2020年河南省新乡市实验中学高三数学(文)高考模拟测试卷一
2020年河南省三门峡市实验中学高三数学(文)高考模拟测试卷一
数学试卷一、选择题1.已知集合{2,1,0,1,2},{|(1)(2)0}M N x x x =--=+-<，则M N ⋂=( ) A.{1,0}- B.{0,1} C.{1,0,1}- D.{0,1,2}2.设i 是虚数单位，若复数17(R)4ia a -∈-是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.-4 B.-1 C.4 D.13.根据如表数据，得到的回归方程为$9y bx=+$，则b =$( )B.1C.0D.-14.函数3y x =的图象在原点处的切线方程为( )A.y x =B.0x =C.0y =D.不存在5.若如图所示的程序框图输出的S 是126,则条件①可以为( )A. 5n ≤B. 6n ≤C. 7n ≤D. 8n ≤6.已知向量,a b r r 的夹角为2π3,且(3,4)a =-r ,||2b =r ,则|2|a b +=r r ( )A.B.2C.D.847.如果函数π()cos()(0)4f x x ωω=+>的相邻两个零点之间的距离为π6，则ω=( ) A.3 B.6 C.12 D.248.Rt △，则这个多面体最长一条棱长为( )C.D.9.已知数列{}n a 的通项公式262n a n =-，要使此数列的前n 项和n S 最大，则n 的值为( )A.12B.13C.12或13D.1410.如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误的是( )A.//BD 平面11CB DB.1AC BD ⊥C.1AC ⊥平面11CB DD.异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒11.已知函数()f x 满足条件：当0x >时，1()'12f x xf +>，则下列不等式正确的是( ) A.(1)34(2)f f +> B.(2)34(4)f f +> C.(1)89(3)f f +< D.(2)43(4)f f +<二、填空题12.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ,且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为_______________．13.已知2,(1)()lg(1),(1)x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则((1))f f =______．14.若函数2log y x =的图象上存在点(,)x y ，满足约束条件30220x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为______．15.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()3a b c a b c ab +-++=，且4c =，则ABC △面积的最大值为______．16.平面内与两定点12(0,),(0,)(0)A a A a a ->连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上12,A A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线给出以下四个结论： ① 当1m =-时，曲线C 是一个圆；② 当2m =-时，曲线C的离心率为2；③ 当2m =时，曲线C的渐近线方程为2y x =±； ④ 当(,1)(0,)m ∈-∞⋃+∞时，曲线C的焦点坐标分别为(0,-和(0,其中正确的结论序号为______．三、解答题17.在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，*1310,2,2()n n a a b a n N +===∈．1.求数列{}n b 及{}n a 的通项公式；2.若n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120BCD ∠=︒，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90,2BAP AB AC PA ∠=︒===．1.求证：面PBD ⊥面PAC ；2.过AC 的平面交PD 于点M ，若平面AMC 把四面体P ACD -分成体积相等的两部分，求三棱锥M PAB -的体积．19.某单位从一所学校招收某类特殊人才对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：人由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15． 1.求,a b 的值；2.从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线20x y +-=相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过椭圆右焦点且不平行于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A B 、两点，探究在x 轴上是否存在定点E ，使得EA EB ⋅u uu r u u u r为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数2()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =-++>． 1.求()f x 的单调区间；2.若()0f x ≤在区间[1,]e 上恒成立，求实数a 的取值范围．22.极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=+． 1.求C 的直角坐标方程；2.直线12:12x t l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于E ，求||||EA EB +的值．23.已知函数()|21|,()||f x x g x x a =+=+ 1.当0a =时，解不等式()()f x g x ≥；2.若存在x R ∈，使得()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．参考答案1.答案：B解析：集合{2,1,0,1,2}M =--{|(1)(2)0}{|12}N x x x x x =+-<=-<，{0.1}M N ∴⋂=．故选：B ．化简集合N ，再求M N ⋂即可．本题考查了集合的化简与简单运算问题，是基础题目． 2.答案：C 解析：复数1717(4i)(4i)(4)i 4i (4i)(4i)a a a a +-=-=-+=----+是纯虚数， 40a ∴-=，解得4a =． 故选：C ．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：D解析：由题意可得11(45678)6,(54321)355x y =++++==++++=，Q 回归方程为$9y bx=+$且回归直线过点(6,3)， 369b ∴=+，解得1b =-， 故选：D ．由题意可得样本中心点，代入回归直线可得b 值，即可得答案．本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算和回归方程的性质，属基础题． 4.答案：C解析：函数3y x =的导数为2'3y x =， 在原点处的切线斜率为0，则在原点处的切线方程为00(0)y x -=-， 即为0y =．故选：C ．求出函数的导数，求得切线斜率，由点斜式方程即可得到切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查运算能力，运用点斜式方程是解题的关键． 5.答案：B解析：分析程序中各变量,各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加2222n S =++⋅⋅⋅+的值,并输出满足循环的条件． 解:分析程序中各变量,各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加2222nS =++⋅⋅⋅+的值, 并输出满足循环的条件.∵26222126S =++⋅⋅⋅+=, 故①中应填6n ≤ 故选B 点评:算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误. 6.答案：C解析：向量,a b r r 的夹角为2π3，且(3,4)a =-r ，||a ∴=r 又||2b =r，222(2)44a b a a b b ∴+=+⋅+r r r r r r222π45452cos23=⨯+⨯⨯+ 84=，|2|a b ∴+=r r．故选：C ．根据平面向量的数量积公式计算模长即可．本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题目．7.答案：B 解析：函数π()cos()(0)4f x x ωω=+>的相邻两个零点之间的距离为π6， ππ263T ∴=⨯=， 又2ππ3ω=，解得6ω=．故选：B ．根据余弦函数的相邻两个零点之间的距离恰好等于半个周期，即可求得ω的值． 本题主要考查余弦函数的图象和性质的应用问题，是基础题目．8.答案：B解析：根据三视图可知几何体是三棱锥， 且PC ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，Q1AB AC PC ∴===，则PB 是最长的棱，且PB ==故选：B ．根据三视图可知几何体是三棱锥，并求出棱长、判断出线面的位置关系，判断出最长的棱，再由勾股定理求解．本题考查几何体三视图的应用，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9.答案：C解析：Q 数列{}n a 的通项公式262n a n =-，126224a ∴=-=，1(262)[262(1)]2n n d a a n n -=-=----=-， ∴数列{}n a 是首项为24，公差为2的等差数列，22(1)2562524(2)25()224n n n S n n n n -∴=+⨯-=-+=--+． 要使此数列的前n 项和n S 最大，则n 的值为12或13． 故选：C ．数列{}n a 是首项为24，公差为2的等差数列，从而22(1)2562524(2)25()224n n n S n n n n -∴=+⨯-=-+=--+由此能求出要使此数列的前n 项和n S 最大，n 的值．本题考查等差数列的前n 项和最大时项数n 的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 10.答案：D 解析：A 中因为11//BDB D ，正确；B 中因为AC BD ⊥，由三垂线定理知正确； C 中由三垂线定理可知111AC B D ⊥，11AC B C ⊥，故正确； D 中显然异面直线AD 与1CB 所成的角为45︒ 故选：D ．A 中因为11//BDB D 可判，B 和C 中可由三垂线定理进行证明；而D 中因为11//CB D A ，所以1D AD ∠即为异面直线所成的角，145D AD ∠=︒．本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．11.答案：C解析：构造函数22()()g x x f x x =-．1'()2(()'()1)02g x x f x x f x =⋅+⋅->Q ，在(0,)x ∈+∞恒成立，()g x ∴在(0,)+∞上是增函数， 13<Q ，(1)(3)g g ∴<得(1)89(3)f f +<，故选：C ．构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性，然后判断选项即可． 本题考查函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．12.答案：3解析：13.答案：0解析：Q 已知2,(1)()lg(1),(1)x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则1(1)22f ==，故[(1)](2)lg(21)0f f f ==-=，故答案为0．根据函数的解析式先求出(1)f 的值，进而求得((1))f f 的值．本题主要考查利用分段函数求函数的值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．14.答案：1解析：作出约束条件30220x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域，得到如图的三角形，再作出对数函数2log y x =的图象，可得该图象与直线30x y +-=交于点(2,1)M ， 当该点在区域内时，图象上存在点(,)x y 满足不等式组，且此时m 达到最大值，即m 的最大值为1 故答案为：1．作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形，观察图形可得函数2log y x =的图象与直线30x y +-=交于点(2,1)，当该点在区域内时，图象上存在点(,)x y 满足不等式组，且此时m 达到最大值，由此即可得到m 的最大值．本题给出二元一次不等式组，求能使不等式成立的m 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和函数图象的作法等知识，属于中档题15.答案：解析：在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， 已知()()3a b c a b c ab +-++=，则：222a b c ab +-=，整理得：2221cos 22a b c C ab +-==，由于：0πC <<，解得：π3C =． 由于：4c =，故：2222cos c a b ab C =+-， 转换为：162ab ab ab ≥-=，所以：1sin ABC S ab C =≤△故最大值为：首先利用关系式的变换，转换为余弦定理的关系式，求出C 的值，进一步利用余弦定理和基本关系式求出ab 的最大值，最后利用三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：余弦定理和三角形面积公式的应用，基本不等式的应用．16.答案：① ② ④ 解析： 17.答案：1.依题意3132,28b b ===，设数列{}n b 的公比为q ，由12>0n a n b +=，可知0q >，由223128b b q q =⋅=⋅=，得24q =，又0q >，则2q =， 故111222n n nn b b q --==⋅=，又由122n a n +=，得1n a n =-2.依题意(1)2n n c n =-⋅1231021222(2)2(1)2n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ,①则23412021222(2)2(1)2n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ,②①-②得21231122222(1)2(1)212n n n n n S n n +++--=+++--⋅=--⋅-L ，即14(2)2n n S n +-=-+-⋅，故14(2)2n n S n +=+-⋅解析：18.答案：1.证明：90BAP ∠=︒Q ，PA AB ∴⊥，又侧面PAB ⊥底面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，PA ⊂面PAB ，PA ∴⊥面ABCD ，BD ⊂Q 面ABCD ，PA BD ∴⊥，又120BCD ∠=︒Q ，ABCD 为平行四边形，60ABC ∴∠=︒， 又AB AC =，ABC ∴△为等边三角形，则ABCD 为菱形， 则BD AC ⊥．又PA AC A ⋂=，BD ∴⊥面PAC ，BD ⊂Q 面PBD ，∴面PAC ⊥面PBD ；2.由平面AMC 把四面体P ACD -分成体积相等的两部分， 则M 为PB 中点．由2AB AC ==，120BCD ∠=︒，得BD =由1知ABCD 为菱形，则122ABCD S =⨯=． 又由1知PA ⊥面ABCD ，则112333P ABCD ABCD V S PA -=⋅⋅=⋅=．11124433M PAB D PAB P ABCD V V V ---===⨯=． 解析：19.答案：1.由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有(2)a +人． 设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生， 则21()205a P A +==． 解得 2a =．4b ∴=．2.由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别记为123456,,,,,M M M M M M 其中5M 和6M 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生． 从中任意抽取2位，可表示为：1213141516,,,,M M M M M M M M M M2324252634,,,,M M M M M M M M M M3536454656,,,,M M M M M M M M M M ，共15种可能．设事件B ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位， 其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生．则事件B 包括：1516252635,,,,,M M M M M M M M M M36454656,,,,M M M M M M M M 共9种可能．93()155P B ∴==． ∴至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为35． 解析：20.答案：（1）由题意知，222b c a b c a=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 则椭圆C 的方程为2212x y +=． （2）当直线的斜率存在时，设直线(1)y k x =-， 联立2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(12)4220k x k x k +-+-=，2880k ∆=+>， ∴22412A B k x x k +=+，222212A B k x x k -=+， 假设x 轴上存在定点00(,)E x ，使得EA EB ⋅u u u r u u u r 为定值，∴20000(,)(,)()A A B B A B A B A B EA EB x x y x x y x x x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++u u u r u u u r 2200()(1)(1)A B A B A B x x x x x x k x x =-+++--222200(1)()()A B A B k x x x k x x x k =+-++++2220002(241)(2)12x x k x k -++-=+． 要使EA EB ⋅u u u r u u u r 为定值，则EA EB ⋅u u u r u u u r 的值与k 无关，∴220002412(2)x x x -+=-， 解得054x =，此时716EA EB ⋅=-u u u r u u u r 为定值，定点为5(,0)4．当直线的斜率不存在时，A，(1,B，1(4EA =u u u r，1(,4EB =u u u r ，117(4416EA EB ⋅=⨯=-u u u r u u u r 也满足条件．解析：21.答案：1.2()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =-++>Q ．222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x-++--∴==>，由'()0f x =得21,1x a x ==当01a <<时，在(0,)x a ∈或(1,)x ∈+∞时'()0f x > ， 在(,1)x a ∈时'()0f x <，()f x ∴的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ； 1a =时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥，()f x ∴的单调增区间是(0,)+∞；当1a >时，在(0,1)x ∈或(,)x a ∈+∞时'()0f x > ， 在(1,)x a ∈时'()0f x <．()f x ∴的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a2.由1可知()f x 在区间[1,]e 上只可能有极小值点， ()f x ∴在区间[1,]e 上的最大值在区间的端点处取到， 即有(1)12(1)0f a =-+≤且2()2(1)20f e e a e a =-++≤， 解得2222e e a e -≥-． 即实数a 的取值范围是2222e e a e -≥-． 解析：22.答案：1.Q 曲线C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=+22cos 2sin ρρθρθ∴=+2222x y x y ∴+=+即22(1)(1)2x y -+-=2.将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程， 得210t t --=，所以12||||||||EA EB t t +=+==解析：23.答案：1.当0a =时，由()()f x g x ≥得|21|||x x +≥，两边平方整理得23410x x ++≥，解得1x ≤-或13x ≥-，∴原不等式的解集为1(,1)[,)3-∞-⋃-+∞．2.由()()f x g x ≤得|21|||a x x ≥+-，令()|21|||h x x x =+-，即 11,21()31,021,0x x h x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪+≥⎪⎪⎩， 故min 11()()22h x h =-=-，故可得到所求实数a 的范围为1[,)2-+∞． 解析：。
