13.3 全等三角形的判定 能力培优训练(含答案)
人教版八年级数学上册第十二章《全等三角形》判定与性质培优练习(五)
第十二章《全等三角形》判定与性质培优练习（五）1．如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，m），A （n，m），且（m﹣4）2+n2﹣8n＝﹣16，过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点．（1）求A点的坐标；（2）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE；（3）如图（2），若∠ECF＝45°，给出两个结论：OF+AE﹣EF的值不变；OF+AE+EF 的值不变，其中有且只有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．2．如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD＝BC，且∠ADB+∠BCA＝180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．（1）如图2，在等腰△ABE中，AE＝BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．（2）如图3，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问∠ABD ＝∠BAC＝∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．43．如图①A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，B F⊥AC，若AB＝CD．（1）图①中有对全等三角形，并把它们写出来．（2）求证：G是BD的中点．（3）若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立？如果成立，请予证明．4．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形【理解与应用】（2）填空：如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝5，DE＝3，设EP＝x，则x的取值范围是．（3）已知：如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC＝∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC＝BC，求证：AQ＝2AD．5．如图，已知AB∥CD，点E在BC上且BE＝CD，AB＝CE，EF平分∠AED．（1）求证：△ABE≌△ECD；（2）猜测EF与AD的位置关系，并说明理由；（3）若DF＝AE，请判断△AED的形状，并说明理由．6．如图1，已知A（0，a），B（b，0），且a、b满足a2﹣4a+20＝8b﹣b2．（1）求A、B两点的坐标；（2）如图2，连接AB，若D（0，﹣6），DE⊥AB于点E，B、C关于y轴对称，M是线段DE上的一点，且DM＝AB，连接AM，试判断线段AC与AM之间的位置和数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，若N是线段DM上的一个动点，P是MA延长线上的一点，且DN＝AP，连接PN交y轴于点Q，过点N作NH⊥y轴于点H，当N点在线段DM上运动时，△MQH的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ＝60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E在直线m上，∠ADB＝∠AEC＝∠BAC．（1）求证：DE＝DB+EC；（2）若∠BAC＝120°，AF平分∠BAC，且AF＝AB，连接FD、FE，请判断△DEF的形状，并写出证明过程．9．教学实验：画∠AOB的平分线OC．（1）将一块最够大的三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别于OA，OB交于E，F（如图①）．度量PE、PF的长度，PE PF（填＞，＜，＝）；（2）将三角尺绕点P旋转（如图②）：①PE与PF相等吗？若相等请进行证明，若不相等请说明理由；②若OP＝，请直接写出四边形OEPF的面积：．10．（1）如图（1）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC+CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）（2）如图（2）当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图（3）当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．参考答案1．解：（1）（m﹣4）2+n2﹣8n＝﹣16，即（m﹣4）2+（n﹣4）2＝0，则m﹣4＝0，n﹣4＝0，解得：m＝4，n＝4．则A的坐标是（4，4）；（2）∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，A（4，4），∴AB＝AC＝OC＝OB，∠ACO＝∠COB＝∠ABO＝90°，又∵四边形的内角和是360°，∴∠A＝90°，∵OF+BE＝AB＝BE+AE，∴AE＝OF，∴在△COF和△CAE中，，∴△COF≌△CAE，得∴CF＝CE；（3）结论正确，值为0．证明：在x轴负半轴上取点H，使OH＝AE，∵在△ACE和△OCH中，，∴△ACE≌△OCH，∴∠1＝∠2，CH＝CE，又∵∠EOF＝45°，∴∠HCF＝45°，∴在△HCF和△ECF中，，∴△HCF≌△ECF，∴HF＝EF，∴OF+AE﹣EF＝0．2．解：（1）∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD＝BC，在△ABD和△BAC中，，∴△ABD≌△BAC（SAS），∴∠ADB＝∠BCA，又∵∠ADB+∠BCA＝180°，∴∠ADB＝∠BCA＝90°，在△ABE中，∵∠EAB＝∠EBA＝＝90°﹣∠AEB，∴∠ABD＝90°﹣∠EAB＝90°﹣（90°﹣∠AEB）＝∠AEB，同理：∠BAC＝∠AEB，∴∠ABD＝∠BAC＝∠AEB；（2）仍然成立；理由如下：如图③所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，∵四边形ABCD是互补等对边四边形，∴AD＝BC，∠ADB+∠BCA＝180°，又∠ADB+ADG＝180°，∴∠BCA＝∠ADC，又∵AG⊥BD，BF⊥AC，∴∠AGD＝∠BFC＝90°，在△AGD和△BFC中，∴△AGD≌△BFC，∴AG＝BF，在△ABG和△BAF中，∴△ABG≌△BAF，∴∠ABD＝∠BAC，∵∠ADB+∠BCA＝180°，∴∠EDB+∠ECA＝180°，∴∠AEB+∠DHC＝180°，∵∠DHC+∠BHC＝180°，∴∠AEB＝∠BHC．∵∠BHC＝∠BAC+∠ABD，∠ABD＝∠BAC，∴∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．3．解：（1）图①中全等三角形有：△ABF≌△CDE，△ABG≌△CDG，△BFG≌△DEG．故答案是：3；（2）∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴在直角△ABF和直角△CDE中，，∴△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，在△DEG和△BFG中，，∴△DEG≌△BFG，∴BG＝DG，即G是BD的中点；（3）结论仍成立．理由是：）∵AE＝CF，∴AF＝CE，在直角△ABF和直角△CDE中，，∴△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，在△DEG和△BFG中，，∴△DEG≌△BFG，∴BG＝DG，即G是BD的中点．4．