福建省南安一中2014—2015学年高二下学期期中考试 数学文 Word版含答案
福建省南安一中高二数学下学期期中考试试题 文【会员独享】
福建省南安一中-高二下学期期中考试数学（文）试题本试卷考试内容为：集合、函数与导数、选修1-2. 分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），共4页，满分１５０分，考试时间１２０分钟.注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.2．考生作答时，请将答案写在答题纸上，在本试卷上答题无效. 按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 考试结束后，将答题纸交回.第I 卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合{1,2,3,4,5},{1,2,3}U A ==，则U C A = （ ）A ．{1，3，5}B ．{2，4}C ．{1，2，3}D ．{4，5}2．已知i 是虚数单位，则复数1i= （ ）A ．iB ．1C ．i -D ．1-3． 二次函数2()21f x x x =+-图像的对称轴方程是 （ ） A ．1x =-B ．1x =C ．2x =-D ．2x = 4．函数1()2xf x -=的定义域为（ ）A ．[]0,1B ．(],1-∞C ．[]1,1-D ．(),1-∞5. 已知集合{}3,2,1=A ，{}20,B x x x x =-=∈R ，则A B 为 ( )A ．∅B ．{}2C ．{}1 D ．{}2,1 [6．函数()2f x x =-的图像可以由幂函数12()f x x =的图像变换得到，这种变换是 （ ）A ．向上平移2个单位B ．向下平移2个单位C ．向左平移2个单位D ．向右平移2个单位7．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()log ,f x x =则(2)f -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2D ．2-8. 某厂节能降耗技术改造后，在生产过程中记录了产量x （吨） 与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据如右表所示，根据右表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.7yx a =+，那么a 的值等于 （ ）A ．0.35B ．3.15C ．3.5D ．0.49. 已知函数()y f x =在R 上满足(1)(1)f x f x +=-，且在[)1,+∞上单调递增，则下列结论 正确的是 （ ）A ．(0)(1)(3)f f f >>B ．(0)(3)(1)f f f >>C ．(3)(1)(0)f f f >>D ．(3)(0)(1)f f f >>10. 若(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 ( ) A.()+∞,1B. ()4,8C.[)8,4D. ()1,811. 已知0x 是函数1()ln 1f x x x=+-的一个零点，若()()+∞∈∈,,,10201x x x x ，则 ( ) A. ()()120,0f x f x <>B. ()()120,0f x f x >>C. ()()120,0f x f x ><D. ()()120,0f x f x <<12. 已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数()f x '的图象如图所示，则对于任意12,x x ∈R （12x x ≠），下列结论中正确的是 ( ) ① ()0f x <恒成立；② 1212()[()()]0x x f x f x --<； ③ 1212()[()()]0x x f x f x -->；④ 1212()()()22x x f x f x f >++； ⑤ 1212()()()22x x f x f x f <++． A. ①③ B. ①③④C. ②④D. ②⑤第II 卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 已知函数()2xf x =，则((0))f f = .14. 函数2()ln(4)f x x x =-的单调递增区间是 . 15. 曲线xy 1=在点)1,1(处切线倾斜角是 . 16．对一块边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成33⨯方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积159S =；第二步，将图①的5个小正[来源: 方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推， x 3 4 5 6 y2.5 344.5第12题图到第n 步，所得图形的面积5()9n n S =．若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n 步，所得几何体的体积n V = . 三．解答题：本大题共6小题，共74分.17. （本小题满分12分）（Ⅰ）化简：11444242x xx x --+++； （Ⅱ）求值：22(lg5)2lg 2lg50+.18. （本小题满分12分）若集合{}2|230A x x x =--<，{}|0B x x m =-<. （Ⅰ）若A B φ=，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若A B B =，求实数m 的取值范围.19. （本小题满分12分）已知函数)(x f 是定义在R 上的单调函数，满足(3)2f -=，且对任意的实数x 有()()0f x f x -+=恒成立. （Ⅰ）试判断)(x f 在R 上的单调性,并说明理由. （Ⅱ）解关于x 的不等式(23)2f x -<.20.（本题满分12分）已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-．（Ⅰ）若(1)3f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）若3a =，求)(x f 在区间[]0,2上的最大值.21.(本小题满分12分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生 5 女生 10 合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为35． （Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；（Ⅱ）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由.参考数据与公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ，其中n a b c d =+++下面的临界值表供参考：2()p K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82822. (本小题满分14分)设函数2()2ln f x x x =-. （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求)(x f 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值（其中 2.71828e ≈）；(Ⅲ) 若关于x 的方程2()f x x x a =-+在区间[]1,3上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围. 南安一中～高二下学期期中考数学（文）试卷参考答案4242422442x x x xx+=+=+++----------------4分 1=----------------6分（Ⅱ）原式2102(lg5)2lglg(105)5=+⨯----------------8分 22(lg5)2(lg10lg5)(lg10lg5)=+-+22(lg5)2(1lg5)(1lg5)=+-+----------------10分222(lg5)21(lg5)2⎡⎤=+-=⎣⎦----------------12分∴1m ≤-，故实数m 的取值范围是{}|1m m ≤-----------------8分（Ⅱ） AB B =，∴A B ⊆----------------10分∴3m ≥，故实数m 的取值范围是{}|3m m ≥----------------12分20.（本题满分12分）已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-．（Ⅰ）若(1)3f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）若3a =，求)(x f 在区间[]0,2上的最大值.解：（Ⅰ）2'()32f x x ax =-．因为(1)323f a '=-=，所以 0a =．--------------4分又当0a =时，(1)1,(1)3f f '==，--------------6分所以曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程为320x y --=--------------8分 （Ⅱ）由于3a =，令'()0f x =，解得02x x ==或． --------------9分当[]0,2x ∈时，有()0f x '≤，故()f x 在[]0,2上单调递减，--------------11分 所以)(x f 在区间[]0,2上的最大值为(0)0f =．--------------12分21.(本小题满分12分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计 男生 5 女生 10 合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为35．（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求)(x f 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值（其中 2.71828e ≈）；(Ⅲ) 若关于x 的方程2()f x x x a =-+在区间[]1,3上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.解：（Ⅰ）函数的定义域为()0,+∞--------------1分22()1x g x x x-'=-=，--------------10分 由()0g x '>得20x x ><或（舍去），由()0g x '<得02x <<。
福建省泉州市南安年高二数学下学期期中试卷文(含解析)
2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．函数的定义域是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞） D．（1，+∞）2．已知集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{﹣1，0，1} D．R3．下列各组表示同一函数的是（）A．y=与y=（）2B．y=lgx2与y=2lgxC．y=1+与y=1+D．y=x2﹣1（x∈R）与y=x2﹣1（x∈N）4．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））=（）A．B．C．﹣D．25．全称命题：∀x∈R，x2＞0的否定是（）A．∀x∈R，x2≤0B．∃x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，x2＜0 D．∃x∈R，x2≤06．若a＞b，则下列不等式正确的是（）A．B．a3＞b3C．a2＞b2D．a＞|b|7．函数y=﹣lnx（1≤x≤e2）的值域是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣，0] D．[0，]8．设函数，则有（）A．f（x）是奇函数，B．f（x）是奇函数， y=b xC．f（x）是偶函数D．f（x）是偶函数，9．已知函数f（x）的定义域为[a，b]，函数y=f（x）的图象如下图所示，则函数f（|x|）的图象是（）A．B．C．D．10．若函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，），则a的取值范围是（）A．a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＞1 D．0＜a＜111．若函数则“a=1”是“函数y=f（x）在R上单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．二、填空题：每小题4分，共16分，请将答案填在横线上.13．不等式的解为．14．函数f（x）=log a（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）过定点A，则点A的坐标为．15．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1）+f′（1）= ．16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，B={x|x＜4}，C={x|x≥a}．（Ⅰ）求A∩（∁U B）；（Ⅱ）若A⊆C，求a的取值范围．18．已知函数f（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）判断f（x）奇偶性，并证明；（Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．19．已知奇函数f（x）=（c∈R）．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．20．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值．（Ⅰ）求c的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，求d的取值范围．