四边形2015

几何综合训练1.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是[（）]A．2 5 B．3 5 C．5 D．62 .（如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为．3．如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为cm2．4,如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，P C．若∠ABC=∠BEF=60°，则=（）A．B．C．D ．5.如图6，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB②当点E与点B重合时，MH=12；③AF+BE=EF；④MG•MH=12，其中正确结论为A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④6..如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是( )A．2225y x=B．2425y x=C．225y x=D．245y x=7.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（）B8.．如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE =3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B ′处，若△CDB ′恰为等腰三角形，则DB ′的长为 .9.如图，四边形 ABCD 是菱形， E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，随机地向菱形ABCD 内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是__________.10.如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，若AB =4，BC =2，那么线段EF 的长为 ．11.如图，在矩形ABCD 中，点F 在边BC 上，且AF =AD ，过点D 作DE ⊥AF ，垂足为点E . （1）求证：DE =AB ；（2）以D 为圆心，DE 为半径作圆弧交AD 于点G ，若BF =FC =1，试求»EG的长.12.已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 上的点，AF ，DE 相交于点G ，当E ，F 分别为边BC ，CD 的中点时，有：①AF =DE ；②AF ⊥DE 成立． 试探究下列问题：（1）如图1，若点E 不是边BC 的中点，F 不是边CD 的中点，且CE =DF ，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E ，F 分别在CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE =DF ，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE 和BF ，若点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．EFCDBA 第15题B ′GHFAC BDE第14题图B13.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC 于点E．（1）求证：AC⊥BD；（2）若AB=14，cos∠CAB =，求线段OE的长．14.如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB=BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）连接BD，若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．15.如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线时的一点，且DG=AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A，G重合），设运动时间为t秒，连接BM并延长AG于N．（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；（2）当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=HN；（3）过点M分别作AB，AD的垂线，垂足分别为E，F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．16.如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）17.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．18.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EF A；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．19.已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8(1) 如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD 于点K①求AKEF的值②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值(2) 若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长1.解；连接EF交AC于O，∵四边形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE=OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，在△CFO与△AOE 中，，∴△CFO≌△AOE，∴AO=CO，∵AC ==4，∴AO =AC =2，∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，∴△AOE∽△ABC，∴，∴，∴AE=5．故选C．2.解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC2=12+12，AC =；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，∴第n个正方形的边长a n=（）n﹣1．故答案为（）n﹣1．3.