湖南省益阳市第六中学初中部七年级数学下册 第4课时 直角三角形的性质和判定导学案
湘教版八年级数学下册《1.1直角三角形的性质和判定》公开课精品课件
腰三角形“三线合一”的性质解题．
课堂小结
直角三角 形的性质 与判定
性 质
直角三角形的两个锐角互余
判 有两个角互余的三 定 角形是直角三角形
直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半.
第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用
学习目标
1.理解和掌握有关30°角的直角三角形的性质和应用; （重点）
总结归纳
有两个角互余的三角形是直角三角形.
A
应用格式：
在△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．B
C
典例精析 例3 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三
角形吗？为什么？
解：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2,
∴∠1 + ∠A=90 °. 即△ADE是直角三角形.
可得BC=CD=
1 2
AB.
B
C
D
证法1
证明：取线段AB的中点D，连接CD.
∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，
CD
1 2
AB =
BD
C
∵∠BCA =90°，且∠A=30°，
∴∠B=60°，
B
∴△CBD为等边三角形，
BC
=
BD
1 2
AB.
证明方法： 中线法
30° A D
证法2
证明：在△ABC 中， ∵ ∠C =90°，∠A =30°, ∴ ∠B =60°．
第1章直角三角形
1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
湖南省益阳市第六中学八年级数学下册 第一章 直角三角形 1.4 角平分线的性质教案 (新版)湘教版
角平分线的性质教学目标1．知识与技能：使学生掌握角平分线的判定定理；2．过程与方法：掌握角平分线判定定理的运用；通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力；3．情感态度与价值观：通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；重点与难点重点：角平分线的判定定理难点：性质与判定的区别教学过程：（一）预学角平分线的性质是什么？用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？ 定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（二）交流如图, 已知: OC 是∠AOB 的平分线, P 是OC 上任意一点，PD ⊥OA, PE ⊥OB, 垂足分别是D, E.求证: PD=PE(平分线上的点到这个角的两角边距离相等).证明: 因为PD ⊥OA, PE ⊥OB(已知)，所以∠PDO ＝∠PEO ＝90°(垂直的定义)．在△PD O 和△PEO 中，因为∠DOP ＝∠EOP （已知），∠PDO ＝∠PEO （已证），PO ＝PO （公共边），∴△PDO ≌△PEO (A.A.S)∴PD=PE于是就有定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． （三）精学反过来, 到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知: 如图, PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足, PD ＝PE ．求证: 点P 在∠AOB 的平分线上．证明： PD ⊥OA, PE ⊥OB, 点D 、E 为垂足,∴∠PDO= ∠PEO=Rt ∠在Rt △PDO 与Rt △PEO 中PD=PE （已知）OP=OP （公共边）∴Rt △PDO ≌△PDO ∴∠1=∠2 即点P 在∠AOB 的平分线上于是就有定理：到一个角的两边距离相等的点, 在这个角的平分线上 C O B1 A2 P D E ))（四）提升试一试命题:三角形三个角的平分线相交于一点.分析:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学习的内容.命题:三角形三个角的平分线相交于一点.如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理, PE=PF.∴PD=PF.∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.（五）巩固练习课本26页习题（三）课堂小结：自己总结一下这节课所学的内容（六）作业：课后反思。
湖南省益阳市第六中学八年级数学下册 第一章 直角三角形小结与复习(新版)湘教版
直角三角形教学目标：1、掌握直角三角形的两个锐角互余关系和斜边上的中线等于斜边的一半的性质2、体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，并会运用勾股定理解决简单问题；3、会用HL 及其它方法判定两个直角三角形全等；重点难点： 重点：体会勾股定理及其直角三角形的判定在解决实际问题中的作用难点：如何判定两个直角三角形全等复习过程：知识回顾：1、直角三角形的两个锐角有什么关系？2、直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系？3、请用自己的语言叙述勾股定理及其逆定理。
