三重累次积分交换次序方法
三重积分的计算方法
学号：2010311010316 姓名：王丰 班级：数统1008班三重积分的计算方法三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰Dd y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。
多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。
σd dz z y x f dv z y x f Dz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=21]),,([),,(如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
区域z D 的边界曲面都是z 的函数。
计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步。
dz d z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。
为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyf y x f +时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。
8.3 三重积分的计算法
v1, v2,…, vn,
其中vi表示第i个小闭区域，也表示它的体积。
在每个vi上任取一点( i , i, i) ，作乘积 f (
i
,
i,
i)
vi
(i=1,2,…
n
,n)
，
并作和 f (i ,i , i )vi。
i 1
如果当各小闭区域直径的最大值趋于零时
1
1)
dv, 其中
:
x2 y2 z2 1 。
13
解 (1) ( x y z)dv 空间区域 如图所示。
z C (0,0,1)
由于空间区域 对三个变量
是对称的, 并且被积函数也是对
o
称的。因此有 :
x A (1,0,0)
xdv ydv zdv
6
f (x, y, z)
b
dx
2 ( x) dy
z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
a
1 ( x )
z1( x , y )
公式(2)把三重积分化为先对z、次对y、最 后对x的三次积分。
f ( x, y, z)dv dxdy z2 (x, y) f ( x, y, z)dz
化为三次积分形式, 其中 为
(1) : x2 z2 R2 , y 0, y H;
(2) : x 1 y2 z2 , x 0 。
解 (1)及在zox面上的投影如下图
z
z
R
o x
Hy
Dzx
o Rx
10
z R o x
Hy
z
Dzx
o Rx
f
三重积分详解
f ( x , y, z )dxdydz
I = dxdy
D
z ( x , y )
z ( x , y )
f ( x, y, z )dz
z1(x,y)
这就化为一个定积分和 一个二重积分的运算
0
.
y
D
x
三重积分化为三次积分的过程：
z
z2 z1
(1) 向 xoy 面上投影，得到 D。
Ω
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
6
x+y+z=6
3x+y=6
0
.
6
2
y
x
6
例
：平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的区域
Ω
计算 I f ( x , y , z )dxdydz
z
6
x+y+z=6
3x+y=6
先做二重积分，后做定积分
Dz
z
c1
0 y
x
2.截面法（先二后一法）
I f ( x , y , z )dxdydz
其中 Ω ( x , y , z ) | c1 z c 2 ,( x , y ) Dz
先做二重积分，后做定积分
c2
z
Dz
z
c1
0
.
y
x
2.截面法（先二后一法）
I f ( x , y , z )dxdydz
c2
z
其中 Ω ( x , y , z ) | c1 z c 2 ,( x , y ) Dz
直角坐标系下三重积分的计算
直角坐标系下三重积分的计算三重积分是在三维空间中进行的积分运算，用于求解一些空间区域内的函数值总和。
直角坐标系下的三重积分可以分为直角坐标系中常见的三类积分：定积分、重积分和累次积分。
在计算三重积分时，需要根据积分区域的性质选择适当的坐标系和合适的积分方法。
在直角坐标系下，三重积分的一般形式为：∭f(x, y, z)dxdydz其中f(x, y, z)为被积函数，描述了在三维空间中一些点(x, y, z)处的函数值；dxdydz表示三维空间的体积元素。
积分变量x, y, z的范围由积分区域所决定。
接下来，我们将详细介绍如何计算直角坐标系下的三重积分。
首先，我们需要确定积分区域的边界。
积分区域的边界可以由一个或多个方程描述，例如：g1(x,y,z)≤0g2(x,y,z)≥0g3(x,y,z)≤0...这里，g1,g2,g3是定义在整个三维空间上的函数。
将这些方程作为限制条件，我们可以确定积分区域的边界。
然后，我们需要确定积分区域的积分顺序。
在三重积分中，积分变量的次序可以任意选择，但根据被积函数和积分区域的性质，选择合适的次序可以简化计算过程。
常见的积分顺序有两种：dydxdz和dxdydz。
接下来，我们将介绍这两种积分顺序的计算过程。
（一）dydxdz的积分顺序在这种积分顺序下，先对y进行积分，再对x进行积分，最后对z进行积分。
积分区域的边界可以通过简化方程组来确定。
1.确定积分区域的边界首先，对于给定的积分区域，可以通过简化方程组来确定积分区域的边界。
例如，假设积分区域的边界由以下三个方程描述：g1(x,y,z)=0g2(x,y,z)=0g3(x,y,z)=0我们需要将这三个方程分别解出y的函数形式，得到：y1(x,z)=h1(x,z)y2(x,z)=h2(x,z)y3(x,z)=h3(x,z)根据积分区域的性质，确定y的取值范围：y1(x,z)≤y≤y2(x,z)y3(x,z)≤y≤y2(x,z)2.计算积分确定积分区域的边界后，可以进行积分计算。
三重积分的计算方法
：
用柱坐标计算
(3）计算
3、化三重积分 为三次积分，其中 ： 所围成的闭区域.
