高考数学复习，二次函数单调性的应用，重要题型解析
谈二次函数在高考中的应用
析式 时 ， 可结 合题 目的具 体 条 件 ， 活 选 灵
取一 种 形式 进行 求 解．
２ ．二 次 函数 的 单调 性
图 象 研 究 其 单 调 性．
（） ｘ ２ｘｌ一 ； １ｙ ２ ｌ １ ＝＋ ＋Ｉ （） ｌ－ Ｉ ２ Ｘ １； ２
（ ｙ ｘ＋ 一 ． ３）＝ ２２ １
４ｃ ｂ ａ － ＼
二 次 函数 的 单 调 区 间 的 划 分依 赖 于 对 称 轴 和 开 口方 向．当ａ Ｏ ．二 次 函数 ＞时
３１ ￡ ＋ ］即０ ≤ １ｇ￡＝ ２ 当 ∈［， １ ， ≤ｆ ，（）一 ； ｔ
＂
－
ｔ 时 ， （ ） ￡＝ ２一１ 当ｔＯ￣ ｇ（） ＞ｌ ｇ ￡ ） ￡ ｔ ； ４， ￡ ＝ －
在 高 中 阶 段 学 习单 调 性 时 ． 须 让 必 学 生 对 二 次 函 数 Ｙ 似 ｂ ｃ在 区 间 ＝ ＋ ｘ＋
这 里要 使学 生 注 意这 些 函数 与 二 次 函 数 的 差 异 和 联 系．掌 握 把 含 有 绝 对 值
重 点 考 查 数 形 结 合 与 等 价 转 化 两 种 数
大值４
的充要条件是厂 ） （＜ Ｑ
两 根均 大 于 即 ＜ ≤卢 ｄ 的充要 条
。 ＜２ ＜ Ｊ且 ａ ｝ 的充 要条 件是
￡ ２一１ ｆ ） ２ ｆ （ ＿ ＞１ ．
解 决 这类 问 题 ． 首先 要使 学 生弄 清 楚
向， ， ） 调区，ｂ 题 意．一 般 地 ． 个 二 次 函数 在 实 数 集合 下一一 为 增间一，） （ 单 ２ ａ （ ＋ 一
为单调 减 区 间． 例 １ 画 出 下 列 函 数 的 图 象 ， 通 过 并 Ｒ上 只有 最 小 值或 只有 最 大 值 ， 当定 义 但 域 发 生 变化 时 ， 取最 大 或最 小 值 的情 况也
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》函数的单调性与最值
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.2函数的单调性与最值最新考纲1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似．2．写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示(－∞，－a ]和[a ，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．(×)(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)(5)所有的单调函数都有最值．(×)题组二教材改编2．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是____________．答案[1，＋∞)(或(1，＋∞))3．函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是______．答案24．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三易错自纠5．函数y ＝12log (x 2－4)的单调递减区间为________．答案(2，＋∞)6．若函数f (x )＝|x －a |＋1的增区间是[2，＋∞)，则a ＝________.答案2解析∵f (x )＝|x －a |＋1的单调递增区间是[a ，＋∞)，∴a ＝2.7．函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．答案[－1,1)解析－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋1>2a，解得－1≤a<1.8．函数f(x)1x，x≥1，－x2＋2，x<1的最大值为________．答案2解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确定函数的单调性命题点1求函数的单调区间例1(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．答案[－1,0]，[1，＋∞)解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．命题点2讨论函数的单调性例2判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．解函数f (x )＝ax 2＋1x(1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4，1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增．引申探究如何用导数法求解本例？解f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3，所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上是增函数．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．跟踪训练1(1)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是()A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上单调递增，则函数g (x )＝a |x －2|的单调递减区间是______________．答案(－∞，2]解析因为f (x )在R 上单调递增，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的单调递减区间就是y ＝|x －2|的单调递减区间(－∞，2]．(3)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f (x )2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2.画出f (x )图象，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]．题型二函数的最值1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为____________．答案[－1,1)解析由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y 1－y.由x 2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)．2．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________．答案2解析由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1.可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin θ∈[0，π]，所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．答案[3，＋∞)解析函数y 2x ＋1，x ≤－1，，－1<x <2，x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)．4．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________________．答案{y |y ∈R 且y ≠3}解析y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．5．函数f (x )－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3解析由于y 在[－1,1]上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ()A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案B 解析方法一设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.方法二由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)分离常数法：形如求y＝cx＋dax＋b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f －12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f －12f522<52<3，所以b>a>c.命题点2解函数不等式例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是()A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}答案B解析∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0.∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数，∴当0<x<3时，f(x)<0；当x>3时，f(x)>0.∵函数f(x)是奇函数，∴当－3<x<0时，f(x)>0；当x<－3时，f(x)<0.则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <－3}．命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D ．π答案C解析∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin∴当x －π4∈－π2，π2，即x ∈－π4，3π4时，y ＝sinf (x )＝－2sin ∴－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a ]⊆－π4，3π4，∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)已知函数f (x )2＋12a －2，x ≤1，x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______________．答案(－4,4]解析设g (x )＝x 2－ax ＋3a ，根据对数函数及复合函数的单调性知，g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0，2，a >0，∴－4<a ≤4，∴实数a 的取值范围是(－4,4]．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)如果函数f (x )2－a )x ＋1，x <1，x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．答案32，解析对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．－a >0，>1，2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是32，(2)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f x 的取值范围是______________．答案12，解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，且满足f (2x －1)<所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．yD ．y ＝x ＋1x答案A解析函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为()A．(－∞，1]B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]D．[1，＋∞)答案B解析设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)答案A解析因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．4．已知函数f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，则a的取值范围是()，13 B.13，12，12 D.14，13答案A解析当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，∴f(x)是R上的减函数．∵f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，－2a<1，a<1，－2a≥13，∴0<a≤13.5．设f (x )x －a )2，x ≤0，＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为()A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案D 解析∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6．已知函数f (x )2x ，x ≥1，＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 解析若函数f (x )在R 上单调递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1，即c ≤－1，但c ≤－1不能得出c ＝－1，所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．