4、判断两个直角三角形全等的方法有哪些？5、角平分线有哪些性质？考点呈现考点1 “HL ”判定直角三角形全等例1 （2011年重庆市江津区）如图1，在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90º，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF ．(1)说明：Rt △ABE ≌Rt △CBF ；(2)若∠CAE=30º，求∠ACF 度数．解析：（1）因为∠ABC=90°，所以∠CBF=∠ABE=90°．在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AE=CF ，AB=BC ，所以Rt △ABE ≌Rt△CBF(HL )．(2)因为AB=BC ，∠ABC=90°，所以∠CAB=∠ACB=45°．因为∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°．由（1）知 Rt △ABE ≌Rt △CBF ，所以∠BCF=∠BAE=15°，所以∠ACF=∠BCF+∠ACB= 45°+15°=60°． 点评：直角三角形全等的判定可以用“边边边、边角边、角角边、角边角”来判定，还可以用斜边和一直角边对应相等来判定两个直角三角形全等，但在运用这种方法判定时一定要强调两个三角形都是“Rt △”，要注意解题过程的规范性．考点2 直角三角形性质例2 （2011年贵州黔南）如图2，△ABC 中，AB=AC=6，BC=8，AE 平分∠BAC 交BC 于点E,点D 为AB 的中点，连接DE ，则△BDE 的周长是（ ）A ．7+5B ．10C ．4+25D ．12解析：因为在△ABC 中，AB=AC=6，AE 平分∠BAC ，所以BE=CE=21BC=4，∠AEB=90°．又因为D 是AB 的中点，所以DE=BD=21AB=3． 所以△BDE 的周长为BD+DE+BE=3+3+4=10．故选B ．点评：本题考查了等腰三角形三线合一和直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．考点3 角平分线的性质AD BE C 图2 图1例3 （2011年湖北恩施市）如图9，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（ ）A ．11B ．5．5C ．7D ．3．5解析：过D 作DH ⊥AC 交AC 于点H ，因为AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB ，所以DF=DH ，在Rt △DFE 和Rt △DHG 中，DE=DG ，所以Rt △DFE≌Rt △DHG ．同理可得Rt △AFD ≌Rt △AHD ．由图示可知S △DHG =S △ADG －S △AHD =50－S △AHD ，S △DFE =S △AFD －S △AED =S △AFD －39．因为S △DHG =S △DFE ，所以50－S △AHD =S △AFD －39，所以2S △AFD =89，所以S △AFD =44．5，所以S △DFE =44．5－39=5．5，故选B ． 点评：处理角平分线问题的常见思路是过角平分线上的点向两边作垂线，运用角平分线性质解决问题．考点4 勾股定理例4 （2011浙江温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图4-①）．图4-②由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2，S 3．若S 1+S 2+S 3=10，则S 2的值是 ． 解析：因为图中正方形ABC D ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3， CG=NG ，C F=DG=NF ，所以S 1=（CG+DG ） 2=CG 2+DG 2+2CG•DG=GF 2+2CG•DG，S 2=GF 2，S 3=（NG-NF ） 2=NG 2+NF 2-2NG•NF．因为S 1+S 2+S 3=10=GF 2+2CG•DG+GF 2+NG 2+NF 2-2NG•NF=3GF 2，所以S 2的值是103． 点评：主要考查勾股定理的应用，根据已知得S 1+S 2+S 3=10=GF 2+2CG•DG+GF 2+NG 2+NF 2-2NG•NF=3GF 2是解决问题的关键．考点5 直角三角形的判定 例5（2011年黑龙江龙东地区）在△ABC 中，BC:AC:AB=1:1：2，则△ABC 是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：设三角形三边长分别为a,a,2a ，因a 2+a 2＝（2a ）2，故该三角形为等腰直角三角形，故选D ．点评：判定直角三角形的关键是看两条较短边的平方和是否等于第三边的平方． 考点6 勾股定理的实际应用 例6 （2011浙江丽水）如图5，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口点A ，准备去书店（图中点E ），按图中的街道行走，最近的路程约为（ ） A ．600 m B ．500 m C ．400 m D ．300 m 解析：小明去书店共有三种走法：(1)A→C→E ；(2)A→B→E ；(3)A→B→D→E ．因为曙光路与环城路垂直，图3 图4-① 图4-② 400 m 400 m 300 m 环城路 南京路 C A 八 一 街 E D B 书店 曙 光 路 西安路北 图5所以△BDE 为直角三角形，所以BD>BE ，所以(3)的路程大于(2)的路程，因此只比较(1) 、(2)的路程即可．在Rt△ABC 和Rt△EDB 中，因为∠CAB=∠BED=90°，AC∥BD，∠ACB=∠EBD，AB=ED ，所以Rt△ABC≌Rt△EDB．所以BE=AC=300 m ，而BC=22300+400=500 m ，所以EC=500-300=200 m ．所以(1)的路程为：300＋200=500 m ；(2)的路程为：400＋300=700 m ，所以(1)的路程最短为500 m ，故选B ．