2017三角函数的综合应用教案.doc

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时 三角函数的综合应用(对应学生用书(文)、(理)57～59页)

考情分析 考点新知 理解和掌握同角三角函数的基本关系式、三角函数的图象和性质、两角和与差的正弦余弦与正切公式、二倍角公式及正弦定理和余弦定理，并能运用它们解决有关三角函数的综合问题． 2. B级考点：① 同角三角函数的基本关系式 ② 二倍角公式 ③ 三角函数的图象和性质 ④ 正弦定理和余弦定理

1. (必修5P9例题4题改编)设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且acosA＝csinC，则A＝________．

答案：π4 解析：由acosA＝csinC，asinA＝csinC，得asinA＝acosA，即sinA＝cosA，所以A＝π4. 2. (必修4P45习题1.3第8题改编)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y＝sinx－π6的图象，则φ＝________． 答案：116π 解析：将函数y＝sinx向左平移φ(0≤φ<2π)个单位得到函数y＝sin(x＋φ)．只有φ＝116π时有y＝sinx＋116π＝sinx－π6. 3. (必修4P109习题3.3第6(2)题改编)tanπ12－1tanπ12＝________．

答案：－23 解析：原式＝sinπ12cosπ12－cosπ12sinπ12＝－cos2π12－sin2π12sinπ12cosπ12

＝－cosπ612sinπ6＝－23. 4. (必修4P115复习题第13题改编)已知函数f(x)＝3sinxcosx－cos2x＋12(x∈R)，则f(x)在区间0，π4上的值域是________． 答案：－12，32 解析：f(x)＝32sin2x－12cos2x＝sin2x－π6.当x∈0，π4时，2x －π6∈－π6，π3，故值域为－12，32. 5. 在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则边BC上的高为________．

答案：332 解析：由余弦定理，得7＝c2＋4－2c，即c2－2c－3＝0，解得c＝3，所以边BC上的高h＝3sin60°＝332.

1. 同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα.

2. 两角和与差的正弦余弦和正切公式：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)＝cosαcosβsinαsinβ，tan(α±β)＝tanα±tanβ1tanαtanβ.

3. 二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan2α＝2tanα1－tan2α. 4. 三角函数的图象和性质 5. 正弦定理和余弦定理：

(1) 正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为三角形外接圆的半径)． (2) 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc.

题型1 三角恒等变换 例1 已知sinA＋π4＝7210，A∈π4，π2. (1) 求cosA的值； (2) 求函数f(x)＝cos2x＋52sinAsinx的值域． 解：(1) 因为π4cosA＋π4＝－210. 所以cosA＝cosA＋π4－π4 ＝cosA＋π4cosπ4＋sinA＋π4sinπ4 ＝－210·22＋7210·22＝35. (2) 由(1)可得sinA＝45. 所以f(x)＝cos2x＋52sinAsinx ＝1－2sin2x＋2sinx＝－2sinx－122＋32，x∈R.因为sinx∈[－1， 1]，所以，当sinx＝12时，f(x)取最大值32；当sinx＝－1时，f(x)取最小值－3. 所以函数f(x)的值域为－3，32. 备选变式（教师专享） (2013·上海卷)若cosxcosy＋sinxsiny＝12，sin2x＋sin2y＝23，则sin(x＋y)＝________． 答案：23 解析：由题意得cos(x－y)＝12，sin2x＋sin2y＝sin[(x＋y)＋(x－y)]＋sin[(x＋y)－(x－y)]＝2sin(x＋y)cos(x－y)＝23sin(x＋y)＝23. 题型2 三角函数的图象与性质 例2 已知函数f(x)＝Asinπ3x＋φ，x∈R，A>0，0＝f(x)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)． (1) 求f(x)的最小正周期及φ的值；

(2) 若点R的坐标为(1，0)，∠PRQ＝2π3，求A的值． 解：(1) 由题意得T＝2ππ3＝6. 因为P(1，A)在y＝Asinπ3x＋φ的图象上， 所以sinπ3＋φ＝1. 因为0(2) 设点Q的坐标为(x0，－A)． 由题意可知π3x0＋π6＝3π2，得x0＝4， 所以Q(4，－A)．

连结PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝2π3，由余弦定理得 cos∠PRQ＝RP2＋RQ2－PQ22RP·RQ＝A2＋9＋A2－（9＋4A2）2A·9＋A2＝ －12，解得A2＝3.又A>0，所以A＝3. 备选变式（教师专享） 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π. (1) 求函数f(x)的表达式；

(2) 若sinα＋f(α)＝23，求2sin2α－π4＋11＋tanα的值． 解：(1) ∵ f(x)为偶函数，∴ sin(－ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)，即2sinωxcosφ＝0恒成立， ∴ cosφ＝0，又∵ 0≤φ≤π，∴ φ＝π2. 又其图象上相邻对称轴之间的距离为π，∴ T＝2π， ∴ ω＝1，∴f(x)＝cosx.

(2) ∵ 原式＝sin2α－cos2α＋11＋tanα＝2sinαcosα，又∵ sinα＋cosα＝23，∴ 1＋2sinαcosα＝49， 即2sinαcosα＝－59，故原式＝－59 . 题型3 正弦定理、余弦定理的综合应用 例3 (2013·浙江)在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinB＝3b. (1) 求角A的大小； (2) 若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积．

解：(1) 由2asinB＝3b及正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝32.因为A是锐角，所以A＝π3. (2) 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝36.又b＋c＝8，所以bc＝283.

由三角形面积公式S＝12bcsinA，得△ABC的面积为733. 备选变式（教师专享） 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝π3，a＝5， △ABC的面积为103. (1) 求b，c的值；

(2) 求cosB－π3的值． 解：(1) 由已知，C＝π3，a＝5，因为S△ABC＝12absinC， 即103＝12b·5sinπ3，解得b＝8. 由余弦定理可得：c2＝25＋64－80cosπ3＝49, 所以c＝7. (2) 由(1)有cosB＝25＋49－6470＝17，由于B是三角形的内角，易知sinB＝1－cos2B＝437，所以cosB－π3＝cosBcosπ3＋sinBsinπ3

＝17×12＋437×32＝1314. 题型4 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用 例4 已知向量m＝sinA，12与n＝(3，sinA＋3cosA)共线，其中A是△ABC的内角． (1) 求角A的大小； (2) 若BC＝2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状． 解：(1) 因为m∥n，

所以sinA·(sinA＋3cosA)－32＝0. 所以1－cos2A2＋32sin2A－32＝0， 即32sin2A－12cos2A＝1， 即sin2A－π6＝1. 因为A∈(0，π)，所以2A－π6∈－π6，11π6. 故2A－π6＝π2，A＝π3. (2) 由余弦定理，得4＝b2＋c2－bc. 又S△ABC＝12bcsinA＝34bc， 而b2＋c2≥2bcbc＋4≥2bcbc≤4(当且仅当b＝c时等号成立)，

所以S△ABC＝12bcsinA＝34bc≤34×4＝3. 当△ABC的面积取最大值时，b＝c. 又A＝π3，故此时△ABC为等边三角形． 备选变式（教师专享） 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)． (1) 若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；

(2) 若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积．