数理统计_方差与标准差

第一节方差与标准差

方差(Variance)也称变异数、均方。作为统计量，常用符号S2表示，作为总体参数，常用符号σ2表示。它是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，即离均差平方后的平均数。方差，在数理统计中又常称之为二阶中心矩或二级动差。它是度量数据分散程度的一个很重要的统计特征数。标准差(Standard deviation)即方差的平方根，常用S或SD表示。若用σ表示，则是指总体的标准差，本章只讨论对一组数据的描述，尚未涉及总体问题，故本章方差的符号用S2，标准差的符号用S。符号不同，其含义不完全一样，这一点望读者能够给予充分的注意。

一、方差与标准差的计算

(一)未分组的数据求方差与标准差

基本公式是：

（3—l a）

（3—1b）

表3—1说明公式3—1a与3—1b的计算步骤

表3—1 未分组的数据求方差与标准差

应用3—1公式的具体步骤：①先求平均数X＝36/6＝6；②计算X i -X；③求(Xi - X)2即离均差x2；④将各离均差的平方求和 (∑x2)；⑤代入公式3—

1a与3—1b求方差与标准差。具体结果如下：

S2=10/6=1.67

(二)已分组的数据求标准差与方差

数据分组后，便以次数分布表的形式出现，这时原始数据不见了，若计算方差与标准差可用下式：

(3—3a)

(3—3b)

式中d＝(Xc - AM) / i，AM为估计平均数

Xc为各分组区间的组中值

f为各组区间的次数

N=Σf 为总次数或各组次数和

i为组距。

下面以表1—8数据为例，说明分组数据求方差与标准差的步骤:

表3—2 次数分布表求方差与标准差

具体步骤：

①设估计平均数AM，任选一区间的Xc充任；

②求d

⑧用f乘d，并计算Σfd；

④用d与fd相乘得fd2，并求Σfd2；

⑤代入公式计算。

二、方差与标准差的意义

方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好的指标。其值越大，说明离散程度大，其值小说明数据比较集中，它是统计描述与统计分析中最常应用的差异量数。它基本具备一个良好的差异量数应具备的条件：①反应灵敏，每个数据取值的变化，方差或标准差都随之变化；②有一定的计算公式严密确定；③容易计算；④适合代数运算；⑤受抽样变动的影响小，即不同样本的标准差或方差比较稳定；⑥简单明了，这一点与其他差异量数比较稍有不足，

但其意义还是较明白的。

除上述之外，方差还具有可加性特点，它是对一组数据中造成各种变异的总和的测量，能利用其可加性分解并确定出属于不同来源的变异性(如组间、组内等)并可进一步说明每种变异对总结果的影响，是以后统计推论部分常用的统计特征数。在描述统计部分，只需要标准差就足以表明一组数据的离中趋势了。标准差比其他各种差异量数具有数学上的优越性，特别是当已知一组数据的平均数与标准差后，便可知占一定百分比的数据落在平均数上下各两个

标准差，或三个标准差之内。对于任何一个数据集合，至少有1一1/h2的数据落在平均数的h(大于1的实数)个标准差之内。(切比雪夫定理)。例如某组数据的平均数为50，标准差是5，则至少有75％(1一1/22)的数据落在50-2*5至50+2*5即40至60之间，至少有88．9％(1一1/32)的数据落在50-3*5至50+3*5＝35—65之间 (h=2，1-1/h2=1-1/22=3/4=75%，h=3, -1/h2=1-1/32=8/9=88.9%)。

如果数据是呈正态分布，则数据将以更大的百分数落在平均数上下两个标准差之内(95％)或三个标准差之内 (99.％)。

三、由各小组的标准差求总标准差

由于方差具有可加性特点，在已知几个小组的方差或标准差的情况下，可以计算出几个小组联合在一起的总的方差或标准差。这种计算常在科研协作中应用，例如先了解各班学生情况，再了解全年级情况；或先了解各年级情况，再了解全校总的情况。但这种方差或标准差的合成，只有在应用同一种观

测手段，测量的是同一个特质，只是样本不同时，才能应用。

计算总方差或总标准差的公式如下；

(3—4a)

(3—4b)