点评：本题综合考查了全等三角形、勾股定理、平行线的性质等知识点，解题的关键是找出行走路线，然后求出各路线的长，最后作比较．误区点拨1．生搬硬套定理致错例1 在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a +b)(a-b)=c 2，则（ ）A ．∠A 为直角B ．∠C 为直角 C ．∠B 为直角D ．不是直角三角形错解：选B ．剖析：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为∠C，因而有同学就习惯性地认为∠C 就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误．该题中的条件应转化为a 2-b 2=c 2，即a 2=b 2+c 2，应根据这一公式进行判断．正解：因为a 2-b 2=c 2，所以a 2=b 2+c 2，所以∠A 为直角．故选A ．2．说明条件不充分例2 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，BD=CD ，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E 、F ．说明：BE=CF ． 错解1：没说明DE=DF ，就以此为条件．在Rt△BDE 与Rt△CDF 中，因为DE=DF ，BD=CD ，所以Rt△BDE≌Rt△CDF（HL ）．所以BE=CF （全等三角形的对应边相等）．错解2：没说明AD⊥BC，就以此为条件，说明△ABD≌△ACD，得AB=AC ．再由Rt△AED≌Rt△AFD，得AE=AF ，从而得到：BE=CF ． 剖析：错解1中认为DE=DF ，并直接作为条件应用，因而产生错误；错解2中，认为AD⊥BC，没有经过推理，而直接作为条件应用，因而也产生错误．产生上述错误的原因是审题不清，没有根据题设，结合图形找证题方法，推论过程不符合全等的判定方法．正解：因为AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE=DF ．在Rt△BDE 与Rt△CDF 中，⎩⎨⎧==DF DE CD BD ，所以Rt△BDE≌Rt△CDF（HL ）． 所以BE=CF ．跟踪训练1． 在Rt△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A、∠B、∠C、的对边,若∠A=90°，则( )A ． a 2+b 2=c 2B ．b 2+c 2=a 2C ．c 2+a 2=b 2D ．b+a=c2． 以下列各组数据为边长、不能组成直角三角形的是( )A ．a=1．5，b=2，c=3B ．a=7，b=24，c=25C ．a=6，b=8，c=10D ．a=3，b=4，c=53．下列作图语句中，正确的是（ ）A ．作等腰三角形底边上的高，使它平分底边图1B ．作等腰三角形底边上的高，使它平分顶角C ．作等腰三角形底边上的高，使它平分底边且平分顶角D ．作等腰三角形底边上的高，则高平分底边且平分顶角4． 一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为 ． 5． 如图1，已知△ABC 中，AB=5 cm ，BC=12 cm ，AC=13 cm ，那么AC边上的中线BD 的长为 cm ．6．如图2，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D ，E ，且PD=PE ，则△APD与△APE 全等的理由是 ．课内练习：1、以下不能构成直角三角形三边长的数据是（）A 、13，2B 、5,4,3C 、9，12，15D 、6，7，82、下列条件中不能做出唯一直角三角形的是（）A 、已知两直角边B 、已知两锐角C 、已知一直角边和一锐角D 、已知斜边和一直角边3、一直角三角形的斜边长臂直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为 。
中考数学一轮复习专题二十直角三角形课件人教新课标
4.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=4 cm，则 AB= _____cm. 【解析】因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所 以AB=2CD=8 cm. 答案：8
5.(2010·乐山中考)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的 高，∠ACD=40°,则∠EBC=_____.
RM=A2D7=1A3 B3=4，所以
所以△PQR的周长为
答案：
4.(2010·玉林中考)两块完全一样 的含30°角的三角板重叠在一起， 若绕长直角边中点M转动，使上面 一块的斜边刚好过下面一块的直角 顶点，如图，∠A=30°，AC=10， 则此时两直角顶点C、C′间的距离是_____.
【解析】当上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点时， C′C⊥A′B′，因为MC=MC′,又因为∠A=30°，所以 ∠CMC′=60°，所以MC=MC′=CC′=5. 答案：5
∴ 1abab1ab1ab1c2.
2
222
整理，得a2+b2=c2.
【知识拓展】
2c ＜
ab＜2c
(2011·温州中考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理， 创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图1). 图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而 成.记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分 别为S1，S2,S3,若S1+S2+S3=10，则S2的值是_____.
