高中数学之常用逻辑用语

常用逻辑用语（讲义）
知识点睛
一、命题及其关系、充分条件与必要条件
1.命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以___________的陈述句叫做命题．其中________的语句叫做真命题，______的语句叫做假命题．
2.命题及其关系
（1）四种命题
原命题：若p，则q（命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论）逆命题：_________________；
否命题：_________________；
逆否命题：_______________．
（2）四种命题间的关系
（3）四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性______．
3.充分条件与必要条件
（1）相关概念
（2）集合与充要条件
二、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1.命题中的“______(∧)”“______(∨)”“______(⌝)”叫做逻辑联结词．
2.简单复合命题的真假关系
3.全称量词与存在量词
（1）全称量词：所有、一切、任意、全部、每一个等．
符号：∀
存在量词：存在一个、至少一个、有些、某些等．
符号：∃
（2）全称命题与特称命题
1．把下列命题改写为“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假．
（1）两条异面直线没有公共点；
（2）四边相等的四边形是正方形．
2．命题“若x 2+y 2=0，则x =y =0”的否命题是（ ）
A ．若x 2+y 2=0，则x ，y 中至少有一个不为0
B ．若x 2+y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0
C ．若x 2+y 2≠0，则x ，y 都不为0
D ．若x 2+y 2=0，则x ，y 都不为0
3．命题“若π
4α=，则tan 1α=”的逆否命题是（ ）
A ．若π4α≠，则tan 1α≠
B ．若π
4
α=，则tan 1α≠
C ．若tan 1α≠，则π4α≠
D ．若tan 1α≠，则π
4
α=
4．下列命题中为真命题的是（ ）
A ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题
B ．命题“若x >y ，则x >|y|”的逆命题
C ．命题“若x =1，则x 2+x -2=0”的否命题
D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题
5．已知集合A ={1，a }，B ={1，2，3}，则“a=3”是“A B ⊆”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．设R ∈ϕ，则“0ϕ=”是“()cos(+)()f x x x R =∈ϕ为偶函数”
的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．在p ⌝，p q ∧，p q ∨形式的命题中，p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为真，那
么p ，q 的真假为（ ） A ．p 真q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 真
D ．p 假q 假
8．已知命题p ：“x >2是x 2>4的充要条件”，命题q ：“若
22
a b
c c >，
则a b >”，则（ ） A ．“p 或q ”为真 B ．“p 且q ”为真 C ．p 真q 假
D ．p ，q 均为假
9．下列命题中是假命题是（ ）
A ．1 20x x R -∀∈>，
B ．*2 (1)0x x N ∀∈->，
C ． lg 1x x ∃∈<R ，
D ． tan 2x x ∃∈=R ，
10．命题“3
00
x x R Q Q ∃∈∈，ð”的否定是（ ） A ．3
00
x x R Q Q ∃∉∈，ð B ．3
00
x x R Q Q ∃∈∉，ð C ．3x x ∀∉∈R Q Q ，ð
D ．3x x ∀∈∉R Q Q ，ð
11．已知命题p ：122121[()()]()0x x f x f x x x ∀∈--R ，，
≥， 则p ⌝是（ ）
A ．122121[()()]()0x x f x f x x x ∃∈--R ，，
≤ B ．122121[()()]()0x x f x f x x x ∀∈--R ，，
≤ C ．122121 [()()]()0x x f x f x x x ∃∈--<R ，，
D ．122121 [()()]()0x x f x f x x x ∀∈--<R ，，
12．已知命题p ： sin 2
R x x ∃∈=，
； 命题q ：x R ∀∈，都有x 2+x +1>0．
给出下列结论：①命题p q ∧是真命题；②命题p q ∨⌝是假命题；③命题
p q ⌝∧是真命题；④命题p q ⌝∨⌝是假命题， 其中正确的是（ ） A ．②④
B ．②③
C ．③④
D ．①②③
13．给出下列三个结论：
（1）若命题p 为真命题，命题q ⌝为真命题，则命题p q ∧为真命题； （2）命题“若xy =0，则x =0或y =0”的否命题为“若xy ≠0，则x ≠0或y ≠0”；
（3）命题“0R x ∃∈，020x >”的否定为“ 20≤x x R ∀∈，”， 则结论正确的个数为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
14．设命题p ：2(43)1≤x -；命题q ：2(21)(1)0≤x a x a a -+++，若⌝p 是⌝q 的
必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
回顾与思考
________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________ 【参考答案】
精讲精练
一、1．判断真假判断为真判断为假
2．（1）若q，则p若⌝p，则⌝q若⌝q，则⌝p
（2）否命题逆命题逆否命题
（3）相同没有关系
3．（1）充分必要
充分不必要必要不充分
充分必要（充要）既不充分也不必要
（2）真子集真子集A=B包含
二、1．且或非
2．真真假假真假
假真真假假真
精讲精练
1．略2．B3．C4．B
5．A6．A7．B8．A
9．B10．D11．C12．B
13．C
14．1
02
a ≤≤
常用逻辑用语（随堂测试）
1. 下面四个命题：
①命题“若xy =1，则xy 互为倒数”的逆命题； ②命题“相似三角形的周长相等”的否命题；
③命题“若a ≤1，则关于x 的方程x 2-2ax+a 2-a =0有实根”的逆否命题； ④命题“若A ∪B =B ，则⊇A B ”的逆否命题． 其中真命题的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2. 已知命题p ：x ≤1，命题q ：1