2020年河南省洛阳市实验中学高三数学(文)高考模拟测试卷一
2020年05月10日xx 学校高中数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.设集合{}2,0M y y x ==≥，{N x y ==，则M N ⋂=( ). A.()(){}2,2,2,2- B.{}24x x -<< C.{}24x x -≤≤D.{}22.函数()f x 的定义域为1,32⎛⎫⎪⎝⎭,则()lg 1f x +的定义域为( )A.(0,)+∞B.1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,100100⎛⎫ ⎪⎝⎭D.⎫⎪⎪⎝⎭3.已知命题:p “0R x ∃∈,得200220x ax a +++≤”,命题p 是假命题,实数a 的取值范围是( )A.[]1,2-B.()1,2-C.()2,1-D.(]0,24.已知函数1()e e x xf x =-,中e 自然对数的底数.则关于x 不等式(21)(1)0f x f x -+-->的解集为（ ）A.4,(2,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ B.(2,)∞C.4,(2,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D.(,2)-∞5.设等边三角形ABC △的边长为1,面内一点M 满足1123AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r，向量AM u u u u r 与AB u u u r 夹角的余弦值为（ ）6.在数列{}n a 中，若12a =，()*121nn n a a n a +=∈+N ，则5a =（ ） A ．417B ．317C ．217D ．5177.若实数,x y 满足不等式组1010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩,则目标函数24x y z x -+=-的最大值是( )A.1B.14-C.54-D.548.已知向量(sin a θ=r ，()1,cos b θ=r,a b -r r 的最大值为（ ）A.2C.3D.59.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.23B.13C.43D.8310.已知函数31()21e ex x f x x x =-++-，其中e 自然对数的底数．若()2(1)22f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ） A.31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11.已知函数()πsin 432πsin 23x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象与()g x 的图象关于直线π12x =对称，则()g x 的图象的一个对称中心可以为（ ） A.π,06⎛⎫⎪⎝⎭B.π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C.π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭D.π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭12.设函数4310()log 0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，，,若关于x 的方程2()(2)()30f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解,则实数a 的取值范围为（ ）A.(22)--B.32]2， C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.2,)+∞二、填空题13.设(sin cos sin cos f αααα+=）,(cos30)f o 的值为______． 14.已知0x >0y >，且3x y xy +=,23t t x y +<+恒成立,实数t 的取值范围是________. 15.已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数,[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是______.16.已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足BA BC ==π2ABC ∠=，若该三棱锥体积的最大值为3其外接球的体积为________. 三、解答题17.已知R m ∈，命題:p 对任意[]0,1x ∈，不等式()22log 123x m m +-≥-恒成立；命题:q 存在[]1,1x ∈-，使得1()12x m ≤-成立.(1)若p 为直命题,m 的取值范围；(2)若p q ∧为假，p q ∨为真，求m 的取值范围.18.已知数列{}n a 的前项和为n S ,2*1(1)(2,N )n n n S nS n n n n --=+-≥≥. (1).求数列{}n a 的前n 项和为n S ； (2).令2nn na b =,求数列{}n b 的前项和n T .19.已知,cos )44x x m =u r ，(sin ,cos )44x x n =r ，设函数()f x m n =⋅u r r．(1).求函数()f x 的单调增区间；(2).设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且,,a b c 成等比数列，求()f B 的取值范围． 20.如图，四边形ABCD 为菱形，ACEF 为平行四边形，且平ACEF ⊥平面ABCD ,设BD 与AC 相交于点G ，H 为FG 的中点.(1).证明：BD CH ⊥(2).若2AB BD ==,AE =CH =F BDC -的体积.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b=+=>>的右焦点为F ,长半轴与短半轴的比值为2.(1).求椭圆C 的方程;(2).设经过点(1,0)A 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,M N .若点(0,1)B 在以线段MN 为直径的圆上,求直线l 的方程.22.已知函数2()ln (R)f x x ax a =+∈.(1).若()y f x =的图像在2x =处的切线与x 轴平行，求()f x 的极值； (2).若函数()()1g x f x x =--在(0,)+∞内单调递增，求实数a 的取值范围．参考答案1.答案：C解析：{}{}2,0|2M y y x y y ==≥=≥-，{{}|4N x y x x ==≤，故{}|24M N x x ⋂=-≤≤，故选C. 2.答案：D解析：因为函数()f x 的定义域为1,32⎛⎫⎪⎝⎭，所以()lg 1f x +中1lg 132x <+< 即1lg 22x -<<100x <<，所以()lg 1f x +的定义域为⎫⎪⎪⎝⎭， 故选D 项. 3.答案：B解析：若命题p 是假命题，,则“不存在0R x ∈,得200220x ax a +++≤”成立,即“R x ∀∈，使得2220x ax a +++>”成立,所以()()()()()22242424120a a a a a a ∆=-+=--=+-<，解得12a -<<， 所以实数a 的取值范围是()1,2-， 故选：B 4.答案：B解析：函数()1e ex x f x =-，其中e 是自然对数的底数，由指数函数的性质可得()f x 是递增函数， ()()11e e e ex x x x f x f x ---=-=-=-Q ，()f x ∴是奇函数，那么不等式()()2110f x f x -+-->，等价于()()()2111f x f x f x ->---=+，等价于211x x ->+，解得2x >，等式()()2110f x f x -+-->的解集为()2,∞，故选B. 5.答案：D解析：2222211111119()()()()222232336AM AM AB AC AB AC AB AC ==+=++⨯⨯⨯⋅=u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，AM =u u u u r ，对1123AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r 两边用AB u u u r 点乘，2112,233AB AM AB AB AC AM ⋅=+⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 与AB u u ur夹角的余弦值为AM AB AM AB⋅=u u u u r u u u ru u u u r u u u r 故选D. 6.答案：C 解析：∵121n n n a a a +=+，∴1211n n n a a a ++=，即1112n na a +-=， 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为2的等差数列，∴()11143122n n n a a -=+-⨯=，即243n a n =-，∴5217a =．故选C ． 7.答案：B解析：实数,x y 满足不等式组1010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩的可行域如图：目标函数26144x y y z x x -+-==---；64y x --的几何意义是可行域内的点与(4,6)P 连线的斜率， 目标函数24x y z x -+=-的最大值转化为64y x --的最小值， 由图形可知最优解为(0,1)A ，所以目标函数24x y z x -+=-的最大值是14-，故选B ． 8.答案：B解析：由已知可得())222sin 1cos a b θθ-=-+r r 54sin 3πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为π3θ≤，所以π2π033θ≤+≤，所以当π3θ=-时，2a b-r r 的最大值为505-=，故a b -r r.选B 9.答案：A解析：由三视图可知：该几何体为三棱锥P ABC -（如图）过点P 作PD ⊥底面ABC ，垂足D 在AC 的延长线上， 且BD AD ⊥，1AC CD ==，2BD =，2PD =，∴该几何体的体积112122323V =⨯⨯⨯⨯=.故选A . 10.答案：C解析：令31()()12e e xxg x f x x x =-=-+-，R x ∈． 则()()g x g x -=-，()g x ∴在R 为奇函数． 21()32e 0220e x xg x x '=-++≥+-=， ∴函数()g x 在R 上单调递增．2(1)(2)2f a f a -+≤，化为：2(1)1(2)10f a f a --+-≤， 即2(1)(2)0g a g a -+≤，化为：2(2)(1)(1)g a g a g a ≤--=-， 221a a ∴≤-，即2210a a +-≤， 解得112a -≤≤． ∴实数a 的取值范围是1[1,]2-．11.答案：C解析：函数()πsin 432πsin 23x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2πsin 22π32πsin 23x x ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦==⎛⎫+ ⎪⎝⎭2πsin 2232π2cos 22π3sin 23x x x ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦=-+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭ 因为()f x 图像与()g x 图像关于直线π12x =对称，所以()ππ2π2cos 2663g x f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()2cos π22cos 2x x =--=所以()g x 的对称中心横坐标满足：π2π,2x k k =+∈Z ，即ππ,24k x k =+∈Z所以当0k =时，对称中心坐标为π,04⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 12.答案：B解析：作出函数()431,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如图，令()f x t =，则方程()()()2230f x a f x -++=化为()2230t a t -++=，要使关于x 的方程()()()2230f x a f x -++=，恰好有六个不同的实数根，则方程()()()2230f x a f x -++=在(]1,2内有两个不同实数根，()()()222212021221213022230a a a a ⎧∆=+->⎪+⎪<<⎪∴⎨⎪-+⨯+>⎪-+⨯+≥⎪⎩，解得32,2a <≤∴实数a的取值范围是32,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选B. 13.答案：18-解析：∵(sin cos sin cos f αααα+=），令sin cos ()t t αα⎡+=∈⎣，平方后化简可得2t 1sin cos 2αα-=， 再由(sin cos sin cos f αααα+=），得2t 12f t -=（），∴()231cos30114(cos30228f -︒-︒===-）． 故答案为18-．14.答案：()4,3-解析：0x >Q ，0y >，且3x y xy +=，在等式3x y xy +=两边同时除以xy 得311x y+=， 由基本不等式得()319336612x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当3x y =时，等号成立，所以，3x y +的最小值为12，由于不等式23t t x y +<+恒成立，则()2min 312t t x y +<+=，即2120t t +-<， 解得43t -<<，因此，实数t 的取值范围是()4,3-，故答案为：()4,3-.15.答案：112m ≤<解析：因为函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数， 所以230a -+=，解得5a =， 所以可得()()22122f m f m m -->-+- 又()f x 在[]0,3上单调递减， 所以()f x 在[]3,0-上单调递增,因为210m --<，2222(1)10m m m -+-=---< 所以由()()22122f m f m m -->-+-可得，22221223103220m m m m m m ⎧-->-+-⎪-≤--≤⎨⎪-≤-+-≤⎩解得112m <. 故m的取值范围是112m < 16.答案：32π3解析：如图所示：设球心为O ，ABC △所在圆面的圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC ；因为BA BC =π2ABC ∠=，所以ABC △是等腰直角三角形，所以1O 是AC 中点；所以当三棱锥体积最大时，P为射线1O O 与球的交点，所以113p ABC ABC V PO S -=⋅⋅△；因为132ABC S =△，设球的半径为R ，所以11PO PO OO R R =+=(1333R ⋅⋅=，解得：2R =，所以球的体积为：3432ππ33R =. 17.答案：(1)对任意[]0,1x ∈，不等式()22log 123x m m +-≥-恒成立，当[]0,1x ∈，由对数函数的性质可知当0x =时，()2y log 12x =+-的最小值为2-， 223m m ∴-≥-，解得12m ≤≤.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[]1,2.(2)存在[]1,1x ∈-，使得1()12x m ≤-成立，max 1[()1]12x m ∴≤-=. 命题q 为真时，1m ≤，p Q 且q 为假，p 或q 为真，p ∴，q 中一个是真命题，一个是假命题. 当p 真q 假时，则121m m ≤≤⎧⎨>⎩解得12m <≤；当p 假q 真时，121m m m <>⎧⎨≤⎩或，即1m <.综上所述，m 的取值范围为()(],11,2-∞U . 解析：18.答案：(1).由21(1)n n n S nS n n --=+-,得111n n S S n n --=-， 又13S n =，所以数列1{}Sn 是首项为3，公差为1的等差数列， 所以13(1)2S n n n=+-=+，即22n S n n =+.(2).当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+， 又1a 也符合上式，所以*21(N )n a n n =+∈ 所以212n nn b +=， 所以123357212222n nn T -=++++L ，① 234113572121222222n n n n n T +-+=+++++L ，② ①-②，得12341132222212222222n n n n T ++=+++++-L 1123113111121222222n n n -++=+++++-L 152522n n ++=- 故52522n nn T +=-. 解析：19.答案：(1).()1,cos sin ,cos sin 4444262x x x x x f x m n π⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=++⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭v v ，令πππ2π2π2262x k k -≤+≤+，则4π2π4π4π33k x k -≤≤+，k Z ∈， 所以函数(f x ）的单调递增区间为4π2π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． (2).由2b ac =可知2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=， （当且仅当a c =时取等号），所以π03B <≤，πππ6263B <+≤，()1f B <，综上，()f B 的取值范围为⎛ ⎝⎦． 