7第七章归纳推理
2021年数学一轮复习考点与题型总结：第七章不等式、推理与证明
解析 答案
-53-
考点1
考点2
考点3
考向三 求非线性目标函数的最值
关闭
A.4 B.9 C.10 D.12 思考如何利用可行域求非线性目标函数最值?
关闭
解析 答案ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-54-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.利用可行域求线性目标函数最值的方法:首先利用约 束条件作出可行域,然后根据目标函数找到最优解时的点,最后把 解得点的坐标代入求解即可.
关闭
答案
-30-
考点1
考点2
考点3
解析:(1)∵x>1,y>1,∴lg x>0,lg y>0,由题意得lg x+lg y=4,即
xy=104.
-31-
考点1
考点2
考点3
-32-
考点1
考点2
考点3
-33-
考点1
考点2
考点3
-34-
考点1
考点2
考点3
例5要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容 器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容 关闭
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最 低?
(2)该单位每月能否获利?如果获利,那么求出最大利润;如果不获 利,那么需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损?
-37-
考点1
考点2
考点3
知识梳理
-38-
知识梳理 双基自测
12
2.线性规划的相关概念
线性约束条件
可行解 最大值
12345
5.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和
第七章 归纳逻辑
第七章归纳逻辑一、名词解释1.确证度2.概率二、选择题1．在我国的城市中，北京人口超过700万，上海超过700万，天津超过700万，重庆超过700万，因此，我国所有直辖市人口都超过700万，这一推理属于A.必然性推理B.或然性推理C.不完全归纳推理D.完全归纳推理E.统计归纳推理2．人们早已知道，某些生物的活动是按时间的变化（昼夜交替或四季变更）来进行的，具有时间上的周期性节律，如鸡叫三遍天亮，青蛙冬眠春晓，大雁春来秋往，牵牛花破晓开放等等。
人们由此作出概括：凡生物的活动都受生物钟支配，具有时间上的周期性节律。
下述哪段议论的认证手法与上面所使用的方法不同？A.麻雀会飞，乌鸦会飞，大雁会飞，天鹅、秃鹫、喜鹊、海鸥等等也会飞，所以，所有的鸟都会飞。
B.我们磨擦冻僵的双手，手便暖和起来；我们敲击石块，石块会发出火光；我们用锤子击铁块，铁块也能热到发红；古人还通过钻木取火，所以，任何两个物体的磨擦都能生热。
C.在我们班上，我不会讲德语，你不会讲德语，红霞不会讲德语，大刚也不会讲德语，所以，我们班没有人会讲德语。
D.外科医生在给病人做手术时可以看X光片，律师在为被告辩护时可以查看辩护书，建筑师在盖房子时可以对照设计图，教师备课可以看各种参考书，为什么独独不允许学生在考试时看教科书及其相关的资料？E.张山是湖南人，他爱吃辣椒；李司是湖南人，他也爱吃辣椒；王武是湖南人，更爱吃辣椒。
我所碰到的几个湖南人都爱吃辣椒。
所以，所有的湖南人都爱吃辣椒。
3．“试点综合症”的问题屡见不鲜。
每出台一项改革措施，先进行试点，积累经验后再推广，这种以点带面的工作方法本来是人们经常采用的。
但现在许多项目中出现了“一试点就成功，一推广就失败”的怪现象。
以下哪项不是造成上述现象的可能原因？A.在选择试点单位时，一般选择工作基础比较好的单位。
B.为保证试点成功，政府往往给予试点单位许多优惠政策。
C.在试点过程中，领导往往比较重视，各方面的问题解决得快。
高中数学一轮复习课件：第七章 不等式、推理与证明(必修5、选修1-2)7-4
2．数列 2,5,11,20，x,47，…中的 x 等于( ) A．28 B．32 C．33 D．27
[解析] 从第 2 项起每一项与前一项的差构成公差为 3 的等 差数列，所以 x＝20＋12＝32.故选 B.
