离散动力学系统的混沌分析资料
非线性动力学系统的混沌现象研究
非线性动力学系统的混沌现象研究在当代科学领域中，非线性动力学系统的混沌现象一直是比较热门的话题。
这个话题不仅影响了自然科学领域，也对社会科学领域有一定的影响。
本文将探讨非线性动力学系统的混沌现象研究，旨在深入了解这一重要科学问题。
非线性动力学系统是一类包括非线性微分方程、差分方程、递归方程等在内的系统。
这类系统具有多种复杂行为，其中混沌现象是最为突出的表现之一。
混沌是指系统表现出的随机、无规则的运动行为，具有高度的敏感性和极大的不确定性，它在科学、工程、生物学、社会科学等众多领域具有重要应用。
大约在20世纪60年代左右，混沌现象被科学家所发现和研究。
受到混沌这个词本身含义的影响，混沌似乎不是好事情，但是，非线性动力学系统的混沌现象却有着广泛的实际应用。
例如在工程控制中，混沌现象可以为自适应控制、噪声降低、各向异性滤波等提供有效手段。
在社会科学领域，混沌理论也被广泛应用于敌我互动、经济波动、政治变化等方面的研究。
混沌现象的研究不仅扩展了人类对自然、社会的认识，也在一定程度上对人类行为和社会发展提供了重要的理论支持。
非线性动力学系统的混沌现象与线性系统有所不同。
线性系统的稳定性只与系统的本征值有关，而非线性系统的本征值是不确定的，系统的稳定性因此也显得不稳定。
此外，非线性动力学系统还存在着吸引子、周期解等现象，在不同的初始条件下，系统表现出不同的稳定性和动力学特征。
由此引发了混沌现象的相关研究。
针对非线性动力学系统的混沌现象，科学家们提出了一些定量分析方法。
其中最为常见的方法是用分形维数和李雅普诺夫指数来描述混沌现象。
分形维数是描述复杂几何结构的量度，可以用来衡量混沌吸引子的几何质量。
李雅普诺夫指数则是描述混沌轨迹敏感性的指标，它可以反映系统状态随时间演变的速率。
除此之外，还有一些相应的图像处理和非线性数据分析方法，如小波分析、自回归模型和谱分析等，它们在非线性动力学系统的混沌现象研究中也发挥了重要作用。
数学中的离散时间动力系统研究
数学中的离散时间动力系统研究数学中的离散时间动力系统研究是一门重要而又深奥的学科。
在数学领域中，离散时间动力系统以一种离散的时间步进来对系统的动力学行为进行研究，与连续时间动力学相对应。
本文将介绍离散时间动力系统的概念和基本性质，并探讨其在数学和其他领域中的应用。
一、离散时间动力系统的概念离散时间动力系统是指由一系列状态和状态之间的转移映射组成的动态系统。
在离散时间动力系统中，时间是离散的，状态在每个离散时间点上进行更新。
具体而言，一个离散时间动力系统可以用如下形式表示：x_{n+1} = f(x_n)其中x_n表示系统在第n个时间步的状态，x_{n+1}表示系统在下一个时间步的状态，f是一个确定性的映射函数，描述了状态之间的转移关系。
离散时间动力系统与连续时间动力系统相比，更适用于描述那些变化具有间断性或离散性的系统。
许多实际问题，例如种群动力学、信息传输、混沌系统等，都可以用离散时间动力系统来建模和分析。
二、离散时间动力系统的性质离散时间动力系统具有许多重要的性质，这些性质对于系统的行为和稳定性具有重要的影响。
以下是一些常见的离散时间动力系统性质：1. 不变性：离散时间动力系统中的不动点是指满足x_{n+1} = x_n 的状态点。
当系统的状态在不动点附近发生变化时，一些性质，如周期性和稳定性，可能会出现。
2. 周期性：离散时间动力系统中，当状态在一个时间周期内重复出现时，称其具有周期性。
周期性是离散时间动力系统中重要的动力学行为之一，其与稳定性和混沌现象有密切关系。
3. 稳定性：稳定性是指当系统的状态经过一段时间后，能够收敛到一个有限范围内的现象。
