⊥HT ，交AB 于N ，当T 在AF 上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若()6E m ，()0k y k x=≠CE AE ，ACD ACE ABC AB BAC ∠n y x=1-()02，ABC k x k xMN HT不改变，请求出其值，并给出你的证明．25．在平面直角坐标系中，已知点，点.（1）若将沿轴向右平移个单位，此时点恰好落在反比例函数的图象上，求的值；（2）若绕点按逆时针方向旋转度.①当时，点恰好落在反比例函数图象上，求的值；②问点能否同时落在(1)中的反比例函数的图象上?若能，直接写出的值；若不能，请说明理由.26．如图，已知直线与双曲线交第一象限于点．（1）求点的坐标和反比例函数的解析式；（2）将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若点C 是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线xOy ()A -()60B -，OAB x m A y =m OAB O α()0α180<<α30= B k y x=k A B ，α2y x =(0)k y k x=≠(4)A m ，A O A 90︒B OB OB C y的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标．27．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y 轴交于点B ．（1）求a ，k 的值；（2）直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC ＝AD ，连接CB ．①求△ABC 的面积；②点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标．28．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于两点，已知．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）一次函数的图象与轴交于点，点（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点的坐标：(0)k y k x=≠D x E 23DCO DEO S S = ：：C 112y x =+()0k y x x =>()3A a ，k y x=y x b =+A B ，()23B ，y x b =+x C D 3OCD S = D（3）若点是坐标轴上一点，点是平面内一点，是否存在点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．29．如图，已知直线y=-2x 与双曲线y=（k<0）上交于A 、B 两点，且点A 的纵坐标为-2 （1）求k 的值；（2）若双曲线y= （k<0）上一点C 的纵坐标为，求△BOC 的面积；（3）若A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形为正方形，直接写出过点P 的反比例函数解析式。

2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题

2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题一、解答题1．如图，在ABC 中，4AC =，3BC =，90ACB ∠=︒，D 是边AC 上一动点（不与点A 、C 重合），CE BD ⊥，垂足为E ，交边AB 于点F ．(1)当点D 是边AC 中点时，求DE ，EC 的值；(2)设CD x =，AF y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；(3)当EFD △与EFB △相似时，求线段CD 的长．2．【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，点C 把线段AB 分成两部分，如果BC AC AC AB=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．(1)【问题发现】如图1，点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，若2AB =，请直接写出CB 的值是__________．(2)【问题探究】如图2，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，在BA 上截取BD BC =，再在AC 上截取AE AD =，则AE AC的值为__________． (3)【问题解决】如图3，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE 得折痕MN ，连接EN ，将AE 折叠到EN 上，点A 对应点H ，得折痕CE ，试说明：C 是AB 的黄金分割点．3．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．(1)如图1，在智慧三角形ABC 中，AD BC ⊥，AD 为该三角形的智慧线，1CD =，则BD 长为_____，B ∠的度数为_____．(2)如图2，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠︒＝，2AB =，F 是斜边BC 延长线上一点，连接AF ，以AF为直角边作等腰直角三角形AFE （点A ，F ，E 按顺时针排列），90EAF ∠=︒, CF =AE 交BC 于点D ，连接EC ，EB ．当2BDE BCE ∠=∠时，求线段ED 的长；(3)如图3，ABC 中，5AB AC ==，BC =BCD △是智慧三角形，且AC 为智慧线，求BCD △的面积．4．【问题提出】如图1，在等边三角形ABC 内部有一点P ，3PA＝，4PB ＝，5PC ＝，求APB ∠的度数．(1)【尝试解决】将APC △绕点A 逆时针旋转60︒，得到AP B '△，连接PP '，则APP '为等边三角形． ∵3P P PA '==，4PB =，5P B PC '==，∴222=P P PB P B ''+∴BPP '为三角形∴APB ∠的度数为．(2)【类比探究】如图2，在等边三角形ABC 外部有一点P ，若∠BP A ＝30°，求证222PA PB PC +=．(3)【联想拓展】如图3，在ABC 中，90BAC ∠︒＝，AB AC ＝．点P 在直线BC 上方且45APB ∠︒＝，PC BC ==求PA 的长．5．已知正方形 ABCD 和正方形 CEFG ，连接 AF 交 BC 于点 O ，点 P 是 AF 的中点，过点 P 作 PH DG ⊥ 于 H ，2CD =，1CG =．(1)如图1，点 D ，C ，G 在同一直线上，点 E 在 BC 边上，求 PH 的长；(2)把正方形 CEFG 绕着点C 逆时针旋转 ()0180αα<<．①如图2，当点E 落在AF 上时，求CO 的长；②如图3，当DG =PH 的长．6．在ABC ∆中，点E 为AC 边上一动点，以CE 为边在CE 上方作等边CEN ．(1)如图1，EN 与AB 交于点P ，连接PC ，若tan A =，1AE =，5CN =，求PC 的长： (2)如图2．当N 与B 重合时，在BC 上取一点D ，过点D 作DF AC ∥，连接BF ，EF ，过C 作CH EF ⊥交EF 于点H ，若30FBC DFE ︒∠-∠=，求证：CH BF +=；(3)如图3，若BC AB ⊥，且4AB BC ==，过点B 作BQ AC ∥，I 为射线.BQ 上一动点，取AC 中点M ，连接MI ，过点B 作BK MI ⊥交M 于点K ，连接NK ，直接写出NK 的最小值．