7．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________________．答案a >b >c 解析∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－log f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .8．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．答案－14，0解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是－140.9．记min{a ，b }，a ≤b ，，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．答案6解析由题意知，f (x )＋2，0≤x ≤4，－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.10．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.11．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2.设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12．(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )x )，x >0，f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解(1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )x ＋1)2，x >0，(x ＋1)2，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由g (x )在[－2,2]上是单调函数，知－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．13．已知函数f (x )3，x ≤0，(x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)答案D 解析∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14．已知f (x )2－4x ＋3，x ≤0，x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－2)解析二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．已知函数f (x )＝2020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为____________．答案解析由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1.(1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)2－1>0，x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2)．(2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数，∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴(－1)≥0，(1)≥0，m ＋m 2≥0，2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。
高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质(解析版)
高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x =+>的单调性知识点2 二次函数区间求最值知识点3 已知一半求另一半（奇偶性） 知识点4单调奇偶联袂 二、题型归类练专练一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x=+>的单调性例1．（2021·宁夏·平罗中学高一期中）已知4()f x x x=+. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断函数()f x 在(2,)+∞的单调性并用定义证明. 【答案】（1）函数()f x 为奇函数；（2）()f x 在区间()2,+∞上是增函数；证明见详解. （1）解：由题可知，4()f x x x=+，则函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠ ，关于原点对称，又44()()()f x x x f x x x-=--=-+=-， 所以函数()f x 为奇函数.（2）解：()f x 在区间()2,+∞上是增函数， 证明：12,(2,)x x ∀∈+∞且12x x <， 有12121244()()()()f x f x x x x x -=+-+ 121244()()x x x x =-+-121212(4)x x x x x x -=-， 122x x <<，1212124,40,0x x x x x x >->-<∴,121212(4)0x x x x x x -∴-<，即12()()f x f x <， ∴函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数.名师点评：对于函数()(0)af x x a x =+>主要性质如下：①定义域(,0)(0,)-∞+∞； ②奇偶性：奇函数；③单调性：当0x >时；()(0)af x x a x =+>在上单调递减；在)+∞的单调增；④值域与最值：当0x >时；()(0)af x x a x =+>值域为)+∞，当x =小值特别提醒同学们函数()(0)af x x a x =+>我们称为对钩函数（耐克函数），注意需要0a >这个大前提，当0a ≤时都不再是对钩函数，此时不具有对钩函数的性质。
高考数学二轮复习专题突破—函数的单调性、极值与最值(含解析)
高考数学二轮复习专题突破—函数的单调性、极值与最值一、单项选择题1.(2021·浙江丽水联考)若函数f(x)=(x-a)3-3x+b的极大值是M,极小值是m,则M-m的值()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,且与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,且与b有关2.(2021·山东青岛期末)若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)上单调递增,则实数a的取值范围是() A.[3,+∞) B.(-∞,3]C.[3,e2+1]D.[-e2+1,3],则下列关于函数f(x)的说法正确的是()3.(2021·陕西西安月考)已知函数f(x)=3xe xA.在区间(-∞,+∞)上单调递增B.在区间(-∞,1)上单调递减,无极小值C.有极大值3eD.有极小值3,无极大值e4.(2021·湖南岳阳期中)已知直线y=kx(k>0)和曲线f(x)=x-a ln x(a≠0)相切,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)∪(0,e)B.(0,e)C.(0,1)∪(1,e)D.(-∞,0)∪(1,e)5.(2021·湖北十堰二模)已知函数f(x)=2x3+3mx2+2nx+m2在x=1处有极小值,且极小值为6,则m=() A.5 B.3C.-2D.-2或56.(2021·四川成都二模)已知P是曲线y=-sin x(x∈[0,π])上的动点,点Q在直线x-2y-6=0上运动,则当|PQ|取最小值时,点P的横坐标为()A.π4B.π2C.2π3D.5π67.(2021·湖北荆门期末)已知曲线y=sinxe x+1(x≥0)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为()A.y=x-1B.y=xC.y=x+1D.y=x+2二、多项选择题8.(2021·广东湛江一模)已知函数f(x)=x3-3ln x-1,则()A.f(x)的极大值为0B.曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为x轴C.f(x)的最小值为0D.f(x)在定义域内单调9.(2021·山东淄博二模)已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中错误的是()A.ln 2>2e B.ln 3<3eC.ln π>πe D.ln3ln π<3π10.(2021·辽宁沈阳二模)已知函数f(x)={2x+2,−2≤x≤1,lnx-1,1<x≤e,若关于x的方程f(x)=m恰有两个不同的根x1,x2(x1<x2),则(x2-x1)f(x2)的取值可能是()A.-3B.-1C.0D.2三、填空题11.(2021·福建三明二模)已知曲线y=ln x+ax与直线y=2x-1相切,则a=.12.(2021·江苏无锡月考)试写出实数a的一个取值范围,使函数f(x)=sinx-ae x有极值.13.(2021·四川成都月考)设函数f(x)=e x-2x,直线y=ax+b是曲线y=f(x)的切线,则2a+b的最大值是.四、解答题14.(2021·山东潍坊二模)已知函数f(x)=ax 2+bx+ce x的单调递增区间是[0,1],极大值是3e.(1)求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程;(2)若存在非零实数x0,使得f(x0)=1,求f(x)在区间(-∞,m](m>0)上的最小值.15.(2021·河北唐山期末)已知函数f(x)=a e x-x-1(a∈R),g(x)=x2.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a>0时,若曲线C1:y1=f(x)+x+1与曲线C2:y2=g(x)存在唯一的公切线,求实数a的值.16.(2021·浙江嘉兴月考)已知f(x)=a2ln x-1ax2-(a2-a)x(a≠0).2(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.答案及解析1.C解析因为f(x)=(x-a)3-3x+b,所以f'(x)=3(x-a)2-3,令f'(x)=3(x-a)2-3=0,得x=a-1或x=a+1,判断可得函数的极大值M=f(a-1)=-1-3(a-1)+b=2-3a+b,极小值m=f(a+1)=1-3(a+1)+b=-2-3a+b,因此M-m=4.故选C.2.B解析依题意f'(x)=2x-a+1x ≥0在区间(1,e)上恒成立,即a≤2x+1x在区间(1,e)上恒成立,令g(x)=2x+1x (1<x<e),则g'(x)=2-1x2=2x2-1x2=(√2x+1)(√2x-1)x2>0,所以g(x)在区间(1,e)上单调递增,而g(1)=3,所以a≤3,即实数a的取值范围是(-∞,3].故选B.3.C解析由题意得函数f(x)的定义域为R,f'(x)=3(1−x)e x.令f'(x)=0,得x=1,当x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故f(1)是函数f(x)的极大值,也是最大值,且f(1)=3e,函数f(x)无极小值.故选C.4.A解析设直线y=kx(k>0)与曲线f(x)=x-a ln x(a≠0)相切于点P(x0,x0-a ln x0)(x0>0).由题意得,f'(x)=1-ax ,则以P为切点的切线方程为y-x0+a ln x0=1-ax0(x-x0),因为该切线过原点,所以-x0+a ln x0=1-ax0(-x0),因此ln x0=1,即x0=e,所以k=1-ae>0,得a<e,又a≠0,故实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,e).故选A.5.A解析f'(x)=6x2+6mx+2n.因为f(x)在x=1处有极小值,且极小值为6,所以{f'(1)=0, f(1)=6,即{6+6m+2n=0,2+3m+2n+m2=6,解得{m=5,n=−18或{m=−2,n=3.当m=5,n=-18时,f'(x)=6x2+30x-36=6(x+6)(x-1),则f(x)在区间(-∞,-6)上单调递增,在区间(-6,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,且极小值为f(1)=6.当m=-2,n=3时,f'(x )=6x 2-12x+6=6(x-1)2≥0, 则f (x )在R 上单调递增,f (x )无极值. 综上可得,m=5,n=-18. 6.C 解析 如图所示,要使|PQ|取得最小值,则曲线y=-sin x (x ∈[0,π])在点P 处的切线与直线x-2y-6=0平行,对函数y=-sin x 求导得y'=-cos x ,令y'=12,可得cos x=-12,由于0≤x ≤π,所以x=2π3.故选C . 7.C 解析 由题得y'=cosx·e x -sinx·e x(e x )2=cosx-sinxe x.设切点为(x 0,y 0)(x 0≥0),则y'|x=x 0=cos x 0-sin x 0e x 0,由y'|x=x 0=1,得e x 0=cos x 0-sin x 0.