九数二次函数3
九年级数学上二次函数1.2二次函数的图象3二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象浙教
②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所 围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，结合 函数的图象，求m的取值范围．
解：如图，假设点 A 在点 B 的左边．抛物线在点 A， B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内(包括边界) 恰有 6 个整点，∴点 A 的横坐标在－1 与－2 之间(含 －1，不含－2)，当抛物线经过点(－1，0)时，m＝14， 当抛物线经过点(－2，0)时，m＝19， ∴m 的取值范围为19<m≤14.
A．①④ B．②④ C．②③ D．①②③④
9．【中考·湖州】已知a，b是非零实数，|a|＞|b|， 在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2 ＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能 是( )
【点拨】由yy＝＝aaxx2＋＋bbx，解得xy＝＝0－ba，或xy＝＝a1＋，b. 故二次函数 y1＝ax2＋bx 与一次函数 y2＝ax＋b(a≠0)在同一 平面直角坐标系中图象的交点为－ba，0，(1，a＋b)． 在 A 中，由一次函数图象可知 a＞0，b＞0；由二次函数图 象可知 a＞0，b＞0，则 a＋b＞0，不符合题意．
12．【中考·宁波】如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐 标为(3，0)．
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标； 解：把点B的坐标(3，0)代入y＝－x2＋ mx＋3得0＝－32＋3m＋3，解得m＝ 2， ∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA＋PC的值最小 时，求点P的坐标．
A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－25 C．y＝(x＋4)2＋7 D．y＝(x＋4)2－25
2．【中考·眉山】若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平
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第七页，共二十四页。
式子①②③④有什么共同点?
y=6x2
d
1 2
n2
1 2
n
d
1 2
n
2
3 2
n
函数都是用自 变量的二次整
式表示的
y 20x2 40x 20
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠ 0)的函数叫做 二次函数。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数
项。
第八页，共二十四页。
这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是
20(1+x)件,再经过一年后的产量是 20(1+件x,)即2 两年后
的产量y=______2_0_(_1_+x)2
即
y 20x2 40x 20
此式表示了两年后的产量 y与计划增产的倍数x之间的 关系，对于x的每一个值，
y都有唯一的一个对应值，
即y是x的函数。
有什么联系和区别？
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函 数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前 者是y,后者是0
第十二页，共）x m2-7 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是二次函数？
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科 目：数学 适用版本：人教版 适用范围：【教师教学】
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基础回顾 什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在 某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总 有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做 函数关系。
九年级上册数学二次函数知识点
九年级上册数学二次函数知识点篇1：九年级上册数学知识点二次函数九年级上册数学知识点二次函数二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(乘)=a乘^2b乘c(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量乘和因变量y之间存在如下关系：一般式y=a乘∧2;b乘c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);顶点式y=a(乘m)∧2k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(乘-h)∧2k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为乘=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=a乘∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(乘-乘1)(乘-乘2)[仅限于与乘轴有交点A(乘1，0)和B(乘2，0)的抛物线];重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(乘-乘1)(乘-乘2))/((乘3-乘1)(乘3-乘2)(y2(乘-乘1)(乘-乘3))/((乘2-乘1)(乘2-乘3)(y1(乘-乘2)(乘-乘3))/((乘1-乘2)(乘1-乘3)。
由此可引导出交点式的系数a=y1/(乘1乘乘2)(y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
乘是自变量，y是乘的二次函数乘1,乘2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2乘的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。
2画出对称轴，并注明乘=什么3与乘轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。
九年级数学二次函数的图象及性质
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:
1 1 .y = 2 x + 3 - , 2
想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2 的图象和抛物线y=-3x² ,y=-3(x+1)2
二次函数y=-3(x+1)2+2与 2 y 3x 1 2 y=-3(x+1)2-2的图象和抛物 线y=-3x² ,y=-3(x+1)2有什 2 y 3x 1 么关系? 它的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什么? 2
2
1 2 2 .y = - x + 1 - 5. 3
2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数 y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它 的对称轴和顶点坐标分别是什么?
(2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数 y=-3x2的图象有什么关系?
３．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值 时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值 时,y的值随x值的增大而减小?二次函数 y=3(x+1)2+4呢?
二次函数y=3(x-1)2+2的
y 3x 2
图象和抛物线 y=3x² ,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
(完整版)九年级上册数学二次函数知识点汇总
标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax 2 bx c k 的两个实数根.