7．问题情境：如图1，在Rt △ABC 和Rt △BEF 中，∠ACB ＝∠EFB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，且M ，N 分别为AE ，CF 的中点．(1)猜想证明：如图2，将Rt △BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变．试判断54AM CN =是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．(2)解决问题：如图3，将图2中的Rt △BEF 沿BF 所在直线折叠得到Rt BE F '，连接AE '，CF ，并分别取它们的中点P ，H ，连接CP ，FP ，PH ．①试判断CP 与FP 之间的数量关系，并说明理由．②若AB ＝2BE '，BC ＝2BF ，请直接写出PH 的长．8．【方法尝试】（1）如图1，矩形ABFC 是矩形ADGE 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转90︒所得的图形，CB ED 、分别是它们的对角线．则CB 与ED 数量关系________，位置关系________．【类比迁移】（2）如图2，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,9,6,3,2BAC DAE AC AB AE AD ∠=∠=︒====．将DAE 绕点A 在平面内逆时针旋转，设旋转角BAE ∠为()0360αα︒<︒，连接,CE BD ．请判断线段CE 和BD 的数量关系和位置关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，在Rt ABC 中，90,6ACB AB ∠=︒=，过点A 作AP BC ∥，在射线AP 上取一点D ，连结CD，使得3tan4ACD∠=，请求写出线段BD的最大值．9．如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD 绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM＋BN＝MN．【实践探究】(1)在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______．(2)如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．(3)【拓展应用】如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长．10．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．(1)猜测探究：在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC 相等的角度，得到线段AN，连接NB．①如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是；②如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．(2)拓展应用：如图3，在△A 1B 1C 1中，A 1B 1＝8，∠A 1B 1C 1＝60°，∠B 1A 1C 1＝75°，P 是B 1C 1上的任意点，连接A 1P ，将A 1P 绕点A 1按顺时针方向旋转75°，得到线段A 1Q ，连接B 1Q ．求线段B 1Q 长度的最小值． 11．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为AC 边上一点，连接BD ，作AP BD ⊥于点P ，过点C 作CE AC ⊥交AP 延长线于点E ．(1)如图1，求证：AD CE =；(2)如图2，以AD ，BD 为邻边作ADBF ，连接EF 交BC 于点G ，连接AG ，①求证：AG EF ⊥；②若点D 为AC 中点，EF 、AB 交于点H ，求BH AB的值． 12．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AC 边上的一点，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连接BD ，P 为BD 中点，连接PC ，PE ．(1)求证：PC PE =；(2)将图1中ADE 绕着点A 顺时针旋转如图2的位置，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由；(3)若10AB =，6AD =，30BAC DAE ∠=∠=︒，在平面内，将Rt ADE △绕点A 旋转一周，当A ，C ，E 三点共线时，请直接写出PCE 的面积．13．如图1，在直角坐标系中，点()2,0A ，点()0,2C ，点D ，点E 分别为OA ，OC 的中点，ODE 绕原点O 顺时针旋转α角（090α︒<<︒）得11OD E ，射线1CD ，1AE 相交于点F ．(1)求证：11OCD OAE △≌△；(2)如图2，在ODE 旋转过程中，当点1D 恰好落在线段CE 上时，求AF 的长；(3)如图3，在旋转α角从090α︒≤≤︒逐渐增大ODE 旋转过程中，求点F 的运动路线长．14．已知ABC 为等边三角形，边长为4，点D 、E 分别是BC 、AC 边上一点，连接AD 、BE ．AE CD =．(1)如图1，若2AE =，求BE 的长度；(2)如图2，点F 为AD 延长线上一点，连接BF 、CF ，AD 、BE 相交于点G ，连接CG ，已知60,∠=︒=EBF CE CG ，求证：2+=BF GE CF ；(3)如图3，点P 是ABC 内部一动点，顺次连接PA PB PC 、、++的最小值．15．【问题提出】（1）如图1，在ABC 中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，设CD 的长为m ，点D 到边AB 的距离为n ，则m _______n ；（填“＞”“＜”或“＝”）【问题探究】（2）如图2，在梯形ABCD 中，90A ∠=︒，AD BC ∥，(201AB =，BD 为对角线，且45BDC ∠=︒，求BCD △面积的最小值；【问题解决】（3）某景点有一个形状为菱形ABCD 的草坪，如图3，AB ==60B ∠︒，现欲将该草坪扩建为BEF △，使得点E 、F 分别在BA 、BC 的延长线上，且边EF 经过点D ，为了节省成本，要求扩建后的草坪面积（BEF △的面积）尽可能小，问BEF △的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．16．综合与实践：数学课外小组研究了两个问题，请你帮助解答．问题一：如图1，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，E ，F 分别为AB ，AD 边的中点，四边形AEGF 为矩形，连接CG ．问题二：数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在平行四边形ABCD 中，=60B ∠︒，6AB =，8AD =，E ，F 分别为AB ，AD 边的中点，四边形AEGF 为平行四边形，连接CG ．数学小组发现DF 与CG 仍然存在着特定的数量关系．(1)请直接写出CG 的长是______．如图2，当矩形AEGF 绕点A 旋转（如顺时针旋转）至点G 落在边AB 上时，DF =______，CG =______，DF 与CG 之间的数量关系是______．(2)当矩形AEGF 绕点A 旋转至如图3的位置时，（1）中DF 与CG 之间的数量关系是否还成立？并说明理由．