在离散时间动力系统中，稳定性分为吸引稳定和周期稳定两种类型，分别表示系统能够吸引其他状态或周期性地变化。
4. 混沌性：混沌是指离散时间动力系统中状态的无规则、不可预测和高度敏感的行为。
混沌现象在离散时间动力系统中经常出现，其具有重要的科学和应用价值。
动力学系统中的混沌与共振现象研究
动力学系统中的混沌与共振现象研究引言：在物理世界中，许多系统都可以用动力学模型来描述其运行规律。
在这些动力学系统中，混沌和共振是两种十分重要而又引人入胜的现象。
混沌现象指的是某些系统的微小初始条件会导致长期上的巨大变化，这使得预测和控制系统的未来状态变得困难。
而共振现象则表示系统对外界激励的某个特定频率有着极大的响应，这种响应可以放大系统的某些特性，产生重要影响。
本文将就动力学系统中的混沌与共振现象展开研究。
一、混沌现象的研究混沌现象的研究始于20世纪60年代，最早的研究者包括洛伦兹等人。
通过对混沌系统的数学建模和计算机模拟，科学家们认识到混沌现象在天体力学、生物学和工程学等领域中都有重要应用。
混沌系统凭借其自组织、非线性和敏感依赖等特性，在信息传输、密码学和优化问题等方面发挥着重要作用。
其次，混沌现象也揭示了系统动力学的复杂性。
混沌系统通常具有稳定解的丧失，表现为阶段性的轨迹围绕在某一区域内，形成所谓的“奇异吸引子”。
奇异吸引子的形态复杂多变，显示了混沌系统的多样性和不可预测性。
其中，分叉现象是最有代表性的现象之一，当系统的参数变化时，系统的解分支呈现出分叉现象，并且分叉点处的解存在着周期倍增的行为，这为动力学系统提供了更广泛的研究空间。
二、共振现象的研究共振现象是物理学中的一个重要概念，在许多领域中都有广泛应用。
共振现象是指当一个动态系统受到外界周期性激励时，系统出现频率等于激励频率的特定共振状态。
共振现象不仅在固体振动、电磁场、流体力学等基础物理学中有重要应用，而且在控制论、生物力学等交叉学科中也具有广泛的研究价值。
共振现象的理论研究主要集中在两个方面：共振的条件和共振的机理。
共振的条件主要包括激励频率、系统本征频率、激励强度等因素。
共振的机理可以通过线性系统理论和非线性系统理论进行解释。
在线性系统中，系统对共振激励的响应具有线性关系，其共振频率由系统的特征频率决定；而在非线性系统中，系统对共振激励的响应可能出现倍增、超共振等非线性效应，这使得系统对于外界激励表现出更加强烈的共振现象。
数学中的动力系统了解动力系统和混沌理论
数学中的动力系统了解动力系统和混沌理论数学中的动力系统：了解动力系统和混沌理论数学中的动力系统是一门研究动力学行为的学科，它以方程和映射为基础，研究系统随时间发展的规律。
动力系统的研究范围广泛，其中一个重要的分支是混沌理论。
本文将介绍动力系统的基本概念以及混沌理论的相关内容。
一、动力系统的基本概念动力系统是研究系统在时间上变化的行为的数学模型。
它可以用一组方程或映射来描述系统的演化过程。
动力系统的核心概念是状态和演化规律。
1. 状态系统的状态是描述系统特征的变量，它可以是一个向量、一个矩阵或一个函数等。
在动力系统中，状态随时间变化，我们可以通过状态轨道来表示系统状态随时间的演化。
2. 演化规律动力系统中的演化规律由方程或映射来描述。
方程可以是微分方程、差分方程或者其他类型的方程，映射则是描述状态之间的转移关系。
二、混沌理论的相关内容混沌理论是动力系统中的一个重要分支，它研究的是系统的非线性行为。
混沌指的是一个看似随机、无规律的运动状态，但实际上具有确定性的系统行为。
1. 混沌现象混沌现象是指系统在具有一定非线性性质的情况下，表现出对初值极为敏感的特征。
小的初始差异会随着时间的演化而不断放大，使得系统的行为变得难以预测和理解。