21．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？22．已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f （x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．函数的定义域是（）A．[0，+∞） B．[1，+∞）C．（0，+∞） D．（1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】根据负数没有平方根得到2x﹣1大于等于0，然后根据指数函数的增减性得到x的范围即可．【解答】解：由题意得：2x﹣1≥0，即2x≥1=20，因为2＞1，所以指数函数y=2x为增函数，则x≥0．所以函数的定义域为[0，+∞）故选A【点评】本题为一道基础题，要求学生会根据二次根式的定义及指数函数的增减性求函数的定义域．2．已知集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1} D．R【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】由题意可知B⊆A，然后化简四个选项中的集合，逐一核对后即可得到答案．【解答】解：由A={x|x≥0}，且A∩B=B，所以B⊆A．A、{x|x≥0}={x|x≥0}=A，故本选项正确；B、{x|x≤1，x∈R}=（﹣∞，1]⊊[0，+∞），故本选项错误；C、若B={﹣1，0，1}，则A∩B={0，1}≠B，故本选项错误；D、给出的集合是R，不合题意，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了基本初等函数值域的求法，是基础题．3．下列各组表示同一函数的是（）A．y=与y=（）2B．y=lgx2与y=2lgxC．y=1+与y=1+D．y=x2﹣1（x∈R）与y=x2﹣1（x∈N）【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．【解答】解：A．y=|x|，定义域为R，y=（）2=x，定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不能表示同一函数．B．y=lgx2，的定义域为{x|x≠0}，y=2lgx的定义域为{x|x＞0}，所以两个函数的定义域不同，所以不能表示同一函数．C．两个函数的定义域都为{x|x≠0}，对应法则相同，能表示同一函数．D．两个函数的定义域不同，不能表示同一函数．故选：C．【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．4．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））=（）A．B．C．﹣D．2【考点】函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】运用分段函数，可得f（﹣1）=1，再求f（f（﹣1））=f（1）=2．【解答】解：函数f（x）=，则f（﹣1）=（﹣1）2=1，f（f（﹣1））=f（1）=21=2．故选D．【点评】本题考查分段函数和运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．5．全称命题：∀x∈R，x2＞0的否定是（）A．∀x∈R，x2≤0B．∃x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，x2＜0 D．∃x∈R，x2≤0【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题：∀x∈R，x2＞0的否定是：∃x∈R，x2≤0．故选D．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．6．若a＞b，则下列不等式正确的是（）A．B．a3＞b3C．a2＞b2D．a＞|b|【考点】不等关系与不等式．【专题】证明题．【分析】用特殊值法，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得即可得答案．【解答】解：∵a＞b，令 a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：=﹣1， =﹣，显然A不正确．a3=﹣1，b3=﹣6，显然 B正确．a2 =1，b2=4，显然C不正确．a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．故选 B．【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．7．函数y=﹣lnx（1≤x≤e2）的值域是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣，0] D．[0，]【考点】对数函数的值域与最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的解析式，分析出函数的单调性，进而分析出函数的最值，可得函数的值域．【解答】解：∵函数y=lnx在（0，+∞）上为增函数，故函数y=﹣lnx在（0，+∞）上为减函数，当1≤x≤e2时，若x=1，函数取最大值0，x=e2，函数取最小值﹣2，故函数y=﹣lnx（1≤x≤e2）的值域是[﹣2，0]，故选：B【点评】本题考查的知识点是对数函数的值域与最值，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．8．设函数，则有（）A．f（x）是奇函数，B．f（x）是奇函数， y=b xC．f（x）是偶函数D．f（x）是偶函数，【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】先用定义判断函数的奇偶性，再求f（），找出其与f（x）的关系即可得到答案．【解答】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．又f（﹣x）===f（x），所以f（x）为偶函数．而f（）===﹣=﹣f（x），故选C．【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．9．已知函数f（x）的定义域为[a，b]，函数y=f（x）的图象如下图所示，则函数f（|x|）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】作图题；压轴题；数形结合；运动思想．【分析】由函数y=f（x）的图象和函数f（|x|）的图象之间的关系，y=f（|x|）的图象是由y=f（x）把x＞0的图象保留，x＜0部分的图象关于y轴对称而得到的．【解答】解：∵y=f（|x|）是偶函数，∴y=f（|x|）的图象是由y=f（x）把x＞0的图象保留，x＜0部分的图象关于y轴对称而得到的．故选B．【点评】考查函数图象的对称变换和识图能力，注意区别函数y=f（x）的图象和函数f（|x|）的图象之间的关系，函数y=f（x）的图象和函数|f（x）|的图象之间的关系；体现了数形结合和运动变化的思想，属基础题．10．若函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，），则a的取值范围是（）A．a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＞1 D．0＜a＜1【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】由“函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，）”，则有“f′（x）≤0，x∈（，）恒成立”求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，）∴f′（x）≤0，x∈（，）恒成立即：﹣a（1﹣3x2）≤0，，x∈（，）恒成立∵1﹣3x2≥0成立∴a＞0故选A【点评】本题主要考查函数单调性的应用，一般来讲已知单调性，则往往转化为恒成立问题去解决．11．若函数则“a=1”是“函数y=f（x）在R上单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】若a=1时，y=﹣x+a单调递减，且h（x）＜h（0）=1，符合函数y=f（x）在R上单调递减；若函数y=f（x）在R上单调递减，则g（0）≤h（0）可求a的范围【解答】解：设g（x）=，h（x）=﹣x+a，则g（x），h（x）都是单调递减∵y=在（﹣∞，0]上单调递减且h（x）≥h（0）=1若a=1时，y=﹣x+a单调递减，且h（x）＜h（0）=1∴，即函数y=f（x）在R上单调递减若函数y=f（x）在R上单调递减，则g（0）≤h（0）∴a≤1则“a=1”是“函数y=f（x）在R上单调递减”的充分不必要条件故选A【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了分段函数的单调性的判断，解题中要注意分段函数的端点处的函数值的处理12．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．二、填空题：每小题4分，共16分，请将答案填在横线上.13．不等式的解为{x|x＞1或x＜0} ．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】通过移项、通分；利用两个数的商小于0等价于它们的积小于0；转化为二次不等式，通过解二次不等式求出解集．【解答】解：即即x（x﹣1）＞0解得x＞1或x＜0故答案为{x|x＞1或x＜0}【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出14．函数f（x）=log a（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）过定点A，则点A的坐标为（2，2）．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由log a1=0得x﹣1=1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标．【解答】解：∵log a1=0，∴当x﹣1=1，即x=2时，y=2，则函数y=log a（x﹣1）+2的图象恒过定点（2，2）．故答案为：（2，2）．【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log a1=0，属于基础题．15．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1）+f′（1）= 4 ．【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】由导数的几何意义知，函数y=f（x）的图象在x=a处的切线斜率是f′（a）；并且点P（a，f （a））是切点，该点既在函数y=f（x）的图象上，又在切线上，f（a）是当x=a时的函数值，依此问题易于解决．【解答】解：由题意得f′（1）=3，且f（1）=3×1﹣2=1所以f（1）+f′（1）=3+1=4．故答案为4．【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f（a）与f′（a）．16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是①②⑤．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用．【分析】由导数图象可知，函数的单调性，从而可得函数的极值，故可得①，②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f （x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，即可求得结论．【解答】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，综上正确的命题序号为①②⑤．故答案为：①②⑤．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，B={x|x＜4}，C={x|x≥a}．（Ⅰ）求A∩（∁U B）；（Ⅱ）若A⊆C，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】（Ⅰ）求出A中不等式的解集确定出A，由全集U=R，及B求出B的补集，求出A与B补集的交集即可；（Ⅱ）根据A，C，以及A为C的子集，确定出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵全集U=R，B={x|x＜4}，∴∁U B={x|x≥4}，又∵A={x|x2﹣4x﹣5≤0}={x|﹣1≤x≤5}，∴A∩（∁U B）={x|4≤x≤5}；（Ⅱ）∵A={x|﹣1≤x≤5}，C={x|x≥a}，且A⊆C，∴a的范围为a≤﹣1．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18．已知函数f（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）判断f（x）奇偶性，并证明；（Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．【考点】函数奇偶性的判断；其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）求函数的定义域，根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）奇偶性；（Ⅱ）当0＜a＜1时，根据对数函数的单调性即可解不等式f（x）＞0．【解答】解：（Ⅰ）由，得，即﹣1＜x＜1，即定义域为（﹣1，1），则f（﹣x）=log a（1﹣x）﹣log a（1+x）=﹣[log a（1+x）﹣log a（1﹣x）]=﹣f（x），则f（x）为奇函数．（Ⅱ）当0＜a＜1时，由f（x）＞0，即log a（1+x）﹣log a（1﹣x）＞0，即log a（1+x）＞log a（1﹣x），则1+x＜1﹣x，解得﹣1＜x＜0，则不等式解集为：（﹣1，0）．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及对数不等式的求解，利用定义法以及对数函数的单调性是解决本题的关键．