中考数学新题型类型一 数式规律(解析版)

中考数学重难题突破

类型一 数式规律

1、数列型数字问题

例1、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为_________． 【答案】：50

【解析】：仔细观察这一数列中的各个数字的构成特点，不难发现如下；

第一个数是1，第二个数数1+1，第三个数是1+1+3，第四个数是1+1+3+5，第五个数是1+1+3+5+7，第六个数是1+1+3+5+7+9，

为了使规律凸显的明显，我们不妨把第一个数1也写成两个数的和的形式，为1+0， 这样，就发现数字1是固定不变的，规律就蕴藏在新数列0，1，4，9，16 中，而0，1，4，9，16 这些数都是完全平方数，并且底数恰好等于这个数字对应的序号与1的差，即1=1+（1-1）2，2=1+（2-1）2，5=1+（3-1）2，10=1+（4-1）2，17=1+（5-1）2， 26=1+（5-1）2，这样，第n 个数为1+（n-1）2，找到数列变化的一般规律后，就很容易求得任何一个序号的数字了。因此，第八个数就是当n=8时，代数式1+（n-1）2的值，此时，代数式1+（n-1）2的值为1+（8-1）2=50。所以，本空填50。

例2、古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为_________. 【答案】：199

【解析】：本题中数列的数字，不容易发现其变化的规律。我们不妨利用函数的思想去试一试。

当序号为1时，对应的值是1，有序号和对应的数值构成的点设为A ， 则A （1，1）；

当序号为2时，对应的值是3，有序号和对应的数值构成的点设为B ， 则B （2，3）；

当序号为3时，对应的值是6，有序号和对应的数值构成的点设为C ， 则C （3，6）； 因为，

21213=--，32336=--，所以有：2

33

61213--≠--成立，所以，对应的数值y 是序号n 的二次函数，因此，我们不妨设y=an 2+bn+c ，

把A （1，1），B （2，3），C （3，6）分别代入y=an 2+bn+c 中，

得：a+b+c=1，4a+2b+c=3，9a+3b+c=6，解得：a=21，b=2

1

，c=0， 所以，y= 21n 2+21n ，因此，当n=100时，y= 21×1002+2

1

×100，

当n=98时，y= 21×982+21×98，因此（21×1002+21×100）-（21×982+2

1

×98）=199，所以

该空应该填199。 2、图示型数字问题

例3、为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比 赛．如图所示：

按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ） A ． B ．

C ．

D ．

【答案】：A

【解析】：第一个图需要火柴的根数是8，有序号和对应的数值构成的点设为A ，则A （1，8）；

第二个图需要火柴的根数是14，有序号和对应的数值构成的点设为B ，则B （2，14）； 第三个图需要火柴的根数是20，有序号和对应的数值构成的点设为C ，则C （3，20）； 因为，

612814=--，6231420=--，所以有：2

314

2012814--=

--成立，所以，每个图形中所需要的火柴的总根数y 是这个图形的序号n 的一次函数，因此，我们不妨设y=kn+b ， 把A （1，8），B （2，14）分别代入y=kn+b 中得：k+b=8，2k+b=14，解得：k=6，b=2， 所以，y=6n+2。因此选A 。

例4、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。依此规律，第5个图案中小正方形的个数为_______________。

【答案】：50 【解析】：

仔细观察第一个图，正方形的个数为1，第二个图形中正方形的特点是中间是3个，左右两边各一个，即为1+3+1个，第三个图形中正方形的特点是中间是5个，左右分别是1+3个，即为1+3+5+3+1，分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n个图形中正方形的个数为1+3+5+ +（2n-1）+ +5+3+1=2n2-2n+1，这样，第5个图形中正方形的个数，也就是当n=5时，代数式2n2-2n+1的值，所以，代数式的值为：2n2-2n+1=2×52-2×5+1=41个。所以，本空填50。

例5、按如下规律摆放三角形：

则第（4）堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的个数为_____________.

