高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1-1-4锐角三角函数与射影定理学案新人教B版选修4_1

1．1.4 锐角三角函数与射影定理

[对应学生用书P12]

[读教材·填要点]

1．锐角三角函数的定义

含有相等锐角α的所有直角三角形都相似，锐角三角函数(或三角比)为：

sin α＝α的对边斜边，cos α＝α的邻边斜边，tan α＝对边邻边.

2．射影定理

(1)定理的内容：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项．

(2)符号语言表示：如图若CD 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高，则：

①AC 2

＝AD ·AB

②BC 2＝BD ·AB

③CD 2＝AD ·BD

[小问题·大思维]

1．线段的正射影还是线段吗？

提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，线段的正射影为一个点．

2．如何用勾股定理证明射影定理？

提示：如图，在Rt △ABC 中，

∵AB 2＝AC 2＋BC 2，

∴(AD ＋DB )2＝AC 2＋BC 2，

∴AD 2＋2·AD ·DB ＋DB 2

＝AC 2＋BC 2，

即2AD ·DB ＝AC 2－AD 2＋BC 2－DB 2.

∵AC 2－AD 2＝CD 2，BC 2－DB 2＝CD 2，

∴2AD·DB＝2CD2，即CD2＝AD·DB.

在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD·DB

＝AD(AD＋DB)＝AD·AB，

即AC2＝AD·AB.

在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD·DB＋BD2

＝BD(AD＋DB)＝BD·AB，

即BC2＝BD·AB.

[对应学生用书P13]

[例1] 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，

已知BD＝4，AB＝29，试求BC，AC和CD的长度．

[思路点拨] 本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答本题可由

已知条件先求出AD，然后利用射影定理求BC，AC和CD的长度．

[精解详析] ∵BD＝4，AB＝29，∴AD＝25.

由射影定理得CD2＝AD·BD＝25×4＝100，

∴CD＝10.BC2＝BD·BA＝4×29.

∴BC＝229.

AC2＝AD·AB＝25×29，∴AC＝529.

运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理．

1．在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶9，则tan∠BCD＝________.

解析：由射影定理得CD2＝AD·BD，

又BD∶AD＝1∶9，

令BD＝x，则AD＝9x(x>0)．