(3)如图5，当平行四边形ABCD 绕点A 旋转（如顺时针旋转），其它条件不变时，数学小组发现DF 与CG 仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系是______．17．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝CD ，O 是对角线AC 的中点，连接BO 并延长交边AD 或边CD 于点E ．(1)如图1，当点E 在AD 上时，连接CE ，求证：四边形ABCE 是矩形．(2)如图2，当点E 在CD 上时，当AC ＝4，BC ＝3时，求DAC S △与OBC S的比值．(3)若DE ＝2，OE ＝3，直接写出CD 的长．18．已知在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一动点，作点B 关于AE 的对称点F ，BF 交AE 于点G ，连结DF ．(1)如图1，求DFB ∠的度数；(2)如图2，过点D 作DM BF ⊥交BF 的延长线于点M ，连结,CM CF ．若DF CM =，试探究四边形DFCM 的形状，并说明理由；(3)如图3，连结BD ，在AG 上截取=GT GB ，点P ，Q 分别是,AD BD 上的动点．若正方形ABCD 的面积为32，直接写出PTQ 周长的最小值．。

中考数学压轴题专题十动态几何问题

中考数学压轴题专题十动态几何问题试题特点用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形等）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想．其主要类型有：1．点的运动（单点运动、多点运动）；2．线段（直线）的运动；3．图形的运动（三角形运动、四边形运动、圆运动等）．方式趋势动态几何题已成为中考试题的一大热点题型．在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，总体呈现源于教材、高于教材，入口宽、难易适度、梯度分明，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力．热点解析一、点的运动【题1】（2011盐城）如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y＝43x的图象交于点A，且与x轴交于点B．(1)求点A和点B的坐标；(2)过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴，动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O－C－A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【思路】(1)联立方程y＝－x＋7和y＝43x即可求出点A的坐标，令－x＋7＝0即可得点B的坐标．(2)①只要把三角形的面积用t表示，求出即可．应注意分P在OC上运动和P在CA上运动两种情况．（D只要把有关线段用t表示，找出满足AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件时t的值即可，应注意分别讨论P在OC上运动（此时直线∠与AB相交）和P在CA上运动（此时直线∠与AO相交）时AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件．【失分点】以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形有多种可能，容易考虑不周．【反思】涉及的主要知识点有：一次函数的图象和性质，解二元一次方程组，勾股定理，锐角三角函数，解一元二次方程，等腰三角形的判定．【牛刀小试】1．（2010湖北咸宁）如图6，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AD＝2DC＝4，AB＝6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C－D－A向点A运动，当点M到达点B 时，两点同时停止运动．过点M作直线∠∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A－C －B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．(1)当t＝时，求线段QM的长．(2)当0<t<2时，如果以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值．(3)当t>2时，连接PQ交线段AC于点R，请探究CQRQ是否为定值．若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．2．（2010湖南娄底）如图7，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，DC＝10，AD＝BC＝5，点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂足分别为E，F．(1)求梯形ABCD的面积．(2)探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由．(3)探究二：四边形MNFF能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．3．(2010广西钦州)如图8，将OA＝6，AB＝4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒1个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点0运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了ts时，过点N作NP⊥BC，交OB 于点P，连接MP．(1)点B的坐标为_______；用含￡的式子表示点P的坐标为_______．(2)记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式(0<t<6)．并求t为何值时，S有最大值．(3)试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的13？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．二、线的运动【题2】（2010云南昭通）如图，已知直线l的解析式为y＝－x＋6，它与x轴，y 轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l．直线n与x轴，y轴分别相交于C，D两点．线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S．当直线n与直线l重合时，运动结束．(1)求A，B两点的坐标．(2)求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围．(3)直线n在运动过程中，①当t为何值时，半圆与直线l相切？②是否存在这样的T值，使得半圆面积S＝12S梯形ABCD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由。

初中数学压轴题--动态几何证明及实验题

动态几何证明及实验题所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查．动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。

解这类题目要“以静制动〞，即把动态问题，变为静态问题来解。