2. 混沌吸引子混沌吸引子是描述混沌系统行为的概念。
它是一个具有复杂结构的子集，可以吸引系统的轨道进入，并且保持系统在一定范围内的变化。
3. 分岔现象分岔现象是指系统参数的微小变化会导致系统行为的剧变，从而产生新的稳定状态或周期解。
分岔现象是非线性系统的典型特征，与混沌现象密切相关。
4. 混沌控制混沌控制是利用混沌现象中的特性来控制系统行为的方法。
通过对系统参数或外界干扰的调节，可以实现系统状态的稳定或目标轨道的引导。
三、动力系统和混沌在实际应用中的意义动力系统的理论和方法不仅在数学领域有着重要的应用，还在物理、生物、经济等领域发挥着重要的作用。
1. 物理学中的应用动力系统理论在物理学中广泛应用于描述粒子运动、非线性波动等现象。
时间变量离散动力系统的分布混沌
＝厂 ） ｎ ． （ （
拓 扑共轭 系 统之 间 的动力 学行 为 的联 系 。表 明 了
＞０ 的混沌 已经 被研 究 ， 中． Ｄｃ ） 其 厂 ： 一 是 一个
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式 中 ： Ｄ 是 一个 映射 ， Ｄ Ｄ 是度 量 空 问（ ，
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自从 Ｌ 和 Ｙ ｒｅ １ ７ ｉ ｏｋ 在 ９ ５年 首 次 用严 格 的 数 学语 言给 出 了混 沌 的定 义 以来 ， 沌 的研 究 已 混
系 统 （ Ｖ Ｓ 可 以写 成下 列形 式 ： ＴＤ）
＋ ＝ ）ｎ ０， 。 ／（ ， Ｉ ＞
（） １
在现 代科 学方 面产 生 了深 远 的影 响 ，ｉ ｏｋ Ｌ —Ｙ ｒｅ混 沌 定 义 的各 种 延 伸也 被 发 展 起来 。例 如 ， ｅａｅ Ｄ ｖｎｙ
摘 要： 研究 了度量空间 中具有时 间变量 的离散 动力 系统 的分 布混沌 ， 介绍 了时 间变量 系统的按 序列分
布混沌概念 ， 证明了两个一致拓扑等价共轭 的时间变量 系统有 相同的按序列分布混沌 的拓扑性质 。 关键词 ： 时间变量离散系统 ； 按序 列分布混沌 ； 拓扑共轭
混沌现象研究实验报告
混沌现象研究实验报告混沌现象是一种复杂的动力学现象，它展现了一种看似随机但又有序的行为。
混沌现象在物理学、数学、生物学等多个领域都得到了广泛的研究和应用。
在本实验中，我们将使用一个简单的混沌系统模型进行研究，探究混沌现象的基本特征和产生机制。
首先，我们介绍实验所使用的混沌系统模型，这是一个基于离散映射的模型。
模型的动力学方程如下：x(n+1) = r*x(n)*(1-x(n))其中，x(n)是系统在第n个时间步的状态变量，r是一个控制参数，决定了系统的行为。
该方程描述了一个种群数量的变化规律，可以用来研究种群的动态演化。
为了观察混沌现象，我们在模型中引入了一个初始条件x0。
我们会通过调节参数r和初始条件x0的值，观察系统的演化过程。
在实验中，我们将选择不同的参数r值和初始条件x0，观察系统的行为。
例如，我们可以选择r=2.5和x0=0.5作为初始条件。
我们将通过迭代计算x(n)的值，并绘制出x(n)随时间的变化图像。
实验结果显示，当r取不同的值时，系统的行为也会发生明显的变化。
当r小于3时，系统的行为相对简单，呈现出周期性和收敛性；当r大于3时，系统的行为变得复杂，呈现出混沌现象。
我们可以通过统计混沌系统产生的时间序列数据的特征，如Lyapunov指数、分岔图、功率谱等来定量描述混沌现象。
此外，我们还可以通过系统的相图来观察混沌现象。
相图描述了系统状态变量的轨迹，可以直观地展示系统的复杂行为。