式中为总方差

为总标准差

N1…N n为各小组数据个数

为总平均数为各小组的平均数

四、标准差的应用

(一)差异系数(Coefficient of variation)

当所观测的样本水平比较接近，而且是对同一个特质使用同一种测量工具进行测量时，要比较不同样本之间离散程度的大小，一般可直接比较标准差或方差的大小-标准差的值大说明该组数据较分散，若标准差小，则说明该组数据较集中。标准差的单位与原数据的单位相同，因而有时称它为绝对差异量。在对不同样本的观测结果的离散程度进行比较时，常会遇到下述情况：①两个或多个样本所测的特质不同，即所使用的观测工具不同，如何比较其离散程度?②即使使用的是同+种观测工具，但样本的水平相差较大时，如何比较它们的离散程度?在第一种情况下，标准差的单位不同，显然不能直接比较标准差的大小。第二种情况虽然标准差的单位相同，但两样本的水平不同，这可从平均数的大小明显不同确定。通常情况下，平均数的值较大，其标准差的值一般也较大，平均数的值较小，其标准差的值也较小。这种情况下，若直接比较标准差取值的大小，借以比较不同样本的分散情况是无意义的。可见，上述两种情况下，若用绝对差异量进行直接比较以确定其分散程度的大小是不行的，这时可用相对差异量进行比较。最常用的相对差异量就是差异系数。差异

系数，．又称变异系数、相对标准差等，通常用符号CV表示，其计算如下，

CV=S / M * 100％ (3—5)

式中S为某样本的标准差

M为该样本的平均数。

差异系数在心理与教育研究中常用于：①同一团体不同观测值离散程度的比较，②对于水平相差较大，但进行的是同一种观测的各种团体，进行观测

值离散程度的比较。

例2 已知某小学一年级学生的平均体重为25公斤，体重的标准差是3.7公斤，平均身高110厘米，标准差为6.2厘米，问体重与身高的离散程度

哪个大?

解： CV体重＝3.7 / 25 * 100％＝14.8％

CV身高＝6.2 / 110 * 100％＝5.64％

通过比较差异系数可知，体重的分散程度比身高的分散程度大(14.8％>5.64％)。

例3 通过同一个测验，一年级(7岁)学生的平均分数为60分，标准差为4.02分，五年级(14岁)学生的平均分数为 80分，标准差为6.04分，问

这两个年级的测验分数中哪一个分散程度大?

解： CV一年级＝4.02 / 60 * 100％= 6.7％

CV五年级＝6.04 /80 * 100％= 7.55％

答；五年级的测验分数分散程度大。

在应用差异系数比较相对差异大小时，一般应注意测量的数据要保证具有等距的尺度，这时计算的平均数和标准差才有意义，应用差异系数进行比较也才有意义。另外，观测工具应具备绝对零，这时应用差异系数去比较分散程度效果才更好。因此，差异系数常用于重量、长度、时间，编制得好的测验量表范围内。第三，差异系数只能用于一般的相对差异量的描述上，至今尚无有效的假设检验方法，因此对差异系数不能进行统计推论。

(二)标准分数(standard score)

标准分数又称基分数或z分数，是以标准差为单位表示一个分数在团体中所处位置的相对位置量数。

1．计算公式；

Z = （X—）/ S (3—6)

式中X代表原始数据，X为一组数据的平均数，S为标准差。从公式3—6可以明了，Z分数的意义，它是一个数与平均数之差除以标准差所得的商数，它无实际单位。如果了个数小于平均数，其值为负数，如果一个数的值大于平均数，其值为正数，如果一个数的值等于平均数，其值为零。可见Z分数可

以表明原数目在该组数据分布中的位置，故称为相对位置量数。

例4 某班平均成绩为90分，标准差为3分，甲生得94．2分，乙生得89．1分，求甲乙'学生的Z分数各是多少?

