第五章 边界层

对于实际流体的流动，无论流动形态是层流还是紊流，真正能求解的问题很少。这主要是由于流体流动的控制方程本身是非线性的偏微分方程，处理非线性偏微分方程的问题是当今科学界的一大难题，至今还没有找到一套完整的求解方案。

但在实际工程中的大多数问题，是流体在固体容器或管道限定的区域内的流动，这种流动除靠近固体表面的一薄层流体速度变化较大之外，其余的大部分区域内速度的梯度很小。对于具有这样特点的流动，控制方程可以简化。

首先，由于远离固体壁面的大部分流动区域流体的速度梯度很小，可略去速度的变化，这部分流体之间将不考虑粘性力的存在，视为理想流体，用欧拉方程或伯努利方程就可求解。

而靠近固体壁面的一个薄层——称为流动边界层，在它内部由于速度梯度较大，不能略去粘性力的作用，但可以利用边界层很薄的特点，在边界层内把控制方程简化后再去求解。

这样对整个区域求解的问题就转化为求解主流区内理想流体的流动问题和

靠近壁面的边界层内的流动问题。

第一节边界层理论的基本概念

一、边界层的定义

流体流经固体表面时，靠近表面总会形成一个薄层，在此薄层中紧贴表面的流体流速为零，但在垂直固体表面的方程（法向）上速度增加得很快，即具有很大的速度梯度，甚至对粘度很小的流体，也不能忽略它表现出来的粘性力。

（因此，流体在绕流过固体壁面流动时，紧靠固体壁面形成速度梯度较大的流体薄层称为边界层。）

而在此边界层外，流体的速度梯度很小，甚至对粘度很大的流体，其粘性力的影响也可忽略，流体的流速与绕流固体表面前的流速v0一样。可以把这部分在边界层外流动的流体运动视为理想流体运动，不考虑粘性力的影响。

边界层内、外区域间没有明显的分界面，而把边界层边缘上的流体流速v x

视为v x=0.99v0，因此从固体表面至v x=0.99v0处的垂直距离视为边界层的厚度δ。

二、边界层的形成与特点

边界层内的流动可以是层流，也可以是带有层流底层的紊流，还可以是层流、紊流混合的过渡流。

评判边界层层流或紊流的参数为雷诺数Re=vxρ/η，式中v为边界层外边界上流体流速，x为距边界层起点的距离（即流体进入平板的长度）。

对平板，层流转变紊流的临界雷诺数Re=2×105～3×106，其具体数值受流动的紊流程度、固体表面粗糙度等因素的影响。Re＜2×105时，边界层流动为层流。Re＞3×106时，边界层流动为紊流。

对平板绕流流动，边界层可分为三个区域：

1．层流区流体绕流进入平板后，当进流长度不是很长，x＜x c（x c为对应于Re=2×105的进流深度），这时，Re＜2×105，边界层内部为层流流动，这个区域为层流区。

2．过渡区随着进流深度的增长，当x＞x c，使得Re＞2×105，且Re＜3×106，这时边界层内处于一种混合的流动状态，部分层流，部分紊流，故称为过渡区。在这一区域内边界层的厚度随进流尺寸增加的相对较快。

3．紊流区随着进流尺寸的进一步增加，使得Re＞3×106，这时边界层内流动形态为紊流，边界层的厚度随进流长度的增加而迅速增加。

注意的是：无论是对过渡区还是紊流区，边界层最靠近壁面的一层始终是层流流动，这一层称为层流底层，因为在这层内，由于最靠近壁面，壁面的作用使该层流体所受的粘性力大于惯性力所致。

总结边界层的特点：

1．与固体长度相比，边界层厚度很小；

2．边界层内沿边界层厚度方向上的速度梯度很大；

3．边界层沿流动方向逐渐增厚；

4．由于边界层很薄，故可近似认为，边界层截面上的压力等于同一截面上边界层外边界上的压力；

5．边界层内粘性力和惯性力是同一数量级的；

6．如在整个长度上边界层内都是层流，称为层流边界层；仅在起始长度上是层流，而其他部分为紊流的称混合边界层。

第二节平面层流边界层微分方程

一、微分方程的建立

若流体以均匀速度v0接近一平板的前缘，与平板表面接触后形成层流边界层。在边界层内流体的流速不仅在y轴方向，同时在x轴方向都有变化，故可把这种边界层流动视为二维流动。对于二维平面不可压缩层流稳定态流动，在直角坐标系下满足的控制方程（连续性方程和纳维尔-斯托克斯方程）可简化为