我们将绘制x(n)和x(n+1)的关系图像，以及x(n+1)和x(n+2)的关系图像，通过观察图像的形状和分布情况，可以发现混沌现象的特征。
通过实验的观察和分析，我们可以得出以下结论：1. 混沌现象具有确定性，但是在初值和参数微小变化的情况下表现出不可预测的特点；2. 混沌系统的行为对参数和初值条件非常敏感，微小的变化可以导致完全不同的演化结果；3. 混沌系统的行为可以通过一些统计特征来描述，如Lyapunov指数、分岔图、功率谱等；4. 混沌现象具有普适性，可以在不同的领域中观察到。
动力系统与混沌理论
动力系统与混沌理论动力系统和混沌理论是研究复杂非线性系统行为的重要领域。
动力系统理论以其在物理、生物学、经济学等领域的广泛应用而闻名，混沌理论则揭示了一类看似无序却有内在规律的系统行为。
本文将介绍动力系统的基本概念和混沌理论的主要原理，并探讨它们在科学与工程中的应用。
1. 动力系统的基本概念动力系统是描述物体运动或系统演化随时间变化规律的数学模型。
它由状态空间、演化方程和初态条件组成。
状态空间是描述系统可能处于的所有状态的集合，演化方程则指定了系统如何从一个状态演化到另一个状态。
初态条件则给出了系统在初始时刻的状态。
在动力系统理论中，有两种常见类型的演化方式，分别是连续演化和离散演化。
对于连续动力系统，时间是连续的，而对于离散动力系统，时间是离散的。
连续动力系统往往通过微分方程来描述，而离散动力系统则通过差分方程或迭代映射来描述。
2. 混沌现象与混沌理论混沌现象是指某些非线性动力系统表现出强烈的不可预测性和灵敏依赖于初态条件的特征。
混沌现象最早由埃德华·洛仑茨提出，并用一组微分方程来描述。
混沌理论通过对非线性动力学系统进行研究，揭示了混沌现象背后的规律。
其中最著名的是洛伦兹吸引子和费根鲍姆-曼德勃罗特集。
洛伦兹吸引子是一个三维非线性动力学系统在特定参数条件下呈现出复杂结构的吸引子。
费根鲍姆-曼德勃罗特集则是一类迭代函数生成的分形结构。
混沌理论为我们认识自然界中复杂非线性现象提供了新的视角。
它不仅对天气预报、金融市场预测等具有重要意义，还对通信密码学、乱序生成和优化问题等领域产生了重大影响。
3. 动力系统与混沌理论的应用3.1 物理学中的应用动力系统理论在物理学中有广泛应用。
例如，在天体力学中，研究太阳系行星之间相互作用所产生的轨道运动；在热力学中，通过分析粒子运动来解释热流、熵增等现象；在量子力学中，利用量子算符来描述粒子在希尔伯特空间中的演化等等。
3.2 生物学中的应用生物学中涉及到许多复杂非线性系统，例如神经网络、生物钟、群体行为等。
非线性动力学中的混沌现象分析
非线性动力学中的混沌现象分析随着科技的进步，越来越多的系统在现实中被建立和研究。
而系统的复杂性增加，非线性动力学中的混沌现象也就显示出了特殊的表现。
在本文中，我们将主要介绍非线性动力学中的混沌现象以及相关的分析方法。
一. 混沌现象及其表现方式混沌现象是指一种非周期而又具有明显连续性的运动状态，它的变化看似毫无规律，但又似乎有着一定的规律可循。
混沌现象常常出现在一些比较复杂的系统中，例如气象系统、流体动力学、化学反应系统以及经济市场等。
混沌现象具有以下的表现方式：1. 敏感依赖性：混沌现象中微小的初始条件变化，往往会带来显著的结果差异。
2. 周期模糊性：混沌现象中周期的边界变得模糊不清，因为在不同的时间尺度上，周期的长度是不同的。
3. 统计规律性：混沌现象中有一些统计特性，例如自相似性、分形性等。
二. 分析混沌现象的基本方法针对混沌现象，人们提出了很多不同的分析方法。
以下是一些常用的分析方法。
1. 动力学系统的非线性微分方程建模：混沌现象常常可以从非线性动力学微分方程模型进行分析，在此基础上可以进一步分析系统的稳定性、周期行为、混沌现象等。
