数理统计_方差与标准差

心理和教育方面的实验或调查所得到的数据，大都具有随机变量的性质。而对这些随机变量的描述，仅有前一章所讲集中趋势的度量是不够的。集中量数只描述数据的集中趋势和典型情况，它还不能说明一组数据的全貌。数据除典型情况之外，还有变异性的特点。对于数据变异性即离中趋势进行度量的一组统计量，称作差异量数，这些差异量数有标准差或方差，全距，平均差，四分差及各种百分差等等。

第一节 方差与标准差

方差(Variance)也称变异数、均方。作为统计量，常用符号S2表示，作为总体参数，常用符号σ2表示。它是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，即离均差平方后的平均数。方差，在数理统计中又常称之为二阶中心矩或二级动差。它是度量数据分散程度的一个很重要的统计特征数。标准差(Standard deviation)即方差的平方根，常用S或SD表示。若用σ表示，则是指总体的标准差，本章只讨论对一组数据的描述，尚未涉及总体问题，故本章方差的符号用S2，标准差的符号用S。符号不同，其含义不完全一样，这一点望读者能够给予充分的注意。

一、方差与标准差的计算 (一)未分组的数据求方差与标准差 基本公式是：

（3—l a）

（3—1b） 表3—1说明公式3—1a与3—1b的计算步骤 表3—1 未分组的数据求方差与标准差 Xi Xi—X＝x x2＝(Xi—X)2 Xi2 6 5 7 4 6 8 0 -1 l -2 0 2 0 l 1 4 0 4 36

25 49 16 36 64 N＝6

∑Xi＝36 ∑x＝0 ∑x2＝10 ∑Xi2＝226

应用3—1公式的具体步骤：①先求平均数X＝36/6＝6；②计算Xi -X；③求(Xi - X)2即离均差x2；④将各离均差的平方求和 (∑x2)；⑤代入公式3—1a与3—1b求方差与标准差。具体结果如下：

S2=10/6=1.67

(二)已分组的数据求标准差与方差 数据分组后，便以次数分布表的形式出现，这时原始数据不见了，若计算方差与标准差可用下式：

(3—3a)

(3—3b) 式中d＝(Xc - AM) / i，AM为估计平均数 Xc为各分组区间的组中值 f为各组区间的次数 N=Σf 为总次数或各组次数和 i为组距。 下面以表1—8数据为例，说明分组数据求方差与标准差的步骤: 表3—2 次数分布表求方差与标准差 分组 区间 Xc f d fd fd2 计 算

96- 93- 90- 87- 84- 81- 78- 75- 72- 69- 66- 97 94 91 88 85 82 79 76 73 70 67 2 3 4 8 11 17 19 14 10 7 3 6 5 4 3 2 1 0 —1 —2 —3 —4 12 15 16 24 22 17 0 —14 —20 —21 —12 72 75 64 72 44 17 0 14 40 63 48

S2=32* （570/100 -（28/100）2）=50.5944

S＝7．113

63- 60- 64 61 l 1 —5 —6 —5 —6 25 36 i=3 Σf＝100 Σfd=28 Σfd2=570

具体步骤： ①设估计平均数AM，任选一区间的Xc充任； ②求d ⑧用f乘d，并计算Σfd； ④用d与fd相乘得fd2，并求Σfd2； ⑤代入公式计算。 二、方差与标准差的意义 方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好的指标。其值越大，说明离散程度大，其值小说明数据比较集中，它是统计描述与统计分析中最常应用的差异量数。它基本具备一个良好的差异量数应具备的条件：①反应灵敏，每个数据取值的变化，方差或标准差都随之变化；②有一定的计算公式严密确定；③容易计算；④适合代数运算；⑤受抽样变动的影响小，即不同样本的标准差或方差比较稳定；⑥简单明了，这一点与其他差异量数比较稍有不足，但其意义还是较明白的。

除上述之外，方差还具有可加性特点，它是对一组数据中造成各种变异的总和的测量，能利用其可加性分解并确定出属于不同来源的变异性(如组间、组内等)并可进一步说明每种变异对总结果的影响，是以后统计推论部分常用的统计特征数。在描述统计部分，只需要标准差就足以表明一组数据的离中趋势了。标准差比其他各种差异量数具有数学上的优越性，特别是当已知一组数据的平均数与标准差后，便可知占一定百分比的数据落在平均数上下各两个标准差，或三个标准差之内。对于任何一个数据集合，至少有1一1/h2的数据落在平均数的h(大于1的实数)个标准差之内。(切比雪夫定理)。例如某组数据的平均数为50，标准差是5，则至少有75％(1一1/22)的数据落在50-2*5至50+2*5即40至60之间，至少有88．9％(1一1/32)的数据落在50-3*5至50+3*5＝35—65之间 (h=2，1-1/h2=1-1/22=3/4=75%，h=3, -1/h2=1-1/32=8/9=88.9%)。