【解析】
（1）画出 及在xoy面上的投影域D.
由 消去z，得
即D:
（2)“穿线”
X型D:
:
（3）计算
4、计算 ，其中 为 所围成的闭区域。
【解析】
“投影法”
（1）画出 及在xoy面投影域D，用柱坐标计算
由 化 的边界曲面方程为：z=6-r2，z=r
(2)解 ∴D： 即
“穿线” ∴
（3)计算
。
“截面法”
（1)画出 。如图： 由 围成。
（2)
由z=r与z=2围成； ， ：
：
由z=2与z= 围成； ， ：
：
（3）计算 =
5、计算 ，其中 由不等式 ， 所确定.
【解析】
用球坐标计算.由 得 的边界曲面的球坐标方程：
P ，连结OP= ，其与z轴正向的夹角为 ，OP= .P在xoy面的投影为 ,连结 ，其与x轴正向的
2.对坐标系的选取，当 为柱体,锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或 时，可考虑用柱面坐标计算。
历年真题
1、计算三重积分 ,其中 为平面 与三个坐标面 围成的闭区域。
【解析】
微积分习题课参考答案(三重积分概念、性质、计算,重积分应用)_883402960
2 2
Ω
2 2
2 2
2
2
I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dV =
Ω
x2 + y 2 1
∫∫
≤
dx ∫ 2
2 − x2 + y 2
x + y2
f ( x, y, z )dz
= ∫ dx ∫
−1
1
1− x 2
− 1− x
dy ∫ 2 2
2 − x2 + y 2
x + y2
f ( x, y, z )dz
Ω1 Ω2
， w( x, − y, z) = w( x, y, z) ，
2 2
．（化三重积分为累次积分） 设函数 f ( x, y, z) 连续， Ω 由曲面 z = x + y 和曲面 z = 2 − x + y 围成，将三重积分 I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dV 分别在直角坐标系、柱坐标系和球坐 标系下化为累次积分． x + y ≤ z ≤ 2 − x + y , 解：在直角坐标系中，积分域 Ω 可以表示为 Ω : 所以 x + y ≤1,
4
2π
2z
0
( r 2 + z ) ⋅ rd r 256π 3
= 4π ∫ z 2 dz =
．
9
． （交换积分次序） 设 D = {( x, y) 1≤ x
u
0 2
+ y2
sin( z x + y ) 1 ≤ 4} ，求极限 I = lim 2π ∫ dz ∫∫ x + y dxdy ．
u
2 2
u →+∞
Ω Ω
三重积分柱坐标积分顺序
三重积分柱坐标积分顺序概述三重积分是微积分中的重要概念，用于求解三维空间中的体积、质量、质心等问题。
而柱坐标系是一种常用的坐标系，特点是使用极角、极径和高度来确定一个点的位置。
本文将围绕三重积分在柱坐标系下的积分顺序展开讨论，介绍其基本概念、计算方法和示例应用。
三重积分概念三重积分用于求解三维空间中的体积、质量、质心等问题。
在柱坐标系下，三重积分可以表示为：∭fV (x,y,z) dV=∭fV(ρcosϕ,ρsinϕ,z)ρ dρ dϕ dz其中，f(x,y,z)为被积函数，V为积分区域，dV为体积元素。
柱坐标系的转换关系柱坐标系与直角坐标系之间存在如下转换关系：$$ x = \rho \cos\phi \\ y = \rho \sin\phi \\ z = z $$其中，ρ为极径，ϕ为极角，z为高度。
三重积分的计算步骤对于三重积分柱坐标系下的积分，一般可以按照以下步骤进行计算：1.确定积分区域V的边界，求出极角ϕ的范围、极径ρ的范围以及高度z的范围。
2.将被积函数f(x,y,z)转化为柱坐标系下的形式f(ρcosϕ,ρsinϕ,z)。
3.将体积元素dV转化为柱坐标系下的形式ρ dρ dϕ dz。
4.根据积分区域的几何特点，确定积分的顺序。
5.按照确定的积分顺序，进行积分计算。
积分顺序的确定在确定三重积分的积分顺序时，需要根据积分区域的几何特点进行分析。
一般来说，可以采用从内到外、从小到大的顺序进行积分。
在柱坐标系下，积分区域V 可以是一个闭曲面所围成的空间区域。
根据积分区域的特点，可以将积分顺序确定为：1. 先对高度z 进行积分，确定积分范围。
2. 对于每个z ，再对极径ρ进行积分，确定积分范围。
3. 对于每个ρ和z ，最后对极角ϕ进行积分，确定积分范围。
计算示例为了更好地理解三重积分柱坐标积分顺序的应用，我们来看一个具体的计算示例。
示例：计算锥体在第一卦限中的体积，锥顶位于原点，底面在平面z =0上，底面半径为R解析：1. 确定积分区域V 的边界：–高度范围：0≤z ≤ℎ –极径范围：0≤ρ≤R ⋅(1−z ℎ)– 极角范围：0≤ϕ≤π2 2. 转化被积函数：f (ρcosϕ,ρsinϕ,z )=ρ3. 转化体积元素：dV =ρ dρ dϕ dz4. 根据几何特点，确定积分顺序：dz dρ dϕ5. 进行积分计算：V =∫∫∫ρπ/20R⋅(1−z ℎ)0ℎ0 dϕ dρ dz =π12⋅R 2⋅ℎ 通过以上计算，我们可以得到锥体在第一卦限中的体积为π12⋅R 2⋅ℎ。
三重积分
§5.三重积分数学分析中常用的曲面和它对应的方程（温馨提示：请大家务必记住常用结论！） 1.球面:()02222>=++a a z y x 表示以原点为球心，半径为a 的球面。
2.柱面：平行于定直线L 并沿定曲线C 移动的动直线所形成的曲面叫做柱面。
定曲线C 叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线。
一般地，方程0),(=y x f 表示以曲线⎩⎨⎧==00),(:z y x f C 为准线，母线平行于z 轴的柱面。
类似可以写出方程0),(0),(==x z f z y f 和表示的曲面。
注：当准线是直线时，柱面退化为平面。
几种常用的柱面（柱面名称与准线名称相对应）（1）12222=+by a x 表示母线平行于z 轴的椭圆柱面。
特别地，当b a =时，它表示母线平行于z 轴的圆柱面。
这里的定直线L 就是z 轴。
（2）()022>=p px y 表示母线平行于z 轴的抛物柱面。
（3）1-2222=+bz a x 表示母线平行y 轴的双曲柱面。
3.旋转曲面：平面曲线C 绕该平面上一条定直线L 旋转而形成的曲面，叫做旋转曲面。
其中平面曲线C 叫做旋转曲面的母线，定直线L 叫做旋转曲面的轴。
例如平面曲线,0),(:⎩⎨⎧==x z y f C 绕z 轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程为0),(22=+±z y x f 。
记忆口诀：绕谁谁不变，用另外两个变量的平方和的正负算术平方根代替方程中另外一个变量。
如果取旋转曲面的母线为坐标面曲线，旋转轴为坐标轴，则可以得到以下几种常用的旋转曲面。
（旋转曲面的名称与母线名称对应） （1） 旋转椭球面椭圆⎪⎩⎪⎨⎧==+,0,12222z b y a x 绕y 轴旋转而成的曲面方程为122222=++b y a z x ，绕x 轴的旋转曲面方程请大家自行给出。
（2） 旋转双叶双曲面双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-012222z b y a x 绕x 轴旋转而成的曲面方程为122222=+-b z y a x （旋转双叶双曲面）（3） 旋转单叶双曲面双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-012222z b y a x 绕y 轴旋转而成的曲面方程为122222=-+b y a z x （旋转单叶双曲面）（4） 旋转抛物面抛物线⎩⎨⎧=>=0)0(22x p pz y 绕z 轴旋转而成的曲面方程为pz y x 222=+。
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三重累次积分交换次序方法
三重累次积分交换次序是一种数学方法，用于改变多重积分的积分次序。
在特定情况下，通过交换积分的次序可以简化计算过程。
下面是一种常见的三重积分交换次序方法：
假设我们有一个三重积分，形式为：
∫∫∫f(x, y, z) dx dy dz，
其中积分区域为一个有限的区域D.
我们可以根据需要选择适当的积分次序来简化计算。
一种常见的方式是按照以下步骤进行：
1. 选择一个合适的积分次序。
这通常需要根据函数f(x, y, z) 的性质和积分区域D 来决定。
例如，如果f(x, y, z) 的形式在不同变量下易于计算，可以选择最先积分易于处理的变量。
2. 针对第一个变量进行积分。
将积分区域D 沿着该变量的范围进行分割，并进行积分。
这将产生一个新的函数g(y, z)，表示在该变量上已经积分过的部分。
3. 针对第二个变量进行积分。
将g(y, z) 具体化为一个函数（可能是积分），然后将积分区域D 在该变量上分割，并进行积分。
这将产生一个新的函数h(z)，表示在前两个变量上已经积分过的部分。
4. 最后，积分最后一个变量。
将h(z) 具体化为一个函数（可能是积分），并对其进行计算。
通过这种方法，我们能够将原始的三重积分转化为一系列较简单的一重或二重积分，使得计算更加简化和可行。
需要注意的是，在进行积分次序交换之前，应该仔细考虑函数的性质和积分区域的特点。
有时候，积分次序的交换并不总是可行或方便的。