19．已知奇函数f（x）=（c∈R）．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据函数的奇偶性，得到=﹣=，比较系数求出c的值即可；（Ⅱ）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴=﹣=，比较系数得：c=﹣c，∴c=0，∴f（x）==x+；（Ⅱ）∵f（x）=x+，∴f′（x）=1﹣，当x∈[2，+∞）时，1﹣＞0，∴函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，∴f（x）min=f（2）=．【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．20．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值．（Ⅰ）求c的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，求d的取值范围．【考点】函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】（I）由已知中函数解析式f（x）=x3﹣x2+cx+d，我们易求出导函数f′（x）的解析式，然后根据函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值，方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，构造关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，则f′（2）=0，求出满足条件的c值后，可以分析出函数f（x）=x3﹣x2+cx+d的单调性，进而分析出当x＜0时，函数的最大值，又由当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，可以构造出一个关于d的不等式，解不等式即可得到d的取值范围．【解答】解（Ⅰ）∵f（x）=x3﹣x2+cx+d，∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，从而△=1﹣4c＞0，∴c＜．（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值，∴f′（2）=4﹣2+c=0，∴c=﹣2．∴f（x）=x3﹣x2﹣2x+d，∵f′（x）=x2﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1），∴当x∈（﹣∞，﹣1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（﹣1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．∴x＜0时，f（x）在x=﹣1处取得最大值，∵x＜0时，f（x）＜恒成立，∴＜，即（d+7）（d﹣1）＞0，∴d＜﹣7或d＞1，即d的取值范围是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．21．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题．【分析】（1）由题意可得，第x个月的需求量等于第x个月的需求总量减去第x﹣1个月的需求总量，故当x=1时，f（1）=p（1），当2≤x≤12时，f（x）=p（x）﹣P（x﹣1）；（2）根据月利润=该商品每件的利润×月销售量，列出关系式，再利用导数求最值求解即可．【解答】解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37．（2分）当2≤x≤12时，且x≤12）（5分）验证x=1符合f（x）=﹣3x2+40x，∴f（x）=﹣3x2+40x（x∈N*且x≤12）．该商场预计销售该商品的月利润为g（x）=（﹣3x2+40x）（185﹣150﹣2x）=6x3﹣185x2+1400x，（x∈N*且x≤12），令h（x）=6x3﹣185x2+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x2﹣370x+1400，令h'（x）=0，解得（舍去）．＞0；当5＜x≤12时，h'（x）＜0．∴当x=5时，h（x）取最大值h（5）=3125．max=g（5）=3125（元）．综上，5月份的月利润最大是3125元．（14分）【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题．22．已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f （x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）由题意得，＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，即可求出函数的最值．（2）由题意得：令＜0，对x ∈（1，+∞）恒成立，且h （x ）=f 1（x ）﹣f （x ）=＜0对x ∈（1，+∞）恒成立，分类讨论当或时两种情况求函数的最大值，可得到a 的范围．又因为h′（x ）=﹣x+2a ﹣=＜0，h （x ）在（1，+∞）上为减函数，可得到a 的另一个范围，综合可得a 的范围．【解答】解：（1）当时，，；对于x ∈[1，e]，有f'（x ）＞0，∴f（x ）在区间[1，e]上为增函数，∴，．（2）在区间（1，+∞）上，函数f （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的“活动函数”，则f 1（x ）＜f （x ）＜f 2（x ）令＜0，对x ∈（1，+∞）恒成立，且h （x ）=f 1（x ）﹣f （x ）=＜0对x ∈（1，+∞）恒成立，∵1）若，令p′（x ）=0，得极值点x 1=1，，当x 2＞x 1=1，即时，在（x 2，+∞）上有p′（x ）＞0，此时p （x ）在区间（x 2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p （x ）∈（p （x 2），+∞），不合题意；当x 2＜x 1=1，即a≥1时，同理可知，p （x ）在区间（1，+∞）上，有p （x ）∈（p （1），+∞），也不合题意；2）若，则有2a ﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x ）＜0，从而p （x ）在区间（1，+∞）上是减函数；要使p （x ）＜0在此区间上恒成立，只须满足，所以≤a≤．又因为h′（x ）=﹣x+2a ﹣=＜0，h （x ）在（1，+∞）上为减函数，h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤综合可知a的范围是[，]．【点评】本题考查的知识点是利用导数求函数的最值，利用最值解决恒成立问题，二对于新定义题型关键是弄清新概念与旧知识点之间的联系即可，结合着我们已学的知识解决问题，这是高考考查的热点之一．。
福建省泉州市南安一中高二(下)期中数学试卷(理科)
2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图由图中数据可知身高在内的学生人数为（）A．20 B．25 C．30 D．352．二项式的展开式中x的系数为（）A．5 B．10 C．20 D．403．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为（）A．100 B．110 C．120 D．1804．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（）A．B． C． D．5．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.156．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元） 4 2 3 5销售额y（万元）49 26 39 54根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元7．右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．8．已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），且P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，若μ=4，σ=1，则P（5＜X＜6）=（）A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.27189．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（）A．9 B．10 C．18 D．2010．（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．4011．某校数学学科中有4门选修课程，3名学生选课，若每个学生必须选其中2门，则每门课程都有学生选的不同的选课方法数为（）A．84 B．88 C．114 D．11812．已知O点为△ABC所在平面内一点，且满足+2+3=，现将一粒质点随机撒在△ABC 内，若质点落在△AOC的概率为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n=．14．将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有种．15．若（x2+1）（x﹣2）9=a0+a1x+a2x2+…+a11x11，则a1+a2+a3…+a11的值为．16．一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X，则X的期望E（X）=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数．（Ⅰ）可以组成多少个不同的四位数？（Ⅱ）若四位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则这样的四位数有多少个？（Ⅲ）将（I）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？18．随机变量X的分布列为X ﹣1 0 1 2 3P 0.16 a20.3（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求E（X）；（Ⅲ）若Y=2X﹣3，求E（Y）．19．甲、乙两名同学在5次英语口语测试中的成绩统计如图的茎叶图所示．（1）现要从中选派一人参加英语口语竞赛，从两同学的平均成绩和方差分析，派谁参加更合适；（2）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．（注：样本数据x1，x2，...，x n的方差s2= hslx3y3h++ (120)130120，130120，130++…+0，1hslx3y3h上对x积分由微积分基本定理，得所以2016年8月2日。
福建省南安高二下学期期中考试文科数学试题 有答案
南安2015～2016下学期高二年期中考数学(文)试卷本试卷考试内容为：人教版选修1—1(3章)，选修1—2(2，3，4章)。
分第I 卷(选择题)和第II 卷，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置) 1．在复平面内，复数ii z -=1对应的点在( ) A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．下列推理是归纳推理的是( )A ．由1=131n a a n =-，，求出123,,s s s ，猜出数列{}n a 的前n 项和的表达式 B ．由于x x x f sin )(=满足()()f x f x -=-对x R ∀∈都成立，推断x x x f sin )(=为偶函数 C ．由圆221x y +=的面积2S r π=，推断：椭圆22221x y a b +=的面积S ab π=D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 3．用反证法证明命题“若2sin cos 1sin 1θθ-=，则sin 0cos 0θθ≥≥且”时，下列假设的结论正确的是( )A ．sin 0cos 0θθ≥≥或B ．sin 0cos 0θθ<<或C ．sin 0cos 0θθ<<且D ．sin 0cos 0θθ>>且4．执行如图所示的程序框图，若输入4=x ，则输出y 的值为( ) A.21- B.45 C. 45-D.215．无限循环小数为有理数，如：1210.1,0.2,0.3,993===，则可归纳出0.45=( )A ．12B ．5110C ．120D ． 5116．函数23)(23+-=x x x f 的减区间为( )A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．)2,0(7．观察下列等式，332123+=，33321236++=，33332123410+++=根据上述规律，333333123456+++++= ( )A ．219B ．220C ．221D ．222 8.给出右面的程序框图，那么输出的数是( )A ． 2450B ． 2550C ． 5050D ． 49009．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)=2xf ′(1)+lnx ，则f ′(1)等于( )A ．-eB ．-1C ．1D ．e10．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有( )A. (0)(2)2(1)f f f +<B.(0)(2)2(1)f f f +≤C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D.(0)(2)2(1)f f f +>11．观察下列各式： 1＝12， 2＋3＋4＝32， 3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是( ) A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝n 2 B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝n 2 D ．n ＋ (n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)212．已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为f ′(x)，满足f ′(x)<f(x)，且f(x+2)为偶函数，f(4)=1，则不等式f(x)<e x 的解集为( )A ．(-2，+∞)B ．(0，+∞)C ．(1，+∞) D.(4，+∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置)13.计算)3()78(i i -⨯--= .14．执行如右图的程序框图，输出s 和n ，则s 的值为 . 15,6a t ===+=，若,a t 均为正实数，则由以上等式，可推测a t += .16．已知函数)0(2)(23>+++=a x ax x x f 的极大值点和极小值点都在区间(－1，1)内，则实数a 的取值范围是______．三、解答题(本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知复数i m m m z )2()6(2++--=，R m ∈ (Ⅰ)当3=m 时，求z；(Ⅱ)当m 为何值时，z 为纯虚数。