如果数据是呈正态分布，则数据将以更大的百分数落在平均数上下两个标准差之内(95％)或三个标准差之内 (99.％)。 三、由各小组的标准差求总标准差 由于方差具有可加性特点，在已知几个小组的方差或标准差的情况下，可以计算出几个小组联合在一起的总的方差或标准差。这种计算常在科研协作中应用，例如先了解各班学生情况，再了解全年级情况；或先了解各年级情况，再了解全校总的情况。但这种方差或标准差的合成，只有在应用同一种观测手段，测量的是同一个特质，只是样本不同时，才能应用。

计算总方差或总标准差的公式如下；

(3—4a)

(3—4b) 式中 为总方差 为总标准差 N1…Nn为各小组数据个数

为总平均数 为各小组的平均数 四、标准差的应用 (一)差异系数(Coefficient of variation) 当所观测的样本水平比较接近，而且是对同一个特质使用同一种测量工具进行测量时，要比较不同样本之间离散程度的大小，一般可直接比较标准差或方差的大小-标准差的值大说明该组数据较分散，若标准差小，则说明该组数据较集中。标准差的单位与原数据的单位相同，因而有时称它为绝对差异量。在对不同样本的观测结果的离散程度进行比较时，常会遇到下述情况：①两个或多个样本所测的特质不同，即所使用的观测工具不同，如何比较其离散程度?②即使使用的是同+种观测工具，但样本的水平相差较大时，如何比较它们的离散程度?在第一种情况下，标准差的单位不同，显然不能直接比较标准差的大小。第二种情况虽然标准差的单位相同，但两样本的水平不同，这可从平均数的大小明显不同确定。通常情况下，平均数的值较大，其标准差的值一般也较大，平均数的值较小，其标准差的值也较小。这种情况下，若直接比较标准差取值的大小，借以比较不同样本的分散情况是无意义的。可见，上述两种情况下，若用绝对差异量进行直接比较以确定其分散程度的大小是不行的，这时可用相对差异量进行比较。最常用的相对差异量就是差异系数。差异系数，．又称变异系数、相对标准差等，通常用符号CV表示，其计算如下，

CV=S / M * 100％ (3—5) 式中S为某样本的标准差 M为该样本的平均数。 差异系数在心理与教育研究中常用于：①同一团体不同观测值离散程度的比较，②对于水平相差较大，但进行的是同一种观测的各种团体，进行观测值离散程度的比较。

例2 已知某小学一年级学生的平均体重为25公斤，体重的标准差是3.7公斤，平均身高110厘米，标准差为6.2厘米，问体重与身高的离散程度哪个大?

解： CV体重＝3.7 / 25 * 100％＝14.8％ CV身高＝6.2 / 110 * 100％＝5.64％ 通过比较差异系数可知，体重的分散程度比身高的分散程度大(14.8％>5.64％)。 例3 通过同一个测验，一年级(7岁)学生的平均分数为60分，标准差为4.02分，五年级(14岁)学生的平均分数为 80分，标准差为6.04分，问这两个年级的测验分数中哪一个分散程度大?

解： CV一年级＝4.02 / 60 * 100％= 6.7％ CV五年级＝6.04 /80 * 100％= 7.55％ 答；五年级的测验分数分散程度大。 在应用差异系数比较相对差异大小时，一般应注意测量的数据要保证具有等距的尺度，这时计算的平均数和标准差才有意义，应用差异系数进行比较也才有意义。另外，观测工具应具备绝对零，这时应用差异系数去比较分散程度效果才更好。因此，差异系数常用于重量、长度、时间，编制得好的测验量表范围内。第三，差异系数只能用于一般的相对差异量的描述上，至今尚无有效的假设检验方法，因此对差异系数不能进行统计推论。

(二)标准分数(standard score) 标准分数又称基分数或z分数，是以标准差为单位表示一个分数在团体中所处位置的相对位置量数。 1．计算公式；

Z = （X— ）/ S (3—6) 式中X代表原始数据，X为一组数据的平均数，S为标准差。从公式3—6可以明了，Z分数的意义，它是一个数与平均数之差除以标准差所得的商数，它无实际单位。如果了个数小于平均数，其值为负数，如果一个数的值大于平均数，其值为正数，如果一个数的值等于平均数，其值为零。可见Z分数可以表明原数目在该组数据分布中的位置，故称为相对位置量数。

例4 某班平均成绩为90分，标准差为3分，甲生得94．2分，乙生得89．1分，求甲乙'学生的Z分数各是多少? 解：根据公式3—6 Z甲=(94.2—90) / 3 = 1.4 Z乙=(89.1—90) / 3 = -0.3 Z分数表示其原分数在以平均数为中心时的相对位置，这比使用平均数和原分数表达了更多的信息。 2．Z分数的性质 ①在一组数据中所有由原分数转换得出的z分数之和为零，其Z分数的平均数亦为零。 ②一组数据中各z分数的标准差为1。