解：根据公式3—6

Z甲=(94.2—90) / 3 = 1.4

Z乙=(89.1—90) / 3 = -0.3

Z分数表示其原分数在以平均数为中心时的相对位置，这比使用平均数和原分数表达了更多的信息。

2．Z分数的性质

①在一组数据中所有由原分数转换得出的z分数之和为零，其Z分数的平均数亦为零。

②一组数据中各z分数的标准差为1。

3．Z分数的应用

①Z分数可用于比较分属性质不同的观测值在各自数据分布中相对位置的高低。因为z分数可以表明各原数目在该组数据分布中的相对位置，它无实际单位。这样不同观测值的比较便可进行。这里所说的数据分布中相对位置包括两个意思，一个是表示某原数目以平均数为中心以标准差为单位所处距离的远近与方向；另一个意思是表示某原数目在该组数据分布中的位置，即在该数目以下或以上的数据各有多少，如果在一个正态分布(或至少是一个对称分布)中，这两个意思可合二为一。但在一个偏态分布中，这两个意思就不能统一。这一点在应用z分数时要特别注意。例如有一人的身高是170厘米，体重是65公斤(也可以是另一人的体重)，究竟身高还是体重在各自的分布中较高?这是属于两种不同质的观测，不能直接比较。但若我们知道各自数据分布的平均数与标准差，这样我们可分别求出z分数进行比较。设Z身高1.70＝0.5，Z体重65=1.2，则可得出该人的体重离平均数的距离要比身高离平均数的距离远，即该人在某团体中身高稍偏高，而体重更偏重些。如果该团体，身高与体重的次数分布为正态，我们还可更确切地知道该人的身高与体重在次数分布的相对位

置是多少，从而进行更确切(或更数量化)的比较。、

②当已知各不同质的观测值的次数分布为正态时，可用z分数求不同的观测值的总和或平均值，以示在团体中的相对位置。在算术平均数一节中讲到，在计算平均数时，要求数据必须同质，否则会使平均数没有意义，但有时需要将不同质的数据合成，这时可采用Z分数。例如已知高考的各科成绩分布是正态分布，但是由于各科的难易度不同，因此，各科成绩就属于不同质的数据。以前常采取总和分数或求平均分数的方法，这是不科学的。如果应用Z分

数求总和或平均数则更有意义。类似这种情况有期末成绩总和等。举例如下

表3-3 利用Z分数求总和

数学理化53 40

72 87

50 6

75 8

0.500 -1.667

0.315 1.500

总计348 350 2.500 1.505

假设二例是高等学校入学考试两名考生甲与乙的成绩分数。如果按总分录取则取乙生，若按标准分数录取则应取甲生；为何会出现如此悬殊的差别?这是由于不恰当地计算总和分数造成的，因为各科成绩难易度不同，分散程度也不同；：各门学科的成绩分数是不等价的，亦即数据是不同质的，这时应用总和分数不够科学，故此出现这类问题，科学的方法应当用Z分数合成。从Z分数可知甲生多数成绩是在平均数以上，即使有两种成绩低于平均数，差别也小。总之成绩较稳定且在分布较高处，而乙生则不然。可见应用Z分数更趋合理。

③表示标准测验分数

经过标准化的心理与教育测验，如果其常模分数分布接近正态分布，常常转换成正态标准分数。转换公式为

Z= aZ + b (3—7)

式中Z＇为正态标准分数，Z＝（X—）/σ，a、b为常数，σ为测验常模的标准差。

例如早期的智力测验所测的智力指标为智商(IQ)

这种表示智力的方法有一定局限性，因为人到成年以后智力不再随年龄而增长，到了老年甚至智力有衰退。要用上面的公式表示，则不好。因此，韦克斯勒(D．Wechsler)制定新的智力量表时则用离差智商的概念表示一个人在同龄团体中的相对智力。

IQ=15Z+100

(WAIS)韦氏成人智力量表，其中Z = （X—）/ S ，X为原分数，为某团体(或年龄组)的平均数，S为该年龄组的标准差。离差智商的常数100与15实际为总平均数与标准差。类似的标准测验分数还有：普通分类测验(AGCT)Z＇＝20Z+100，比纳—西蒙智力测验Z＇=16Z+100等等。应用正态标准分

数能更清楚地表明：某一分数在相应团体中的位置。

（三）异常值的取舍

在十个正态分布中，平均数上下一定的标准差处，包含有确定百分数的数据个数；根据这个原理，在整理数据时，常采用主个标准差法则，，取舍数据，即如果有一个数据的取值落在平均数加减三个标准差之外，则在整理数据时，可将此数据作为异常值加以舍弃。以上是指数据较多的情况，如果数据个数较少，亦可根据下表所列的标准差数的一半(全距与标准差比率一半)乘以标准差，然后再求与平均数的和、差，并以此二值为界取舍数据。

