离散动力学系统的混沌分析
非线性动力学中的混沌与分岔现象
非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。
在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。
混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。
混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。
他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。
这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。
这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。
混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。
这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。
一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。
σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。
这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。
分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。
简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。
分岔现象的经典例子是Logistic映射。
Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。
Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。
动力学系统中的混沌与共振现象研究
动力学系统中的混沌与共振现象研究引言：在物理世界中，许多系统都可以用动力学模型来描述其运行规律。
在这些动力学系统中，混沌和共振是两种十分重要而又引人入胜的现象。
混沌现象指的是某些系统的微小初始条件会导致长期上的巨大变化，这使得预测和控制系统的未来状态变得困难。
而共振现象则表示系统对外界激励的某个特定频率有着极大的响应，这种响应可以放大系统的某些特性，产生重要影响。
本文将就动力学系统中的混沌与共振现象展开研究。
一、混沌现象的研究混沌现象的研究始于20世纪60年代，最早的研究者包括洛伦兹等人。
通过对混沌系统的数学建模和计算机模拟，科学家们认识到混沌现象在天体力学、生物学和工程学等领域中都有重要应用。
混沌系统凭借其自组织、非线性和敏感依赖等特性，在信息传输、密码学和优化问题等方面发挥着重要作用。
其次，混沌现象也揭示了系统动力学的复杂性。
混沌系统通常具有稳定解的丧失，表现为阶段性的轨迹围绕在某一区域内，形成所谓的“奇异吸引子”。
奇异吸引子的形态复杂多变，显示了混沌系统的多样性和不可预测性。
其中，分叉现象是最有代表性的现象之一，当系统的参数变化时，系统的解分支呈现出分叉现象，并且分叉点处的解存在着周期倍增的行为，这为动力学系统提供了更广泛的研究空间。
二、共振现象的研究共振现象是物理学中的一个重要概念，在许多领域中都有广泛应用。
共振现象是指当一个动态系统受到外界周期性激励时，系统出现频率等于激励频率的特定共振状态。
共振现象不仅在固体振动、电磁场、流体力学等基础物理学中有重要应用，而且在控制论、生物力学等交叉学科中也具有广泛的研究价值。