（5）一次函数 y kx nk 0的图像 l 与二次函数 y ax2 bx ca 0的图像
y kx n
G
的交点，由方程组
(1)当二次函数的图象与 x 轴有两个交点，这时
，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点，这时
，则方程有两个相等实
根；(3)当二次函数的图象与 x 轴没有交点，这时
，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
5
hing at a time and All things in their being are good for somethin
利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性 质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直 平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
（5）抛物线 y ax 2 bx c 中， a,b, c 的作用
① a 决定开口方向及开口大小，这与 y ax 2 中的 a 完全一样. ② b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线 y ax 2 bx c 的对称轴是直线 x b ，故
的图象
的解
数学人教版九年级上册实际问题与二次函数(3)--桥洞问题
实际问题与二次函数(3)-桥洞问题教学设计福州华伦中学陈秀雅【教学内容分析】本节是新人教版义务教育课程标准实验教科书第22章第3节内容，它从具体问题入手，以实际问题为背景，通过实例巩固学生所学的知识。
让学生通过现实生活中的一些问题，充分感受到应用性问题的的重要性。
【学情分析】学生已经学习了二次函数的概念、图象和性质。
这些内容为学习二次函数的应用提供知识支持，又学习了列代数式，列方程解应用题，这些应用性质的内容为本节课的学习提供了建模能力的基础，但是作为建立二次函数模型解决实际问题，带有很强的综合性、灵活性，对学生的要求较高。
【教学目标】知识与技能通过探究实际问题与二次函数关系，让学生掌握根据实际情境选择建立适当的平面直角坐标系，并将实际问题中的具体长度转化二次函数的点坐标求解问题。
过程与方法1.通过研究生活中实际问题，让学生体会建立数学建模的思想.2.通过学习和探究桥洞和隧道问题，渗透数形结合和优选的数学思想方法.情感、态度与价值观1.通过研究生活中实际问题，体会数学知识的现实意义，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题.2. 通过将二次函数的知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣.【教与学方法】教师教学方法：情境法，引导法，问题法，练习法学生学习方法：讨论法，练习法【教学重难点】重点：根据具体情境选择建立适当的平面直角坐标系难点：将实际问题中具体数据转化为二次函数的点坐标求解问题.【设计理念】通过梯度问题的设计让学生们轻松的获得知识;通过模拟游戏中的场景，让同学们在愉快的氛围下感受数学在现实生活中得魅力！【教学流程】一、创设情境教师活动：通过之前的学习，我们了解到二次函数在生产生活中的应用非常广泛，比如昨天我们一起研究的是面积最大值问题，今天，我们要一起来解决探究这个问题---愤怒的小鸟学生活动：现场演示游戏玩法；解说：这款游戏的故事相当有趣，为了打击偷走鸟蛋的捣蛋猪，鸟儿以自己的身体为武器，在空中画出完美的抛物线，像炮弹一样去攻击捣蛋猪的堡垒。
(完整word)九年级数学二次函数知识点总结及经典例题,推荐文档
二次函数知识点总结一、二次函数概念:21二次函数的概念：一般地，形如y ax bx c（ a,b ,c是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。
里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0,而b，c可以为零•二次函数的定义域是全体实数.92. 二次函数y ax bx c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a ,b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式21.二次函数基本形式：y ax的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
22. y ax c的性质:上加下减。
23. y a x h的性质:左加右减。
24. y ax hk 的性质: a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0向上h , kX=hx h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随 x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k •a 0向下 h , k X=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k •三、二次函数图象的平移1.平移步骤：2⑴将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ，确定其顶点坐标 h , k ；⑵ 保持抛物线y ax 2的形状不变，将其顶点平移到 h ，k 处，具体平移方法如下:当x 2a 时，y 随x 的增大而减小; y=ax 2 A y=ax 2+k向右(h>0)【或左(*0)] 平移|k|个单位y=a(x h)2向右(h>0)【或左(h<0)] 平移|k|个单位2.平移规律在原有函数的基础上 概括成八个字“左加右减,h 值正右移，负左移;上加下减” •k 值正上移，负下移”六、 四、二次函数从解析式上看,b a x2a二次函数1. 4ac b 24a，其中 ax 2 bx c 的性质当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为2axax 2 bx c 的比较bx c 是两种不同的表达形式， 后者通过配方可以得到前者,4ac b 2 4a盘，顶点坐标为b 4ac b 22a ' 4a向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k 个单位向右(h>0)【或左(h<0)] 平移|k|个单位2当x佥时，y随x的增大而增大;x2a 时，y有最小值4ac b 2 4a2•当a 0时，抛物线开口向下, 对称轴为 x —，顶点坐标为2a b 4ac b 2 、［/ b ”亠方，F .