解动态几何题一般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系〔如等量关系、变量关系〕、图形位置关系〔如图形的特殊状态、图形间的特殊关系〕等进行研究考察．抓住变化中的“不变量〞，以不变应万变．实验操作【要点导航】通过实验操作——观察猜想——科学论证，使我们体验和学到了发现、获得知识的过程和方法. 实验操作探索——理解题意、实验操作是根本保证，观察猜想、探索结论是关键，论证猜想的结论是落实.【典例精析】例1 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，如图1；第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为B '，得R t △AB 'E ，如图2；第三步：沿EB '线折叠得折痕EF ，使A 点落在EC 的延长线上，如图3．利用展开图4探究：〔1〕△AEF 是什么三角形？证明你的结论；〔2〕对于任一矩形，按照上述方法能否折出这种三角形？请说明你的理由．【思路分析】1．图形翻折后能重叠局部的图形全等，所以∠BEA =∠AEB '=∠FEC ，它们都是60°角，所以△AEF 是等边三角形．2．由操作可知AF >AD 时，不能完整折出这种三角形．当图3中的点F 、D 重合时，便可求得矩形的长与宽的比例为2︰3．解〔1〕△AEF 是等边三角形．由折叠过程可得：60BEA AEF FEC ∠=∠=∠=︒．因为BC ∥AD ，所以60AFE FEC ∠=∠=︒．所以△AEF 是等边三角形．图1图2图3图4〔2〕不一定．当矩形的长恰好等于等边△AEF 的边AF 时，即矩形的宽∶长＝AB ∶AF ＝2:3时正好能折出．如果设矩形的长为A ，宽为B ，可知当a b 23≤时，按此种方法一定能折叠出等边三角形；当a b a ＜＜23时，按此法无法折出完整的等边三角形．〖方法点睛〗要从操作实验题中抽象出数学模型来，并借助图形运动的根本性质求解．例2 ：在△ABC 中，∠BAC =90°，M 为BC 中点．操作：将三角板的90°角的顶点与点M 重合，并绕着点M 旋转，角的两边分别与边AB 、AC 相交于点E 、F ．〔1〕探究1：线段BE 、EF 、FC 是否能构成三角形？如果可以构成三角形，那么是什么形状的三角形？请证明你的猜想．〔2〕探究2：假设改变为：“角的两边分别与边AB 、直线AC 相交于点E 、F ．〞其它条件都不变的情况下，那么结论是否还存在？请画出对应的图形并请证明你的猜想．〖思路分析〗1．由点M 是BC 中点，所以构造绕点M 旋转180°重合的全等三角形，将线段BE 、EF 、FC 移到同一个三角形中．2．当角的两边分别与边AB 、直线AC 相交于点E 、F 时，构造和证明的方法不变．证明〔1〕线段BE 、EF 、FC 可以构成直角三角形．如图1，延长EM 到G ，使得EM =M G ，联结GC 、FG ．因为M 为BC 中点，所以BM =CM ，又因为∠EMB =∠GMC ，EM =M G ，所以△EMB ≌△GMC ，所以BE =GC ，EM =MG ，∠B =∠MCG ．因为FM 垂直平分EG ，所以FE =FG ．又因为∠BAC =90°，所以∠B +∠ACB =90°，所以∠MCG +∠ACBFCG =90°，所以222FG FC GC =+，所以22FC BE =+〔2〕如图2，当点F 在CA 的延长线上时，延长EM 到G ，联结GC 、FG ．因为M 为BC 中点，所以BM =CM ，又因为∠=∠GMC ，EM =EG ，所以△EMB ≌△GMC ，所以BE =GC ，EM =∠B =∠MCG ．因为FM 垂直平分EG ，所以FE =FG ∠BAC =90°，所以∠B +∠ACB =90°，所以∠MCG +∠ACB =90M即∠FCG =90°，所以222FG FC GC =+，所以222EF FC BE =+．如图3，当点F 在AC 的延长线上时，同理可证222EF FC BE =+．〖方法点睛〗线段之间常见的关系是和差关系或者满足勾股定理．假设能将所要求线段移动到同一条直线上，那么线段之间是和差关系的可能性较大，假设能将所要求线段移动后能构成三角形，那么线段之间满足勾股定理的可能性较大．【星级训练】第天，年月日1. ★★★如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上〔点E 与点A 、B 不重合〕，过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ．〔1〕操作：由几个不同的位置，分别测量BF 、AG 、AE 的长，从中你能发现BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；〔2〕连结DF ，如果正方形的边长为2，设AE=x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；〔3〕如果正方形的边长为2，FG 的长为25，求点C 到直线DE 的距离．2. ★★★操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ．探究：设A 、P 两点间的距离为x ．〔1〕当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；〔2〕当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；〔3〕当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 的值；如果不可能，试说明理由．〔图5、图6、图7的GF D ACBD ACB供试验操作用形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用〕3. ★★★在△ABC 中，AB =AC ，CG ⊥BA 交BA 的延长线于点G ．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B ．〔1〕在图1中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想；〔2〕当三角尺沿AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥BA 于点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度，猜想并写出DE ＋DF 与CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；〔3〕当三角尺在〔2〕的根底上沿AC 方向继续平移到图3所示的位置〔点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合〕时，〔2〕中的猜想是否仍然成立？〔不用说明理由〕4. ★★如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．实验与探究：〔1〕由图观察易知A 〔0，2〕关于直线l 的对称点A '的坐标为〔2，0〕，请在图中分别标明B (5,3) 、C (-2,5) 关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出他们的坐标：B ' 、C ' ；归纳与发现：〔2〕结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐DACB图5DACB图6DACB图7图3图1标平面内任一点P (a ,b )关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为〔不必证明〕；运用与拓广：〔3〕两点D (1,-3)、E (-1,-4)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标．探索性问题探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：〔1〕条件探索型问题；〔2〕结论探索型问题；〔3〕探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．条件探索【要点导航】“探索〞是人类认识客观世界过程中最生动、最活泼的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，数学中的“条件探索〞题型，是指命题中缺少一定的题设，需经过推断、补充并加以证明的命题，因而必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，由结论去探索未给予的条件。