解析：20.答案：(1).证明：Q 四边形ABCD 为菱形， BD AC ∴⊥，又Q 面ACFE ⋂面ABCD AC =，BD ∴⊂平面ABCD ，Q 面ABCD ⊥面ACFE ，BD ∴⊥面ACFE ，CH ⊂Q 面ACFE ，BD CH ∴⊥．(2).解：在FCG △中，CG CF ==CH =CH GF ⊥，120GCF ∴∠=︒， 3GF =，BD ⊥Q 面ACFE ，GF ⊂面ACFE ，BD GF ∴⊥，11·23322BDF S BD GF ∆==⨯⨯=， 又CH BD ⊥Q ，CH GF ⊥，BD GF G ∴⋂=，BD ∴，GF ⊂平面BDF ，CH ∴⊥平面BDF ，11··333F BDC C BDF BDF V V S CH --∆∴===⨯解析：21.答案：(1).由题可知c =2a b=,222a b c =+,∴2a =,1b =. ∴椭圆C 的方程为2214x y +=. (2).易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时,不合题意. 当直线l 的斜率存在且不为0时,设直线l 的方程1x my =+, 11(,)M x y ,22(,)N x y .联立,得22144x my x y =+⎧⎨+=⎩,消去x 可得22(4)230m y my ++-=. 216480m ∆=+>,12224m y y m -+=+,12234y y m -=+. ∵点B 在以MN 为直径的圆上,∴0BM BN ⋅=u u u u r u u u r .∵211221212(1,1)(1,1)(1)(1)()20BM BN my y my y m y y m y y ⋅=+-⋅+-=++-++=u u u u r u u u r , ∴22232(1)(1)2044m m m m m --++-+=++, 整理,得23250m m --=,解得1m =-或53m =. ∴直线l 的方程为10x y +-=或3530x y --=.解析：22.答案：(1).因为()2ln f x x ax =+，所以()()1=20f x ax x x+>'． 由条件可得()12402f a '=+=，解之得18a =-，所以()21ln 8f x x x =-， ()114f x x x -'== ()()()2204x x x x --+>． 令()0f x '=可得2x =或2x =-（舍去）． 当02x <<时， ()0f x '>；当2x >时， ()0f x '<， 所以()f x 在()0,2内单调递增，在()2,+∞内单调递减， 故()f x 有极大值()12ln22f =-，无极小值； (2).()2ln 1g x x ax x =+-+，则()121g x ax x=+-' ()2210ax x x x -+=>． 设()221h x ax x =-+，①当0a =时， ()1x g x x-=-'，当01x <<时， ()0g x '>，当1x >时， ()0g x '<，所以()g x 在()0,1内单调递增，在()1,+∞内单调递减，不满足条件； ②当0a <时， ()221h x ax x =-+是开口向下的抛物线，方程2210ax x -+=有两个实根，设较大实根为0x ．当0x x >时，有()0h x <，即()0g x '<，所以()g x 在()0,x +∞内单调递减，故不符合条件；③当0a >时，由()0g x '≥可得()2210h x ax x =-+≥在()0,+∞内恒成立，故只需()0010 400h a a ≥⎧⎪⎪⎪⎨--≤∆>>⎪⎪⎪⎩或0∆≤，即1010 41800a a a ⎧⎪⎪≥≤->>⎪⎨⎪⎪⎪⎩或180 0a a -≤>⎧⎨⎩，解之得18a ≥． 综上可知，实数a 的取值范围是1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 解析：。
河南省新乡市2020届高三数学第三次模拟测试试题 文(含解析)
河南省新乡市2020届高三数学第三次模拟测试试题 文（含解析）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（ ）A. B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由题，先根据复数的四则运算直接求出结果即可 【详解】由题故选A【点睛】本题考查了复数的运算，属于基础题.2.已知集合，则下列判断正确的是（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出集合A 与集合B ，再判别集合A 与B 的关系，得出结果. 详解】，【点睛】本题考查了集合之间的关系，属于基础题.3.某超市抽取袋袋装食用盐，对其质量（单位：）进行统计，得到如下茎叶图，若从这袋食用盐中随机选取袋，则该袋食用盐的质量在[499,501]内的概率为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题，分析茎叶图，找出质量在[499,501]的个数，再求其概率即可.【详解】这个数据中位于的个数为，故所求概率为故选B【点睛】本题考查了茎叶图得考查，熟悉茎叶图是解题的关键，属于基础题.4.设向量，是平面内的一组基底，若向量与共线，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题得存在，使得，得到关于，的方程组，解之即得解.【详解】因为与共线，所以存在，使得，即，故，，解得.【点睛】本题主要考查向量共线的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.已知函数为偶函数，当时，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】找出二次函数的对称轴，再根据答案，分析与与对称轴的距离，判断出大小. 【详解】当时，，，又函数为偶函数，所以，，根据二次函数的对称性以及单调性，所以故选A【点睛】本题考查了二次函数的性质以及奇偶性，熟悉二次函数的图像和性质是解题的关键，属于基础题.6.若曲线在点处的切线的斜率为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求其导函数，再将x=1带入其斜率为，可得答案.【详解】，，故选D【点睛】本题考查了曲线的切线方程，熟悉函数的导函数的几何意义以及求导函数是解题的关键，属于基础题.7.如图，过双曲线的右焦点作轴的垂线交于两点（在的上方），若到的一条渐近线的距离分别为，且，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，化简即得离心率的值.【详解】易知的坐标分别为，，图中对应的渐近线为，则，，，，，.故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知函数，若的最小正周期为，且，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由辅助角公式可得，根据，可求出=1，又为奇函数，所以，结合的范围，即可求得结果。
2020年河南省新乡一中高考数学二模试卷(文科)
一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A ＝{x |﹣3＜x ＜﹣1}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣12≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[﹣2，﹣1）B ．（﹣2，﹣1）C ．（﹣1，6]D ．（﹣3，﹣1）【解答】解：∵集合B ＝{x |x 2﹣4x ﹣12≤0}＝{x |﹣2≤x ≤6}，集合A ＝{x |﹣3＜x ＜﹣1}， ∴A ∩B ＝{x |﹣2≤x ＜﹣1}， 故选：A ．2．（5分）已知复数z ＝2﹣i ，z 为z 的共轭复数，则（1+z ）•z =（ ） A ．5+iB ．5﹣iC ．7﹣iD ．7+i【解答】解：∵z ＝2﹣i ，z =2+i ， 则（1+z ）•z =（3﹣i ）（2+i ）， ＝7+i ． 故选：D ．3．（5分）已知向量a →=（0，2），b →=（2√3，x ），且a →与b →的夹角为π3，则x ＝（ ）A ．﹣2B ．2C ．1D ．﹣1【解答】解：∵向量a →=（0，2），b →=（2√3，x ），且a →与b →的夹角为π3， ∴a →⋅b →=0+2x ＝2•√12+x 2•cos π3，即2x =√12+x 2，求得x ＝2，故选：B ．4．（5分）若x ，y 满足约束条件{x −y ≤0x +y ≤2x +1≥0，则z =y+2x+3的最大值为（ ）A ．12B ．34C ．52D ．3【解答】解：因为z =y+2x+3表示经过点D （﹣3，﹣2）和可行域内的点（x ，y ）的直线的斜率； 画出可行域；可知可行域的三个顶点分别为A （﹣1，3），B （﹣1，﹣1），C （1，1）； 且K AD =52； 故z ≤52．即z=y+2x+3的最大值为52．故选：C．5．（5分）如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（）A．i≤3？B．i≤4？C．i≤5？D．i≤6？【解答】解：模拟程序的运行，可得当S＝1时，i＝9；当S＝1+9＝10时，i＝8；当S＝1+9+8＝18时，i＝7；当S＝1+9+8+7＝25时，i＝6；当S＝1+9+8+7+6＝31时，i＝5．此时输出S＝31，则图中判断框①处应填入的是i≤5？．故选：C．6．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝3﹣2x，则不等式f（x）＞0的解集为（）A．(−32，32)B．(−∞，−32)∪(32，+∞)C．(−∞，−32)∪(0，32)D．(−32，0)∪(32，+∞)【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝3﹣2x，则其图象如图：且f （32）＝f （−32）＝0，则不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，−32）∪（0，32）；故选：C ．7．（5分）某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5．现从这45名同学中按测试是否合格分层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种）抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（ ） A ．1人B ．2人C ．5人D ．6人【解答】解：设这两项成绩均合格的人数为x ， 则立定跳远合格100米跑不合格的人数为30﹣x ， 则30﹣x +35+5＝45， 得x ＝25，即这两项成绩均合格的人数是25人， 则抽出来复测的同学中两项都合格的有9×2545=5， 故选：C ． 8．（5分）已知椭圆y 2a +x 2b =1(a ＞b ＞0)与直线y a−x b=1交于A ，B 两点焦点P （0，﹣c ），其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．√5−12B ．√3−12C ．√3+14D ．√5+14【解答】解：椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)与直线y a−x b=1交于A ，B 两点焦点P （0，﹣c ），其中C 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，不妨设A （0，a ），B （﹣b ，0），则BA →⋅BF →=0，解得b 2＝ac ，即a 2﹣c 2＝ac ，即e 2+e ﹣1＝0，e ∈（0，1），故e =√5−12．故选：A ．9．（5分）将函数f(x)=sin3x −√3cos3x +1的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图象，给出下列关于g （x ）的结论：①它的图象关于直线x =5π9对称；②它的最小正周期为2π3；③它的图象关于点(11π18，1)对称；④它在[5π3，19π9]上单调递增． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④【解答】解：将函数f(x)=sin3x −√3cos3x +1=2sin （3x −π3）+1 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g （x ）＝2sin （3x +π2−π3）+1＝2sin （3x +π6）+1 的图象． 令x =5π9，求得g （x ）＝2sin 11π6+1＝0，不是最值，故g （x ）的图象不关于直线x =5π9对称，故①不正确； 它的最小正周期为2π3，故②正确；当x =11π18时，g （x ）＝1，故g （x ）的图象关于点(11π18，1)对称，故③正确； 在[5π3，19π9]上，3x +π6∈[5π+π6，6π+π2]，g （x ）没有单调性，故④错误， 故选：B ．10．（5分）如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，AB =√2AA 1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，异面直线AB 1与C 1F 所成角的余弦值为m ，则（ ）A ．直线A 1E 与直线C 1F 异面，且m =√23 B ．直线A 1E 与直线C 1F 共面，且m =√23C．直线A1E与直线C1F异面，且m=√33D．直线A1E与直线C1F共面，且m=√33【解答】解：连结EF，A1C1，C1D，DF，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥A1C1，∴直线A1E与直线C1F共面，由题意得AB1∥C1D，∴异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F，设AA1=√2，则AB=√2AA1=2，则DF=√5，C1F=√3，C1D=√6，由余弦定理得异面直线AB1与C1F所成角的余弦值：m＝cos∠DC1F=2×3×6=√23．综上：直线A1E与直线C1F共面，且m=√23．故选：B．11．（5分）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6）A．1624B．1198C．1024D．1560【解答】解：设该数列为{a n}，令b n＝a n+1﹣a n，设{b n}的前n项和为B n，又令c n＝b n+1﹣b n，设{c n}的前n项和为∁n．易c n＝n，C n=n2+n2，进而得b n+1=3+C n=3+n2+n2，所以b n=3+n(n−1)2=n22−12n+3，则B n=n(n+1)(n−1)6+3n，所以a n+1＝1+B n，所以a19＝1024．故选：C ．12．（5分）已知函数f （x ）＝ae x （a ＞0）与g （x ）＝2x 2﹣m （m ＞0）的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围为（ ） A ．(4e 2，+∞) B ．(8e 2，+∞) C ．(0，4e 2) D ．(0，8e 2) 【解答】解：设切点为A （x 0，y 0）， 所以{ae x 0=2x 02−m ae x 0=4x 0，整理得{4x 0=2x 02−mx 0＞0m ＞0，由m =2x 02−4x 0＞0，解得x 0＞2．由上可知a =4x 0ex 0，令ℎ(x)=4x e x ，则ℎ′(x)=4(1−x)e x ． 因为x ＞2，所以ℎ′(x)=4(1−x)e x ＜0，ℎ(x)=4xex 在（2，+∞）上单调递减， 所以0＜ℎ(x)＜82，即a ∈(0，82)． 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知数列{a n }是等比数列，a 1＝1，a 3＝36，则a 2＝ ±6 ． 【解答】解：设{a n }的公比为q ，由a 1＝1，a 3＝36，得q 2＝36， 所以q ＝±6， 故a 2＝±6． 故答案为：±614．（5分）欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱入孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2cm 的圆，中间有边长为0.5cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为 14π．【解答】解：正方形的面积S ＝0.5×0.5＝0.25，若铜钱的直径为2cm ，则半径是1，圆的面积S ＝π×12＝π，则随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率P =0.25π=14π， 故答案为：14π．15．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞b ＞0）与抛物线y 2＝8x 有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交点P ，若|PF |＝5，则点F 到双曲线的渐近线的距离为 √3 ． 【解答】解：∵抛物线y 2＝8x 的焦点坐标F （2，0），p ＝4， 抛物线的焦点和双曲线的焦点相同， ∴p ＝2c ，即c ＝2，∵设P （m ，n ），由抛物线定义知： |PF |＝m +p2=m +2＝5，∴m ＝3． ∴P 点的坐标为（3，±2√6） ∴{a 2+b 2=49a 2−24b2=1解得：a ＝1，b =√3，则渐近线方程为y =±√3x ，即有点F 到双曲线的渐近线的距离为d =2√33+1=√3， 故答案为：√3．16．（5分）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，点E 在BD 上，EA ＝EB ＝EC ＝ED ，BD =√2CD ，△ACD 为正三角形，点M ，N 分别在AE ，CD 上运动（不含端点），且AM ＝CN ，则当四面体C ﹣EMN 的体积取得最大值23时，三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积为 32π ．【解答】解：设ED ＝a ，则CD =√2a ．可得CE 2+DE 2＝CD 2，∴CE ⊥ED ．当平面ABD ⊥平面BCD 时，当四面体C ﹣EMN 的体积才有可能取得最大值，设AM ＝x ． 则四面体C ﹣EMN 的体积=13×（a ﹣x ）×12×a ×x ×√22=√212ax （a ﹣x ）≤√212a (x+a−x 2)2=23，当且仅当x =a2时取等号． 解得a ＝2√2．此时三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积＝4πa 2＝32π．故答案为：32π．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sin A+sin B）（a﹣b）+b sin C ＝c sin C．点D为边BC的中点，且AD=√7．（1）求A；（2）若b＝2c，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，∵（sin A+sin B）（a﹣b）+b sin C＝c sin C；∴（sin A+sin B）（a﹣b）＝（sin C﹣sin B）c，由正弦定理可得，（a+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c，化简可得，b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得，cos A=b2+c2−a22bc=12，∵0＜A＜π，∴A=π3，（2）∵b2+c2﹣a2＝bc，b＝2c，∴a2＝3c2＝b2﹣c2，∴B=π2，C=π6；；∴在直角△BAD中，AD2＝c2+(a2)2⇒7＝c2+34c2⇒c＝2，a＝2√3；∴S△ABC=12ac＝2√3．18．（12分）某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重．为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晩读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成如表：考试分数[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）[125，135）[135，145]频数510155105赞成人数469364（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？