令f (x )=e x -cos x+sin x (x ≥0),则f'(x )=e x +sin x+cos x=e x +√2sin x+π4,当0≤x<1时,f'(x )>0,当x ≥1时,e x ≥e,√2sin (x +π4)≥-√2,f'(x )>0,所以∀x ≥0,f'(x )>0,所以f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,则f (x )≥f (0)=0,所以方程e x 0=cos x 0-sin x 0只有一个实根x 0=0,所以y 0=sin0e 0+1=1,故切点为(0,1),切线斜率为1,所以切线方程为y=x+1.8.BC 解析 函数f (x )=x 3-3ln x-1的定义域为(0,+∞),f'(x )=3x 2-3x =3x (x 3-1).令f'(x )=3x (x 3-1)=0,得x=1,列表得:f (x ) 单调递减单调递增所以f (x )的极小值,也是最小值为f (1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C 正确,A,D 错误;对于B,由f (1)=0及f'(1)=0,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,故B 正确,故选BC .9.ACD 解析 令f (x )=ln x-xe ,x>0,则f'(x )=1x −1e ,令f'(x )=0,得x=e,当0<x<e 时,f'(x )>0,当x>e 时,f'(x )<0,所以f (x )在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减,故f (x )max =f (e)=ln e -ee =0,则f (2)=ln 2-2e <0得ln 2<2e ,故A 错误;f (3)=ln 3-3e <0得ln 3<3e ,故B 正确;f (π)=ln π-πe <0得ln π<πe ,故C 错误;对于D 项,令g (x )=lnx x,x>0,则g'(x )=1−lnx x 2,当0<x<e时,g'(x )>0,当x>e 时,g'(x )<0,所以g (x )在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减,则g (3)>g (π),得ln33>ln ππ,即ln3ln π>3π,故D 错误.故选ACD .10.BC 解析 画出函数f (x )的图象,如图,因为f (x )=m 的两根为x 1,x 2(x 1<x 2),所以x 1=m-22,x 2=e m+1,m ∈(-1,0],从而(x 2-x 1)·f (x 2)=e m+1-m-22m=m e m+1-m 22+m.令g (x )=x e x+1-12x 2+x ,x ∈(-1,0],则g'(x )=(x+1)e x+1-x+1.因为x ∈(-1,0],所以x+1>0,e x+1>e 0=1,-x+1>0, 所以g'(x )>0,从而g (x )在区间(-1,0]上单调递增.又g (0)=0,g (-1)=-52,所以g (x )∈-52,0,即(x 2-x 1)·f (x 2)的取值范围是-52,0,故选BC . 11.1 解析 由题意得函数y=ln x+ax 的定义域为x>0,y'=1x +a.设曲线y=ln x+ax 与直线y=2x-1相切于点P (x 0,y 0),可得1x 0+a=2,即ax 0=2x 0-1①,y 0=ln x 0+ax 0,y 0=2x 0-1,所以ln x 0+ax 0=2x 0-1②,联立①②,可得x 0=1,a=1. 12.(-√2,√2)(答案不唯一) 解析 f (x )=sinx-a e x的定义域为R ,f'(x )=cosx-sinx+ae x,由于函数f (x )=sinx-a e x有极值,所以f'(x )=cosx-sinx+ae x有变号零点,因此由cos x-sin x+a=0,即a=sin x-cosx=√2sin x-π4,可得a ∈(-√2,√2),答案只要为(-√2,√2)的子集都可以. 13.e 2-4 解析 f'(x )=e x -2.设切点为(t ,f (t )),则f (t )=e t -2t ,f'(t )=e t -2,所以切线方程为y-(e t -2t )=(e t -2)(x-t ),即y=(e t -2)x+e t (1-t ),所以a=e t -2,b=e t (1-t ),则2a+b=-4+3e t -t e t .令g (t )=-4+3e t -t e t ,则g'(t )=(2-t )e t .当t>2时,g'(t )<0,g (t )在区间(2,+∞)上单调递减;当t<2时,g'(t )>0,g (t )在区间(-∞,2)上单调递增,所以当t=2时,g (t )取最大值g (2)=-4+3e 2-2e 2=-4+e 2,即2a+b 的最大值为e 2-4. 14.解 (1)因为f (x )=ax 2+bx+ce x,所以f'(x )=-ax 2+(2a-b)x+b-ce x.因为e x >0,所以f'(x )≥0的解集与-ax 2+(2a-b )x+b-c ≥0的解集相同,且同为[0,1].所以有{a>0,2a-ba=1,b-c-a=0,解得a=b=c.所以f(x)=a(x 2+x+1)e x(a>0),f'(x)=-ax2+axe x(a>0).因为a>0,所以当x<0或x>1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当0≤x≤1时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,且f'(1)=0,所以f(x)在x=1处取得极大值,又由题知,极大值为3e,所以f(1)=3ae =3e,解得a=1,所以a=b=c=1.所以f(x)=x 2+x+1e x,f'(x)=-x2+xe x.所以f(-1)=1e-1=e,f'(-1)=-2e-1=-2e.所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y-e=-2e(x+1),即y=-2e x-e.(2)由(1)知函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增,且f(0)=1e0=1, 所以满足f(x0)=1(x0≠0)的x0∈(1,+∞).所以当0<m≤x0时,由函数f(x)的单调性易知,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为f(0)=1;当m>x0时,f(m)<f(x0)=f(0)=1,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为f(m)=m 2+m+1 e m.综上所述,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为{1,0<m≤x0, m2+m+1e m,m>x0.15.解 (1)f'(x)=a e x-1.当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减.当a>0时,由f'(x)=0,得x=-ln a.当x<-ln a时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>-ln a时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a ≤0时,f (x )在区间(-∞,+∞)上单调递减;当a>0时,f (x )在区间(-∞,-ln a )上单调递减,在区间(-ln a ,+∞)上单调递增.(2)因为曲线C 1:y 1=a e x 与曲线C 2:y 2=x 2存在唯一的公切线,设该公切线与曲线C 1,C 2分别切于点(x 1,a e x 1),(x 2,x 22),显然x 1≠x 2.由于y 1'=a e x,y 2'=2x ,所以a e x 1=2x 2=ae x 1-x 22x 1-x 2,因此2x 2x 1-2x 22=a e x 1−x 22=2x 2-x 22,所以2x 1x 2-x 22=2x 2,即x 2=2x 1-2.由于a>0,故x 2>0,从而x 2=2x 1-2>0,因此x 1>1.此时a=2x2e x 1=4(x 1-1)e x 1(x 1>1).设F (x )=4(x-1)e x(x>1),则问题等价于当x>1时,直线y=a 与曲线y=F (x )有且只有一个公共点.又F'(x )=4(2−x)e x,令F'(x )=0,解得x=2,所以F (x )在区间(1,2)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减.而F (2)=4e 2,F (1)=0,当x →+∞时,F (x )→0, 所以F (x )的值域为0,4e 2,故a=4e 2. 16.解 (1)由题意得,当a=1时,函数f (x )=ln x-12x 2,其定义域为(0,+∞),因此f'(x )=1x -x=1−x 2x.令f'(x )>0,即1-x 2>0,得0<x<1,所以f (x )在区间(0,1)上单调递增; 令f'(x )<0,即1-x 2<0,得x>1,所以f (x )在区间(1,+∞)上单调递减. 故函数f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (2)由题意,函数f (x )=a 2ln x-12ax 2-(a 2-a )x (a ≠0)的定义域为(0,+∞),11且f'(x )=a 2x -ax-(a 2-a )=-a(x+a)(x-1)x .当a<0时,-a>0, ①若-1<a<0,令f'(x )>0,即(x+a )(x-1)>0,得x>1或0<x<-a ;令f'(x )<0,即(x+a )(x-1)<0,得-a<x<1,所以函数f (x )在区间(1,+∞),(0,-a )上单调递增,在区间(-a ,1)上单调递减.所以当x=1时,函数f (x )取得极小值,不符合题意.②若a=-1,可得f'(x )=(x-1)2x ≥0,此时函数f (x )在区间(0,+∞)上单调递增,函数f (x )无极值,不符合题意.③若a<-1,令f'(x )>0,即(x+a )(x-1)>0,得x>-a 或0<x<1,令f'(x )<0,即(x+a )(x-1)<0,得1<x<-a ,所以函数f (x )在区间(1,-a )上单调递减,在区间(0,1),(-a ,+∞)上单调递增,所以当x=1时,函数f (x )取得极大值,符合题意.当a>0时,-a<0.令f'(x )>0,即(x+a )(x-1)<0,得0<x<1;令f'(x )<0,即(x+a )(x-1)>0,得x>1,所以f (x )在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,函数f (x )取得极大值,符合题意.综上可得,实数a 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,+∞).。
二次函数的应用问题解析
二次函数的应用问题解析Introduction:二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在现实生活中具有广泛的应用。
本文将探讨二次函数在实际问题中的应用，包括最值问题、图像分析问题和最优化问题等。
1. 最值问题：一类常见的二次函数应用问题是求解最值。
以抛物线为例，当抛物线开口朝上时，函数有最小值；当抛物线开口朝下时，函数有最大值。
可以通过二次函数的顶点来确定最值点的坐标。
2. 图像分析问题：对于二次函数的图像分析问题，我们可以通过函数的图像特点来解决。
例如，从二次函数的方程中可以直接读出顶点坐标的横纵坐标值，进而确定函数的对称轴和顶点等。
3. 最优化问题：二次函数的最优化问题是另一种常见的应用情况。
通过求解二次函数的极值点来确定输入变量使得函数取得最大或最小值的情况。
这在经济学、物理学等领域中具有重要意义。
4. 物理应用问题：二次函数在物理学中的应用也是广泛存在的。
例如，在抛体运动中，二次函数可以描述出抛体的抛射轨迹。
通过解析抛物线的方程，可以求解出抛体的最大射程、最大高度等。
5. 经济应用问题：在经济学中，二次函数的应用也非常常见。
例如，成本函数、利润函数等经济学模型经常涉及到二次函数。
我们可以通过优化二次函数来求解最低成本、最高利润等经济问题。
6. 几何应用问题：几何中也有很多与二次函数相关的应用问题。
比如，通过二次函数的方程可以得到圆的方程，进而求解圆与直线的交点等。
Conclusion:二次函数作为数学中的重要内容，在实际问题中有着广泛的应用。
通过解析二次函数的方程，可以解决最值问题、图像分析问题和最优化问题等。
此外，在物理学、经济学和几何学中，二次函数也扮演着重要的角色。
掌握二次函数的应用，对于数学和实际生活都具有重要意义。
专题04函数的性质(单调性,周期性,奇偶性)与最值(解析版)高考数学二轮复习必刷题(新高考地区专用)