【例】(2010·孝感中考)【问题情境】 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法， 我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著 名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其 他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话” 的语言.
湘教版八年级数学下册《直角三角形的性质和判定(Ⅱ)》教案
第1章直角三角形1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第1课时勾股定理【知识与技能】1.让学生体验勾股定理的探索过程.2.掌握勾股定理.3.学会用勾股定理解决简单的几何问题.【过程与方法】经历操作、归纳和猜想，用面积法推导作出肯定结论的过程，来了解勾股定理.【情感态度】了解我国古代数学家发现、推导和应用勾股定理中的贡献与成就，增进爱国主义情感，体验探索发现的过程和知识运用，增强学习数学的自信.【教学重点】勾股定理【教学难点】勾股定理的应用一、创设情境，导入新课问题向学生展示国际数学大会（ICM——2002）的会标图徽，并简要介绍其设计思路.可以首次提出勾股定理.【教学说明】激发学生爱好数学的情感和学习勾股定理的兴趣，调动他们的积极性.教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知勾股定理的验证做一做：教材第9页“做一做”【教学说明】通过测量，学生自主探究，对于直角三角形这一性质有个初步了解.议一议：教材第9页“议一议”【教学说明】引导学生计算，让学生进一步体会探索勾股定理的过程，并对勾股定理拓展应用，进一步体会数形结合的思想.想一想：教材第10页“探究”【教学说明】通过拼图活动，充分调动学生的思维，进一步激发学生的求知欲望，同时加深了学生对新知识的理解.例：教材第11页例1【教学说明】学生初步运用勾股定理解决问题，能够学以致用.三、运用新知，深化理解1.若Rt△ABC中，∠C=90°，且c=37，a=12，则b的值为（）A.50B.35C.34D.262.一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A.4B.8C.10D.123.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB 于D，求CD的长.4.已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2.求证：AB=BC.【教学说明】由学生独立完成，加深对所学知识的理解和运用，对于有困难的学生教师给予点拨，及时调整教学中的缺漏并加以强化，在完成上述题目后，学生自主完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1.B 2.C3.解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∴由勾股定理有AC2=AB2-BC2=52-32=16，∴AC=4.又∵S△ABC=1/2AB·CD=1/2AC·BC,∴CD=AC·BC/AB=12/5(cm)4.证明：连接AC，∵∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2.∵CD⊥AD，∴AD2+CD2=AC2.∵AD2+CD2=2AB2，∴AB2+BC2=2AB2，∴AB=BC.四、师生互动，课堂小结本节课你学到了什么知识？同学们还存在哪些困惑？【教学说明】让学生畅所欲言，使学生概括能力、语言表达能力进一步得到提高，完善了学生对知识的梳理.1.布置作业：习题1.2中的第1、4题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第2课时勾股定理的实际应用【知识与技能】1.勾股定理从边的方面进一步刻画直角三角形的特征，学生将在原有的基础上对直角三角形有更深刻的认识和理解.2.掌握直角三角形三边关系——勾股定理及直角三角形的判别条件——勾股定理的逆定理.【过程与方法】1.放手学生从多角度地了解勾股定理.2.提高学生亲自动手的能力.【情感态度】1.学会运用勾股定理来解决一些实际问题，体会数学的应用价值.2.尽可能的给学生提供有关勾股定理的材料，给予交流的机会，并在与他人交流的过程中，敢于发表不同的见解，在交流活动中获得成功的体验.【教学重点】应用勾股定理有关知识解决有关问题.【教学难点】灵活应用勾股定理有关知识解决有关问题.一、创设情境，导入新课问题勾股定理的内容是什么？它揭示了直角三角形三边之间的关系，今后我们来看看这个定理的应用.【教学说明】教师创设问题，有针对性地复习了勾股定理，对本节课的应用勾股定理解决实际的问题打下了坚实的基础.教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知问题勾股定理的应用思考教材第12页“动脑筋”【教学说明】提出问题，提供学生参与数学活动的时间与空间，调动学生的观察能动性，引导学生建立数学模型，提高学生分析问题、解决问题的能力.例：教材第12页例2【教学说明】以古代的数学问题为背景，一方面及时巩固勾股定理的运用，另一方面让学生感受到数学文化.三、运用新知，深化理解1.直角三角形中已知其中的两条边长是4和5，则第三条边等于（）A.3B.41C.3或41D.无法确定2.在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b，∠B=90°.①已知a=5,b=12，求c;②已知a=20,c=29,求b.3.