函数与方程
函数与方程例题和知识点总结
函数与方程例题和知识点总结在数学的学习中，函数与方程是非常重要的概念，它们不仅在数学领域有着广泛的应用，也在其他学科和实际生活中发挥着重要作用。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解函数与方程，并对相关知识点进行总结。
一、函数的概念函数是一种特殊的对应关系，给定一个非空数集 A，对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在另一个非空数集 B 中都有唯一确定的数 y 与之对应，就称 f 是集合 A 到集合 B 的一个函数。
例如，函数 f(x) ＝ 2x ＋ 1，对于任意给定的 x 值，通过这个关系式都能唯一确定一个 y 值。
二、方程的概念方程是指含有未知数的等式。
例如，2x ＋ 3 ＝ 7 就是一个方程。
三、函数与方程的联系函数的零点就是方程 f(x) ＝ 0 的实数解。
四、例题分析例 1：已知函数 f(x) ＝ x² 2x 3，求函数的零点。
解：令 f(x) ＝ 0，即 x² 2x 3 ＝ 0因式分解得：（x 3)（x ＋ 1) ＝ 0解得：x ＝ 3 或 x ＝－1所以函数 f(x) 的零点为 3 和－1。
例 2：判断函数 f(x) ＝ x³ 3x ＋ 1 在区间0, 1内是否有零点。
解：先计算 f(0) ＝ 1 ＞ 0，f(1) ＝－1 ＜ 0因为函数 f(x) 在区间0, 1上是连续的，且 f(0) 和 f(1) 的值异号所以根据零点存在定理，函数 f(x) 在区间0, 1内至少有一个零点。
例 3：已知函数 f(x) ＝ 2x ＋ m 的图像与函数 g(x) ＝ x² 4x ＋ 1 的图像有一个交点，求 m 的值。
解：将两个函数联立得：2x ＋ m ＝ x² 4x ＋ 1移项化为一元二次方程：x² 6x ＋ 1 m ＝ 0因为两个函数的图像有一个交点，所以方程有且仅有一个解即判别式Δ ＝ 36 4(1 m) ＝ 0解得：m ＝－8五、知识点总结1、函数零点的求法：令函数值为 0，求解方程的根。
函数与方程试题及解答
函数与方程试题及解答1. 函数题（1）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。
解答：将x = 2代入函数f(x)，得到f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1。
所以f(2)的值为-1。
（2）已知函数g(x) = 3x - 5，求满足g(x) = 10的x的值。
解答：将g(x) = 10代入函数表达式，得到3x - 5 = 10。
解这个方程，将常数项移到右边，得到3x = 15。
再将方程两边除以3，得到x = 5。
所以满足g(x) = 10的x的值为5。
2. 方程题（1）解方程3x + 5 = 8。
解答：将常数项移到右边，得到3x = 8 - 5 = 3。
再将方程两边除以3，得到x = 1。
所以方程3x + 5 = 8的解为x = 1。
（2）解方程2(x - 3) = 4x + 5。
解答：先将方程两边展开，得到2x - 6 = 4x + 5。
将2x移动到右边，将4x移动到左边，得到-6 - 5 = 4x - 2x。
计算得到-11 = 2x。
再将方程两边除以2，得到x = -5.5。
所以方程2(x - 3) = 4x + 5的解为x = -5.5。
3. 综合题有一个数列，前两项为1，第三项开始，每一项是前两项的和。
求这个数列的第10项。
解答：根据数列的定义，可以得到数列的前几项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34，接下来可以继续计算得到第10项为34。
所以这个数列的第10项为34。
4. 应用题某公司销售一种产品，根据市场调研，每降低产品售价1元，销量就会增加1000件。
已知该产品售价为20元时，销量为20000件。
问降低售价至多少元时，销量可以达到40000件？解答：假设降价x元时，销量为40000件。
根据已知条件，可以得到方程20 - x = 40000/1000。
将方程简化，得到20 - x = 40。
将常数项移到右边，得到-x = 40 - 20 = 20。
函数与方程知识点总结
函数与方程知识点总结函数与方程是数学中的重要概念和工具，它们在解决实际问题和数学推理中起着关键的作用。
本文将对函数与方程的知识点进行总结。
一、函数的概念与性质：1. 函数的定义：函数是一个或多个自变量和因变量之间的一种变化规律，它将每一个自变量值映射到唯一的因变量值。
在函数中，自变量通常表示为x，因变量表示为y或f(x)。
2. 函数的性质：函数有以下几个重要性质：a. 定义域：函数的自变量取值范围的集合。
b. 值域：函数的因变量的取值范围的集合。
c. 单调性：函数的增减关系。
可以分为增函数和减函数。
d. 奇偶性：函数关于y轴的对称性。
可以分为奇函数和偶函数。
e. 周期性：函数在一个周期内的性质重复出现。
3. 常见函数类型：a. 线性函数：y = kx + b，其中k和b是常数，描述了一条直线的方程。
b. 幂函数：y = ax^b，其中a和b是常数，x的指数为整数。
c. 指数函数：y = a^x，其中a为常数，指数为变量。
d. 对数函数：y = log_a(x)，其中a为常数。
e. 三角函数：如sin(x)、cos(x)和tan(x)等。
4. 函数的运算：a. 函数的加法和减法：当两个函数具有相同的定义域时，可以通过函数的加法和减法得到新的函数。
b. 函数的乘法和除法：当两个函数具有相同的定义域时，可以通过函数的乘法和除法得到新的函数。
二、方程的概念与性质：1. 方程的定义：方程是一个等式，其中包含未知数和已知的数之间的关系。
在方程中，通常需要求解未知数的值使等式成立。
2. 方程的解：方程的解是能够使方程成立的未知数的值。
根据方程不同类型的解，可以将其分为实数解、复数解和无解。
3. 一元方程：只含有一个未知数的方程称为一元方程。
求解一元方程的方法包括等式两边同时加减、乘除相同的数等。
4. 二元方程：含有两个未知数的方程称为二元方程。
求解二元方程的方法包括代入法、消元法和配方法等。
5. 线性方程组：由多个线性方程组成的方程组称为线性方程组。
数学中的函数与方程
数学中的函数与方程数学是一门关于数字、形状、结构和变化的科学，它在我们日常生活中无处不在。
在数学的世界里，函数和方程是两个非常重要的概念。
本文将深入探讨数学中的函数与方程，解释它们的定义、特性以及它们在实际问题中的应用。
一、函数函数是数学中一个基本的概念，它描述了两个集合之间的关系。
在数学中，通常用f(x)表示一个函数，其中x是输入值，f(x)是由输入值x决定的输出值。
函数可以有各种形式，比如线性函数、二次函数、指数函数等。
线性函数是最简单的一种函数，它的图像是一条直线。
二次函数的图像是一个抛物线，而指数函数的图像则是一个逐渐增长或逐渐衰减的曲线。