[答案] B
3．(选修 1－2P30 练习 T1 改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2 时，an＝an－1＋2n－1，依次计算 a2，a3，a4 后，猜想 an 的表达式 是( )
[对点训练] 1．(2019·山东日照模拟)对于实数 x，[x]表示不超过 x 的最大 整数，观察下列等式： [ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3； [ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[ 7 ]＋[ 8 ]＝10； [ 9 ]＋[ 10 ]＋[ 11 ]＋[ 12 ]＋[ 13 ]＋[ 14 ]＋[ 15 ] ＝21； … 按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为________．
主干知识梳理 Z
主干梳理 精要归纳
1．合情推理
[知识梳理]
2.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论， 我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到 特殊 的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
[解析] 根据题图(1)所示的分形规律，可知 1 个白圈分形为 2
个白圈 1 个黑圈，1 个黑圈分形为 1 个白圈 2 个黑圈，把题图(2)
中的树形图的第 1 行记为(1,0)，第 2 行记为(2,1)，第 3 行记为(5,4)，
第 4 行的白圈数为 2×5＋4＝14，黑圈数为 5＋2×4＝13，所以第
2020年 名师讲解高考数学总复习 第7章 7.7 数学归纳法
§7.7数学归纳法考情考向分析高考要求理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题，以附加题形式在高考中出现，难度为中高档．1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下：(1)归纳奠基：证明取第一个自然数n0时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；(3)由(1)(2)得出结论．概念方法微思考1．用数学归纳法证明命题时，n取第1个值n0，是否n0就是1?提示n0是对命题成立的第1个正整数，不一定是1.如证明n边形的内角和时，n≥3. 2．用数学归纳法证明命题时，归纳假设不用可以吗？提示不可以，用数学归纳法证明命题，必须用到归纳假设．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( × )(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．( × )(3)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( √ )(4)用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时，n 0＝3.( √ )题组二 教材改编2．[P94习题T7]用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证_____．答案 1＋12＋13<2解析 ∵n ∈N *，n >1，∴n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13.3．[P103T13]在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为________．答案 a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)解析 当n ＝2时，13＋a 2＝2×3×a 2，∴a 2＝13×5；当n ＝3时，13＋115＋a 3＝3×5×a 3，∴a 3＝15×7；当n ＝4时，13＋115＋135＋a 4＝4×7×a 4，∴a 4＝17×9；故猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).4．[P105T13]已知a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 2，a 3，a 4，a 5的值分别为________．由此猜想a n＝________.答案 37，38，13，310 3n ＋5解析 a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37＝32＋5，同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38＝33＋5，a 4＝39＝34＋5，a 5＝310＝35＋5，又a 1＝31＋5＝12，符合以上规律．故猜想a n ＝3n ＋5.题组三 易错自纠 5．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，等式左边的项是________． 答案 1＋a ＋a 2解析 当n ＝1时，n ＋1＝2， ∴左边＝1＋a 1＋a 2＝1＋a ＋a 2.6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N *)时，假设当n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是__________． 答案 2k解析 运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N *)．当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋…＋2k ＝2k －1＋22k －1(k ∈N *)，左边表示的为2k 项的和． 当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k＋1项的和，增加了2k ＋1－2k ＝2k 项．题型一 用数学归纳法证明等式1．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n4(n ＋1)(n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，左边＝12×1×(2×1＋2)＝18，右边＝14×(1＋1)＝18，左边＝右边，所以等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时等式成立，即有 12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＝k 4(k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2]＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14(k ＋2)＝k ＋14(k ＋1＋1). 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由①②可知，对于一切n ∈N *等式都成立．2．