（1）证明：在△ADC与△EDB中，，∴△ADC≌△EDB；故答案为：△ADC≌△EDB；（2）解：如图2，延长EP至点Q，使PQ＝PE，连接FQ，在△PDE与△PQF中，，∴△PEP≌△QFP，∴FQ＝DE＝3，在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ，即5﹣3＜2x＜5+3，∴x的取值范围是1＜x＜4；故答案为：1＜x＜4；（3）证明：如图3，延长AD到M，使MD＝AD，连接BM，∴AM＝2AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△BMD与△CAD中，，∴△BMD≌△CAD，∴BM＝CA，∠M＝∠CAD，∴∠BAC＝∠BAM+∠CAD＝∠BAM+∠M，∵∠ACB＝∠Q+∠CAQ，AB＝BC，∵∠ACQ＝180°﹣（∠Q+∠CAQ），∠MBA＝180°﹣（∠BAM+∠M），∴∠ACQ＝∠MBA，∵QC＝BC，∴QC＝AB，在△ACQ与△MBA中，，∴△ACQ≌△MBA，∴AQ＝AM＝2AD．5．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE与△ECD中，，∴△ABE≌△ECD；（2）EF⊥AD，理由：∵△ABE≌△ECD，∴AE＝DE，∵EF平分∠AED，∴EF⊥AD；（3）△AED是等边三角形，∵AE＝DE，∵EF平分∠AED，∴DF＝AD，∵DF＝AE，∴AD＝AE＝DE，∴△AED是等边三角形．6．解：（1）∵a2﹣4a+20＝8b﹣b2，∴（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，∴a＝2，b＝4，∴A（0，2），B（4，0）；（2）∵AD＝OA+OD＝8，BC＝2OB＝8，∴AD＝BC，在△CAB与△AMD中，，∴△CAB≌△AMD，∴AC＝AM，∠ACO＝∠MAD，∵∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠MAD+∠CAO＝∠MAC＝90°，∴AC＝AM，AC⊥AM；（3）过P作PG⊥y轴于G，在△PGA与△DHN中，，∴△PGA≌△DHN，∴PG＝HN，AG＝HD，∴AD＝GH＝8，在△PQG与△NHQ中，，∴△PQG≌△NHQ，∴QG＝QH＝GH＝4，∴S△MQH＝×4×2＝4．7．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBA＝∠ABC＝30°，∴∠A＝∠DBA，∴AD＝BD，∵DE⊥AB，∴AE＝BE，∴CE＝AB＝BE，∴△BCE是等边三角形；（2）证明：∵△BCE与△MNB都是等边三角形，∴BC＝BE，BM＝BN，∠EBC＝∠MBN＝60°，∴∠CBM＝∠EBN，在△CBM和△EBN中，，∴△CBM≌△EBN（SAS），∴∠BEN＝∠BCM＝60°，∴∠BEN＝∠EBC，∴EN∥BC；（3）解：DQ＝AD+DP；理由如下：延长BD至F，使DF＝PD，连接PF，如图所示：∵∠PDF＝∠BDC＝∠A+∠DBA＝30°+30°＝60°，∴△PDF为等边三角形，∴PF＝PD＝DF，∠F＝60°，∵∠PDQ＝90°﹣∠A＝60°，∴∠F＝∠PDQ＝60°，∴∠BDQ＝180°﹣∠BDC﹣∠PDQ＝60°，∴∠BPQ＝∠BDQ＝60°，∴∠Q＝∠PBF，在△PFB和△PDQ中，，∴△PFB≌△PDQ，∴DQ＝BF＝BD+DF＝BD+DP，∵∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，∴DQ＝AD+DP．8．（1）证明：∵∠ADB＝∠AEC＝∠BAC，∴∠ADB+∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠BAC+∠EAC＝180°，∴∠ABD＝∠EAC，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△AEC，∴BD＝AE，∵DE＝AD+AE，∴DE＝DB+EC．（2）结论：△DEF为等边三角形理由：连接BF，CF．∵AF平分∠BAC，∠BAC＝120°，∴∠FAB＝∠FAC＝60°，∵FA＝AB＝AC，∴△ABF和△ACF均为等边三角形∴BF＝AF＝AB＝AC＝CF，∠BAF＝∠CAF＝∠ABF＝60°，∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝120°，∴∠DBA+∠DAB＝∠CAE+∠DAB＝60°，∴∠DBA＝∠CAE．在△BAD和△ACE中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE．∵∠ABF＝∠CAF＝60°，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，∴∠DBF＝∠FAE．在△BDF和△AEF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DEF为等边三角形．9．（1）解：PE＝PF；故答案为：＝；（2）解：①PE＝PF；理由如下：把三角尺绕点P顺时针旋转，使三角尺的两条直角边分别与OA，OB垂直于M、N，如图所示：则∠PME＝∠PNF＝90°，四边形OMPN是矩形∵OP平分∠AOB，∴PM＝PN，∴四边形OMPN是正方形，∵∠AOB＝∠PME＝∠PNF＝90°，∴∠MPN＝90°，∵∠EPF＝90°，∴∠MPE＝∠FPN，在△PEM和△PFN中∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PE＝PF．②由①得：四边形OMPN是正方形，△PEM≌△PFN，∴OM＝ON＝OP＝1，四边形OEPF的面积＝正方形OMPN的面积＝OM2＝1；故答案为：1．10．解：（1）如图1所示，在AB上截取AE＝AC，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2．在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS）．∴∠AED＝∠C＝90，CD＝ED，又∵∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，∴∠B＝45°．∴∠EDB＝∠B＝45°．∴DE＝BE，∴CD＝BE．∵AB＝AE+BE，∴AB＝AC+CD．（2）证明：在AB取一点E使AC＝AE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED，∴∠C＝∠AED，CD＝DE，又∵∠C＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，∵∠AED是△EDC的外角，∴∠EDB＝∠B，∴ED＝EB，∴CD＝EB，∴AB＝AC+CD；（3）AB＝CD﹣AC证明：在BA的延长线AF上取一点E，使得AE＝AC，连接DE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS），∴∠ACD＝∠AED，CD＝DE，∴∠ACB＝∠FED，又∵∠ACB＝2∠B，∴∠FED＝2∠B，又∵∠FED＝∠B+∠EDB，∴∠EDB＝∠B，∴DE＝BE，∴BE＝CD，∴AB＝CD﹣AC．。
八年级数学上第13章全等三角形13.3全等三角形的判定4具有特殊位置关系的三角形全等课冀教
精彩一题 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月11日星期五2022/3/112022/3/112022/3/11
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/112022/3/112022/3/113/11/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/112022/3/11March 11, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/112022/3/112022/3/112022/3/11
解：∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC＝∠E＝71°，∠A＝∠FDE＝25°. ∴∠ACB＝180°－∠A－∠ABC＝84°. ∵CD 为∠ACB 的平分线，∴∠ACD＝∠BCD＝42°. ∵∠CDB＝∠A＋∠ACD＝∠CDF＋∠EDF，∴∠CDF＝42°.
