2015年北京市海淀区九年级上学期数学期中试卷与解析
2015-2016海淀区下发九年级期中考试复习资料解读
D 4D 1D 2D 3ABCE 3E 2E 112. 如图7所示，P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），……P n （x n ，y n ）在函数y =x4（x ＞0）的图象上，⊿OP 1A 1，⊿P 2A 1A 2，⊿P 3A 2A 3……⊿P n A n －1A n ……都是等腰三角形，斜边OA 1，A 1A 2……A n -1A n ，都在x 轴上，则y 1= ．y 1+y 2+…y n = ．12. 如图，正方形ABCD 的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E 、F 、G 、H 分别落在边AD 、AB 、BC 、CD 上，则DE 的长为 ．12、如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =6，BC = 8，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直作下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，C 1A 2，A 2C 2，…，A n C n ，则A 1C 1= ,A n C n ＝ ．8．如图，点A 在半径为3的⊙O 内，OA=3，P 为⊙O 上一点， 当∠OP A 取最大值时，P A 的长等于（ ）. A ．32B ．6C ．32D ．2312. 已知：如图，在Rt ABC △中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥ 于点E 1，联结1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作22D E AC ⊥于点2E ，联结2BE 交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，如此继续，可以依次得到点45、D D 、…、n D ，分别记112233△、△、△、BD E BD E BD E …、n n BD E △的面积为123、、、S S S …n S ．设△ABC 的面积是1, 则S 1= ， n S = （用含n 的代数式表示）.12. 如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A ′N= ; 若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（2n ,且n 为整数），则A ′N= （用含有n 的式子表示）ABCA 1A 2A 3 A 4A 5 C 1 C 2C 3 C 4 C 5 12题图 第2题12．如图，矩形纸片ABCD 中，6,10AB BC ==.第一次将纸片折叠，使点B与点D 重合，折痕与BD 交于点1O ；设1O D 的中点为1D ，第二次将纸片折叠使点B 与点1D 重合，折痕与BD 交于点2O ；设21O D 的中点为2D ，第三次将纸片折叠使点B 与点2D 重合，折痕与BD 交于点3O ，… .按上述方法折叠，第n 次折叠后的折痕与BD 交于点n O ，则1BO = ，n BO = ．……12. 如图，+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△的面积为，△的面积为，…，△的面积为，则= ；=____ （用含的式子表示）．12. 图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角,每条边都相等.如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形,其面积为2，则图3中线段AB 的长为 .BA图1 图2 图38．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是A ．222+B ．52C ．62D ．61O 1O 2O 1D 1D 2D 1O 2O 3O B AD B ADNM L MNL x xxxyyyyO OOO第8题图8. 如图在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，AB=2，D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线C A 于点E 。
北京市海淀区首都师范大学附属中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题
北京市海淀区首都师范大学附属中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题一、单选题1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．用配方法解方程2230x x +-=，下列变形正确的是（）A ．()212x +=-B ．()212x +=C ．()214x +=-D ．()214x +=3．如图，OA 交O 于点B AD ，切O 于点D ，点C 在O 上．若40A ∠=︒，则C ∠为（）A ．20︒B ．25︒C ．30︒D ．35︒4．平移抛物线()21y x =-使其顶点在原点，可以平移的方法是（）A ．向左1个单位B ．向右1个单位C ．向上1个单位D ．向下1个单位5．如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至点BC '，若90,2CC D C D ''∠=︒=，则线段BC '的长度为（）A ．4B ．C ．6D ．6．如图，A 是O 的直径，弦,AC AD 分别是O 的内接正六边形和内接正方形的一边．若1AC =，下列结论中错误的是（）A ．O 的直径为2B ．连接OD ，则OD AB ⊥C ． 3BDCD =D ．连接C ，则2AC CD=7．二次函数2y ax bx c =++自变量和函数值的部分对应值如下表所示．当3x m -≤≤时，y 的取值范围是8n y ≤≤，则m 的取值范围是（）x …-3-11…y…8n8…A ．3m ≥-B ．31m -≤≤C ．1m ≥-D ．11m -≤≤8．已知ABC V 内接于O ，2BC =．点A 从圆周上某一点开始沿圆周运动，设点A 运动的路线长为l ，ABC V 的面积为S ，S 随l 变化的图象如图所示，其中21l l -=．①点A 在运动的过程中，始终有45BAC ∠=︒；②点M 1+；③存在4个点A 的位置，使得12S =．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题9．点()6,5-关于原点的对称点的坐标是．10．若关于x 的一元二次方程2x k =有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为．11．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转30︒得到ADE V ，点B 的对应点D 落在边BC 上，ADE ∠的度数为．12．抛物线23y ax bx =++的顶点为()2,A m ，其部分图象如图所示，若3y <，则x 的取值范围是．13．如图，PA ，PB 分别切O 于点A ，B ．若O 的半径为1．60P ∠=︒，则 AB 的长度为．14．小华利用网络平台帮助家乡小红销售农产品．8月份销售额为1000元，10月份销售额为1210元，求销售额平均每月的增长率．设销售额平均每月的增长率为x ，根据题意，可列方程为．15．已知O 的半径为3，线段2AB =，若O 与线段AB 有两个交点，则点O 到直线AB 的距离d 的取值范围是．16．对于函数22y x hx =+（其中h 为常数，0h <）和其图象上的一点()00,x y ．（1）若0x x >时，0y y >，则0x 的取值范围是；（2）若02x x >时，0y y >，则0x 的取值范围是．三、解答题17．解方程：210x x +-=．18．已知m 是方程2310x x -+=的根，求代数式()2143m m m --+的值．19．如图，ABC V 和ADE V 都是等边三角形，B ，C ，D 共线．求证：60ECD ∠=︒．20．已知：如图1，P 为O 上一点．求作：直线PQ ，使得PQ 与O 相切．作法：如图2，①连接OP ；②以点P 为圆心，OP 长为半径作弧，与O 的一个交点为A ，作射线OA ；③以点A 为圆心，OP 长为半径作圆，交射线OA 于点Q （不与点O 重合）；④作直线PQ ．直线PQ 就是所求作的直线．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接PA ．由作法可知AP AO AQ ==，∴点P 在以OQ 为直径的A 上．∴OPQ ∠=___________°（___________）（填推理的依据）．∴OP PQ ⊥．又∵OP 是O 的半径，∴PQ 是O 的切线（___________）（填推理的依据）．21．关于x 的一元二次方程()2210x m x m -+++=．(1)求证：方程总有两个实数根：(2)若方程有一根为负数，求m 的取值范围．22．如图，已知AB 为半圆O 的直径．弦BC AD ，相交于点E ．连接AC ，点C 是 AD 的中点．若6OA =，30CBA ∠=︒．(1)求CE 的长：(2)M 为 BD的中点，点P 在直径AB 上，直接写出DP MP +的最小值为______．23．已知二次函数212y ax x c =++的图象经过()()0,3,3,0．(1)求这个二次函数的表达式；(2)一次函数21y kx =+，当2x >时，总有12y y <，直接写出k 的取值范围．24．如图，在ABC V 中，AB BC =，AB 为O 的直径．AC 与O 相交于点D ．过点D 作DE BC ⊥于点E ，CB 延长线交O 于点F ．(1)求证：DE 为O 的切线；(2)若3BE =，4BF =，求AD 的长．25．为了探究某飞机某次着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的关系，测得几组数据如下表：滑行时间x /s 024681012滑行距离y /m112208288352400432(1)根据上述数据，在平面直角坐标系xOy 中描出表格中对应的点，并判断此次滑行的距离y 与滑行时间x 满足的是______函数关系（填“一次”或“二次”）；(2)求y 与x 的函数关系式；(3)飞机着陆后滑行______s 能停下来，此时滑行的距离是______m ．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()()20y a x a c a =-+≠，点()12,A y ，()23,B a y ，()3,C t y 是抛物线上不同的三点．(1)若12y y =，直接写出a 的值：(2)若对于任意的21t -<<-，都有321y y y >>，求a 的取值范围．27．已知在ABC V 中，45ACB ∠=︒，,CD BE 分别为,AB AC 边上的高．(1)如图1，,CD BE 交于点P ，若2CP DB =，求证：AD BD =；(2)在线段C 上取一点P ，使得2CP DB =，连接,BP EP ．①在图2中补全图形；②用等式表示PB 与PE 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，MN 为O 的弦．对于平面内的一点P ，若点P 关于MN 的中点对称的点恰好在O 内，则称点P 为弦MN 的“内称点”．已知点()0,1A ，()1,0B ，()1,0C -．(1)以下各点中，是弦AB 的“内称点”的是______；①130,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭②211,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭③()31,1P ④41,122P ⎛++ ⎝⎭(2)已知点D ，E 在O 上运动，且DE a =，若O 内的每一个点都能成为某一时刻弦DE 的“内称点”，求a 的取值范围；(3)点F 在O 上运动，若直线y x b =+与x ，y 轴的交点所连线段上的每一个点都可以成为某一时刻弦CF 的“内称点”，则b 的取值范围为______．。
2016-2017学年北京市海淀区普通中学九年级(上)期中数学复习试卷(因式分解)-含详细解析
2016-2017学年北京市海淀区普通中学九年级（上）期中数学复习试卷（因式分解）副标题一、选择题（本大题共5小题，共15.0分）1.分解因式：16-x2=（）A. B. C. D.2.下列因式分解错误的是（）A. B.C. D.3.把进行因式分解，结果正确的是A. B. C. D.4.若实数x、y、z满足（x-z）2-4（x-y）（y-z）=0，则下列式子一定成立的是（）A. B. C. D.5.小强是一名密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a-b，x-y，x+y，a+b，x2-y2，a2-b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A. 我爱美B. 宜昌游C. 爱我宜昌D. 美我宜昌二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）6.如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式______．7.分解因式：（x-8）（x+2）+6x= ______ ．8.若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是______（写出一个即可）．9.分解因式：（2a+b）2-（a+2b）2= ______ ．10.已知实数a，b满足：a2+1=，b2+1=，则2015|a-b|= ______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）11.设y=kx，是否存在实数k，使得代数式（x2-y2）（4x2-y2）+3x2（4x2-y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由．四、解答题（本大题共4小题，共32.0分）12.分解因式：（1）3x2-27；（2）4+12（x-y）+9（x-y）2；（3）8（x2-2y2）-x（7x+y）+xy．13.若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a+2ab=c+2bc，判断△ABC的形状．14.有足够多的长方形和正方形的卡片如图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．15.设a=m+1，b=m+2，c=m+3，求代数式a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：16-x2=（4-x）（4+x）．故选：A．直接利用平方差公式分解因式得出答案．此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．2.【答案】C【解析】解：A、2a-2b=2（a-b），正确；B、x2-9=（x+3）（x-3），正确；C、a2+4a-4不能因式分解，错误；D、-x2-x+2=-（x-1）（x+2），正确；故选：C．根据公式法分解因式的特点判断，然后利用排除法求解．本题主要考查了因式分解，关键是对于完全平方公式和平方差公式的理解．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是因式分解的相关知识，关键是要在提公因式之后，再运用公式法进一步分解，注意因式分解的彻底性．【解答】解：8a3-8a2+2a=2a（4a2-4a+1）=2a（2a-1）2．故选C．4.【答案】D【解析】解：∵（x-z）2-4（x-y）（y-z）=0，∴x2+z2-2xz-4xy+4xz+4y2-4yz=0，∴x2+z2+2xz-4xy+4y2-4yz=0，∴（x+z）2-4y（x+z）+4y2=0，∴（x+z-2y）2=0，∴z+x-2y=0．故选：D．首先将原式变形，可得x2+z2+2xz-4xy+4xz+4y2-4yz=0，则可得（x+z-2y）2=0，则问题得解．此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是掌握：x2+z2+2xz-4xy+4y2-4yz=（x+z-2y）2．