2. Poincare截面方法：该方法定义了一个截面，并将系统的运动状态在这个截面上投影，从而观察系统的周期性、混沌性等特征。
3. Lyapunov指数方法：该方法可以量化混沌现象中的灵敏度依赖，用于对比不同的混沌现象。
4. 分岔图法：该方法用于分析系统中出现的状态转换和稳定性变化。
5. 局部方差方法：该方法用于检测时间序列中的小尺度混沌性，并可以对其进行定量分析。
三. 混沌现象在实际中的应用混沌现象在生活中的应用十分广泛，下面主要介绍一些例子。
1. 加密传输：混沌信号可以用于加密通信，这是因为混沌信号的本性可以使得被传输的信息难以被窃取。
2. 噪声控制：利用混沌现象控制系统中的噪声，可以提高系统信噪比和精度，从而增强该系统的可靠性。
3. 脑电信号分析：可以运用混沌现象对脑电信号进行分析，以提高对脑部疾病和认知状态的诊断和研究。
数学中的离散动力系统研究
数学中的离散动力系统研究在数学领域中，离散动力系统是指由一系列离散时间步骤组成的动力系统，其中状态变量在这些时间步骤中按照特定的动力学规律进行演化。
离散动力系统的研究对于深入理解自然界和社会现象的动态行为提供了理论基础。
本文将介绍离散动力系统的概念、性质以及在不同领域中的应用。
1. 离散动力系统的概念离散动力系统是一类由时间和状态变量所描述的动力学系统，其演化在离散的时间步骤中进行。
离散动力系统可以形式化地表示为一个映射函数：\[X_{n+1} = f(X_n)\]其中，\(X_n\) 表示在第 \(n\) 个时间步骤中的系统状态，\(X_{n+1}\) 是在下一个时间步骤中的状态，而 \(f\) 是系统的演化规律。
离散动力系统的演化可以通过迭代得到：\(X_1 = f(X_0), X_2 = f(X_1), \ldots\)。
2. 离散动力系统的性质离散动力系统具有一些重要性质，其中最基本的是：不变性、周期性和混沌性。
2.1 不变性在某些情况下，离散动力系统可能存在不动点，即满足 \(f(X) = X\) 的状态变量 \(X\)。
当系统处于不动点时，其状态不会随时间演化而改变。
2.2 周期性如果系统存在一个周期为 \(T\) 的状态轨迹，即在每隔 \(T\) 个时间步骤后系统进入相同的状态，那么该系统就具有周期性。
2.3 混沌性当离散动力系统状态的演化表现出高度敏感性和不可预测性时，我们称其为混沌现象。
混沌动力系统的特征包括：对初始条件极其敏感、演化规律具有确定性但无法准确预测、状态轨迹呈现出非周期性等。
3. 离散动力系统在自然科学中的应用离散动力系统在自然科学领域中有广泛的应用，包括物理学、生物学、化学等。
3.1 物理学离散动力系统在物理学中的应用涉及到许多领域，如天体力学、流体力学和量子力学等。
例如，天体力学中的三体问题可以通过离散动力系统进行建模和分析，研究天体的轨道演化及稳定性。
3.2 生物学生物学中的许多现象，如种群动力学、神经网络和生物节律等，都可以用离散动力系统来描述和解释。
《金融系统离散映射的周期解和混沌的存在性研究》
《金融系统离散映射的周期解和混沌的存在性研究》一、引言随着金融市场的复杂性和动态性不断增强，金融系统中的离散映射及其周期解和混沌现象逐渐成为研究的热点。
本篇论文旨在探讨金融系统离散映射的周期解和混沌的存在性，以期为金融市场的预测和风险管理提供理论支持。
二、文献综述近年来，离散映射在金融系统中的应用得到了广泛关注。
研究表明，金融系统的离散映射能反映金融资产价格的时间演化特征。
通过对这些离散映射的深入研究，可以发现金融市场的周期性和混沌性特征。
三、金融系统离散映射模型本部分将详细介绍金融系统离散映射的模型。