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，等式左边＝1－12＝12＝右边，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么，当n ＝k ＋1时，有1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2， 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由①②知，等式对任何n ∈N *均成立． 思维升华 用数学归纳法证明等式时应注意： (1)明确初始值n 0的取值；(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，明确变形目标； (3)变形时常用的几种方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．题型二 证明不等式例1 若函数f (x )＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))(n ∈N *)的直线PQ n 与x 轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤x n <x n ＋1<3. 证明 ①当n ＝1时，x 1＝2，f (x 1)＝－3，Q 1(2，－3)． 所以直线PQ 1的方程为y ＝4x －11， 令y ＝0，得x 2＝114，因此2≤x 1<x 2<3，即n ＝1时结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立， 即2≤x k <x k ＋1<3.当n ＝k ＋1时，直线PQ k ＋1的方程为 y －5＝f (x k ＋1)－5x k ＋1－4·(x －4)．又f (x k ＋1)＝x 2k ＋1－2x k ＋1－3， 代入上式，令y ＝0，得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1，由归纳假设，2<x k ＋1<3，x k ＋2＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3；x k ＋2－x k ＋1＝(3－x k ＋1)(1＋x k ＋1)2＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2， 所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3， 即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3.思维升华 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则应考虑用数学归纳法．(2)关键：由n ＝k 时命题成立证n ＝k ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．跟踪训练1 用数学归纳法证明不等式：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2>1(n ∈N *且n >1)．证明 ①当n ＝2时，12＋13＋14＝1312>1成立．②设n ＝k (k ∈N *，k >1)时，1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k2>1成立．由于当k >1时，k 2－k －1>0，即k (2k ＋1)>k 2＋2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)2＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1k 2＋2k ＋1－1k >1＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1k 2＋2k ＋1－1k>1＋1k (2k ＋1)＋1k (2k ＋1)＋…＋1k (2k ＋1)－1k＝1＋2k ＋1k (2k ＋1)－1k＝1.综合①②可知，原不等式对n ∈N *且n >1恒成立．题型三 数学归纳法的综合应用 命题点1 整除问题例2 (2018·苏北四市期中)设n ∈N *，f (n )＝3n ＋7n －2. (1)求f (1)，f (2)，f (3)的值；(2)求证：对任意的正整数n ，f (n )是8的倍数． (1)解 ∵n ∈N *，f (n )＝3n ＋7n －2， ∴f (1)＝3＋7－2＝8， f (2)＝32＋72－2＝56， f (3)＝33＋73－2＝368.(2)证明 用数学归纳法证明如下： ①当n ＝1时，f (1)＝3＋7－2＝8，成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时成立，即f (k )＝3k ＋7k －2能被8整除， 则当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝3k ＋1＋7k ＋1－2 ＝3×3k ＋7×7k －2 ＝3(3k ＋7k －2)＋4×7k ＋4 ＝3(3k ＋7k －2)＋4(7k ＋1)，∵3k ＋7k －2能被8整除，7k ＋1是偶数， ∴3(3k ＋7k －2)＋4(7k ＋1)一定能被8整除， 即n ＝k ＋1时也成立．由①②得对任意正整数n ，f (n )是8的倍数． 命题点2 和二项式系数有关的问题例3 (2018·江苏扬州中学期中)已知F n (x )＝∑k ＝0n[(－1)k ·C k n f k (x )](n ∈N *)．(1)若f k (x )＝x k ，求F 2 015(2)的值；(2)若f k (x )＝x x ＋k (x ∉{0，－1，…，－n })，求证：F n (x )＝n ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ).(1)解 F n (x )＝∑k ＝0n[(－1)kC k n f k (x )]＝∑k ＝0n[(－x )k C k n ]＝∑k ＝0n[C k n (－x )k ·1n －k]＝(1－x )n ， ∴F 2 015(2)＝－1.(2)证明 ①当n ＝1时，左边＝1－x x ＋1＝1x ＋1＝右边．②设n ＝m (m ∈N *)时，对一切实数x (x ≠0，－1，…，－m )，有∑k ＝0m ⎣⎡⎦⎤(－1)k C k mx x ＋k ＝m ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )，那么，当n ＝m ＋1时，对一切实数x (x ≠0，－1，…，－(m ＋1))， 有∑k ＝0m ＋1 ⎣⎡⎦⎤(－1)k C k m＋1x x ＋k＝1＋∑k＝1m ⎣⎡⎦⎤(－1)k (C k m ＋C k －1m )x x ＋k ＋(－1)m ＋1x x ＋m ＋1 ＝∑k ＝0m⎣⎡⎦⎤(－1)k C k m x x ＋k ＋∑k ＝1m ＋1⎣⎡⎦⎤(－1)k C k －1m x x ＋k ＝∑k ＝0m⎣⎡⎦⎤(－1)k C k m x x ＋k －∑k ＝0m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－1)k C k mx ＋1x ＋1＋k ·x x ＋1 ＝m ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )－m ！(x ＋2)(x ＋3)…(x ＋1＋m )·xx ＋1＝m ！