5.【答案】C【解析】【分析】对（x2-y2）a2-（x2-y2）b2因式分解，即可得到结论．本题考查了公式法的因式分解运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【解答】∵（x2-y2）a2-（x2-y2）b2=（x2-y2）（a2-b2）=（x-y）（x+y）（a-b）（a+b），∵x-y，x+y，a+b，a-b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故选C．6.【答案】am+bm+cm=m（a+b+c）【解析】解：由题意可得：am+bm+cm=m（a+b+c）．故答案为：am+bm+cm=m（a+b+c）．直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确利用矩形面积求出是解题关键．7.【答案】（x+4）（x-4）【解析】解：原式=x2+2x-8x-16+6x=x2-16=（x+4）（x-4），故答案为：（x+4）（x-4）．原式去括号、合并同类项后，运用平方差公式分解即可得到结果．此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握整式的化简、平方差公式是解题的关键．8.【答案】-1【解析】解：令k=-1，整式为x2-y2=（x+y）（x-y），故答案为：-1．令k=-1，使其能利用平方差公式分解即可．此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．9.【答案】3（a+b）（a-b）【解析】解：原式=（2a+b+a+2b）（2a+b-a-2b）=3（a+b）（a-b）．故答案为：3（a+b）（a-b）．原式利用平方差公式分解即可．此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．10.【答案】1【解析】解：∵a2+1=，b2+1=，两式相减可得a2-b2=-，（a+b）（a-b）=，[ab（a+b）+1]（a-b）=0，∴a-b=0，即a=b，∴2015|a-b|=20150=1．故答案为：1．由于a2+1=，b2+1=，两式相减可得a2-b2=-，则有（a+b）（a-b）=，分解因式可得a=b，依此可得2015|a-b|=20150，再根据零指数幂的计算法则计算即可求解．考查了因式分解的应用，零指数幂，本题关键是得到a=b．11.【答案】解：能；（x2-y2）（4x2-y2）+3x2（4x2-y2）=（4x2-y2）（x2-y2+3x2）=（4x2-y2）2，当y=kx，原式=（4x2-k2x2）2=（4-k2）2x4，令（4-k2）2=1，解得k=±或±，即当k=±或±时，原代数式可化简为x4．【解析】先利用因式分解得到原式=（4x2-y2）（x2-y2+3x2）=（4x2-y2）2，再把当y=kx代入得到原式=（4x2-k2x2）2=（4-k2）x4，所以当4-k2=1满足条件，然后解关于k的方程即可．本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．12.【答案】解：（1）3x2-27=3（x2-9）=3（x-3）（x+3）；（2）4+12（x-y）+9（x-y）2=[2+3（x-y）]2=（2+3x-3y）2；（3）8（x2-2y2）-x（7x+y）+xy=8x2-16y2-7x2-xy+xy=x2-16y2=（x+4y）（x-4y）．【解析】利用提公因式法、公式法进行因式分解即可．本题考查的是多项式的因式分解，掌握提公因式法、公式法因式分解是解题的关键．13.【答案】解：∵a+2ab=c+2bc，∴（1+2b)(a-c）=0，∵1+2b≠0，∴a-c=0，∴a=c，∴△ABC是等腰三角形．【解析】通过对a+2ab=c+2bc的变形得到(1+2b)(a-c）=0，由此求得a=c，易判断△ABC 的形状．该题主要考查了因式分解及其应用，解题的关键是牢固掌握分组分解法或提公因式法，灵活选用有关方法来变形、化简、求值或证明．14.【答案】解：如图：或a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）．【解析】先根据题意画出图形，然后求出长方形的长和宽，长为a+2b，宽为a+b，从而求出长方形的面积．考查多项式与多项式相乘问题；根据面积的不同表示方法得到相应的等式是解决本题的关键．15.【答案】解：a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2=（a+b）2-2c（a+b）+c2=（a+b-c）2当a=m+1，b=m+2，c=m+3时，原式=[m+1+m+2-（m+3）]2=m2．【解析】首先把代数式a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2利用完全平方公式因式分解，再代入求得数值即可．此题考查代数式求值，注意利用完全平方公式因式分解，简化计算的方法与步骤．。
2015年九年级数学上册期中检测试题(含答案和解释)
2015年九年级数学上册期中检测试题(含答案和解释)期中检测题本检测题满分:120分，时间:120分钟一、选择题（每小题3分，共36分）1. (2015•广东中考)若关于x的方程 +x－a+ =0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( ) A.a≥2 B.a≤2 C.a>2 D.a<2 2.（2015•江苏苏州中考）若二次函数y= +bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程 +bx=5的解为（） A. B. C. D. 3.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2 4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式是（） A.y=(x+2)2+2 B.y=(x 2)2 2 C.y=(x 2)2+2 D.y=(x+2)2 24.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）5.已知抛物线的顶点坐标是，则和的值分别是（） A.2，4 B. C.2，D. ，0 6.若是关于的一元二次方程，则的值应为（） A. B. C.D.无法确定 7.方程的解是（） A． B． C． D． 8.若是关于的方程的根，则的值为（） A． B． C． D． 9.定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．10. (2015•山西中考)晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A． B. C. D. 11.已知点的坐标为，为坐标原点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转90°得线段，则点的坐标为（） A. B. C. D. 12.当代数式的值为7时，代数式的值为（）二、填空题（每小题3分，共24分） 13.对于二次函数，已知当由1增加到2时，函数值减少3，则常数的值是 .14.将抛物线向右平移2个单位后，再向下平移5个单位，所得抛物线的顶点坐标为_______. 15.某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数表达式是y=60x 1.5x2，该型号飞机着陆后需滑行 m才能停下来. 16.如果，那么的关系是________． 17.如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围为_____________. 18.方程的解是__________________． 19.如图所示，边长为2的正方形的对角线相交于点，过点的直线分别交于点，则阴影部分的面积是． 20.若（是关于的一元二次方程，则的值是________．三、解答题（共60分） 21.（8分）(2015•江西中考)如图，正方形ABCD与正方形关于某点中心对称.已知A，，D 三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2). (1)求对称中心的坐标；(2)写出顶点B，C，， . 第21题图第22题图 22.（8分）（2015•湖北襄阳中考）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门.所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2?23.（8分）把抛物线向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线重合．请求出的值，并画出函数的示意图． 24.（8分）(2015•浙江宁波中考)已知抛物线－(x－m)，其中m是常数． (1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点； (2)若该抛物线的对称轴为直线x= ．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？ 25.（8分）已知抛物线与轴有两个不同的交点． (1)求的取值范围； (2)抛物线与轴的两交点间的距离为2，求的值.26.（8分）若关于x的一元二次方程x2－（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2. （1）求实数k的取值范围. （2）是否存在实数k 使得x1•x2－x12－x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由. 27．(12分)将两块大小相同的含30°角的直角三角板(∠BAC＝∠B1A1C＝30°)按图①的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转(旋转角小于90°)至图②所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B1交于点F，AB与A1B1交于点O． (1)求证：△BCE≌△B1CF. (2)当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直吗？请说明理由．期中检测题参考答案 1. C 解析：由题意得一元二次方程根的判别式Δ>0，即12－4×1× >0，整理，得4a－8>0，解得a>2. 2. D 解析：∵ 二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y 轴的直线，∴ － =2，解得b=－4，∴ 关于x的方程x2+bx=5为x2－4x=5，其解为 . 3.B 解析:根据平移规律“左加右减”“上加下减”，将抛物线y=x2－4先向右平移2个单位得y= (x－2)2－4，再向上平移2个单位得y=(x－2)2－4+2=(x－2)2－2. 4.C 解析:当时，二次函数图象开口向下，一次函数图象经过第二、四象限，此时C，D符合. 又由二次函数图象的对称轴在轴左侧，所以，即，只有C 符合. 同理可讨论当时的情况. 5.B 解析: 抛物线的顶点坐标是（），，，解得 . 6.C 解析：由题意，得，解得 .故选C. 7.A 解析：∵ ，∴ ，∴ .故选A. 8.D 解析：将代入方程得，所以. ∵ ，∴ ，∴ .故选D. 9.A 解析：依题意，得联立得，∴ ，∴ .故选． 10. B 解析：在四个图形中，A，C，D三个图形既是中心对称图形又是轴对称图形，只有B是中心对称图形而不是轴对称图形. 11.C 解析：画图可得点的坐标为． 12.A 解析：当时，，所以代数式 .故选 . 13. 解析:因为当时，，当时，，所以 . 14.(5，－2) 15. 600 解析:y=60x 1.5x2= 1.5（x 20）2+600，当x=20时，y最大值=600，则该型号飞机着陆时需滑行600 m才能停下来. 16. 解析：原方程可化为，∴ . 17. 解析：∵ ＝，∴ ． 18. 解析： .方程有两个不等的实数根，即 19.1 解析：△ 绕点旋转180°后与△ ，所以阴影部分的面积等于正方形面积的，即1. 20 解析：由得或． 21. 分析：（1）由D和D1是对称点，可知对称中心是线段DD1的中点，所以对称中心的坐标为（0，）. （2）由点A（0，4），D（0，2）得正方形ABCD的边长AD=4－2=2，从而有OA=OD+AD=4，OA1=OD1－A1D1=3－2=1，进而可求出B，C，B1，C1的坐标. 解：(1) ∵ D和是对称点，∴ 对称中心是线段D 的中点. ∴ 对称中心的坐标是(0， ). (2)B(－2，4)，C(－2，2)， (2，1)， (2，3) 22.分析：本题需要利用矩形的面积等于80 m2列方程求解，由于矩形的面积等于长乘宽，因此需要表示矩形的长与宽，设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，利用矩形的长与两个宽的和是（25+1）m，得到矩形的长为(26－2x)m.根据矩形的面积公式列出方程求解.最后利用矩形的长不大于12 m确定矩形的长与宽. 解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m，则矩形猪舍的另一边长为（26－2x）m. 依题意，得x(26－2x)=80. 化简，得－13x+40=0. 解这个方程，得 =5，=8. 当x=5时，26－2x=16＞12（舍去）；当x=8时，26－2x=10＜12. 答：所建矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m. 23.解:将整理得 . 因为抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得，所以将向右平移2个单位，再向上平移1个单位即得，故，所以 .示意图如图所示. 24. (1)证明:∵ －(x－m)=(x－m)(x－m－1)，∴ 由y=0得 =m， =m+1．∵ m≠m+1，∴ 抛物线与x轴一定有两个交点(m，0)，(m+1，0)． (2)解：①∵ －(2m+1)x+m(m+1)，∴ 抛物线的对称轴为直线x=－ = ，解得m=2，∴ 抛物线的函数解析式为－5x+6．②∵ －5x+6= ，∴ 该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点． 25. 解:（1）∵ 抛物线与轴有两个不同的交点，∴ ＞0，即解得c＜ . (2)设抛物线与轴的两交点的横坐标为，∵ 两交点间的距离为2，∴ . 由题意，得，解得，∴ ，． 26. 分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式Δ≥0，据此列出关于k的不等式［－（2k+1）］2－4（k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；（2）假设存在实数k使得x1•x2－－≥0成立，利用根与系数的关系可以求得x1+x2=2k+1，x1•x2=k2+2k，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式3x1•x2－（x1+x2）2≥0，通过解不等式可以求得k的值. 解：（1）∵ 原方程有两个实数根，∴ ［－（2k+1）］2－4（k2+2k）≥0，∴ 4k2+4k+1－4k2－8k≥0，∴ 1－4k≥0，∴ k≤ . ∴ 当k≤ 时，原方程有两个实数根. （2）假设存在实数k使得x1•x2－－≥0成立．∵ x1，x2是原方程的两根，∴ x1+x2=2k+1，x1•x2=k2+2k. 由x1•x2－－≥0，得3x1•x2－（x1+x2）2≥0. ∴ 3（k2+2k）－（2k+1）2≥0，整理得－（k－1）2≥0，∴ 只有当k=1时，上式才能成立.又由（1）知k≤ ，∴ 不存在实数k使得x1•x2－－≥0成立. 27.（1）证明：在△ 和△ 中，∠ ，，∠ ，∴ △ ≌△ ．（2）解：当∠ 时，．理由如下：∵ ∠ ，∴ ∠ ．∴ ∠ ，∴ ∠ . ∵ ∠ ，∴ ∠ ，。
北京市十五中届九年级数学上学期期中试卷(含解析)新人教版【含解析】