首先，根据金融市场数据的特性，建立相应的离散映射模型。
然后，分析模型的稳定性和周期性特征，为后续的周期解和混沌研究奠定基础。
四、周期解的存在性研究本部分将探讨金融系统离散映射的周期解的存在性。
首先，根据模型特性和理论推导，寻找周期解的条件。
其次，运用数值分析方法，验证这些条件的有效性，从而得出周期解的存在性结论。
最后，对周期解的实际意义进行解释和讨论。
五、混沌的存在性研究本部分将研究金融系统离散映射的混沌现象。
首先，分析模型中可能出现的混沌因素和条件。
然后，通过计算机模拟和实验数据验证这些因素和条件是否导致混沌现象的出现。
最后，对混沌现象在金融市场中的影响进行讨论，并探讨如何利用混沌理论对金融市场进行预测和风险管理。
六、实证分析本部分将通过实证分析验证上述理论研究的结论。
首先，选取具有代表性的金融市场数据，建立相应的离散映射模型。
然后，运用前述的研究方法，对模型进行周期解和混沌的研究。
最后，对比理论研究和实证分析的结果，评估理论研究的实际应用价值。
七、结论与展望本篇论文通过对金融系统离散映射的周期解和混沌的存在性进行研究，发现离散映射模型能反映金融市场的周期性和混沌性特征。
同时，通过实证分析验证了理论研究的结论。
这为金融市场的预测和风险管理提供了新的思路和方法。
然而，仍需进一步深入研究金融系统的复杂性和动态性特征，以便更好地理解和应对金融市场中的风险和挑战。
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其附近的轨道被其吸引。而不稳定的周期点对附近的轨
道排斥使之远离。从而亦知，当 1时， x1 0是排 斥不动点， 1时， x1 0是吸引不动点。再令
x f 2 x x1 1 x1 x 且 x f x，解之
离散动力系统混沌定义
Li-Yoke的离散混沌动力系统混沌定义 应用拓扑的观点对离散动力系统混沌定
义
混沌（Chaos）一词首先由T.Y.Li（李天岩）和 J.A.Yorke提出。1975年，他俩在美国“数学月刊”上 发表了题为《周期三意味着混沌》的论文，并给出了 称之为混沌的Li-Yorke定义。
即此集合中不存在渐近轨道；
（3）混沌轨道高度不稳定性。
2. Feigenbaum普适常数
美国Los Alamos国家实验室的 Feigenbaum对Logis-
tic方程作了透彻研究。记 f x x1 x， 0,4 ，
x 0,1。首先令 x f x ，即 x 为 1 周期点，解
得，x1 0，x2 1 。由 x2 0 ，必有 1 。
具。
过去Newton力学占据了科学研究的统治地位，第一个撼动
这个统治地位的是Poincar （庞加莱），他在19世纪末在研究天
体力学的三体问题时发现了混沌。但真正引起重视并深入研究
的是20世纪70年代的事。这时人们才发现，混沌是振奋人心的， 因为它开启了简化复杂现象的可能性；混沌是令人忧虑的，因
为它导致对传统科学真理的新怀疑；混沌是迷人的，因为它体
现了数学、物理及科学技术的相互作用；混沌是美的，这是因
为数学是美的。但它以前基本被限制在数学界内，由于混沌的
研究，数学之美才渗透到人类日常生活中去。我们已看到，混
沌运动产生出许多各种各样缤纷多彩巧夺天工的奇特图案，成
功地模拟和创造了足以乱真的“实景”。
的变量，但有可能它们中任一个微小变化都会带来天气
的剧变，如刚刚还是阳光灿烂，霎时间大雨倾盆而下；
方才还是万里无云，突然间东边日出西边雨等等。1961
年，美国气象学家Lorenz在用计算机进行天气预报计算
时，为了考察一个很长的序列，他没令计算机从头算起