[(x ＋m ＋1)－x ](x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )(x ＋m ＋1)＝(m ＋1)！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m ＋1)，即n ＝m ＋1时，等式成立．故对一切正整数n 及一切实数x (x ≠0，－1，…，－n )，有 ∑k ＝0n⎣⎡⎦⎤(－1)k C k n x x ＋k ＝n ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ). 命题点3 和数列集合等有关的交汇问题例4 设集合M ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *，n ≥3)，记M 的含有三个元素的子集个数为S n ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n . (1)分别求T 3S 3，T 4S 4，T 5S 5，T 6S 6的值；(2)猜想T nS n关于n 的表达式，并加以证明．解 (1)当n ＝3时，M ＝{1,2,3}，S 3＝1，T 3＝2，T 3S 3＝2；当n ＝4时，M ＝{1,2,3,4}，S 4＝4，T 4＝2＋2＋3＋3＝10，T 4S 4＝52，T 5S 5＝3，T 6S 6＝72.(2)猜想T n S n ＝n ＋12.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝3时，由(1)知猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，猜想成立，即T k S k ＝k ＋12，而S k ＝C 3k ，所以T k ＝k ＋12C 3k. 则当n ＝k ＋1时，易知S k ＋1＝C 3k ＋1， 而当集合M 从{1,2,3，…，k }变为{1,2,3，…，k ，k ＋1}时，T k ＋1在T k 的基础上增加了1个2,2个3,3个4，…，(k －1)个k ，所以T k ＋1＝T k ＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k (k －1) ＝k ＋12C 3k ＋2(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ) ＝k ＋12C 3k＋2(C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 2k ) ＝k －22C 3k ＋1＋2C 3k ＋1＝k ＋22C 3k ＋1＝(k ＋1)＋12S k ＋1， 即T k ＋1S k ＋1＝(k ＋1)＋12.所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立． 综上所述，猜想成立．思维升华 利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．跟踪训练2 (1)求证：对一切正整数n,42n ＋1＋3n ＋2都能被13整除．证明 ①当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时， 42(k＋1)＋1＋3k ＋3＝42k ＋1·42＋3k ＋2·3－42k ＋1·3＋42k ＋1·3＝42k ＋1·13＋3·(42k ＋1＋3k ＋2)，∵42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，∴当n ＝k ＋1时也成立，由①②可知，当n ∈N *时，42n ＋1＋3n＋2能被13整除．(2)已知数列{a n }的各项都是正数，且满足：a 0＝1，a n ＋1＝12·a n ·(4－a n )，n ∈N .①求a 1，a 2；②证明：a n <a n ＋1<2，n ∈N . ①解 a 0＝1，a 1＝12a 0·(4－a 0)＝32，a 2＝12·a 1(4－a 1)＝158.②证明 用数学归纳法证明： (ⅰ)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝32，∴a 0<a 1<2，命题成立．(ⅱ)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时有a k －1<a k <2. 则n ＝k ＋1时，a k －a k ＋1＝12a k －1(4－a k －1)－12a k (4－a k )＝2(a k －1－a k )－12(a k －1－a k )(a k －1＋a k )＝12(a k －1－a k )·(4－a k －1－a k )． 而a k －1－a k <0,4－a k －1－a k >0， ∴a k －a k ＋1<0，即a k <a k ＋1.又a k ＋1＝12a k (4－a k )＝12[4－(a k －2)2]<2.∴n ＝k ＋1时命题成立．由(ⅰ)(ⅱ)知，对一切n∈N都有a n<a n＋1<2.1．(2019·江苏省扬州市仪征中学考试)已知正项数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝1＋a n1＋a n(n∈N*)．用数学归纳法证明：a n<a n＋1(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，a2＝1＋a11＋a1＝32，a1<a2，所以当n＝1时，不等式成立；(2)假设当n＝k(k∈N*)时，a k<a k＋1成立，则当n＝k＋1时，a k＋2－a k＋1＝1＋a k＋11＋a k＋1－a k＋1＝1＋a k＋11＋a k＋1－⎝⎛⎭⎫1＋a k1＋a k＝11＋a k－11＋a k＋1＝a k＋1－a k(1＋a k)(1＋a k＋1)>0，所以，当n＝k＋1时，不等式成立．综上所述，不等式a n<a n＋1(n∈N*)成立．2．用数学归纳法证明a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n∈N*)．证明①当n＝1时，左边＝a2＋(a＋1)1＝a2＋a＋1，可被a2＋a＋1整除；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，a k＋1＋1＋(a＋1)2(k＋1)－1＝a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a·a k＋1＋a(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由假设可知a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，又(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1也能被a2＋a＋1整除，所以a k＋2＋(a＋1)2k＋1能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时，命题也成立．由①②知，对一切n∈N*命题都成立．3．(2018·江苏省常州市田家炳高级中学考试)已知正项数列{a n}中，a1＝2－1且1a n＋1－a n＋1＝1a n＋a n，n∈N*.(1)分别计算出a2，a3，a4的值，然后猜想数列{a n}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想．