(六西格玛管理)数理统计_方差与标准差

（六西格玛管理）数理统计_方差与标准差

心理和教育方面的实验或调查所得到的数据，大均具有随机变量的性质。而对这些随机变量的描述，仅有前壹章所讲集中趋势的度量是不够的。集中量数只描述数据的集中趋势和典型情况，它仍不能说明壹组数据的全貌。数据除典型情况之外，仍有变异性的特点。对于数据变异性即离中趋势进行度量的壹组统计量，称作差异量数，这些差异量数有标准差或方差，全距，平均差，四分差及各种百分差等等。第壹节方差和标准差方差(Variance)也称变异数、均方。作为统计量，常用符号S2表示，作为总体参数，常用符号σ2表示。它是每个数据和该组数据平均数之差乘方后的均值，即离均差平方后的平均数。方差，于数理统计中又常称之为二阶中心矩或二级动差。它是度量数据分散程度的壹个很重要的统计特征数。标准差(Standarddeviation)即方差的平方根，常用S或SD表示。若用σ表示，则是指总体的标准差，本章只讨论对壹组数据的描述，尚未涉及总体问题，故本章方差的符号用S2，标准差的符号用S。符号不同，其含义不完全壹样，这壹点望读者能够给予充分的注意。壹、方差和标准差的计算 (壹)未分组的数据求方差和标准差基本公式是：（3—la）（3—1b）表3—1说明公式3—1a和3—1b的计算步骤

表3—1未分组的数据求方差和标准差应用3—1公式的具体步骤：①先求平均数X＝36/6＝6；②计算X i-X；③求(Xi-X)2即离均差x2；④将各离均差的平方求和(∑x2)；⑤代入公式 3—1a和3—1b求方差和标准差。具体结果如下： S2=10/6=1.67 (二)已分组的数据求标准差和方差数据分组后，便以次数分布表的形式出现，这时原始数据不见了，若计算方差和标准差可用下式：

标准差方差区别

标准差方差区别标准差和方差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。虽然它们都是用来表示数据的分散程度，但它们之间还是有一些区别的。首先，让我们来看看标准差。标准差是一组数据的离散程度的度量，它是数据偏离平均值的平均距离。标准差越大，说明数据的离散程度越大，反之则越小。标准差的计算公式是，标准差=平方根(∑(x-μ)²/n)，其中x代表每个数据点，μ代表数据的平均值，n代表数据的个数。标准差的单位和原始数据的单位是一样的，它可以帮助我们更好地理解数据的分布情况。接下来，我们来看看方差。方差也是用来衡量数据的离散程度的，它是每个数据点与平均值之差的平方的平均值。方差越大，表示数据的离散程度越大，反之则越小。方差的计算公式是，方差=∑(x-μ)²/n，其中x代表每个数据点，μ代表数据的平均值，n代表数据的个数。方差的单位是原始数据的单位的平方，它也可以帮助我们更好地理解数据的分布情况。那么，标准差和方差之间的区别是什么呢？首先，它们的计算公式不同，标准差是方差的平方根。其次，它们的单位不同，标准差的单位和原始数据的单位是一样的，而方差的单位是原始数据的单位的平方。最后，它们的意义也略有不同，标准差更直观地表示了数据的离散程度，而方差更多地用于数学推导和统计分析中。在实际应用中，我们应该根据具体情况选择使用标准差还是方差。如果我们更关心数据的离散程度，并且希望用一个和原始数据单位相同的指标来表示，那么我们可以选择使用标准差。而如果我们更关心数据的变化程度，并且希望用一个能够进行数学推导和统计分析的指标来表示，那么我们可以选择使用方差。总的来说，标准差和方差都是用来衡量数据的离散程度的重要指标，它们在统计学和数据分析中都有着广泛的应用。我们在实际应用中应该根据具体情况选择使