共振现象的理论研究主要集中在两个方面：共振的条件和共振的机理。
共振的条件主要包括激励频率、系统本征频率、激励强度等因素。
共振的机理可以通过线性系统理论和非线性系统理论进行解释。
在线性系统中，系统对共振激励的响应具有线性关系，其共振频率由系统的特征频率决定；而在非线性系统中，系统对共振激励的响应可能出现倍增、超共振等非线性效应，这使得系统对于外界激励表现出更加强烈的共振现象。
数学中的动力系统了解动力系统和混沌理论
数学中的动力系统了解动力系统和混沌理论数学中的动力系统：了解动力系统和混沌理论数学中的动力系统是一门研究动力学行为的学科，它以方程和映射为基础，研究系统随时间发展的规律。
动力系统的研究范围广泛，其中一个重要的分支是混沌理论。
本文将介绍动力系统的基本概念以及混沌理论的相关内容。
一、动力系统的基本概念动力系统是研究系统在时间上变化的行为的数学模型。
它可以用一组方程或映射来描述系统的演化过程。
动力系统的核心概念是状态和演化规律。
1. 状态系统的状态是描述系统特征的变量，它可以是一个向量、一个矩阵或一个函数等。
在动力系统中，状态随时间变化，我们可以通过状态轨道来表示系统状态随时间的演化。
2. 演化规律动力系统中的演化规律由方程或映射来描述。
方程可以是微分方程、差分方程或者其他类型的方程，映射则是描述状态之间的转移关系。
二、混沌理论的相关内容混沌理论是动力系统中的一个重要分支，它研究的是系统的非线性行为。
混沌指的是一个看似随机、无规律的运动状态，但实际上具有确定性的系统行为。
1. 混沌现象混沌现象是指系统在具有一定非线性性质的情况下，表现出对初值极为敏感的特征。
小的初始差异会随着时间的演化而不断放大，使得系统的行为变得难以预测和理解。
2. 混沌吸引子混沌吸引子是描述混沌系统行为的概念。
它是一个具有复杂结构的子集，可以吸引系统的轨道进入，并且保持系统在一定范围内的变化。
3. 分岔现象分岔现象是指系统参数的微小变化会导致系统行为的剧变，从而产生新的稳定状态或周期解。
分岔现象是非线性系统的典型特征，与混沌现象密切相关。
4. 混沌控制混沌控制是利用混沌现象中的特性来控制系统行为的方法。
通过对系统参数或外界干扰的调节，可以实现系统状态的稳定或目标轨道的引导。
三、动力系统和混沌在实际应用中的意义动力系统的理论和方法不仅在数学领域有着重要的应用，还在物理、生物、经济等领域发挥着重要的作用。
1. 物理学中的应用动力系统理论在物理学中广泛应用于描述粒子运动、非线性波动等现象。
动力系统中混沌现象的分岔分析
动力系统中混沌现象的分岔分析混沌现象在动力系统中是一个极为复杂而又充满魅力的问题。
混沌现象指的是在非线性动力系统中出现的不可预测、高度敏感的行为。
混沌现象的研究对于理解动力系统的行为规律、探索自然界的规律以及解决实际问题具有重要意义。
在本文中，我们将对动力系统中混沌现象的分岔分析进行探讨。
动力系统中的分岔现象是指当一个参数发生微小变化时，系统的稳定状态发生突变，并且出现了新的稳定状态或周期轨道。
分岔现象是混沌现象的产生之源，也是系统从有序状态向混沌状态过渡的重要标志之一。
首先，我们需要了解什么是动力系统。
动力系统是一个由一组相互作用的方程组描述的数学模型，用于描述物理、生物、化学以及工程等领域中的现象。
动力系统的行为取决于其初始状态和参数的选择。
在进行分岔分析之前，我们需要明确一个重要概念——周期倍增分岔。
周期倍增分岔是分岔现象中最为典型和常见的形式之一。
它发生在系统中存在一个稳定的周期轨道，而随着一个参数的变化，周期轨道的周期倍增，最终演化成混沌状态。
对于动力系统中的混沌现象，分岔分析方法可以帮助我们揭示混沌的产生机制、寻找混沌现象出现的参数范围以及预测系统的行为。
下面我们将介绍一些常用的分岔分析方法。
一种常用的分岔分析方法是基于映射的分岔分析。
映射是动力系统中的一种简化形式，通过在相空间中取样并进行离散化，将连续的动力系统转化为迭代的映射。