9．(2019·四川泸州)如图，AB∥CD，AD 和 BC 相交于点 O， OA＝OD. 求证：OB＝OC.
第十三章 全等三角形
第3节 命题与证明 第4课时 具有特殊位置关系的三角形
全等
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1．如图，在△ABC 和△DEF 中，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，
八上数学同步课时训练13.3.2.1 等边三角形的性质与判定 答案版
八上数学同步课时训练13．3.2.1 等边三角形的性质与判定答案版基础题知识点1 等边三角形的性质1.下面关于“等边三角形”的说法不正确的是(D)A.等边三角形的三条边都相等B.等边三角形的三个内角都相等且都等于60°C.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴D.等腰三角形具有等边三角形的性质2.如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是(A)A.100°B.80°C.60°D.40°3.如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝3.4.(湘潭中考)如图，在等边△ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝30°.5.(镇江中考)如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝40°.6.如图，点D，E分别在等边△ABC边BC，CA的延长线上，且CD＝AE，连接AD，BE.求证：BE＝AD.证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠ACB ＝60°. ∴∠BAE ＝∠ACD ＝120°. 在△BAE 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CD ，∠BAE ＝∠ACD ，AB ＝CA ，∴△BAE ≌△ACD(SAS). ∴BE ＝AD.知识点2 等边三角形的判定 7.下列说法中，正确的有(D )①三个内角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形.A.0个B.1个C.2个D.3个8.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆OA ＝OB ＝18 cm.若衣架收拢时，∠AOB ＝60°，如图2，则此时A ，B 两点之间的距离是18cm.9.如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝120°，CE ⊥AB 于点D ，且DE ＝DC.求证：△CEB 为等边三角形.证明：∵CE ⊥AB ，且DE ＝DC ，∴BC ＝BE.∵AC ＝BC ，∠ACB ＝120°，CE ⊥AB ， ∴∠ECB ＝12∠ACB ＝60°.又∵BC ＝BE ，∴△CEB 为等边三角形.10.(嘉兴中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，且DE ＝DF.求证：△ABC 是等边三角形.证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C. ∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ， ∴∠DEA ＝∠DFC ＝90°. ∵D 为AC 的中点， ∴DA ＝DC ， 又∵DE ＝DF ，∴Rt △ADE ≌Rt △CDF(HL). ∴∠A ＝∠C. ∴∠A ＝∠B ＝∠C. ∴△ABC 是等边三角形. 中档题11.如图，已知△ABC 是等边三角形，点B ，C ，D ，E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝(C )A.30°B.20°C.15°D.100°12.如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE相交于点F，则∠DFC＝60度.13.【操作探究】如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°.点D(不与B，C重合)是BC上任意一点.将此三角形纸片按下列方式折叠.若EF的长度为a，则△DEF的周长为3a(用含a的式子表示).14.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由；(2)线段BD，DE，EC三者有什么关系？写出你的判断过程.解：(1)△ODE是等边三角形.理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.∴△ODE是等边三角形.(2)BD＝DE＝EC.理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°.∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°.∴∠OBD ＝∠BOD.∴BD ＝OD.同理，EC ＝OE. ∵△ODE 是等边三角形，DE ＝OD ＝OE. ∴BD ＝DE ＝EC. 综合题15.如图1，等边△ABC 中，D 是AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连接AE. (1)△DBC 和△EAC 全等吗？请说说你的理由； (2)试说明AE ∥BC 的理由；(3)如图2，将动点D 运动到边BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE ∥BC ？证明你的猜想.解：(1)△DBC 和△EAC 全等.理由：∵△ABC ，△EDC 是等边三角形， ∴∠ACB ＝∠DCE ＝60°，BC ＝AC ，DC ＝EC. ∴∠BCD ＝∠ACE.在△DBC 和△EAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ，∴△DBC ≌△EAC(SAS).(2)∵△DBC ≌△EAC ，∴∠EAC ＝∠B ＝60°. 又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB. ∴AE ∥BC. (3)仍有AE ∥BC.证明：∵△ABC ，△EDC 为等边三角形， ∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°. ∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ， 即∠BCD ＝∠ACE.在△DBC 和△EAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ，∴△DBC ≌△EAC(SAS). ∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB. ∴AE ∥BC.。
人教版 八年级数学 第12章 全等三角形 培优训练 (含答案)
人教版八年级数学第12章全等三角形培优训练一、选择题1. 下列各组的两个图形属于全等图形的是()2. 如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE相交于点M，则∠DCE等于()A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB3. 如图所示，P是∠BAC内一点，且点P到AB，AC的距离PE，PF相等，则△PEA≌△PF A的依据是()A．HL B．ASA C．SSS D．SAS4. 根据下列条件，能画出唯一的△ABC的是()A．AB＝3，BC＝4，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．AB＝5，AC＝6，∠A＝50°D．∠A＝30°，∠B＝70°，∠C＝80°5. 如图,点A在点O的北偏西30°的方向上,AB⊥OA,垂足为A.根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断,下列说法正确的是()A.点O在点A的南偏东60°方向上B.点B在点A的北偏东30°方向上C.点B在点O的北偏东60°方向上D.点B在点O的北偏东30°方向上6. 如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是()7. 