函数具有很多重要的特性。
首先，每个输入值x只对应一个输出值f(x)，这被称为函数的单值性。
其次，函数可以有定义域和值域。
定义域是x可能的取值范围，而值域是f(x)可能的取值范围。
函数还可以有一些特殊的性质，比如奇偶性、周期性等。
函数在实际生活中有广泛的应用。
例如，我们可以使用函数来描述物体的运动轨迹，分析经济学中的供需关系，计算复杂的统计数据等。
函数还可以帮助我们解决实际问题，比如在制定投资计划时，我们可以使用函数来模拟不同的投资策略的收益状况。
二、方程方程是数学中另一个重要的概念，它描述了一个等式中未知数的关系。
在数学中，通常使用字母表示未知数，比如x、y等。
方程的一般形式是：未知数 = 已知数。
方程可以是简单的一元方程，也可以是复杂的多元方程。
一元方程只含有一个未知数，比如2x + 3 = 7。
多元方程含有多个未知数，比如x + y = 5。
解方程是数学中一个重要的技巧，它帮助我们找到满足方程的未知数的值。
解方程可以使用代数方法，例如移项、合并同类项、消元法等。
解方程还可以使用图形方法，例如通过绘制方程的图像来找到解。
方程的应用非常广泛。
例如，我们可以使用方程来解决几何问题，如计算平面图形的面积、体积等。
方程还可以帮助我们解决实际问题，比如在物理学中，我们可以使用方程来描述物体的运动状态；在化学中，方程可以用来表示化学反应的平衡等。
10 第10讲 函数与方程
第10讲函数与方程1．函数的零点[注意]函数的零点是实数，而不是点；零点一定在函数的定义域内．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．()(4)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数yA．2个B．3个C．4个D．5个解析：选B.依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1，6]上的零点至少有3个．函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B.函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数是方程x 12－⎝⎛⎭⎫12x＝0的解的个数，即方程x 12＝⎝⎛⎭⎫12x 的解的个数，也就是函数y ＝x 12与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象的交点个数．在同一个坐标系中作出两个函数的图象(图略)，可得交点个数为1.已知2是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x ＋m ），x ≥2，2x ，x <2的一个零点，则f (f (4))的值是____________．解析：由题意知log 2(2＋m )＝0，所以m ＝－1，所以f (f (4))＝f (log 23)＝2log 23＝3. 答案：3已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x0∈(－1，1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意可得f (－1)·f (1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0，解得a <－3或a >1. 答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)函数零点所在区间的判断(师生共研)函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(1，e)和(3，4)D ．(e ，＋∞)【解析】 因为f ′(x )＝1x ＋2x 2>0(x >0)，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln 3－23>0，f (2)＝ln 2－1<0，所以f (2)·f (3)<0，所以f (x )唯一的零点在区间(2，3)内．故选B.【答案】B判断函数零点所在区间的方法1．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( )A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－1，0]解析：选D.因为f (x )＝3x －x 2，所以f (－1)＝3－1－1＝－23<0，f (0)＝30－0＝1>0所以f (－1)·f (0)<0.2．设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2) C．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2的图象交点的横坐标所在的区间．作图如下：所以函数f (x )的零点所在的区间为(1，2)．函数零点个数的判断(师生共研)(一题多解)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】 法一(方程法)：由f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．法二(图形法)：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点． 【答案】 B判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C.由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝|x －2|(x >0)，y 2＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －x －2，x ≥0，x 2＋2x ，x <0的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.当x <0时，令f (x )＝0，即x 2＋2x ＝0，解得x ＝－2，或x ＝0(舍去)．所以当x <0时，只有一个零点；当x ≥0时，f (x )＝e x －x －2，而f ′(x )＝e x －1，显然f ′(x )≥0，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝e 0－0－2＝－1<0，f (2)＝e 2－4>0，所以当x ≥0时，函数f (x )有且只有一个零点．综上，函数f (x )只有2个零点，故选C.函数零点的应用(师生共研)(1)(数形结合思想)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x， x ≤0ln x ， x >0，g (x )＝f (x )＋x＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)(2)(分离参数法)若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1，1]有零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.