2015-2016学年北京十五中九年级（上）期中数学试卷一、选择题1.二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y=2（x+3）2+4 B．y=2（x+3）2﹣4 C．y=2（x﹣3）2﹣4 D．y=2（x﹣3）2+43．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=，则tanA的值为（）A．B．C．D．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（）A．130°B．120°C．80° D．60°5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是（）A．B．C．D．6．已知二次函数y=2（x+1）（x﹣a），其中a＞0，且对称轴为直线x=2，则a的值是（）A．3 B．5 C．7 D．不确定7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2 B．4 C．4 D．88．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大9．设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d10．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题11.比较大小：cos27°cos63°．12．关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式：．13．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是．14．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB= ．15．课本上将绳的一端固定住，另一端系一支笔，将绳子绷直，用笔绕着另一端画一圈就是一个圆，于是我们定义：圆是由到一定点距离都等于定长的所有的点组成的图形．下面是一种画椭圆的方法：（1）在地平面上选两个点，钉上两个钉子；（2）测量两个钉子间距离；（3）选用大于两钉子间距离长度的绳子；（4）将绳子两端分别系在钉子上；（5）将绳子绷直，用笔在绷直的拐角地方划线；（6）将绳子绕一圈，椭圆就得到啦！（如图所示）根据这个过程请你给椭圆下一个定义：．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1）．B是以点B 为圆心，BA为半径的圆弧；O是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，C是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，A是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为“正方形的渐开线”，那么点A5的坐标是，点A2015的坐标是．三、解答题（第17～26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分.本题共72分）17．计算：sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°．18．在△ABC中，∠A=120°，AB=12，AC=6．求tanB的值．19．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）该函数的顶点坐标是，与x轴的交点坐标是；（2）在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；（3）根据图象回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是．20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD的长和tanA的值．22．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值： =1.732， =1.414）23．我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆．不难理解，经过一个已知点A作圆，能作出无数个．回答下列问题：（1）经过两个已知点A，B作圆，能作出圆个，圆心分布在；（2）如图，已知不共线的三点A，B，C，能作出圆个，请你利用尺规作图，确定圆心O的可能的位置．（要求保留作图痕迹，不写作法）24．如图，AB是⊙O的直径，过点B作BM⊥AB，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA=DC，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）若DE=1，求圆O的半径．25．设函数y=（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]（k是常数）．（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；（2）根据图象，写出你发现的一条结论．26．阅读下面材料：小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA边上的点，且AE=BC，BD=CE，BE与AD的交点为P，求∠APE的度数；小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B作BF∥AD且BF=AD，连接EF，AF，从而构造出△AEF与△CBE全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠APE的度数为．参考小乔同学思考问题的方法，解决问题：如图3，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，D、E分别为CB，CA上的点，且AE=BC，BD=，BE 与AD交于点P，在图3中画出符合题意的图形，并求出sin∠APE的值．27．已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=．点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D．设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）如果把A、B之间的抛物线（包含A、B两点）图象记为G，直线l：y=﹣x+b与图象G只有一个公共点，求b的值．28．设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离．例如正方形ABCD满足A （1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么点O（0，0）到正方形ABCD的距离为1．（1）如果⊙P是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O（0，0）到⊙P的距离为；（2）①求点M（3，0）到直线y=2x+1的距离；②如果点N（0，a）到直线y=2x+1的距离为3，那么a的值是；（3）如果点G（0，b）到抛物线y=x2的距离为3，请直接写出b的值．29．在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx﹣经过点A和点C（4，0）．（1）求该抛物线的表达式．（2）连接CB，并延长CB至点D，使DB=CB，请判断点D是否在该抛物线上，并说明理由．（3）在（2）的条件下，过点C作x轴的垂线EC与直线y=2x+2交于点E，以DE为直径画⊙M，①求圆心M的坐标；②若直线AP与⊙M相切，P为切点，直接写出点P的坐标．2015-2016学年北京十五中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1.二次函数y=﹣（x+1）2﹣2的最大值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】二次函数的最值．【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是（﹣1，﹣2），也就是当x=﹣1，函数有最大值﹣2．【解答】解：∵y=﹣（x+1）2﹣2，∴此函数的顶点坐标是（﹣1，﹣2），即当x=﹣1函数有最大值﹣2故选：A．【点评】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．2．把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y=2（x+3）2+4 B．y=2（x+3）2﹣4 C．y=2（x﹣3）2﹣4 D．y=2（x﹣3）2+4【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】计算题．【分析】抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），则把它向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，4），然后根据顶点式写出解析式．【解答】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=，则tanA的值为（）A．B．C．D．2【考点】解直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义．【分析】首先根据勾股定理求得直角边AC的长度；然后由锐角三角函数的定义求得tanA的值．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=，∴AC==2；∴tanA==；故选C．【点评】本题综合考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、勾股定理．掌握相应的锐角三角函数值的求法是解决本题的关键．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（）A．130°B．120°C．80° D．60°【考点】圆内接四边形的性质．【分析】由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠B+∠ADC=180°，又由∠ADC+∠ADE=180°，即可求得∠B=∠ADE=120°．【解答】解：∵∠ADC+∠ADE=180°，∠B+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADE=120°．故选B．【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【分析】首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，再根据同角的余角相等得出∠A=∠BCD，进而利用锐角三角函数关系即可求出sin∠BCD的值．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，∴AB==13，．∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∠A+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，∴sin∠BCD=sinA==．故选B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系的定义，得出sin∠BCD=sinA是解题关键．6．已知二次函数y=2（x+1）（x﹣a），其中a＞0，且对称轴为直线x=2，则a的值是（）A．3 B．5 C．7 D．不确定【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数y=2（x+1）（x﹣a），得出二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（a，0），则对称轴为x==2，进一步求得a的数值即可．【解答】解：∵二次函数y=2（x+1）（x﹣a）与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（a，0），∴对称轴x==2，解得：x=5．故选：B．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称性、求对称轴的方法以及求与x轴交点的坐标是解决问题的关键．7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2 B．4 C．4 D．8【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．【解答】解：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．8．二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）．【分析】根据图象开口方向向下得出a的符号，进而利用图象的对称轴得出图象与x轴的交点坐标，再利用图象得出不等式ax2+bx+c＞0的解集．【解答】解：A、图象开口方向向下，则a＜0，故此选项错误；B、∵图象对称轴为直线x=2，则图象与x轴另一交点坐标为：（﹣1，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，故此选项正确；C、当x=﹣1，a﹣b+c=0，故此选项错误；D、当x＞2时，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数与不等式的解集，利用数形结合得出是解题关键．9．设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】首先根据一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象经过点（x1，0），可得y2=d（x﹣x1），y=y1+y2=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1；然后根据函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，可得函数y=y1+y2与x轴的交点为（x1，0），再结合对称轴公式求解．【解答】解：∵一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象经过点（x1，0），∴dx1+e=0，∴y2=d（x﹣x1），∴y=y1+y2=a（x﹣x1）（x﹣x2）+d（x﹣x1）=ax2﹣axx2﹣ax1x+ax1x2+dx﹣dx1=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1∵当x=x1时，y1=0，y2=0，∴当x=x1时，y=y1+y2=0，∵y=ax2+（d﹣ax2﹣ax1）x+ax1x2﹣dx1与x轴仅有一个交点，∴y=y1+y2的图象与x轴的交点为（x1，0）∴=x1，化简得：a（x2﹣x1）=d故选：B．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数y=y1+y2与x轴的交点为（x1，0）．10．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】作OC⊥AP，根据垂径定理得AC=AP=x，再根据勾股定理可计算出OC=，然后根据三角形面积公式得到y=x•（0≤x≤2），再根据解析式对四个图形进行判断．【解答】解：作OC⊥AP，如图，则AC=AP=x，在Rt△AOC中，OA=1，OC===，所以y=OC•AP=x•（0≤x≤2），所以y与x的函数关系的图象为A选项．故选：A．排除法：很显然，并非二次函数，排除B选项；采用特殊位置法；当P点与A点重合时，此时AP=x=0，S△PAO=0；当P点与B点重合时，此时AP=x=2，S△PAO=0；当AP=x=1时，此时△APO为等边三角形，S△PAO=；排除B、C、D选项，故选：A．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．二、填空题11.比较大小：cos27°＞cos63°．【考点】锐角三角函数的增减性．【分析】根据余弦函数随锐角的增大而减小，可得答案．【解答】解：由余弦函数随锐角的增大而减小，得cos27°＞cos63°，故答案为＞．【点评】本题考查了锐角三角函数的增加性，利用余弦函数随锐角的增大而减小是解题关键．12．关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式：y=x2﹣3x+1答案不唯一．