如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所能走的最短路线的长度.【教学说明】由学生独立完成，以加深对知识的理解和运用，便于了解学生掌握情况，给有困难的学生给予指导，及时纠正他们出现的错误，并改正强化，在完成上述题目后，教师引导学生完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1.C3.解：将曲面沿AB展开，如图，过C作CE⊥AB于E，在Rt△ECF 中，∠E=90°，EF=18-1-1=16（cm），CE=1/2×60=30（cm），由勾股定理，得CF=223016+=34（cm）+=22CE EF四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，给同学们谈谈你的收获是什么？你认为自己还在哪些问题上存在疑问?与大家共同交流.【教学说明】学生自已总结归纳加深印象.引导学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相应的数学模型.1.布置作业：习题1.2中的第5、9题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第3课时勾股定理的逆定理【知识与技能】1.探索并掌握直角三角形判别的方法——勾股定理逆定理.2.会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形.3.通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想.【过程与方法】通过“创设情境——实验验证——理论释意——应用”的探索过程，让学生感受知识的乐趣.【情感态度】1.通过合作交流学习的发展体验获取数学知识的感受.2.通过对勾股定理逆定理的探究，激发学生学习数学的兴趣和创新精神.【教学重点】理解和应用直角三角形的判定方法.【教学难点】理解勾股定理的逆定理.一、创设情境，导入新课问题据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.【教学说明】利用古埃及人画直角的方法，让学生体验从实际问题中发现数学，同时明确了本节课所研究的问题，既进行了数学史的教育，又锻炼了学生观察探究的能力，激发了他们渴求知识的欲望，教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知问题勾股定理的逆定理的证明探究教材第14页“探究”【教学说明】让学生有充分的探究、讨论的空间，体会逆定理的发生、发展、形成的过程，让学生亲身体验成功的喜悦，再次感受到数形结合的思想方法的应用.勾股定理的应用例：教材第15页例3、例4 【教学说明】加深对勾股定理逆定理的理解，并能初步的应用逆定理.三、运用新知，深化理解1.下列命题中是假命题的是（）A.△ABC中，若∠B=∠C-∠A，则△ABC是直角三角形B.△ABC中，若a2=(b+c)(b-c)，则△ABC是直角三角形C.△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC是直角三角形D.△ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为__________，此三角形的形状为________.3.若a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判定这个三角形的形状.4.探险队里的A组由驻地出发，以12km/h的速度前进，同时，B 组也由驻地出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2小时后同时停下来，这时A、B两组相距30km，那么A、B两组行驶的方向成直角吗？说明理由.【教学说明】由学生自主完成，考验学生学习过程中存在的问题，适时给予引导、点拨，并有针对性地加强训练.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1. C 2. 6，8，10；直角三角形3.∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),当a2-b2=0时，即（a+b）(a-b)=0，因为a>0,b>0，所以a+b≠0,a-b=0,即a=b，此时为等腰三角形，当a2-b2≠0时，则有c2=a2+b2,根据勾股定理的逆定理此时为直角三角形.综上可得这个三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.4.∵（12×2）2+（9×2）2=30∴A，B两组行驶方向成直角.四、师生互动，课堂小结通过学习，你能判断一个三角形是否为直角三角形吗？还有哪些困惑？请与同学们共同操作.1.布置作业：习题1.2中的第2、8题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.。
七年级数学下册第四章三角形3探索三角形全等的条件教学课件新版北师大版
1.讨论并解决“问题导引”中的问题. 略.
2.如图,∠B=∠E,AB=EF,BD=EC,那么△ABC与△FED 等吗? 为什么?AC∥FD吗? 为什么? 解:全等. 因为BD=EC, 所以BD-CD=EC-CD,即BC=ED. 因在△ABC与△FED中, 为AB=EF ,∠B=∠E ,BC=ED, 以△ABC ≌ △FED(SAS). 所以∠ACB=∠FDE.所以∠ACD=∠FDC. 所以AC∥FD.
判定两个三角形全等的思路: (1)至少应找出一组对应边相等. (2)根据已知条件寻找合适的判定方法: 已知两边想到用SAS或SSS;已知一角一边想到用SAS 或ASA或AAS;已知两角想到用ASA或AAS.