中考数学模拟题《几何综合》专项测试题(附带参考答案)

中考数学模拟题《几何综合》专项测试题(附带参考答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。

动态几何问题经常在各地以中考试卷解答压轴题出现也常会出现在选择题最后一题的位置考察知识面较广综合性强可以提升学生的空间想象能力和综合分析问题的能力但同时难度也很大令无数初中学子闻风丧胆考场上更是丢盔弃甲解题思路1 熟练掌握平面几何知识﹕要想解决好有关几何综合题首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识尤其是要重点把握三角形特殊四边形圆及函数三角函数相关知识．几何综合题重点考查的是关于三角形特殊四边形（平行四边形矩形菱形正方形）圆等相关知识2 掌握分析问题的基本方法﹕分析法综合法“两头堵”法﹕1）分析法是我们最常用的解决问题的方法也就是从问题出发执果索因去寻找解决问题所需要的条件依次向前推直至已知条件例如我们要证明某两个三角形全等先看看要证明全等需要哪些条件哪些条件已知了还缺少哪些条件然后再思考要证缺少的条件又需要哪些条件依次向前推直到所有的条件都已知为止即可综合法﹕即从已知条件出发经过推理得出结论适合比较简单的问题3）“两头堵”法﹕当我们用分析法分析到某个地方不知道如何向下分析时可以从已知条件出发看看能得到什么结论把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略3 注意运用数学思想方法﹕对于几何综合题的解决我们还要注意运用数学思想方法这样会大大帮助我们解决问题或者简化我们解决问题的过程加快我们解决问题的速度毕竟考场上时间是非常宝贵的．常用数学思想方法﹕转化类比归纳等等模拟预测1 （2024·江西九江·二模）如图在矩形()ABDC AB AC >的对称轴l 上找点P 使得PAB PCD 、均为直角三角形则符合条件的点P 的个数是（）A ．1B ．3C ．4D ．52 （2024·江西吉安·模拟预测）如图在平面直角坐标系中边长为23ABC 的顶点A B ，分别在y 轴的正半轴 x 轴的负半轴上滑动连接OC 则OC 的最小值为（）A ．2B ．3C ．33D ．333 （2024·江西吉安·一模）如图矩形ABCD 中 4AB = 6AD = 点E 在矩形的边上则当BEC 的一个内角度数为60︒时符合条件的点E 的个数共有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个4 （2023·江西·中考真题）如图在ABCD 中 602B BC AB ∠=︒=，将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0360α︒<<︒）得到AP 连接PC PD ．当PCD 为直角三角形时旋转角α的度数为．5 （2024·江西吉安·二模）如图在矩形ABCD 中 6,10,AB AD E ==为CD 的中点点P 在AE 下方矩形的边上．当APE 为直角三角形且P 为直角顶点时 BP 的长为．6 （2024·江西九江·二模）如图在平面直角坐标系中已知矩形OABC 的顶点()20,0A ()0,8C D 为OA 的中点点P 为矩形OABC 边上任意一点将ODP 沿DP 折叠得EDP △ 若点E 在矩形OABC 的边上则点E 的坐标为．7 （2024·江西·模拟预测）如图 ABC 中 AB AC = 30A ∠=︒ 射线CP 从射线CA 开始绕点C 逆时针旋转α角()075α︒<<︒ 与射线AB 相交于点D 将ACD 沿射线CP 翻折至A CD '△处射线CA '与射线AB 相交于点E ．若A DE '是等腰三角形则α∠的度数为．8 （2024·江西赣州·二模）在Rt ABC △中已知90C ∠=︒ 10AB = 3cos 5B = 点M 在边AB 上点N 在边BC 上且AM BN = 连接MN 当BMN 为等腰三角形时 AM = ．9 （2024·江西吉安·模拟预测）如图在矩形ABCD 中 6,10AB AD == E 为BC 边上一点 3BE = 点P 沿着边按B A D →→的路线运动．在运动过程中若PAE △中有一个角为45︒ 则PE 的长为．10 （2024·江西吉安·三模）如图在ABC 中 AB AC = 30B ∠=︒ 9BC = D 为AC上一点 2AD DC = P 为边BC 上的动点当APD △为直角三角形时 BP 的长为．11 （2024·江西吉安·一模）如图矩形ABCD 中 4AB = 6AD = E 为CD 的中点连接BE 点P 在矩形的边上且在BE 的上方则当BEP △是以BE 为斜边的直角三角形时 BP 的长为．12 （2024·江西九江·二模）如图在等腰ABC 中 2AB AC == 30B ∠=︒ D 是线段BC 上一动点沿直线AD 将ADB 折叠得到ADE 连接EC ．当DEC 是以DE 为直角边的直角三角形时则BD 的长为．13 （2024·江西·模拟预测）如图在菱形ABCD 中对角线AC BD 相交于点O 23AB = 60ABC ∠=︒ E 为BC 的中点 F 为线段OD 上一动点当AEF △为等腰三角形时 DF 的长为．14 （2024·江西上饶·一模）如图在三角形纸片ABC 中 90,60,6C B BC ∠=︒∠=︒= 将三角形纸片折叠使点B 的对应点B '落在AC 上折痕与,BC AB 分别相交于点E F 当AFB '为等腰三角形时 BE 的长为．15 （2024·江西抚州·一模）课本再现（1）如图1 CD 与BE 相交于点,A ABC 是等腰直角三角形 90C ∠=︒ 若DE BC ∥ 求证：ADE 是等腰直角三角形．类比探究（2）①如图2 AB 是等腰直角ACB △的斜边 G 为边AB 的中点 E 是BA 的延长线上一动点过点E 分别作AC 与BC 的垂线垂足分别为,D F 顺次连接,,DG GF FD 得到DGF △ 求证：DGF △是等腰直角三角形．②如图3 当点E 在边AB 上且①中其他条件不变时 DGF △是等腰直角三角形是否成立？_______（填“是”或“否”）．拓展应用（3）如图4 在四边形ABCD 中 ,90,BC CD BCD BAD AC =∠=∠=︒平分BAD ∠ 当1,22AD AC == 求线段BC 的长．16 （2023·江西·中考真题）课本再现思考我们知道菱形的对角线互相垂直．反过来对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理小明同学画出了图形（如图1）并写出了“已知”和“求证”请你完成证明过程．已知：在ABCD中对角线BD AC⊥垂足为O．求证：ABCD是菱形．(2)知识应用：如图2在ABCD中对角线AC和BD相交于点O586AD AC BD===，，．①求证：ABCD是菱形②延长BC至点E连接OE交CD于点F若12E ACD∠=∠求OFEF的值．17 （2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板()90,60PEF P F ∠=︒∠=︒的一个顶点放在正方形中心O 处并绕点O 逆时针旋转探究直角三角板PEF 与正方形ABCD 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．