【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】与y轴的交点在x轴的上方即常数项大于0，据此求解．【解答】解：∵关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，∴k﹣2＞0，解得：k＞2，∴答案为：y=x2﹣3x+1答案不唯一．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解与y轴的交点在x轴的上方即常数项大于0．13．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是．【考点】圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】根据同弧所对的圆周角相等得到∠ABC=∠AED，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出cos∠ABC的值，即为cos∠AED的值．【解答】解：∵∠AED与∠ABC都对，∴∠AED=∠ABC，在Rt△ABC中，AB=2，AC=1，根据勾股定理得：BC=，则cos∠AED=cos∠ABC==．故答案为：【点评】此题考查了圆周角定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．14．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB= 90°．【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】由经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．【解答】解：∵∠AOB=90°，∴∠ACB=∠AOB=90°．故答案为：90°．【点评】此题考查了圆周角的性质．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．15．课本上将绳的一端固定住，另一端系一支笔，将绳子绷直，用笔绕着另一端画一圈就是一个圆，于是我们定义：圆是由到一定点距离都等于定长的所有的点组成的图形．下面是一种画椭圆的方法：（1）在地平面上选两个点，钉上两个钉子；（2）测量两个钉子间距离；（3）选用大于两钉子间距离长度的绳子；（4）将绳子两端分别系在钉子上；（5）将绳子绷直，用笔在绷直的拐角地方划线；（6）将绳子绕一圈，椭圆就得到啦！（如图所示）根据这个过程请你给椭圆下一个定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹．【考点】圆的认识．【分析】根据椭圆的定义，可得答案．【解答】解：椭圆下一个定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹，故答案为：平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹．【点评】本题考查了圆的认识，利用椭圆的画法获得有效信息是解题关键．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1）．B是以点B 为圆心，BA为半径的圆弧；O是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，C是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，A是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为“正方形的渐开线”，那么点A5的坐标是（6，0），点A2015的坐标是（﹣2015，1）．【考点】规律型：点的坐标．【分析】点A的坐标为（1，1），则BA1=1，A1坐标为（2，0），依此类推，A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），A5是以B为圆心，BA4为半径的圆弧与x轴的交点，则A5（6，0），2015÷4=503…3，A2015应与A3（﹣3，1）的坐标规律一样，故A2015（﹣2015，1）．【解答】解：∵点A的坐标为（1，1），四边形ABOC是正方形，BA1=1，∴A1坐标为（2，0），∵O是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，∴A2（0，﹣2），∵C是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，∴A3（﹣3，1），∵A是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，∴A4（1，5），依此类推，A5是以B为圆心，BA4为半径的圆弧与x轴的交点，则A5（6，0），A5（6，0）与A1（2，0）坐标规律相同，∵2015÷4=503…3，∴A2015应与A3（﹣3，1）的坐标规律一样，故A2015（﹣2015，1）．故答案为：（6，0），（﹣2015，1）．【点评】本题主要考查了点的坐标的变化规律和对“正方形的渐开线”的理解，发现规律，理解“正方形的渐开线”是解答此题的关键．三、解答题（第17～26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分.本题共72分）17．计算：sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入，然后合并运算即可．【解答】解：原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是要求同学们熟练记忆的内容．18．在△ABC中，∠A=120°，AB=12，AC=6．求tanB的值．【考点】解直角三角形．【分析】过点C作CD⊥AB，根据∠A=120°，∠DAC=60°，由三角函数得出AD，CD，在Rt△BCD中，∠B的正切即可得出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∴∠A=120°，∴∠D AC=60°，∴cos60°=，sin60°=，∵AB=12，AC=6，∴AD=AC•cos60°=6×=3，CD=AC•sin60°=6×=3，在Rt△BCD中，tanB===．【点评】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的关键是把给出的这些三角形的条件放到直角三角形中，如果不是直角三角形就要通过添加辅助线来完成．19．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）该函数的顶点坐标是（2，﹣1），与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）；（2）在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；（3）根据图象回答：当0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3 ．【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数的图象；二次函数的性质．【分析】（1）把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可，再令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到与x轴的交点坐标；（2）根据二次函数与坐标轴的交点和顶点坐标作出图象即可；（3）根据函数图象写出y的取值范围即可．【解答】解：（1）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴顶点坐标为（2，﹣1），令y=0，则x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，所以，与x轴的交点坐标是（1，0），（3，0）；（2）如图所示；（3）0≤x＜3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．故答案为：（1）（2，﹣1），（1，0），（3，0）；（3）﹣1≤y≤3．【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键．20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）；为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；（2）由（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）由题意，得y=（100﹣5x）（2x+4），y=﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；（2）∵y=﹣10x2+180x+400，∴y=﹣10（x﹣9）2+1210．∵1≤x≤10的整数，∴x=9时，y最大=1210．答：工厂为获得最大利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的最大值为1210万元．【点评】本题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD的长和tanA的值．【考点】解直角三角形；勾股定理．【分析】在Rt△DBC中利用三角函数即可求得CD的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长，则AD 即可求得，进而求得AC的长，然后利用三角函数的定义即可求解．【解答】解：∵∠C=90°，sin∠CBD=，DB=6，∴CD=DB•sin∠CBD=6×=4．∴AD=CD=×4=2．∵CB===2，AC=AD+CD=2+4=6，在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanA===．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．22．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值： =1.732， =1.414）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】设CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，分别用CF表示AC、BC的长度，然后根据AC﹣BC=1200，求得x的值，用h﹣x即可求得最高海拔．【解答】解：设CF=x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，∵∠BAF=30°，∠CBF=45°，∴BC=CF=x，=tan30°，即AC=x，∵AC﹣BC=1200米，∴x﹣x=1200，解得：x=600（+1），则DF=h﹣x=2001﹣600（+1）≈362（米）．答：钓鱼岛的最高海拔高度约362米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形求出AC、BC 的长度，难度一般．23．我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆．不难理解，经过一个已知点A作圆，能作出无数个．回答下列问题：（1）经过两个已知点A，B作圆，能作出圆无数个个，圆心分布在线段AB的垂直平分线上；（2）如图，已知不共线的三点A，B，C，能作出圆 1 个，请你利用尺规作图，确定圆心O的可能的位置．（要求保留作图痕迹，不写作法）【考点】作图—应用与设计作图；圆的认识．【分析】（1）根据圆的定义，垂直平分线的性质即可得到答案．（2）画出线段AB、BC的垂直平分线的交点就是圆心点O．【解答】解：（1）经过两个已知点A，B作圆，能作出无数个圆个，圆心在线段AB的垂直平分线上．故答案分别为无数个、线段AB的垂直平分线上．（2）过不在同一直线上的三点可以确定一个圆．故答案为1．作线段AB的垂直平分线MN，作线段BC的垂直平分线EF，直线MN与直线EF的交点就是圆心点O的位置．（见下图）【点评】本题考查圆的有关性质，确定圆有两个要素①圆心②半径，通过训练此题可以培养动手能力．24．如图，AB是⊙O的直径，过点B作BM⊥AB，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA=DC，连接AC，AD，延长AD交BM于点E．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）若DE=1，求圆O的半径．【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；圆周角定理．【分析】（1）由BM⊥AB，CD∥BM，得到CD⊥AB，而AB是⊙O的直径，根据垂径定理得到=，于是得到AD=AC，然后根据已知DA=DC，得出AD=AC=CD，即可证明△ACD是等边三角形；（2）连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性质得到BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为r，则ON=r，AN=DN=r，由于得到EN=1+r，BE=AE=，在Rt△ONE与Rt△BEO中，由勾股定理列方程即可求解．【解答】（1）证明：∵BM⊥AB，CD∥BM，∴AB⊥CD，∵AB是⊙O的直径，∴=，∴AD=AC，∵DA=DC，∴AD=AC=CD，∴△ACD是等边三角形；（2）解：连接OE，过O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°．∵AD=AC，CD⊥AB，∴∠DAB=30°，∴BE=AE，ON=AO，设⊙O的半径为r，∴ON=r，AN=DN=r，∴EN=1+r，BE=AE=．在Rt△ONE与Rt△BEO中，OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，即（r）2+（1+r）2=r2+（）2，解得r1=，r2=﹣（不合题意舍去）．故圆O的半径为．【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，过O作ON⊥AD于N，构造直角三角形是解题的关键．25．设函数y=（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]（k是常数）．（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；（2）根据图象，写出你发现的一条结论函数图象都经过点（1，0）和（﹣1，4）（答案不唯一）．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】（1）把k=0代入函数解析式即可得到所求的函数解析式，根据函数解析式作出图象；（2）根据函数图象回答问题．【解答】解：（1）当k=0时，y=﹣（x﹣1）（x+3），所画函数图象如图所示：（2）根据图象知，函数图象都经过点（1，0）和（﹣1，4）故答案为：函数图象都经过点（1，0）和（﹣1，4）（答案不唯一）．故答案为：函数图象都经过点（1，0）和（﹣1，4）（答案不唯一）．【点评】本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意画出函数图象，利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．26．阅读下面材料：小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA边上的点，且AE=BC，BD=CE，BE与AD的交点为P，求∠APE的度数；小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B作BF∥AD且BF=AD，连接EF，AF，从而构造出△AEF与△CBE全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠APE的度数为45°．参考小乔同学思考问题的方法，解决问题：如图3，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，D、E分别为CB，CA上的点，且AE=BC，BD=，BE 与AD交于点P，在图3中画出符合题意的图形，并求出sin∠APE的值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）利用平行四边形的判定与性质得出AF=BD，进而得出△AEF≌△CBE（SAS），即可得出：∠APE的度数；（2）根据题意首先得出△AEF∽△CBE，进而得出tan∠FBE==，即可求出sin∠APE的值．【解答】解：（1）如图2，过点B作BF∥AD且BF=AD，连接EF，AF，∵BF∥AD且BF=AD，∴四边形AFBD是平行四边形，∴AF=BD，在△AEF和△CBE中∵，∴△AEF≌△CBE（SAS），∴EF=BE，∠AEF+∠CEB=90°，∴∠EBF=45°，∵AD∥BF，∴∠APE=45°；故答案为：45°；（2）如图3，过点B作FB∥AD且FB=AD，连接EF和AF，∴四边形AFBD是平行四边形，∠APE=∠FBE，AF=DB，∵AB是⊙O直径，∴∠C=90°，∴∠FAE=∠BCE=90°，∵CE=2BD，BC=2AE，∴CE=2AF，∴ ==2，∴△AEF∽△CBE，。