(1)解令n＝1，得1a2－a2＝1a1＋a1＝22，化简得(a2＋2)2＝3，解得a2＝3－2或a2＝－3－ 2.∵a2>0，∴a2＝3－ 2.令n＝2，得1a3－a3＝1a2＋a2＝23，化简得(a3＋3)2＝4，解得a3＝2－3或a3＝－2－ 3.∵a3>0，∴a3＝2－ 3.令n ＝3，得1a 4－a 4＝1a 3＋a 3＝4，化简得(a 4＋2)2＝5，解得a 4＝5－2或a 4＝－5－2. ∵a 4>0，∴a 4＝5－2. 猜想a n ＝n ＋1－n .(*)(2)证明 ①当n ＝1时，a 1＝2－1＝2－1，(*)式成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，(*)式成立， 即a k ＝k ＋1－k ，那么当n ＝k ＋1时，1a k ＋1－a k ＋1＝1a k ＋a k ＝k ＋1＋k ＋k ＋1－k ＝2k ＋1.化简得(a k ＋1＋k ＋1)2＝k ＋2， ∵a k ＋1>0，∴a k ＋1＝k ＋2－k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时，(*)式也成立．综上，由①②得当n ∈N *时，a n ＝n ＋1－n .4．设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 解 (1)方法一 a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2－(a n －1)2＝1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． 方法二 a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1. 因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时，结论显然成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立， 即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝(a k －1)2＋1＋1＝(k －1)＋1＋1 ＝(k ＋1)－1＋1.所以当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． (2)方法一 设f (x )＝(x －1)2＋1－1， 则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝(c －1)2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明加强命题： a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1， 所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立， 即a 2k <c <a 2k ＋1<1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2. 再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1. 因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1. 即当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.方法二 设f (x )＝(x －1)2＋1－1， 则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)．①当n ＝1时，结论显然成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1，即0≤a k ＋1<1. 即当n ＝k ＋1时结论成立． 故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)．②当n ＝1时，a 2＝f (a 1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1， 有a 2<a 3，即n ＝1时②成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1.由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1. 即当n ＝k ＋1时②成立， 所以②对一切n ∈N *成立． 由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n<14.③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数， 得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2， 所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1. 解得a 2n ＋1>14.④综上，由②③④知存在c ＝14使得a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．5．已知函数f 0(x )＝x (sin x ＋cos x )，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *. (1)求f 1(x )，f 2(x )的表达式；(2)写出f n (x )的表达式，并用数学归纳法证明． 解 (1)因为f n (x )为f n －1(x )的导数，所以f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x ＋cos x )＋x (cos x －sin x ) ＝(x ＋1)cos x ＋(x －1)(－sin x )， 同理，f 2(x )＝－(x ＋2)sin x －(x －2)cos x .(2)由(1)得f 3(x )＝f 2′(x )＝－(x ＋3)cos x ＋(x －3)sin x ， 把f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )分别改写为f 1(x )＝(x ＋1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋(x －1)·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2， f 2(x )＝(x ＋2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π2＋(x －2)·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π2， f 3(x )＝(x ＋3)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2＋(x －3)·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋3π2， 猜测f n (x )＝(x ＋n )sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2＋(x －n )·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2.