【答案】：14,3n+2

【解析】：仔细观察第一个图形，三角形排列的特点是中间3=(1+2)个,左右各1个,即图1中三角形的总数为1+(1+2)+1,第二个图形中三角形形的特点是中间是4=(2+2)个，左右两边各2个，即为2+(2+2)+2个，第三个图形中三角形的特点是中间是5=(3+2)个，左右分别是3个，即为3+(3+2)+3，分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n 个图形中三角形的个数为n+（n+2）+n =3n+2，这样，第4个图形中三角形正方形的个数，也就是当n=4时，代数式3n+2的值，所以，代数式的值为：3n+2=3×4+2=14个。所以，本题的两个空分别填14和3n+2。

例6、柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：

第一层有2×3听罐头，第二层有3×4听罐头，第三层有4×5听罐头，……

根据这堆罐头排列的规律，第n（n为正整数）层有听罐头（用含n的式子表示）。

【答案】：n 2+3n+2

【解析】：仔细观察图形，第一层有2×3听罐头，对应的序号为1，第一个数字2与序号1的关系是序号+1，第二个数字是3，它与序号的关系是序号+2；第二层有3×4听罐头，对应的序号为2，第一个数字3与序号的关系是序号+1，第二个数字是4，它与序号的关系是序号+2；第三层有4×5听罐头，对应的序号为3，第一个数字4与序号的关系是序号+1，第二个数字是5，它与序号的关系是序号+2；分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第n 层中有（n+1）（n+2）听罐头，即n 2+3n+2。所以，本题的空填n 2+3n+2。 例7、下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n

幅图中共有

个。

【答案】：2n+1

【解析】：仔细观察第一个图形，有一个菱形，第二个图形中有3个菱形，第三个图形中有5个菱形，………仔细观察这些数的特点，恰好是奇数构成的数列，由此，就清楚了变化的规律了。所以，第n 个图形中有2n+1个菱形。 3、恒等式型数字问题

例8、试观察下列各式的规律，然后填空：

……

则

_______________。

【答案】：111

x

【解析】：要想找到式子的变化规律，同学们应该仔细观察式子的特点，找出式子中，哪些量是在固定不变的，哪些量是在不断变化。这对解题很关键。

仔细观察式子，不难发现等式左边中的（x-1）是个固定不变的量。左边式子中第二个括号中多项式的次数是不断变化的，且多项式的次数等于对应等式的序号数，即第一个等式中的多项式的次数是1，第二个等式中的多项式的次数为2， 所以，第n 个等式中的多项式的次数为n ，这是等式左边的变化规律；

1

2

3

n

…

…

等式右边的规律，容易找些，多项式中的常数项是保持不变的，字母x 的指数随等式的序号变化而变化，且满足字母x 的指数等于等式的序号加1。所以，第10个等式的结果为111

x 。 例9、观察下列各式：

……依此规律，第n 个等式（n 为正整数）为 。 【答案】：（10n+5）2=n （n+1）×100+52。

【解析】：要想找到式子的变化规律，同学们应该仔细观察式子的特点，找出式子中，哪些量是在固定不变的，哪些量是在不断变化。这对解题很关键。

等式左边底数的特点是，个位数字都5，是个不变的量，十位数字与对应的序号一致，分别是1、2、3、4…………；

等式右边的特点是：第一个数字与对应的序号是一致的，括号里的数字的特点是对应的序号与常数1的和；第三个数字又是一个固定的常数100；第四个数字是常数5的平方，也是固定不变的。

通过分析，我们知道在这里对应的序号是问题的根本。而第n 个等式的序号为n ，所以第n 个等式应该是：（10n+5）2=n （n+1）×100+52。 例10、观察下列等式：

第一行 3=4－1 第二行 5=9－4

第三行 7=16－9 第四行 9=25－16

… … 按照上述规律，第n 行的等式为____________ 【答案】：2n+1=（n+1）2- n 2。

【解析】：等式的左边的特点是：奇数3、5、7、9 …，

这些奇数可以用对应的序号表示，3=2×1+1， 5=2×2+1，7=2×3+1，9=2×4+1，

其中1、2、3、4等恰好是对应的序号，所以，第n 个奇数为2n+1，这样，我们就把等式左边的规律找出来了；

等式右边的特点是：被减数为4、9、16、25、…恰好是22，32，42，52，…等对应的幂，幂的底数与对应的序号的关系是：底数=对应序号+1，这样，我们就又找到了一部分规律， 第n 个被减数为（n+1）2；

