专题05 一元函数的导数及其应用(知识梳理)(学生版)

专题05 一元函数的导数及其应用（知识梳理）
一、基本概念
1、导数定义：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率x
x f x x f x f x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，我们称它为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0x f '或0|x x y ='，即x x f x x f x f x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim
)(00000. 2、基本初等函数的八个必记导数公式
3(1))()(])()([x g x f x g x f '±'='±； (2))()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '⋅+⋅'='⋅；
(3)[]
2)()()()()(])()([x g x g x f x g x f x g x f '-'='(0)(≠x g ). 特别提示：)(])([x f C x f C '⋅='⋅，即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数.
4、复合函数的导数
(1)复合函数定义：一般地对于两个函数)(x f y =和)(x g u =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，就称这个函数为)(x f y =和)(x g u =的复合函数，记作)]([x g f y =.
(2)复合函数求导法则：复合函数)]([x g f y =的导数和函数)(x f y =、)(x g u =的导数的关系为x u x u y y '⋅'='，即y 对
x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.
例1-1．求函数23x y =在1=x 处的导数.
例1-2．求导：①c x f =)(；②x x f =)(；③2)(x x f =；④x
x f 1)(=
；⑤x x f =)(.
变式1-1．若物体的运动方程是t t t s sin )(⋅=，则物体在2=t 时的瞬时速度为( ).
A 、2sin 22cos +
B 、2cos 2sin 2-
C 、2cos 22sin +
D 、2sin cos 2-θ
变式1-2．如果函数51
)(2++=x x x f ，则=')1(f ( ).
A 、0
B 、1
C 、5
D 、不存在
例1-3．函数x x
y cos =的导数是 .
变式1-3．函数121
)(3++=x x x f 的导数是 .
变式1-4．设x x x f sin 1)(2
-=，则=')(x f ( ).
A 、x x
x x x 22sin cos )1(sin 2---
B 、x x
x x x 22sin cos )1(sin 2-+-
C 、x x x x sin )
1(sin 22-+-
D 、x x x x sin )
1(sin 22---
变式1-5．函数x e x x f ⋅+=)12()(的导函数为)(x f '，则=')0(f (
). A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
例1-4．函数)()(b x a x y -⋅-=在a x =处的导数为 .
变式1-6．曲线2)1(ax x y -⋅=(0>a )，且5|2='=x y ，则实数a 的值为( ).
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
变式1-7．求导：(1)x y tan =； (2))3()2()1(+⋅+⋅+=x x x y .
能力提升：已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+=)1)(1(2
1)1)(1(21)(2x x x x x f ，判断)(x f 在1=x 处是否可导？
例1-5．函数23)2()(x x f +=的导数为 .
变式1-8．已知2)2cos 1(x y +=，则='y .
能力提升：求导：(1) cos )1(12x
x x y +-=
；(2)32)sin (x b ax y ω-=；(3))1(2+=x f y .
二、导数的几何意义
1、切线的斜率：函数)(x f 在0x 处的导数就是曲线)(x f 在点))((00x f x P ，处的切线的斜率，因此曲线)(x f 在点P 处的切线的斜率)(0x f k '=，相应的切线方程为)()()(000x x x f x f y -⋅'=-.
例2-1．曲线122+-=x y 在点)10(，的切线斜率是( ).
A 、4-
B 、0
C 、2
D 、不存在
变式2-1．曲线221x y =在点)211(，处切线的倾斜角为( ). A 、4π-
B 、0
C 、
4π D 、4
5π 例2-2．曲线)1ln 3(+⋅=x x y 在点)11(，处的切线方程为 .
变式2-2．已知)(x f 为偶函数，当0≤x 时，x e x f x -=--1)(，则曲线)(x f y =在点)21(，处的切线方程是 .
例2-3．已知点)11(，-P ，点)42(，Q 是曲线2x y =上的两点，求与直线PQ 平行的曲线的切线方程.
变式2-3．由曲线3x y =在点)11(，处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 .
例2-4．函数1)(23+--=x x x x f 的图像上有两点)10(，A 和)01(，B ，在区间)10(，内求实数a ，使得函数)(x f 的图像在a x =处的切线平行于直线AB .
变式2-4．已知直线1+-=x y 是函数x e a
x f ⋅-=1)(图像的切线，则实数=a .
变式2-5．若曲线b ax x y ++=2在点)1(b ，处的切线方程是01=+-y x ，则( ).
A 、1-=a ，2-=b
B 、1-=a ，2=b
C 、1=a ，2-=b
D 、1=a ，2=b
三、导数与函数的联系
1、函数的单调性：在某个区间)(b a ，内，如果0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增.
在某个区间)(b a ，内，如果0)(<'x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减.
2、函数的极值：设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近所有的点x ，都有)()(0x f x f <，那么)(0x f 是函数的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；如果对0x 附近的所有的点都有)()(0x f x f >，那么)(0x f 是函数的一个极小值，记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称为极值.
3、函数的最值：将函数)(x f y =在][b a ，内的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
例3-1．若函数x ax x x f 1)(2+
+=在)21(∞+，上是增函数，则a 的取值范围是( ). A 、]01[，-
B 、)1[∞+-，
C 、]30[，
D 、)3[∞+，
变式3-1．若函数x ax x x f 1)(2+
+=在)2
1(∞+，上存在减区间，求实数a 的取值范围是( ). A 、)3(，-∞
B 、]01[，-
C 、]30[，
D 、)3[∞+，
例3-2．函数x x x a x f ln 2)1()(--=(R a ∈)，x
a x g -=)(，若至少存在一个]1[0e x ，∈，使得)()(00x g x f >成立，则实数a 的范围为( ).
A 、)0[∞+，
B 、)0(∞+，
C 、)1[∞+，
D 、)1(∞+，
变式3-2．设函数522
1)(23+--=x x x x f ，若对于任意]21[，-∈x 都有m x f <)(成立，求实数m 的取值范围.
例3-3．若对)0[∞+∈∀，、y x ，不等式2422++≤---+y x y x e e ax 恒成立，则实数a 的最大值是(
). A 、41
B 、21
C 、1
D 、2
变式3-3．已知函数x x x f ln )(⋅=.
(1)求)(x f 的最小值；
(2)若对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围.
例3-4．设函数56)(3+-=x x x f ，R x ∈.
(1)求)(x f 的单调区间和极值；
(2)若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围.
(3)已知当)1(∞+∈，x 时，)1()(-≥x k x f 恒成立，求实数k 的取值范围.
变式3-4．已知函数)1ln(2)(2x ax x f -+=(a 为实数).
(1)若)(x f 在1-=x 处有极值，求a 的值；
(2)若)(x f 在]23[--，上是增函数，求a 的取值范围.
变式3-5．已知函数x x x f ln 2
1)(2+=. (1)求函数)(x f 在]1[e ，上的最大值、最小值；
(2)求证：在区间)1[∞+，上，函数)(x f 的图像在函数33
2)(x x g =图像的下方.。