现已知线段a，b(a<b)，∠MON=90°，求作Rt△ABO，使得∠O=90°，OA=a，AB=b.小惠和小雷的作法分别如下:小惠:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.小雷:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点O为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.则下列说法中正确的是()A.小惠的作法正确，小雷的作法错误B.小雷的作法正确，小惠的作法错误C.两人的作法都正确D.两人的作法都错误8. 如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF 于点H.若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为()A．40°B．50°C．55°D．60°二、填空题9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧与AB，AC分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB=°.10. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要添加条件：____________．11. 如图，若AB＝AC，BD＝CD，∠A＝80°，∠BDC＝120°，则∠B＝________°.12. 在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD 的面积之比是________．13. (2019•南通)如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．14. 如图所示，已知AD∥BC，则∠1＝∠2，理由是________________；又知AD ＝CB，AC为公共边，则△ADC≌△CBA，理由是______，则∠DCA＝∠BAC，理由是__________________，则AB∥DC，理由是________________________________．15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△DBE的周长为20，则AB＝________．16. 如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC交AC的延长线于点E.若△ABC的周长为11，PE=2，S△BPC =2，则S△ABC=.三、解答题17. 育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20 m，AC＝10 m，分别求一串红与鸡冠花两种花草的种植面积．18. 如图，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线上.若AD=16，BC=10，求AB的长.19. 我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是筝形，其中AB＝AD，CB＝CD，P是对角线AC上除A，C外的任意一点．求证：∠ABP ＝∠ADP.20. 如图，已知AP∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，过点E 的直线分别交AP，BC于点D，C.求证：AD＋BC＝AB.21. (1)如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝CA，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E.求证：DE＝BD＋CE.(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝CA，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角，则结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．人教版八年级数学第12章全等三角形培优训练-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】A[解析] ∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE＝∠B.故选A.3. 【答案】A4. 【答案】C[解析] 对于选项A来说，AB＋BC<AC，不能画出△ABC；对于选项B来说，可画出△ABC为锐角三角形或者钝角三角形；对于选项C来说，已知两边及其夹角，△ABC是唯一的；对于选项D来说，△ABC的形状可确定，但大小不确定．5. 【答案】D[解析] 如图,由题意知∠AOD=30°,∠COD=90°,∴∠AOC=120°.由作图可知,OB平分∠AOC,∴∠AOB=∠AOC=60°.∴∠DOB=30°.∴点B在点O的北偏东30°方向上.6. 【答案】C[解析] 选项A中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项B中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.选项C中，如图①，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.这两个角所对的边是BE和CF，而已知条件给的是BD=CF=3，故不能判定两个小三角形全等.选项D中，如图②，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.∴∠FEC=∠BDE.又∵BD=CE=2，∠B=∠C，∴△BDE≌△CEF.故能判定两个小三角形全等.7. 【答案】A[解析] AB=b，AB是斜边，小惠作的斜边长是b符合条件，而小雷作的是一条直角边长是b.故小惠的作法正确，小雷的作法错误.8. 【答案】B[解析] 如图，过点F分别作FZ⊥AE于点Z，FY⊥CB于点Y，FW⊥AB于点W.∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，∴FZ＝FW.同理FW＝FY.∴FZ＝FY.又∵FZ⊥AE，FY⊥CB，∴∠FCZ＝∠FCY.由∠AFB＝40°，易得∠ACB＝80°.∴∠ZCY＝100°.∴∠BCF＝50°.二、填空题9. 【答案】125[解析] 由题意可得AD平分∠CAB.∵∠C=90°，∠B=20°，∴∠CAB=70°.∴∠CAD=∠BAD=35°.∴∠ADB=180°-20°-35°=125°.10. 【答案】AB ＝AC11. 【答案】20[解析] 如图，过点D 作射线AF.在△BAD 和△CAD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，∴△BAD ≌△CAD(SSS)． ∴∠BAD ＝∠CAD ，∠B ＝∠C.∵∠BDF ＝∠B ＋∠BAD ，∠CDF ＝∠C ＋∠CAD ， ∴∠BDF ＋∠CDF ＝∠B ＋∠BAD ＋∠C ＋∠CAD ， 即∠BDC ＝∠B ＋∠C ＋∠BAC. ∵∠BAC ＝80°，∠BDC ＝120°， ∴∠B ＝∠C ＝20°.12. 【答案】4∶3【解析】如解图，过D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)，设DE＝DF＝h，则S△ABDS△ACD ＝12AB·h12AC·h＝43.13. 【答案】70【解析】∵∠ABC=90°，AB=AC，∴∠CBF=180°–∠ABC=90°，∠ACB=45°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，AB CBAE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为：70．14. 【答案】两直线平行，内错角相等SAS全等三角形的对应角相等内错角相等，两直线平行15. 【答案】20[解析] 由角平分线的性质可得CD＝DE.易证Rt△ACD≌Rt△AED，则AC＝AE，DE＋DB＝CD＋DB＝BC＝AC＝AE，故DE＋DB＋EB ＝AE＋EB＝AB.16. 【答案】7[解析] 过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G ，连接AP.∵△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，∴PF=PG=PE=2.∵S△BPC=2，∴BC·2=2，解得BC=2.