（2）依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635【解答】解：（1）因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为50×30%＝15，由表中数据知，优秀分数线应定为125分．（2）由（1）知，测试成绩优秀的学生有50×0.3＝15人，其中“赞成的”有10人；测试成绩不优秀的学生有50﹣15＝35人，其中“赞成的”有22人；填写2×2列联表如下：赞成不赞成合计优秀10515不优秀221335合计321850计算K2=50×(10×13−5×22)232×18×15×35=25378≈0.066＜2.706，因此，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．19．（12分）如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上（P不与B，C重合），E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD⊥平面BCP．（1）证明：BP⊥平面DCP．（2）若BC＝2，当三棱锥D﹣BPC的体积最大时，求E到平面BDP的距离．【解答】（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面BPC ，ABCD 是正方形， 所以DC ⊥平面BPC ．因为BP ⊂平面BPC ，所以BP ⊥DC ．因为点P 在以BC 为直径的半圆弧上，所以BP ⊥PC ． 又DC ∩PC ＝C ，所以BP ⊥平面DCP ．（2）解：显然，当点P 位于BC ̂的中点时，△BCP 的面积最大，三棱锥D ﹣BPC 的体积也最大．因为BC ＝2，所以PE ＝1，所以△BEP 的面积为12×1×1=12，所以三棱锥D ﹣BEP 的体积为13×12×2=13．因为BP ⊥平面DCP ，所以BP ⊥DP ，DP =√(2√2)2−(√2)2=√6，△BDP 的面积为12×√2×√6=√3．设E 到平面BDP 的距离为d ，由13×√3×d =13，得d =√33，即E 到平面BDP 的距离为√33．20．（12分）设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，AB 为过焦点F 且垂直于x 轴的抛物线C 的弦，已知以AB 为直径的圆经过点（﹣1，0）． （1）求p 的值及该圆的方程；（2）设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF ⊥NF ． 【解答】解：（1）易知A 点的坐标为（p2，±p ），所以p =p2−(−1)，解得p ＝2， 又圆的圆心为F （1，0）， 所以圆的方程为（x ﹣1）2+y ＝4；（2）证明：易知直线MN 的斜率存在且不为0，设M （﹣1，y 0），MN 的方程为y ＝k （x +1）+y 0，代入C 的方程得ky 2﹣4y +4（y 0+k ）＝0， 令△＝16﹣16k （y 0+k ）＝0．得y 0+k =1k ，所以ky 2﹣4y +4（y 0+k ）=k 2y 2−4ky+4k =0，解得y =2k，将y =2k 代入C 的方程，得x =1k2，即N 点的坐标为（1k ，2k ），所以FM →=（﹣2，y 0），FN →=（1k 2−1，2k ），所以FM →⋅FN →=2−2k2+y 0⋅2k =2−2k2+（1k−k ）⋅2k =0故MF ⊥NF ．21．（12分）已知函数f(x)=(x+1)(1+lnx)x−3m ，g （x ）＝﹣mx +lnx （m ∈R ）． （1）求函数g （x ）的单调区间与极值．（2）当m ＞0时，是否存在x 1，x 2∈[1，2]，使得f （x 1）＞g （x 2）成立？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）g ′（x ）＝﹣m +1x ，x ＞0，当m ≤0时，g ′（x ）＞0恒成立，函数g （x ）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间，所以不存在极值，当m ＞0时，当0＜x ＜1m时，g ′（x ）＞0此时函数单调递增，当x ＞1m时，g ′（x ）＜0，此时函数，单调递减故函数g （x ）的单调增区间为(0，1m )，单调减区间为（1m，+∞），此时函数g （x ）在x =1m 处取得极大值，极大值为g （1m）＝﹣1﹣lnm ，无极小值， 综上，当m ≤0时，函数g （x ）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间，不存在极值．当m ＞0时，函数g （x ）的单调增区间为（0，1m），单调减区间为（1m，+∞），极大值为﹣1﹣lnm ，无极小值，（2）当m ＞0时，假设存在x 1，x 2∈[1，2]，使得f （x 1）＞g （x 2）成立 则对x ∈[1，2]，满足f （x ）max ＞g （x ）min ， ∵f ′（x ）=x−lnxx 2x ∈[1，2]， 令h （x ）＝x ﹣lnx ，x ∈[1，2]，则ℎ′(x)=1−1x≥0， 所以h （x ）在[1，2]上单调递增，所以h （x ）≥h （1）＝1，所以f ′（x ）＞0，所以f （x ）在[1，2]上单调递增， 所以f （x ）max ＝f （2）=3(1+ln2)2−3m ， 由（1）可知，①当0＜1m≤1时，即m ≥1时，函数g （x ）在[1，2]上单调递减， 所以g （x ）的最小值是g （2）＝﹣2m +ln 2， ②当1m≥2，即0 ＜m ≤12时，函数g （x ）在[1，2]上单调递增，所以g （x ）的最小值是g （1）＝﹣m ， ③当1＜1m ＜2时，即12＜m ＜1时，函数g （x ）在[1，1m ]上单调递增，在[1m，2] 上单调递减．又g （2）﹣g （1）＝ln 2﹣m ，，所以当12＜m ＜ln2时，g （x ）在[1，2]上的最小值是g （1）＝﹣m ．当ln 2≤m ＜1时，g （x ）在1，2]上的最小值是g （2）＝ln 2﹣2m ， 所以当0＜m ＜ln 2时，g （x ）在[1，2]上的最小值是g （1）＝﹣m ， 故3(1+ln2)2−3m ＞−m ，解得3(1+ln2)4＞m ，所以ln 2＞m ＞0，当ln 2≤m 时，函数g （x ）在[1，2]上的最小值是g （2）＝ln 2﹣2m ， 故3(1+ln2)2−3m ＞ln2−2m ，解得m ＜3+ln22， 所以ln 2≤m ＜3+ln22． 故实数m 的取值范围是（0，3+ln22）．（二）选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，已知点M （1，√32），C 1的参数方程为{x =12+ty =√3t（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为3ρ2=2+cos 2θ．（1）求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； （2）设曲线C 1与曲线C 2相交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．【解答】解：（1）由C 1的参数方程{x =12+ty =√3t（t 为参数），消去参数t ，可得y =√3x −√32，由曲线C 2的极坐标方程3ρ2=2+cos 2θ，得2ρ2+ρ2cos 2θ＝3，由x ＝ρcos θ，x 2+y 2＝ρ2，所以C 2的直角坐方程为3x 2+2y 2＝3，即x 2+2y 23=1． （2）因为M(1，√32)在曲线C 1上， 故可设曲线C 1的参数方程为{x =1+12t y =√32+√32t（t 为参数）， 代入3x 2+2y 2＝3，化简可得3t 2+8t +2＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则△＝64﹣4×3×2＞0， 且t 1+t 2=−83，t 1t 2=23， 所以1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1||t 2|=4．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣3|+|x ﹣1|． （1）求不等式f （x ）≤6的解集；（2）设f （x ）的最小值为M ，正数a ，b 满足a 2+4b 2＝M ，证明：a +2b ≥4ab ．【解答】解：（1）f （x ）＝|x ﹣3|+|x ﹣1|={4−2x ，x ≤12，1＜x ＜32x −4，x ≥3．∵f （x ）≤6，∴{x ≤14−2x ≤6或{x ≥32x −4≤6或{1＜x ＜32≤6，即以﹣1≤x ≤1或3≤x ≤5或1＜x ＜3， ∴不等式的解集为[﹣1，5]．（2）∵（x ）＝|x +3|+|x ﹣1|≥|x ﹣3﹣x +1|＝2，∴M ＝2， ∵a ＞0，b ＞0，∴要证a +2b ≥4ab ，只需证（a +2b ）2≥16a 2b 2， 即证a 2+4b 2+4ab ≥16a 2b 2，∵a 2+4b 2＝2，∴只要证2+4ab ≥16a 2b 2，即证8（ab ）2﹣2ab ﹣1≤0，即证（4ab +1）（2ab ﹣1）≤0， ∵4ab +1＞0，∴只需证ab ≤12， ∵2＝a 2+4b 2≥4ab ，∴ab ≤12成立， ∴a +2b ≥4ab ．。
2020年河南省新乡市高考数学二模试卷1（强化版）（含答案解析）
2020年河南省新乡市高考数学二模试卷1（强化版）己知集合0={》次2 v4},B=(0,1f2,4}, A.(0,1} B.{0,1,2} C.则=()(1.2) D. (0,1. 2.4}C. -2+iD.一2一i已知双曲线二一二=i的实轴长为10,m2+1647n-3则该双曲线的渐近线的斜率为（）一、选择题(本大题共12小题，共60.0分) 1.2.己知i是虚数单位，则复数£j=()A. 2-iB.2+i3.A. B.土：4.己知tana=l.则些t*=()si n a 、,A.1B.25.若】。
gw VO, G)、>1，则()A.a>1,b>0C. 0<a<1.b>06.C ±：D圮C. 3 D.4B.a>1,b VOD.0<a< 1.b<0在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测・甲：我的成绩比乙高.乙：丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后.三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙7./（%）=粉的部分图象大致为（）8.如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底而是正三角形.如果三棱柱的体积为12焰,圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为（）9. A. 127T B. 147T C. 16tt D.己知函Hiy = sin （o ）x + <p ）9 3 > 0,伊€（—汗,汗）的期象,如图，则函数解析式为（）A. y = sin(x + 学)B. y = sin(2x + m)C. y = sin(x + ：)D. y = sin(2x+m)10.甲，乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为小 再由乙猜甲刚才所想的数字.把乙猜的数字记为"其中b E （1,2. 3, 4, 5, 6},若|a — b|式1.就称甲乙“心相近” .现任 意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为（）A. fB. jC. ?D. 土11.己知三棱锥匕4 _L 平面 ABC.在三角形 A8C 中,z_BAC = 120% AB = AC = VA = 2,三棱^V-ABC 的外接球的表而积为（）12. 己知函数/（对=@2-》+幻工€[1,3],则下列说法正确的是（）A.函数Z （x ）的最大值为3+|B,函数/■侦）的最小值为3 + ；C.函数/"（x ）的最大值为3D.函El/（x ）的最小值为3二、 填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设向量 a = B = （1j 2），若云 J.B ，则 m = .% - 2y + 1 > 014. 己知实数爪y 满足x+y-l>0 ,则z = 2% — y 的取值范国 ・x < 215. AABC 的内角A, B, C 的对边分别为a.b 9c.砧=60,面私％昵=15石.44BC 外接圆的半径为焰,WJc =.16. 抛物线C ： y 2 = 4x 的交点为F,准线为/, 〃为抛物线C 上一点，且P 在第一象限，PM 11交C于点线段MF 为抛物线C 交于点M 若PF 的斜率为：，则需=.三、 解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.己知等比数列｛%｝中，此+代是。
2020年河南省许昌市实验中学高三数学(文)高考模拟测试卷一
数学试卷一、选择题1.已知i 为虚数单位,则复数1i12i-+的共扼复数在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限2.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132S a a =+，41a =，则4S =（ ） A.78 B.158C.14D.15 3.若sin()cos cos()sin m αβααβα---=，且为第三象限角，则cos β的值为（ ）B.4.设0.6 1.50.60.6,0.6, 1.5ab c ===则,,a b c 的大小关系是( ) A.a b c <<B.a c b <<C.b a c <<D.b c a <<5.以下命题为真命题的个数为( )①若命题P 的否命题是真命题，则命题P 的逆命题是真命题 ②若5≠+b a ，则2≠a 或3≠b③若q p ∨为真命题，p ⌝为真命题，则()q p ⌝∨是真命题 ④若[]4,1∈∃x ，022>++m x x ，则m 的取值范围是24->m A.1B.2C.3D.46.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形。
若直角三角形中较小的锐角α满足4cos 5α=，则从图中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率是( )A.2425 B.1625 C.925 D.1257.若圆22:4?4?10?0C x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线:?0l x y c -+=的距离为,则c 的取值范围是( )βA. ⎡-⎣B. (-C. []2,2-D. ()2,2- 8.为了计算111111 (23420192020)S =-+-++-，设计如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )A.i i 1=+B.i i 2=+C.i i 3=+D.i i 4=+9.在封闭的正三棱柱111ABC A B C －内有一个体积为V 的球.若164AB AA ==，，则V 的最大值是（ ）A.16πB.32π3C.12πD.10.将函数()2cos2f x x x =-的图象向左平移()0t t >个单位后，得到函数()g x 的图象，若()π12g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则实数t 的最小值为（ ） A.5π24 B.7π24 C.5π12 D.7π1211.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，12π2F AF ∠=，连接2AF 交y 轴于M 点，若23OM OF =，则该椭圆的离心率为（ ）A.1 3B.33C.58D.10412.已知函数()2|x1|,x0{|log x|,x0f x+≤=>,若方程()·f x a b=有四个不同的解1234,,,x x x x,且1234x x x x<<<,则()3122341x x xx x++的取值范围是( )A. ()1,-+∞B. (1,1]-C. (),1-∞D. [)1,1-二、填空题13.设实数,x y满足不等式204303290x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则函数23z x y=+的最大值为_____________. 14.如下图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD.为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得15DAC∠=︒,沿山坡前进50m到达B处,又测得45DBC∠=︒.根据以上数据计算可得cosθ=__________.15.已知ABC△是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB BC，的中点，连接DE并延长到点F，使得2DE EF=，则AF BC⋅u u u r u u u r的值为____________.16.在ABC△中,π3A=,3BC=,D是BC的三等分点，求AD的最大值是___________.三、解答题17.在ABC△中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，且223sin sin302AA+=.1.求角A的大小；2.已知ABC△外接圆半径R3=，且3AC ABC△的周长.18.某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x (万人)与餐厅所用原材料数量y (袋)，得到如下统计表：1.根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+.2.已知购买原材料的费用C (元)与数量t (袋)的关系为40020,036,N380,36,N t t t C t t t -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加，根据1中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？(注：利润L =销售收入－原材料费用).参考公式：()()()1122211nniii ii i n ni i i i x x yyx y nxybx x x nx====---==--∑∑∑∑$，a y bx=-$. 参考数据：511343i i i x y ==∑，521558i i x ==∑，5213237i i y ==∑.19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB CD ∥，BC AB ⊥，12PD PA CD BC AB ====，PB PC =.1.求证：平面PAD ⊥平面PBD ；2.若三棱锥B PCD -PC 的长. 20.已知()11,0F -，()21,0F 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，椭圆C 过点⎛⎝⎭. 1.求椭圆C 的方程；2.过点2F 的直线l （不过坐标原点）与椭圆C 交于,A B 两点，且点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方，若222BF F A =u u u u r u u u u r，求直线l 的斜率. 21.设函数()()22ln 0a xf x x a x a x -=-+>． 1.求函数()f x 的单调区间；2.记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()1g a <．22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+=+⎧⎨⎩（ϕ为参数），过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于α两点．（1）求l 和M 的极坐标方程；（2）当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求OA OB +的取值范围．