北京市海淀区2015届九年级下学期期中考试数学试题(扫描版)及答案
海淀区九年级第二学期期中练习数学试卷答案及评分参考2015．5一、 选择题（本题共30分，每小题3分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案B ACD B A C B D B二、填空题（本题共18分，每小题3分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 a (a ＋b )(a －b ) ()0y kx k =>如，y x =0.6 178小明（1分）；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2分） 30°或150°（只答对一个2分，全对3分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）17. (本小题满分5分)解：原式=11223142-⨯++ ………………………………………………………4分 1234=+． ………………………………………………………………5分18. (本小题满分5分)解： 345214.33x x x x +>-⎧⎪⎨-⎪⎩，≥ ② ① 由不等式①得 3x <． ……………………………………………………2分 由不等式②得 2≥x -． ……………………………………………………4分 ∴不等式组的解集为23≤x -<． ……………………………………………………5分19. (本小题满分5分)解： 22(2)()()2x y x y x y y ---+-2222244()2x xy y x y y =-+---………………………………………………2分 243xy y =-+ ……………………………………………………………………3分 ()43y x y =--．…………………………………………………………………4分 ∵43x y =，∴原式= 0． ………………………………………………………………………5分20. (本小题满分5分)证明：∠EBC =∠FCB ，A B E F C D ∴∠=∠． …………………………………………………………1分在△ABE 与△FCD 中，,,,A F AB FC ABE FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ∴∆ABE ≌∆FCD ．………………………………………………………………4分 ∴BE=CD ． ………………………………………………………………………5分21. (本小题满分5分)（1）证明：0k ≠， ∴220 kx x k--=是关于x 的一元二次方程．22(1)4()k k∆=--- ……………………………………………………1分 90=>．∴方程总有两个不相等的实数根． ………………………………………2分（2）解：由求根公式，得192x k±=． ∴1221,x x k k ==-． …………………………………………………………4分 方程的两个实数根都是整数，且k 是整数，∴ 1k =-或1k =．…………………………………………………………5分 F D C B A E22. (本小题满分5分)解： 设例子中的A4厚型纸每页的质量为x 克．………………………………………1分由题意，得 40016020.8x x =⨯-． ………………………………………………2分 解得 4x =． ………………………………………………………3分 经检验， 4x =为原方程的解，且符合题意． ………………………………4分 答：例子中的A4厚型纸每页的质量为4克． …………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）23. (本小题满分5分)（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，∴AD //BC ．∴∠DAF=∠F ．∠F =45°，∴∠DAE=45°．………………………………………1分 AF 是∠BAD 的平分线， 45EAB DAE ∴∠=∠=．90DAB ∴∠=． 又四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形． …………………………2分（2）解：过点B 作BH AE ⊥于点H ，如图．四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∠DCB =∠D =90°．AB =14，DE =8，∴ CE=6．在Rt △ADE 中，∠DAE=45°，∴∠DEA =∠DAE=45°．∴ AD=DE =8．∴ BC =8．在Rt △BCE 中，由勾股定理得 2210BE BC CE =+=． ……………………………………………3分在Rt △AHB 中，∠HAB=45°，∴sin4572BH AB =⋅= ． …………………………………………4分在Rt △BHE 中，∠BHE=90°， H FB C A E D FB C A E D∴sin ∠AEB=7210BH BE =． ……………………………………………5分 24. (本小题满分5分)（1）36． ……………………………………………………………………………1分（2）6.700.01±． ……………………………………………………………………3分 （3）21． ……………………………………………………………………………5分25. (本小题满分5分) （1）证明：⊙O 与边AB 相切于点E ，且 CE 为⊙O 的直径．∴CE ⊥AB ．AB=AC ，AD ⊥BC ，BD DC ∴=． ………………………………1分又 OE=OC ，∴OD ∥EB ．∴ OD ⊥CE ．………………………………2分（2）解：连接EF ．CE 为⊙O 的直径，且点F 在 ⊙O 上， ∴ ∠EFC =90°．CE ⊥AB ，∴∠BEC =90°．∴+BEF FEC FEC ECF ∠=∠+∠∠=90°． ∴BEF ECF ∠=∠．∴tan tan BEF ECF ∠=∠． ∴BF EF EFFC=．又DF =1， BD=DC =3， ∴ BF =2， FC =4．∴22EF =． ………………………………………………… 3分 ∵∠EFC =90°， ∴∠BFE =90°．由勾股定理，得2223BE BF EF =+=． ……………………4分 EF ∥AD ， ∴21BE BF EA FD ==． ∴3AE =． ……………………………………………………5分AEBDCFO26. (本小题满分5分)解：BC ＋DE 的值为34． ……………………………………………………2分解决问题：连接AE ，CE ，如图．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB // DC ．∵四边形ABEF 是矩形，∴AB // FE ，BF ＝AE ． ∴DC // FE ．∴四边形DCEF 是平行四边形． ………………………………………………3分 ∴ CE // DF ． ∵AC ＝BF ＝DF ， ∴AC ＝AE ＝CE ．∴△ACE 是等边三角形． …………………………………………………………4分 ∴∠ACE ＝60°． ∵CE ∥DF ，∴∠AGF ＝∠ACE ＝60°． …………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. (本小题满分7分)解：（1）∵抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为（0，2）． …………………………………………1分 ∵2211(232)212y x x x -+==+-， ∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点B 的坐标为（1，32）． …………2分又∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，∴点C 的坐标为(2，2)，且点C 在抛物线上．设直线BC 的解析式为y kx b =+． ∵直线BC 经过点B （1，32）和点C (2，2)，∴322 2.，k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得121.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为112y x =+．…………………………3分xy O –5–4–3–2–112345–7–6–5–4–3–2–11234567FE DABC GE C A BD F（2） ∵抛物线2212y x x =-+中，当4x =时，6y =，∴点D 的坐标为(4，6)． ………………4分∵直线112y x =+中，当0x =时，1y =， 当4x =时，3y =，∴如图，点E 的坐标为(0，1)，点F 的坐标为(4，3)．设点A 平移后的对应点为点'A ，点D 平移后的对应点为点'D ． 当图象G 向下平移至点'A 与点E 重合时， 点'D 在直线BC 上方， 此时t =1；…………………………………………………………5分当图象G 向下平移至点'D 与点F 重合时，点'A 在直线BC 下方，此时t =3．……………………………………………………………………………………6分 结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是13t <≤．……………………………7分28. (本小题满分7分)（1）补全图形，如图1所示．…………………………………………………………1分GFEDCBA图1图2（2）方法一：证明：连接BE ，如图2． ∵四边形ABCD 是菱形，GFEDCBA∴AD ∥BC ．120ADC ∠=︒，60DCB ∴∠=︒． AC 是菱形ABCD 的对角线，∴1302DCA DCB ∠=∠=︒． ……………………………………………………………2分180100EDC DEC DCA ∴∠=︒-∠-∠=︒．由菱形的对称性可知， 50BEC DEC ∠=∠=︒，100EBC EDC ∠=∠=︒．……………………………………………………………………3分 100GEB DEC BEC ∴∠=∠+∠=︒． GEB CBE ∴∠=∠． 50FBC ∠=︒，50EBG EBC FBC ∴∠=∠-∠=︒．…………………………………………………………4分 EBG BEC ∴∠=∠． 在△GEB 与△CBE 中，,,,GEB CBE BE EB EBG BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEB ≌△CBE ．EG BC ∴=． ………………………………………………………………………………5分 方法二：证明：连接BE ，设BG 与EC 交于点H ，如图3． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ．120ADC ∠=︒，60DCB ∴∠=︒．AC 是菱形ABCD 的对角线，∴1302DCA DCB ∠=∠=︒． ………………………2分180100EDC DEC DCA ∴∠=︒-∠-∠=︒．由菱形的对称性可知，50BEC DEC ∠=∠=︒，100EBC EDC ∠=∠=︒．……………………………………………3分50FBC ∠=︒， 图350EBG EBC FBC BEC ∴∠=∠-∠=︒=∠． ………………………………………………4分 BH EH ∴=．在△GEH 与△CBH 中，,,,GEH CBH EH BH EHG BHC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEH ≌△CBH ．HG F ED CBAEG BC ∴=． ………………………………………………………………………………5分（3）3AE BG EG +=． …………………………………………………………………7分 29．(本小题满分8分)解：（1）① (3,1)； ……………………………………………………………………1分② 点B ． ………………………………………………………………………2分（2）依题意，3(2)y x x =-+-≥图象上的点P 的限变点必在函数3,13,21x x y x x -+⎧=⎨--<⎩≥≤的图象上．2≤b '∴，即当1x =时，b '取最大值2．当2b '=-时，23x -=-+．5x ∴=． ………………………………………3分 当5b '=-时，53x -=-或53x -=-+．2x ∴=-或8x =． ………………………………4分 52≤≤b '-，由图象可知，k 的取值范围是58≤≤k ．……………………………………………5分（3）2222()y x tx t t x t t =-++=-+，∴顶点坐标为(,)t t ．………………………………………………………………6分若1t <，b '的取值范围是≥b m '或≤b n '，与题意不符． 若1≥t ，当1≥x 时，y 的最小值为t ，即m t =；当1x <时，y 的值小于2[(1)]t t --+，即2[(1)]n t t =--+．22(1)1s m n t t t t ∴=-=+-+=+．∴s 关于t 的函数解析式为 211)s t t =+≥ (． ……………………………7分 当t=1时，s 取最小值2．∴s 的取值范围是s ≥2． ………………………………………………………8分xy–4–3–2–1123456789–7–6–5–4–3–2–11234O。
北京市海淀区九年级一模数学试卷含答案及解析