∵△ABC的周长为11，∴AC+AB=11-2=9.∴S △ABC =S △ACP +S △ABP -S △BPC =AC ·PE+AB ·PG-S △BPC =×9×2-2=7.三、解答题17. 【答案】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴DE ＝DF. ∵AB ＝20 m ，AC ＝10 m ，∴S △ABC ＝12×20×10＝12×20·DE ＋12×10·DF ，解得DE ＝203(m)．∴△ACD 的面积＝12×10×203＝1003(m 2)，△ABD 的面积＝12×20×203＝2003(m 2)．故一串红的种植面积为2003 m 2，鸡冠花的种植面积为1003 m 2.18. 【答案】解:∵△ACF ≌△DBE ，∴AC=DB.∴AC-BC=DB-BC ，即AB=CD.∵AD=16，BC=10，∴AB=CD=(AD-BC )=3.19. 【答案】证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，CB ＝CD ， ∴△ABC ≌△ADC.∴∠BAP ＝∠DAP.在△BAP 和△DAP 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠BAP ＝∠DAP ，AP ＝AP ， ∴△BAP ≌△DAP.∴∠ABP ＝∠ADP.20. 【答案】证明：如图，在AB 上截取AF ＝AD ，连接EF.∵AE 平分∠PAB ，∴∠DAE ＝∠FAE.在△DAE 和△FAE 中，⎩⎨⎧AD ＝AF ，∠DAE ＝∠FAE ，AE ＝AE ，∴△DAE ≌△FAE(SAS)．∴∠AFE ＝∠ADE.∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＋∠C ＝180°.又∵∠AFE ＋∠EFB ＝180°，∴∠EFB ＝∠C.∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBF ＝∠EBC.在△BEF 和△BEC 中，⎩⎨⎧∠EFB ＝∠C ，∠EBF ＝∠EBC ，BE ＝BE ，∴△BEF ≌△BEC(AAS)．∴BF ＝BC.∴AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝AB.21. 【答案】解：(1)证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ， ∴∠BDA ＝∠AEC ＝90°.∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°.∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°. ∴∠CAE ＝∠ABD.在△ADB 和△CEA 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ，AB ＝CA ，∴△ADB ≌△CEA(AAS)．∴BD ＝AE ，AD ＝CE.∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE.(2)成立．证明：∵∠BDA ＝∠BAC ＝α，∴∠DBA ＋∠BAD ＝∠BAD ＋∠EAC ＝180°－α. ∴∠DBA ＝∠EAC.在△ADB 和△CEA 中，⎩⎨⎧∠DBA ＝∠EAC ，∠BDA ＝∠AEC ，AB ＝CA ，∴△ADB ≌△CEA(AAS)．∴BD ＝AE ，AD ＝CE.∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE.。
初中数学冀教版八年级上册第十三章 全等三角形13.3 全等三角形的判定-章节测试习题
章节测试题1.【答题】如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD ＝6，AD＝4，那么BC等于( )A. 4B. 5C. 6D. 无法确定【答案】A【分析】根据全等三角形对应边相等求解即可．【解答】∵△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，∴BC与AD是对应线段，∴BC=AD=4.选A.2.【答题】已知如图，△ABC≌△ADE，∠B=30°，∠E=20°，∠BAE=105°，求∠BAC的度数．∠BAC=______°．【答案】130【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形对应的角相等，∴∠C=∠E，∠B=∠D，可知∠BAC=180°-∠B-∠C．【解答】解：∵△ABC≌△ADE 且∠B≠∠E，∴∠C=∠E，∠B=∠D；∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣30°﹣20°=130°．3.【答题】如图，△ABC≌△DEF，若∠A=40°，∠BCA=20°，则∠E=______度．【答案】120【分析】根据全等三角形的性质：对应角相等，来求∠B=∠E；然后在△ABC中根据三角形的内角和来求∠B．【解答】解：在△ABC中，∠A=40°，∠BCA=20°，∴∠B=180°﹣20°﹣40°=120°；又∵△ABC≌△DEF，∴∠B=∠E，∴∠E=120°；故答案为：120°．4.【答题】已知：△ABC≌△A′B′C′，∠A=35°，∠B=75°，则∠C′的度数为______°．【答案】70【分析】根据△ABC≌△A′B′C′，得到∠C=∠C′，根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，即可得到答案．【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′，∵∠A=35°，∠B=75°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B，=180°﹣35°﹣75°=70°，∴∠C′=70°．故答案为：70°．5.【答题】如图，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A=110°，∠B=40°，则∠C1=______度．【答案】30【分析】本题实际上是全等三角形的性质以及根据三角形内角和等于180°来求角的度数．【解答】解：∵△ABC≌△A1B1C1，∴∠C1=∠C，又∵∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣110°﹣40°=30°，∴∠C1=∠C=30°．故填306.【答题】若△ABC≌△A′B′C′且∠A=35°25′，∠B′=49°45′，则∠C=______°______′．【答案】94,50【分析】全等三角形的对应角相等，三角形内角和等于180°．所以∠C=180°﹣∠A﹣∠B，且∠C1=∠C，∠B=∠B′．【解答】解：∵△ABC≌△A1B1C1，∴∠C1=∠C，∠B=∠B′，又∵∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠A﹣∠B′=180°﹣35°25′﹣49°45′=94°50′．7.【答题】如图，△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠ABC=60°，则∠F=______度．【答案】40【分析】根据全等三角形的性质求出∠DEF和∠D的度数，在△DEF中，根据三角形的内角和定理求出即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠ABC=60°，∴∠D=∠A=80°，∠DEF=∠ABC=60°，∵∠F+∠D+∠DEF=180°，∴∠F=40°，故答案为：408.【答题】如图，若△ABC≌△ADE，则BC=______．【答案】DE【分析】根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，找出BC的对应边即可．【解答】解：BC=DE，理由是∵△ABC≌△ADE，∴BC=DE．故答案为：DE．9.【答题】如图：△ABC≌△DCB，AB的对应边DC，∠A的对应角是∠D，则BC的对应边是______．【答案】CB【分析】根据全等三角形的性质以及图形可以直接得到答案．【解答】解：∵△ABC≌△DCB，AB的对应边DC，∠A的对应角是∠D，∴BC=CB（全等三角形的对应边相等）；故答案是：CB．10.【答题】已知△ABC≌△EFD，若△ABC的周长为26，AB=8，BC=12，则DE=______．