23.若0a >，0b >，且(1a b +=． 1.求3311a b +的最小值；2.是否存在a ，b ，使得1123a b+的值为3参考答案1.答案：B 解析：1i (1i)(12i)13i 12i (12i)(12i)5-----==++-,其共轭复数为13i 55-+,在复平面内对应的点位于第二象限,故选B. 2.答案：D 解析： 3.答案：B 解析：4.答案：C 解析：5.答案：C 解析：6.答案：D 解析：7.答案：C 解析：8.答案：B 解析：9.答案：D 解析： 10.答案：B 解析： 11.答案：D 解析： 12.答案：B 解析： 13.答案：11 解析：14.1解析：由题可得90DCB θ∠=︒+,在△DBC 中, 结合正弦定理可得sin sin BD DCDCB DBC=∠∠,那么()25sin 90sin 45BD θ=︒+︒,可得BD θ=. 在△ADB 中30ADB ∠=︒, 结合正弦定理可得sin sin BD ABDAB ADB=∠∠,50sin 30=︒,则()cos 45301θ=︒=︒-︒=. 15.答案：18解析： 16.1 解析： 17.答案：1.π3A =；2.3+ 解析：1.2sin 02A A +=Q，1cos sin 02A A -∴+=，即sin 0A A =，tan A ∴=又0πA <<，π3A ∴=． 2.2R sin a A =Q，2sin π33a R A ∴===，AC b ==Q ，∴由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，293c =+-，∴260c -=，∵0c >，所以得c =，∴周长3a b c ++=+18.答案：1.由所给数据可得：1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，515222151343510.425 2.5558510.45i ii i i x y x ybx x==--⨯⨯===-⨯-∑∑$，$25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-$， 则y 关于x 的线性回归方程为$$2.51y x=-.2.由1中求出的线性回归方程知，当15x =时，36.5y =，即预计需要原材料36.5袋， 因为40020,036,N380,36,Nt t t C t t t -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，所以当36t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+，当35t =时，max 300352010480L =⨯-=； 当36t ≥时，利润70036.5380L t =⨯+，当36t =时，max 70036.53803611870L =⨯-⨯=. 综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11870元. 解析：19.答案：1.见解析；2.PC =解析：1.取AD 的中点O ，BC 的中点F ，连接PO ，OF ，PF ．由已知得，四边形ABCD 是梯形，AB CD ∥，AB BC ⊥．∴OF AB ∥，∴OF BC ⊥， 又∵PB PC =，∴PF BC ⊥，且PF OF F =I ，∴BC ⊥平面POF ， ∴BC PO ⊥，由已知得PA PD =，∴PO AD ⊥， 又AD 与BC 相交，∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO BD ⊥， 又∵222BD AD AB +=，∴AD BD ⊥， ∴BD ⊥平面PAD 且BD ⊂平面PBD ， ∴平面PAD ⊥平面PBD ． 2.设BC a =，则PO =，23111332B PCD P BCD BCD V V PO S a --==⨯⨯=⨯==△，解得2a =，又∵222PC PO OC =+，且22221130OC OF FC =+==+， ∴221012PC =+=，从而PC =20.答案：1.22165x y +=；2.2．解析：1.由条件知222214513a b a b-=+=⎧⎪⎨⎪⎩，解得2265a b ==⎧⎪⎨⎪⎩，因此椭圆C 的方程为22165x y +=． 2.解法一：设()11,A x y ，()22,B x y ，则10y >，20y <， 设直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆C 的方程消去x ，得()225610250m y my ++-=， 由韦达定理得1221056m y y m -+=+，1222556y y m -=+，由222BF F A =u u u u r u u u u r，知2120y y +=，即212y y =-，带入上式得121056m y m =+，21225256y m =+，所以222102525656m m m ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，解得m =，结合图形知m =，故直线l 的斜率为221.答案：1.显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x +----++=-⋅='-+=．∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． 2.由1知：()()2min 211ln ln f x f a a a a a a a a a a ⎛⎫==---=-- ⎪⎝⎭， 即()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<，令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->， ∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a '-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->． ∴()211ln 10h a a a a =++->．∴()1g a <． 解析：22.答案：（1）由题意可得，直线1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈． 曲线M 的普通方程为()()22111x y -+-=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以极坐标方程为()22cos sin 10ρθθρ-++=． （2）设()1,A ρα，()2,B ρα，且1ρ，2ρ均为正数，将θα=代入22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，得()22cos sin 10ρααρ-++=， 当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，28sin 404πα⎛⎫∆=+-> ⎪⎝⎭，所以()122cos sin ρραα+=+，根据极坐标的几何意义，OA ，OB 分别是点A B ，的极径．从而()122cos sin π4OA OB ρρααα⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎝⎭．当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，πππ,442α⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，故OA OB +的取值范围是(2,．解析：23.答案：1. 2.不存在,a b ，使得1123a b+解析：1.(1a b +=Q ，()a b∴+=，0a >Q ，0b >，()a b ∴+≥，当且仅当a b =时取等号，≥12ab ∴≤．3311a b ∴+≥=≥3311a b ∴+≥a b =时取等号．2.0a >Q ，0b >，11233a b ∴+≥=≥，<Q∴不存在a ，b ，使得1123a b+。
2020届河南省新乡一中高三二模数学(文)试题(解析版)
2020届河南省新乡一中高三二模数学（文）试题一、单选题1．设集合{}2|,{|31420}1A x x B x x x =-<<-=--≤，则A B =I （ ）A ．[)21--，B ．(21)--，C ．(16]-，D ．(31)--，【答案】A【解析】先求出集合,A B ，再根据交集的运算即可求出A B I ． 【详解】因为{}31, 26|{|}A x x B x x =-<<-=-≤≤，所以 |}1{2A B x x ⋂=-≤<-. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查交集的运算以及一元二次不等式的的解法，属于基础题． 2．已知复数2z i z =-,为z 的共轭复数，则()1. z z +=（ ） A ．5i + B ．5i -C ．7i -D ．7i +【答案】D【解析】由共轭复数的定义求出z ，再根据复数代数形式的四则运算法则即可求出． 【详解】因为2z i =+，所以()()1327()z z i i i +⋅=-+=+． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则以及共轭复数的定义的应用，属于基础题．3．已知向量()0,2=r a ，()b x =r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则x =（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-1【答案】B【解析】由题意cos 3a b a bπ⋅=r r r r ，代入解方程即可得解. 【详解】1a b π⋅r r所以0x >，且2212x x =+，解得2x =.故选：B. 【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.4．若x ，y 满足约束条件-0210x y x y x ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，则z =23y x ++的最大值为（ ）A ．12B ．34C ．52D ．3【答案】C【解析】根据题意知，目标函数z =23y x ++的几何意义为经过平面区域内的动点(),P x y 与定点()3,2A --直线的斜率，作出不等式组表示的平面区域，求出经过平面区域内点与点()3,2A --直线斜率的最大值即可. 【详解】由题意知，目标函数z =23y x ++表示经过点()3,2A --和可行域内的点(x ，y )的直线的斜率，作出不等式组表示的可行域如图所示：根据目标函数z 的几何意义，由图可知,当直线过,A C 两点时,目标函数z =23y x ++有最大值,联立方程12x x y =-⎧⎨+=⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩，所以点()1,3C -,代入目标函数可得, z =23y x ++的最大值为52.本题考查非线性目标函数的线性规划问题；考查转化与化归能力、运算求解能力和数形结合思想；正确理解目标函数表示的几何意义是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.5．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤【答案】C【解析】根据程序框图的运行，循环算出当31S =时，结束运行，总结分析即可得出答案. 【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31， 当1S =时，9i =； 当1910S =+=时，8i =； 当19818S =++=时，7i =； 当198725S =+++=时，6i =； 当1987631S =++++=时，5i =. 此时输出31S =. 故选：C. 【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式()0f x >的解集为（ ） A ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UB ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得()f x 的图象，据此分析可解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以它的图象关于原点对称，且()00f =， 已知当0x >时，()32f x x =-， 作出函数图象如图所示， 从图象知：33022f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则不等式()0f x >的解集为33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想. 7．某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试是否合格分层（分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种）抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有（ ） A ．1人 B ．2人C ．5人D ．6人【答案】C【解析】根据分层抽样先求抽样比，再确定两项都合格的25人中应该抽取的人数. 【详解】由题意知两项都不合格的有5人，两项都合格的有25人， 仅立定跳远合格的有5人，仅100米跑合格的有10人. 从45人中抽取9人进行复测，则抽样比为91455=， 故两项都合格的25人中应该抽取25155⨯=人. 故选：C.本题考查分层抽样，考查对概念的理解与应用，属于基础题.8．已知椭圆22y a +22x b=1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A．BCD【答案】A【解析】联立直线与椭圆方程求出交点A ，B 两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式，解方程求解即可. 【详解】联立方程222211y x a b y x a b⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解方程可得0x y a =⎧⎨=⎩或0x b y =-⎧⎨=⎩，不妨设A (0，a )，B (-b ，0)，由题意可知，BA u u u r ·BF u u u r=0，因为(),BA b a =u u u r ，(),BF b c =-u u u r，由平面向量垂直的坐标表示可得，0b b ac ⋅-=， 因为222b a c =-，所以a 2-c 2=ac ， 两边同时除以2a 可得，210e e +-=， 解得e12e --=，故选：A 【点睛】本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.9．将函数()sin 31f x x x =+的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的①它的图象关于直线59x π=对称；②它的最小正周期为23π ③它的图象关于点11,118π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；④它在519,39ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②③C ．①②④D ．②③④【答案】B【解析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论. 【详解】将函数()sin 33cos312sin 313πf x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()2sin 312sin 31236πππg x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象. 令59x π=，求得()112sin 106πg x =+=，不是最值，故()g x 的图象不关于直线59x π=对称，故①不正确； 它的最小正周期为23π，故②正确； 当1118x π=时，()1g x =，故()g x 的图象关于点11,118π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故③正确； 在519,39ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，35,6662πππx ππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，()g x 没有单调性，故④错误， 故选：B . 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查三角函数的对称性、周期性和单调性，属于基础题.10．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AB AA =，E F ，分别为AB BC ，的中点，异面直线1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则( )A ．直线1A E 与直线1C F 异面，且23m =B ．直线1A E 与直线1C F 共面，且23m =C ．直线1A E 与直线1C F 异面，且3m =D ．直线1AE 与直线1CF 共面，且3m =【答案】B【解析】连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正四棱柱的特征可知11EF AC P ，再由平面的基本性质可知，直线1A E 与直线1C F 共面.，同理易得11AB C D P ，由异面直线所成的角的定义可知，异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠，然后再利用余弦定理求解. 【详解】 如图所示：连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正方体的特征得11EF AC P ， 所以直线1A E 与直线1C F 共面. 由正四棱柱的特征得11AB C D P ，所以异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠.设12AA =AB =122AA =，则5DF =13C F 16C D = 由余弦定理，得1cos m DC F =∠=2236=⨯⨯故选：B 【点睛】本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【答案】B【解析】根据高阶等差数列的定义，求得等差数列{}n c 的通项公式和前n 项和，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，进而求得19a . 【详解】 依题意n a ：1，4，8，14，23，36，54，……两两作差得n b ：3，4，6，9，13，18，……两两作差得n c ：1，2，3，4，5，……设该数列为{}n a ，令1n n n b a a +=-，设{}n b 的前n 项和为n B ，又令1+=-n n n c b b ，设{}n c 的前n 项和为n C .易n c n =，22n n n C +=，进而得21332n n n nb C ++=+=+，所以2(1)133222n n n n b n -=+=-+，则(1)(1)36n n n n B n +-=+，所以11n n a B +=+，所以191024a =. 故选：B 【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12．已知函数()e x f x a =（0a >）与2()2g x x m =-（0m >）的图象在第一象限有A ．24,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．28,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．240,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设切点为()00,A x y ，则00200e 2,e 4,x x a x m a x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩通过代入法将m 用0x 表示，再构造函数进行求值域，即可得答案. 