解：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，∴EH =BD=FG，EH∥BD∥FG，EF =AC=HG，∴四边形EHGF是平行四边形，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO =AB=3，∴AC=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB ==3，∴BD =6，∵EH =BD，EF =AC，∴EH =3，EF=3，∴矩形EFGH的面积=EF•FG =9cm2．故答案为：9．4.解：如图，延长GP交DC于点H，∵P是线段DF的中点，∴FP=DP，由题意可知DC∥GF，∴∠GFP=∠HDP，∵∠GPF=∠HPD，∴△GFP≌△HDP，∴GP=HP，GF=HD，∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∴CG=CH，∴△CHG是等腰三角形，∴PG⊥PC，（三线合一）又∵∠ABC=∠BEF=60°，∴∠GCP=60°，∴=；故选B．5.解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB ==，故①正确；②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，∴MB⊥BC，∠MBC=90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，∴MH=MB=CG，∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，∴CE=AF=BF，∴FG是△ACB的中位线，∴GC =AC=MH，故②正确；③如图2所示，∵AC =BC ，∠ACB =90°，∴∠A =∠5=45°．将△ACF 顺时针旋转90°至△BCD ， 则CF =CD ，∠1=∠4，∠A =∠6=45°；BD =AF ；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°， ∴∠DCE =∠2．在△ECF 和△ECD 中，，∴△ECF ≌△ECD （SAS ），∴EF =DE ．∵∠5=45°，∴∠BDE =90°，∴DE 2=BD 2+BE 2，即E 2=AF 2+BE 2，故③错误；④∵∠7=∠1+∠A =∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE ，∵∠A =∠5=45°，∴△ACE ∽△BFC ， ∴=，∴AF •BF =AC •BC =1，由题意知四边形CHMG 是矩形，∴MG ∥BC ，MH =CG ，MG ∥BC ，MH ∥AC ，∴=；=，即=；=，∴MG =AE ；MH =BF ，∴MG •MH =AE ×BF =AE •BF =AC •BC =，故④正确．故选：C ．6.∵E 是AB 边的中点，AB 4= ∴1AE EB AB 22=== ∵四边形ABCD 矩形 ∴A 90∠=o∴在Rt △DAE 根据勾股定理可知：222DE AE AD =+又∵AD 6=∴ED = 根据翻折对称的性质可知'EB EB 2==∵△DEB 中两边一定，要使'DB 的长度最小即要使'DEB ∠最小(也就是使其角度为0°)，此时点'B 落在DE 上（如图所示）.∴''DB DE EB 2=-= ∴'DB的长度最小值为2. 故选A7.解：由题意，可得BE 与AC 交于点P ．∵点B 与D 关于AC 对称，∴PD =PB ， ∴PD +PE =PB +PE =BE 最小．∵正方形ABCD 的面积为12，∴AB =2．又∵△ABE 是等边三角形，∴BE =AB =2．故所求最小值为2．故选B ．8.根据题意，若△CD B '恰为等腰三角形需分三种情况讨论：（1）若DB ′=DC 时，则DB ′=16（易知点F 在BC 上且不与点C 、B 重合） ；（2）当CB ′=CD 时，∵EB =EB ′，CB =CB ′∴点E 、C 在BB ′的垂直平分线上，∴EC 垂直平分BB ′，由折叠可知点F 与点C 重合，不符合题意，舍去；（3）如解图，当CB ′=DB ′时，作BG ⊥AB 与点G ，交CD 于点H .∵AB ∥CD ，∴B ′H ⊥CD ，∵CB ′=DB ′，∴DH =21CD =8，∴AG =DH =8，∴GE =AG －AE =5，在Rt △B ′EG 中，由勾股定理得B ′G =12，∴B ′H =GH －B ′G =4.在Rt △B ′DH 中，由勾股定理得DB ′=54，综上所述DB ′=16或54.G E9.考点分析：概率初步——结合其他考点（转化思想） 特殊四边形的性质特殊代替一般EAB详解：1210.解：如图所示，AC 交EF 于点O ，由勾股定理知AC =2，又∵折叠矩形使C 与A 重合时有EF ⊥AC ，则Rt △AOE ∽Rt △ABC ，∴，∴OE =故EF =2OE =．故答案为：．11.【答案】解：（1）证明：∵DE ⊥AF ，∴∠AED =90°.又∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B =90°.∴∠DAE =∠AFB ，∠AED =∠B =90°.又∵AF =AD ，∴△ADE ≌△F AB （AAS ）. ∴DE =AB .（2）∵BF =FC =1，∴AD =BC =BF +FC =2.又∵△ADE ≌△F AB ，∴AE =BF =1.∴在Rt △ADE 中，AE =12AD . ∴∠ADE =30°.又∵DE= ∴»n R EG180π===. 12.解：（1）上述结论①，②仍然成立，理由为：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD =DC ，∠BCD =∠ADC =90°，在△ADF 和△DCE 中，，∴△ADF ≌△DCE （SAS ），∴AF =DE ，∠DAF =∠CDE ，∵∠ADG +∠EDC =90°，∴∠ADG +∠DAF =90°，∴∠AGD =90°，即AF ⊥DE ； （2）上述结论①，②仍然成立，理由为：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD =DC ，∠BCD =∠ADC =90°，在△ADF 和△DCE 中，，∴△ADF ≌△DCE （SAS ），∴AF =DE ，∠E =∠F ，∵∠ADG +∠EDC =90°，∴∠ADG +∠DAF =90°，∴∠AGD =90°，即AF ⊥DE ； （3）四边形MNPQ 是正方形．理由为：如图，设MQ ，DE 分别交AF 于点G ，O ，PQ 交DE 于点H ， ∵点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，∴MQ =PN =DE ，PQ =MN =AF ，MQ ∥DE ，PQ ∥AF ，∴四边形OHQG 是平行四边形， ∵AF =DE ，∴MQ =PQ =PN =MN ，∴四边形MNPQ 是菱形，∵AF ⊥DE ，∴∠AOD =90°，∴∠HQG =∠AOD =90°，∴四边形MNPQ 是正方形．13.解：（1）∵∠CAB =∠ACB ，∴AB =CB ，∴▱ABCD 是菱形．