【答案】6【分析】根据“全等三角形的对应边相等”的性质进行解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△EFD，∴AB=EF，BC=FD，AC=ED；又∵△ABC的周长为26，AB=8，BC=12，∴DE=AC=26﹣AB﹣BC=26﹣8﹣12=6，即DE=6；故答案是：611.【答题】如图，若△ACB≌△AED，且∠B=35°，∠C=48°，则∠EAD=______°．【答案】97【分析】根据全等三角形的对应角相等和三角形的内角和定理即可求得∠EAD的度数．【解答】解：∵∠B=35°，∠C=48°，∴∠CAB=180°﹣35°﹣48°=97°∵△ACB≌△AED，∴∠EAD=∠CAB=97°．故答案为9712.【答题】已知：△ABC≌△A′B′C′，∠A=50°，∠B=70°，则∠C′=______°．【答案】60【分析】根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，根据全等三角形的性质求出∠C′=∠C，代入即可．【解答】解：∠C=180°﹣∠B﹣∠A=180°﹣50°﹣70°=60°，∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C′=∠C=60°，故答案为：6013.【答题】如下图所示，△ABD≌△ACE，点B和点C是对应顶点，AB=8，BD=7，AD=6，则BE的长是______．【答案】2【分析】首先根据全等三角形的对应边相等，求出AE的长，根据BE=AB﹣AE，即可求出BE的长．【解答】解：∵△ABD≌△ACE，点B和点C是对应顶点，∴AE=AD=6；∴BE=AB﹣AE=8﹣6=2故BE的长是214.【答题】若△ABC≌△BAD，且AB=4cm，BC=3cm，则AD的长为______cm．【答案】3【分析】首先找准对应边然后根据全等三角形的对应边相等，即可求解．【解答】解：∵△ABC≌△BAD∴AD=BC=3cm．15.【答题】若△OAD≌△OBC，且BC=6cm，则AD=______cm．【答案】6【分析】根据全等三角形的对应边相等得出AD=BC，代入求出即可．【解答】解：∵△OAD≌△OBC，∴AD=BC，∵BC=6cm，∴AD=6cm，故答案为：616.【答题】如图，△ABC≌△ADE，∠EAC=25°，则∠BAD=______°．【答案】25【分析】根据全等三角形对应角相等可以得到∠CAB=∠EAD，然后两个相等的角减去同一个∠EAB即可得到∠CAE=∠BAD，从而得到结论．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠CAB=∠EAD，∴∠CAB﹣∠EAB=∠EAD﹣∠BAD，即：∠BAD=∠EAC=25°，故答案为2517.【答题】如图，DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则EBC的周长为( )厘米A. 16B. 28C. 26D. 18【答案】D【分析】利用线段垂直平分线的性质得AE=CE，再等量代换即可求得三角形的周长．【解答】∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴CE=AE，∵△EBC的周长=BE+EC+BC,∴△EBC的周长=BE+AE+BC=AB+BC，∵BC=8cm，AB=10cm，∴△EBC的周长为18cm.选D.18.【答题】如图，AB=DB，BC=BE，要使△AEB≌△DCB，则需添加的条件是( )A. AB=BCB. AE=CDC. AC=CDD. AE=AC【答案】B【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据判定定理逐个判断即可．【解答】只有选项B正确，理由是：在△AEB和△DCB中，，∴△AEB≌△DCB（SSS），选B.19.【答题】如图，，，有交于．在原图形的基础上，要利用“”判定△AOB≌△DOC，还需添加的条件是( )A.B.C.D.【答案】C【分析】因为要用SSS证明，则通过对所给条件的分析可得出AB=CD，OB=OC，从而可判断出所应该添加的条件．【解答】要利用“SSS”判定，只有选项C符合，理由如下：∵AC=BD，若OA=OD，则可得OB=OC，又∵AB=CD，∴可利用SSS证明△AOB≌△DOC，选C.20.【答题】如图，中，，，则由“”可判定( )A. ≌B. ≌C. ≌D. 以上答案都不对【答案】B【分析】要由“SSS”判定，已知AB=AC，EB=EC，观察图形只能是再添加AE=AE，【解答】理由如下：∵AB=AC，EB=EC，AE=AE，∴△ABE≌△ACE，选B.。
中考数学知识点过关培优训练卷：全等三角形的性质与判定(附解析)
中考数学知识点过关培优训练卷： 全等三角形的性质与判定 一．选择题 1．如图，△ABC和△EDC都是等边三角形，连接AE、BE，若AB＝BE，∠CAE＝20°，则∠BCD的度数是（ ）
A．25° B．20° C．15° D．10° 2．在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，过A作AT⊥BE于T点，有下列结论：①△AET≌△CDE，②BC＝AB+AE，③∠ADB＝45°，④BE＝AT+TE，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．已知△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝7，BC＝17，以AC为斜边在△ABC外作等腰Rt△ACD，连接BD，则BD的长为（ ）
A．25 B． C． D． 4．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别为边BC、AC上的点，且CD＝AE，点F是BE和AD的交点，BG⊥AD于G点，已知∠BEC＝75°，FG＝1，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．3 5．如图，△ABM与△CDM是两个全等的等边三角形，MA⊥MD有下列四个结论：①∠MBC＝25°；②∠ADC+∠ABC＝180°；③直线MB平分∠DMC；④直线MB垂直平分线段CD．其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC，则下列结论：①AD＝CB；②∠ACE＝∠ABC；③∠ECD+∠EBC＝∠BEC；④∠CEF＝∠CFE；其中正确的是（ ）
A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BE⊥AB于B，D为AB边上一点且AD＝BE，连接CD，DE，若CD＝2，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．4 D．6 8．如图，△PAB与△PCD均为等腰直角三角形，点C在PB上，若△ABC与△BCD的面积之和为10，则△PAB与△PCD的面积之差为（ ）
初中数学冀教版八年级上册第十三章 全等三角形13.3 全等三角形的判定-章节测试习题(2)
章节测试题1.【答题】如图，已知AB=AD给出下列条件：（1）CB=CD （2）∠BAC=∠DAC （3）∠BCA=∠DCA （4）∠B=∠D，若再添一个条件后，能使△ABC≌△ADC的共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【分析】由图形△ABC和△ADC有公共边，结合条件AB=AD，故可再加一组边，和公共边与已知一组边的夹角相等可得全等．【解答】∵在△ABC和△ADC中，AB=AD，AC=AC，∴（1）添加“CB=CD”可由“SSS”判定△ABC≌△ADC；（2）添加“∠BAC=∠DAC”可由“SAS”判定△ABC≌△ADC；（3）添加“∠BCA=∠DCA”不能判定△ABC≌△ADC；（4）添加“∠B=∠D”不能判定△ABC≌△ADC；即4个条件中，添加（1）和（2）能使△ABC≌△ADC.选B.2.【答题】如图，AD平分∠BAC，AB=AC，那么判定△ABD≌△ACD的理由是( )A. SSSB. SASC. ASAD. AAS【答案】B【分析】利用角平分线可得到一组角相等，再加上条件AB=AC，再加公共边，可判定其全等，可得出答案．【解答】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，又∵AB=AC，AD=AD，∴可由“SAS”判定△ABD≌△ACD.选B.3.【答题】已知:如图,AC=CD ,∠B=∠E=90°, AC⊥CD,则不正确的结论是 ( )A. ∠A与∠D互为余角B. ∠A=∠2C. △ABC≌△CEDD. ∠1=∠2【答案】D【分析】先根据角角边证明△ABC与△CED全等，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解．