【详解】设切点为()00,A x y ，则00200e 2,e 4,x x a x m a x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩整理得200042,0,0,x x m x m ⎧=-⎪>⎨⎪>⎩由200240m x x =->，解得02x >.由上可知04ex x a =， 令4()e x x h x =，则4(1)()xx h x e -'=. 因为2x >，所以4(1)()0e x x h x -'=<，4()exxh x =在(2,)+∞上单调递减， 所以280()e h x <<，即280,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数判断函数的单调性及求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.二、填空题13．已知数列{}n a 是等比数列，131,36a a ==，则2a =__________. 【答案】6±【解析】根据等比数列通项公式，首先求得q ，然后求得2a . 【详解】设{}n a 的公比为q ，由131,36a a ==，得236,6q q ==±，故26a =±.故答案为：6± 【点睛】14．欧阳修《卖油翁》中写道：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为2cm 的圆，中间有边长为0.5cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为__________． 【答案】14π. 【解析】试题分析：正方形孔的面积为20.50.25=，圆的面积为20.25114P ππππ⨯=∴==【考点】几何概型15．已知双曲线22x a -22y b=1(a >0，b >0)与抛物线y 2=8x 有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交点为P ，若|FP |=5，则点F 到双曲线的渐近线的距离为_____.【解析】设点P 为()00,x y ，由抛物线定义知，025FP x =+=，求出点P 坐标代入双曲线方程得到,a b 的关系式，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意得F (2，0)，因为点P 在抛物线y 2=8x 上，|FP |=5，设点P 为()00,x y ，由抛物线定义知，025FP x =+=，解得003x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩不妨取P (3，)，代入双曲线22x a -22y b=1，得29a -224b =1，又因为a 2+b 2=4，解得a =1，bby x a=±， 所以双曲线的渐近线为y，由点到直线的距离公式可得，点F 到双曲线的渐近线的距离d ==【点睛】运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 16．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，点E 在BD 上，EA ＝EB ＝EC ＝ED ，BD 2=CD ，△ACD 为正三角形，点M ，N 分别在AE ，CD 上运动（不含端点），且AM ＝CN ，则当四面体C ﹣EMN 的体积取得最大值23时，三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积为_____.【答案】32π【解析】设ED ＝a ，根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出CE ⊥ED. AM ＝x ，根据三棱锥的体积公式，运用基本不等式，可以求出AM 的长度，最后根据球的表面积公式进行求解即可. 【详解】设ED ＝a ，则CD 2=.可得CE 2+DE 2＝CD 2，∴CE ⊥ED.当平面ABD ⊥平面BCD 时，当四面体C ﹣EMN 的体积才有可能取得最大值，设AM ＝x .则四面体C ﹣EMN 的体积13=⨯（a ﹣x ）12⨯⨯a ×x 22212⨯=ax （a ﹣x ）222()1223x a x a +-≤=，当且仅当x 2a =时取等号. 解得a ＝2.此时三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积＝4πa 2＝32π. 故答案为：32π 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了球的表面积公式，考查了数学运算能力和空间想象能力.三、解答题17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且(sin sin )()sin sin A B a b b C c C +-+=.（1）求A ；（2）若2b c =，点D 为边BC的中点，且AD =ABC ∆的面积.【答案】（1）3A π=；（2）ABC S ∆=【解析】(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.(2) 为AD 为ABC ∆的中线,所以2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入2b c =可解得2,4c b ==,再代入面积公式求解即可. 【详解】（1）由(sin sin )()sin sin A B a b b C c C +-+=, 可得222a b bc c -+=,由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==, 故3A π=.（2）因为AD 为ABC ∆的中线,所以2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r,两边同时平方可得22242||||cos AD AB AC AB AC A =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,故2228c b bc =++. 因为2b c =,所以2,4c b ==. 所以ABC ∆的面积1sin 2ABC S bc A ∆==. 【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题.18．某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重.为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早､晩读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成如表：（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？（2）依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.参考公式及数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】（1）125分.（2）2×2列联表答案见解析，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.【解析】（1）计算测试成绩优秀的人数，结合表中数据得出结论；（2）由题意计算并填写列联表，求出观测值，对照临界值得出结论.【详解】解：（1）因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为5030%15⨯=，由表中数据知，优秀分数线应定为125分.（2）由（1）知，测试成绩优秀的学生有500.315⨯=.人，其中“赞成的”有10人；测试成绩不优秀的学生有501535-=人，其中“赞成的”有22人；填写2×2列联表如下：计算()22501013522250.066 2.70632181535378K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，因此，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系. 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验问题，属于基础题．19．如图，ABCD 是正方形，点P 在以BC 为直径的半圆弧上（P 不与B ，C 重合），E 为线段BC 的中点，现将正方形ABCD 沿BC 折起，使得平面ABCD ⊥平面BCP .（1）证明：BP ⊥平面DCP .（2）若2BC =，当三棱锥D BPC -的体积最大时，求E 到平面BDP 的距离. 【答案】（1）见解析；（23【解析】（1）由面面垂直的性质定理，可得DC ⊥平面BPC ，进而有BP DC ⊥，再由已知可得，BP PC ⊥，即可得证结论；（2）由体积公式，要使三棱锥D BPC -的体积最大时，P 为弧BC 的中点，求出,PB CP ，进而求出,BPD BEF S S ∆∆，用等体积法E BDP D BEP V V --=，即可求解.【详解】（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面,BPC ABCD 是正方形， 平面ABCD I 平面BPC BC =，所以DC ⊥平面BPC . 因为BP ⊂平面BPC ，所以BP DC ⊥.因为点P 在以BC 为直径的半圆弧上，所以BP PC ⊥. 又DC PC C ⋂=，所以BP ⊥平面DCP .（2）当点P 位于»BC的中点时，BCP ∆的面积最大， 三棱锥D BPC -的体积也最大. 因为2BC =，所以1PE =，所以BEP ∆的面积为111122⨯⨯=， 所以三棱锥D BEP -的体积为1112323⨯⨯=.因为BP ⊥平面DCP ，所以BP DP ⊥，22(22)(2)6DP =-=，BDP ∆的面积为12632⨯⨯=. 设E 到平面BDP 的距离为d ， 由11333d ⨯⨯=，得33d =， 即E 到平面BDP 的距离为3.【点睛】本题考查线面垂直的证明，空间中垂直的相互转化是解题的关键，考查用等体积法求点到面的距离，属于中档题.20．设抛物线2: 2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，AB 为过焦点F 且垂直于x 轴的抛物线C 的弦，已知以AB 为直径的圆经过点()1,0-. （1）求p 的值及该圆的方程；（2）设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF FN ⊥.【答案】（1）2p =，圆的方程为：22(1)4x y -+=.（2）答案见解析【解析】（1）根据题意，可知A 点的坐标为,2p p ⎛⎫± ⎪⎝⎭，即可求出p 的值，即可求出该圆的方程；（2）由题易知，直线M 的斜率存在且不为0，设()01,,M y MN -的方程为0(1)y k x y =++，与抛物线C 联立方程组，根据0∆=，求得01y k k +=，化简解得2y k=，进而求得N 点的坐标为212,k k ⎛⎫⎪⎝⎭，分别求出FM u u u u r ，FN u u u r ，利用向量的数量积为0，即可证出MF FN ⊥.【详解】解：（1）易知A 点的坐标为,2p p ⎛⎫± ⎪⎝⎭，所以(1)2pp =--，解得2p =.又圆的圆心为()1,0F ，所以圆的方程为22(1)4x y -+=.（2）证明易知，直线M 的斜率存在且不为0， 设()01,,M y MN -的方程为0(1)y k x y =++，代入C 的方程，得()20440ky y y h -++=.令()016160k y k =-+=△，得01y k k+=， 所以()222044440k y ky ky y y A k -+-++==，解得2y k=. 将2y k =代入C 的方程，得21x k=，即N 点的坐标为212,k k ⎛⎫⎪⎝⎭.所以()02,FM y =-u u u u r ，2121,FN kk ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ， 02222212220FM FN y k k k k k k⎛⎫⋅=⋅+⋅=⋅+-⋅= ⎪⎝⎭u u u u r u u u r .故MF FN ⊥.【点睛】本题考查抛物线的标准方程和圆的方程，考查直线和抛物线的位置关系，利用联立方程组、求交点坐标以及向量的数量积，考查解题能力和计算能力. 21．已知函数(1)(1ln )()3x x f x m x++=-，()ln g x mx x =-+(R)m ∈.(1)求函数()g x 的单调区间与极值.(2)当0m >时，是否存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x >成立？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）3ln 20,2+⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】（1）求出函数()g x 的定义域，接着求导，对参数m 分类讨论。
河南省新乡市高寨高级中学2020年高三数学文模拟试卷含解析
河南省新乡市高寨高级中学2020年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，若，则b=( )（A）（B）2 （C） 3 （D）27参考答案：C设因为，所以，选C2. 是数列的前项和，则“数列为常数列”是“数列为等差数列”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略3. 若在区间上有极值点,则实数的取值范围是( ) A． B．C． D．参考答案：D4. 若，则的取值范围是________.参考答案：略5. 已知，则=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】把已知等式化弦为切，求出tanα，然后展开两角和的正切得答案．【解答】解：∵，∴，解得tanα=﹣5，∴=．故选：D．6. 对于实数a和b，定义运算“*”：*设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是A．B．C．D．参考答案：A略7. 已知直线平面，直线平面，若，则下列结论正确的是A. 或B.C. D.参考答案：A【分析】选项A中与位置是平行或在平面内，选项B中与可能共面或异面，选项C中与的位置不确定，选项D中与的位置关系不确定．【详解】对于A，直线平面，，则或，A正确；对于B，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，∴B错误；对于C，直线平面，直线平面，且，则或与相交或或，∴C错误；对于D，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，∴D错误．故选：A．8. 如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+λy2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）解：由y=|x|﹣2可得，x≥0时，y=x﹣2；x＜0时，y=﹣x﹣2，∴函数y=|x|﹣2的图象与方程x2+λy2=4的曲线必相交于（±2，0），如图．所以为了使函数y=|x|﹣2的图象与方程x2+λy2=4的曲线恰好有两个不同的公共点，则将y=x﹣2代入方程x2+λy2=4，整理可得（1+λ）x2﹣4λx+4λ﹣4=0，当λ=﹣1时，x=2满足题意，由于△＞0，2是方程的根，∴＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选A．本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，A．﹣B．﹣C．﹣ i D．﹣ i参考答案：A【考点】复数求模．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，则答案可求．【解答】解：由（4+3i）z=|3﹣4i|，得，∴z的虚部为﹣．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．10. 下列三个数：a=ln，b=lnπ﹣π，c=ln3﹣3，大小顺序正确的是（）A． a＞c＞b B． a＞b＞c C． b＞c＞a D． b＞a＞c参考答案：A考点：对数值大小的比较．专题：导数的综合应用．分析：令f（x）=lnx﹣x，利用导数研究其单调性即可得出．解答：解：令f（x）=lnx﹣x，则f′（x）==，当x＞1时，f′（x）＜0，∴当x＞1时，函数f（x）单调递减．∵，a=ln，b=lnπ﹣π，c=ln3﹣3，∴a＞c＞b．故选：A．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列命题：(1)定义在上的函数为奇函数，则的图像关于点（1，0）成中心对称；(2) 函数定义在上，若为偶函数，则的图像关于直线对称；(3)既是奇函数又是偶函数的函数一定是；(4)函数无奇偶性.其中正确命题的序号为__________________.参考答案：答案：（1）12. 已知数列满足，若则的所有可能的取值为．参考答案：4,7,10略13. 已知单位向量_______.参考答案：3解得14.若，则的值是 .参考答案：答案：15. 如图,是圆的直径,点在圆上,延长到使,过作圆的切线交于．若,则_________．参考答案：216. 函数的图象恒过定点A ，若点A 在直线上，则的最小值为.参考答案： 9 略17. 设不等式组，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年河南省新乡市卫辉上乐村第一中学高三数学文模拟试卷含解析