∴AC ⊥BD ； （2）在Rt △AOB 中，cos ∠CAB ==，AB =14，∴AO =14×=，在Rt △ABE 中，cos ∠EAB ==，AB =14，∴AE =AB =16，∴OE =AE ﹣AO =16﹣=．14.证明：（1）在平行四边形ABCD 中，AD =BC ，AB =CD ，AB ∥CD ，则BE ∥C D ．又∵AB =BE ， ∴BE =DC ，∴四边形BECD 为平行四边形，∴BD =E C ．∴在△ABD 与△BEC 中，，∴△ABD ≌△BEC （SSS ）；（2）由（1）知，四边形BECD 为平行四边形，则OD =OE ，OC =O B ．∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠A =∠BCD ，即∠A =∠OC D ．又∵∠BOD =2∠A ，∠BOD =∠OCD +∠ODC ，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四边形BECD为矩形．15.（1）解：存在；当点M为AC的中点时，AM=BM，则△ABM为等腰三角形；当点M与点C重合时，AB=BM，则△ABM为等腰三角形；当点M在AC上，且AM=2时，AM=AB，则△ABM为等腰三角形；当点M为CG的中点时，AM=BM，则△ABM为等腰三角形；（2）证明：在AB上截取AK=AN，连接KN；如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，AB=AD，∴∠CDG=90°，∵BK=AB﹣AK，ND=AD﹣AN，∴BK=DN，∵DH平分∠CDG，∴∠CDH=45°，∴∠NDH=90°+45°=135°，∴∠BKN=180°﹣∠AKN=135°，∴∠BKN=∠NDH，在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB=90°，又∵BN⊥NH，即∠BNH=90°，∴∠ANB+∠DNH=180°﹣∠BNH=90°，∴∠ABN=∠DNH，在△BNK和△NHD中，，∴△BNK≌△NHD（ASA），∴BN=NH；（3）解：①当M在AC上时，即0＜t ≤2时，△AMF为等腰直角三角形，∵AM=t，∴AF=FM =t，∴S =AF•FM =×t ×t=t2；当t =2时，S的最大值=×（2）2=2；②当M在CG上时，即2＜t＜4时，如图2所示：CM=t﹣AC=t﹣2，MG =4﹣t，在△ACD和△GCD 中，，∴△ACD≌△GCD（SAS），∴∠ACD=∠GCD=45°，∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90°，∴∠G=90°﹣∠GCD=45°，∴△MFG为等腰直角三角形，∴FG=MG•cos45°=（4﹣t）•=4﹣t，∴S=S△ACG﹣S△CMJ﹣S△FMG =×4×2﹣×CM×CM ﹣×FG×FG=4﹣（t﹣2）2﹣（4﹣）2=﹣+4t﹣8=﹣（t ﹣）2+，∴当t =时，S 的最大值为．16.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG=∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG=DG，在△FCG和△EDG中，，∴△FCG≌△EDG（ASA）∴FG=EG，∵CG=DG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）①解：当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B=60°，AB=3，∴BM=1.5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM，在△MBA和△EDC 中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED=∠AMB=90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：3.5；②当AE=2时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD=5，AE=2，∴DE=3，∵CD=3，∠CDE=60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE=DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：2．17.（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A=PC，∵P A=PE，∴PC=PE；（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵P A=PC，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；（3）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴P A=PC，∠BAP=∠BCP，∵P A=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵P A=PC，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE；18.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EF A；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM ==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF =AM=6.5，∵△ABM∽△EF A，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．19.（1）∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴ADAKBCEF=，即8AK12EF=∴23AKEF=；（2）由题意知EH=KD=x，AK=8－x.∵23AKEF=，∴23x-8EF=，∴EF=)8(23x-,∴S=EF×EH=)8(23x-x=244-x23-2+）（,∴S的最大值是24；（3）①两顶点在底边BC上时，由（1）知23AKPQ=，∵PQMN是正方形，∴AK=AD－DK=AD－PQ=8－PQ，∴23PQ-8PQ=，∴PQ=4.8；②正方形两顶点M、N在腰AB上时如图时,作CH⊥AB于H，交PQ于G，则CG=CH－HG=CH －PQ=9.6－PQ，如图：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=6又AD=8，∴AB=10，∴AB×CH=BC×AD，∴CH=9.6.由（1）知2425CHABCGPQ==，即2425PQ-9.6PQ=，∴PQ=49240，综上，正方形PQMN的边长为4.8或49240.。