通过改变映射参数，我们可以观察到一系列周期倍增分岔现象。
这种方法在理论研究中非常有用，可以帮助我们理解混沌现象的产生机制。
另一种常用的分岔分析方法是基于连续系统的分岔分析。
连续系统的分岔分析主要通过数值模拟的方法进行，可以得到系统的参数空间以及相应的分岔图。
这种方法在实际问题中具有重要意义，可以帮助我们确定系统的关键参数范围，从而控制或优化系统的性能。
除了映射和连续系统的分岔分析方法，还有一些其他的方法可以用于分析复杂动力系统中的混沌现象，比如通过Lapunov指数来判断系统是否处于混沌状态，通过Poincare截面来观察系统的稳定状态以及周期轨道等。
化学反应动力学的混沌理论和动力系统研究
化学反应动力学的混沌理论和动力系统研究化学反应动力学是研究化学反应速率和反应机理的学科。
在自然界中，化学反应是非常普遍的现象。
例如，日常生活中令人熟知的明火和灯光，都是由于化学反应引起的。
化学反应动力学，就是研究这些现象背后的物理和化学机制，以及如何操纵和控制这些反应的科学。
混沌理论和动力系统研究在化学反应动力学中的应用，得到了广泛的关注和研究。
一、混沌理论的应用混沌理论是20世纪70年代初在吸引人类注意的科学理论之一。
它是由美国数学家洛伦兹发起的，并被用于描述一些动态系统（如天气系统）中的非线性行为。
在化学反应中，混沌现象指的是由于反应体系中存在某种非线性特性，导致反应之间的关系变得异常复杂。
例如，在某些化学反应中，一些初值的微小差别可以在相同的化学反应条件下，引起非常大的反应结果的差别（如产物的种类和数量）。
这种现象被称为“混沌”。
了解和分析混沌现象，对于化学反应的合理设计和控制，具有重要的启示作用。
通过混沌现象的研究，可进一步了解某些化学反应系统的非线性行为及其规律，从而更好地实现这些反应的目标。
二、动力系统理论在化学反应中的应用动力系统是一种描述动态系统行为的数学模型，其涵盖了爆炸，鸟类飞行，人口增长以及化学反应等众多领域。
在化学反应中，动力系统理论主要用于模拟和研究化学反应的动态行为、稳定性、可控性和稳态结构等。
通过动力系统理论分析某些化学反应模型，可以用表达式或图形表示化学反应的稳态和动态行为。
例如，稳定性分析可以通过等位点分析（steady-state analysis）或线性稳定性分析（linear stability analysis）等方法确定，而稳态结构的分析则需要进一步研究反应的各个要素之间的相互关系。
动力系统理论在化学反应研究中的应用，将化学反应视为一种动态系统，通过数学分析可更好地理解化学反应的动态行为、稳态和稳态结构等。
这对于预测和控制化学反应的行为和产物具有重要的意义。
混沌现象研究实验报告
混沌现象研究实验报告混沌现象是一种复杂的动力学现象，它展现了一种看似随机但又有序的行为。
混沌现象在物理学、数学、生物学等多个领域都得到了广泛的研究和应用。
在本实验中，我们将使用一个简单的混沌系统模型进行研究，探究混沌现象的基本特征和产生机制。
首先，我们介绍实验所使用的混沌系统模型，这是一个基于离散映射的模型。
模型的动力学方程如下：x(n+1) = r*x(n)*(1-x(n))其中，x(n)是系统在第n个时间步的状态变量，r是一个控制参数，决定了系统的行为。
该方程描述了一个种群数量的变化规律，可以用来研究种群的动态演化。
为了观察混沌现象，我们在模型中引入了一个初始条件x0。
我们会通过调节参数r和初始条件x0的值，观察系统的演化过程。
在实验中，我们将选择不同的参数r值和初始条件x0，观察系统的行为。
例如，我们可以选择r=2.5和x0=0.5作为初始条件。
我们将通过迭代计算x(n)的值，并绘制出x(n)随时间的变化图像。
实验结果显示，当r取不同的值时，系统的行为也会发生明显的变化。
当r小于3时，系统的行为相对简单，呈现出周期性和收敛性；当r大于3时，系统的行为变得复杂，呈现出混沌现象。