福建省南安一中高二下学期期中考试数学(文)试题.pdf
第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填在答题卡上）： 1.如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合为 A. B. C.D. 2.已知角的终边经过点，则的值等于 A. B. C. D. 3.下列函数中，值域为的是 A. B. C. D. 4.若，则的大小关系为 A. B. C. D. . 5.设，则 B. C. D. 6.在相距千米的、两点处测量目标，若，则、两点之间的距离是A.４千米B.千米C.千米D.２千米 7.定义在上的偶函数满足：对任意的，有.则 A. B. C. D. ８.根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是 0123412.727.3920.0954.605791113A. B. C. D. 9. A. B. C. D.1 10.函数的图象大致是 11.为得到函数的图象，只需将函数的图像A.向左平移个长度单位B. 向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D. 向右平移个长度单位 12.设是定义在上的周期函数，周期为，对都有，且当 时，，若在区间内关于的方程＝0恰有3个不同的实根，则的取值范围是A.（1，2）B.C.D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（共4小题，每小题4分，请把答案写在答题卡上）： 13.函数是幂函数，且在上是增函数，则实数 ▲ . 14.现有关于函数 的命题， ①函数是奇函数 ②函数在区间［0，］上是增函数 ③函数的图象关于点对称 ④函数的图象关于直线对称 其中的真命题是 ▲ .（写出所有真命题的序号） 15.已知,，、均为锐角，等于 ▲ . 16.对于非空实数集，记．设非空实数集合，满足． 给出以下结论： ①； ②； ③． 其中正确的结论是 ▲ .（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（共6题，要求写出解答过程或者推理步骤）： 17.(本题满分12分) 设全集，已知集合，集合，. （Ⅰ）求，； （Ⅱ）记集合，集合，若，求实数的取值范围． 19.(本题满分12分) 函数 （Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性； （Ⅱ）若，证明函数在上单调递增； （Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，解不等式. 20.(本题满分12分) 阅读下面材料： 根据两角和与差的正弦公式，有 ------① ------② 由①+② 得------③ 令 有 代入③得 ． （Ⅰ）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明: ; （Ⅱ）若的三个内角满足,试判断的形状． 21.(本题满分12分) 某海边旅游景点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元。
福建省泉州市南安一中2014_2015学年高二数学下学期期中试卷文(含解析)
2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．函数的定义域是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞） D．（1，+∞）2．已知集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{﹣1，0，1} D．R3．下列各组表示同一函数的是（）A．y=与y=（）2B．y=lgx2与y=2lgxC．y=1+与y=1+D．y=x2﹣1（x∈R）与y=x2﹣1（x∈N）4．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））=（）A．B．C．﹣D．25．全称命题：∀x∈R，x2＞0的否定是（）A．∀x∈R，x2≤0B．∃x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，x2＜0 D．∃x∈R，x2≤0 6．若a＞b，则下列不等式正确的是（）A．B．a3＞b3C．a2＞b2D．a＞|b|7．函数y=﹣lnx（1≤x≤e2）的值域是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣，0] D．[0，]8．设函数，则有（）A．f（x）是奇函数，B．f（x）是奇函数， y=b xC．f（x）是偶函数D．f（x）是偶函数，9．已知函数f（x）的定义域为[a，b]，函数y=f（x）的图象如下图所示，则函数f（|x|）的图象是（）A．B．C．D．10．若函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，），则a的取值范围是（）A．a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＞1 D．0＜a＜111．若函数则“a=1”是“函数y=f（x）在R上单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．二、填空题：每小题4分，共16分，请将答案填在横线上.13．不等式的解为．14．函数f（x）=log a（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）过定点A，则点A的坐标为．15．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1）+f′（1）= ．16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，B={x|x＜4}，C={x|x≥a}．（Ⅰ）求A∩（∁U B）；（Ⅱ）若A⊆C，求a的取值范围．18．已知函数f（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）判断f（x）奇偶性，并证明；（Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．19．已知奇函数f（x）=（c∈R）．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．20．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值．（Ⅰ）求c的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，求d的取值范围．21．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？22．已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．函数的定义域是（）A．[0，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞） D．（1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】根据负数没有平方根得到2x﹣1大于等于0，然后根据指数函数的增减性得到x的范围即可．【解答】解：由题意得：2x﹣1≥0，即2x≥1=20，因为2＞1，所以指数函数y=2x为增函数，则x≥0．所以函数的定义域为[0，+∞）故选A【点评】本题为一道基础题，要求学生会根据二次根式的定义及指数函数的增减性求函数的定义域．2．已知集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1} D．R【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】由题意可知B⊆A，然后化简四个选项中的集合，逐一核对后即可得到答案．【解答】解：由A={x|x≥0}，且A∩B=B，所以B⊆A．A、{x|x≥0}={x|x≥0}=A，故本选项正确；B、{x|x≤1，x∈R}=（﹣∞，1]⊊[0，+∞），故本选项错误；C、若B={﹣1，0，1}，则A∩B={0，1}≠B，故本选项错误；D、给出的集合是R，不合题意，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了基本初等函数值域的求法，是基础题．3．下列各组表示同一函数的是（）A．y=与y=（）2B．y=lgx2与y=2lgxC．y=1+与y=1+D．y=x2﹣1（x∈R）与y=x2﹣1（x∈N）【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．【解答】解：A．y=|x|，定义域为R，y=（）2=x，定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不能表示同一函数．B．y=lgx2，的定义域为{x|x≠0}，y=2lgx的定义域为{x|x＞0}，所以两个函数的定义域不同，所以不能表示同一函数．C．两个函数的定义域都为{x|x≠0}，对应法则相同，能表示同一函数．D．两个函数的定义域不同，不能表示同一函数．故选：C．【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．4．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））=（）A．B．C．﹣D．2【考点】函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】运用分段函数，可得f（﹣1）=1，再求f（f（﹣1））=f（1）=2．【解答】解：函数f（x）=，则f（﹣1）=（﹣1）2=1，f（f（﹣1））=f（1）=21=2．故选D．【点评】本题考查分段函数和运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．5．全称命题：∀x∈R，x2＞0的否定是（）A．∀x∈R，x2≤0B．∃x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，x2＜0 D．∃x∈R，x2≤0【考点】命题的否定．【专题】阅读型．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题：∀x∈R，x2＞0的否定是：∃x∈R，x2≤0．故选D．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．6．若a＞b，则下列不等式正确的是（）A．B．a3＞b3C．a2＞b2D．a＞|b|【考点】不等关系与不等式．【专题】证明题．【分析】用特殊值法，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得即可得答案．【解答】解：∵a＞b，令 a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：=﹣1， =﹣，显然A不正确．a3=﹣1，b3=﹣6，显然 B正确．a2 =1，b2=4，显然C不正确．a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．故选 B．【点评】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．7．函数y=﹣lnx（1≤x≤e2）的值域是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣，0] D．[0，]【考点】对数函数的值域与最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的解析式，分析出函数的单调性，进而分析出函数的最值，可得函数的值域．【解答】解：∵函数y=lnx在（0，+∞）上为增函数，故函数y=﹣lnx在（0，+∞）上为减函数，当1≤x≤e2时，若x=1，函数取最大值0，x=e2，函数取最小值﹣2，故函数y=﹣lnx（1≤x≤e2）的值域是[﹣2，0]，故选：B【点评】本题考查的知识点是对数函数的值域与最值，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．8．设函数，则有（）A．f（x）是奇函数，B．f（x）是奇函数， y=b xC．f（x）是偶函数D．f（x）是偶函数，【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】先用定义判断函数的奇偶性，再求f（），找出其与f（x）的关系即可得到答案．【解答】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．又f（﹣x）===f（x），所以f（x）为偶函数．而f（）===﹣=﹣f（x），故选C．【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．