专题10 平面向量的数量积及其应用

专题10 平面向量的数量积及其应用

【自主热身，归纳总结】

1、 已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b |＝1，|a －b |＝21，则向量a ，b 的夹角为________．

【答案】 π

3

【解析】：设向量a ，b 的夹角为θ，由|a －b |＝21得，21＝()a －b 2

＝a 2

＋b 2

－2a ·b ＝25＋1－

2×5×cos θ，即cos θ＝12，所以向量a ，b 的夹角为π3

.

2、已知|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，2)，则向量a ，b 的夹角为________． 【答案】. 2

3

π

3、已知平面向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，若|a ＋b |＝52，则|b |的值是________． 【答案】5

【解析】：因为50＝|a ＋b |2

＝|a |2

＋|b |2

＋2a ·b ＝5＋20＋|b |2

，所以|b |＝5.

4、 已知平面向量a ＝(4x,2x

)，b ＝（1，2x

－2

2

x ），x ∈R ，若a ⊥b ，则|a －b |＝________.

【答案】. 2

【解析】：因为a ⊥b ，所以4x

＋2x

×2x

－22

x ＝4x ＋2x －2＝0，解得2x ＝－2(舍)或2x

＝1，故a ＝(1,1)，b ＝(1，

－1)，故a －b ＝(0,2)，故|a －b |＝2.

5、如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →

的值是________．

【答案】 9

【解析】：BC →·DC →＝(OC →－OB →)·(OC →－OD →)＝(OC →＋OD →)·(OC →－OD →)＝OC 2－OD 2，类似AB →·AD →＝AO 2－OD 2

＝－7，所以BC →·DC →＝OC 2－OD 2＝OC 2－AO 2

－7＝9.

思想根源 极化恒等式：a ·b ＝?

????a ＋b 22－? ??

?

?a －b 22.在△ABC 中，若M 是BC 的中点，则AB →

·AC →＝AM 2－MC 2.其作用是：用线段的长度来计算向量的数量积．

6、 已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为________． 【答案】：57

14

解法1 因为非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，所以a 2＝b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2

，a ·b ＝－12a 2＝－12b 2，

所以a ·(2a －b )＝2a 2

－a ·b ＝52

a 2，|2a －

b |＝

a －b

2

＝5a 2

－4a ·b ＝7|a |，

cos 〈a ,2a －b 〉＝a a －b |a |·|2a －b |＝52

a 2|a |·7|a |＝527＝57

14

.

解法2 因为非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，所以〈a ，b 〉＝2π

3，

所以a ·(2a －b )＝2a 2

－a ·b ＝2a 2

－|a |·|b |cos

2π3＝52

a 2

，|2a －b |＝a －b

2

＝5a 2

－4a ·b ＝

5a 2

－4|a |·|b |cos 2π3＝7|a |.

以下同解法1.

解后反思 解法2充分挖掘题目条件“非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |”，可构造一个内角为2π

3的菱

形，向量a ，b 为此菱形的一组邻边，且其夹角为2π

3.类似地，若将条件变为“|a |＝|b |＝|a －b |”，同样

可构造一个内角为2π3的菱形，向量a ，b 为此菱形的一组邻边，但其夹角应为π

3

.

7、 在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →

＝1，则实数λ的值为________． 【答案】： 1或－1

4

解法 1 由题意可得AP →－AB →＝BP →＝λAC →.又CP →＝AP →－AC →＝AB →＋(λ－1)AC →，所以BP →·CP →＝λAB →·AC →

＋λ(λ－1)|AC →|2＝1，即λ＋(λ2－λ)×4＝1，所以有4λ2

－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－14.

解法2 建立如图所示的平面直角坐标系，所以A (0,0)，B ? ????1

2，32，C (2,0)，设P (x ，y )．

所以AP →＝(x ，y )，AB →＝? ??

??1

2，32，AC →＝(2,0)．

又因为AP →＝AB →＋λAC →

，所以有???

??

x ＝2λ＋1

2，y ＝32，

所以BP →＝(2λ，0)，CP →＝?

?

???2λ－32，32.

由BP →·CP →＝1可得4λ2

－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－14

.

解后反思 用基向量表示其他向量的能力是平面向量考查的重点，如何基底化需要积累经验，如果不能基底化，也可以恰当建系，正确给出每个点的坐标，用坐标运算

8、如图，在△ABC 中，已知边BC 的四等分点依次为D ，E ，F.若AB →·AC →＝2，AD

→·AF →

＝5，则AE 的长为________．

【答案】 6

思路分析 解决平面向量问题有三种常见方法：基底法、坐标法和几何法，由于本题求线段AE 长，且点B ，C ，D ，E ，F 共线，故可以用向量AE →，ED →

作为基底．

解法3(基底法) 因为E 在中线AD 上，所以可设AE →＝λ(AB →＋AC →)，则EB →＝(1－λ)AB →－λAC →，同理EC →

＝(1－λ)AC →－λAB →，所以EB →·EC →＝－3[(1－λ)2＋λ2

]－13λ(1－λ)＝－3－7λ(1－λ)．由AD →·E C →＝0，得(AB →＋AC →)·[(1－λ)AC →－λAB →]＝0，可解得λ＝17.从而EB →·EC →

＝－3－67＝－277

.