(2)因为函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1，1]有零点， 所以方程4x －2x －a ＝0在[－1，1]上有解， 即方程a ＝4x －2x 在[－1，1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝(2x －12)2－14，因为x ∈[－1，1]，所以2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， 所以⎝⎛⎭⎫2x －122－14∈⎣⎡⎦⎤－14，2. 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，2. 【答案】 (1)C (2)⎣⎡⎦⎤－14，2已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法1．(2019·四川绵阳模拟)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)解析：选C.由题意，知函数f (x )在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）<0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，4－1－a >0，解得0<a <3，故选C.2．(2019·福建漳州八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，x 2＋x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：令g (x )＝f (x )－m ＝0，得f (x )＝m ，则函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点等价于函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14≥－14，若函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则－14<m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－14，0. 答案：⎝⎛⎦⎤－14，0直观想象——求解函数零点问题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象的交点的个数．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B.【答案】 B本题是函数零点个数问题，基本思路是数形结合，即把函数拆分为两个基本初等函数，这两个函数图象的交点个数即为函数的零点个数，对于不易直接求解的方程的根的个数的讨论，也是通过根据方程构建两个函数，利用两函数图象交点个数得出对应方程根的个数．考查了直观想象这一核心素养．已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，－1)解析：选B.方程f (x )＝k 化为e |x |＝k －|x |， 设y 1＝e |x |，y 2＝k －|x |.y 2＝k －|x |表示斜率为1或－1的平行折线系， 折线与曲线y 1＝e |x |恰好有一个公共点时，k ＝1.如图，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根， 则实数k 的取值范围是(1，＋∞)．故选B.[基础题组练]1．(2019·福州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.故选C.2．函数f (x )＝x 3－x 2－1的零点所在的区间可以是( ) A ．(0，1) B ．(－1，0) C ．(1，2)D ．(2，3)解析：选C.函数f (x )＝x 3－x 2－1是连续函数．因为f (1)＝1－1－1＝－1<0，f (2)＝8－4－1＝3>0，所以f (1)f (2)<0，所以函数f (x )的零点所在的区间可以是(1，2)．故选C.3．(2019·辽宁大连模拟)已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－1x，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选B.作出函数f (x )与g (x )的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y ＝f (x )－g (x )有3个零点，故选B.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋a ，x ≤0，3x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1，0)D ．[－1，0)解析：选D.当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0，1]，所以－a ∈(0，1]，即a ∈[－1，0)，故选D.5．(2019·河北石家庄模拟)若函数f (x )＝m ＋⎝⎛⎭⎫13x的零点是－2，则实数m ＝________． 解析：依题意有f (－2)＝m ＋⎝⎛⎭⎫13－2＝0，解得m ＝－9. 答案：－96．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos(3x ＋π6)在[0，π]的零点个数为________．解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以函数f (x )在[0，π]的零点个数为3.答案：37．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.所以函数f (x )的零点为3或－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，所以b 2－4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值范围是(0，1)．8．已知a 是正实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a .如果函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．