(1)操作发现：如图1 若将三角板的顶点P 放在点O 处在旋转过程中当OF 与OB 重合时重叠部分的面积为__________ 当OF 与BC 垂直时重叠部分的面积为__________ 一般地若正方形面积为S 在旋转过程中重叠部分的面积1S 与S 的关系为__________(2)类比探究：若将三角板的顶点F 放在点O 处在旋转过程中 ,OE OP 分别与正方形的边相交于点M N ．①如图2 当BM CN =时试判断重叠部分OMN 的形状并说明理由②如图3 当CM CN =时求重叠部分四边形OMCN 的面积（结果保留根号）(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O 处该锐角记为GOH ∠（设GOH α∠=）将GOH ∠绕点O 逆时针旋转在旋转过程中 GOH ∠的两边与正方形ABCD 的边所围成的图形的面积为2S 请直接写出2S 的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）（参考数据：6262sin15tan1523-+︒=︒=︒=18 （2024·江西吉安·二模）如图在ABC 和ADE 中 (),AB AC AD AE AD AB ==< 且BAC DAE ∠=∠．连接CE BD ．(1)求证：BD CE =．(2)在图2中点B D E 在同一直线上且点D 在AC 上若,AB a BC b == 求AD CD的值（用含a b 的代数式表示）．19 （2024·江西九江·二模）初步探究（1）如图1 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O AC BD ⊥ 且ABD CBD S S = 则OA 与OC 的数量关系为．迁移探究（2）如图2 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O ABD CBD SS = （1）中OA 与OC 的数量关系还成立吗？如果成立请说明理由．拓展探究（3）如图3 在四边形ABCD 中 ,AC BD 相交于点O 180,ABD CBD BAD BCD S S ∠∠+=︒=△△ 且 33OB OD == 求AC 的长．20 （2024·江西九江·二模）课本再现如图1 四边形ABCD 是菱形 30ACD ∠=︒ 6BD =．（1）求,AB AC 的长．应用拓展（2）如图2 E 为AB 上一动点连接DE 将DE 绕点D 逆时针旋转120︒ 得到DF 连接EF ．①直接写出点D 到EF 距离的最小值②如图3 连接,OF CF 若OCF △的面积为6 求BE 的长．21 （2024·江西赣州·三模）某数学小组在一次数学探究活动过程中经历了如下过程：AB=P为对角线AC上的一个动点以P为直角顶问题提出：如图正方形ABCD中8△．点向右作等腰直角DPM(1)操作发现：DM的最小值为_______ 最大值为_______(2)数学思考：求证：点M在射线BC上=时求CM的长．(3)拓展应用：当CP CM22 （2024·江西赣州·二模）【课本再现】思考我们知道角的平分线上的点到角的两边的距离相等反过来角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗？可以发现并证明角的平分线的性质定理的逆定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【定理证明】（1）为证明此逆定理某同学画出了图形并写好“已知”和“求证” 请你完成证明过程．已知：如图1 在ABC ∠的内部过射线BP 上的点P 作PD BA ⊥ PE BC ⊥ 垂足分别为D E 且PD PE =．求证：BP 平分ABC ∠．【知识应用】（2）如图2 在ABC 中过内部一点P 作PD BC ⊥ PE AB ⊥ PF AC ⊥ 垂足分别为D E F 且PD PE PF == 120A ∠=︒ 连接PB PC ．①求BPC ∠的度数②若6PB=23PC=求BC的长．23 （2024·江西吉安·模拟预测）一块材料的形状是锐角三角形ABC下面分别对这块材料进行课题探究：课本再现：（1）在图1中若边120mmBC=高80mmAD=把它加工成正方形零件使正方形的一边在BC上其余两个顶点分别在AB AC上这个正方形零件的边长是多少?类比探究（2）如图2 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成3个相同大小的正方形零件请你探究高AD与边BC的数量关系并说明理由．拓展延伸（3）①如图3 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的4个相同大小的正方形零件则ADBC的值为_______（直接写出结果）②如图4 若这块锐角三角形ABC材料可以加工成图中所示的()3n m≥相同大小的正方形零件求ADBC的值．24 （2024·江西吉安·三模）课本再现矩形的定义有一个角是直角的平行四边形是矩形．定义应用(1)如图1 已知：在四边形ABCD 中 90A B C ∠=∠=∠=︒用矩形的定义求证：四边形ABCD 是矩形．(2)如图2 在四边形ABCD 中 90A B ∠=∠=︒ E 是AB 的中点连接DE CE 且DE CE = 求证：四边形ABCD 是矩形．拓展延伸(3)如图3 将矩形ABCD 沿DE 折叠使点A 落在BC 边上的点F 处若图中的四个三角形都相似求AB BC的值．25 （2024·江西吉安·一模）课本再现在学习了平行四边形的概念后进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．=（1）如图1 在平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于点O 求证：OA OC =．OB OD知识应用=延长AC到E 使得（2）在ABC中点P为BC的中点．延长AB到D 使得BD AC∠=︒请你探究线段BE与线段AP之间的BACCE AB=连接DE．如图2 连接BE若60数量关系．写出你的结论并加以证明．26 （2024·江西九江·二模）问题提出在综合与实践课上某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1 在边长为4的正方形ABCD 的中心作直角EOF ∠ EOF ∠的两边分别与正方形ABCD 的边BC CD 交于点E F （点E 与点B C 不重合）将EOF ∠绕点O 旋转．在旋转过程中四边形OECF 的面积会发生变化吗？爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路．浩浩：如图a 充分利用正方形对角线垂直相等且互相平分等性质证明了OEC OFD ≌ 则OEC OFD S S = OEC OCF OFD OCF OCD OECF S S S S S S =+=+=四边形．这样就实现了四边形OECF 的面积向OCD 面积的转化．小航：如图b 考虑到正方形对角线的特征过点O 分别作OG BC ⊥于点G OH CD ⊥于点H 证明OGE OHF ≌△△ 从而将四边形OECF 的面积转化成了小正方形OGCH 的面积．（1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到OECF S =四边形__________ CE CF +=__________．类比探究（2）①如图⒉ 在矩形ABCD 中 3AB = 6AD = O 是边AD 的中点 90EOF ∠=︒ 点E 在AB 上点F 在BC 上则EB BF +=__________．②如图3 将问题中的正方形ABCD 改为菱形ABCD 且45ABC ∠=︒ 当45EOF ∠=︒时其他条件不变四边形OECF 的面积还是一个定值吗？若是请求出四边形OECF 的面积若不是请说明理由．