专题04函数的性质（单调性，周期性，奇偶性）与最值1．已知函数f （x ）＝a −2e x +1(a ∈R)是奇函数，则函数f （x ）的值域为（ ） A ．（﹣1，1）B ．（﹣2，2）C ．（﹣3，3）D ．（﹣4，4）【解析】解：根据题意，函数f （x ）＝a −2e x +1(a∈R)是奇函数，则f （﹣x ）+f （x ）＝0，即（a −2e x +1）+（a −2e −x +1）＝2a ﹣（2e x +1+2⋅e x e x +1）＝2a ﹣2＝0，解可得a ＝1，则y ＝f （x ）＝1−2e x +1，变形可得e x =1+y1−y ， 则有1+y 1−y＞0，解可得﹣1＜y ＜1，即函数f （x ）的值域为（﹣1，1）；故选：A ．2．若f （x ）为偶函数，满足f （x ）•f （x +3）＝2020，f （﹣1）＝1，则f （2020）的值为（ ） A ．﹣2020B ．﹣1C ．1D ．2020【解析】解：根据题意，函数f （x ）满足f （x ）•f （x +3）＝2020，则有f （x +6）•f （x +3）＝2020， 则f （x +6）＝f （x ）即函数f （x ）是周期为6的周期函数， 则f （2020）＝f （2022﹣2）＝f （﹣2）， 又由f （x ）为偶函数，则f （﹣2）＝f （2）； 而f （2）•f （﹣1）＝2020， 故f （2020）＝2020； 故选：D ．3．下列函数是奇函数的是（ ） A ．y ＝x sin xB ．y ＝x +sin xC ．y =sinxxD ．y =x sinx【解析】解：A ：y ＝f （x ）＝x sin x ，f （﹣x ）＝﹣x sin （﹣x ）＝x sin x ＝f （x ），故A 不符合题意； B ：f （x ）＝x +sin x ，f （﹣x ）＝﹣x ﹣sin x ＝﹣f （x ），为奇函数，故B 符合题意；C ：f （x ）=sinxx ，f （﹣x ）=sin(−x)−x=sinxx =f （x ）为偶函数，不符合题意； D ：y ＝f （x ）=x sinx ，则f （﹣x ）=−x sin(−x)=xsinx=f （x ）为偶函数，不符合题意．故选：B ．4．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝|x |+1B ．y ＝x 3C ．y ＝﹣x 2+1D ．y =(12)x【解析】解：f （x ）＝|x |+1，f （﹣x ）＝|﹣x |+1＝|x |+1＝f （x ），为偶函数， 当x ＞0时，y ＝x +1在（0，+∞）上单调递增，故A 正确； B ：y ＝x 3为奇函数，不符合题意；C ：y ＝﹣x 2+1为偶函数，在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；D ：y ＝（12）x 为非奇非偶函数，不符合题意．故选：A ． 5．已知函数f(x)=−22x+1+2x ，若f （m ）＝2，则f （﹣m ）＝（ ） A ．2B ．0C ．﹣2D ．﹣4【解析】解：根据题意，f(−x)=−22−x +1−2x =−2⋅2x1+2x −2x ， 则f(x)+f(−x)=−2x +2x +−2⋅2xx −2x =−2−2⋅2xx =−2， 则有f （m ）+f （﹣m ）＝﹣2，又由f （m ）＝2，则f （﹣m ）＝﹣4； 故选：D ．6．已知函数f （x ）＝e x ﹣e ﹣x +x 3+3，若f （a ）＝5，则f （﹣a ）＝（ ）A ．2B ．1C ．﹣2D ．﹣5【解析】解：根据题意，函数f （x ）＝e x ﹣e ﹣x +x 3+3，则f （﹣x ）＝e ﹣x ﹣e x ﹣x 3+3， 则f （x ）+f （﹣x ）＝6， 则有f （a ）+f （﹣a ）＝6， 又由f （a ）＝5，则f （﹣a ）＝1； 故选：B ．7．设f （x ）是奇函数且满足f （x +1）＝﹣f （x ），当0≤x ≤1时，f （x ）＝5x （1﹣x ），则f （﹣2020.6）＝（ ） A ．2125B ．710C ．−85D ．−65【解析】解：f （x ）是奇函数且满足f （x +1）＝﹣f （x ）， 可得f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ），函数的周期为2．∴f （﹣2020.6）＝f （﹣2020﹣0.6）＝f （﹣0.6）＝﹣f （0.6）＝﹣5×0.6×（1﹣0.6）=−65． 故选：D ．8．定义在R 上的偶函数f （x ），满足f （x ）＝f （4﹣x ），当x ∈[0，2]时，f （x ）＝x 2+x ，则不等式f （x ）＞2的解集为（ ） A ．（2k +1，2k +3），k ∈Z B ．（2k ﹣1，2k +1），k ∈R C ．（4k +1，4k +3），k ∈ZD ．（4k ﹣1，4k +1），k ∈Z【解析】解：根据题意，函数f （x ）为偶函数且满足f （x ）＝f （4﹣x ），则f （x +4）＝f （4﹣x ﹣4）＝f （﹣x ）＝f （x ），则函数f （x ）是周期为4的周期函数，当x ∈[0，2]时，f （x ）＝x 2+x ，此时若f （x ）＞2，则有x 2+x ＞2，解可得x ＞1或x ＜﹣2，则有1＜x ≤2， 又由f （x ）满足f （x ）＝f （4﹣x ），则函数f （x ）的图象关于直线x ＝2对称，则区间[2，4]上，f （x ）＞2⇒2＜x ＜3，则在区间[0，4]上，f （x ）＞2⇒1＜x ＜3， 又由f （x ）的周期为4，不等式f （x ）＞2的解集为（4k +1，4k +3），k ∈Z ； 故选：C ．9．设定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）•f （x +2）＝1，若f （2）＝2，则f （2020）＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．2D ．12【解析】解：若f （x ）•f （x +2）＝1， 则f （x +4）=1f(x+2)=f （x ）， 即函数f （x ）是周期为4的周期函数， f （2）＝2， 又2020÷4＝505；∴f （2020）＝f （0）=1f(2)=12， 故选：D ．10．已知函数f （x ）={−e x ，x ≥0ax 2，x ＜0，若f （f （0））＝1，则a 的值为（ ）A ．1B ．0C ．﹣1D ．2【解析】解：因为函数f （x ）={−e x ，x ≥0ax 2，x ＜0，故f （0）＝﹣e 0＝﹣1；故f （f （0））＝f （﹣1）＝a （﹣1）2＝1，所以a 的值为1． 故选：A ．11．已知函数f （x ）=2xsinx 4x +a是奇函数，则实数a ＝（ ）A ．1B ．2C ．12D ．13【解析】解：∵f （x ）是奇函数， ∴定义域关于原点对称， 则f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 即2−x sin(−x)4−x +a =−2x sinx 4x +a，即2−x 4−x +a=2x 4x +a，得2﹣x （4x +a ）＝2x （4﹣x +a ），即2﹣x 4x +a 2﹣x ＝2x 4﹣x +a 2x得2x +a 2﹣x ＝2﹣x +a 2x ，得a ＝1， 故选：A ．12．已知函数f （x ）＝cos x ﹣2|x |，则（ ） A ．f （log 413）＞f （−√2）＞f （√33）B ．f （−√33）＞f （log 312）＞f （√2）C ．f （√33）＞f （−√2）＞f （log 615）D ．f （√2）＞f （√33）＞f （log 514）【解析】解：由已知易得f （x ）为偶函数，且当x ∈[0，π2]时，f （x ）＝cos x ﹣2x 单调递减，因为log 43＜√2＜√33且f （−√2）＝f （√2），f （log 413）＝f （log 43）， 所以f （log 413）＞f （−√2）＞f （√33）． 故选：A ．13．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则（ ） A ．f(21.1)＞f(ln3)＞f(log 132)B ．f(21.1)＞f(log 132)＞f(ln3)C ．f(ln3)＞f(21.1)＞f(log 132)D ．f(ln3)＞f(log 132)＞f(21.1)【解析】解：∵函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增， 又21.1＞21＝2，ln 3∈（1，2），log 32∈（0，1），且f （log 132）＝f （log 32）， 所以21.1＞ln 3＞log 32， 所以f （21.1）＞f （ln 3）＞f （log 132）． 故选：A ．14．已知函数f （x ）＝sin x ﹣x ，则下列关系不正确的是（ ） A ．函数f （x ）是奇函数B ．函数f （x ）在R 上单调递减C ．x ＝0是函数f （x ）的唯一零点D ．函数f （x ）是周期函数【解析】解：因为f（x）＝sin x﹣x，则f（﹣x）＝sin（﹣x）+x＝﹣sin x+x＝﹣f（x），故A正确；f′（x）＝cos x﹣1≤0，故f（x）在R上单调递减，B正确；由f（x）在R上单调递减且f（0）＝0可得x＝0为函数的唯一的零点，C正确；由于y＝sin x为周期函数，但y＝x不是周期函数，故f（x）＝sin x﹣x不是周期函数，故D错误．故选：D．15．已知奇函数y＝f（x）（x∈R）满足：对一切x∈R，f（1+x）＝f（1﹣x）且x∈[0，1]时，f（x）＝e x﹣1，则f（2020）＝（）A．1B．1﹣e C．0D．e﹣1【解析】解：根据题意，对任意t∈R都有f（1+x）＝f（1﹣x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，又由函数y＝f（x）为奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于原点对称，则有f（x+2）＝f[1+（x+1）]＝f[1﹣（x+1）]＝f（﹣x），故f（x+4）＝f[（x+2）+2]＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数y＝f（x）为周期为4的周期函数，则f（2020）＝f（0），又由x∈[0，1]时，f（x）＝e x﹣1，则f（2020）＝f（0）＝e0﹣1，故选：C．16．设函数f（x）＝ln（4+x2）+x2+1，则使得f（x）＜f（2x+3）成立的x的取值范围是（）A．（﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣3，﹣1）D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞）【解析】解：因为函数f（x）在定义域R上偶函数且在[0，+∞）上是增函数，所以f（x）＜f（2x+3）⇔|x|＜|2x+3|⇔x2＜（2x+3）2，解得x＜﹣3或x＞﹣1，所以x的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞）．故选：D．17．设函数f(x)=e x1−e x，下列说法中正确的是（）A．f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0）∪（0，+∞）B．f（x）图象的对称中心为(0，−1 2 )C．f（x）图象的对称中心为(−12，0)D．f（x）的值域为（﹣1，0）【解析】解：函数f(x)=e x1−e x，可得函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），由于f′(x)=e x(1−e x)2＞0，所以函数的单调递增区间为（﹣∞，0）和（0，+∞）故选项A错误．由于f （x ）=e x 1−e x =−1+11−e x， 因为e x ＞0e ，所以1﹣e x ＜1，所以：f(x)=e x 1−e x =−1+11−e x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），故选项D 错误． 由于f(x)=e x1−e x ，所以f(−x)=e −x 1−e −x =−11−e x， 则f （x ）+f （﹣x ）＝﹣1，所以函数f （x ）的对称中心为（0，−12），故选项B 正确，选项C 错误． 故选：B ．18．已知f （x ）＝1+2x ﹣|1﹣2x |，则f （x ）的值域是（ ） A ．（﹣∞，2]B ．（0，2]C ．（0，3]D ．[1，2]【解析】解：①当x ≤0时，0＜2x ≤1， ∴f （x ）＝1+2x ﹣1+2x ＝2•2x ， ∵0＜2x ≤1， ∴0＜2•2x ≤2， ∴0＜f （x ）≤2； ②当x ＞0时，2x ＞1， ∴f （x ）＝1+2x +1﹣2x ＝2， ∴f （x ）的值域为（0，2]． 故选：B ．19．已知奇函数f （x ）的定义域为R ，若f （x +1）为偶函数，且f （1）＝2，则f （2019）+f （2020）＝（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1【解析】解：根据题意，函数f （x ）为奇函数，则﹣f （x ）＝f （﹣x ），又由f （x +1）为偶函数，则函数f （x ）的图象关于x ＝1对称，则有f （﹣x ）＝f （2+x ）＝f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x +4）＝f （x ）即函数的周期为4，且f （1）＝2，则f （2019）＝f （﹣1+2020）＝f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣2，f （2020）＝f （0）＝0， 则f （2019）+f （2020）＝﹣2 故选：A ．20．若函数f(x)=ln 1−x1+x −x ，且f （2a ）+f （a ﹣1）＞0，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，13）B ．(−12，13)C ．(0，13)D ．(0，12)【解析】解：由题知f （x ）的定义域为（﹣1，1），且f(x)=ln 1−x1+x −x =ln(21+x −1)−x ，所以f （﹣x ）＝ln1+x 1−x+x =−ln1−x 1+x+x ＝﹣f （x ），所以f （x ）为奇函数且在（﹣1，1）上单调递减．由f （2a ）+f （a ﹣1）＞0，可知f （2a ）＞﹣f （a ﹣1）＝f （1﹣a ），于是有{−1＜1−a ＜1−1＜2a ＜12a ＜1−a，解得0＜a ＜13．故选：C ．21．下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是（ ） A ．f （x ）＝e x ﹣1 B ．f （x ）＝x +1xC ．f （x ）=2x −xD ．