解后反思 对于平面向量数量积的计算主要有两种思路：(1)坐标法：通过建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，通过坐标运算求解；(2)基底法：根据题目条件，选择合适的目标向量，再将求解的向量向目标向量转化并求解．本题用坐标法求解，较为简单，请考生尝试用基底法求解.

【关联2】、 如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ?的取值范围为 ▲ ．

【答案】 1,1]

解法 1 （坐标法） 以OA 为x 轴，OB 为y 轴，建立平面直角坐标系，则)0,1(A ，)1,0(B ，则直线

，由于点P 在单位圆在第一象限的圆弧上，可设

，??

?

???∈2,

0πθ，设点P 关

于直线AB 的对称点),(11y x Q ，则

，可得，即

所以

令

，则[]

2,1∈t 且

故，所以OP OQ ?的取值范围为1,1]．

解法2 （极化恒等式） 设PQ 的中点为M ，

则

，根据图形可得，当

点P 与A （或B ）重合时，点Q 与P 重合，1=0=，则，当点P 位

于弧AB 的中点时，，，则，所以OP OQ ?的取值

范围为1,1]．

解法3 （特殊位置法） 注意到本题图形的对称性，易得OP OQ ?的最大值和最小值在点P 位于弧AB 的端点或中点时取得，当点P 与

A （或

B ）重合时，点Q 与P 重合，此时

，故

OP OQ ?1=；当点P 位于弧AB 的中点时，如图，设OP 与AB 相

交于点

H

，则，故

，

可得

，所以OP OQ ?的取值范围为1,1]．

解后反思：解决平面向量数量积的综合问题最常用的两种方法是坐标法和基底法，坐标法首先需要根据图形建立适当的平面直角坐标系，然后表示目标向量的坐标；基底法则需要选择一对不共线的向量作为基底来表示目标向量，然后利用向量的运算法则进行处理.另外，注意到本题是填空题，涉及的图形的对称性，可以考虑利用特殊法计算，也充分体现了小题小做，小题巧做的思想.

【变式3】、．如图，已知2AC =，B 为AC 的中点，分别以 AB,AC 为直径在AC 的同侧作半圆， M,N 分别为两半圆上的动点（不含端点A B C ，，）

，且BM BN ⊥，则AM CN ?的最大值为 ▲ ．

【思路分析】处理向量数量问题，主要是坐标法和基底法，解法1，建立坐标系，

设，

(0)

2πα∈，，得到M,N 坐标，建立以角a 的函数关系式；解法2，两个向量不共起点，可以转化为以B 为起

点的向量，运用向量数量积的定义得到关于AM uuuu r

的函数，换元转化二次函数，求最值；解法3，

建立坐标系后，设出直线BN 和BM

方程，

,M N 为直线与圆的交点，联立直线与圆方程，求出,M N 的

坐标，得到一个关于斜率k 的函数关系式，换元后求最值.

【答案】

14

【解法1】（坐标法）以点B 为坐标原点，线段AC 所在的直线为x 轴，建立平面坐标系。设

，(0)2

π

α∈，，则

,，，

=

，当

时，

AM CN ?uuu r uuu r 的最大值为14.

【解法2】（定义法）设

，(0)2

π

α∈，，

，令AM t =uuur

，01t <<

，所以AM CN ?uuu r uuu r 的最大值为1

4

.

【解法3】（解析几何法）以点B 为坐标原点，线段AC 所在的直线为x 轴，建立平面坐标系。，设直线BN 的

斜率为(0)k k >，则直线BM 的斜率为1k -，则直线BN 的方程为y kx =，直线BM 的方程为1

y x k =-，

联立22

,

1y kx x y =??+=?

解得，

联立解得，

因为(1,0)A - ，(1,0)C ，

所以，，

AM CN ?=

uuu r uuu r

令

t ，则01t <<，，所以AM CN ?uuu r uuu r 的最大值为1

4

.

【解题反思】若题中几何关系明显，且所求向量的长度和夹角未知，首选坐标法;圆中求向量数量积最值问题，优先考虑以角作为参数，来建立函数关系，这样问题转为三角的最值问题，便于求解 .