（式中：运动粘度）。。。（5-1）

式中已略去了质量力，这主要是考虑到对于二维平面的不可压缩流体，质量力对流动状态产生的影响很小。

式（5-1）中第一式为连续性方程；

第二式为x方向的动量传输方程，可简化为（具体简化过程大家不用关心，只记结果，主要是由于远于，故略去前者）

。。。。。。。。。。。（5-2）

第三式为y方向的动量传输方程，因为边界层厚度δ很小，除项外，其它各项与x方向上的动量传输相比可略去不计，则简化成

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（5-3）

由于，故x方向动量中可以写面全微分形式（相当于p 只与x有关）。

由伯努利方程可知，对主流区中y值相同，x值不同的流体有下列关系：

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（5-4）

（对上式的解释：y值相同，则不存在高度差，即不存在位置水头之差。由于边界层很薄，可近似认为，边界层截面上的压力等于同一截面上边界层外边界上的压力，即边界层截面上的压力等于主流区的压力。）

（又知边界层外流体流速v0不随x变化，即v0为常量。）

所以由式（5-4）可知主流区压力p为常量（v0和ρ为常量，故p为常量）。

而边界层截面上压力p等于主流区压力，也为常量。所以，可将式（5-2）再简化：

。。。。。。。。。。。。。。。（5-5）

此方程称为普朗特边界层微分方程，它与连续性方程构成了求解边界层内流体流动的控制方程组，即式（5-1）简化为

。。。。。。。。。。。。。（5-6）

其边界条件为：。。。。。。。。。（5-7）二、微分方程的解

普朗特边界层微分方程的解由布拉修斯给出，通常称为布拉修斯解。

布拉修斯得出的边界层厚度δ与距离x及流速v0的关系为

（其中）。。。。。。。。。。。。（5-9）

注意：书中式（5-9）有误，改过！

第三节边界层内积分方程

由于上节的布拉修斯精确解较难得到，冯·卡门将动量定律直接用于边界流动的研究中时，提出了一种比较容易计算的近似积分法。这种方法的关键是避开

复杂的纳维尔-斯托克斯方程，直接从动量守恒定律出发，建立边界层内的动量守恒方程，然后对其求解。

一、边界层积分方程的建立

现以二维绕平面流动为例来导出边界层积分方程，如图5-2所示。

首先对控制体（单元体）做动量平衡计算（在计算过程中取垂直于纸面z方向为单位长度）：

1．流体从AB面单位时间流入的动量记为M x（M x即为动量率）。从AB面单位时间流入的质量为

则输入动量率

2．流体从CD面单位时间流出的动量记为M x+Δx，从CD面单位时间流出的质量为

则输出动量率

3．通过AB、CD两面的质量差值为，根据连续性方程的原理只能

经BC面输入微元体，因此经BC面输入微元体的质量为，又

因为BC面取在边界层之外，所以流体沿x方向所具有的速度近似等于v0，由BC 面输入的动量率的x分量为

4．通过AD面存在切力即粘性力，其粘性动量通量为τ0，所以在控制体内由AD 面单位时间传给流体的粘性动量率为τ0Δx。

由于边界层外流体的流速都一样，故可认为在BC面上没有粘性力。

5．作用在此微元体上沿x轴方向的压力：作用在AB、CD和BC诸面上的总压力在x轴方向上的分量，它们分别为

式中为B与C之间平均压强，此三个总压力的合力经略去二阶微量

后为，由前面讨论边界层微分方程时知道，则p只与x有关，

所以合力为。

将上述的动量率和外力代入动量平衡方程式：（应注意到前面已提到过的边界层内压力和边界层厚度y无关，以及v x只是y函数的特点，动量率和压力表达式中的偏微分都应是全微分）