(*)下面用数学归纳法证明上述等式． ①当n ＝1时，由(1)知，等式(*)成立； ②假设当n ＝k 时，等式(*)成立，即f k (x )＝(x ＋k )sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋(x －k )cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2. 则当n ＝k ＋1时，f k ＋1(x )＝f k ′(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋(x ＋k )cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋(x －k )⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2 ＝(x ＋k ＋1)cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋[x －(k ＋1)]·⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2 ＝[x ＋(k ＋1)]sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k ＋12π＋[x －(k ＋1)]·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k ＋12π，即当n ＝k ＋1时，等式(*)成立．综上所述，当n ∈N *时，f n (x )＝(x ＋n )·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2＋(x －n )cos ⎝⎛⎭⎫x ＋n π2成立．6．已知数列{a n }中，a 1＝14，a n ＋1＝2a n －3a 2n . (1)求证：对任意的n ∈N *，都有0<a n <13；(2)求证：31－3a 1＋31－3a 2＋…＋31－3a n ≥4n ＋1－4.证明 (1)①当n ＝1时，a 1＝14，有0<a 1<13，所以n ＝1时，不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即0<a k <13.则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2a k －3a 2k ＝－3⎝⎛⎭⎫a 2k －23a k ＝－3⎝⎛⎭⎫a k －132＋13， 于是13－a k ＋1＝3⎝⎛⎭⎫13－a k 2. 因为0<a k <13，所以0<3⎝⎛⎭⎫13－a k 2<13， 即0<13－a k ＋1<13，可得0<a k ＋1<13，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，对任意的正整数n ，都有0<a n <13.(2)由(1)可得13－a n ＋1＝3⎝⎛⎭⎫13－a n 2， 两边同时取以3为底的对数，可得 log 3⎝⎛⎭⎫13－a n ＋1＝1＋2log 3⎝⎛⎭⎫13－a n ， 化简为1＋log 3⎝⎛⎭⎫13－a n ＋1＝2⎣⎡⎦⎤1＋log 3⎝⎛⎭⎫13－a n ， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋log 3⎝⎛⎭⎫13－a n 是以log 314为首项，2为公比的等比数列， 所以1＋log 3⎝⎛⎭⎫13－a n ＝2n －1log 314， 化简求得13－a n ＝13·⎝⎛⎭⎫142n －1，所以113－a n＝3·124n -.因为当n ≥2时，2n －1＝C 0n －1＋C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1≥1＋n －1＝n ，当n ＝1时，2n －1＝1，所以当n∈N*时，2n－1≥n，所以113－a n≥3·4n，1 13－a1＋113－a2＋…＋113－a n≥3(41＋42＋…＋4n)＝4n＋1－4，所以31－3a1＋31－3a2＋…＋31－3a n≥4n＋1－4.。
第七章 归纳推理 ppt课件
• 为了表明该疾病的传播是蚊子而不是黄热 病人的排泄物或他们接触过的东西来传播 的，研究人员另外建造起一处房子。该房 子是没有蚊子的。将黄热病人的衣物、床 上用品和吃饭器具，以及被病人的血液、 排泄物污染的其他器具。放置于该房间， 然后，让3个没有免疫力的人住在该屋子里。 在整个阶段，居住在房子里的人被严格隔 离，以免被蚊子叮咬。这些实验中没有一 人感染黄热病。
• （二）差异法（求异法）
• 1、差异法：根据被研究现象出现和不出现 的两个场合中，其余相关因素都相同，只 有一个相关因素不同，进而确定这一因素 与被研究对象有因果联系。
• 2、差异法的逻辑的公式：
• 场合
相关因素
被研究现象
• （1）
ABC
a
• （2）
BC
无a
• ——————————————————
• 二、归纳推理的种类。 • （一）完全归纳推理。 • 1、完全归纳推理：是根据一类事物的各个
对象都具有某种属性，从而推出关于该类 事物的一般性结论的推理。 • S1具有P属性； • S2具有P属性； • Sn具有P属性； • （S1---Sn是S类的全部对象）
• —————————————— • 所以，凡S都具有P属性。
• 2、加利福尼亚大学的研究人员得出结论说， 听莫扎特钢琴曲会显著提高智力测试时的 表现。在实验中，他们给学生3套空间推理 任务。在每个任务进行之前，给学生10分 钟：1、听莫扎特D大调的两个钢琴曲；2、 听轻松的磁带；3、沉默。与后两种情况相 比，在听了莫扎特奏鸣曲后的测试分数平 均上升了8—9个百分点。一些学生说喜欢 莫扎特音乐而有些说不喜欢。参与研究的 劳希博士说：“听这样的音乐能够刺激通 往认知的重要神经通路。
• 那么如何解释在世界其他地方在汽车追尾 事故中大量的震动病症呢？在立陶宛所进 行的研究中的司机，不携带个人伤害保险， 那里的人们很少控告他人。许多医疗帐单 是由政府付费。在慢性震动病症中没有要 求可以满足，没有钱可以赢取。研究人员 得出：慢性震动病症无效。
第七章 或然性推理
第二节 简单枚举归纳推理
科学归纳法
铁经过加热体积就会膨胀； 铜经过加热体积就会膨胀； 锡经过加热体积就会膨胀； 银经过加热体积就会膨胀； „„ （铁、铜、锡、银„„ 都是金属，且未遇反例，
并且，科学研究表明，它们加热与它们的膨胀之间有必然 联系；） 所有金属经过加热，体积都会膨胀。
第二节 简单枚举归纳推理
第三节 探求因果联系的方法及其推理
注意：
（1）一个事件的发生可能有多个必要条件，并且这些 必要条件均包含在充分条件里。 如：温度、助燃剂、可燃物与燃烧 （2）当需要消除某个条件时，更多地是在“必要条 件”的意义上使用。 如：医生消灭致病的微生物。 （3）当我们对某个希望发生的事情感兴趣时，更多地 是在“充分条件”的意义上使用。 如：热处理和冷处理的一个复合过程使得合金强度增高 （我们希望的结果） 。
第二节 简单枚举归纳推理
注意：
1. 一旦发现反例，原先的结论就被推翻。
例：所有的天鹅都是白的。（人们在澳洲发现了黑天鹅。） 天下乌鸦一般黑。（人们在日本发现了白色的乌鸦。）
2. 为了提高结论的可靠性，前提中考察的对象要尽可 能多，范围要尽量广些。否则就会出现“轻率概括”的 错误。
例：华罗庚《数学归纳法》对简单枚举归纳法之或然性的说明： 摸球：红玻璃球 —— （猜想） 玻璃球 —— （猜想） 球 —— （猜想） „„
