2013年全国中学生数学能力竞赛(决赛)试题高一年级组

2013年全国中学生数学能力竞赛（决赛）试题

高一年级组

基础能力部分（共60分，每题5分）

1、已知2(3)4log 3233x f x =+，则8()(4)(8)(2)f x f f f +++

+= .

2

、若1122

a a +=，则

1114

4

2

111

11111a

a

a

a +

+

+=+-++ . 3、已知lg lg 2lg(2)x a x a +=-

，则= .

4、设222

{|40|,||2(1)10}

A x x x

B x x a x a =+==+++-=，其中x R ∈，如果A B B =，则实数a 的取值范围为 .

5、根据图中骰子的三种不同状态显示的数字，推出？处的数字是

.

6、设[]x 是不超过x 的最大整数，则333[log 1][log 2][log 500]++

+= .

7、奇函数()f x 在区间(,0)-∞上是增函数，且(2)1,(1)0f f -=-=，当120,0x x >>有1212()()()f x x f x f x =+，则不等式2log |()1|0f x +<在0x >的条件下的解集

为 .

8、甲、乙两人到商店买商品，商店里每件商品的单价只有8元和9元两种.已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，两人共购买8元商品 件. 9、牛顿冷却定律描述了一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间h 后的温度T 将满足001

()2

m T T T T ==

-，其中n T 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期.在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足

1

01()()2

n m m T T T T -=-，现有一杯195°F 用热水冲的还溶咖啡，放置在75°F 的房间

中，如果咖啡降温到105°F 需20分钟，经过30分钟后温度降为 . 10、某地兴修水利挖渠，其渠道的横截面为等腰梯形，腰与水平线的夹角为60°，要求横

戴面的周长（两腰和下底的和）为定值m ，问渠深h 为 时，可使史流量最大？

11、已知函数()f x 满足：（1）对任意的实数x ，(2)()f x f x +=；（2）对任意的实数x ，

(1)(1)f x f x +=-；（3）当01x ≤≤时，()f x x =，若关于x 的方程

()log (10)(0,1)a f x x a a -+=>≠且在区间[0,8]内恰有6个不同的实根，

则a 的取值范围为 .

12、在计算机和算法语言有一种函数[]x 叫做整函数（也成高斯函数），它表示x 的整数部

分，即[]x 是不超过x 的最大整数，例如：[2]2,[3.1]3,[ 2.6]3==-=-.设函数

421

()122

x f x =-+，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 .

综合能力部分（共90分）

13、已知全集U R =，集合22{|280},{|2300},||A x x x B x x x C x =--<=+->==

22320|x ax a -+<，求实数a 的取值范围. （1）使C A B ?；

（2）使()()U U C C A C B ?.

14、函数()f x 对任意的,m n R ∈都有()()()1f m n f m f n +=+-，且当0x >时，

()1f x >.

（1）求证：()f x 在R 上是增函数；

（2）若(3)4f =，解不等式2

(5)2f a a +-<.

15、烧一根不均匀的绳要用一个小时，如何用它来判断半个小时？烧一根不均匀的绳，从

头烧到尾总共需要1个小时.现在有若干条材质相同的绳子，问如何用烧绳的方法来计时一个小时十五分钟呢？

16、已知函数2()3f x x ax =-+的对称轴为1x =.

（1）求a 的值；

（2）设函数()log g x x m =+，对于任意12,[1,4]x x ∈有12()()f x g x >恒成立，求m 的

取值范围.

17、已知函数2()21f x x ax a =-++-在区间[0,1]上有最大值2，求a 的值.

18、对任意的实数x ，定义||[]x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数. （1）求函数()||||f x x x =+-的值域； （2）设12,,

,n x x x 是任意给定的n 个互不相等的实数.

求证：存在某个正整数(1)k k n ≤≤，使得123||||||k k k x x x x x x -+-+-

+

1

||2

n k n x x --≤