我们可以通过统计混沌系统产生的时间序列数据的特征，如Lyapunov指数、分岔图、功率谱等来定量描述混沌现象。
此外，我们还可以通过系统的相图来观察混沌现象。
相图描述了系统状态变量的轨迹，可以直观地展示系统的复杂行为。
我们将绘制x(n)和x(n+1)的关系图像，以及x(n+1)和x(n+2)的关系图像，通过观察图像的形状和分布情况，可以发现混沌现象的特征。
通过实验的观察和分析，我们可以得出以下结论：1. 混沌现象具有确定性，但是在初值和参数微小变化的情况下表现出不可预测的特点；2. 混沌系统的行为对参数和初值条件非常敏感，微小的变化可以导致完全不同的演化结果；3. 混沌系统的行为可以通过一些统计特征来描述，如Lyapunov指数、分岔图、功率谱等；4. 混沌现象具有普适性，可以在不同的领域中观察到。
动力学中的混沌理论研究
动力学中的混沌理论研究“混沌”这个词在日常生活中经常被用来形容一种无序、混乱的状态，但在物理学中，混沌理论却有着严谨的定义和数学模型。
动力学中的混沌现象指的是一种看似无规律的、高度敏感的系统行为，引发了研究人员的极大兴趣。
1. 系统的敏感性和确定性混沌混沌现象的出现通常和系统内部的敏感性有关。
我们知道，在一个确定性系统中，初始状态的微小变化可以引起系统产生激烈的反应，比如万有引力场中行星的运动轨迹。
但在普通的确定性系统中，这种敏感性通常会逐渐衰减，最终转化为可预测的运动轨迹。
然而，在某些特殊的情况下，系统内部的微小变化会被逐渐放大，进而导致系统行为的不确定性和复杂性。
这种现象也被称为“确定性混沌”。
“确定性混沌”在动力学中是一种特殊现象，它表现出了系统的极高敏感度和不可预测性。
2. 混沌系统模型和常见应用混沌现象的研究是非常复杂和严峻的，通常需要构建出适当的混沌系统模型以及运用高度复杂的数学方法进行分析。
早期的混沌系统研究主要集中于天体力学以及其他物理学领域的基础研究领域，比如流体力学、量子力学等。
随着混沌研究的深入，这一理论开始在更多的领域得到应用，比如经济学、社会科学等。
在经济学中，混沌理论有着广泛的应用，尤其是在预测股票价格和研究经济波动等方面。
社会科学方面则主要应用于人类行为和集体行为的建模。
3. 混沌理论的意义和展望混沌理论的出现和发展对于人类认识自然的深度和广度有着重要的影响。
混沌现象的探索，让我们重新认识到了自然界的复杂性和多样性。
许多此前认为是随机、无序现象的自然现象，比如气象、生物进化等，现在都可以用系统动力学的方法进行建模和研究。
同时，混沌理论也对人类社会的发展产生了深远影响。
混沌系统模型和相关的数学方法具有广泛的应用潜力，可以用于分析和优化复杂系统，比如城市交通、食物供应、能源消耗等。
这些应用不仅能够提高系统的效率和可持续性，还有助于人们对社会和环境问题的更深入认识。
在未来，混沌理论的研究还将继续深入，同时也将不断涌现出越来越多的应用场景。
《金融系统离散映射的周期解和混沌的存在性研究》
《金融系统离散映射的周期解和混沌的存在性研究》一、引言随着金融市场的复杂性和动态性不断增强，金融系统中的离散映射及其周期解和混沌现象逐渐成为研究的热点。
本篇论文旨在探讨金融系统离散映射的周期解和混沌的存在性，以期为金融市场的预测和风险管理提供理论支持。
二、文献综述近年来，离散映射在金融系统中的应用得到了广泛关注。
研究表明，金融系统的离散映射能反映金融资产价格的时间演化特征。
通过对这些离散映射的深入研究，可以发现金融市场的周期性和混沌性特征。
三、金融系统离散映射模型本部分将详细介绍金融系统离散映射的模型。
首先，根据金融市场数据的特性，建立相应的离散映射模型。
然后，分析模型的稳定性和周期性特征，为后续的周期解和混沌研究奠定基础。
四、周期解的存在性研究本部分将探讨金融系统离散映射的周期解的存在性。
首先，根据模型特性和理论推导，寻找周期解的条件。