f （x ）=2x −x 2【解析】解：A ．f （x ）为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．B ．函数的定义域为{x |x ≠0}，f （﹣x ）＝﹣f （x ），函数f （x ）是奇函数，由f （x ）＝0得x 2+1x=0，此时方程无解，即f （x ）不存在零点，不满足条件．C ．函数的定义域为{x |x ≠0}，f （﹣x ）＝﹣f （x ），函数f （x ）是奇函数，由f （x ）＝0得2−x 2x =0得x ＝±√2，函数存在零点，满足条件．D ．f （1）＝2﹣1＝1，f （﹣1）＝﹣2﹣1＝﹣3，则f （﹣1）≠﹣f （1），即函数f （x ）不是奇函数，不满足条件． 故选：C ．22．若曲线y ＝e x 关于直线y ＝x +m （m ≠0）的对称曲线是y ＝ln （x +a ）+b ，则ba 的值为（ ）A ．2B ．﹣1C ．1D ．不确定【解析】解：在曲线y ＝e x 上任取一点P （t ，e t ）， P 关于直线y ＝x +m （m ≠0）的对称点为Q （e t ﹣m ，t +m ）， 点Q 在曲线y ＝ln （x +a ）+b 上，则t +m ＝ln （e t ﹣m +a ）+b ，它对一切t ∈R 恒成立， 故a ＝m ，b ＝m ，从而ba =1．故选：C ．23．已知函数f （x ）＝ln |x ﹣1|+e x ﹣1+e﹣x +1，则关于x 的不等式f(x −1)＞e +1e 的解集为（ ）A ．（﹣∞，0）∪（2，+∞）B ．（0，2）C ．（1，3）D ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）【解析】解：令g （x ）＝f （x +1）＝ln |x |+e x +e ﹣x ，所以g（﹣x）＝ln|x|+e x+e﹣x，即g（x）为偶函数，当x≥0时，g（x）＝lnx+e x+e﹣x，令h（x）＝e x+e﹣x，x＞0，则h′（x）＝e x﹣e﹣x＞0，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，y＝lnx在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（2）＝e+1e，所以g（1）＝f（2）＝e+1e，则关于x的不等式f(x−1)＞e+1e可转化为g（x﹣2）＞g（1），所以|x﹣2|＞1，解可得x＞3或x＜1．故选：D．24．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则下列结论正确的是（）①f（x）的图象关于直线x＝1对称；②f（x）是周期函数，且2是其一个周期；③f(163)＜f(12)；④关于x的方程f（x）﹣t＝0（0＜t＜1）在区间（﹣2，7）上的所有实根之和是12．A．①④B．①②④C．③④D．①②③【解析】解：由题意，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，即f（x+2）＝f（﹣x）可知f（x）的图象关于直线x＝1对称，①正确；因为f（x）是奇函数，所以f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以f（x）是周期函数，其一个周期为4，但不能说明2是f（x）的周期，故②错误；由f（x）的周期性和对称性可得f(163)=f(4+43)=f(43)=f(23)．又当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），所以f（x）在x∈[0，1]时单调递增，所以f(12)＜f(23)，即f(163)＞f(12)，③错误；又x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则可画出f（x）在区间[﹣4，8]上对应的函数图象大致如下．易得f （x ）﹣t ＝0（0＜t ＜1）即f （x ）＝t （0＜t ＜1）在区间（﹣2，7）上的根分别关于1，5对称， 故零点之和为2×（1+5）＝12，④正确． 故选：A ．25．已知函数f （x ）＝lnx 2+e |x |+cos x ，a =log 314，b =log 9115，c =232，则f （a ），f （b ），f （c ）满足（ ） A ．f （a ）＜f （b ）＜f （c ） B ．f （b ）＜f （a ）＜f （c ） C ．f （b ）＜f （c ）＜f （a ）D ．f （a ）＜f （c ）＜f （b ）【解析】解：函数f （x ）＝lnx 2+e |x |+cos x ，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）； 由f （﹣x ）＝lnx 2+e |x |+cos （﹣x ）＝lnx 2+e |x |+cos x ＝f （x ） ∴f （x ）是偶函数当x ＞0时，f （x ）＝lnx 2+e x +cos x ， 所以f ′（x ）=2x +e x −sinx ＞0， 可知f （x ）在（0，+∞）单调递增， 由f （﹣a ）＝f （a ）＝f （log 34）f （﹣b ）＝f （b ）＝f （12log 315）＝f （log 3√15）c =232，可知log 3√15＜log 34＜232 ∴f （b ）＜f （a ）＜f （c ）； 故选：B ． 26．函数f （x ）=|x 4−ax 3−bx 2+ax+1|x 2，∀a ，b ∈R ，x ∈[1，2]上f （x ）最大值M （a ，b ）的最小值为（ ）A ．916B ．932C ．716D ．732【解析】解：f(x)=|x 4−ax 3−bx 2+ax+1|2=|x 2+12−a(x −1x )−b|=|（x −1x ）2﹣a （x −1x ）﹣b +2|， 设t ＝x −1x ，x ∈[1，2]，则t ∈[0，32]， f （x ）＝g （t ）＝|t 2﹣at ﹣b +2|，t ∈[0，32]，由题意M （a ，b ）≥g （0）＝|2﹣b |，① M （a ，b ）≥g （32）＝|174−32a ﹣b |，②M （a ，b ）≥g （34）＝|4116−34a ﹣b |，③由①+②+③×2，可得M （a ，b ）+M （a ，b ）+2M （a ，b ）≥|2﹣b |+|174−32a ﹣b |+|4116−34a ﹣b |≥|2﹣b +174−32a ﹣b +32a +2b −418|=98，∴M （a ，b ）≥932，当且仅当b =5532，a =32时，等号同时成立， ∴M （a ，b ）的最小值为932．故选：B ．27．已知函数f （x ）＝2x ﹣x 3+e ﹣x ﹣e x ，其中e 为自然对数的底数，则不等式f （2x 2）+f （x ﹣1）＞0的解集是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（12，+∞）B ．（﹣∞，−12）∪（1，+∞）C ．（﹣1，12）D ．（−12，1）【解析】解：f （﹣x ）＝﹣2x +x 3+e x ﹣e ﹣x ＝﹣f （x ），则f （x ）是奇函数， f （0）＝0，当x ≥0时，f ′（x ）＝2﹣3x 2﹣e ﹣x ﹣e x ＝﹣3x 2﹣（e ﹣x ﹣2+e x ）≤﹣3x 2﹣（2√e −x e x −2）＝﹣3x 2≤0，即f（x ）为减函数，即f （x ）在R 上为减函数，则不等式f （2x 2）+f （x ﹣1）＞0等价为f （2x 2）＞﹣f （x ﹣1）＝f （1﹣x ）， 即2x 2＜1﹣x ，即2x 2+x ﹣1＜0，得﹣1＜x ＜12， 即原不等式的解集为（﹣1，12），故选：C ．28．已知函数f （x ）＝x 2+2cos x ，则不等式f （2x ﹣1）＜f （3x ）的解集是（ ） A ．(−1，15)B ．(−15，1)C ．(−∞，−1)∪(15，+∞)D ．(−∞，−15)∪(1，+∞)【解析】解：f （﹣x ）＝（﹣x ）2+2cos （﹣x ）＝x 2+2cos x ＝f （x ）， 即f （x ）是偶函数，f ′（x ）＝2x ﹣2sin x ＝2（x ﹣sin x ）当x ≥0时，[f ′（x ）]′＝2（1﹣cos x ）≥0，即f ′（x ）在[0，+∞）上为增函数， ∴f ′（x ）≥f ′（0）＝0， 即f （x ）在[0，+∞）上为增函数，则不等式f （2x ﹣1）＜f （3x ）等价为f （|2x ﹣1|）＜f （|3x |）， 即|2x ﹣1|＜|3x |， 平方得4x 2﹣4x +1＜9x 2， 得5x 2+4x ﹣1＞0，即（x +1）（5x ﹣1）＞0，得x ＞15或x ＜﹣1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（15，+∞）， 故选：C ．29．已知a ，b ∈R ，则（a ﹣b ）2+（a ﹣1−b 22）2的最小值为（ ） A ．√24B ．18C ．√22D ．14 【解析】解：（a ﹣b ）2+（a ﹣1−b 22）2可理解为两点之间距离的平方，即点（a ，a ﹣1）和点（b ，b 22）距离之间的平方．这两点分别在直线y ＝x ﹣1和曲线f （x ）=x 22上，故此题可转化为求直线y ＝x ﹣1到曲线y =x 22的距离最小值的平方． 设直线y ＝x +m 与曲线y =x 22相切与点P （x 0，y 0） 由f （x ）=x 22，得f ′（x ）＝x ．则f ′（x 0）＝1，得x 0＝1，得切点P （1，12） ∴直线y ＝x ﹣1到曲线y =x 22的距离最小值的平方为切点P 到直线y ＝x ﹣1的距离的平方， 即d 2=(1−1−12√1+1)2=142=18． 故选：B ．30．已知函数f(x)={1−|2x −3|，x ∈[1，2]−f(12x)，x ∈(2，8]，则下列结论正确的是（ ） A ．f （2）＝f （7）B ．函数f （x ）有5个零点C ．函数f （x ）在[3，6]上单调递增D ．函数f （x ）的值域为[﹣2，4]【解析】解：A ．f （2）＝1﹣|2×2﹣3|＝0，f （7）＝﹣f （72）＝﹣[﹣f （74）]＝f （74）＝1﹣|2×74−3|=12， 所以f （2）≠f （7），故A 错误．B ．当x ∈[1，2]，令f （x ）＝1﹣|2x ﹣3|＝0，解得x ＝1或x ＝2，当x ∈（2，8]，令f （x ）＝﹣f （12x ）＝0，得f （12x ）＝0， 此时12x∈（1，4]， ①当12x∈（1，2]，即x ∈（2，4]时， f （12x ）＝1﹣|2•12x −3|＝1﹣|x ﹣3|， 令f （12x ）＝1﹣|x ﹣3|＝0得x ＝2（舍）或x ＝4， ②当12x∈（2，4]，即x ∈（4，8]时， f （12x ）＝﹣f （14x ）＝﹣[1﹣|2•14x −3|]＝﹣1+|12x −3|， 令f （12x ）＝0，得x ＝4（舍）或x ＝8， 故函数f （x ）的零点为：1，2，4，8，共4个零点，故B 错误．C ．当x ∈[3，6]时，f （x ）＝﹣f （12x ）， 此时12x∈[32，3]， 当12x∈[32，2]，即x ∈[3，4]时，f （x ）＝﹣f （12x ）＝﹣[1﹣|2•12x −3|]＝﹣1+|x ﹣3|＝﹣1+x ﹣3＝x ﹣4， 当12x∈（2，3]，即x ∈（4，6]时，f （x ）＝﹣f （12x ）＝﹣[﹣f （14x ）]＝f （14x ）＝1﹣|2•14x −3|＝1﹣|12x −3|＝1﹣（3−12x ）=12x −2，所以f （x ）={x −4，x ∈[3，4]12x −2，x ∈(4，6]， 分段函数f （x ）在每一段上均单调递增，且4﹣4=12⋅4−2，所以函数f （x ）单调递增．D ．当x ∈[1，2]，f （x ）＝1﹣|2x ﹣3|={−2x +4，x ∈[32，2]2x −2，x ∈[1，32)， 此时f （x ）∈[0，1]，当x ∈（2，8]，f （x ）＝﹣f （12x ）={ −x +2，x ∈(2，3]x −4，x ∈(3，4]12x −2，x ∈(4，6]−12x +4，x ∈(6，8]此时f（x）∈[﹣1，1]，综上所述，函数f（x）的值域为[﹣1，1]，故D错误．故选：C．。
高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.2 函数的单调性(解析版)