【解答】∵AC⊥CD，∴∠1+∠2=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∴∠A=∠2，在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED(AAS)，故B、 C选项正确；∵∠2+∠D=90°，∴∠A+∠D=90°，故A选项正确；∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∠1+∠2=90°，故D选项错误.选D.4.【答题】如图，△ABC≌△CDA,且AD＝CB，下列结论错误的是( )A. ∠B＝∠DB. ∠CAB＝∠ACDC. BC＝CDD. AC＝CA【答案】C【分析】根据全等三角形的性质进行分析，从而得到答案，做题时要找准对应边，对应角．【解答】∵△ABC≌△CDA，∴∠CAB＝∠ACD，CA=AC，∠D=∠B，故A. B. D正确，不符合题意，BC不一定等于CD，C错误，符合题意，选C.5.【答题】如图，FE=BC，DE=AB，∠B=∠E=40°，∠F=70°，则∠A=( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°【答案】D【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠C与∠F的关系，根据三角形的内角和定理，可得答案．【解答】∵∠E=40°，∠F=70°，∴∠D =70°，∵FE=BC，DE=AB，∠B=∠E=40°，∴△ABC≌△DEF（SAS）∴∠A=∠D =70°.故选：D .6.【答题】如图，已知E，F是AC上的两点，AE=CF，DF=BE，∠AFD=∠CEB，则下列不成立的是( )A. ∠A=∠CB. AD=CBC. BC=DFD. DF∥BE【答案】C【分析】根据等式的性质，可得AF与CE的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．【解答】∵AE＝CF（已知），∴AE+EF＝EF+CF，∴AF＝EC，∵∠AFD=∠CEB，∴△AFD≌△CEB（SAS），∴∠A=∠C，AD=CB，BC=DA，∵∠AFD=∠CEB，∴DF∥BE.选C.7.【答题】如图，AB=AC，添加下列条件，能用SAS判断△ABE≌△ACD的是( )A. ∠B=∠CB. ∠AEB=∠ADCC. AE=ADD. BE=DC【答案】C【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得答案．【解答】∵AB=AC （已知），∠A=∠A（公共角），∴只需要AE=AD，∴△ABE≌△ACD，选C.8.【题文】如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠A=∠D，BF=EC，AB//DE，若∠1=80°，求∠BFD的度数；【答案】100°【分析】先根据AAS证明△ABC≌△DEF，得到∠1＝∠EFD＝80°，再根据邻补角示得∠BFD的度数.【解答】解：∵∠A=∠D，∴∠B=∠E,∵BF=EC，∴BF-CF=EC-CF,即BC＝EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（AAS），∴∠1＝∠EFD，又∵∠1＝80°，∴∠EFD＝80°，又∵∠∠EFD+∠BFD＝180°，∴∠BFD＝100°.9.【题文】如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE，BD交于点O；求证：△AEC≌△BED；【答案】见解析【分析】根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED；【解答】解：∵AE和BD相交于点O，∴∠AOD=∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO，∴∠AEC=∠BED．在△AEC和△BED中，∴△AEC≌△BED（ASA）．10.【题文】把下面推理过程补充完整，在括号内注明理由：已知：如图，BC//EF，AB=DE，BC=EF，试说明∠C=∠F；解：∵BC//EF（已知）∴∠ABC=∠__________ _________________________在△ABC与△DEF中，∵∴△ABC≌△DEF _______∴∠C=∠F ____________________________【答案】∠E 两直线平行，同位角相等 SAS 全等三角形对应角相等【分析】由于BC∥EF，所以∠ABC=∠DEF的根据是两直线平行，同位角相等，然后再根据已知条件，判定三角形全等，利用全等三角形的性质，求出∠C=∠F．【解答】解：∵BC∥EF（已知），∴∠ABC=∠DEF（两直线平行，同位角相等），在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠ABC=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）．11.【题文】如图，已知，，，，试猜想与的位置关系并说明理由．【答案】．理由见解析【分析】根据SSS证明△ABD≌△ACE，从而得∠BAD=∠CAE，再由∠CAD是公共角，从而可得∠DAE=∠BAC=90°，从而得到AD⊥AE.【解答】解：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SSS），∴∠BAD=∠CAE，∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD，即∠DAE=∠BAC=90°，∴AD⊥AE.【方法总结】本题考查了全等三角形的判定与性质，得到∠DAE=∠BAC=90°是解题的关键.12.【题文】已知，，那么吗？为什么？那么吗？【答案】∠B=∠D，理由见解析；∠A与∠C不一定相等.【分析】连接AC，证明△ABC≌△ADC，可得∠B=∠D，由已知条件得不到∠A=∠C.【解答】解：连接AC，在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠B=∠D，∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，由已知条件得不到∠BAC=∠ACB，所以不一定能得到∠BAD=∠BCD.13.【题文】如图，点、、、在直线上，不能直接测量，点、在异侧，测得，，；（）说明：≌；（）指出图中所有平行的线段并说明理由；【答案】（1）说明见解析；（2）AB//DE，AC//DF，理由见解析.【分析】（1）先证明BC=EF，再根据SSS即可证明．（2）结论AB∥DE，AC∥DF，根据全等三角形的性质即可证明．【解答】解：（）∵，∴，即，在△ABC和△DEF中，∴≌．（），，理由：∵≌，∴，，∴，．14.【题文】如图，已知，，说出的理由；【答案】见解析【分析】根据边边边判定△ABC与△CDA全等，再根据全等三角形对应角相等的性质即可得.【解答】解：在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴∠1=∠2.15.【题文】如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD，并延长使DF ＝BD，过F点作AB的平行线段MF，连接MD，并延长，在其延长线上取一点E，使DE＝DM，在E点开工就能使A、C、E成一条直线，请说明其中的道理；【答案】详见解析.【分析】首先根据题意得出△BDE和△FDM全等，从而得出∠BEM＝∠DMF，即BE∥MF，最后根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行得出答案．【解答】解：∵BD＝DF，DE＝DM，∠BDE＝∠FDM，∴△BDE≌△FDM，∴∠BEM＝∠DMF，∴BE∥MF，∵AB∥MF，根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴A、C、E在一条直线上．16.【题文】如图，已知：点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=EF，AE=CE；求证：∠B+∠BCF=180°；【答案】详见解析.【分析】首先根据题意得出△ADE和△CFE全等，从而得出∠ADE=∠F，根据平行线的判定定理得出AB∥CF，最后根据平行线的性质定理得出答案．【解答】解：∵DE=FE，∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE，∴∠ADE=∠F，∴AB∥CF，∴∠B+∠BCF=180°．