其次，运用数值分析方法，验证这些条件的有效性，从而得出周期解的存在性结论。
最后，对周期解的实际意义进行解释和讨论。
五、混沌的存在性研究本部分将研究金融系统离散映射的混沌现象。
首先，分析模型中可能出现的混沌因素和条件。
然后，通过计算机模拟和实验数据验证这些因素和条件是否导致混沌现象的出现。
最后，对混沌现象在金融市场中的影响进行讨论，并探讨如何利用混沌理论对金融市场进行预测和风险管理。
六、实证分析本部分将通过实证分析验证上述理论研究的结论。
首先，选取具有代表性的金融市场数据，建立相应的离散映射模型。
然后，运用前述的研究方法，对模型进行周期解和混沌的研究。
最后，对比理论研究和实证分析的结果，评估理论研究的实际应用价值。
七、结论与展望本篇论文通过对金融系统离散映射的周期解和混沌的存在性进行研究，发现离散映射模型能反映金融市场的周期性和混沌性特征。
同时，通过实证分析验证了理论研究的结论。
这为金融市场的预测和风险管理提供了新的思路和方法。
然而，仍需进一步深入研究金融系统的复杂性和动态性特征，以便更好地理解和应对金融市场中的风险和挑战。
离散动力系统中的混沌现象研究
离散动力系统中的混沌现象研究离散动力系统是指在时间和状态上都是离散的系统，其演化行为可以用一系列离散迭代关系来描述。
混沌现象是离散动力系统中的经典问题之一，其特征是系统的行为呈现出非周期、高度敏感和随机性等特性。
本文将介绍离散动力系统中的混沌现象研究，并探讨其应用和未来发展方向。
一、混沌现象的定义与特征混沌现象是一种表现为长期看似无规律、无周期、高度敏感的动力系统行为。
其最早的定义是由美国数学家和气象学家洛伦兹提出的，洛伦兹系统的方程组描述了一种天气预测模型，其中演化过程中的某些参数可以使系统的行为逐渐变得无序和不可预测。
混沌系统的主要特征包括：1. 非周期性：混沌系统的演化轨迹无法在有限时间内重复，其行为不显著受周期性影响。
2. 高度敏感性：初始条件的微小变化会导致系统演化的明显不同，这种敏感性表现为指数级的增长。
3. 随机性：混沌系统表现出随机性质，但其并非真正的随机行为，而是由确定性的动力学规律所决定。
二、混沌现象的数学模型混沌现象可以通过一系列的数学模型来描述。
其中，最经典的混沌模型之一是Logistic映射（Logistic map)。
Logistic映射描述了一个种群在一定资源限制下的增长过程，其迭代形式为：X_{n+1}= r*X_n*(1-X_n)其中，X_n是第n个时刻的种群密度，r是一个控制增长率的参数。
当r取一定范围内的值时，Logistic映射表现出混沌行为。
除了Logistic映射，Henon映射、Tent映射等也是常用的混沌系统模型。
这些数学模型为混沌现象的研究提供了有力的工具和理论基础。
三、混沌现象的应用混沌现象具有广泛的应用价值，对于通信、加密、优化等领域都有重要的意义。
1. 通信：混沌序列具有噪声样貌，广泛用于通信系统中的扩频技术和保密通信。
混沌序列的高度敏感性和非周期性特征使其成为抵御干扰和窃听的有力工具。
2. 加密：混沌映射可以产生复杂的时间序列，对数据进行加密。
离散动力学系统的混沌分析资料
其附近的轨道被其吸引。而不稳定的周期点对附近的轨
道排斥使之远离。从而亦知，当 1时， x1 0是排 斥不动点， 1时， x1 0是吸引不动点。再令
x f 2 x x1 1 x1 x 且 x f x，解之
离散动力系统混沌定义
Li-Yoke的离散混沌动力系统混沌定义 应用拓扑的观点对离散动力系统混沌定
义
混沌（Chaos）一词首先由T.Y.Li（李天岩）和 J.A.Yorke提出。1975年，他俩在美国“数学月刊”上 发表了题为《周期三意味着混沌》的论文，并给出了 称之为混沌的Li-Yorke定义。
即此集合中不存在渐近轨道；
（3）混沌轨道高度不稳定性。
2. Feigenbaum普适常数
美国Los Alamos国家实验室的 Feigenbaum对Logis-