9．已知函数f（x）的定义域为[a，b]，函数y=f（x）的图象如下图所示，则函数f（|x|）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】作图题；压轴题；数形结合；运动思想．【分析】由函数y=f（x）的图象和函数f（|x|）的图象之间的关系，y=f（|x|）的图象是由y=f（x）把x＞0的图象保留，x＜0部分的图象关于y轴对称而得到的．【解答】解：∵y=f（|x|）是偶函数，∴y=f（|x|）的图象是由y=f（x）把x＞0的图象保留，x＜0部分的图象关于y轴对称而得到的．故选B．【点评】考查函数图象的对称变换和识图能力，注意区别函数y=f（x）的图象和函数f（|x|）的图象之间的关系，函数y=f（x）的图象和函数|f（x）|的图象之间的关系；体现了数形结合和运动变化的思想，属基础题．10．若函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，），则a的取值范围是（）A．a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＞1 D．0＜a＜1【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题．【分析】由“函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，）”，则有“f′（x）≤0，x∈（，）恒成立”求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（，）∴f′（x）≤0，x∈（，）恒成立即：﹣a（1﹣3x2）≤0，，x∈（，）恒成立∵1﹣3x2≥0成立∴a＞0故选A【点评】本题主要考查函数单调性的应用，一般来讲已知单调性，则往往转化为恒成立问题去解决．11．若函数则“a=1”是“函数y=f（x）在R上单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】若a=1时，y=﹣x+a单调递减，且h（x）＜h（0）=1，符合函数y=f（x）在R上单调递减；若函数y=f（x）在R上单调递减，则g（0）≤h（0）可求a的范围【解答】解：设g（x）=，h（x）=﹣x+a，则g（x），h（x）都是单调递减∵y=在（﹣∞，0]上单调递减且h（x）≥h（0）=1若a=1时，y=﹣x+a单调递减，且h（x）＜h（0）=1∴，即函数y=f（x）在R上单调递减若函数y=f（x）在R上单调递减，则g（0）≤h（0）∴a≤1则“a=1”是“函数y=f（x）在R上单调递减”的充分不必要条件故选A【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了分段函数的单调性的判断，解题中要注意分段函数的端点处的函数值的处理12．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A．1 B．C．D．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．二、填空题：每小题4分，共16分，请将答案填在横线上.13．不等式的解为{x|x＞1或x＜0} ．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】通过移项、通分；利用两个数的商小于0等价于它们的积小于0；转化为二次不等式，通过解二次不等式求出解集．【解答】解：即即x（x﹣1）＞0解得x＞1或x＜0故答案为{x|x＞1或x＜0}【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出14．函数f（x）=log a（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）过定点A，则点A的坐标为（2，2）．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由log a1=0得x﹣1=1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标．【解答】解：∵log a1=0，∴当x﹣1=1，即x=2时，y=2，则函数y=log a（x﹣1）+2的图象恒过定点（2，2）．故答案为：（2，2）．【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log a1=0，属于基础题．15．函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1）+f′（1）= 4 ．【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】由导数的几何意义知，函数y=f（x）的图象在x=a处的切线斜率是f′（a）；并且点P（a，f（a））是切点，该点既在函数y=f（x）的图象上，又在切线上，f（a）是当x=a 时的函数值，依此问题易于解决．【解答】解：由题意得f′（1）=3，且f（1）=3×1﹣2=1所以f（1）+f′（1）=3+1=4．故答案为4．【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f（a）与f′（a）．16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是①②⑤．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用．【分析】由导数图象可知，函数的单调性，从而可得函数的极值，故可得①，②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，即可求得结论．【解答】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，综上正确的命题序号为①②⑤．故答案为：①②⑤．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，B={x|x＜4}，C={x|x≥a}．（Ⅰ）求A∩（∁U B）；（Ⅱ）若A⊆C，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】（Ⅰ）求出A中不等式的解集确定出A，由全集U=R，及B求出B的补集，求出A与B补集的交集即可；（Ⅱ）根据A，C，以及A为C的子集，确定出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵全集U=R，B={x|x＜4}，∴∁U B={x|x≥4}，又∵A={x|x2﹣4x﹣5≤0}={x|﹣1≤x≤5}，∴A∩（∁U B）={x|4≤x≤5}；（Ⅱ）∵A={x|﹣1≤x≤5}，C={x|x≥a}，且A⊆C，∴a的范围为a≤﹣1．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18．已知函数f（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）．（Ⅰ）判断f（x）奇偶性，并证明；（Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．【考点】函数奇偶性的判断；其他不等式的解法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）求函数的定义域，根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）奇偶性；（Ⅱ）当0＜a＜1时，根据对数函数的单调性即可解不等式f（x）＞0．【解答】解：（Ⅰ）由，得，即﹣1＜x＜1，即定义域为（﹣1，1），则f（﹣x）=log a（1﹣x）﹣log a（1+x）=﹣[log a（1+x）﹣log a（1﹣x）]=﹣f（x），则f（x）为奇函数．（Ⅱ）当0＜a＜1时，由f（x）＞0，即log a（1+x）﹣log a（1﹣x）＞0，即log a（1+x）＞log a（1﹣x），则1+x＜1﹣x，解得﹣1＜x＜0，则不等式解集为：（﹣1，0）．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及对数不等式的求解，利用定义法以及对数函数的单调性是解决本题的关键．19．已知奇函数f（x）=（c∈R）．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据函数的奇偶性，得到=﹣=，比较系数求出c的值即可；（Ⅱ）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴=﹣=，比较系数得：c=﹣c，∴c=0，∴f（x）==x+；（Ⅱ）∵f（x）=x+，∴f′（x）=1﹣，当x∈[2，+∞）时，1﹣＞0，∴函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，∴f（x）min=f（2）=．【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．20．已知函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值．（Ⅰ）求c的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，且当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，求d的取值范围．【考点】函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】（I）由已知中函数解析式f（x）=x3﹣x2+cx+d，我们易求出导函数f′（x）的解析式，然后根据函数f（x）=x3﹣x2+cx+d有极值，方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，构造关于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极值，则f′（2）=0，求出满足条件的c值后，可以分析出函数f（x）=x3﹣x2+cx+d的单调性，进而分析出当x＜0时，函数的最大值，又由当x＜0时，f（x）＜d2+2d恒成立，可以构造出一个关于d的不等式，解不等式即可得到d的取值范围．【解答】解（Ⅰ）∵f（x）=x3﹣x2+cx+d，∴f′（x）=x2﹣x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2﹣x+c=0有两个实数解，从而△=1﹣4c＞0，∴c＜．（Ⅱ）∵f（x）在x=2处取得极值，∴f′（2）=4﹣2+c=0，∴c=﹣2．∴f（x）=x3﹣x2﹣2x+d，∵f′（x）=x2﹣x﹣2=（x﹣2）（x+1），∴当x∈（﹣∞，﹣1]时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（﹣1，2]时，f′（x）＜0，函数单调递减．∴x＜0时，f（x）在x=﹣1处取得最大值，∵x＜0时，f（x）＜恒成立，∴＜，即（d+7）（d﹣1）＞0，∴d＜﹣7或d＞1，即d的取值范围是（﹣∞，﹣7）∪（1，+∞）．【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的关键．21．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题．【分析】（1）由题意可得，第x个月的需求量等于第x个月的需求总量减去第x﹣1个月的需求总量，故当x=1时，f（1）=p（1），当2≤x≤12时，f（x）=p（x）﹣P（x﹣1）；（2）根据月利润=该商品每件的利润×月销售量，列出关系式，再利用导数求最值求解即可．【解答】解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37．（2分）当2≤x≤12时，且x≤12）（5分）验证x=1符合f（x）=﹣3x2+40x，∴f（x）=﹣3x2+40x（x∈N*且x≤12）．该商场预计销售该商品的月利润为g（x）=（﹣3x2+40x）（185﹣150﹣2x）=6x3﹣185x2+1400x，（x∈N*且x≤12），令h（x）=6x3﹣185x2+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x2﹣370x+1400，令h'（x）=0，解得（舍去）．＞0；当5＜x≤12时，h'（x）＜0．∴当x=5时，h（x）取最大值h（5）=3125．max=g（5）=3125（元）．综上，5月份的月利润最大是3125元．（14分）【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题．22．已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．（1）当a=时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”．已知函数+2ax．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）由题意得，＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，即可求出函数的最值．（2）由题意得：令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0对x∈（1，+∞）恒成立，分类讨论当或时两种情况求函数的最大值，可得到a的范围．又因为h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，可得到a的另一个范围，综合可得a的范围．【解答】解：（1）当时，，；对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，∴，．（2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f （x）＜f2（x）令＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0对x∈（1，+∞）恒成立，∵1）若，令p′（x）=0，得极值点x1=1，，当x2＞x1=1，即时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；2）若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，所以≤a≤．又因为h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤综合可知a的范围是[，]．【点评】本题考查的知识点是利用导数求函数的最值，利用最值解决恒成立问题，二对于新定义题型关键是弄清新概念与旧知识点之间的联系即可，结合着我们已学的知识解决问题，这是高考考查的热点之一．- 21 -。