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勤能补拙，学有成就！
2021下册 北师大版
第四章 三角形
3 探索三角形全等的条件（第1课时）
1.能记住三角形全等的“SSS”判定条件及三角形的稳 定性. 2.经历对三角形全等的分析与画图,归纳获得三角形全 等的条件并会利用.
如图,工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等, 但他手边没有量角器,只有一个刻度尺.他是这样操作的: ①分别在BA和CA上取BE=CG;②在BC上取BD=CF;③量 出DE的长为a米,FG的长为b米.若a=b,则说明∠B和∠C是 相等的.你想知道其中的奥秘吗?让我们一起来探索吧!
第四章 三角形 3 探索三角形全等的条件
第2课时
1.通过作图、思考、探索出全等三角形的“ASA”“AAS” 的判定方法.
2.能说出判定三角形全等的“ASA”“AAS”的内容,并会运 用它们解决简单的数学问题.
如图,某同学不慎将一块三角形玻璃模具打碎成了三块, 他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,配到一块与原 来一样的三角形模具?如果可以,带哪块去合适?为什么?
初三数学直角三角形性质、相关定理和推论
第2次课：直角三角形性质、相关定理和推论一、考点、热点回顾1、基本知识点：勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
应用：由边的关系判定三角形是直角三角形定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（HL ） 应用：判定直角三角形全等的方法 2、互逆定理如果两个角是对顶角，那么它们相等。
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。
全等三角形中相等的边所对的角相等。
全等三角形中相等的角所对的边相等。
逆命题： 互逆命题： 逆定理： 互逆定理：三角形三边长与三角形形状之间的关系设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边的长（1）若222+=a b c ，则三角形为直角三角形； （2）若222+<a b c ，则三角形为钝角三角形； （3）若222+>a b c ，则三角形为锐角三角形；二、典型例题例如图，在△ABC 中，∠ACB=900，AB=5，BC=3，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长。
DABC例如图,在△ABC 中,D 是BC 上的一点,已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求CD 的长.例右图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=7.4m,∠A ＝30 °, 立柱BC 、DE 要多长？例将下面的空补充完整。
如图所示，已知△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，∠A=30°.求证：AB=4BD解：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°∴ BC= AB ∠B=又∵△BCD 中,CD ⊥AB ∴∠BCD= ∴BD= BC ∴BD= AB 即例：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假;(1)四边形是多边形；(2)两直线平行，内旁内角互补； (3)如果ab ＝0，那么a ＝0， b ＝0AB CD1.如图,CD ⊥AD,CB ⊥AB,AB=AD. 求证:CD=CB.2.如图，一架2.5m 长的梯子AB ，斜靠在一坚直的墙上AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯足将向外移动多少米？3.如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交高AD 于点F ，且BF=AC ，FD=CD 。
中考复习直角三角形课件
直角三角形在建筑设计中应用广泛，如金字塔、摩天大楼等建筑结 构中，直角三角形都起到了重要的支撑作用。
桥梁设计
在桥梁设计中，直角三角形常常被用来构成稳定的结构，如斜拉桥 的拉索和主梁之间的角度，就是利用了直角三角形的稳定性。
建筑测量
在建筑测量中，直角三角形也发挥了重要作用，如确定建筑物的垂直 度和水平度等。
直角三角形的性质
总结词
直角三角形具有一些特殊的性质，如斜边的中线等于斜边的一半、30-60-90特 殊角的性质等。
详细描述
在直角三角形中，斜边的中线长度等于斜边的一半。此外，直角三角形中30度角 所对的边等于斜边的一半，同时，30度角所对的直角边与斜边的比值为 0.5773502691896258。
面积计算方法
直接计算
当已知直角三角形的底和高时， 可以直接使用面积公式进行计算
。
利用勾股定理
当只知道直角三角形的两直角边 时，可以利用勾股定理求出斜边
，然后计算面积。
相似三角形法
当只知道直角三角形的两个非直 角边时，可以构造另一个相似三 角形，利用相似三角形的性质求
出高，再计算面积。
面积在几何图形中的应用
02
直角三角形的判定
判定方法
勾股定理
勾股定理是直角三角形的一种判 定方法，如果一个三角形的三边 满足勾股定理，则该三角形是直
角三角形。
角角边判定
如果一个三角形有两个角和一边相 等，则三角形是直角三角形。
边边边判定
如果一个三角形的三边分别相等， 则该三角形是直角三角形。
判定定理
直角三角形斜边中线定理
组合图形面积计算
在解决一些复杂的几何图形问题时， 可以将图形分解为若干个直角三角形 ，然后分别计算各三角形的面积，最 后求和得到总面积。
【中考一轮复习】特殊三角形---直角三角形课件
D
A
E
B
目录
01 直角三角形性质与判定 02 勾股定理
典型例题
【例4】“赵爽弦图”奇妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我 国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直 角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较
长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,
D.②③
2.如图,Rt△ABC中,∠B=90º,AB=4,BC=3,AC的垂直平分线DE分别
交AB,AC于D,E两点,则CD的长为_2_85__.