1x <，则p ⌝是q 的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3. 已知命题p ，q ，若p q ⌝∧⌝为真命题，则必有（ ） A ．p 真q 真 B ．p 假q 假 C ．p 真q 假
D ．p 假q 真
4. 设命题2() 2x p x x >：
，以下说法错误的是（ ） A ．“()R x p x ∀∈，”是假命题 B ．(5)p 是真命题
C ．“00()R x p x ∃∈，”是假命题
D ．“00()R x p x ∃∈，
”是真命题
【参考答案】
1．A
2．A
3．B
4．C
常用逻辑用语(作业)
例1： 对于函数()y f x =，x ∈R ，“y = | f (x ) |的图象关于y 轴对称”是“()
y f x =是奇函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【思路分析】
必要性：若()y f x =是奇函数，则()()f x f x -=-， ∴()|()|()||f x |f x |f x -=-=， ∴()|y |f x =的图象关于y 轴对称， 故必要性成立；
充分性：如2()y f x x ==，()|y |f x =的图象关于y 轴对称，但不是奇函数， 故选B ．
例2： 下列命题中，真命题是（ ）
A ．0R x ∃∈，0e 0x ≤
B ．R x ∀∈，22>x x
C ．“a +b =0”的充要条件是“
1=-a
b
” D ．“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件
例3： 已知命题p 1：直线x +y +1=0与圆221
2
+=
x y 相切， p 2：函数22-=-x x y 在R 上为减函数，
则在命题q 1：12∨p p ，q 2：12∧p p ，q 3：12()⌝∨p p ， q 4：12()∧⌝p p 中，属真命题的是（ ） A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4 D ．q 2，q 4
【思路分析】
先判断命题p 1，p 2的真假性，再根据含有逻辑联接词的命题的真假判断准则分别判断q 1，q 2，q 3，q 4 ．
命题p 1：圆221
2
+=
x y 的圆心为(0，0)，半径为r =，
圆心(0，0)到直线x +y +1=0的距离
2==d ， 即=d r ，故p 1是真命题；
命题p 2：函数22-=-x x y 为增函数减去减函数，故函数22-=-x x y 在R 上为增函数，p 2是假命题．
∴12∨p p 为真，12∧p p 为假，12()⌝∨p p 为假，12()∧⌝p p 为真， ∴属真命题的是q 1，q 4，
故选C ．
15．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a +b +c =3，则2223a b c ++≥”的否命题是（ ）
A ．若a +b +c ≠3，则2223++<a b c
B ．若a +b +c =3，则2223++<a b c
C ．若a +b +c ≠3，则2223a b c ++≥
D ．若2223a b c ++≥，则a +b +c =3
16．命题“若21<x ，则11-<<x ”的逆否命题是（ ）
A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤
B ．若11-<<x ，则21<x
C ．若1>x 或1<-x ，则21>x
D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥
17．“πϕ=”是“曲线sin(2+)ϕ=y x 过坐标原点”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
18．已知两个平面α，β，直线α⊂a ，则“α∥β”是“直线a ∥β”的（
） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
19．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
20．给定两个命题p ，q ，若p ⌝是q 的必要不充分条件，则p 是q ⌝是的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
21．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a =b ”是“ac =bc ”的充要条件；
②“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件，其中真命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
22．如果命题p q ∧是假命题，p ⌝是真命题，那么（ ）
A ．命题p 是真命题
B ．命题q 是真命题
C ．命题q 可以是真命题也可以是假命题
D ．命题q 是假命题
23．已知命题p ，q ，则“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
24．命题p ：函数()=2(01)->≠且x f x a a a 的图象恒过点(0，-2)；命题q ：函数()lg (0)f x |x|x =≠有两个零点，则下列说法正确的是（ ）
A ．p q ∨是真命题
B ．p q ∧是真命题
C ．p ⌝是假命题
D ．⌝q 是真命题
25．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题p ：
2x A x B ∀∈∈，，则p ⌝是（ ）
A ．2x A x
B ∀∈∉， B ．2x A x B ∀∉∉，
C ．002x A x B ∃∉∈，
D ．002x A x B ∃∈∉，
26．若命题p ：2
000[33] +2+10x x x ∃∈-≤，，，则p ⌝是（
）
A ．2[33] +2+10x x x ∀∈->，，
B ．2(3)(3+)+2+10x x x ∀∈-∞-∞>U ，，，
C ．2
000(3)(3+)+2+10x x x ∃∈-∞-∞U ≤，，，
D ．2
000[33] +2+10x x x ∃∈-<，，
27．下列命题中的假命题是（ ）
A ．R x ∃∈，30x <
B ．“a >0”是“|a |>0”的充分不必要条件
C ．R x ∀∈，20x >
D ．“x <2”是“|x |<2”的充分不必要条件
28．设命题p ：2+R x x x a ∀∈>，；
命题q ：2
000+220R x x ax a ∃∈+-=，，
如果命题p 真且命题q 假，求a 的取值范围．
【参考答案】
1．A 2．D 3．A 4．A 5．B
6．A 7．B 8．C 9．A 10．A
11．D 12．A 13．D
14．1
24a -<<-
【过程示范：】
∵命题p 为真命题，
∴方程2+0x x a -=无解，即140a ∆=+<，得1
4
a <- ①；
∵命题q 为假命题，
∴方程2+220x ax a +-=无解，
即244(2)0a a ∆=--<，得21a -<< ②；
结合①②，得a 的取值范围为124
a -<<-．。