tic方程作了透彻研究。记 f x x1 x， 0,4 ，
x 0,1。首先令 x f x ，即 x 为 1 周期点，解
得，x1 0，x2 1 。由 x2 0 ，必有 1 。
具。
过去Newton力学占据了科学研究的统治地位，第一个撼动
这个统治地位的是Poincar （庞加莱），他在19世纪末在研究天
体力学的三体问题时发现了混沌。但真正引起重视并深入研究
的是20世纪70年代的事。这时人们才发现，混沌是振奋人心的， 因为它开启了简化复杂现象的可能性；混沌是令人忧虑的，因
为它导致对传统科学真理的新怀疑；混沌是迷人的，因为它体
现了数学、物理及科学技术的相互作用；混沌是美的，这是因
为数学是美的。但它以前基本被限制在数学界内，由于混沌的
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1 6 3.544 1 时， x 是周期 4 吸引不动点，
3.544 1 时，是排斥不动点。
又计算 x f 8 x 且 x f 4 x ，表明当
3.544 1 3.564 4 时， 8 周期点 x是吸引的； 当 3.564 4 时， x 是排斥的， 。
言性：一只蝴蝶在巴西扇动了一个翅膀，会引起得克 萨斯的龙卷风吗？”这就是著名的“蝴蝶效应”—— 对初始条件的敏感依赖性。不仅是天气预报，股票平 均值的升降也常常出人意料之外，一场战争很可能因 一件小事而引发巨大的政治变化。
具。 过去Newton力学占据了科学研究的统治地位，第一个撼动 这个统治地位的是Poincar （庞加莱），他在19世纪末在研究天 体力学的三体问题时发现了混沌。但真正引起重视并深入研究 的是20世纪70年代的事。这时人们才发现，混沌是振奋人心的， 因为它开启了简化复杂现象的可能性；混沌是令人忧虑的，因 为它导致对传统科学真理的新怀疑；混沌是迷人的，因为它体 现了数学、物理及科学技术的相互作用；混沌是美的，这是因 为数学是美的。但它以前基本被限制在数学界内，由于混沌的 研究，数学之美才渗透到人类日常生活中去。我们已看到，混 沌运动产生出许多各种各样缤纷多彩巧夺天工的奇特图案，成 功地模拟和创造了足以乱真的“实景”。
Definition 8.1（混沌， Li-Yorke，1975年） 设连续映射 f : I R I ，如果存在不可数集 S R 并满足 （1） S 不含周期点；
（2）任给 x1 , x2 S ( x1 x2 ) ，则有
lim sup f
p p
x1 f p x2 0 x1 f p x2 0
Chapter 8
离散动力学系统的混沌分析
8.1 离散动力系统混沌定义
1. 引论 所谓动力系统，通俗地说就是当自变量有微小变化 时应（因）变量却有了巨大变化的函数系统。 如此一来，在时间上进化的任何过程都是动力系统
的例子。气象模型是一个巨大的动力系统，在这个系统 中，气温、气压、风向、风速和降温量都是随时间变化 的变量，但有可能它们中任一个微小变化都会带来天气 的剧变，如刚刚还是阳光灿烂，霎时间大雨倾盆而下； 方才还是万里无云，突然间东边日出西边雨等等。1961 年，美国气象学家Lorenz在用计算机进行天气预报计算 时，为了考察一个很长的序列，他没令计算机从头算起
离散动力系统混沌定义
Li-Yoke的离散混沌动力系统混沌定义 应用拓扑的观点对离散动力系统混沌定 义
混沌（Chaos）一词首先由T.Y.Li（李天岩）和
J.A.Yorke提出。1975年，他俩在美国“数学月刊”上 发表了题为《周期三意味着混沌》的论文，并给出了 称之为混沌的Li-Yorke定义。
lim inf f
p
p
（3）任给 x1 S 及 f 的任意周期点 q I ，有
lim sup f
p
p
x1 f
p
q 0
则称 f 在 S上是混沌的。