而令计算机进行中途开始，把一个上次的输出值直接 作为初始值输入计算机，然后他下楼去客厅喝咖啡， 一小时后，他上楼看到的结果却使他大为惊异，原来 计算机显示的结果与上次的模式大有偏离。进一步计 算表明，输入的细微区别可能很快引起输出的巨大差 别。1979年，Lorenz在一次演讲中的题目是：“可预 言性：一只蝴蝶在巴西扇动了一个翅膀，会引起得克 萨斯的龙卷风吗？”这就是著名的“蝴蝶效应”—— 对初始条件的敏感依赖性。不仅是天气预报，股票平 均值的升降也常常出人意料之外，一场战争很可能因 一件小事而引发巨大的政治变化。
（3）任给 x1 S 及 f 的任意周期点 q I ，有
lim sup
p
f
p x1
f
p q
0
则称 f 在 S上是混沌的。
上述定义表明混沌必具备三个性质：
（1）存在所有阶的周期轨道；
（2）存在一个不可数集合，此集合含有混沌轨道，
而任意两个轨道既不趋于远离，也不趋于近靠，而是两
种状态交替出现。同时任一轨道不趋向于其他任意轨道，
Definition 8.1（混沌， Li-Yorke，1975年）
设连续映射f : I R I ，如果存在不可数集 S R
并满足
（1） S 不含周期点；
（2）任给 x1, x2 S(x1 x2 ) ，则有
lim sup
p
fHale Waihona Puke p x1 fp x2
0
lim inf
p
f p x1 f p x2 0
3.544 1 时，是排斥不动点。
又计算 x f 8 x 且 x f 4 x ，表明当
混沌现象的特征可归纳如下：
1. 随机性。这是混沌现象的重要特征之一。体系处于混沌
状态，是由于体系内部动力学随机地产生出不规则行为，产生
混沌的系统一般具有整体稳定而局部非稳定，局部不稳定正是
内在随机性的特点，也是对初始条件敏感性的原因。
2. 分维性。我们说混沌具有分维性质是指系统运动轨迹在
相空间（phase space，一个有 个一阶常微分方程组的系统，
4. 普适性。系统趋向混沌状态（即向混沌过度）时所表现出来
的特征具有普适意义，这类系统都与Fei-genbaum常数 有关。
换言之，通向混沌的简单道路是Feigenbaum序列 n 。在序
列值的某个范围，系统的行为是周期性的，周期为T ，超出这 个范围时周期变成2T，再超出下一个阈值时，系统周期变为4T。 也就是说，系统在发展时会逐级分岔，每一周期为前一周期的 两倍，形成一个倍周期通道。当周期无限制增加时就要出现非 周期行为，这时系统从简单的周期行为走向复杂的非周期行为， 走向了混沌。
得
x 1 1 2 2 3 2
由 2 2 3 0 得 3 1舍去 。计算表明当
3 1 6 时， x 是周期 2吸引不动点；当 1 6 时， x 是周期 2排斥不动点。
再计算 x f 4 x且 x f 2 x，表明当
1 6 3.544 1 时， x 是周期 4吸引不动点，
Chapter 8
离散动力学系统的混沌分析
8.1 离散动力系统混沌定义
1. 引论
所谓动力系统，通俗地说就是当自变量有微小变化 时应（因）变量却有了巨大变化的函数系统。
如此一来，在时间上进化的任何过程都是动力系统
的例子。气象模型是一个巨大的动力系统，在这个系统
中，气温、气压、风向、风速和降温量都是随时间变化
它的 2n 个元素 xi , xi : i 1,2,, n 组成的 2n 维空间称为
相空间，当n=2 时称相平面）的几何形态可以用分形的分维来
描述。系统的混沌运动在相空间中无穷地缠绕，折叠和扭结，
构成了具有无穷层次的自相似结构，这种结构称为奇异吸引子。
3. 标度性（标度律）。混沌现象是一种无周期的有序态，只 有我们数值计算精度和实验仪器分辨率足够高时，才可以从中 发现小尺度混沌的有序运动花样，所以说具有标度律性质。