2019学年北京市海淀区九年级一模数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三四总分得分一、选择题1. 2015年北京市实施能源清洁化战略，全市燃煤总量减少到15 000万吨左右，将15 000用科学记数法表示应为A． B． C． D．2. 右图是某几何体的三视图，该几何体是A. 三棱柱B. 三棱锥C. 长方体D.正方体3. 如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数为A． 1 B．1 C． 2 D．24. 某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为A． B． C． D．5. 如图，直线a与直线b平行，将三角板的直角顶点放在直线a上，若∠1=40°，则∠2等于A．40° B．50° C．60° D．140°6. 如图，已知∠AOB．小明按如下步骤作图：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于点E．（2）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．根据上述作图步骤，下列结论正确的是A．射线OC是的平分线B．线段DE平分线段OCC．点O和点C关于直线DE对称D．OE=CE7. 某次比赛中，15名选手的成绩如图所示，则这15名选手成绩的众数和中位数分别是A．98，95 B．98，98C．95，98 D．95，958. 甲骑车到乙家研讨数学问题，中途因等候红灯停止了一分钟，之后又骑行了1.2千米到达了乙家．若甲骑行的速度始终不变，从出发开始计时，剩余的路程（单位：千米）与时间（单位：分钟）的函数关系的图象如图所示，则图中a等于A．1.2 B．2 C．2.4 D．69. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E.若，AC=3，则CD的长为A． 6 B． C． D．310. 小明在书上看到了一个实验：如右图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动.小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t以及容器内水面的高度h，并画出表示h与t的函数关系的大致图象.如左下图所示.小明选择的物体可能是二、填空题11. 分解因式：____________．12. 写出一个函数（），使它的图象与反比例函数的图象有公共点，这个函数的解析式为___________．13. 某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别.在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复.下表是由试验得到的一组统计数据：14. 摸球的次数1500600摸到白球的次数581189摸到白球的频率0.580.590.630.5930.6040.598td15. 如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若，，，则的长为__________．16. 在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD 中，AD∥BC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形”．经过思考，小明说“添加AD=BC”，小红说“添加AB=DC” ．你同意的观点，理由是．17. 若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角.已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为 .三、计算题18. 计算：．四、解答题19. 解不等式组：20. 已知，求代数式的值．21. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=FC，∠A=∠F，∠EBC=∠FCB．求证： BE=CD．22. 已知关于的方程.（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数的值23. 列方程或方程组解应用题:为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小李建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”．他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，总质量为160克.已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求例子中的A4厚型纸每页的质量.（墨的质量忽略不计）24. 如图，在□中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．25. 根据某研究中心公布的近几年中国互联网络发展状况统计报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下：根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出扇形统计图中m的值；（2）从2011年到2014年，中国网民人数每年增长的人数近似相等，估算2015年中国网民的人数约为亿；（3）据某市统计数据显示，2014年末全市常住人口为476.6万人，其中网民数约为210万人．若2014年该市的网民学历结构与2014年的中国网民学历结构基本相同，请你估算2014年末该市网民学历是大专的约有万人．26. 图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径.（1）求证：OD⊥CE；（2）若DF=1， DC=3，求AE的长．27. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．图1 图2 图3请回答：BC+DE的值为_______．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知□ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．28. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于点A，顶点为点B，点C 与点A关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移（）个单位后与直线BC只有一个公共点，求的取值范围．29. 在菱形中，，点是对角线上一点，连接，，将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线，交的延长线于点．（1）依题意补全图形；（2）求证：；（3）用等式表示线段，，之间的数量关系：_____________________________．30. 在平面直角坐标系xOy中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点为点的限变点．例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是．（1）①点的限变点的坐标是___________；②在点，中有一个点是函数图象上某一个点的限变点，这个点是_______________；（2）若点在函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是，求的取值范围；（3）若点在关于的二次函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是或，其中．令，求关于的函数解析式及的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】第27题【答案】第28题【答案】第29题【答案】。
北京市海淀区九年级第二学期期中练习(数学)(解析版)
(数学)一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.用三角板作▵AAA的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角形的高.过三角形一边所对顶点作这边所在直线的垂线，顶点与垂足之间的线段叫三角形这边的高.根据三角形的高的定义逐个判定即可．【解答】解：A.作法正确，故Ａ正确；B.没有过BC边所对的顶点，作法错误，故B错误；C.没有垂直BC，错误，故C错误；D.是作的AC边的高，不是作BC边的高，故D错误．故选A．2. 图1是数学家皮亚特·海恩(AAAAAAAA)发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体以面相连接构成的不规则形状组件组成.图2不可能是下面哪个组件的视图A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查简单几何体的三视图.三视图分正视图、左视图(或右视图)、俯视图.正视图就是从正面看到的图，左(或右)视图就是从左(或右)面看到的图形，俯视图就是从上面往下看到的图形.根据三视图概念逐个判定即可．【解答】解：A.正视图、左视图是图2，故A错误；B.正视图、左视图、俯视图者是图2，故B错误；C.三视图都不是图2，故C错误；D.正视图、左视图是图2，故D错误．故选C．3. 若正多边形的一个外角是120∘，则该正多边形的边数是A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】D【解析】【分析】本题考查正多边形的性质，正多边形的外角和定理.根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数= 360∘÷120∘，计算即可求解.本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．【解答】解：这个正多边形的边数=360∘÷120∘=3，故选D．4. 下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是A. 赵爽弦图B. 科克曲线第1页/共12页C. 河图幻方D. 谢尔宾斯基三角形【答案】B【解析】【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全正确重合的图形，叫轴对称图形，这条直线叫对称轴；如果一个图形绕着某点旋转180 ∘后，能与原来图形完全重合，则这个图形叫中心对称图形，这点叫对称中心．依据轴对称图形与中心对称的概念逐项判定即可．【解答】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故A错误；B.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B正确；C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C错误；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．故选B．5. 如果A−A=1，那么代数式(1−A2A2)⋅2A2A+A的值是A. 2B. −2C. 1D. −1【答案】A【解析】【分析】本题考查分式的化简求值.先根据分式的混合运算法则化简分式，再把A−A=1，代入计算即可．【解答】解：原式=A2−A2A2·2A2A+A=(A+A)(A−A)A2·2A2A+A=2(A−A)，当A−A=1时，原式=2×1=2．故选A．6. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示.若A+A=0，则下列结论中正确的是A. A+A>0B. AA>1 C. AA>AA D. |A|>|A|【答案】D【解析】【分析】本题考查实数与数轴，实数的运算.先根据A+A=0和数轴上表示数a、b、c、d的点的位置，即可得出A<0，A>0，|A|=|A|，A<A<0<A<A，然后逐项判定即可．【解答】解：由图可知：A<A<A<A，∵A+A=0，∴|A|=|A|，A<0，A>0，∴A<A<0<A<A，∴|A|>|A|，∴A+A<0，故A错误；∴AA<0，故B错误；∴AA<0，AA<0，|AA|>|AA|，∴AA<AA，故C错误；∴|A|>|A|=|A|，∴|A|>|A|，故D错误．故选D．7. 在线教育使学生足不出户也能连接全球优秀的教育资源.下面的统计图反映了我国在线教育用户规模的变化情况．(以上数据摘自《2017年中国在线少儿英语教育白皮书》)根据统计图提供的信息，下列推断一定不合理的是A. 2019年12月至2019年6月，我国在线教育用户规模逐渐上升B. 2019年12月至2019年6月，我国手机在线教育课程用户规模占在线教育用户规模的比例持续上升C. 2019年12月至2019年6月，我国手机在线教育课程用户规模的平均值超过7000万D. 2019年6月，我国手机在线教育课程用户规模超过在线教育用户规模的70%【答案】B【解析】【分析】本题考查统计图表型中折线统计图.根据折线统计图反应的信息，逐项判定即可．【解答】解：A.由图可知：2019年12月我国在线教育用户11014万人，2019年6月我国在线教育用户11789万人，规模逐渐上升，所以2019年12月至2019年6月，我国在线教育用户规模逐渐上升，正确，故A错误；B.由图可知：2019年12月我国手机在线教育用户5303万人，2019年6月我国在线教育用户4987万人，规模略有下降，所以2019年12月至2019年6月，我国手机在线教育用户规模略有下降，错误，故C正确；C．2019年12月至2019年6月，我国手机在线教育课程用户规模的平均值超过7000万，正确，故C错误；D．2019年6月，我国手机在线教育课程用户规模超过在线教育用户规模的70%，正确，故D错误．故选B．8. 如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为A.定义(A,A)为这个矩形的坐标.如图2，在平面直角坐标系中，直线A=1,A=3将第一象限划分成4个区域.已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域A中．则下面叙述中正确的是A. 点A的横坐标有可能大于3B. 矩形1是正方形时，点A位于区域AC. 当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D. 当点A位于区域A时，矩形1可能和矩形2全等【答案】D【解析】【分析】本题考查点的坐标的确定，反比例函数的图象，矩形的性质，矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，设双曲线解析式为A=AA，把A=1，A=3代入，解得A=3，所以A=3A，矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，所以点A横坐标就小于1，可判定A；当矩形是正方形时，则A−A=A，所以A=2A，又因点A在又曲线上，所以点A应处于区域A，即可判定B；因矩形面积=A(A−A)=A(3A−A)=−A2+3，所以当点A沿双曲线向上移动时，x减小，矩形1的面积增大，可判定C；【解答】解：A.设双曲线解析式为A=AA，把A=1，A=3代入，解得A=3，所以A=3A，矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，所以点A横坐标就小于1，故A错误；B.当矩形1是正方形时，则A−A=A，所以A=2A，又因点A在又曲线上，所以点A应处于区域A，故B错误；C.因矩形面积=A(A−A)=A(3A−A)=−A2+3，所以.当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积增大，故C错误；D．点A位于区域A时，矩形1可能和矩形2全等，故D正确故选D．二、填空题（本大题共9小题，共27.0分）9. 从5张上面分别写着“加”“油”“向”“未”“来”这5个字的卡片(大小、形状完全相同)中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“加”字的概率是_________．第3页/共12页【答案】15【解析】【分析】本题考查概率公式的应用.根据A(事件A)=事件A可能发生数所有可能发生的总数计算即可．【解答】解：A(抽到“加”字)=15．故答案为15．10. 我国计划2023年建成全球低轨卫星星座——鸿雁星座系统，该系统将为手机网络用户提供无死角全覆盖的网络服务.2017年12月，我国手机网民规模已达753 000 000，将753 000 000用科学记数法表示为______．【答案】7.53×108【解析】【分析】本题主要考查科学记数法.科学记数法的表示形式为a×10 A的形式，其中1≤|A|<10，n为整数.确定n的值时，看小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.小数点向左移动时，n是正整数；小数点向右移动时，n是负整数.解题关键是正确确定a的值以及n的值．【解答】解：753000000=7.53×108，故答案为7.53×108．11. 如图，AA∥AA，若AA=4，AA=2，AA=1，则AA=_________.【答案】2【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质.由AA//AA，即可得出△AAA∽△AAA，再由相似三角形的性质，即可得出AAAA =AAAA，然后把AA=4，AA=2，AA=1，代入计算即可得．【解答】解：∵AA//AA，∴AA=AA，AA=AA，∴△AAA∽△AAA，∴AAAA=AAAA，∵AA=4，AA=2，AA=1，∴4AA=21，∴AA=2，故答案为2．12. 写出一个解为1的分式方程：_________．【答案】1A=1(答案不唯一)【解析】【分析】本题考查分式方程的定义，分式方程的解.根据分式方程的定义，分母含有未知数，再由分式方程的解为1，写出分式方程即可．【解答】解：由分式方程的解为1，这样的分式方程很多，如1A=1(答案不唯一)，故答案为1A=1(答案不唯一)．13. 京张高铁是2022年北京冬奥会的重要交通基础设施，考虑到不同路段的特殊情况，将根据不同的运行区间设置不同的时速.其中，北京北站到清河段全长11千米，分为地下清华园隧道和地上区间两部分，运行速度分别设计为80千米/小时和120千米/小时.按此运行速度，地下隧道运行时间比地上大约多2分钟(130小时)，求清华园隧道全长为多少千米.设清华园隧道全长为x千米，依题意，可列方程为__________．