解：f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a<0.①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥1，所以无解．②当－1<－12a <0，即a >12时，须使⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．[综合题组练]1．(应用型)(2019·郑州市第一次质量测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x－a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，＋∞)C ．(0，1)D ．(－∞，1]解析：选A.画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0<a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1，故选A.2．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)，若当0<a <b 时，f (a )＝f (b )，则1a ＋1b 的值为( ) A ．1 B ．2 C.12D.14解析：选B.因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎨⎧1x－1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），所以f (x )在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，则1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2.3．方程2x ＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________． 解析：令函数f (x )＝2x ＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1，2)内时， f (1)·f (2)<0， 即(5－k )(10－k )<0， 解得5<k <10.当f (1)＝0时，k ＝5.故k 的取值范围为[5，10)． 答案：[5，10)4．(应用型)函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x .若在区间[－2，3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是____________．解析：由f (x ＋2)＝f (x )知函数f (x )是以2为周期的周期函数，又f (x )为偶函数，故函数在[－2，3]上的图象如图所示．直线y ＝ax ＋2a 过定点(－2，0)，在区间[－2，3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，等价于直线y ＝ax ＋2a 与函数y ＝f (x )的图象有四个不同的公共点，结合图形可得实数a 满足不等式3a ＋2a >2，且a ＋2a <2，即25<a <23.答案：⎝⎛⎭⎫25，235．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f （x ）x－4ln x 的零点个数．解：(1)因为f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， 所以f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. 所以f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)因为g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x >0)，所以g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝（x －1）（x －3）x 2.令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：当0<x ≤3时，g (x )≤g (1)＝－4<0.又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点． 故g (x )在(0，＋∞)上只有1个零点．6．(创新型)已知函数f (x )＝－x 2－2x ， g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54.。
高二数学函数与方程的关系及应用
高二数学函数与方程的关系及应用高二数学: 函数与方程的关系及应用在高二数学学习中，函数与方程是两个重要的概念。
函数是一种特殊的关系，而方程则是未知数的等式。
本文将探讨函数与方程之间的关系，以及它们在实际问题中的应用。
一、函数与方程的基本概念函数是一种特殊的关系，其包含输入值和输出值之间的映射关系。
数学上，我们通常用 f(x) 或 y 来表示函数，其中 x 是自变量，y 是因变量。
函数可以用公式、图像或表格等形式来表示。
在函数中，每个输入值都对应唯一的输出值。
方程是一个等式，其中包含了一个或多个未知数。
方程是用来解决未知数的值的问题的。
数学中有各种各样的方程，包括一元一次方程、二次方程、指数方程等。
二、函数与方程的关系函数和方程之间存在着紧密的关联。
事实上，函数可以用来表示方程。
通常情况下，我们将函数表示为 f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量。
在方程中，我们也可以将等式表示为 f(x) = 0 的形式。
例如，考虑一元二次方程 f(x) = ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知常数。
这个方程是一个二次函数，其图像是抛物线。
方程的解即为使得方程成立的 x 值，在图像中，解对应了抛物线与 x 轴的交点。
三、函数与方程的应用函数与方程在实际问题中有广泛的应用。
它们可以帮助我们解决各种数学和实际问题。
1. 函数的图像分析：通过函数的图像，我们可以了解函数的性质，包括定义域、值域、增减性、奇偶性等。
我们可以利用这些性质来解答图像分析问题，例如求极值、交点等。
2. 方程的解析求解：方程可以用来解决各种未知数的值的问题。
通过解方程，我们可以求得未知数的具体值，例如求一元一次方程的解、二次方程的解等。
3. 函数的应用问题：函数可以帮助我们解决各种实际问题，包括数学建模、物理问题等。
例如，通过建立数学模型，我们可以利用函数来描述和分析实际问题，如弹射问题、物体运动问题等。
4. 方程的几何应用：方程可以与几何图形相结合，帮助我们解决几何问题。