例3、 如图，△ABC 为等腰三角形，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝4，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，点P 是劣弧EF ︵上的一动点，则PB →·PC →

的取值范围是________．

【答案】. [－11，－9]

解法1(几何法) 取BC 的中点M ，连结PM ，则两个动向量PB →，PC →均可用一个动向量PM →和一个定向量MC →

表示.PB →·PC →＝(PM →－MC →)·(PM →＋MC →)＝PM 2－MC 2.

因为MC 为定值，所以PB →·PC →

的变化可由PM 的变化确定．

易得AM ＝2，MC ＝2 3.

当P 为劣弧EF ︵

与AM 的交点时，PM 取最小值AM －1＝1；PM 的最大值为EM ＝FM ＝ 3. 所以PM 2－MC 2

的取值范围是[－11，－9]，即PB →·PC →∈[－11，－9]．

解法2(坐标法) 以A 为原点，垂直于BC 的直线为x 轴建立平面直角坐标系xAy ，则B(2，－23)，C(2，

23)，设P(cos θ，sin θ)，其中θ∈????

??－π3，π3. PB →·PC →＝(2－cos θ，－sin θ－23)·(2－cos θ，23－sin θ)＝(cos θ－2)2＋sin 2

θ－12＝－7－4cos θ.

因为cos θ∈????

??12，1，所以PB →·PC →∈[－11，－9]．

【变式1】、 已知|OA →|＝|OB →|＝2，且OA →·OB →＝1.若点C 满足|OA →＋CB →|＝1，则|OC →

|的取值范围是________．

【答案】： [6－1，6＋1]

【解析】：如图，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，则OD →＝OA →＋OB →，因为|OA →|＝|OB →|＝2，OA →·OB →

＝1，所以|OD →|＝|OA →＋OB →|＝

OA →＋OB

→

2

＝

OA →2＋OB →2＋2OA →·OB →＝6，由|OA →＋CB →|＝1得|OA →＋CB →|＝|OA →＋OB

→－OC →|＝|OD →－OC →|＝|CD →|＝1，所以点C 在以点D 为圆心，1为半径的圆上，而|OC →

|表示点C 到点O 的距离，从而|OD →|－1≤|OC →|≤|OD →|＋1，即6－1≤|OC →|≤6＋1，即|OC →

|的取值范围是[6－1，6＋1]．

【变式2】、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 分别为x 轴，y 轴上一点，且AB ＝2，若点P (2，5)，则|AP →＋BP →＋OP →

|的取值范围是________． 【答案】. [7,11]

解法3 因为AB ＝2，所以AB 的中点M 在以原点为圆心，1为半径的圆上运动(如下图)，则|AP →＋BP →＋OP →

|＝|2MP →＋OP →|，当M 点为射线OP 与圆交点时，|2MP →＋OP →

|的最小值为7，当M 点为射线OP 的反向延长线与圆交点时，|2MP →＋OP →|的最大值为11，所以|AP →＋BP →＋OP →

|的取值范围是[7,11]．

【关联1】、 已知平面向量AC →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)，则AB →·CD →

的最小值为________． 【答案】 －94

思路分析 以CB →为桥梁，把AB →，CD →与已知向量AC →，BD →

联系起来．

设CB →＝(x ，y )，则AB →＝AC →＋CB →＝(x ＋1，y ＋2)，CD →＝CB →＋BD →＝(x －2，y ＋2)．所以AB →·CD →

＝(x ＋1)(x －2)＋(y ＋2)2＝? ??

??x －122＋(y ＋2)2

－94，其最小值为－94.

【关联2】、 已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是互相垂直的单位向量，且(a －c )·(3b －c )＝1，则||c 的最大值是________． 【答案】 2＋1

思路分析 首先要根据题目条件求出c ＝(x ，y )的轨迹方程，再利用|c |的几何意义求解即可；另外，也可以考虑用三角换元，用三角函数的有界性求解．

解法1 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则a －c ＝(1－x ，－y )，3b －c ＝(－x ，3－y )， 由题意得－x (1－x )－y (3－y )＝1，整理得x 2

＋y 2

－x －3y －1＝0，

即? ????x －122＋? ????y －322＝2，它表示以? ????12，32为圆心，以2为半径的圆，则||c 表示该圆上的点到原点(0,0)

的距离，从而|c |max ＝2＋

? ????122＋? ??

??322＝2＋1.学_科网

解法2 由解法1得? ????x －122＋? ????y －322＝2，

令???

??

x ＝1

2＋2cos α，y ＝3

2

＋2sin α(α为参数)，

则|c |2

＝? ????12＋2cos α2＋? ??

??32＋2sin α2＝3＋2cos α＋6sin α＝3＋22cos(α－θ)(其中tan θ＝

3)，

所以|c |2

max ＝3＋22，于是|c |max ＝1＋ 2.