2020年河南省新乡市卫辉上乐村第一中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设定义在区间上的函数是奇函数（），则的取值范围是A． B． C．D．参考答案：A2.图l是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为、、…、(如表示身高(单位：)在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～190(含160，不含190)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A．B．C．D．参考答案：答案：A3. 设a为大于1的常数，函数若关于x的方程恰有三个不同的实数解，则实数b的取值范围是A．0＜b≤1 B．0＜b＜1 C．0≤b≤1 D．b＞1．参考答案：A4. 给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；2J：命题的否定．【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是?p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．【解答】解：∵?p是q的必要而不充分条件，∴q是?p的充分不必要条件，即q??p，但?p不能?q，其逆否命题为p??q，但?q不能?p，则p是?q的充分不必要条件．故选A．5. 若，，则一定有（）A、B、C、D、参考答案：B6. （理）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱B1C1、AD的中点，直线AD与平面BMD1N 所成角的余弦值为（）A． B． C．D．参考答案：B7. 已知双曲线=1的一个焦点F的坐标为（-5，0），则该双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】利用焦点的坐标，将双曲线的方程求出来，再求出其渐近线方程. 【详解】双曲线的一个焦点为由得，解得双曲线方程为：,双曲线的渐近线方程为.故选A项.8. 已知向量a＝(sin x，cos x)，向量b＝(1，)，则|a＋b|的最大值为()A．1 B. C．3 D．9参考答案：C9. 设全集，集合，集合，则为A、 ;B、 ;C、;D、;参考答案：B略10. 在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为A． B．2 C． D．4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________.参考答案：3【详解】∵f (x )＝∴f (－2)=，∴f (f (－2))＝f ()= 故答案为：3点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰.本题解答分两个层次：首先求出f (－2) 的值，进而得到f (f (－2))的值.12. 某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据（单位：百万元），根据下表求出y 关于x 的线性回归方程为，则表中a的值为．参考答案：54，由回归方程可知 ，.13. （5分）（2015?淄博一模）对于函数f （x ），若存在区间A=[m ，n]，使得{y|y=f （x ），x∈A}=A，则称函数f （x ）为“同域函数”，区间A 为函数f （x ）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x ）=cosx ；②f（x ）=x 2﹣1；③f（x ）=|x 2﹣1|；④f（x ）=log 2（x ﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是 （请写出所有正确的序号）参考答案：①②③【考点】： 函数的值域．【专题】： 函数的性质及应用．【分析】： 根据同域函数及同域区间的定义，再根据函数值域的求解即可找到①②③三个函数的一个同域区间，而通过判断f （x ）和函数y=x 交点的情况，容易判断函数④不存在同域区间．解：①f（x ）=，x∈[0，1]时，f （x ）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②f（x ）=x 2﹣1，x∈[﹣1，0]时，f （x ）∈[﹣1，0]，所以②存在同域区间； ③f（x ）=|x 2﹣1|，x∈[0，1]时，f （x ）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④f（x ）=log 2（x ﹣1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x 是否有两个交点； 而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间． 故答案为：①②③．【点评】： 考查对同域函数及同域区间的理解，二次函数、余弦函数的值域的求解，知道通过判断函数f （x ）和函数y=x 图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．14. 函数的图像，其部分图像如图所示，则_________.参考答案：由图象可知，所以周期，又，所以。
2020年河南省新乡一中高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)
2020年河南省新乡一中高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|−3<x<−1}，B={x|x2−4x−12≤0}，则A∩B=()A. [−2,−1)B. (−2,−1)C. (−1,6]D. (−3,−1)2.已知复数z=2−i，z−为z的共轭复数，则(1+z)⋅z−=()A. 5+iB. 5−iC. 7−iD. 7+i3.已知向量a⃗=(0,2)，b⃗ =(2√3,x)，且a⃗与b⃗ 的夹角为π3，则x=()A. −2B. 2C. 1D. −l4.若x，y满足约束条件{x−y≤0x+y≤2x+1≥0，则z=y+2x+3的最大值为()A. 12B. 34C. 52D. 35.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是()A. i≤3?B. i≤4?C. i≤5?D. i≤6?6.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=3−2x，则不等式f(x)>0的解集为()A. (−32,32) B. (−∞,−32)∪(32,+∞)C. (−∞,−32)∪(0,32) D. (−32,0)∪(32,+∞)7.某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5.现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有()A. 1人B. 2人C. 5人D. 6人8.已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)与直线ya−xb=1交于A，B两点焦点P(0,−c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为()A. √5−12B. √3−12C. √3+14D. √5+149.将函数f(x)=sin3x−√3cos3x+1的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：①它的图象关于直线x=5π9对称；②它的最小正周期为2π3③它的图象关于点(11π18,1)对称；④它在[5π3,19π9]上单调递增．其中所有正确结论的编号是()A. ①②B. ②③C. ①②④D. ②③④10.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1,AB=√2AA1，E，F分别为AB，BC的中点，异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m，则()A. 直线A1E与直线C1F异面，且m=√23B. 直线A1E与直线C1F共面，且m=√23C. 直线A1E与直线C1F异面，且m=√33D. 直线A1E与直线C1F共面，且m=√3311.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为()(注：12+22+32+⋯+n2= n(n+1)(2n+1)6)A. 1624B. 1198C. 1024D. 156012.已知函数f(x)=ae x(a>0)与g(x)=2x2−m(m>0)的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m变化时，实数a的取值范围为()A. (4e2,+∞) B. (8e2,+∞) C. (0,4e2) D. (0,8e2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}是等比数列，a1=1，a3=36，则a2=______．14.欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱入孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为______．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为______．16.如图，在三棱锥A−BCD中，点E在BD上，EA=EB=EC=ED，BD=√2CD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动(不含端点)，且AM=CN，则当四面体C−EMN的体积取得最大值23时，三棱锥A−BCD的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(sinA+sinB)(a−b)+bsinC=csinC.点D为边BC的中点，且AD=√7．(1)求A；(2)若b=2c，求△ABC的面积．18.某校高三(1)班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重．为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晩读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成如表：(2)依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．,n=a+b+c+d．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，ABCD是正方形，点P在以BC为直径的半圆弧上(P不与B，C重合)，E为线段BC的中点，现将正方形ABCD沿BC折起，使得平面ABCD⊥平面BCP．(1)证明：BP⊥平面DCP．(2)若BC=2，当三棱锥D−BPC的体积最大时，求E到平面BDP的距离．20. 设抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，AB 为过焦点F 且垂直于x 轴的抛物线C的弦，已知以AB 为直径的圆经过点(−1,0)． (1)求p 的值及该圆的方程；(2)设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF ⊥NF ． 21. 已知函数f(x)=(x+1)(1+lnx)x−3m ，g(x)=−mx +lnx(m ∈R)．(1)求函数g(x)的单调区间与极值．(2)当m >0时，是否存在x 1，x 2∈[1,2]，使得f(x 1)>g(x 2)成立？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．22. 在直角坐标系xOy 中，已知点M(1,√32)，C 1的参数方程为{x =12+t y =√3t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为3ρ2=2+cos 2θ. (1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设曲线C 1与曲线C 2相交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．23.已知函数f(x)=|x−3|+|x−1|．(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)设f(x)的最小值为M，正数a，b满足a2+4b2=M，证明：a+2b≥4ab．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵集合B={x|x2−4x−12≤0}={x|−2≤x≤6}，集合A={x|−3<x<−1}，∴A∩B={x|−2≤x<−1}，故选：A．先求出集合B，再利用集合的交集运算即可求出A∩B．本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2.答案：D解析：解：∵z=2−i，z−=2+i，则(1+z)⋅z−=(3−i)(2+i)，=7+i．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算及共轭复数的概念进行化简，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3.答案：B解析：解：∵向量a⃗=(0,2)，b⃗ =(2√3,x)，且a⃗与b⃗ 的夹角为π3，∴a⃗⋅b⃗ =0+2x=2⋅√12+x2⋅cosπ3，即2x=√12+x2，求得x=2，故选：B．由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求出x的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．4.答案：C解析：解：因为z=y+2x+3表示经过点D(−3,−2)和可行域内的点(x,y)的直线的斜率；画出可行域；可知可行域的三个顶点分别为A(−1,3)，B(−1,−1)，C(1,1)；且K AD=52；故z≤52．即z=y+2x+3的最大值为52．故选：C．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．5.答案：C解析：【分析】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题． 按照程序框图的流程写出前几次循环的结果判断出当i 为何值时输出，得到判断框中的条件． 【解答】解：初始值i =9，S =1模拟执行程序框图，可得S =10，i =8不满足条件，继续循环； S =18，i =7不满足条件，继续循环； S =25，i =6不满足条件，继续循环；S =31，i =5，此时，由题意，应该满足条件，退出循环，输出S 的值为31． 故判断框中应填入的关于i 的条件是i ≤5？ 故选C ． 6.答案：C解析：解：根据题意，f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=3−2x ，则其图象如图： 且f(32)=f(−32)=0，则不等式f(x)>0的解集为(−∞,−32)∪(0,32)；故选：C ．根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得f(x)的图象，据此分析可得答案． 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，属于基础题． 7.答案：C解析：解：设这两项成绩均合格的人数为x ，则立定跳远合格100米跑不合格的人数为30−x ， 则30−x +35+5=45， 得x =25，即这两项成绩均合格的人数是25人，则抽出来复测的同学中两项都合格的有9×2545=5，故选：C ．设这两项成绩均合格的人数为x ，根据集合关系建立方程进行求解即可，再根据分层抽样即可求出． 本题主要考查集合关系的应用和分层抽样的问题，属于基础题． 8.答案：A解析：解：椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)与直线y a −xb =1交于A ，B 两点焦点P(0,−c)，其中C 为半焦距，若△ABF 是直角三角形，不妨设A(0,a)，B(−b,0)， 则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得b 2=ac ，即a 2−c 2=ac ，即e 2+e −1=0，e ∈(0,1)， 故e =√5−12．故选：A．利用已知条件求出A、B坐标，结合三角形是直角三角形，推出a、b、c关系，然后求解离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．9.答案：B解析：解：将函数f(x)=sin3x−√3cos3x+1=2sin(3x−π3)+1的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)=2sin(3x+π2−π3)+1=2sin(3x+π6)+1的图象．令x=5π9，求得g(x)=2sin11π6+1=0，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x=5π9对称，故①不正确；它的最小正周期为2π3，故②正确；当x=11π18时，g(x)=1，故g(x)的图象关于点(11π18,1)对称，故③正确；在[5π3,19π9]上，3x+π6∈[5π+π6,6π+π2]，g(x)没有单调性，故④错误，故选：B．由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.答案：B解析：解：连结EF，A1C1，C1D，DF，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF//A1C1，∴直线A1E与直线C1F共面，由题意得AB1//C1D，∴异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F，设AA1=√2，则AB=√2AA1=2，则DF=√5，C1F=√3，C1D=√6，由余弦定理得异面直线AB1与C1F所成角的余弦值：m=cos∠DC1F=2×√3×√6=√23．综上：直线A1E与直线C1F共面，且m=√23．故选：B．连结EF，A1C1，C1D，DF，推导出EF//A1C1，从而直线A1E与直线C1F共面，由题意得AB1//C1D，得异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F，由此能推导出直线A1E与直线C1F共面，且m=√23．本题考查两直线的位置关系的判断，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.答案：C解析：解：设该数列为{a n}，令b n=a n+1−a n，设{b n}的前n项和为B n，又令c n=b n+1−b n，设{c n}的前n项和为C n．易c n =n ，C n =n 2+n 2，进而得b n+1=3+C n =3+n 2+n 2，所以b n =3+n(n−1)2=n 22−12n +3，则B n =n(n+1)(n−1)6+3n ，所以a n+1=1+B n ，所以a 19=1024． 故选：C ．设该数列为{a n }，令b n =a n+1−a n ，设{b n }的前n 项和为B n ，又令c n =b n+1−b n ，设{c n }的前n 项和为C n .运用等差数列的通项公式和求和公式，以及前n 项自然数的平方和公式，计算可得所求． 本题考查数列的求和，注意运用等差数列的通项公式和求和公式，考查构造数列法，化简运算能力，属于中档题． 12.答案：D解析：解：设切点为A(x 0,y 0)，所以{ae x 0=2x 02−m ae x 0=4x 0，整理得{4x 0=2x 02−m x 0>0m >0，由m =2x 02−4x 0>0，解得x 0>2．由上可知a =4x 0e x 0，令ℎ(x)=4x e x ，则ℎ′(x)=4(1−x)e x ．因为x >2，所以ℎ′(x)=4(1−x)e x<0,ℎ(x)=4x e x在(2,+∞)上单调递减，所以0<ℎ(x)<8e 2，即a ∈(0,8e 2)．故选：D ．先设出切点，根据切点是公共点且切点处导数值相等构造方程，由此将m 用切点的横坐标x 0表示出来，根据m 的范围求出x 0的范围，再将a 表示成x 0的函数，利用导数求其值域即可．本题考查了利用导数研究切线问题和研究函数值域的基本思路，属于中档题．注意计算要准确． 13.答案：±6解析：解：设{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=36，得q 2=36， 所以q =±6， 故a 2=±6． 故答案为：±6结合已知及等比数列的通项公式可求公比q ，进而可求本题主要考查了等比数列的》通项公式的简单应用，属于基础试题14.答案：14π解析：解：正方形的面积S =0.5×0.5=0.25，若铜钱的直径为2cm ，则半径是1，圆的面积S =π×12=π，则随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率P =0.25π=14π，故答案为：14π．求出圆和正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应圆和正方形的面积是解决本题的关键．比较基础．15.答案：√3解析：解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F(2,0)，p=4，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，即c=2，∵设P(m,n)，由抛物线定义知：|PF|=m+p2=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为(3,±2√6)∴{a2+b2=49a2−24b2=1解得：a=1，b=√3，则渐近线方程为y=±√3x，即有点F到双曲线的渐近线的距离为d=√3√3+1=√3，故答案为：√3．根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2−a2，解得a，b，得到渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到．本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．16.答案：32π解析：解：设ED=a，则CD=√2a.可得CE2+DE2=CD2，∴CE⊥ED．当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C−EMN的体积才有可能取得最大值，设AM=x．则四面体C−EMN的体积=13×(a−x)×12×a×x×√22=√212ax(a−x)≤√212a(x+a−x2)2=23，当且仅当x=a2时取等号．