【答案】A80−11−A120=130【解析】【分析】本题考查一元一次方程的应用.读懂题，找出等量关系，是解题词的关键.由时间=路程速度，再根据地下隧道行驶的时间−地上行驶的时间=130小时，为等量关系列出方程即可．【解答】解：设清华园隧道全长为x千米，依题意，得A80−11−A120=130．故答案为A80−11−A120=130．14. 如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙A经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若AA=72∘，则AAAA=_________ ∘．【答案】36【解析】【分析】本题考查圆内接四边形的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理.由圆内接四边形的性质、平行四边形的性质，AA=72∘，即可求出AA、AAAA的度数，再由三角形内角和定理即可求出答案．【解答】解：∵四边形ADCE是⊙A内接四边形，∴AAAA=AA=72∘，∵平行四边形ABCD，∴AA=AA=72∘，∵AAAA+AA+AAAA=180∘，∴AAAA=36∘．故答案为36．15. 定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦.阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AA>AA，M是弧ABC的中点，AA⊥AA于F，则AA=AA+AA.如图2，△AAA 中，AAAA=60∘，AA=8，AA=6，D是AB上一点，AA=1，作AA⊥AA交△AAA的外接圆于E，连接EA，则AAAA=________ ∘．【答案】60【解析】【分析】本题考查圆周角定理，弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质.连接CE，通过计算得AA=AA+AA，又因AA⊥AA于D，由阿基米德折弦定理得E是弧ABC中点，所以AA=AA，由圆周角定理得AAAA= AAAA=60∘，所以△AAA是等边三角形，最后由等边三角形性质即可得出答案．【解答】解：连接CE，如图2，∵AA=AA−AA=7，AA+AA=1+6=7，∴AA=AA+AA，∵AA⊥AA，∴由阿基米德折弦定理得∵A是弧ABC中点，∴AA=AA，∵AAAA=AAAA=60∘，∴△AAA是等边三角形，∴AAAA=60∘．故答案为60．16. 下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是___________________________________________________________．【答案】与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；两点确定一条直线【解析】【分析】本题考查切线的判定定理，垂直平分线的逆定理，尺规作图经过直线上一点作直线的垂直.由AA=AA，AA=AA，所以点M、点N在线段AB的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，所以MN垂直平分AB，因AA=AA，根据两点确定一条直线，所以MN经过点P，根据切线的判定定理即可得出MN是圆的切线．【解答】解：由作图(3)可知AA=AA，AA=AA，∴点M、点N在线段AB的垂直平分线上(与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，∴AA⊥AA，由作图(2)可知，AA=AA，第5页/共12页∴AA 经过点A (两点确定一条直线)， ∴AA 是⊙A 的切线(切线的判定定理)．故答案为与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；两点确定一条直线．17. 某校九年级八个班共有280名学生，男女生人数大致相同，调查小组为调查学生的体质健康水平，开展了一次调查研究，请将下面的过程补全．收集数据调查小组计划选取40名学生的体质健康测试成绩作为样本，下面的取样方法中，合理的是___________(填字母)；A .抽取九年级1班、2班各20名学生的体质健康测试成绩组成样本B .抽取各班体育成绩较好的学生共40名学生的体质健康测试成绩组成样本C .从年级中按学号随机选取男女生各20名学生学生的体质健康测试成绩组成样本 整理、描述数据抽样方法确定后，调查小组获得了40名学生的体质健康测试成绩如下： 77 83 80 64 86 90 75 92 83 81 85 86 88 62 65 86 97 96 82 73 86 84 89 86 92 73 57 77 87 82 91 81 86 71 53 72 90 76 68 78 整理数据，如下表所示：2019年九年级部分学生学生的体质健康测试成绩统计表分析数据、得出结论调查小组将统计后的数据与去年同期九年级的学生的体质健康测试成绩(直方图)进行了对比， 你能从中得到的结论是_____________，你的理由是________________________________.体育老师计划根据2019年的统计数据安排75分以下的同学参加体质加强训练项目，则全年级约有________名同学参加此项目．【答案】C ；8，10；去年的体质健康测试成绩比今年好，(答案不唯一)；去年较今年低分更少，高分更多，平均分更大，(答案不唯一)；70 【解析】【分析】本题考查抽样调查的特征：抽样调查要具有代表性，要保证调查对象，被抽到的机会是均等的.根据抽样调查的特征逐项判定即可得出选项；由记录的数据数出在80≤A <85范围与在85≤A <90范围的频数即可；观察比较统计表格与条形统计图可得出结论即可；根据样本估计总体，先计算出样体中75分以下的同学参加体质加强训练项目点抽样的比例，再乘以全年级总数即可． 【解答】解：A 、B 抽样不具有代表性，C 具有代表性且每人都有可能抽到， 故选C ；由记录的测试成绩可得成绩在80≤A <85范围的有8人，在85≤A <90范围的有10人， 故答案为8，10；观察比较统计表格与条形统计图可得出去年的体质健康测试成绩比今年好.因为去年较今年低分更少，高分更多，平均分更大；(1+1+2+2+4)÷40×280=70(人)故答案为去年的体质健康测试成绩比今年好(答案不唯一)；去年较今年低分更少，高分更多，平均分更大(答案不唯一)；70.三、计算题（本大题共2小题，共9.0分）18. 计算：(13)−1−√12+3tan 30∘+|√3−2|．【答案】解：原式=3−2√3+3×√33+2−√3=3−2√3+√3+2−√3=5−2√3．【解析】本题考查实数的混合运算.涉及知识有：负整指数幂的运算性质，二次根式化简，特殊角的三角函数值，绝对值意义，合并同类二次根式等.先根据负整指数幂的运算性质、二次根式化简、特殊三角函数值{5A +3>3(A −1),A −22<6−3A .【答案】解：{5A +3>3(A −1) AA −22<6−3A A ，由A 得：A >−3， 由A 得：A <2， ∴−3<A <2．【解析】本题考查一元一次不等式组的解法.先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再根据＂大大取较大；小小取较小；大小小大，中间找；大大小小无解了＂确定出不等式的共分解即可得解．四、解答题（本大题共9小题，共90.0分）20. 如图，△AAA中，AAAA=90∘，D为AB的中点，连接CD，过点B作CD的平行线EF，求证：BC平分AAAA．21.【答案】.证明：∵AAAA=90∘，D为AB的中点，∴AA=12AA=AA∴AAAA=AAAA.∵AA∥AA，∴AAAA=AAAA.∴AAAA=AAAA.∴AA平分AAAA．【解析】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义.先由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出AA=AA，再由等腰三角形的性质，等边对等角，得出AAAA=AAAA，又因式AA//AA，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，即AAAA=AAAA，从而可得AAAA= AAAA，由角平分线定义即可得出结论．22. 关于x的一元二次方程A2−(2A−3)A+A2+1=0．(1)若m是方程的一个实数根，求m的值；(2)若m为负数，判断方程根的情况．【答案】解：(1)∵A是方程的一个实数根，∴A2−(2A−3)A+A2+1=0．∴A=−13；(2)∵∆=A2−4AA=[−(2A−3)]2−4×1×(A2+1)=−12A+5，又∵A<0，∴−12A>0，∴∆=12A+5>0，∴此方程有两个不相等的实数根．【解析】本题考查一元二次方程的根的概念，一元二次方程的根的判别式．一元二次方程ax 2+AA+A= 0(A≠0)的根的判别式△=A 2−4AA：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．(1)将A=A代入原方程求出m值；(2)根据方程根的判别式△=A2−4AA=−12A+5，又因A<0，即可得−12A>0，从而得出△=−12A+ 5>0，由此即可得出结论.23. 如图，□ABCD的对角线AA,AA相交于点O，且AA//AA，AA//AA，AA=AA．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AA=2，则当四边形ABCD的形状是_______________时，四边形AOBE的面积取得最大值是_________________．【答案】解：(1)证明：∵AA//AA，AA//AA，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AA=AA，∵AA=AA，∴AA=AA．∴平行四边形AEBO是矩形，∴AAAA=90∘，∴AA⊥AA，∴平行四边形ABCD是菱形；(2)正方形，2．【解析】【分析】第7页/共12页本题考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定．(1)先证四边形AEBO是平行四边形，再证平行四边形AEBO是矩形，再由矩形的性质得AA⊥AA，即可得出结论；(2)根据(1)可知四边形AEBO是矩形，AA=AA=2，所以AA2+AA2=AA2=4，则AA2+AA2≥2AA·AA，又因A矩形AAAA=AA·AE，所以2AA·AA≤4，即可得出答案。
北京市海淀区九年级数学上学期期中试题(含解析) 新人教版
AOA '北京市海淀区2017届九年级数学上学期期中试题学校 姓名 学号 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．一元二次方程320x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A ．3，1-，2- B ．3，1，2- C ．3，1-，2 D ．3，1，22．里约奥运会后，受到奥运健儿的感召，群众参与体育运动的热度不减，全民健身再次成为了一种时尚，球场上也出现了更多年轻人的身影．请问下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是A B C D 3．用配方法解方程2620x x ++=，配方正确的是A ．()239x += B ．()239x -= C ．()236x += D ．()237x += 4．如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了80°，小林的位置也从A 点运动到了A '点，则'OAA ∠的度数为A ．40° B．50° C ．70° D．80°5．将抛物线22y x =平移后得到抛物线221y x =+，则平移方式为 A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位6．在△ABC 中，90C ︒∠=，以点B 为圆心，以BC 长为半径作圆，点A 与该圆的位置关系为 A ．点A 在圆外 B ．点A 在圆内 C ．点A 在圆上 D．无法确定 7．若扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 8．已知2是关于x 的方程230x ax a +-=的根，则a 的值为A ．4-B ．4C ．2D ．459．给出一种运算：对于函数nx y =，规定1-='n nx y ．例如：若函数41y x =，则有314y x '=．函数32y x =，则方程212y '=的解是A ．14x =，24x =-B ．1x =，2x =-C ．021==x xD ．12x =，22x =-10．太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法．为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻．在一定条件下，直杆的太阳影子长度l （单位：米）与时刻t （单位：时）的关系满足函数关系2l at bt c =++（a ，b ，c 是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t 是 A ．12.75B ．13C ．13.33D ．13.5二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．方程02=-x x 的解为 ．12．请写出一个对称轴为3x =的抛物线的解析式 ．13．如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是图 （填“甲”、“乙”或“丙”），你的根据是_______________________________________________________ _______________________________________________________．14．若关于x 的方程220x x k --=有两个相等的实数根，则k 的值是 ． 15．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C =45°，半径OB 的长为3，则AB的长为 ．16．CPI 指居民消费价格指数，反映居民家庭购买消费商品及服务的价格水平的变动情况．CPI 的涨跌率在一定程度受到季节性因素和天气因素的影响．根据北京市2015年与2016年CPI 涨跌率的统计图中的信息，请判断2015年1~8月份与2016年1~8月份，同月份比较CPI 涨跌率下降最多的月份是 月；请根据图中提供的信息，预估北京市2016年第四季度CPI 涨跌率变化趋势是 ，你的预估理由是 ．2015与2016年CPI 涨跌率（%）l (米A三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解方程：246x x +=．18．求抛物线22y x x =-19．如图，A ，D 是半圆上的两点，O 为圆心，BC 是直径，∠D =35°，求∠OAC 的度数．20．已知：2230m m +-=．求证：关于x 的方程2220x mx m --=有两个不相等的实数根．21．如图，在等边△ABC 中，点D 是 AB 边上一点，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转60°后得到CE ，连接AE ． 求证：AE ∥BC ．B CDA E图222．如图1，在线段AB 上找一点C ，C 把AB 分为AC 和CB 两段，其中BC 是较小的一段，如果2BC AB AC ⋅=，那么称线段AB 被点C 黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域．如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割，已知太和殿到内金水桥的距离约为100丈，求太和门2.2）．23．如图1是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，它的喷灌区是一个扇形．小涛同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他A C B图1测量出了相关数据，并画出了示意图．如图2，A ，B 两点的距离为18米，求这种 装置能够喷灌的草坪面积．24．下表是二次函数2y ax bx c =++的部分x ，y 的对应值：）二次函数图象的开口向 ，顶点坐标是 ，的值为 ； （2）当0x ＞时，y 的取值范围是 ；（3）当抛物线2y ax bx c =++的顶点在直线y x n=+的下方时，n 的取值范围是 ．