当x 茲时，y 随 x 的增大而增大；当x 2a 时,b 4ac b 2y 随x 的增大而减小；当x 亦时，y 有最大值 f 七、 1. 二次函数解析式的表示方法一般式：y ax 2bx c （ a , b , c 为常数，a 0）；2顶点式：y a （x h ） k （ a , h , k 为常数，a 0）; 两根式（交点式）：y a （x x i ）（x X 2） （ a 0,为,x ?是抛物线与x 轴两交点的横坐标） 2. 3. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与x 轴有交点，即b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示. 二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、 1. ⑴ ⑵ 二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a当a 0时，抛物线开口向上， 当a 0时，抛物线开口向下， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大; a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大.2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下, 3. 常数项c⑴当c ⑵当c ⑶当c总结起来， 0时, 0时, 0时, b 决定了抛物线的对称轴.（同左异右 b 为0对称轴为y 轴）抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与 抛物线与抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与 c决定了抛物线与y 轴交点的位置.y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； y轴交点的纵坐标为0 ； y 轴交点的纵坐标为负.九、二次函数与一元二次方程:i.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 一二次方程ax 2 bx c 0是二次函数y x 轴的交点个数： 兀 图象与 ax 2 x 轴交点情况）： bx c 当函数值y 0时的特殊情况.2b 4ac 0时，图象与x 轴交于两点Ax 1 ,0 ，B x 2 ,0 (x 1X 2），其中的X i , x 是一元二次方2ax bx 0的两根.• 1' 2' 0时, 0时, 当a 当a x 轴只有一个交点;x 轴没有交点. 0时，图象落在 0时，图象落在 图象与 图象与 x 轴的上方，无论 x 轴的下方，无论 x 为任何实数, x 为任何实数, 都有都有2.抛物线y 2axbx c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为 （0 , c)；二次函数对应练习试题、选择题1.二次函数y2x 4x 7的顶点坐标是A.(2, —11)B. (-2, 7)C. (2, 11)D. (2, - 3)2.把抛物线y2x2向上平移1个单位, 得到的抛物线是（2A. y 2(x 1)B. y 2(x 2 21) C. y 2x 1 D. 2x2 12k3.函数y kx k和y （k 0）在同一直角坐标系中图象可能是图中的0）的图象如图所示,则下列结论：①a,b同号；②当x 1和x 3时，函数值相等；③4a b 0④当y 确的个数是（）A.1个B.2 个C. 35.已知二次函数y ax2 bx c(a由图象可知关于兀二次方程axA. — 1 .6.已知二次函数A.第一象限C.第三象限7.方程2x x2A.0个8.已知抛物线过点A. y x2C. y x22时,x的值只能取0.其中正个个D. 4B.-2.3C.-0.3D.-3.32ax bx c的图象如图所示, 则点（ac,bc）在（B.第二象限D.第四象限-的正根的个数为xB.1A(2,0),B(-1,0), x 2 或y x2C.2与y轴交于点B.x 2 D.C,且0C=2.则这条抛物线的解析式为y x2 x 22 、2y x x 2 或y x x 2二、填空题9•二次函数y x2 bx 3的对称轴是x 2，则b ______________ 。
鲁教版(五四制)数学九年级上册第三章《二次函数教学设计》大单元教学课件
定的创新意识。
①、通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；
②、能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二
次函数系数与图象形状和对称轴的关系；
③、会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，
能解决相应的实际问题；
④、知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的
即为学生积累常见的基础模型，教学中增强题目的变式
训练，教学中引导学生积极探索、发散思维，教学中注
重数学抽象与建模的培养。
《二次函数》是鲁教版九年级第三章的内容，是前面学过的一次函数和反
比例函数的延续，是对函数及其应用知识学习的深化和提高，也是中考考察
的重点、热点和难点，同时又是高中数学学习的基础，是解决现实问题的重
例3.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的
解集是（ ）A.-1＜x＜5 B.x＞5 C.x＜-1且x＞5
D.x＜-1或x＞5
学习活动设计
典例精讲
例4：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标（1，n）与y轴
的交点在（0，2）和（0，3）之间（包含端点），下列结论:①3a＋b＜0；②-1≤a≤- ；
2
2
③对于任意实数m，a＋b≥am ＋bm总成立；④关于的方程ax ＋bx＋c＝n-1有两个不
相等的实数根。其中正确结论的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
例5: 已知抛物线经过点A(－5，0)，B(1，0)，且顶点的纵坐标为 ，求二次函数的解
析式．
二次函数的图像和性质 第三课时-九年级数学下册课件(冀教版)
解：(1)在 y＝(x＋2)2中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y ＝4. ∴点A，点B 的坐标分别为(－2，0)，(0，4)．
(2)∵点A，点B 的坐标分别为(－2，0)，(0，4)， ∴OA＝2，OB＝4.
∴S△AOB＝
1 2
OA·OB＝ 1 ×2×4＝4.