第二讲函数的单调性1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【套路秘籍】---千里之行始于足下考向一 单调区间求解【例1】（1）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A.y ＝2－xB.y ＝xC.y ＝log 2xD.y ＝－1x(2)函数f (x )＝ln (x 2－2x －8) 的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) (3)求函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|的单调区间 ． (4)求函数f (x )＝x －ln x 的单调区间 ．(5)函数33y x x =-的单调增区间为__________． 【答案】见解析【解析】（1）只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且y ＝2－x是减函数，y ＝x 是增函数.选B （2）由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数． 要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间．∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D. （3）先作出函数y ＝x 2－4x ＋3的图象，由于绝对值的作用，把x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图象．如图所示．由图可知f (x )在(－∞，1]和[2,3]上为减函数，在[1,2]和[3，＋∞)上为增函数，故f (x )的增区间为[1,2]，[3，＋∞)，减区间为(－∞，1]，[2,3]．（4）由题意，得x >0.y ′＝1－1x ＝x －1x.由y ′＝0解得x ＝1.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始列表如下：由上表可知，函数的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．（5）21119033y x x '=->∴-<< ，即单调增区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【举一反三】1．下列函数中，在(0,+∞)上单调递减的是( )A ． f(x)=lnxB ． f(x)=(x −1)2C ． f(x)=2−xD ． f(x)=x 3 【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，函数f(x)=lnx 为对数函数，在(0,+∞)上为增函数，不符合题意．【套路总结】一．函数单调性的判断方法有 ①定义法； ②图象法；③利用已知函数的单调性； ④导数法.二．复合函数y ＝f (g (x ))的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.对于B ，函数f(x)=(x −1)2为二次函数，在(−∞,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，不符合题意． 对于C ，函数f(x)=2−x =(12)x 为指数函数，在(0,+∞)上单调递减，符合题意．对于D ，函数y =x 3为幂函数，在(0,+∞)上为增函数，不符合题意．故选C ． 2．函数f (x )=log 2(4+3x −x 2)的单调递减区间是（ ） A ． (−∞,32] B ． [32,+∞) C ． (−1,32] D ． [32,4) 【答案】D【解析】函数f （x ）=log 2（4+3x-x 2），令t=4+3x-x 2＞0，求得-1＜x ＜4，即函数的定义域为（-1，4），且f （x ）=log 2t ，即求函数t 在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得t=4+3x-x 2在定义域内的减区间为[32,4).故选D ． 3．函数()| g x x =的单调递增区间是 ( )A ． [)0+∞，B ． (]0-∞，C ． (]2-∞-，D ． [)2+-∞， 【答案】A【解析】任取120,x x >> 则120,x x -> ()()()()121212120,g x g x x x x x g x g x ->-=->> ，所以函数()| g x x =的单调递增区间是[)0+∞，，故选A.考向二 单调性的运用一---比较大小【例2】定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3) 【答案】A【解析】 ∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．故选A.【举一反三】1.已知f (x )＝2x－2－x，117459279,,log 97a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则f (a )，f (b )，f (c )的大小顺序为( ) A.f (b )<f (a )<f (c ) B.f (c )<f (b )<f (a ) C.f (c )<f (a )<f (b ) D.f (b )<f (c )<f (a )【答案】B【解析】易知f (x )＝2x －2－x在(－∞，＋∞)上是增函数，又a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9714>⎝ ⎛⎭⎪⎫9715＝b >0，c ＝log 279<0，∴f (a )>f (b )>f (c ).2.已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c【套路总结】(1)比较大小：县判断出函数的单调性，再根据自变量的大小判断出函数值的大小关系。
高考数学专题复习 二次函数及幂函数(解析版)
第七讲二次函数与幂函数【套路秘籍】1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数图像【套路修炼】考向一 幂函数概念及性质【例1】已知幂函数223(22)n nf x n n x －＝＋－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________． 【答案】 1【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意．【举一反三】1．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m 2+2m−3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m =() A ．−1 B ．2 C ．3 D ．2或−1【答案】A【解析】∵函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+2m−3是幂函数，∴m 2−m −1=1，解得：m =2或m =−1，m =2时，f(x)=x ，其图象与两坐标轴有交点不合题意，m =−1时，f(x)=1x 4，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故m =−1，故选：A ． 2．已知函数f （x ）=(3m 2−2m )x m 是幂函数，若f （x ）为增函数，则m 等于（ ） A ．−13B ．−1C ．1D ．−13或1【答案】C，【解析】函数f（x）=（3m2-2m）x m是幂函数，则3m2-2m=1，解得m=1或m=-13又f（x）为增函数，则m=1满足条件，即m的值为1．故选：C．3．已知幂函数f(x)=xα的图像过点(2,√2)，则下列说法正确的是（）A．f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增B．f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减C．f(x)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D．f(x)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】C，故f（x）=√x，【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，√2），∴√2=2α，解得α=12故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．，3}，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）4．设α∈{−1，1，12，1 C．−1，3 D．1，3A．−1，1，3 B．12【答案】D【解析】当α＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当α＝1时，函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，满足要求；函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当α=12当α＝3时，函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．考向二图像问题,1,3}时，幂函数y=xα的图象不可能经过的象限是【例2】（1）当α∈{−1,12A．第二象限 B．第三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限（2）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x≥0），g（x）＝log a x的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】（1）D （2）D【解析】（1）因为y=x−1经过第一、三象限；y=x12经过第一象限；y=x1经过第一、三象限；y=x3经过第一、三象限；所以不可能经过的象限是第二、四象限，选D.（2）∵实数a＞0且a≠1，∴函数f（x）＝x a（x＞0）是上增函数，故排除A；∴当a＞1时，在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是下凹增函数，g（x）＝log a x的是增函数，观察四个选项，没有符合条件选项；当0＜a＜1时，∴在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是增函数，g（x）＝log a x是减函数，由此排除B和C，符合条件的选项只有D．故选：D．【举一反三】1．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x 12的图象可能是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】幂函数y=x12为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有④符合．故选：D．2．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①y=x 13，②y=x2，③y=x12，④y=x−1B．①y=x3，②y=x2，③y=x 12，④y=x−1C．①y=x2，②y=x3y=x3，③y=x−1，④y=x12D．①y=x 13，②y=x12，③y=x2，④y=x−1【答案】B【解析】②的图象关于y 轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．3．在同一直角坐标系中，函数f(x)=x a (x ≥0)，g(x)=log a x(a >0,且a ≠1)的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】对于A 项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A 项不满足要求； 对于B 项，幂函数a >1，对数函数0<a <1，所以B 项不满足要求；对于C 项，幂函数要求0<a <1，而对数函数要求，a >1，所以C 项不满足要求； 对于D 项，幂函数与对数函数都要求0<a <1，所以D 项满足要求；故选D. 4．如图是幂函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1<n<0,0<m<1B ．n<－1,0<m<1C ．－1<n<0，m>1D ．n<－1，m>1 【答案】B【解析】由题图知，y =x m 在[0,+∞)上是增函数，y =x n 在(0,+∞)上为减函数，∴m >0,n <0， 又当x >1时，y =x m 的图象在y =x 的下方，y =x n 的图象在y =x −1的下方，∴m <1,n <−1， 从而0<m <1,n <−1，故选B.考向三 比较大小【例3】设a =(35)25,b =(25)35,c =(25)25，则a,b,c 的大小关系是 A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．b >c >a【答案】A【解析】对于函数y =(25)x ，在(0,+∞)上是减函数，∵35>25，∴(25)35<(25)25，即b <c ；对于函数y =x 25，在(0,+∞)上是增函数，∵35>25，∴(35)25>(25)25，即a >c ．从而b <c <a ．故A 正确．【举一反三】1.已知点(m,9)在幂函数f(x)=(m −2)x n的图象上，设a =f(m − 13),b =f(ln 13)，c =f(√22) 则a,b,c 的大小关系为（ ） A ．a <c <b B ．b <c <a C ．c <a <b D ．b <a <c【答案】A【解析】由f(x)=(m −2)x n 为幂函数得m −2=1,m =3, 因为点(3,9)在幂函数f(x)上，所以3n =9，n =2,即f(x)=x 2，因为a =f (m − 13)=f (3− 13),b =f (ln 13)=f (ln3),又3− 13<√22<1<ln3,所以a <c <b ，选A.2．设a =20.3，b =30.2，c =70.1，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a <c <b B ．c <a <b C ．a <b <c D ．c <b <a【答案】B【解析】由题意得：a =20.3=√2310=√810，b =30.2=√3210=√910，c =70.1=√710y =√x 10在(0,+∞)上是增函数且9>8>7∴b >a >c 本题正确选项：B 3.．已知a =(√2)125，b =925，c =4log 4e 2，则下列结论成立的是（ ） A ．a <b <c B ．c <b <a C ．b <a <c D ．a <c <b 【答案】A【解析】a =265=6415，b =345=8115，∵64<81，∴6415<8115，即a <b ，c =e 2>4>3>345=b ，故a <b <c ，选A .考向四 二次函数解析式【例4】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. (3)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.