上述定义表明混沌必具备三个性质： （1）存在所有阶的周期轨道； （2）存在一个不可数集合，此集合含有混沌轨道， 而任意两个轨道既不趋于远离，也不趋于近靠，而是两 种状态交替出现。同时任一轨道不趋向于其他任意轨道， 即此集合中不存在渐近轨道；
x
1 1 2 2 3 2
由 2 2 3 0 得 3 1舍去 。计算表明当
3 1 6 时， x 是周期 2 吸引不动点；当 1 6 时， x 是周期 2 排斥不动点。
再计算 x f 4 x 且 x f 2 x ，表明当
而令计算机进行中途开始，把一个上次的输出值直接 作为初始值输入计算机，然后他下楼去客厅喝咖啡， 一小时后，他上楼看到的结果却使他大为惊异，原来 计算机显示的结果与上次的模式大有偏离。进一步计 算表明，输入的细微区别可能很快引起输出的巨大差 别。1979年，Lorenz在一次演讲中的题目是：“可预
ห้องสมุดไป่ตู้
混沌现象的特征可归纳如下： 1. 随机性。这是混沌现象的重要特征之一。体系处于混沌 状态，是由于体系内部动力学随机地产生出不规则行为，产生
混沌的系统一般具有整体稳定而局部非稳定，局部不稳定正是 内在随机性的特点，也是对初始条件敏感性的原因。
2. 分维性。我们说混沌具有分维性质是指系统运动轨迹在 相空间（phase space，一个有 个一阶常微分方程组的系统，
它的 2n 个元素 xi , xi : i 1,2,, n 组成的 2n 维空间称为 相空间，当n=2 时称相平面）的几何形态可以用分形的分维来 描述。系统的混沌运动在相空间中无穷地缠绕，折叠和扭结， 构成了具有无穷层次的自相似结构，这种结构称为奇异吸引子。
3. 标度性（标度律）。混沌现象是一种无周期的有序态，只 有我们数值计算精度和实验仪器分辨率足够高时，才可以从中 发现小尺度混沌的有序运动花样，所以说具有标度律性质。 4. 普适性。系统趋向混沌状态（即向混沌过度）时所表现出来 的特征具有普适意义，这类系统都与Fei-genbaum常数 有关。 换言之，通向混沌的简单道路是Feigenbaum序列 n 。在序 列值的某个范围，系统的行为是周期性的，周期为T ，超出这 个范围时周期变成2T，再超出下一个阈值时，系统周期变为4T。 也就是说，系统在发展时会逐级分岔，每一周期为前一周期的 两倍，形成一个倍周期通道。当周期无限制增加时就要出现非 周期行为，这时系统从简单的周期行为走向复杂的非周期行为， 走向了混沌。
费根鲍姆常数
有序
图8.1 Logistic方程的收敛点
混沌
图8.2 Logistic方程中导致混沌的点
8.3 Smale马蹄映射
8.3.1 Smale马蹄映射的概念
8.3.2 Smale马蹄与横截同宿点的重要联系
8.4 离散混沌系统的分析
若将第n倍周期分岔（或混沌带合并）时对应的参 数记为n，则相继两次分岔（或合并）的间隔之 比趋于同一个常数：
n n1 lim 4.66920160910299067 n n 1 n
注意：常数 并不只限于单摆公式，而是对所有同 一类的变换，所得的 值都精确地相同。 ● 的数值只与系统的某种非线性性质有关，而与 各个系统的其他具体细节无关。 ●反映出混沌演化过程中所存在的一种普适性. ●是混沌内在规律性的另一个侧面反映。
（3）混沌轨道高度不稳定性。
2. Feigenbaum普适常数
美国Los Alamos国家实验室的 Feigenbaum对Logistic方程作了透彻研究。记 f x x1 x ， 0,4 ，
x 0,1。首先令 x f x ，即 x 为 1 周期点，解 得， x1 0， x2 1 。由 x2 0 ，必有 1 。 在 1 3 时， x 是吸引不动点。 3时，是排斥不
动点。换言之，当 1 3 时，不动点 x 是稳定的， 其附近的轨道被其吸引。而不稳定的周期点对附近的轨 道排斥使之远离。从而亦知，当 1 时， x1 0是排 斥不动点， 1 时， x1 0是吸引不动点。再令
，解之 x f 2 x x1 1 x1 x 且 x f x 得