减数分别为1、4、9、16…恰好是12，22，32，42，…等对应的幂，幂的底数与对应的序号的关系是：底数=对应序号，这样，我们就又找到了一部分规律，第n 个减数为n 2； 所以，本题的变化规律为：2n+1=（n+1）2- n 2。 例11、观察下列各式：

请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来 。 【答案】：21++

n n =( n+1 )2

1

+n 。 【解析】：仔细观察我们发现，等式的左边的特点是：

被开方数中，第一个加数分别是1、2、3、………等的自然数，第二个加数是一个分数，且分子都是1，是固定不变的，这就是一条规律；分母分别是3、4、5、6………，这些数与第一个加数的关系是：分母=第一个加数+2，这是第二规律；

等式的右边的特点是：二次根式的系数分别是2、3、4、5、………，这些数与左边的被开方数中的第一个加数的关系是：二次根式系数=左边的被开方数中的第一个加数+1，这是右边的第一个规律；而被开方数也是一个分数，且分子是1，保持不变，这是一条规律，分数中的分母与左边分数中分母一样。这是第二条规律。这样的话，因为，第n 个等式中的第一个加数为n ，所以，第n 个等式为：21++n n =( n+1 )2

1

+n 。 4、幂指数型数字问题

例12、已知：21=2，22=4，23=8，24=16、25=32，…………………， 仔细观察，式子的特点，根据你发现的规律，则22008的个位数字是： A 2 B 4 C 6 D 8 【答案】：C

【解析】：仔细观察，不难发现，当幂的指数能被4整除时，这个数的个位数字是6，当被4除，余数是3时，这个数的个位数字为8，当被4除，余数是2时，这个数的个位数字为4，当被4除，余数是1时，这个数的个位数字为2， 所以，问题解决的关键，就是看幂的指

数被4除的情形就可了。我们知道2008是能被4整除的，所以，22008的个位数字是6，

所以，选C。

5 、排列型数字问题

例13、把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：

1

2，3，

4，5，6，7，

8，9，10，11，12，13，14，15，

…………

按此规律，可知第n行有个正整数

2-n

【答案】：1

【解析】：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行有4个数字，第四行有8个数字，再用我们前面所用的方法，我们就不容易找到变化的规律了。我们不妨换一种思路。利用幂指数的思想试一试。由于第一个数字是1，联想到任何不是零的数的任何次幂都是1，所以，指数0=序号1-1，又因为第二行有2个数字，第三行有4个数字，第四行有8个数字，这些数字都是偶数，所以底数一定是偶数，是2、或4或6等等，但是，第二个数为2，指数等于2-1=1，所以，底数为2，这样，我们就找到规

2-n。

律，第n行中的数字个数为1

例14、将正整数按如图所示的规律排列下去。若用有序实数对（，）表示第排，从左到右第个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是。

【答案】：23

【解析】：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行有3个数字，第四行有4个数字，……第n行有n 个数字，这是第一条变化规律；我们再来观察一下，每一行最后的一个数字的特点，不难发现，第二行的最后一个数字3=第一行中的数字个数1+第二行数字个数2，第三行最后的数字6=第一行数字个数1+第二行

数字2+第三行数字个数3；因此，第n 行的最后一个数字=1+2+3+4+ …………+n=2

)

1(+n n ， 所以，第六行最后的数字为：

2)1(+n n =2

7

6?=21，所以，第七行的第一个数字为22，第二个数字位23，因为（7，2）的意义就是第七行第二个数的意思，所以，（7，2）表示的实数是 23。

6、图表型数字问题

例15、观察表1，寻找规律．表2是从表1中截取的一部分，其中a b c ，，的值分别为（ ）。

表1 表2 1 2 3 4 …… 2 4 6 8 …… 3 6 9 12 …… 4 8 12 16 …… ……

……

…… ……

……

A ．20，25，24

B ．25，20，24

C ．18，25，24

D ．20，30，25

【答案】：A

【解析】：仔细观察图表的结构，发现第n 行，第m 列的交叉处的数恰好是n 与m 的积。 结合表1，就知道数c 在六行，四列的交叉处，所以c 的数值为6×4=24；a 在四行，五列的交叉处，所以a 的数值为4×5=20；b 在五行，五列的交叉处，所以b 的数值为5×5=25； 所以，选A 。

16 a

20

b

c

30