17.【题文】已知：线段，，求作：，使，．【答案】答案见解析【分析】首先作进而以B为圆心的长为半径画弧，再以为圆心为半径画弧即可得出的位置．【解答】解：如图所示：△ABC即为所求.18.【题文】如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，点B、C、D在同一条直线上；试说明：∠ADB=∠AEC；【答案】见解析【分析】求出根据SAS证出≌即可．【解答】解：证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴AD=AE，AB=AC，又∵∴∠DAB=∠EAC，∵在△ADB和△AEC中,∴△ADB≌△AEC(SAS)，∴19.【题文】如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.请判断AE与CF的位置关系，并说明理由．【答案】AE⊥CF，理由见解析.【分析】延长AE交FC于点G，先证Rt△ABE≌Rt△CBF，再证∠EAB＋∠AFC＝90°即可.【解答】解：AE⊥CF，理由如下：如图，延长AE交FC于点G.∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，∵AE＝CF，AB＝CB，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，∴∠EAB＝∠FCB.∵∠FCB＋∠CFB＝90°，∴∠EAB＋∠AFC＝90°，∴∠AGF＝90°，∴AE⊥CF.20.【题文】如图所示，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E，C，A在同一条直线卜，则DE的长就等于A，B之间的距离，请你说明道理．【答案】见解析.【分析】因为AB∥DE，所以∠A＝∠E或∠ABC＝∠EDC，因为BC＝CD，根据AAS证明ΔABC≌ΔEDC，所以AB＝ED.从而得证.【解答】由题意并结合图形可以知道BC＝CD，∠ACB＝∠ECD，又AB∥DE，从而∠A＝∠E或∠ABC＝∠EDC，故在ΔABC与ΔEDC中，所以ΔABC≌ΔEDC(AAS)，所以AB＝ED，即测出ED的长后即可知道A，B之间的距离．【方法方法总结】本题目是一道考查三角形全等的说理题目，主要考查了AAS判定.难度一般.。
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13.3全等三角形的判定
专题一 与全等三角形有关的规律探究
1. 如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上一点，连结BD，CD；如图2，已知AB=AC，D，
E为∠BAC的角平分线上面两点，连结BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D，E，F为
∠BAC的角平分线上面三点，连结BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中
有全等三角形的对数是________.
2. 如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，BE平分∠ABC交CD，AC分别于G，
E，GF∥AC交AB于F，猜想：EF与AB有怎样的位置关系，请说明理由．
3. 如图①，AB=CD，AD=BC．O为AC中点，过O点的直线分别与AD，BC相交于点M，N.
（1）那么∠1与∠2有什么关系？AM，CN有什么关系？请说明理由．
（2）若将过O点的直线旋转至图②③的情况时，其他条件不变，那么（1）中的关系还成立吗？
请说明理由．
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专题二 全等三角形与图形变换
4.两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在
同一条直线上，连结DC．请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标
识的字母）．
5.如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三
角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连结BE，EC．试猜想线段BE和EC
的数量及位置关系，并证明你的猜想．
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6.在△ABC中，∠BAC是锐角，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，且DB=DC,AE=BE.
（1）求证：AH=2BD；
（2）若将∠BAC改为钝角，其他条件不变，上述的结论还成立？若成立，请证明；若不成立，请
说明理由．
专题三 利用三角形全等解决实际问题
7. 如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点），相距25 km，C，D为铁路同旁的两个村庄（视为
两点），DA⊥AB于A点，CB⊥AB于B点，DA=15 km，CB=10 km，现在要在铁路AB上建一个土特
产产品收购站E，使C，D两村庄到E站的距离相等，求E站应建在离A站多远处，并说明理由.
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状元笔记
【知识要点】
1.全等三角形的判定方法
SSS、SAS、ASA、AAS.
2.全等三角形与图形变换
寻找和利用两三角形间的平移或旋转变换关系，能够给命题的证明带来方便.
【温馨提示】
1.全等图形指形状相同，大小相等的两个图形.
2.表示两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
【方法技巧】
选择哪种判定方法，要根据具体已知条件而定：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相
等
SAS、AAS、ASA
两角对应相等 ASA、AAS
两边对应相等 SAS、SSS
参考答案
1. (1)2nn 解析：全等三角形依次有1对，3对，6对，…，第n个图形有(1)2nn对.
2.解： EF⊥AB.理由：∵BE平分∠ABC，∴∠CBG=∠FBG.∵GF∥AC，
∴∠A=∠GFB.∵∠A+∠ACD=∠BCG+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCG=∠GFB.又∵BG=BG，
∴△FBG≌△CBG，∴BF=BC.∵EB=EB，∠CBE=∠FBE，∴△FBE≌△CBE，∴∠EFB=∠ECB=90°，
∴EF⊥AB.
3.解：（1）∠1=∠2， AM=CN.理由：∵AB=CD，AD=BC，AC=CA,∴△ABC≌△CDA，∴∠DAC=∠BCA.
又∵AO=CO，∠CON=∠AOM，∴△AOM≌△CON. ∴∠1=∠2，AM=CN.
（2）成立，同理可证△AOM≌△CON .
4.解：△BAE≌△CAD，证明：∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC+∠CAE =∠EAD+∠CAE,即
∠BAE=∠CAD.又∵AB=AC，AE=AD，∴△BAE≌△CAD.
5.解：BE=EC，BE⊥EC．
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证明：∵AC=2AB， AD=CD，∴AB=AD=CD．∵∠EAD=∠EDA=45°，∴∠EAB=∠EDC=135°.∵EA=ED，
∴△EAB≌△EDC(SAS)，∴∠AEB=∠DEC，EB=EC，∴∠BEC=∠AED=90°，∴BE=EC，BE⊥EC．
6.解：（1）证明：如图（1），∵ AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEH=∠BEC =90°,
∴∠EAH+∠C=∠EBC+∠C=90°，∴∠EAH =∠EBC.又∵AE=BE，∴△AEH≌△BEC，∴AH=BC，
DB=DC,
∴AH=2BD.
（2）如图（2），上述结论成立.同理可证△AEH≌△BEC.
7.解：E站应建在离A站10 km处.理由如下：
在线段AB上截取AE=BC=10 km，又因为AB=25 km，所以BE=AB－AE=25－10=15(km)，所以
AD=BE=15 km．在△ADE和△BEC中，,90,,ADBEABAEBC所以△ADE≌△BEC（SAS）.所以DE=EC.