拓展延伸（3）如图4 在四边形ABCD 中 7AB = 2DC = 60BAD ∠=︒ 120BCD ∠=︒ CA 是BCD ∠的平分线求四边形ABCD 的面积．27 （2024·江西九江·模拟预测）【课本再现】（1）如图1 四边形ABCD 是一个正方形 E 是BC 延长线上一点且AC EC = 则DAE ∠的度数为．【变式探究】（2）如图2 将（1）中的ABE 沿AE 折叠得到AB E ' 延长CD 交B E '于点F 若2AB = 求B F '的长．【延伸拓展】（3）如图3 当（2）中的点E 在射线BC 上运动时连接B B ' B B '与AE 交于点P ．探究：当EC 的长为多少时 D P 两点间的距离最短？请求出最短距离．28 （2024·江西上饶·一模）课本再现：（1）如图1 ,D E 分别是等边三角形的两边,AB AC 上的点且AD CE =．求证：CD BE =．下面是小涵同学的证明过程：证明：ABC 是等边三角形,60AC BC A ACB ∴=∠=∠=︒．AD CE =()SAS ADC CEB ∴≌CD BE ∴=．小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：BFD ∠的度数是______迁移应用：（2）如图2 将图1中的CD 延长至点G 使FG FB = 连接,AG BG ．利用（1）中的结论完成下面的问题．①求证：AG BE ∥②若25CF BF = 试探究AD 与BD 之间的数量关系．参考答案考点解读在中考数学中有这么一类题它是以点线几何图形的运动为载体集合多个代数知识几何知识及数学解题思想于一题的综合性试题它就是动态几何问题。

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2023年九年级数学中考专题：动态几何综合压轴题1．如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转．若B 、P 在直线a 的异侧，BM △直线a 于点M ，CN △直线a 于点N ，连接PM 、PN ；（1）延长MP 交CN 于点E （如图2）． △求证：△BPM △△CPE ； △求证：PM ＝PN ；（2）若直线a 烧点A 旋转到图3的位置时，点B 、P 在直线a 的同侧，其它条件不变．此时PM ＝PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变．请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM ＝PN 还成立吗？（不必说明理由）2．如图△，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，AB BC =，延长CA 至点E ，作DE CE ⊥交BA 的延长线于点D ，连接CD ，点F 为CD 的中点，连接EF ，BF ．（1）直接写出线段EF 和BF 之间的数量关系为______．（2）将ADE 绕A 顺时针旋转到图△的位置，猜想EF 和BF 之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC =:5AD BC =，将ADE 绕点A 顺时针旋转，当A ，E ，B 共线时，请直接写出EF 的长．3．如图，O 是正ABC 内一点，OA ＝3，OB ＝4，OC ＝5，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO ′，连接AO ′、OO ′，（1）OO ′＝．（2）求△AOB 的度数及四边形AOB O '的面积．（3）直接写出AOC AOB S S +△△的值，AOC AOB S S +△△＝．4．如图1，在△ABC 中，△C =90°，△ABC =30°，AC =1，D 为△ABC 内部的一动点（不在边上），连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转60°，使点B 到达点F 的位置；将线段AB 绕点B 顺时针旋转60°，使点A 到达点E 的位置，连接AD ，CD ，AE ，AF ，BF ，EF ．（1）求证：△BDA △△BFE ；（2）△CD +DF +FE 的最小值为； △当CD +DF +FE 取得最小值时，求证：AD △BF ．（3）如图2，M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，连接MP ，NP ，在点D 运动的过程中，请判断△MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．5．已知在ABC 中，O 为BC 边的中点，连接AO ，将AOC 绕点O 顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF ，连接AE ，CF ．（1）如图1，当△BAC ＝90°且AB ＝AC 时，则AE 与CF 满足的数量关系是；（2）如图2，当△BAC ＝90°且AB ≠AC 时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO 到点D ，使OD ＝OA ，连接DE ，当AO ＝CF ＝5，BC ＝6时，求DE 的长．6．已知，在ABC 中，AB AC =，D 是平面上一点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转至点E ，使DAE BAC ∠=∠．连接DE 并延长，交AB 于点O ，交BC 于点F ．连接BD 和CE ，CE 的延长线分别交AB ，BD 于点P ，G ．（1）如图1，求证：BGC DAE ∠=∠；（2）如图2，若点F 是BC 的中点，//AD CB ，求证12AE BC =；（3）在（2）的条件下，若G 是BD 的中点，连接,OG FG ．当5,3AB AD ==时，请直接写出OFG △的周长．7．【问题探究】（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，△ACB＝△DCE＝90°，点B，D，E 在同一直线上，连接AD，BD．△请探究AD与BD之间的位置关系？并加以证明．△若AC＝BC，DC＝CE AD的长．【拓展延伸】（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，△ACB＝△DCE＝90°，AC BC，CD CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角△BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．8．如图1和图2，四边形ABCD中，已知AD＝DC，△ADC＝90°，点E、F分别在边AB、BC上，△EDF＝45°．（1）观察猜想：如图1，若△A、△DCB都是直角，把△DAE绕点D逆时针旋转90°至△DCG，使AD与DC重合，易得EF、AE、CF三条线段之间的数量关系，直接写出它们之间的关系式_____；（2）类比探究：如图2，若△A、△C都不是直角，则当△A与△C满足数量关系_____时，EF、AE、CF三条线段仍有（1）中的关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在△ABC中，△BAC＝90°，AB＝AC＝D、E均在边BC上，且△DAE＝45°，若BD＝1，求AE的长．9．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC 、BE ，点P 为DC 的中点．（1）观察图1，猜想线段AP 与BE 的数量关系是______，位置关系是______；（2）把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由；（3）把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若6DE =，10BC =，请直接写出线段AP 长的取值范围．