第三节 探求因果联系的方法及其推理
穆勒五法（排除归纳法）
人们早已知道简单枚举法的局限。早在1605年，弗兰西斯· 培 根就提出了其他类型的归纳程序。他在其伟大的著作《学习的进步》 （Advancing of learning）探寻改革科学研究的方法。但更强大的 归纳方法，其精确表述和系统化，是由另一个英国哲学家约翰· 斯 图亚特· 穆勒（Johu Stuart Mill ）在其著作《逻辑系统》（1843） 所完成，并被称为“归纳推理的穆勒方法”。
第7章 求因果关系的方法
求同求异并用法可用公式表示： 场合 相关情况 被研究现象 (1) A、B、C、F a
(2) A、D、E、G a （3） A、F、G、C a … …… … （1＇) —、B、C、G — 负事例组 （2′）—、D、E、F — （3＇） —、F、G、D — … …… … 所以，A情况是a现象的原因（或结果）
第三，各场合中唯一变化的情况与被研究现 象之间是不可逆的单向作用，还是可逆的相互 作用。也就是说，结果随原因变化，但原因不 见得随结果变化。 第四，共变法和求异法关系密切。求异法的 场合是共变法的极限场合。如果把两个具有共 变关系的现象改变致极限，就得到求异法的条 件。例如，在一定范围内，随着施肥多少的变 化，就能引起粮食多少的变化。这是共变法的 运用。如果施肥过多，粮食就不会增产，这就 是求异法的应用了。
因果推理
1、正向因果推理 由因到果，题干陈述了充分的理由，要 求运用合乎逻辑的方法在答案中寻找正确 的结果。 2、反向因果推理 由果到因，补足原因。题干给出了推理 的结果，但理由不充分，需要在答案中寻 找一个与题干有密切因果联系的理由补充 进去，以构成一个严密的逻辑推理。
第七章 归纳推理案例
某市繁星商厦服装部在前一阵疲软的服装市场中打了一个反季节 销售的胜仗。据统计，其皮衣的销售额在6、7、8三个月连续成 倍数增长，6月527件，7月1269件，8月3218件。市有关主管部 门希望在今年冬天向全市各大商场推广这种反季节销售的策略， 力争在今年11、12月和明年1月使全市的夏衣销售能有大突破。 以下哪项如果为真，能够最好地说明该市有关主管部门的这 种希望可能会遇到麻烦? A． 皮衣的价格可以在夏天一降再降，是因为厂家可以在皮衣淡 季的时候购买原材料，其价格可以降低30％。 B． 皮衣的生产企业为了使生产销售可以正常循环，宁愿自己保 本或者微利，把利润压缩了55％。 C． 盛夏里搞皮衣反季节销售的不只是繁星商厦一家。但只有繁 星商厦同时推出了售后服务，由消协规定的三个月延长到七个月， 打消了很多消费者的顾虑，所以在诸商家中独领风骚。 D． 根据最近进行的消费者心理调查的结果，买夏衣重流行、买 冬衣重实惠是消费者的极为普遍的心理。
【案例】巧匠鲁班 鲁班是春秋时鲁国的巧匠。据传说，他有一次 承造一座大宫殿，需用很多木材，他叫徒弟上山去 砍伐大树。当时还没有锯子，用斧子砍，一天砍不 了多少棵树，木料供应不上，他很着急，就亲自上 山看看。山非常陡，他在爬山的时候，一只手拉着 丝茅草，一下子就把手指头拉破了，流出血来。鲁 班非常惊奇，一根小草为什么会这样厉害？在回家 的路上，他就摘下一棵丝茅草，带回家去研究。他 发现丝茅草的两边有许多小细齿，这些小细齿非常 锋利，用手指去扯，就划破了一个口子。这一下把 鲁班提醒了。他想，如果像丝茅草那样，打成有齿 的铁片，不就可以锯树了吗？于是，他就和铁匠一 起试制了一条带齿的铁片，拿去锯树，果然成功了。 有了锯子，木料供应问题就解决了。
【解题分析】 市有关主管部门的建议依据类比推理：夏季反季节 销售冬季服装获得成功，因此若在冬季反季节销售 夏季服装也将获得成功。 显然这个类比结论是可错的，题目所要求的就是找 出使这个类比不成立的理由。 选项A、B、C都只是部分地说明了繁星商厦反季节 销售冬装取得成功的原因，与“反季节销售夏装是 否会取得成功”毫不相干。而选项E则解释了原因： 买冬衣重实惠，在夏天买冬衣便宜，所以夏季反季 节销售容易取得成功；买夏衣重流行，而在冬天无 法知道来年夏天流行什么，因此冬季反季节销售夏 衣不大容易取得成功。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7第七章归纳推理第六章归纳推理第一节归纳推理概述一、什么是归纳推理1.定义归纳推理是以个别或特殊性知识为前提，推出一般性知识的推理。
它的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系（完全归纳推理除外）具有或然性。
例如，水稻、小麦、高粱、玉米都能进行光合作用，这些作物都是绿色植物，据此我们可以断定，所有绿色植物都能进行光合作用。
这一推理就是归纳推理，其推理过程可以总结如下：水稻能进行光合作用小麦能进行光合作用高粱能进行光合作用……水稻、小麦、高粱、玉米都是绿色植物所以，所有绿色植物都能进行光合作用2.归纳推理的实质（重点）：概括性3.归纳推理的特征（重点）：①前提和结论的联系具有或然性；②推理结论的“拓展性”特征4.归纳推理的作用1．归纳推理是获取新知、发现真理的手段2．归纳推理是说明和论证问题的方法二、归纳推理与演绎推理的关系（重点）1．两者相互区别（1）思维进程的方向不同（推理认识发展过程的方向不同）。
演绎推理：一般到个别；归纳推理：个别到一般。
（2）结论断定的知识范围不同演绎推理：结论所断定的范围没有超出前提所断定的范围；归纳推理：结论所断定的范围超出前提所断定的范围。
（3）前提与结论间的联系程度不同。
演绎推理：前提与结论之间的联系是必然的，即充分条件的关系，前提蕴涵结论；归纳推理：前提与结论之间的联系是或然的，即必要条件的关系，前提被结论所蕴涵。
2．两者相互联系（1）归纳推理的结论为演绎推理提供了前提。
演绎推理的一般性知识的大前提，需要借助于归纳推理从具体的经验中概括出来。
（2）演绎推理为归纳推理提供了指导。
归纳活动的目的、任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的，这只有借助于理论思维，依靠人们先前所积累的一般性理论知识的指导。
而这本身就是一种演绎活动。
在实际思维过程中，归纳推理和演绎推理是相互依赖、相互渗透、互为补充的，夸大一个方面而否定另一个方面的作用都是片面的。
正如恩格斯所说：“我们用世界上一切归纳法都永远不能把归纳过程弄清楚。
只有对这个过程的分析，才能做到这一点。
”“归纳和演绎，正如分析和综合一样，是必然互相联系着的，不应当牺牲一个而把另一个捧到天上去，应当把每一个都用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系，它们的相互补充。
”三、搜集和整理事实材料的方法相比演绎推理，归纳推理与搜集经验材料方法的联系更为紧密。
归纳推理作为一种由个别前提得出一般性知识的结论的推理，它不等于认识了个别就达到一般的整个过程。
因此，进行归纳推理首先必须有一定的事实材料，积累大量的个别知识作为前提，当然，对这些材料还必须进行加工，然后才能进行归纳推理。
即，在推理之前必须做搜集和整理事实材料的工作。
搜集事实材料，必须依靠经验的认识方法，即观察和实验等方法。
（1）观察①人们有目的地通过感官直接研究被研究对象。
②观察具有目的性和选择性。
③通过感官考察客体为直接观察；利用仪器观察是间接观察。
（2）实验①人们根据一定的研究目的并利用一定的物质手段（器材设备），在人为控制的条件下，获取事物发展过程或结果的认识的科学方法。
实验比观察的方法更能深刻揭示事物的本质。
②实验具有简化或纯化的特点。
它可以人为地使某些现象发生，而使另一些现象不发生，使某一些现象发生变化，而使另一些现象保持不变，这样就容易认识现象间的因果联系。