函数与方程
函数与方程一、考点聚焦1．函数零点的概念对于函数))((D x x f y ∈=，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点，注意以下几点：（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零。
（2）函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标。
（3）求零点就是求方程0)(=x f 的实数根。
2、函数零点的判断如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有0)()(<∙b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。
但要注意：如果函数)(x f y =在],[b a 上的图象是连续不断的曲线，且0x 是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有.0)()(<∙b f a f3．函数零点与方程的根的关系根据函数零点的定义可知：函数)(x f 的零点，就是方程0)(=x f 的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。
函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是)(x f 的零点。
4．函数零点具有的性质注意：①函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程0)(=x f 没有实数根，则函数)(x f 没有零点。
5、二分法，就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步副近零点，进而得到零点近似值的方法。
二、点击考点［考题1］若一次函数b ax x f +=)(有一个零点2，则二次函数ax bx x g -=2)(的零点是。
［考题2］求函数673+-=x x y 的零点。
［考题3］若方程0=--a x a x 有两个根，则a 的取值范围是（ ）A ．)1(∞+B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．∅［考题4］无论m 取哪个实数值，函数)23(}23{2--+-=x m x x y 的零点个数都是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．不确定［考题5］3．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ＞0)的解的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 ［考点6］已知2>a ，且函数131)(23+-=ax x x f 在区间)2,0(上是减函数，则方程013123=+-ax x 在区间)2,0(上的实根个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3［考题7］函数xx x f 2ln )(-=的零点所在的大致区间是（ ） A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)1,1(e和)4,3( D ．),(+∞e［考题8］已知)1)(1(+-=x x x y 的图象如图所示，因考虑01.0)1)(1()(++-=x x x x f ，则方程式0)(=x f （ ）A ．有三个实根B ．当1-<x 时，恰有一实根C ．当01<<-x 时，恰有一实根D ．当1>x 时，恰有一实根三、夯实双基1．下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）2．已知函数22)(m mx x x f --=，则)(x f （ ） A ．有一个零点B ．有两个零点C ．有一个或两个零点D ．无零点 3函数)(x f 在区间]6,1[上的零点至少有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．下列方程在区间)1,0(内存在实数解的是（ ） A ．012=-+x xB ．032=-+x xC ．012=-xD ．0212=+x x 5．若函数)(x f 的图象是连续不间断的，且0)4()2()1(,0)0(<∙∙>f f f f ，则下列命题正确的是（ ）A ．函数)(x f 在区间)1,0(内有零点B ．函数)(x f 在区间)2,1(内有零点C ．函数)(x f 在区间)2,0(内有零点D ．函数)(x f 在区间)4,0(内有零点6．函数1)(23+--=x x x x f 在]2,0[上（ ） A ．有三个零点 B ．有两个零点C ．有一个零点D ．没有零点7．已知方程x x -=-521，则该方程的解会落在区间（ ）内。
中考数学函数与方程的关系
中考数学函数与方程的关系数学中的函数与方程是密切相关的概念，它们在中考数学中占据重要的地位。
函数是自变量与因变量之间的一种对应关系，而方程是含有未知数的等式。
它们之间的关系可从多个角度来探讨，本文将从图像、解析式和实际问题三个方面来介绍中考数学中函数与方程的关系。
一、图像与函数关系函数的图像可以用来表示函数的特征与性质，而方程则可以描述图像的形状与位置。
通过观察函数的图像，我们可以了解函数的单调性、最值、零点等重要信息。
而方程则可以用来确定函数的图像在平面直角坐标系中的位置。
例如，对于一元一次函数y=kx+b（其中k、b为常数），我们可以通过求解方程kx+b=0来确定它的零点，即函数与x轴的交点。
二、解析式与方程关系函数的解析式是用于计算函数值的一种数学表达式，而方程是等式中含有未知数的数学表达式。
函数与方程的关系在解析式的推导与解方程的过程中体现得尤为明显。
通过将函数的表达式与方程相等，我们可以求解方程从而获得函数在特定条件下的取值。
例如，对于一元二次函数y=ax^2+bx+c（其中a、b、c为常数），我们可以通过求解方程ax^2+bx+c=0来确定函数的零点，即函数与x轴的交点。
三、实际问题与函数方程关系函数与方程的关系在模拟与解决实际问题中具有广泛的应用。
许多实际问题可以转化为函数与方程之间的关系，从而通过求解方程得到问题的解答。
例如，在购买车票时，我们可以通过建立票价与购票数量之间的函数关系来求解购票总花费。
假设一张车票的票价为x元，购买的数量为y张，那么总花费C与购票数量y的关系可以用函数C=xy表示。
当给定购票数量y时，我们可以通过解方程C=xy来求解总花费C。
同样地，给定总花费C时，我们也能通过解方程C=xy来求解购票数量y。
综上所述，中考数学中的函数与方程是相辅相成、相互依存的。
函数的图像可以通过方程来确定，函数的解析式与方程之间建立了数学模型，函数与方程的关系也在解决实际问题中发挥重要作用。