福建省南安第一中学2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理
南安一中2014～2015学年度下学期期末考高二数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,3A =，{}0,1,4B =，则()U C A B 为（ ）A ．{}0,1,2,4B ．{}0,1,3,4C ．{}2,4D ．{}4 2. 已知命题“错误！未找到引用源。
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”，则错误！未找到引用源。
为（ ）A ．错误！未找到引用源。
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B ．错误！未找到引用源。
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C ．错误！未找到引用源。
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D ．错误！未找到引用源。
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3．函数2(3),1()log ,1f x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩，则)1(-f 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．若()f x 为R 上的奇函数，满足(3)()f x f x +=，当01x <≤时，()2x f x =，则(2015)f =（ ）A ．2B ．2-C ．12-D ．125．设{}|22M x x =-≤≤，{}|02N y y =≤≤，函数)(x f 的定义域为M ，值域为N ，则)(x f 的图象可以是图中的（ ）6．已知21()5a -=，135log b =，35log c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>7．给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=，12y x =，3y x =都是增函数； ②若330log log m n <<，则1n m >>；③若函数()f x 是奇函数，则()f x 的图象关于原点对称； ④若函数()323x f x x =--，则方程()0f x =有2个实数根。
福建省泉州市南安一中2015-2016学年高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置）1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．下列推理是归纳推理的是（）A．由a1=1，a n=3n﹣1，求出s1，s2，s3，猜出数列{a n}的前n项和的表达式B．由于f（x）=xsinx满足f（﹣x）=﹣f（x）对∀x∈R都成立，推断f（x）=xsinx为偶函数C．由圆x2+y2=1的面积S=πr2，推断：椭圆+=1的面积S=πabD．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质3．用反证法证明命题“若sinθ+cosθ•=1，则sinθ≥0且cosθ≥0”时，下列假设的结论正确的是（）A．sinθ≥0或cosθ≥0 B．sinθ＜0或cosθ＜0C．sinθ＜0且cosθ＜0 D．sinθ＞0且cosθ＞04．执行如图所示的程序框图，若输入x=4，则输出y的值为（）A．B．C．D．5．无限循环小数为有理数，如：0.=，0.=，0.=，…，则可归纳出0.=（）A．B． C．D．6．函数f（x）=x3﹣3x2+2的减区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）7．观察下列等式，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102根据上述规律，13+23+33+43+53+63=（）A．192B．202C．212D．2228．给出的程序框图如图，那么输出的数是（）A．2450 B．2550 C．5050 D．49009．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e10．若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）＞2f（1）C．f（0）+f（2）≤2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）11．观察下列各式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=n2 B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2 C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=n2 D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=（2n﹣1）2 12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置）13．计算（﹣8﹣7i）×（﹣3i）=．14．执行如图的程序框图，输出s和n，则s的值为．15．已知=2，=3，=4，…若=6，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t=．16．已知函数f（x）=x3+ax2+x+2（a＞0）的极大值点和极小值点都在区间（﹣1，1）内，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知复数z=（m2﹣m﹣6）+（m+2）i，m∈R（Ⅰ）当m=3时，求|z|；（Ⅱ）当m为何值时，z为纯虚数．18．某分公司经销某种产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交纳6元的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为x2万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？19．设f（x）=（1）求函数f（x）的单调递增，递减区间；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，求实数的取值范围．20．设n∈N*且sinx+cosx=﹣1，请归纳猜测sin n x+cos n x的值．（先观察n=1，2，3，4时的值，归纳猜测sin n x+cos n x的值，不必证明．）21．已知函数f（x）=x2﹣2lnx，h（x）=x2﹣x+a．（1）其求函数f（x）的极值；（2）设函数k（x）=f（x）﹣h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点求实数a 的取值范围．22．已知函数f（x）=lnx+x2+ax，a∈R．（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，函数g（x）=﹣x在区间[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，求t的最大值．（参考数值：自然对数的底数e≈2.71828）2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置）1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i﹣1对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限，故选：C．2．下列推理是归纳推理的是（）A．由a1=1，a n=3n﹣1，求出s1，s2，s3，猜出数列{a n}的前n项和的表达式B．由于f（x）=xsinx满足f（﹣x）=﹣f（x）对∀x∈R都成立，推断f（x）=xsinx为偶函数C．由圆x2+y2=1的面积S=πr2，推断：椭圆+=1的面积S=πabD．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质【考点】归纳推理．【分析】直接利用归纳推理的定义，判断选项的正误即可．【解答】解：对于A，设数列﹛a n﹜的前n项和为s n，由a1=1，a n=3n﹣1，求出s1，s2，s3，猜出数列{a n}的前n项和的表达式，满足归纳推理的形式与步骤，所以A正确．对于B，由f（x）=xsinx，满足f（﹣x）=﹣f（x）对∀x∈R都成立，推断f（x）=xsinx为奇函数，是函数的奇偶性的定义的应用，是演绎推理，所以B不正确；对于C，由圆x2+y2=r2的面积s=πr2推断：椭圆+=1（a＞b＞0）的面积S=πab，是类比推理，所以C不正确；对于D，由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质是类比推理，所以D不正确．故选：A．3．用反证法证明命题“若sinθ+cosθ•=1，则sinθ≥0且cosθ≥0”时，下列假设的结论正确的是（）A．sinθ≥0或cosθ≥0 B．sinθ＜0或cosθ＜0C．sinθ＜0且cosθ＜0 D．sinθ＞0且cosθ＞0【考点】反证法与放缩法．【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立．根据要证命题的否定，从而得出结论．【解答】解：用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为：sinθ＜0或cosθ＜0，故选：B．4．执行如图所示的程序框图，若输入x=4，则输出y的值为（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】由x←4，先计算y←，进行判断|1﹣4|＞1，不满足判断框，应执行“否”，将y的值输给x，即x←1；依此类推，当满足|y﹣x|＜1时，即可输出y的值．【解答】解：由x←4，先计算y←，进行判断|1﹣4|＞1，不满足判断框，应执行“否”，将y的值输给x，即x←1；由x←1，先计算y←，进行判断||＞1，不满足判断框，应执行“否”，再将y的值输给x，即x←；由x←，先计算y←，进行判断||＜1，满足判断框，应执行“是”，应输出y←．故选A．5．无限循环小数为有理数，如：0.=，0.=，0.=，…，则可归纳出0.=（）A．B． C．D．【考点】归纳推理．【分析】由题意，0.=0.45+0.0045+…，利用等比数列的求和公式，即可得到结论．【解答】解：由题意，0.=0.45+0.0045+…==，故选：D．6．函数f（x）=x3﹣3x2+2的减区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性及单调区间．【分析】求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系解f′（x）＜0即可．【解答】解：函数的导数为f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），由f′（x）＜0得3x（x﹣2）＜0，得0＜x＜2，即函数的单调递减区间为（0，2），故选：D．7．观察下列等式，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102根据上述规律，13+23+33+43+53+63=（）A．192B．202C．212D．222【考点】归纳推理；等差数列与等比数列的综合．【分析】解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律．观察前几个式子的变化规律，发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加．从中找规律性即可．【解答】解：∵所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；右边的底数依次分别为3，6，10，（注意：这里3+3=6，6+4=10），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为10+5+6=21．又左边为立方和，右边为平方的形式，故有13+23+33+43+53+63=212．故选C．8．给出的程序框图如图，那么输出的数是（）A．2450 B．2550 C．5050 D．4900【考点】循环结构．【分析】首先根据程序框图，分析sum求和问题，然后根据等差数列求和问题求解s．最后输出s的值．【解答】解：根据题意，按照程序框图进行运算：s=0 i=2s=2 i=4s=6 i=6s=12 i=8…i=100s=2+4+6+10+…+98s为首项为2，末项为98的等差数列∴s=2450故选A．9．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；10．若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）＞2f（1）C．f（0）+f（2）≤2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】对x分段讨论，解不等式求出f′（x）的符号，判断出f（x）的单调性，利用函数的单调性比较出函数值f（0），f（2）与f（1）的大小关系，利用不等式的性质得到选项．【解答】解：∵（x﹣1）f'（x）≥0∴x＞1时，f′（x）≥0；x＜1时，f′（x）≤0∴f（x）在（1，+∞）为增函数；在（﹣∞，1）上为减函数∴f（2）≥f（1）f（0）≥f（1）∴f（0）+f（2）≥2f（1）故选D．11．