25．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，过点A 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点F ，连接AE ． （1）求证：∠ABC =2∠CAF ； （2）过点C 作CM ⊥AF 于M 点，若CM = 4，BE = 6，求AE 的长．26．小华在研究函数1y x =与22y x =图象关系时发现：如图所示，当1x =时，11y =，22y =；当2x =时，A图212y =，24y =；…；当x a =时，1y a =，22y a =．他得出如果将函数1y x =图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，就可以得到函数22y x =的图象．类比小华的研究方法，解决下列问题：（1）如果函数3y x =图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到的函数图象的表达式为 ；（2）①将函数2y x =图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍，得到函数24y x =的图象；②将函数2y x =图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到图象 的函数表达式为 ．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y x mx n =++-的对称轴为2x =． （1）m 的值为 ；（2）若抛物线与y 轴正半轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ，当△OAB 是等腰直角三角形时，求n 的值；（3）点C 的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC 有且只有一个交点，求n 的取值范围．28．在菱形ABCD 中，∠BAD =α，E 为对角线AC 上的一点（不与A ，C 重合），将射线EB 绕点E 顺时针旋转β角之后，所得射线与直线AD 交于F 点．试探究线段EB 与EF 的数量关系．小宇发现点E 的位置，α和β的大小都不确定，于是他从特殊情况开始进行探究．（1）如图1，当α=β=90°时，菱形ABCD 是正方形．小宇发现，在正方形中，AC 平分∠BAD ，作EM ⊥AD 于M ，EN ⊥AB 于N ．由角平分线的性质可知EM =EN ，进而可得EMF ENB △≌△，并由全等三角形的性质得到EB 与EF 的数量关系为 ．（2）如图2，当α=60°，β=120°时，①依题意补全图形；②请帮小宇继续探究（1）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立， 请举出反例说明；（3） 小宇在利用特殊图形得到了一些结论之后，在此基础上对一般的图形进行了探究，设∠ABE =γ，若旋转后所得的线段EF 与EB 的数量关系满足（1）中的结论，请直接写出角α，β，γ满足的关系： ．29．点P 到AOB ∠的距离定义如下：点Q 为AOB ∠的两边上的动点，当PQ 最小时，我们称此时PQ的长度为点P 到AOB ∠的距离，记为()d P AOB ∠，．特别的，当点P 在AOB ∠的边上时，()0d P AOB ∠=，．在平面直角坐标系xOy 中，A ()40，． （1）如图1，若M （0，2），N （1-，0），则()d M AOB ∠=， ，()d N AOB ∠=， ；FEM CD A N B 图1 图2图1（2）在正方形OABC 中，点B （4，4）．①如图2，若点P 在直线34y x =+上，且()d P AOB ∠=，，求点P 的坐标；②如图3，若点P 在抛物线24y x =-上，满足()d P AOB ∠=，P 有个，请你画出示意图，并标出点图2图3北京市海淀区2017届九年级第一学期期中考试数学试题答案及解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．，，B．，，C．，，D．，，【考点】一元二次方程的有关概念【答案】A【解析】∵x²前面的数字是二次项系数，x前面的是一次项系数，数字是常数项ax²（二次项，a是系数）+bx（一次项，b是系数）+c（常数项）=0∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是．，，。
2015年海淀中考数学一模试题及答案
解： ( x 2y)2 (x y)( x y) 2 y2 x2 4xy 4 y2 ( x2 y2 ) 2 y2 ………………………………………………２ 分
4 xy 3y 2 ……………………………………………………………………３
6. 如图，已知∠ AOB.小明按如下步骤作图： (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交
OA 于点 D ，交 OB 于点 E.
1
(2) 分别以点 D 、 E 为圆心，大于 DE 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点 C．
2
(3) 画射线 OC.
根据上述作图步骤，下列结论正确的是 A ．射线 OC是∠ AOB的平分线 B ．线段 DE平分线段 OC C ．点 D和点 C 关于直线 DE对称 D ． OE=CE 7．某次比赛中， 15 名选手的成绩如图所示，则这 l5 名选 手成绩的众数和中 位数分别是
200
300
400
500
600
摸到白球的次数 m
58
118
189
237
302
359
m
摸到白球的频率
n
0.58
0.59
0.63
0.593 0.604
从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为
（结果精确到 0.1 ）
14. 如图，点 C 为线段 AB上一点，将线段 CB绕点 C 旋转，得到线段 CD，若 DA
E
F
A
B
C
D
18. 解不等式组：
3x 4＞5x 2 x 1x 4
33
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第1页（共27页） 2014-2015学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．（4分）如图图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D． 2．（4分）将抛物线y=x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2+1 D．y=（x﹣1）2+1 3．（4分）袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球．下面说法正确的是（ ） A．这个球一定是黑球 B．这个球一定是白球 C．“摸出黑球”的可能性大 D．“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大 4．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0时，配方后得到的方程为（ ） A．（x﹣1）2=4 B．（x﹣1）2=﹣4 C．（x+1）2=4 D．（x+1）2=﹣4 5．（4分）如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为2，则的长为（ ）
A． B． C． D． 6．（4分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=59°，则∠C等于（ ） 第2页（共27页）
A．29° B．31° C．59° D．62° 7．（4分）已知二次函数y=x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0的两个实数根是（ ） A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=﹣1，x2=2 C．x1=﹣1，x2=0 D．x1=1，x2=3 8．（4分）如图，C是半圆O的直径AB上的一个动点（不与A，B重合），过C作AB的垂线交半圆于点D，以点D，C，O为顶点作矩形DCOE．若AB=10，设AC=x，矩形DCOE的面积为y，则下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D． 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．（4分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接AB．∠APB=60°，AB=5，则PA的长是 ．
10．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为 ． 11．（4分）在平面直角坐标系xOy中，函数y=x2的图象经过点M（x1，y1），N 第3页（共27页）
（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 y2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接） 12．（4分）如图，正方形ABCD中，点G为对角线AC上一点，AG=AB．∠CAE=15°且AE=AC，连接GE．将线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，使DF=GE，则∠CAF的度数为 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．（5分）解方程：x2+3x﹣1=0． 14．（5分）如图，∠DAB=∠EAC，AB=AD，AC=AE． 求证：BC=DE．
15．（5分）已知二次函数的图象经过点（0，1），且顶点坐标为（2，5），求此二次函数的解析式． 16．（5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=130°，求∠OAC的度数．
17．（5分）若x=1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2=0的根，求代数式2（m﹣1）2+3的值． 18．（5分）某厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善城市的大气环境质 第4页（共27页）
量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率是多少？
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（5分）如图是某市某月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．
（1）由图可知，该月1日至15日中空气重度污染的有 天； （2）小丁随机选择该月1日至15日中的某一天到达该市，求小丁到达该市当天空气质量优良的概率． 20．（5分）已知关于x的方程ax2+（a﹣3）x﹣3=0（a≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a的值． 21．（5分）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D=∠G=30°． （1）求证：CG是⊙O的切线； （2）若CD=6，求GF的长．
22．（5分）阅读下面材料： 小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称 第5页（共27页）
为数列x1，x2，x3．计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|=2，=，=，所以数列2，﹣1，3的价值为． 小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为． 根据以上材料，回答下列问题： （1）数列﹣4，﹣3，2的价值为 ； （2）将“﹣4，﹣3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为 ，取得价值最小值的数列为 （写出一个即可）； （3）将2，﹣9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为 ．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A的坐标； （2）当S△ABC=15时，求该抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，经过点C的直线l：y=kx+b（k＜0）与抛物线的另一个交点为D．该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于﹣8，求k的取值范围． 第6页（共27页）
24．（7分）将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α（0°＜α＜120°）得到线段AD，连接CD．
（1）连接BD， ①如图1，若α=80°，则∠BDC的度数为 ； ②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由． （2）如图2，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B=∠ACD，连接CE，DE．若∠CED=90°，求α的值． 25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在第一象限．以P为圆心的圆经过原点，与y轴的另一个交点为A．点Q是线段OA上的点（不与O，A重合），过点Q作PQ的垂线交⊙P于点B（m，n），其中m≥0． （1）若b=5，则点A坐标是 ； 第7页（共27页）
（2）在（1）的条件下，若OQ=8，求线段BQ的长； （3）若点P在函数y=x2（x＞0）的图象上，且△BQP是等腰三角形． ①直接写出实数a的取值范围： ； ②在，，这三个数中，线段PQ的长度可以为 ，并求出此时点B的坐标． 第8页（共27页） 2014-2015学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．（4分）如图图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误； 故选：B．
2．（4分）将抛物线y=x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2+1 D．y=（x﹣1）2+1 【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向上平移1个单位得到的点的坐标为（0，1），所以所得到的抛物线的解析式为y=x2+1． 故选：A．
3．（4分）袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出1个球．下面说法正确的是（ ） A．这个球一定是黑球 B．这个球一定是白球 C．“摸出黑球”的可能性大 D．“摸出黑球”和“摸出白球”的可能性一样大 第9页（共27页）
【解答】解：∵布袋中有除颜色外完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球， ∴从布袋中随机摸出一个球是黑球的概率为=，摸出一个球是白球的概率为
=， ∴摸出黑球”的可能性大； 故选：C．
4．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣3=0时，配方后得到的方程为（ ） A．（x﹣1）2=4 B．（x﹣1）2=﹣4 C．（x+1）2=4 D．（x+1）2=﹣4 【解答】解：把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=4， 配方得（x﹣1）2=4． 故选：A．
5．（4分）如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为2，则的长为（ ）
A． B． C． D． 【解答】解：如图所示：∵⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为2， ∴∠AOB==72°，
∴的长为：=π． 故选：D．