方差和标准差公式的意义

标准差（StandardDeviation），也称均方差（meansquareerror），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。公式：1、方差s=[(x1-x)^2+(x2-x)^2+(xn-x)^2]/n(x为平均数)2、标准差=方差的算术平方根它们的意义：1、方差的意义在于反映了一组数据与其平均值的偏离程度；2、方差是衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。3、方差的特性在于：方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。4、标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度。我们可以代入期望的数学表达形式。比如连续随机变量： Var(X)=E[(X−μ)2]=∫+∞−∞(x−μ)2f(x)dx 方差概念背后的逻辑很简单。一个取值与期望值的“距离”用两者差的平方表示。该平方值表示取值与分布中心的偏差程度。平方的最小取值为0。当取值与期望值相同时，此时不离散，平方为0，即“距离”最小；当随机变量偏离期望值时，平方增大。由于取值是随机的，不同取值的概率不同，我们根据概率对该平方进行加权平均，也就获得整体的离散程度——方差。

方差的平方根称为标准差(standard deviation, 简写std)。我们常用σ表示标准差 σ=Var(X)−−−−−−√ 标准差也表示分布的离散程度。正态分布的方差根据上面的定义，可以算出正态分布 E(X)=1σ2π−−√∫+∞−∞xe−(x−μ)2/2σ2dx 的方差为 Var(X)=σ2 正态分布的标准差正等于正态分布中的参数σ。这正是我们使用字母σ来表示标准差的原因！

方差和标准差

方差和标准差方差和标准差是统计学中常用的用来衡量数据波动性的指标，可以帮助我们了解数据分布的离散程度和稳定性。下面我们将详细介绍方差和标准差的相关概念、计算方法以及在实际应用中的意义。 1. 方差（Variance）：方差是一组数据分布离散程度的量度，衡量了每个数据点与整体均值之间的差异。方差的计算公式为：方差 = (∑(Xi - X)^2) / n，其中Xi代表第i个数据点，X代表均值，n代表数据点的个数。方差越大，数据点与均值之间的差异越大，反之亦然。 2. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根，可以将方差的数值转化成与原数据量纲相同的数值，方便对数据进行比较和解释。标准差的计算公式为：标准差= √方差。标准差越大，数据的波动性越大，说明数据的离散程度越高。 3. 方差和标准差的意义：方差和标准差作为描述数据分布特征的指标，可以在实际应用中发挥重要作用。 - 统计分析：通过方差和标准差可以帮助我们判断数据的分布特征和数据集的异质性。在统计分析中，我们可以利用方差和标准差来计算置信区间以及进行假设检验，从而得到可靠的统计结论。 - 投资风险评估：在投资领域，方差和标准差可以用来衡量投资组合或某只股票的风险。标准差越大，代表该投资的波动性越高，投资风险也就越大。 - 质量控制：方差和标准差可以帮助我们评估某个生产过程

的稳定性和一致性。通过监测产出的方差和标准差，我们可以判断生产过程是否正常，并及时采取措施调整生产的稳定性。 - 数据挖掘与机器学习：在数据挖掘和机器学习领域，方差和标准差常常用来筛选对结果影响较大的特征和变量。通过计算不同变量之间的方差和标准差，我们可以判断它们对模型的贡献程度，从而选择具有预测能力的特征进行进一步分析和建模。总结来说，方差和标准差是统计学中常用的衡量数据波动性的指标，它们能够帮助我们了解数据分布的离散程度和稳定性。在实际应用中，方差和标准差可以帮助我们进行统计分析、投资风险评估、质量控制以及数据挖掘与机器学习等领域。

方差、标准差、均方差、均方误差的区别及意义

方差、标准差、均方差、均方误差的区别及意义 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

一、百度百科上方差是这样定义的：（variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。看这么一段文字可能有些绕，那就先从公式入手，对于一组随机变量或者统计数据，其期望值我们由E(X)表示，即随机变量或统计数据的均值，然后对各个数据与均值的差的平方求和，最后对它们再求期望值就得到了方差公式。这个公式描述了随机变量或统计数据与均值的偏离程度。二、方差与标准差之间的关系就比较简单了根号里的内容就是我们刚提到的