10．已知AOB 和△MON 都是等腰直角三角形，△AOB ＝△MON ＝90°．（1）如图1：连AM ，BN ，求证：AOM △BON ；（2）若将Rt MON 绕点O 顺时针旋转，当点A ，M ，N 恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH //BN ，OH 与AM 交点为H ，若OB ＝4，ON ＝3，求出线段AM 的长；（3）若将MON 绕点O 顺时针旋转，当点N 恰好落在AB 边上时，如图3所示，MN 与AO 交点为P ，求证：MP 2+PN 2＝2PO 2．11．如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD 绕点A 顺时针旋转90°，得到AE ，连接DE ．（1）如图1所示，若4BC =，在D 点运动过程中，当8tan 11BDE ∠=时，求线段CD 的长．（2）如图2所示，点F 是线段DE 的中点，连接BF 并延长交CA 延长线于点M ，连接DM ，交AB 于点N ，连接CF ，AF ，当点N 在线段CF 上时，求证：AD BF CF +=．（3）如图3，若AB =ABC 绕点A 顺时针旋转得AB C ''△，连接CC '，P 为线段CC '上一点，且CC ''=，连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BQ ，连接PQ ，K 为PQ 的中点，连接CK ，请直接写出线段CK 的最大值．12．已知：如图1，将一块45︒角的直角三角板DEF 与正方形ABCD 的一角重合，连结AF 、CE ，点M 是CE 的中点，连结DM ．（1）请你猜想AF 与DM 的数量关系是___________．（2）如图2，把正方形ABCD 绕着点D 逆时针旋转α角（090α︒<<︒）． △AF 与DM 的数量关系是否仍成立，若成立，请证明：若不成立，请说明理由；△若60α=︒，且3FDM MDC ∠=∠，求DEDC的值．13．在等腰直角三角形ABC 中，290AC BC ACB ==∠=︒，，点M 为射线CA 上一个动点．过点M 作ME BM ⊥，交射线BA 于E ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转90︒得到线段BN ，过点N 作NF BN ⊥交BC 延长线于点F ，连接EF ．（1）如图1，当点M 在边AC 上时，线段,,EM EF NF 的数量关系为_______；（2）如图2，当点M 在射线CA 上时，判断线段,,EM EF NF 的数量关系并说明理由；（3）当点M 在射线CA 上运动时，能否存在BEF △为等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出CM 的长．14．如图，等腰Rt CEF 绕正方形ABCD 的顶点C 顺时针旋转，且AB CE EF ==，90CEF ∠=︒．连接AF 与射线BE 交于点G ．（1）如图1，当点B 、C 、F 三点共线时，则ABE ∠ FEM ∠（填“＞”、“＝”或“＜”），则AG FG （填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）如图2，当点B 、C 、F 三点不共线时，求证：AG GF =；（3）若等腰CEF △从图1的位置绕点C 顺时针旋转α（090α︒<≤︒），当直线AB 与直线EF 相交构成的4个角中最小角为30°时，直接写出α的值．15．在菱形ABCD 中，4AB =，60ABC ∠=︒，E 是对角线AC 上一点，F 是线段BC 延长线上一点，且CF AE =，连接BE 、EF ．（1）如图1，若E 是线段AC 的中点，求EF 的长；（2）如图2，若E 是线段AC 延长线上的任意一点，求证：BE EF =．（3）如图3，若E 是线段AC 延长线上的一点，12CE AC =，将菱形ABCD 绕着点B 顺时针旋转α︒(0360)α≤≤，请直接写出在旋转过程中DE 的最大值．16．如图，等边三角形ABC 中，D 为AB 边上一点（点D 不与点,A B 重合），连接CD ，将CD 平移到BE （其中点B 和C 对应），连接AE ．将BCD △绕着点B 逆时针旋转至BAF △，延长AF 交BE 于点G ．（1）连接DF ，求证：BDF 是等边三角形；（2）求证：,,D F E 三点共线；（3）当2BG EG =时，求tan AEB ∠的值．17．ABC 为等边三角形，CD AB ⊥于点D ，点E 为边BC 上一点，点F 为线段CD 上一点，连接EF ，且CE EF =．（1）如图1，若342AB CE ==,，连接BF ，G 为BF 的中点，连接DG ，求线段DG 的长：（2）如图2，将CEF △绕点C 逆时针方向旋转一定的角度得到CMN ，连接BN ，点H为BN 的中点，连接AH HM ,，求证：AH =：（3）如图3，在（2）问的条件下，线段HM 与线段CN 交于点P ，连接AM ，交线段CN 于点Q ，当2CQ PN a ==时，请直接用含a 的式子表示PQ 的长．18．在ABC 中，90ACB ∠=︒．将ABC 绕点C 逆时针旋转一定角度（旋转角度不大于180︒），得到DEC （点D ，E 分别与点A ，B 对应），连接AD ，BE ．（1）如图1，当点A ，C ，E 在同一条直线上时，直接写出AD 与BE 的位置关系为__________；（2）如图2，当点D 落在AB 上时，（点D 不与点A 重合），请判断AD 与BE 的位置关系，并证明你的结论；（3）如图3，将ABC 绕点C 逆时针旋转60︒时，延长AD 与直线BC ，BE 分别相交于点F ，G ，连接CG ，试探究线段CG 与DE 之间满足的数量关系，并说明理由．19．如图△，在矩形ABCD 中，1AB =，对角线AC ，BD 相交于点O ，60COD ∠=︒，点E 是线段CD 上一点，连接OE ，将线段OE 绕点O 逆时针旋转60︒得到线段OF ，连接DF ．（1）求证：DF CE =；（2）连接EF 交OD 于点P ，求DP 的最大值；（3）如图△，点E 在射线CD 上运动，连接AF ，在点E 的运动过程中，若AF AB =，求OF 的长．20．将等边三角形ABC 如图放置在平面直角坐标系中，8AB =，E 为线段AO 的中点，将线段AE 绕点A 逆时针旋转60°得线段AF ，连接EF ．（△）如图1，求点E 的坐标；（△）在图1中，EF 与AC 交于点G ，连接EC ，N 为EC 的中点，连接NG ，求线段NG 的长．请你补全图形，并完成计算；（△）如图2，将AEF △绕点A 逆时针旋转，M 为线段EF 的中点，N 为线段CE 的中点，连接MN ，请直接写出在旋转过程中MN 的取值范围．参考答案：1．（2）成立（3）四边形MBCN的是矩形，PM=PN．2．（1）EF BF=；（2）FE FB=，（33．（1）4；（2）150°，（3）64．（2）（3）是，△MPN=30°．5．（1）AE CF=；（2）成立，（36．（3）47．（1）△AD BD⊥；△4；（2）8．（1）EF＝AE＋CF；（2）△A＋△C＝180°；（39．（1）12AP BE=，AP BE⊥；（2）12AP BE=，AP BE⊥仍成立；（3AP≤≤．10．（2；11．（1）3219；（3）312．（1）AF＝2DM，（2）△AF＝2DM仍然成立；13．（1）结论：EM+EF=FN；（2）结论：EF=EM=FN；（3）2或2+14．（1）=；=；（3）15°或75°15．（1）（3）16．tan AEB∠=17．（1；（318．（1）AD BE⊥；（2）AD BE⊥，（3）CG DE=19．（2）DP的最大值为14；（3）1OF=20．（△）(0,E；（△；（△）44MN≤≤答案第1页，共1页。