【答案】（1）f (x )＝x 2－2x ＋3 （2）x 2＋2x （3）x 2＋2x ＋1【解析】（1）由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.（2）设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .（3）设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)，又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1， 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.【举一反三】1.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】 x 2－4x ＋3【解析】因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.2.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.3.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式． 【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.4.已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R)．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57 【解析】(1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题，知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0⇒15<b <57，即实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57. 考向五 二次函数的性质【例5】（1）设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．（2） 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________ （3） 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 【答案】（1）[0,2] （2）[－3,0] （3）38或－3【解析】（1）二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0， 又由－－2a 2a＝1得图象的对称轴是直线x ＝1，所以a >0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. （2）当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．（3）f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.【举一反三】1．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________. 【答案】 2或－1【解析】函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.2．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是______．【答案】 [7，＋∞)【解析】 函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.3．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】 [－2,0]【解析】当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．考向六 二次函数恒成立【例6】 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．(2)函数f (x )＝a 2x＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________． 【答案】（1） (－∞，－1) （2）2【解析】（1）设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.（2） 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2.1.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． 【答案】【解析】(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)解法一：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．解法二：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1－k >0在区间[－3，－1]上恒成立，设g (x )＝x 2＋x ＋1－k ，则g (x )在[－3，－1]上单调递减，∴g (－1)>0，得k <1.2.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞【解析】由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.3.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________． 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】 因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 考向七 二次函数根的分布【例7】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是． 【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【举一反三】1.已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是． 【答案】[]1,0-【解析】当0a =时，方程为1()202x -+=，解得1x =-，符合；当0a ≠时，记2()2f m am m =-+，其中1()2x m =．当[1,0]x ∈-时，1()[1,2]2x m =∈，所以题目条件等价于函数2()2f m am m =-+在区间[1,2]内有零点．当0a >时有函数对称轴102x a =>，若180a ∆=-=，即18a =，此时21()28f m m m =-+的零点为4m =，不符合．因为(2)40f a =>，180a ∆=->，即18a <，所以可知对称轴142x a=>，画图可知此时()f m 在区间[1,2]内无零点． 当0a <时有函数对称轴102x a=<，此时180a ∆=->恒成立．因为(2)40f a =<，所以有(1)10f a =+≥，解得1a ≥-．所以此时10a -≤<．综上可得，10a -≤≤．2.若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是． 【答案】5(2,)2【解析】因为关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为,αβ，且012αβ<<<<则满足(1)020(2)0520<-<⎧⎧∴⎨⎨>->⎩⎩f m f m ，这样可以解得m 的范围5(2,)2． 3.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是（ ）A ．()12,20B ．()12,18C ．()18,20D ．()8,18 【答案】A【解析】由题意得()()()20420{10{1000f b c f b c f c ->-+>-<⇒-+<>>，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为()()()2,0,1,0,3,2A B C ）：，而()393f b c =++，所以直线()393f b c =++过C 取最大值20，过B 点取最小值12，()3f 的取值范围是()12,20，选A ．4.已知函数()42f x x x x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________．【答案】()64,81【解析】根据题意，()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知，126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅()()2111166x x x x =⋅-⋅-+=()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦，()()21123,398,9x x <<∴--+∈，()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81．【套路运用】1．已知函数f(x)=(m −1)2x m2−4m+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则m =( )A ．0或4B ．0或2C ．0D ．2 【答案】C【解析】∵f （x ）是幂函数，∴（m ﹣1）2＝1，得m ＝0，或m ＝2，∵f （x ）在（0，+∞）上单调递增，∴m 2﹣4m +2＞0，则当m ＝0时，2＞0成立， 当m ＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C ． 2．已知幂函数f （x ）=x a （a 是常数），则（ ） A ．f(x)的定义域为RB ．f(x)在(0,+∞)上单调递增C ．f(x)的图象一定经过点(1,1)D ．f(x)的图象有可能经过点(1,−1)【答案】C【解析】（1）对于A ，幂函数f （x ）=x a 的定义域与a 有关，不一定为R ，A 错误； （2）对于B ，a ＞0时，幂函数f （x ）=x a 在（0，+∞）上单调递增，a ＜0时，幂函数f （x ）=x a 在（0，+∞）上单调递减，B 错误；（3）对于C ，幂函数f （x ）=x a 的图象过定点（1，1），C 正确；（4）对于D ，幂函数f （x ）=x a 的图象一定不过第四象限，D 错误． 故选：C ．3．如图所示的曲线是幂函数y =x α在第一象限的图象，已知α∈{−4,−14,14,4}，相应曲线C 1,C 2,C 3,C 4对应的α值依次为（ ）A ．−4，−14，14，4B ．4，14，−14，−4C ．−14，−4，4，14D ．4，14，−4，−14 【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线C 1,C 2,C 3,C 4对应的α值依次为4，14，−14，−4．故选B ． 4．函数y =2|x |−x 2(x ∈R )的图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由于函数y=2|x|﹣x 2（x ∈R ）是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除B 、D ． 再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C ，从而得到应选A ，故选：A ．5．已知函数g （x ）=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象经过定点M ，若幂函数f （x ）=x α的图象过点M ，则α的值等于（ ）A ．﹣1B ．12 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】∵y=log a （x ﹣3）+2（a ＞0，a ≠1）的图象过定点M ，∴M （4，2），∵点M （4，2）也在幂函数f （x ）=x α的图象上，∴f （4）=4α=2，解得α=12，故选：B ． 6．已知幂函数y =x n 在第一象限内的图象如图所示，则曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 值可能依次为A ．–2，–12，12，2B ．2，12，–12，–2C ．–12，–2，2，12D ．2，12，–2，–12【答案】B【解析】由图象可知：C 1的指数n>1，C 2的指数0<n<1，C 3，C 4的指数小于0，且C 3的指数大于C 4的指数．据此可得，只有B 选项符合题意．故选B ．7．幂函数y =x n 是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n 的值可以是 A ．3 B ．1 C ．0 D ．–1 【答案】D【解析】根据幂函数的性质判断出幂函数y =x n 是奇函数时，指数n 为奇数；幂函数y =x n 的图象与两坐标轴不相交时，幂函数的指数n 小于0，对照选项，只有D 正确．故选D ． 8．在函数y =1x 2,y =2x 2,y =x 2+x,y =3x 中，幂函数的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】显然，根据幂函数定义可知，只有y =1x 2=x −2是幂函数，故选B ． 9．已知函数y =x a ,y =x b ,y =c x 的图象如图所示，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．c <b <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．a <c <b 【答案】A【解析】由图像可知，a >1,b =12,0<c <12，得a >b >c ，故答案为：A. 10．当α∈{−1,12,3}时，幂函数y =x α的图象不可能经过的象限是A ．第二象限B ．第三象限C ．第四象限D ．第二、四象限 【答案】D 【解析】y =x−1的图象经过第一、三象限，y =x 12的图象经过第一象限，y =x 的图象经过第一、三象限，y =x 3的图象经过第一、三象限．故选D ．11．已知正实数a,b,c 满足log a 2=2，log 3b =13，c 6=172，则a,b,c 的大小关系是（ ）A．a<b<c B．a<c<bC．c<b<a D．b<a<c【答案】B【解析】由题得a2=2,∴a6=8,b=313,∴b6=32=9,<9,a,b,c都是正数，所以a<c<b.故选：B因为8<17212．已知幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，√2），则函数f（x）为（）A．奇函数且在(0,+∞)上单调递增B．偶函数且在(0,+∞)上单调递减C．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增D．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减【答案】C，【解析】∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，√2），∴2a=√2，解得a=12∴函数f（x）=x12，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C．13．已知函数y=x m2−5m+4（m∈Z）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（）A．2或3 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】幂函数y=x m2−5m+4为偶函数，且在(0,+∞)递减，∴m2−5m+4<0，且m2−5m+4是偶数，由m2−5m+4<0得1<m<4，又由题设m是整数，故m的值可能为2或3，验证知m=2或者3时，都能保证m2−5m+4是偶数，故m=2或者3即所求．故选：A14．已知函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)=x2−3x，则（）A．f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5)B．f(tan70∘)>f(−1.5)>f(1.4)C．f(1.4)>f(tan70∘)>f(−1.5)D．f(−1.5)>f(1.4)>f(tan70∘)【答案】A【解析】当x>0时，f(x)=(x−1.5)2−1.52，tan70∘−1.5>tan60∘−1.5≈0.232，又函数f(x)为偶函数，所以f(−1.5)=f(1.5)，1.5−1.4=0.1，根据二次函数的对称性以及单调性，所以f(tan70∘)>f(1.4)>f(−1.5).故选A15．已知函数f(x)=x2+mx+1在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数m的取值范围是( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]C．[2,+∞)D．R【答案】A【解析】由题意，函数f (x )=x 2+mx +1表示开口向上，且对称轴的方程为x =−m2， 要使得函数f (x )在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数, 则−1≤−m2≤1，解得−2≤m ≤2，故选A.16．幂函数f(x)=(m 2−2m +1)x 2m−1在(0,+∞)上为增函数，则实数m 的值为____________． 【答案】2【解析】由函数f(x)=(m 2−2m +1)x 2m−1是幂函数，则m 2−2m +1=1，解得m =0或m =2； 当m =0时，f(x)=x −1，在(0,+∞)上为减函数，不合题意；当m =2时，f(x)=x 3，在(0,+∞)上为增函数，满足题意．故答案为：2．17. 已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m 是幂函数，且f(x)在(0,+∞)上单调递增，则实数m =________. 【答案】2【解析】∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在区间（0，+∞）上单调递增， ∴{m 2−m −1=1m ＞0，解得m ＝2或-1（舍）．故答案为：2．18．已知幂函数f(x)=(k 2−2k −7)x k−1在(0,+∞)上是减函数，则实数k 的值为__________． 【答案】-2【解析】因为函数f(x)=(k 2−2k −7)x k−1是幂函数，所以k 2−2k −7=1，即(k +2)(k −4)=0， 解得k =−2或k =4，当k =−2时，f(x)=x −3，满足在(0,+∞)上是减函数，当k =4时，f(x)=x 3，在(0,+∞)上是增函数，所以k =−2，故答案是：−2. 19．若f(x)=(m −1)2x m 是幂函数且在(0,+∞)单调递增，则实数m =_______. 【答案】2【解析】f(x)=(m −1)2x m 为幂函数，所以(m −1)2=1，解得m =0或2. 当m =0时，f (x )=x 0=1，在(0,+∞)不单调递增，舍去； 当m =2时，f(x)=x 2，在(0,+∞)单调递增成立.故答案为：m =2. 20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x12(1−8m−m 2)的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x +1）>f （x –2）． 【答案】（1）f （x ）=x –4；（2）{x |x <12，x ≠0}．【解析】（1）因为f （x ）是幂函数，所以m 3–m+1=1，解得m ∈{0，±1}，又f （x ）的图象与x 轴和y 轴都无交点，经检验，只有当m=1时符合题意，所以m=1，此时f （x ）=x –4； （2）f （x ）=x –4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f （x+1）>f （x –2）成立，只需|x+1|<|x –2|，解得x<12， 又f （x ）的定义域为{x|x ≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x ≠0}．21．已知幂函数y =f （x ）=x −2m2−m+3，其中m ∈[–2，2]，m ∈Z ，①定区间（0，+∞）的增函数；②对任意的x ∈R ，都有f （–x ）+f （x ）=0；求同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）的解析式，并求x ∈[0，3]时，f （x ）的值域． 【答案】f (x )=x 3；[0,27]. 【解析】∵幂函数y =f （x ）=x −2m2−m+3在区间（0，+∞）为增函数，∴–2m 2–m +3>0，即2m 2+m –3<0，解得m ∈（−32，1）， 又∵m ∈Z ，∴m =–1或m =0，当m =–1时，y =f （x ）=x 2为偶函数，不满足f （–x ）+f （x ）=0； 当m =0时，y =f （x ）=x 3为奇函数，满足f （–x ）+f （x ）=0． ∴同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）=x 3，当x ∈[0，3]时，f （x ）∈[0，27]，即函数f （x ）的值域为[0，27]． 22．已知函数f(x)=(a 2−2a −2)log a x 是对数函数．（1）若函数g(x)=log a (x +1)+log a (3−x)，讨论函数g(x)的单调性；（2）在（1）的条件下，若x ∈[13,2]，不等式g(x)−m +3≤0的解集非空，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[4,+∞)．【解析】（1）由题意可知{a 2−2a −2=1a >0且a ≠1 ，解得a =3（负值舍去），所以f(x)=log 3x ．因为g(x)=log a (x +1)+log a (3−x)，所以{x +1>03−x >0 ，即{x >−1x <3，即−1<x <3，故g(x)的定义域为{x|−1<x <3}．由于g(x)=log 3(x +1)+log 3(3−x)=log 3(−x 2+2x +3)， 令u(x)=−x 2+2x +3(−1<x <3)，则由对称轴x =1可知，u(x)在(−1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减； 因为y =log 3u 在(0,+∞)上单调递增，所以函数g(x)的单调递增区间为(−1,1)，单调递减区间为(1,3)．（2）因为不等式g(x)−m +3≤0的解集非空，所以m −3≥g(x)min ,x ∈[13,2]，由（1）知，当x ∈[13,2]时，函数g(x)的单调递增区间为[13,1]，单调递减区间为(1,2]， 因为g(13)=log 3329,g(2)=1，所以g(x)min =1，所以m −3≥1，即m ≥4，故实数m 的取值范围为[4,+∞)． 23．设二次函数f (x )=x 2+bx +c ，b ，c ∈R ．（1）若f (x )满足：对任意的x ∈R ，均有f (−x )≠−f (x )，求c 的取值范围； （2）若f (x )在(0，1)上与x 轴有两个不同的交点，求c 2+(1+b )c 的取值范围． 【答案】(1) (0,+∞) (2) (0,116)【解析】（1）∵f (−x )+f (x )=(−x )2+b (−x )+c +x 2+bx +c =2(x 2+c )≠0恒成立， 所以，方程x 2+c =0无实数解所以，c 取值范围为(0,+∞)（2）设f (x )=0的两根为x 1，x 2，且0<x 1<x 2<1，则f (x )=(x −x 1)(x −x 2)， 所以c 2+(1+b )c =c (1+b +c )=f (0)f (1)=(0−x 1)(0−x 2)(1−x 1)(1−x 2) =x 1x 2(1−x 1)(1−x 2)=(−x 12+x 1)(−x 22+x 2)=[−(x 1−12)2+14][−(x 2−12)2+14]≤116.又因为x 1，x 2不能同时取到12，所以c 2+(1+b )c 取值范围为(0,116)． 24. 已知函数f(x)=x 2−2(a −1)x +4.（Ⅰ）若f(x)为偶函数，求f(x)在[−1,2]上的值域；（Ⅱ）若f(x)在区间(−∞,2]上是减函数，求f(x)在[1,a ]上的最大值. 【答案】（Ⅰ）[4,8]；（Ⅱ）7-2a【解析】（Ⅰ）因为函数f (x )为偶函数，故f (−x )=f (x )，得a =1.f (x )=x 2+4，因为−1≤x ≤2，所以4≤f (x )≤8,故值域为：[4,8].（Ⅱ）若f (x )在区间(−∞,2]上是减函数，则函数对称轴x =a −1≥2,a ≥3因为1<a −1<a ，所以x ∈[1,a −1]时，函数f (x )递减，[a −1,a ]时，函数f (x )递增，故当x ∈[1,a ]时，f (x )max {f (1),f (a )} ，∴f(1)=7−2a,f(a)=−a 2+2a +4，f(1)−f(a)=(7−2a)−(−a 2+2a +4)=a 2−4a +3=(a −2)2−1由于a ≥3∴f(1)≥f(a) ，故f (x )在[1,a ]上的最大值为7-2a . 25．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. （2）a ＝－13或－1 【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意．综上可知，a ＝－13或－1.26.设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 【答案】见解析【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数， 所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学复习，二次函数单调性的应用，重要题型解析
高考数学复习，二次函数单调性的应用，重要题型解析。
题目内容：已知函数y＝x^2－(a－1)x－2在区间(1/2, 1)上是增函数，求a 的范围。
抛物线的对称轴是二次函数增减区间的分界线，当抛物线开口向上时，在对称轴的左侧函数单调递减，右侧单调递增；开口向下时，在对称轴的左侧函数单调递增，右侧单调递减。
第1题：
第1题是基础题，考查抛物线开口向上时的特点：二次函数在对称轴的右侧单调递增，则题中的区间必须位于对称轴的右侧。
第2题：
解析：由于二次项系数含有参数a，当a等于0时是一次函数，a 不等于0时是二次函数，故要分两种情况讨论。
第3题：
和上题一样，要讨论a等于0和不等于0这两种情况。
第4题：
抛物线开口向上，比较二次函数函数值的大小，只需比较自变量的取值到对称轴的距离，距离越远，对应的函数值就越大。
高中、高考、基础、提高、真题讲解，专题解析；孙老师数学，全力辅助你成为数学解题高手。
加油！。