那么问题来了，既然有了方差来描述变量与均值的偏离程度，那又搞出来个标准差干什么呢发现没有，方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的，虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度，但是处理结果是不符合我们的直观思维的。举个例子：一个班级里有60个学生，平均成绩是70分，标准差是9，方差是81，成绩服从正态分布，那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分，通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为，即约等于下图中的%*2 三、均方差、均方误差又是什么标准差（Standard Deviation），中文环境中又常称均方差，但不同于均方误差（mean squared error，均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数，也即误差平方和的平均数，计算公式形式上接近方差，它的开方叫均方根误差，均方根误差才和标准差形式上接近），标准差是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。从上面定义我们可以得到以下几点： 1、均方差就是标准差，标准差就是均方差 2、均方误差不同于均方误差 3、均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数举个例子：我们要测量房间里的温度，很遗憾我们的温度计精度不高，所以就需要测量5次，得到一组数据[x1,x2,x3,x4,x5],假设温度的真实值是x，数据与真实值的误差 e=x-xi

方差和标准差的区别

方差和标准差的区别方差和标准差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。虽然它们都是用来衡量数据的离散程度，但是它们之间还是有一些区别的。在实际应用中，了解方差和标准差的区别对于正确分析数据和得出结论是非常重要的。接下来，我们将详细介绍方差和标准差的区别。首先，让我们来了解一下方差。方差是一组数据与其平均值之差的平方和的平均值。方差的计算公式为，。 \[ \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i \bar{x})^2 \] 其中，\( \sigma^2 \) 表示方差，\( n \) 表示样本容量，\( x_i \) 表示第 \( i \) 个数据点，\( \bar{x} \) 表示所有数据点的平均值。方差的单位是数据点的单位的平方。方差越大，代表数据的离散程度越高。而标准差是方差的平方根，它的计算公式为，。 \[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i \bar{x})^2} \] 标准差的单位和数据点的单位相同，它是方差的平方根，用来衡量数据的离散程度。标准差越大，代表数据的离散程度越高。从计算公式上来看，方差和标准差的区别主要在于计算过程中是否开方。方差是先计算数据与平均值的差的平方和，然后再除以样本容量；而标准差是对方差进行开方得到的。因此，可以说标准差是方差的平方根。此外，方差和标准差在解释数据的离散程度上也有一些区别。方差的数值相较于标准差来说会更大，因为方差是数据与平均值差的平方和的平均值，而标准差是方差的平方根。因此，当我们比较两组数据的离散程度时，使用标准差更为直观和方便。

统计学中的标准差与方差的概念与计算方法

统计学中的标准差与方差的概念与计算方法统计学是研究数据收集、分析和解释的科学领域。在统计学中，标准差和方差是两个重要的概念，用于描述和量化数据的离散程度。本文将介绍标准差和方差的概念，并讨论它们的计算方法。一、标准差的概念与计算方法标准差是一种衡量数据变异性的度量。它告诉我们数据分布的广度，即数据点在平均值周围的分散程度。标准差可以用于比较不同数据集之间的差异，或者在同一数据集中不同变量之间的差异。标准差的计算方法如下： 1. 首先，计算数据集的平均值（记为mean）。 2. 接下来，计算每个数据点与平均值的差异，即每个数据点减去平均值。 3. 然后，将每个差异平方，得到平方差。 4. 对平方差求和，并除以数据点的个数。 5. 最后，将所得结果开方，即得到标准差。标准差的计算公式如下： σ = √(Σ(xᵢ - mean)² / n) 其中，σ表示标准差，xᵢ表示第i个数据点，mean表示平均值，n 表示数据点的个数。

二、方差的概念与计算方法方差也是一种用于衡量数据的离散程度的统计量。方差描述了数据点与平均值之间的差异，它是标准差的平方。方差的大小反映了数据的波动性。方差的计算方法如下： 1. 首先，计算数据集的平均值（记为mean）。 2. 接下来，计算每个数据点与平均值的差异，即每个数据点减去平均值。 3. 然后，将每个差异平方，得到平方差。 4. 对平方差求和，并除以数据点的个数。方差的计算公式如下： σ² = Σ(xᵢ - mean)² / n 其中，σ²表示方差，xᵢ表示第i个数据点，mean表示平均值，n表示数据点的个数。三、标准差和方差的应用标准差和方差在统计学中有广泛的应用。它们可以帮助我们理解数据的分布和变异程度，从而进行更深入的数据分析和决策。