解得a=2√2．此时三棱锥A−BCD的外接球的表面积=4πa2=32π．故答案为：32π．设ED=a，则CD=√2a.可得CE⊥ED.当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C−EMN的体积才有可能取得最大值，设AM=x.则四面体C−EMN的体积=13×(a−x)×12×a×x×√22=√212ax(a−x).利用基本不等式的性质可得最大值，进而得出结论．本题考查了直角三角形的性质、三棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质、球的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)△ABC中，∵(sinA+sinB)(a−b)+bsinC=csinC；∴(sinA+sinB)(a−b)=(sinC−sinB)c，由正弦定理可得，(a+b)(a−b)=(c−b)c，化简可得，b2+c2−a2=bc，由余弦定理可得，cosA=b2+c2−a22bc =12，∵0<A<π，∴A=π3，(2)∵b2+c2−a2=bc，b=2c，∴a2=3c2=b2−c2，∴B=π2，C=π6；；∴在直角△BAD中，AD2=c2+(a2)2⇒7=c2+34c2⇒c=2，a=2√3；∴S△ABC=12ac=2√3．解析：(1)由已知结合正弦定理可得，b2+c2−a2=bc，然后结合余弦定理可求cos A，进而可求A；(2)先结合第一问的结论求出∴B=π2，C=π6；再在直角△BAD中求出边长即可求出结论．本题综合考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式等知识的综合应用，属于中档试题．18.答案：解：(1)因为测试的优秀率为30%，所以测试成绩优秀的人数为50×30%=15，由表中数据知，优秀分数线应定为125分．(2)由(1)知，测试成绩优秀的学生有50×0.3=15人，其中“赞成的”有10人；测试成绩不优秀的学生有50−15=35人，其中“赞成的”有22人；填写2×2列联表如下：赞成不赞成合计优秀10515不优秀221335合计321850计算K2=50×(10×13−5×22)232×18×15×35=25378≈0.066<2.706，因此，没有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系．解析：(1)计算测试成绩优秀的人数，结合表中数据得出结论；(2)由题意计算并填写列联表，求出观测值，对照临界值得出结论．本题考查了列联表与独立性检验问题，是基础题．19.答案：(1)证明：因为平面ABCD⊥平面BPC，ABCD是正方形，所以DC⊥平面BPC．因为BP⊂平面BPC，所以BP⊥DC．因为点P在以BC为直径的半圆弧上，所以BP⊥PC．又DC∩PC=C，所以BP⊥平面DCP．(2)解：显然，当点P位于BC⏜的中点时，△BCP的面积最大，三棱锥D−BPC 的体积也最大．因为BC =2，所以PE =1，所以△BEP 的面积为12×1×1=12，所以三棱锥D −BEP 的体积为13×12×2=13．因为BP ⊥平面DCP ，所以BP ⊥DP ，DP =√(2√2)2−(√2)2=√6，△BDP 的面积为12×√2×√6=√3． 设E 到平面BDP 的距离为d ，由13×√3×d =13，得d =√33， 即E 到平面BDP 的距离为√33．解析：(1)先根据面面垂直得到DC ⊥平面BPC ⇒BP ⊥DC ；再结合BP ⊥PC 即可证明结论；(2)先分析何时最大，再结合体积相等即可求解本题主要考查线面垂直的证明以及点到面的距离求解；一般求点到面的距离常用体积相等． 20.答案：解：(1)易知A 点的坐标为(p 2,±p)，所以p =p 2−(−1)，解得p =2，又圆的圆心为F(1,0)，所以圆的方程为(x −1)2+y =4；(2)证明：易知直线MN 的斜率存在且不为0，设M(−1,y 0)，MN 的方程为y =k(x +1)+y 0，代入C 的方程得ky 2−4y +4(y 0+k)=0， 令△=16−16k(y 0+k)=0.得y 0+k =1k ，所以ky 2−4y +4(y 0+k)=k 2y 2−4ky+4k =0，解得y =2k ， 将y =2k 代入C 的方程，得x =1k 2，即N 点的坐标为(1k 2,2k )，所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,y 0)，FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1k 2−1,2k)， 所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2−2k 2+y 0⋅2k =2−2k 2+(1k −k)⋅2k=0 故MF ⊥NF ．解析：(1)易知A(p 2,±p)，所以p =p 2−(−1)，即可解得p 的值，得到圆心坐标为(1,0)，半径为2，从而求出改圆的方程；(2)设M(−1,y 0)，MN 的方程为y =k(x +1)+y 0，与抛物线方程联立，由△=0可得令△=0可得y 0+k =1k ，所以y =2k ，与抛物线方程联立可求出N 点的坐标，从而得到FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故MF ⊥NF ． 本题主要考查了抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，考查了平面向量的基本知识，是中档题． 21.答案：解：(1)g′(x)=−m +1x ，x >0，当m≤0时，g′(x)>0恒成立，函数g(x)的单调增区间为(0,+∞)，无单调减区间，所以不存在极值，当m>0时，当0<x<1m 时，g′(x)>0此时函数单调递增，当x>1m时，g′(x)<0，此时函数，单调递减故函数g(x)的单调增区间为(0,1m )，单调减区间为(1m,+∞)，此时函数g(x)在x=1m 处取得极大值，极大值为g(1m)=−1−lnm，无极小值，综上，当m≤0时，函数g(x)的单调增区间为(0,+∞)，无单调减区间，不存在极值．当m>0时，函数g(x)的单调增区间为(0,1m )，单调减区间为(1m,+∞)，极大值为−1−lnm，无极小值，(2)当m>0时，假设存在x1，x2∈[1,2]，使得f(x1)>g(x2)成立则对x∈[1,2]，满足f(x)max>g(x)min，∵f′(x)=x−lnxx2x∈[1,2]，令ℎ(x)=x−lnx，x∈[1,2]，则ℎ′(x)=1−1x≥0，所以ℎ(x)在[1,2]上单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(1)=1，所以f′(x)>0，所以f(x)在[1,2]上单调递增，所以f(x)max=f(2)=3(1+ln2)2−3m，由(1)可知，①当0<1m≤1时，即m≥1时，函数g(x)在[1,2]上单调递减，所以g(x)的最小值是g(2)=−2m+ln2，②当1m ≥2，即0<m≤12时，函数g(x)在[1,2]上单调递增，所以g(x)的最小值是g(1)=−m，③当1<1m <2时，即12<m<1时，函数g(x)在[1,1m]上单调递增，在[1m,2]上单调递减．又g(2)−g(1)=ln2−m，，所以当12<m<ln2时，g(x)在[1,2]上的最小值是g(1)=−m．当ln2≤m<1时，g(x)在1，2]上的最小值是g(2)=ln2−2m，所以当0<m<ln2时，g(x)在[1,2]上的最小值是g(1)=−m，故3(1+ln2)2−3m>−m，解得3(1+ln2)4>m，所以ln2>m>0，当ln2≤m时，函数g(x)在[1,2]上的最小值是g(2)=ln2−2m，故3(1+ln2)2−3m>ln2−2m，解得m<3+ln22，所以ln2≤m <3+ln22．故实数m 的取值范围是(0,3+ln22).解析：(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调区间与极值，(2)由题意可得，对x ∈[1,2]，满足f(x)max >g(x)min ，结合导数及单调性关系可求．本题综合考查了导数与单调性的关系及函数的存在性问题的求解，属于难题．22.答案：解：(1)由C 1的参数方程{x =12+t y =√3t(t 为参数)，消去参数t ，可得y =√3x −√32， 由曲线C 2的极坐标方程3ρ2=2+cos 2θ，得2ρ2+ρ2cos 2θ=3，由x =ρcosθ，x 2+y 2=ρ2，所以C 2的直角坐方程为3x 2+2y 2=3，即x 2+2y 23=1．(2)因为M(1,√32)在曲线C 1上， 故可设曲线C 1的参数方程为{x =1+12t y =√32+√32t(t 为参数)， 代入3x 2+2y 2=3，化简可得3t 2+8t +2=0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则△=64−4×3×2>0，且t 1+t 2=−83，t 1t 2=23，所以1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1||t 2|=4．解析：(1)由代入消元法，消去t 可得C 1的普通方程；由x =ρcosθ，x 2+y 2=ρ2，代入计算可得C 2的直角坐标方程；(2)判断M 在C 2上，设出曲线C 1的参数的标准方程，代入曲线C 2的直角坐标方程，再由韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求值．本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程的运用，注意参数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．23.答案：解：(1)f(x)=|x −3|+|x −1|={4−2x,x ≤12,1<x <32x −4,x ≥3．∵f(x)≤6，∴{x ≤14−2x ≤6或{x ≥32x −4≤6或{1<x <32≤6， 即以−1≤x ≤1或3≤x ≤5或1<x <3，∴不等式的解集为[−1,5]．(2)∵(x)=|x +3|+|x −1|≥|x −3−x +1|=2，∴M =2，∵a >0，b >0，∴要证a +2b ≥4ab ，只需证(a +2b)2≥16a 2b 2，即证a 2+4b 2+4ab ≥16a 2b 2，∵a2+4b2=2，∴只要证2+4ab≥16a2b2，即证8(ab)2−2ab−1≤0，即证(4ab+1)(2ab−1)≤0，∵4ab+1>0，∴只需证ab≤1，2∵2=a2+4b2≥4ab，∴ab≤1成立，2∴a+2b≥4ab．解析：(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤6利用零点分段法解不等式即可；(2)先利用绝对值三角不等式求出f(x)的最小值M，然后利用分析法证明不等式即可．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用分析法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
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数学试卷 一、选择题 1.312iii ( ) A. 3i B. 3i C. 3i D. 3i 2.已知集合,|2,,|4MxyxyNxyxy,则MN ( )
A. 3,1xy B. 3,1 C. 3,1 D. (3,1) 3.函数2cosπxfxx的图象大致是( )
A. B. C. D. 4.设向量,abrr满足2,3ababrrrr,则2abrr ( ) A. 6 B. 32 C. 10 D. 42
5.过点2,2且与双曲线2212xy有共同渐近线的双曲线方程是( )
A. 22124yx B. 22142xy C. 22142yx D. 22124xy 6.ABC的内角,,ABC,的对边分别为,,abc,若,7,33Ccba,则ABC的面积为( ) A. 234
B. 334 C. 2 D. 234 7.《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事:“今有良马与驽马发长安,至齐. 齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里,日增一十二里;驽马初日行九十七里,日减二里.”为了计算每天良马和驽马所走的路程之和,设计框图如下图.若输出的S的值为350,则判断框中可填( ) A. 6?i B. 7?i C. 8?i D. 9?i 8.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发红包的总金额为8?元,被随机分配为1.72元, 1.83元, 2.28元, 1.55元, 0.62元, 5份供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3?元的概率是( )
A. 310
B. 25 C. 12 D. 35 9.直三棱柱111ABCABC中, 1,ABACABACAA,则直线1AB与1AC所成角的大小为( ) A. 30o B. 60o C. 90o D. 120o
10.将函数πcos2fxx图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得
到的图象向左平移6个单位长度,所得函数图象关于2x对称,则 ( ) A. 5π12 B. 3 C. 3 D. 512 11.已知函数 fx为定义在3,2t上的偶函数,且在3,0上单调递减,则满足22235tfxxfx
的 x的取值范围( )
A. 1, B. 0,1 C. 1,2 D. 0,2 12.已知12,FF是椭圆 C的两个焦点, P是 C上的一点,若12PFPF,且2160PFF,则 C的离心率为( ) A. 31 B. 23 C. 312 D. 312 二、填空题 13.已知函数2ln24fxxxx,则函数 fx的图象在1?x处的切线方程为__________.
14.已知实数 ,xy满足20{102xyxy,则目标函数2uxy的最大值是__________. 15.已知sin+cos=1,cos+sin=3,则sin+=__________. 16.直三棱柱111ABCABC的底面是直角三角形,侧棱长等于底面三角形的斜边长,若其外接球的
体积为323,则该三棱柱体积的最大值为________. 三、解答题 17.设*()nanN是各项均为正数的等比数列,且2433,18aaa.
1.求na的通项公式. 2.若3lognnnbaa,求12nbbb. 18.经调查, 3?个成年人中就有一个高血压,那么什么是高血压?血压多少是正常的?经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查,得出随年龄变化,收缩压的正常值变化情况如下表:
年龄 x 28 32 38 42 48 52 58 62
收缩压y (单位mmHg) 114 118 122 127 129 135 140 147
其中: $1221,,niiiniixynxybaybxxnx$$8821117232,47384iiiiixxy.
1.请画出上表数据的散点图. 2.请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于 x的线性回归方程ˆˆˆybxa
;(ˆˆ,ab,的值精确
到0.01) 3.若规定,一个人的收缩压为标准值的0.91.06倍,则为血压正常人群;收缩压为标准值的1.061.12倍,则为轻度高血压人群;收缩压为标准值的1.121.20倍,则为中度高血压人群;收缩压为标准值的1.20倍及以上,则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg的70岁的老人,属于哪类人群? 19.如图,矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直, 60ABE,G为BE的中点. 1.求证: AG平面ADF. 2.若3,1ABBC,求三棱锥DCAG的体积.
20、设椭圆 ,离心率 ,短轴 ,抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点为 . 1.求椭圆和抛物线的方程.
2.设坐标原点为 为抛物线上第一象限内的点, 为椭圆上一点,且有 ,当线段 的中点在 轴上时,求直线 的方程. 21.已知函数fxxlnx.
1.证明: 1fxx. 2.若当1xe时, 21fxaxxa,求实数a的取值范围.
22.已知平面直角坐标系 xOy中,过点1,2P的直线l的参数方程为1cos45{2sin45xtyt (t为参数),以原点 O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C的极坐标方程为sintan20aa,直线l与曲线 C相交于不同的两点,MN.
1.求曲线 C的直角坐标方程和直线l的普通方程. 2.若PMMN,求实数a的值. 23.已知函数21fxxax. 1.当时2?a,求30fx的解集. 2.当[1,3]x时, 3fx恒成立,求a的取值范围. 参考答案 1.答案：B 解析：312131331iiiiiiiii,故选B. 2.答案：D 解析：∵集合,|2,,|4MxyxyNxyxy,
∴23,|,|3,141xyxMNxyxyxyy,故选D. 3.答案：A 解析：由题意得函数 fx的定义域为,00,,
∵2cosπxfxfxx, ∴函数 fx为偶函数,其图象关于y轴对称,∴可排除C,D. 又当0x时, cosπ1x,20x,∴fx,所以可排除B,故选A. 4.答案：D 解析：∵向量,abrr满足2,3ababrrrr,
∴222323abrr,解得2abrr. 则22222442434242abababrrrrrr. 故选D. 5.答案：A
解析：设与双曲线2212xy有共同渐近线的双曲线方程为222xy, 又因为该双曲线过点2,2,所以222222, 即2222xy,即22124yx为所求双曲线方程.故选A. 6.答案：B 解析：2222abccosCab,即222π7cos32abab,2221722abab
,227abab,22337aaaa,解得 1a,即
3b,11333sin132224ABCSabC,故选B.
7.答案：B 解析：模拟程序的运行,可得0,1Si;执行循环体, 290,2Si; 不满足判断框内的条件,执行循环体, 300,3Si; 不满足判断框内的条件,执行循环体, 310,4Si; 不满足判断框内的条件,执行循环体, 320,5Si; 不满足判断框内的条件,执行循环体, 330,=6Si; 不满足判断框内的条件,执行循环体, 340,=7Si; 不满足判断框内的条件,执行循环体, 350,=8Si; 由题意,此时,应该满足判断框内的条件,退出循环,输出S的值为350. 可得判断框中的条件为7?i.故选B. 8.答案：D 解析：由题意,所发红包的总金额为8?元,被随机分配为1.72元, 1.83元, 2.28元, 1.55元, 0.62
元, 5份,供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为10n,甲乙二人抢到的金额之和不低于3?元包含的基本事件有6个,分别为
(1.72,1.83),1.72,2.28,1.72,1.55,1.83,2.28,1.83,1.55,2.28,1.55,所以甲乙二人抢到的金额之和
不低于3?元的概率为63105P,故选D. 9.答案：B 解析：因为几何体是直三棱柱, 11//BCBC,直三棱柱111ABCABC中,侧棱1AA平面ABC,ABAC,连结1AC,11ACACO,取BC的中点H,连结OH,则直线1AB与1AC所
成的角为AOH.
设11ABACAA,2BC.易得22AOAHOH, 三角形AOH是正三角形,异面直线所成角为60o.故选B. 10.答案：B
解析：函数cos2fxx图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到
1cos2yx
,再向左平移6后得到1cos26yx,因为1cos26yx的图象
关于于2x对称, 1226k,解得3k,当0?k时, 3,故选B. 11.答案：C 解析：因为函数 fx为定义在3,2t上的偶函数,所以320,5tt,因为函数 fx为定
义在3,3上的偶函数,且在3,0上单调递减,所以22235tfxxfx等价于22231fxxfx,即2202313xxx≥≥,12x故选C.
12.答案：A 解析：12,FF是椭圆 C的两个焦点, P是 C上的一点,若12PFPF,且2160PFF,可得椭圆
的焦点坐标2,0Fc,所以13c,c22P.