输入微元体的动量率－输出微元体的动量率+作用在微元体上的外力合力=0 得到的冯·卡门积分关系式即为

。。。。。。。。（5-15）将积分换为，且注意到y>δ时，v x≈v0，得

。。。。。。。。。。。。。（5-16）式（5-16）为边界层积分方程，也称为冯卡门方程。

对绕平板流动按前面的分析dp/dx是一个极小量，可略去，这时方程可简化为

。。。。。。。。。。。。（5-17）

式（5-17）称为简化的冯·卡门方程。

冯·卡门方程既用于层流边界层，也适用于紊流边界层，只要是不可压缩流体就行。

冯·卡门方程是由一个小的有限控制体而得出来的，故仅是一种近似求解方案。

二、层流边界层内积分方程的解

由波尔豪森最早解出冯·卡门积分方程。

假设在层流情况下速度分布曲线是y的三次方函数关系，即

。。。。。。。。。。。。。。。。。。（5-18）

式中，a，b，c，d是一些特写常数，可由一些边界条件来确定。这些边界条件是：

1）y=0时，v x=0；

2）y＞δ时，v x=v0；

3）y＞δ时，；

4）y=0时，。

前三个边界条件是显然的，而第四个边界条件的得出是因为v x|y=0=v y|y=0=0，再结合普朗特微分方程，并取y=0时而得到。

利用上述边界条件而定出式（5-18）中的系数为

因此速度分布可表示为

即。。。。。（5-19）

式（5-19）为速度分布与边界层厚度之间的一个关系式，联立它与式（5-17），可求出速度分布与边界层厚度。

。。。。。。。。。。。。。（5-20）

式（5-20）为边界层厚度随进流距离变化的关系，它与微分方程解出的结论基本相符。有了边界层厚度的公式，速度场就由式（5-19）具体给出，所以式（5-19）与式（5-20）是边界层积分方程的层流边界层的条件下最终的解。它像边界层微分方程理论给出的结论一样，也回答了边界层内的速度变化及边界层厚度分布的问题。

三、湍流边界层内积分方程的解

在湍流情况下，冯·卡门积分方程式（5-17）中τ0为一般的应力项，要想解上述方程也必须补一个v x与δ之间的关系式，它不能由波尔豪森的三次方函数关系给出。

借助于圆管内湍流速度分布的1/7次方定律：

。。。。。。。。。。。。。。。（5-21）

用边界层厚度δ代替式中的R得到：

。。。。。。。。。。。。。。。。（5-22）

用它来代替多项式的速度分布，根据圆管湍流阻力的关系式，得出壁面切应力τ

0为

。。。。。。。。。。。。。（5-23）

用它代替牛顿粘性力，代入式（5-21）可解得：

。。。。。。。。。。。。（5-24）

式（5-24）为湍流边界层厚度的分布，把它代入式（5-22）即可求出湍流边界层的速度分布。

从式（5-24）还可以看出，湍流边界层厚度，与层流时相比，

边界层厚度随x增加的要快得多。这也是湍流边界层区分于层流边界的一个特点。

第四节平板绕流摩擦阻力计算

对于实际流体绕流流过平板时，由于粘性的存在使得流体与固体之间存在着相互作用，这样的相互作用力就是摩擦阻力。

前面已知道平板对流体单位时间、单位面积上所施加的力τyx（粘性动量通量），其值为

。。。。。。。。。。。。（5-25）

式（5-25）说明，如果知道流体在边界层内的速度分布与流体的动力粘度η，平板对流体的作用力就可以很容易地求出。

一、不可压层流平板绕流摩擦阻力

通常定义摩擦阻力系数C f为

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（5-26）对于长度为L，宽度为B的平板总阻力为S，即

。。。。。。。。。。。。。（5-27）

按总阻力为单位面积上的平板阻力h（h=τyx）与面积的乘积的规律可得

。。。。。。。。。。。。。。。（5-28）

把式（5-28）与式（5-27）结合，可求出层流条件下平板绕流摩擦阻力的平板摩擦阻力系数C f：

。。。。。。。。。。。。。（5-29）

式中，。

由边界层积分方程的解，也可计算层流平面绕流摩擦阻力。这时只要应用层流下边界层积分方程的解，即

与

得

所以。。。。。。。。（5-30）

因此，无论从边界层积分方程理论出发还是从边界层微分方程理论出发，都可以求出固体壁面与流体之间的摩擦阻力，且结论相差很小。

二、不可压湍流平板绕流的摩擦阻力

对湍流绕流平板时，平板与流体之间的摩擦阻力不仅与分子粘性有关，而且也与湍流的脉动有关，具体讨论起来困难较多。

前面讨论湍流边界层积分方程的解时曾引入速度1/7次方的经验公式，即

，把它代入普通的冯·卡门方程可得：

。。。。。。。。。。。。。。。（5-31）

式（5-31）为湍流情况下单位时间、单位面积平板对流体的阻力（切应力），所以总阻力为

。。。。。。。。（5-32）

边界层厚度δ由式（5-20）给出，只要把式（5-20）中的x换为L即可。

这时平板摩擦阻力系数可由下式给出：

。。。。。。。。。。。。。（5-33）

[例5-1]：设空气从宽为40cm的平板表面流过，空气的流动速度v0=2.6m/s；空气在当时温度下的运动粘度ν=1.47×10-5m2/s。试求流入深度x=30cm处的边界层厚度，距板面高y=4.0mm处的空气流速及板面上的总阻力？

解：按教材72页所示。