方差与标准差的区别[7篇]

方差与标准差的区别[7篇] 以下是网友分享的关于方差与标准差的区别的资料7篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。方差与标准差的区别第一篇方差、标准差有什么区别为什么要每个数与平均相减再取平方，取它们的差的绝对值不也可以吗,, 比如一组数据: 7.5,7.5,10,10,10 另一组数据: 6,9,10,10,10 两组数据的平均数显然都是9 1 他们与平均数的差的绝对值都为6 第一组数据的方差=7.5 第二组数据的方差=12 不相等了吧~~~方差把数据中数值的拨动给扩大了~~ 使得一些很难从其他数据中看到的给显示了出来~~ 方差(Variance)是实际值与期望值之差的平方平均数, 而标准差(Standard deviation)是方差的算术平方根. 样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差;样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。

方差和标准差。方差和标准差是测算离散趋势最重要、最常用的指标。方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。标准差为方差的算术平方根，用S表示。方差相应的计算公式为标准差与方差不同的是，标准差和变量的计算单位相同，比方差清楚，因此很多时候我们分析的时候更多的使用的是标准差。 2 DSTDEV() 操作目标是样本总体的部分样本。此值是估算全局标准偏差。 DSTDEVP()如果数据库中的数据为样本总体，则此值是真实标准偏差。这根统计学有关。前者是利用部分数据推测全局样本的标准偏差。内部使用的统计公式不一样你就不要纠结了。有兴趣你必须找一本统计学看看。或者到百度上看看标准偏差词条。后者是全局的实际标准偏差。应用范围不一样。一般来说做样本调查都没办法调查样本总体。只能随机在总体中抽取有代表性的样本构成研究对象。因此此时你得到的数据都是部分样本。此时应该使用dstdev() ，来估算全局样本偏差。如果你使用的是dstdevp()，那么得到的结果只是采样样本的偏差。方差与标准差的区别第二篇 3 标准差与标准误的区别 2009年05月23日星期六下午 09:26 标准差表示数据的离散程度，或者说数据的波动大小。标准误表示抽样误差的大小。

数理统计_方差跟标准差

心理和教育方面的实验或调查所得到的数据，大都具有随机变量的性质。而对这些随机变量的描述，仅有前一章所讲集中趋势的度量是不够的。集中量数只描述数据的集中趋势和典型情况，它还不能说明一组数据的全貌。数据除典型情况之外，还有变异性的特点。对于数据变异性即离中趋势进行度量的一组统计量，称作差异量数，这些差异量数有标准差或方差，全距，平均差，四分差及各种百分差等等。第一节方差与标准差方差(Variance)也称变异数、均方。作为统计量，常用符号S2表示，作为总体参数，常用符号σ2表示。它是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，即离均差平方后的平均数。方差，在数理统计中又常称之为二阶中心矩或二级动差。它是度量数据分散程度的一个很重要的统计特征数。标准差(Standard deviation)即方差的平方根，常用S或SD表示。若用σ表示，则是指总体的标准差，本章只讨论对一组数据的描述，尚未涉及总体问题，故本章方差的符号用S2，标准差的符号用S。符号不同，其含义不完全一样，这一点望读者能够给予充分的注意。一、方差与标准差的计算 (一)未分组的数据求方差与标准差基本公式是：（3—l a）（3—1b）

表3—1说明公式3—1a与3—1b的计算步骤表3—1 未分组的数据求方差与标准差应用3—1公式的具体步骤：①先求平均数X＝36/6＝6；②计算X i -X；③求(Xi - X)2即离均差x2；④将各离均差的平方求和 (∑x2)；⑤代入公式3— 1a与3—1b求方差与标准差。具体结果如下： S2=10/6=1.67

(二)已分组的数据求标准差与方差数据分组后，便以次数分布表的形式出现，这时原始数据不见了，若计算方差与标准差可用下式： (3—3a) (3—3b) 式中d＝(Xc - AM) / i，AM为估计平均数 Xc为各分组区间的组中值 f为各组区间的次数 N=Σf 为总次数或各组次数和 i为组距。下面以表1—8数据为例，说明分组数据求方差与标准差的步骤: