运筹学中求解数学模型的方法
运筹学的原理与方法
运筹学的原理与方法1. 引言运筹学是一门研究决策的科学，通过数学模型和优化方法来解决实际问题。
它的应用领域非常广泛，包括生产调度、物流管理、资源优化等。
本文将介绍运筹学的基本原理和常用方法。
2. 运筹学的基本原理运筹学的基本原理是建立数学模型，通过对模型的分析和优化来求解最优解。
它包括以下几个要素：2.1 目标函数目标函数是衡量决策结果好坏的指标，通常是需要最小化或最大化的量。
在数学模型中，目标函数通常用代数符号表示，可以是线性函数、非线性函数等。
2.2 约束条件约束条件是限制决策结果的条件，它们是问题中的限制规定。
约束条件可以是等式约束或不等式约束，也可以是逻辑约束。
2.3 决策变量决策变量是决策问题中需要确定的变量，它们的取值将影响决策结果。
在建立数学模型时，需要明确决策变量的定义和取值范围。
2.4 最优解最优解是指在给定的约束条件下，使目标函数取得最优值的决策变量取值。
寻找最优解是运筹学的核心任务。
3. 运筹学的常用方法运筹学的方法包括数学规划、动态规划、网络优化等。
下面将详细介绍几种常用的方法。
3.1 数学规划数学规划是运筹学中最常用的方法之一，它基于数学模型，通过数学方法求解最优解。
数学规划包括线性规划、整数规划、非线性规划等。
其中，线性规划是最简单也是最常见的一种形式，它的目标函数和约束条件都是线性的。
3.2 动态规划动态规划是一种通过将问题分解为子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。
动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
在运筹学中，动态规划常用于求解具有时序关系的决策问题。
3.3 网络优化网络优化是一种从图论角度来研究决策问题的方法。
它通过将决策问题建模为网络，利用图论中的算法求解最优解。
网络优化适用于具有节点和边的决策问题，例如最短路径问题、最小生成树问题等。
3.4 模拟优化模拟优化是一种通过模拟仿真的方式来求解优化问题的方法。
它通过建立系统模型，运行多次模拟实验，通过对实验结果的分析来确定最优解。
运筹学-0-1规划指派问题PPT课件
遗传算法的优点是能够处理大规模、复杂的优化问题，且具有较强的鲁 棒性和全局搜索能力。缺点是算法实现较为复杂，需要较高的计算资源 和时间，且在某些情况下可能会陷入局部最优解。
指派问题通常具有整数约束和 0-1约束，即每个工人只能被分 配一项任务，且每个任务只能 由一个工人完成。
指派问题的解通常具有最优子 结构和局部最优解的特性。
变量定义
• $x{ij}$：如果第i个工人被分配第j项任务，则$x{ij}=1$； 否则$x_{ij}=0$。
目标函数
• $min \sum{i=1}^{n} \sum{ j=1}^{n} c{ij} x{ij}$： 最小化总成本。
04
指派问题在0-1规划中的应用
指派问题的定义
• 指派问题是一种组合优化问题，旨在将一组任务分配给一组工 人，使得总成本最小化。每个工人只能完成一项任务，每项任 务只能由一个工人完成。目标是找到一种最优的分配方式，使 得总成本最低。
指派问题的特点
指派问题具有NP难解的特点， 即没有已知的多项式时间算法 来解决该问题。
04
总结词：整数规划
பைடு நூலகம்
案例三：旅行商问题
总结词：旅行商问题
总结词：图论
详细描述：旅行商问题是一个经典的组合优 化问题，涉及到寻找一条最短路径，使得一 个旅行商能够访问一系列城市并返回出发城 市，同时最小化总旅行距离。
详细描述：图论是研究图形和图形结构的数 学分支，提供了解决旅行商问题和其他优化 问题的理论基础。
在0-1规划问题中，分支定界法将问题分解为多个子问题，每个子问题对应一种指派 方案。算法通过不断排除不可能的解来缩小搜索范围，最终找到最优解。
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
数学建模的相关问题求解方法
数学建模的相关问题求解方法：1.量纲分析法是在物理领域建立数学模型的一种方法，主要是依据物理定律的量纲齐次原则来确定个物理量之间的关系，量纲齐次原则是指一个有意义的物理方程的量纲必须一致的，也就是说方程的两边必须具有相同的量纲，即： dim左=dim右并且，方程中每一边的每一项都必须有相同的量纲。
例子见书《数学建模方法与实践》P17—P232.线性规划法线性规划法是运筹学的一个重要分支应用领域广泛。
从解决各种技术领域中的优化问题，到工农业生产、商业经济、交通运输、军事等的计划和管理及决策分析。
线性规划所解决的问题具有以下共同的特征：（1）每一个问题都有一组未知数（x1,x2,……，xn）表示某一方案；这些未知数的一组定值就代表一个具体方案。
由于实际问题的要求，通常这些未知数取值都是非负的。
（2）存在一定的限制条件（即约束条件），这些条件是关于未知数的一组线性等式或线性不等式来表示。
（3）有一个目标要求，称为目标函数。
目标函数可表示为一组未知数的线性函数。
根据问题的需要，要求目标函数实现最大化或最小化。
例子见书《数学建模方法与实践》P26—P303.0—1规划法用于解决指派问题，是线性规划的特殊情况。
例子见书《数学建模方法与实践》P314.图解法用于求解二维线性规划的一种几何方法，其方法步骤见书《数学建模方法与实践》P345.单纯形法也是一种求解线性规划的常用方法，其基本原理和方法见书《数学建模方法与实践》P37——P39，计算步骤P40。
6.非线性规划法在目标函数和（或）约束条件很难用线性函数表示时，如果目标函数或约束条件中，有一个或多个是变量的非线性函数，则称这种规划问题为非线规划问题。
例子见书《数学建模方法与实践》P44——P457.最短路及狄克斯特拉算法狄克斯特拉算法是图论中用于计算最短路的一种方法，详见书《数学建模方法与实践》P588.克罗斯克尔算法克罗斯克尔算法是用来求解一个连通的赋权图的最小生成树的方法，详见书《数学建模方法与实践》P599.普莱姆算法同上10.欧拉回路及弗洛来算法欧拉回路是指若存在一条回路。
运筹学原理与方法
运筹学原理与方法运筹学（Operations Research，简称OR）是一门研究如何有效地解决实际问题的学科，通过运用数学、统计学、计算机科学和管理学等相关知识，提供了一些原理与方法，以帮助决策者做出更好的决策。
本文将探讨运筹学的原理与方法，并且通过实例来说明其在实际问题中的应用。
一、线性规划线性规划是运筹学中最基础且最常用的方法之一。
它通过建立目标函数和约束条件之间的线性关系，寻找使目标函数达到最大或最小的决策变量的取值。
例如，某公司要在两个产品上投入资源，每个产品的利润率和资源消耗量不同，需要确定投入的数量才能最大化利润。
这样的问题可以用线性规划方法解决。
二、整数规划整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量的取值必须是整数。
在实际问题中，很多情况下需要做出离散的决策，比如确定投放广告的地点数量，或者选择装备的类型等。
整数规划方法可以帮助我们在求解这类问题时，找到最优的整数解。
三、动态规划动态规划是一种解决决策问题的重要方法，它基于最优子结构和重叠子问题的概念。
动态规划通过将问题划分为一系列的子问题，并保存子问题的解，然后通过组合子问题的解来求取原始问题的最优解。
例如，假设某人要从一座城市到另一座城市旅行，每个城市之间的交通费用和距离不同，需要确定最省钱或最短路径的路线。
动态规划方法可以帮助我们找到最优的路线。
四、网络流模型网络流模型是一种表示与问题相关的网络结构，通过节点和边来表示问题中的元素和关系。
在网络流模型中，问题的求解可以转化为在网络中求取最大流或最小费用流的问题。
例如，在某物流公司的配送中心要为多个客户分配货物，每个客户需求和配送成本不同，需要找到最优的配送方案。
网络流模型可以帮助我们找到最优的货物配送方案。
五、模拟方法模拟方法是通过构建数学或计算机模型来模拟实际问题的行为和变化。
通过对模型进行多次模拟实验，可以得到问题的统计特性和概率分布，从而用于决策。
例如，某公司要评估一种新产品的市场反应，可以通过模拟方法来预测不同市场环境下的销售情况，以帮助决策者做出合理的决策。
运筹学模型
运筹学模型源于第二次世界大战期间的运筹学研究，有效地解决了如何将有限的资源分配于各项军事活动，以取得最优的战争效果等重大军事决策问题，为盟军取得二战的胜利作出了不可磨灭的贡献。
战后，该项技术不但在军事科学上不断发展，在工农业生产、科学实验、工程技术、经济管理和社会科学中都有着广泛的应用和发展。
特别是计算机技术的引入，更使得运筹学的研究和应用如虎添翼，一些大规模或超大规模的决策变量和约束条件问题的求解也变成了现实。
运筹学的分支较多，这里我们只介绍线性规划、整数规划、动态规划等方面的运筹学应用和模型，读者通过学习解决这些运筹学问题的思想和方法，而对运筹学模型的建立、应用和求解有更深的认识。
一、线性规划模型1．线性规划数学模型的一般形式例1．农作物的生产安排问题1）问题的提出以色列的某社区联盟，其农业生产受农田面积和灌溉配水量的限制，其资料如表4.1所示表4.1适合该地区种植的农作物有甜菜、棉花和栗子，其每英亩的期望净收益、用水量及可种植的最大面积如表4.2所示表4.2试问，该社区联盟应如何安排这三种农作物的生产，方使总的收益最大？ 2）假设与分析决策变量)9,,2,1( =j x j 分别表示这三个社区三种农作物的种植面积（见表4.3所示）。
表4.3则该问题的线性规划模型为：目标函数 )(100)(300)(400 m ax 987654321x x x x x x x x x z ++++++++= 约束条件为： 非负性：)9,,2,1( 0 =≥i x i 土地约束：300600400963852741≤++≤++≤++x x x x x x x x x 水资源约束：375238002360023963852741≤++≤++≤++x x x x x x x x x最大面积约束：325500600987654321≤++≤++≤++x x x x x x x x x 3）模型的建立与求解用单纯形法或用数学软件包求得其最优解如下表所示：一般地，线性规划问题的求解过程具有如下的一些共同特征：（1）每一问题都可用一组称之为决策变量的未知数n x x x , ,21来表示相应的活动方案，由于实际问题的要求，这些决策变量通常是非负的。
运筹学2-DEA算法
决策单元和DMU的效率评价
决策单元（DMU）
在DEA中，决策单元是指具有相同类型的输入和输出的决策 实体。每个决策单元都有一组输入和输出，用于衡量其效率 。
DMU的效率评价
DEA的目标是通过比较各决策单元的相对效率，对它们的效 率进行评价。DEA使用数学模型和优化技术，通过比较输入 和输出的比率来计算决策单元的效率得分。
环境等。
DEA算法的重要性在于它能够 处理多投入、多产出的复杂系 统，提供了一种有效的评估决
策单元效率的方法。
DEA算法的应用领域
01
金融领域
评估银行的经营效率，比较不同银 行的盈利能力。
物流领域
评估物流企业的运输和配送效率， 优化资源配置。
03
02
医疗领域
评估医院的运营效率，比较不同医 院的医疗服务质量。
案例二：某医院的医疗服务效率评价
总结词
利用DEA算法Biblioteka 某医院的医疗服务效率 进行评价，发现医院在某些科室的资源 配置和医疗服务质量方面存在不足，提 出改进建议。
VS
详细描述
该医院采用DEA算法对其医疗服务进行效 率评价，发现部分科室在人力资源和设备 资源配置方面存在不足，影响了医疗服务 质量。医院针对这些问题，优化了资源配 置，加强了医护人员的培训和管理，提高 了医疗服务效率。
05 DEA算法的案例分析
案例一：某制造企业的生产效率评估
总结词
通过DEA算法，评估某制造企业的生产效率，发现企业在某些方面存在效率低下的问题，提出改进措 施。
详细描述
该制造企业使用DEA算法对其生产过程进行效率评估，发现其原材料采购、生产流程和仓储管理等方 面存在效率低下的问题。针对这些问题，企业采取了优化采购策略、改进生产流程和加强仓储管理等 措施，提高了整体生产效率。
运筹学基础及应用_(第四章_整数规划与分配问题)
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
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运筹学中求解数学模型的方法
运筹学中求解数学模型的方法包括以下几种常用方法：
1. 线性规划：线性规划是一种在给定约束条件下求解线性目标函数最优解的方法。
常用的线性规划求解方法包括单纯形法、内点法等。
2. 整数规划：整数规划是线性规划的扩展，要求决策变量为整数。
常用的整数规划求解方法包括分枝定界法、割平面法等。
3. 动态规划：动态规划是求解具有重叠子问题的最优化问题的一种方法。
它将原问题分解为若干个子问题，并通过递推的方式求解子问题，最终得到原问题的最优解。
4. 随机模型求解方法：对于涉及随机变量的运筹学问题，可以使用概率论和数理统计的方法求解。
常用的方法包括随机模拟、蒙特卡洛方法等。
5. 启发式算法：启发式算法是通过模拟人类的启发式思维过程求解问题的一类算法。
常用的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法、禁忌搜索等。
这些算法能够在较短时间内找到较好的解，但不能保证找到最优解。
6. 网络流模型求解方法：网络流模型用于描述网络中物体、信息或流体的流动，常用于求解最小费用最大流、最短路径、最小割等问题。
求解网络流模型的方法
包括Ford-Fulkerson算法、最短路径算法、最小割算法等。
以上是运筹学中常用的求解数学模型的方法，根据具体问题的特点选择相应的方法进行求解。