观察下列各式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=n2 B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2 C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=n2 D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣1）=（2n﹣1）2【考点】归纳推理．【分析】分析已知中1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，各式子左右两边的形式，包括项数，每一个式子第一数的值等，归纳分析后，即可得到结论．【解答】解：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，由上述式子可以归纳：左边每一个式子均有2n﹣1项，且第一项为n，则最后一项为3n﹣2右边均为2n﹣1的平方故选B12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【分析】构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称∴y=f（x）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1设g（x）=（x∈R），则g′（x）==又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜e x∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选B．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置）13．计算（﹣8﹣7i）×（﹣3i）=﹣21+24i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：原式=24i﹣21，故答案为：﹣21+24i．14．执行如图的程序框图，输出s和n，则s的值为9．【考点】程序框图．【分析】框图首先对累加变量和循环变量进行了赋值，然后对判断框中的条件进行判断，满足条件，执行S=S=3，T=2T+n，n=n+1，不满足条件，输出S，n，从而得解．【解答】解：首先对累加变量和循环变量赋值，S=0，T=0，n=1，判断0≤0，执行S=0+3=3，T=2×0+1=1，n=1+1=2；判断1≤3，执行S=3+3=6，T=2×1+2=5，n=2+1=3；判断5≤6，执行S=6+3=9，T=2×5+3=13，n=3+1=4；判断13＞9，算法结束，输出S，n的值分别为9，4，故答案为：9．15．已知=2，=3，=4，…若=6，（a，t均为正实数），则类比以上等式，可推测a，t的值，a+t=41．【考点】类比推理．【分析】观察所给的等式，等号右边是，，…第n个应该是，左边的式子，写出结果．【解答】解：观察下列等式=2，=3，=4，…照此规律，第5个等式中：a=6，t=a2﹣1=35a+t=41．故答案为：41．16．已知函数f（x）=x3+ax2+x+2（a＞0）的极大值点和极小值点都在区间（﹣1，1）内，则实数a的取值范围是（，2）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导函数，则问题转化为方程3x2+2ax+1=0的根都在区间（﹣1，1）内，构造函数g（x）=3x2+2ax+1，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+x+2（a＞0）求导函数，可得f′（x）=3x2+2ax+1则由题意，方程3x2+2ax+1=0的两个不等根都在区间（﹣1，1）内，构造函数g（x）=3x2+2ax+1，则，即，∴＜a＜2∴实数a的取值范围是（，2）故答案为：（，2）．三、解答题（本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知复数z=（m2﹣m﹣6）+（m+2）i，m∈R（Ⅰ）当m=3时，求|z|；（Ⅱ）当m为何值时，z为纯虚数．【考点】复数的基本概念；复数求模．【分析】（Ⅰ）当m=3时，根据复数模长的定义即可求|z|；（Ⅱ）根据z为纯虚数，建立方程或不等式关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当m=3时，z=（m2﹣m﹣6）+（m+2）i=（9﹣3﹣6）+5i=5i，则|z|=5；（Ⅱ）若z为纯虚数，则，则．即m=3．18．某分公司经销某种产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交纳6元的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为x2万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）根据题意先求出每件产品的利润，再乘以一年的销量，便可求出分公司一年的利润L与每件产品的售价x的函数关系式，但应当注意变量的范围；（Ⅱ）运用导数求得函数的单调性，借以判断最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，L=x2（x﹣9）=x3﹣9x2，9≤x≤11．（Ⅱ）L′=3x2﹣18x=3x（x﹣6），令L′=0，∴x=0或x=6，∴L′＞0在[9，11]上恒成立，即L在[9，11]上单调递增，∴当x=11时，L取得最大值，∴当每件产品的售价为11元时，分公司一年的利润L最大．19．设f（x）=（1）求函数f（x）的单调递增，递减区间；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，求实数的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数f（x）的导数，令导函数大于0，求出增区间，令导函数小于零，求出减区间；（2）恒成立问题可转化成f（x）max＜m即可可．函数在[﹣1，2]上的最大值，利用极值与端点的函数值可以确定．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣x﹣2，令f′（x）=0，解得x=1或﹣，令f′（x）＞0，解得x∈（﹣∞，﹣），（1，+∞），令f′（x）＜0，解得x∈（﹣，1），f（x）的单调递增为（﹣∞，﹣），（1，+∞），递减区间为（﹣，1）．（2））∵f（﹣1）=5，f（﹣）=5，f（1）=3，f（2）=7；即f（x）max=7，要使x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，即f（x）max＜m，∴m＞7，故实数m的取值范围为（7，+∞）．20．设n∈N*且sinx+cosx=﹣1，请归纳猜测sin n x+cos n x的值．（先观察n=1，2，3，4时的值，归纳猜测sin n x+cos n x的值，不必证明．）【考点】归纳推理．【分析】先观察n=1，2，3，4时的值，再归纳猜测sin n x+cos n x的值．【解答】解：当n=1时，有sinx+cosx=﹣1；当n=2时，有sin2x+cos2x=1；当n=3时，有sin3x+cos3x=（sin2x+cos2x）（sinx+cosx）﹣sinxcosx（sinx+cosx）注意到（sinx+cosx）2=（﹣1）2∴sin2x+2sinxcosx+cos2x=1∴sinxcosx=0代入前式得sin3x+cos3x=1•（﹣1）﹣0•（﹣1）=﹣1．当n=4时，sin4x+cos4x=（sin3x+cos3x）（sinx+cosx）﹣sinxcosx（sin2x+cos2x）=（﹣1）2﹣0×1=1由以上我们可以猜测，当n∈N+时，可能有sin n x+cos n x=（﹣1）n成立．21．已知函数f（x）=x2﹣2lnx，h（x）=x2﹣x+a．（1）其求函数f（x）的极值；（2）设函数k（x）=f（x）﹣h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）先在定义域内求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值；（II）先求出函数k（x）的解析式，然后研究函数k（x）在[1，3]上的单调性，根据函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，建立不等关系，最后解之即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=2x﹣，令f′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，所以f（x）的极小值为1，无极大值．∴k′（x）=﹣+1，若k′（x）=0，则x=2当x∈[1，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，3]时，f′（x）＞0．故k（x）在x∈[1，2）上递减，在x∈（2，3]上递增．∴，∴，∴2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．所以实数a的取值范围是：（2﹣2ln2，3﹣2ln3]22．已知函数f（x）=lnx+x2+ax，a∈R．（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；（2）当a=1时，函数g（x）=﹣x在区间[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，求t的最大值．（参考数值：自然对数的底数e≈2.71828）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）函数f（x）在其定义域上为增函数⇔f'（x）≥0，即对x∈（0，+∞）都成立．通过分离参数a，再利用基本不等式的性质即可得出．（2）当a=1时，g（x）=.．由于函数g（x）在[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，可知：方程g'（x）=0在[t，+∞）（t∈N*）上有解，即方程在[t，+∞）（t∈N*）上有解．再利用导数研究其单调性、函数的零点即可．【解答】解：（1）：函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=lnx+x2+ax，∴．∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f'（x）≥0，即对x∈（0，+∞）都成立．∴对x∈（0，+∞）都成立．当x＞0时，，当且仅当，即时，取等号．∴，即．∴a的取值范围为．（2）当a=1时，．．∵函数g（x）在[t，+∞）（t∈N*）上存在极值，∴方程g'（x）=0在[t，+∞）（t∈N*）上有解，即方程在[t，+∞）（t∈N*）上有解．令（x＞0），由于x＞0，则，∴函数φ（x）在（0，+∞）上单调递减．∵，，∴函数φ（x ）的零点x 0∈（3，4）．∵方程φ（x ）=0在[t ，+∞）（t ∈N *）上有解，t ∈N * ∴t ≤3．∵t ∈N *，∴t 的最大值为3．2016年9月1日。
福建省南安第一中学2015-2016学年高二数学下学期期末考试试题 文
南安一中2015～2016学年度下学期期末考高二数学（文科）试卷本试卷考试内容为：三角函数、三角恒等变换、解三角形、选考4-4、4-5，分第I 卷（选择题）和第II 卷，共4 页，满分１５０分，考试时间１２０分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。
按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚 4．保持答题纸纸面清洁，不破损。
考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （1）0cos75cos15+sin 75sin15的值为 （A ）0 （B ）1 （C ）21 （D ）21- （2）不等式|43|5x -≤的解集是 （A ）1{|3}3x x -<<（B ） 1{|3}3x x -≤≤（C ）1{|3}3x x ≤≤ （D ）1{|3}3x x x ≤-≥或 （3）在同一平面直角坐标系中，将曲线3sin 2y x =按伸缩变换23x xy y'=⎧⎨'=⎩后，所得曲线为（A ）sin y x = （B ）9sin 4y x = （C ）sin 4y x = （D ）9sin y x =（4）在∆ABC 中，已知4,60AB AC B ==∠=︒，则BC 的长为（A ）2 （B ）（C ）（D ）（5）函数()sin(2)cos 26f x x x π=-+的振幅和最小正周期分别是（A π （B 2π（C 2π（D π（6）在周长为16的扇形中，当扇形的面积取最大值时，扇形的半径为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（7）在极坐标系中，圆sin (02)ρθθθπ=-≤<的圆心的极坐标是（A ）1,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）51,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）71,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）111,6π⎛⎫⎪⎝⎭（8）函数)42sin(2)(π-=x x f 的一个单调减区间是（A ）]89,85[ππ （B ）]83,8[ππ- （C ）]87,83[ππ （D ）]85,8[ππ （9）已知0ω>，2π<ϕ，函数()sin()f x x =+ωϕ的部分图象如图所示．为了得到函数()sin g x x=ω的图象，只要将()f x 的图象 （A ）向右平移4π个单位长度 （B ）向右平移8π个单位长度 （C ）向左平移4π个单位长度 （D ）向左平移8π个单位长度 （10）直线l 的倾斜角为6π，且过点(1,2)P ，若直线l 与圆:C 2210x y +=交于,A B 两点，则PA PB ⋅的值为（A）（B ）5 （C）2 （D）3（11）已知1,2a b >>，且11312a b +=--，则4a b +的最小值为 （A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）12 （12）已知()sin cos sin 2f x x x x =++，若,t R x R ∀∈∈，sin 31()a t a f x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（A ）[)0+∞， （B）[)2+∞ （C）+4⎫∞⎪⎪⎣⎭（D）)+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. （13）设(0,)2πα∈，sin α=，则tan α= （14）在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin 3ρθ=的距离等于________（15）已知,x y R ∈，若1124x y x y +++-+-≤，则x ＋y 的取值范围为________ （16）如右图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD .为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得015DAC ∠=，沿山坡前进25m 到达B 处，又测得045DBC ∠=.根据以上数据计算可得cos θ=__________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.CABDθ(17)（本小题满分12分）已知函数2()(sin cos )cos21f x x x x =++- （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.(18)（本小题满分12分）在△ABC 1cos2B B =-。
福建省南安一中2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试卷
南安一中2014～2015学年度下学期期末考高二数学（理科）试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,3A =，{}0,1,4B =，则()U C A B 为（ ）A ．{}0,1,2,4B ．{}0,1,3,4C ．{}2,4D ．{}4 2. 已知命题“错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
”，则错误！未找到引用源。
为（ ）A ．错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
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D ．错误！未找到引用源。
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3．函数2(3),1()log ,1f x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩，则)1(-f 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．若()f x 为R 上的奇函数，满足(3)()f x f x +=，当01x <≤时，()2xf x =，则(2015)f =（ ）A ．2B ．2-C ．12-D ．125．设{}|22M x x =-≤≤，{}|02N y y =≤≤，函数)(x f 的定义域为M ，值域为N ，则)(x f 的图象可以是图中的（ ）6．已知21()5a -=，135log b =，35log c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ． c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>7．给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=，12y x =，3y x =都是增函数； ②若330log log m n <<，则1n m >>；③若函数()f x 是奇函数，则()f x 的图象关于原点对称； ④若函数()323xf x x =--，则方程()0f x =有2个实数根。
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南安一中2014～2015学年度高二下期中考数学科试卷（文） 2015.4.29本试卷考试内容为：集合与简易逻辑，函数与导数.满分１５０分，考试时间１２０分钟. 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效.按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4．保持答题纸纸面清洁，不破损.考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．函数y =的定义域是（ ）A ．[)0,+∞B ．[)1,+∞C ．()0,+∞D ． (,0]-∞ 2．已知集合{}0A x x =≥，且A B B =，则集合B 可能是（ ）A ．{}0x x ≥ B ．{}1x x ≤ C ．{}1,0,1- D ．R 3．下列各组表示同一函数的是（ ）A ．y =2y = B ． 2lg y x =与2lg y x =C ．1111y y x t=+=+与 D ． 221()1()y x x R y x x N =-∈=-∈与 4．已知函数2,0()20xx x f x ,x ⎧<=⎨≥⎩，则(1))f(f =-（ ） A ．14 B ．12C ．14- D ．2 5．命题“20x x ∀∈>R,”的否定是（ ）A.20x x ∀∈≤R,B.20x x ∃∈>R,C.20x x ∃∈<R,D.20x x ∃∈≤R, 6．若a b>，则下列不等式正确的是（ ） A ．11a b< B ．33a b > C ．22a b > D ．||a b >7．函数ln y x =-2(1)x e ≤≤的值域是（ ）A ．[]0,2B ．[2,0]-C ．1[,0]2-D ． 1[0,]28．设函数()2211x f x x -=+，则有（ ）A ．)(x f 是奇函数，)()1(x f x f -=B ．)(x f 是奇函数， )()1(x f xf = C ．)(x f 是偶函数)()1(x f x f -= D ．)(x f 是偶函数，)()1(x f xf = 9. 已知函数()f x 的定义域为[],a b ，函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的图象是（ ）10．若函数)()(3x x a x f --=的递减区间为（33-，33），则a 的取值范围是 （ ） A ．01a << B ．10a -<< C ．1a > D ．0a >11. 若函数1(),0,()2,0,xx f x x a x ⎧≤⎪=⎨⎪-+>⎩ 则“1a =”是“函数()y f x =在R 上单调递减”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图象分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t的值为（ ）A ．1B ．12CD二、填空题：每小题4分，共16分，请将答案填在横线上. 13．不等式11x<的解集为 . 14．函数(1)()log 2x af x -=+(0a >且1)a ≠过定点A ，则点A 的坐标为 . 15．函数)(x f y =的图象在点M ))1(,1(f 处的切线方程是32y x =-,)1()1(/f f += .16．已知函数()f x 的定义域为[]15,-，部分对应值如下表, ()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示. 下列关于()f x 的命题：①函数()f x 的极大值点为0，4； ②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点； ⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知全集U =R ，集合{}2450A x x x =--≤，}4{<=x x B ，{}C x x a =≥．（Ⅰ）求()U AC B ；′（Ⅱ）若A C ⊆，求a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数()log (1)log (1)(0,1)a a f x x x a a =+-->≠． （Ⅰ）判断()f x 奇偶性，并证明； (Ⅱ)当01a <<时，解不等式()0f x >．19．（本小题满分12分）已知奇函数()()21x f x c x c+=∈+R ．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）当[2,)x ∈+∞时，求()f x 的最小值．20．（本小题满分12分）已知函数3211()32f x x x cx d =-++有极值． （Ⅰ）求c 的取值范围；（Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极值，且当0x <时，21()26f x d d <+恒成立，求d 的取值范围．21．（本小题满分12分）第十四届亚洲艺术节将于2015年11月在泉州举行，某商场预测从今年1月起前．x ．个月．．，顾客对某种商品的需求总量．．．．p （x ）件与月份x 的近似关系是*1()(1)(392),(,12)2p x x x x x x =+-∈≤N 且该商品每件的进价q(x)元与月份x 的近似关系是*()1502,(,12)q x x x x =+∈≤N 且．（Ⅰ）写出今年第．x ．月．的需求量f(x)件与月份x 的函数关系式； (Ⅱ)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？22．（本小题满分14分）已知函数2()ln f x ax x=+(a ∈R ) ．(Ⅰ)当12a =时，求()f x 在区间[]1,e 上的最大值和最小值；(Ⅱ)如果函数12(),(),()g x f x f x ，在公共定义域D 上，满足)()()(21x f x g x f <<，那么就称)(x g 为12(),()f x f x 的“受限函数”：已知函数2211()()2(1)ln 2f x a x ax a x =-++-，221()22f x x ax =+．若在区间()1+∞，上，函数()f x 是12(),()f x f x 的“受限函数”，求a 的取值范围．南安一中2014～2015学年度高二下期中考（文科数学）答案一、选择题：（5×12=60）二、填空题：（4×4=16）13．{}10><x x x 或； 14．(2,2)； 15．4； 16．①②⑤； 三、解答题：本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵全集U =R ，}4{<=x x B ，∴}4{≥=x x B C U . ……………2分又∵{}15A x x =-≤≤……………4分 ∴(){15}{4}{45}U AC B x x x x x x =-≤≤≥=≤≤．…………6分（Ⅱ）∵{}15A x x =-≤≤， {}C x x a =≥，A C ⊆，∴1a ≤-．…………………12分 18．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：1010x x +>⎧⎨->⎩ ，∴定义域为：(1,1)-―――1分()log (1)log (1)()a a f x x x f x -=--+=-,()f x ∴为奇函数―――6分(Ⅱ)解：当01a <<时，log (1)log (1)0a a x x +-->，即log (1)log (1)a a x x +>-11x x +<-，解得0x <，不等式解集为：(1,0)-―――12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()()()222111x x x f x f x f x x c x c x c+++∴-=-∴=-=-++--为奇函数 比较系数得()2110x c c c f x x x x+=-∴=∴==+―――6分（Ⅱ）()'211f x x -＝，当[2,)x ∈+∞时，2110x ->， ()1f x x x∴+＝在[2,)+∞上单调递增，―――10分 (无证明扣4分，用定义法证明亦可。
) ()min 5(2)2f x f ∴==―――12分20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵3211()32f x x x cx d =-++，∴2()f x x x c '=-+，--------2分 要使()f x 有极值，则方程2()0f x x x c '=-+=有两个实数解，从而△＝140c ->，∴14c <． ------------4分 （Ⅱ）∵()f x 在2x =处取得极值，∴(2)420f c '=-+=，∴2c =-． -----------6分∴3211()232f x x x x d =--+，∵2()2(2)(1)f x x x x x '=--=-+， ∴0x <时，()f x 在1x =-处取得最大值76d +， --------10分 ∵0x <时，21()26f x d d <+恒成立， ∴76d +<2126d d +，即(7)(1)0d d +->， ∴7d <-或1d >，即d 的取值范围是(,7)(1,)-∞-+∞．------------12分21．（本小题满分12分）解：（I ）当37)1()1(,1===p f x 时 ； …………1分当)1()()(,122--=≤≤x p x p x f x 时).122,(,403)241()1(21)239)(1(21*2≤≤∈+-=----+=x x x x x x x x x x 且N …4分验证x x x f x 403)(12+-==符合，).121(403)(*2≤≤∈+-=∴x x x x x f 且N …………6分(Ⅱ)该商场预计销售该商品的月利润为)121,(,14001856)2150185)(403()(*232≤≤∈+-=--+-=x N x x x x x x x x g9140,5,0)(,140037018)(2==='+-='x x x g x x x g 解得令（舍去）……9分 ).(3125)5()(,5,0)(,125,0)(,51max 元时当时当时当===∴<'≤<>'<≤g x g x x g x x g x综上5月份的月利润最大是3125元。