2
(3)抛物线的对称轴为x＝－2.
y
2
1(x 2
1)2 与 y
1 ( x 1)2 2
的图像的形状和位置有什么关系?
2
形状相同，位置不同.
1 抛物线 y＝－5(x－2)2的顶点坐标是( B )
A．(－2，0)
B．(2，0)
C．(0，－2)
D．(0，2)
2 在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是( A )
A．y＝(x＋2)2
易错点：函数y＝ax 2＋c 与y＝a (x－h)2的图象与性质
区别不清
二次函数 y＝3x 2＋1的图象开口向上，对称轴是 y 轴，顶 点坐标是(0，1)，当x >0时，y 随x 的增大而增大；二次 函数y＝3(x－1)2的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶 点坐标是(1，0)，当x >1时，y 随x 的增大而增大；二次 函数 y＝3x 2＋1和y＝3(x－1)2的图象的开口大小一样．因
x_>__5时，y 随x 的增大而减小.
导引：
y =－1 (x－5)2的图象与抛物线y =－1 x 2的形状相
4
同，但位置不同，y
=－1
4
(x－5)2的图象由抛物线
y
=－1
x
4 2向右平移5个单位得到.
4
1 把抛物线 y ＝x 2平移得到抛物线 y ＝(x＋2)2，则这
九年级数学上册第三章二次函数2二次函数pptx课件鲁教版五四制
注意事项：
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,a≠0。 (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项。
（3）判断一个函数是不是二次函数，先把它化成一般形式。
随堂练习1: 1、下列函数中,哪些是二次函数？
(1）y=3(x-1)²+1 (2) y ax2 bx c (3) s=3-2t2
3、根据二次函数的定义，会求出二次函数式中字母的值；
想一想
1、正方形的边长是3cm，若边长增加xcm，增加后的正方形面积为ycm2,写 出y与x之间的函数关系表达式；
y (3 x)2 x2 6x 9
2、圆的半径是4cm,假设半径增加xcm时，圆的面积增加到ycm²，写出y与 x之间的函数关系表达式；
y (4 x)2 x2 8x 16
3、设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动 按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元) 的表达式(不考虑利息税).
y 100(1 x)2 100x2 200x 100
在上面的问题中,像: y x2 6x 9
2 二次函数
复习:
我们学过的函数有：
一次函数： 正比例函数：
反比例函数：
y kx b(k,b为常数，k 0) y kx(k为常数，k 0)
y k (k 0) x
学习目标：
1、通过三个问题情境列函数关系式，在教师的引导下归纳总 结二次函数的定义及表达式和注意事项；
2、根据二次函数的定义会判断函数是不是二次函数，并会举 出符合条件的二次函数的例子；
个橙子。如果果园橙子的总产量为y个，请写出y与x之间的函数关系式。
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泽华文化学校九年级数学求函数解析式习题三
1、已知二次函数的图象的对称轴方程是x＝2，且经过点（2,3），并且与一次函数的
图象交于点（0，－1），而这个一次函数的图象与直线y＝3x平行，求
（1）这个一次函数与二次函数的解析式；
（2）这两个函数的另一个交点。
2、抛物线nmxxy22过点（2,4），且其顶点在直线12xy上，
（1）求这抛物线的解析式；
（2）求直线12xy与抛物线的对称轴和x轴所围成的三角形的面积。
3、抛物线mxxy22与x轴有两个交点A、B，其坐标分别为A（x1，0），B(x2，
0)，其中x1＜x2，且42221xx，求这个抛物线的解析式。
4、已知关于x的一元二次方程0)3()2(2mxmx，当m为何值时，使方
程两根的平方和最小。
5、直线4kxy的图象与抛物线cxxy32交于A（－5，－1）和另一点B，
求B点的坐标。
6、已知二次函数cbxaxy2，当x＝4时，它有最小值－8，且它的图象经过
（6,0），求它的图象与x轴两个交点的距离。
7、若抛物线22xy向左平移a个单位再向下平移6个单位后，得到的抛物线经过
（－1,1）和（2,3）两点，求平移后抛物线的解析式。
8、已知二次函数的图象过A（1,0）点，对称轴为x＝3，顶点是B，一次函数图象
过A、B两点，且与坐标轴围成的三角形的面积等于2，求这个一次函数和二次函数
的解析式。
9、已知二次函数cbxaxy2，当x＝21时，函数有最大值25，已知函数图象
与x轴两交点横坐标的平方和13等于，求此二次函数的解析式。
10、二次函数cbxaxy2的图象与x轴、y轴正半轴交于点A（c，0），B（0，
c）22AB，且方程02cbxax两根之和为8，求此二次函数的解析式。