实验具有强化条件的特点。
它可以创造在自然界中难以得到或难以利用的特殊条件。
实验具有模拟、重复、再现自然现象的特点。
（举例）（3）实验和观察经常是结合在一起，作为相互补充应用于实际之中的。
（4）观察和实验中应注意的问题。
①力求避免主观性，否则会犯“误观察”的逻辑错误。
②力求避免片面性，否则会犯“未观察”的逻辑错误。
研究者往往是有一定知识或经验的人，很容易把自己已有的经验渗入到他的观察中去，用已有的知识和经验去解释观察到的事物。
如果刚好把个人经验中一些不正确的东西去解释观察到的事物或现象，就会产生观察中的主观性，把个人主观的东西当作客观存在的东西。
在观察实践中，把个人主观的东西当作客观存在的东西，逻辑上叫作犯了“误观察”的逻辑错误。
人们在进行观察与实验之前，总是在不同的程度上对所研究的问题有个初步的看法，这个看法常常会影响人们的观察。
容易使人们看到与自己已有看法相结合的东西，忽视与自己看法不符合的东西，这样就会产生观察的片面性。
我们称为犯了“未观察”的逻辑错误。
（1）比较比较就是通过确定事物间的共同点与不同点，从而达到认识事物的科学方法。
在运用这一方法时，要强调必须就事物的实质方面来进行比较。
比较的实质是识同和辨异。
（2）分类分类是根据事物的共同点与差异点，将事物区分成不同种类的研究方法。
它可以达到整理杂乱无章的表面现象的目标。
归纳“分类”与演绎“划分”（有时也叫“分类”）是性质不同的逻辑方法；前者从个体研究出发，逐步归纳而达到“类”的认识；后者则是居高临下，从某一大类中划分出若干具体的类别项目，是由“总”而“分”地细化对象的过程（3）分析和综合分析，是思维中把作为整体的对象分解成部分、单元、环节、要素等等，来进行研究、认识的思维方法。
分析是将具体事物抽象化的过程，有助于人们对事物的深入了解，即对事物本质的认识。
综合，是思维中把关于研究对象的部分、单元、环节、要素等认识，联接起来，从而形成关于对象的统一、整体的认识的思维方法。
显然，综合是建立于分析的基础之上的，但它并不是分析所得到的要素的简单相加。
各要素在整体中的地位作用和在综合过程中是应予以区别的。
分析与综合相辅相成，是人的认识实现由此及彼、由表及里、由浅到深、由现象到本质的过程。
分析是综合的基础，综合是分析的目的。
四、归纳推理的种类1.根据推理所考察的对象的范围，把归纳推理划分为完全归纳推理和不完全归纳推理；2.根据对象和属性之间的联系方式，把不完全归纳推理划分为简单枚举归纳推理和科学归纳推理。
归纳推理的内容还包括探求因果联系的五种方法（穆勒五法）、典型归纳推理、回溯归纳推理（案情分析的主要工具）等经验归纳推理和初步形式化的“统计归纳法”、“概率归纳法”。
第二节完全归纳推理一、什么是完全归纳推理1.定义完全归纳推理是根据一类事物对象中每一个对象都具有（或不具有）某种属性，推出该类对象全体都具有（或不具有）这种属性的推理。
例如：亚洲有生物，欧洲有生物，非洲有生物，大洋洲有生物，北美洲有生物，南美洲有生物，南极洲有生物，亚洲、欧洲、非洲、大洋州、北美洲、南美洲、南极洲是世界上全部大洲。
———————————————————————————————————所以，世界上所有的大洲都有生物。
2.逻辑结构式S1是（不是）PS2是（不是）PS3是（不是）P……Sn是（不是）P（S1、S2、S3……Sn是S类的全部对象）——————————————————所以，所有的S是（不是）P完全归纳推理前提所考察的对象，既可以是某类中的每一个个体对象，也可以是某类中的每一个子类。
3.完全归纳推理的性质（或特点）：必然性。
由于完全归纳推理是从个别性前提到一般性结论的推论，这使它具有归纳的特性；又由于完全归纳推理的前提和结论之间具有必然性联系，这又使它具有演绎的特性。
所以，完全归纳推理乃是联系或然性归纳推理与必然性演绎推理的过渡环节。
二、完全归纳推理的规则1.对于个别对象的断定都是确实的；2.被断定的个别对象之和是一类的全部对象。
三、完全归纳推理的作用完全归纳推理的主要作用在于综合。
它把有限数量的单称命题综合为一个整体，综合成为具有特定限度的一般性命题，它使人们的认识从个别上升到一般。
1.发现的方法。
【案例】数学家高斯少年时代的故事据说有一位老师在给几十个顽皮可爱的孩子们上课时，出了一个颇能消磨时间的算术题，他要孩子们计算一下：1＋2＋3＋4＋……＋97＋98＋99＋100 老师心里想着，要加的数目这么多，可得费些功夫呢！而且不留心，答数就会弄错的。
可是，没过多大会儿，就有个孩子举起手并说出了正确的答数。
老师自然感到很吃惊，这孩子从哪儿来的答数呢？原来这位小学生以非常敏锐的观察力，看出这一连串要加的数目（从“1”到“100”）中，第一项和倒数第一项，第二项和倒数第二项，第三项和倒数第三项……每对的和数全都为“101”，即1＋100＝101，2＋99＋＝101，3＋98＝101，……50＋51＝101。
而且，这样排列成对的正是从“1”到“100”之间的全部数目。
由此可见，从“1”到“100”之间，凡是首尾距离相等的每两项之和都是“101”。
这是应用完全归纳推理发现的。
根据这个性质，又根据排列成对的序数（可知共有50对），便能迅速找到正确答案，即：101×50＝5050这就是德国的数学家、物理学家和天文学家卡尔?弗里德里希?高斯少年时代的故事，当时他才10岁。
2.论证的方法。
为了论证某个一般性的论断，可以列举与此有关的一切对象，然后对其中的每一个别对象一一加以考察与确认，最后通过完全归纳推理，就可以证明这个一般性论断是真实的。
四、运用完全归纳推理时应注意的问题1.完全归纳推理的前提必须是完全的，真实可靠的。
如果遗漏其中的任何一个，或有一个前提虚假，都不能得到真实可靠的结论。
2.完全归纳推理不能应用于一个具有无穷分子的类，因为无穷的分子是不能完全归纳出来的。
只限于对有限数量的单称命题的综合，但并不是对所有的有限数量的单称命题组成的类都适用。
（书本P121 “两个徒弟剥花生的故事”）五、完全归纳推理与不完全归纳推理以及二者的联系与区别1.区别：①完全归纳推理的前提考察了某类的全部对象，不完全归纳推理的前提只是考察了某类的部分对象。
②完全归纳推理的结论范围并未超出前提的范围，而不完全归纳推理的结论超出了前提的范围。
③完全归纳推理的前提与结论之间的联系是必然的，而不完全归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然的而是或然的。
2.联系：二者都是从特殊到一般的推理，前提的一般性程度较小，结论的一般性程度较大。
第三节不完全归纳推理一、简单枚举归纳推理1.定义简单枚举归纳推理又叫做简单枚举法，它是根据一类事物对象中部分对象具有（或不具有）某种属性，推出该类对象全体都具有（或不具有）这种属性的推理。
简单枚举归纳推理能够得出结论的根据。
【实例】某市发生一起凶杀分尸案，死者被碎尸为几十块。
为查明死者身份，就要死者的特征。
法医检尸证明：死者为萌生智齿的女性。
那么，智齿的女性的年龄应为多大呢？公安机关在该市抽查了50多名已萌生智齿的女性，发现她们的年龄都在19－21岁之间，逐得出“所有萌生智齿的女性，年龄都在19－21岁之间”的结论。
其中所使用的就是简单枚举归纳推理，其推理过程如下：某甲是萌生智齿的女性，年龄为19岁；某乙是萌生智齿的女性，年龄为21岁；某丙是萌生智齿的女性，年龄为20岁；某丁是萌生智齿的女性，年龄为19岁；某戊是萌生智齿的女性，年龄为20岁；（甲、乙、丙、丁、戊是萌生智齿的部分女性，且考察中未遇相反情况）—————————————————————————————————所以，所有萌生智齿的女性，年龄都在19－21岁之间。