A
E D
B
C
当堂训练
3.如图,有两棵树高10米,另一棵高4米,两树相距8米. 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟 至飞少行飞的行距(离不)B可能是( A ) A.8米 B.10米 C.12米 D.14米
判定
定义法：有一个角是90º的三角形是直角三角形. 有一条边上的中线是这边的一半的三角形是直角三角形.
2.等面积法求斜边上的高:如图,S=0.5ab=0.5ch,
其中a,b为两个直角边,c为斜边,h为斜边上的高.
a
b
h
c
当堂训练
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,CD为AB边上的高,CE为AB边上
连接BE,ED,BD.若∠BAD=58º,则∠EBD的度数为_3_2__度．
6.在直角三角形ABC中,∠ACB=90º,D、E是边AB上两点,且CE所在
直线垂直平分线段AD,CD平分∠BCE,BC= 2 3，则AB=_4__.
D
A
E
C
A E D
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1
第四课时 直角三角形的性质和判定
学习目标
1 . 知识与技能：使学生掌握勾股定理，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能
力。
2．过程与方法：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定
理。
3．情感、态度与价值观：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱
国热情，促其勤奋学习。
重点、难点
1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
学习过程
一、 预学：
（1）如图1-9， 在方格纸上（设小方格边长为单位1）画一个顶点都在格点上的直角三角
形， 使其两直角边分别为3， 4， 量出这个直角三角形斜边的长度.。
二、交流：
（1）在方格纸上， 以图1-10 中的Rt△ABC 的三边为边长分别向外作正方形，得到三个大
小不同的正方形，如图1-10，那么这三个正方形的面积S1， S2 ， S3 之间有什么关系呢？
2
在图上中， S1 + S2 =S3 ， 即BC2 +AC2 =AB2 ， 那么是否对所有的直角三角形，都
有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？
（2）如下图，任作一个Rt△ABC，∠C= 90°， 若BC= a，AC= b， AB= c， 那么a2 + b2
= c2是否成立呢？
我们来进行研究.：
步骤1 先剪出4个如上左图所示的直角三角形， 由于每个直角三角形的两直角边长为a，
b（其中 b > a），于是它们全等（SAS），从而它们的斜边长相等. 设斜边长为c
.
步骤2 再剪出1 个边长为c 的正方形，如图上中图所示.
步骤3 把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如上右图的图形.
由于△DHK≌△EIH，
∴ ∠2 ＝∠4.
又∵ ∠1 +∠2 = 90°，
∴ ∠1 +∠4 = 90°.
又∠KHI = 90°，
3
∴ ∠1 +∠KHI +∠4 = 180°， 即D，H，E 在一条直线上.
因此拼成的图形是正方形DEFG，它的边长为(a + b)，它的面积为(a + b)2 .
又正方形DEFG 的面积为c2+4×21ab
∴
即
由此得到直角三角形的性质定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.
其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，由于古人称直角三角形
的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦因此这一性质被称为勾股定理.
三、 精导：
1、如右图，在等腰三角形ABC 中，已知AB = AC = 13cm，BC = 10cm，AD⊥BC 于点D. 你
能算出BC边上的高AD的长吗？
2、在△ABC中，∠C为直角，AB=17,AC=8，求BC的长。
分析：在这个直角三角形中，已知斜边和条直角边，求另一条直角边。
四、 提升：
已知树高6米，在树梢上有一猫头鹰，猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠，落点与树根相距
8米，那么猫头鹰至少飞过多少米？
五、巩固练习：P11 练习六：小结：
1、本节课我们经历了怎样的过程？
2、本节课我们学到了什么？
3、学了本节课后我们有什么感想
作业：P16A组第1题
学习反思：
abcab.221()4
2
a2+ b2 = c2
a2+ b2 = c2