2023自行车里的数学(同步练习)-
2023-2024学年全国全部人教A版(2019)高中数学同步练习(含解析)
2023-2024学年全国高中数学同步练习考试总分：60 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）1. 甲、乙俩人各进行次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．则甲恰好比乙多击中目标次的概率为（ ）A.B.C.D.2. 两位同学一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘人，你们俩同时被招聘进来的概率为”． 根据这位负责人的话可以推断出参加面试的人数为（ ）A.B.C.D.3. 在一次数学竞赛选拔测试中，每人解道题，至少解对道题才能通过测试被选上，设某同学解对每道题的概率均为，且该同学是否解对每道题互相独立，若该同学通过测试被选上的概率恰好是，则的值为（ ）A.B.C.312232124524172136315567832p(0<p <1)p p 1213232D.二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）4. 甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )A.B.C.事件与事件相互独立D.，，是两两互斥的事件5. 某学校共有个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择到每个餐厅概率相同)，则下列结论正确的是( )A.四人去了四个不同餐厅就餐的概率为B.四人去了同一餐厅就餐的概率为C.四人中恰有人去了第一餐厅就餐的概率为D.四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为6. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是A.目标恰好被命中一次的概率为B.目标恰好被命中两次的概率为C.目标被命中的概率为D.目标被命中的概率为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）25523433A 1A 2A 3B P(B)=25P(B |)=A 1511B A 1A 1A 2A 3651811296225216231213()+1213×1213×+×122312131−×12237. 甲、乙两人约定上午至之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有班公共汽车，它们开车的时刻分别是和，甲，乙两人约定，见车就乘，则甲、乙同乘一车的概率为（假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在时到时的任何时刻到达车站是等可能的）_________.8. 某工厂师徒二人加工相同型号的零件，是否加工出精品互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，徒弟加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工个零件不全是精品的概率为________.9. 甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是与，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是________．10. 小波玩已知闯关游戏，有次挑战机会，若连续二次挑战胜利停止游戏，闯关成功；否自，闯关失败，若小波每次挑战胜利的概率均为，且各次挑战相互独立，那么小波恰好挑战次成功的概率为________．四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 10 分 ，共计30分 ）11. 甲、乙两人组成“星队”进行定点投篮比赛，在距篮筐米线内设一点，在点处投中一球得分，不中得分；在距篮筐米线外设一点，在点处投中一球得分，不中得分．已知甲、乙两人在点投中的概率都为，在点投中的概率都为，且在，两点处投中与否互不影响．设定甲、乙两人先在处各投篮一次，然后在处各投篮一次，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分．已知在一次比赛中甲得分的概率为，乙得分的概率为．求，的值；求“星队”在一次比赛中的总得分为分的概率．12. 甲、乙、丙三台机床同时生产一种零件，在天中，甲、乙机床每天生产的次品数如下表所示．分别计算这两组数据的平均数和方差；已知丙机床这天生产次品数的平均数为，方差为1.41．以平均数和方差为依据，若要从这三台机床中海汰一台，你应该怎么选择？这三台机床你认为哪台性能最好？13. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，预定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两个人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为.求甲连胜四场的概率；求需要进行第五场比赛的概率；求丙最终获胜的概率．7:008:0027:308:0078231220.80.750.843M M 203N N 30M p N q M N M N 212516(1)p q (2)510(1)(2)10 1.412(1)(2)(3)参考答案与试题解析2023-2024学年全国高中数学同步练习一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）1.【答案】A【考点】相互独立事件相互独立事件的概率乘法公式【解析】甲恰好比乙多击中目标次包含两种情况：①甲中次，乙中次；②甲中次，乙中次．由此能求出甲恰好比乙多击中目标次的概率．【解答】甲、乙俩人各进行次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为．甲恰好比乙多击中目标次包含两种情况：①甲中次，乙中次；②甲中次，乙中次．则甲恰好比乙多击中目标次的概率为：．2.【答案】B【考点】相互独立事件的概率乘法公式【解析】设面试的总人数为，则由题意可得，由此求得的值．【解答】22031231223220312P =(()(+(()(=C 2312)212C 0313)3C 3312)31C 32313)2124n =⋅C 22C 1n−2C 3n15n ⋅C 2C 1解：设面试的总人数为，则由题意可得，即，化简可得，求得，故选：．3.【答案】A【考点】相互独立事件的概率乘法公式互斥事件的概率加法公式【解析】根据题意，该同学通过测试被选上有种情况：道题答对两道或全答对，计算其概率可得，解可得的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得该同学通过测试被选上有种情况：道题答对两道或全答对，则概率为，解可得：；故选：．二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）4.【答案】B,D【考点】相互独立事件的概率乘法公式相互独立事件【解析】本题是概率的综合问题，掌握条件概率的基本运算是解决问题的关键．本题在，，是两两互斥的事件，把事件的概率进行转化＝，可知事件的概率是确定的．【解答】n =⋅C 22C 1n−2C 3n15=n −2n ⋅(n −1)⋅(n −2)3!15n(n −1)=30n =6B 23(1−p)+=p C 23p 2C 33p 3p 23(1−p)+=p C 23p 2C 33p 3p =12A A 1A 2A 3B P(B)P(B |⋅)+P(B ⋅)+P(B ⋅)A 1A 2A 3B A A A解：由题意，，是两两互斥的事件，，，；，由此知，正确；，；而．由此知不正确；，，是两两互斥的事件，由此知正确；对照四个命题知正确；故选．5.【答案】A,C,D【考点】相互独立事件的概率乘法公式条件概率与独立事件【解析】此题暂无解析【解答】解：四名同学每人随机选择一家餐厅就餐，一共有种等可能方法，对于，四人去了四个不同餐厅就餐有种等可能，则其概率为，故正确；对于，四人去了同一餐厅就餐有种等可能，则其概率为，故错误；对于，四人恰好有人去了第一餐厅就餐有种等可能，则其概率为，故正确；对于，因为选择到每个餐厅概率相同，则符合等概率二项分布~，则四人中去每个餐厅就餐的人数的期望是相等的，则，故正确.故选.6.A 1A 2A 3P()==A 151012P()==A 221015P()=A 3310P(B |)==A 1×1251112511B P(B |)=A 2411P(B |)=A 3411P(B)=P(B)+P(B)+P(B)A 1A 2A 3=P()P(B |)+P()P(B |)+P()P(B |)A 1A 1A 2A 2A 3A 3=×+×+×=1251115411310411922AC A 1A 2A 3D BD BD 64A A 46P ==A 4664518A B A 16P==A 16641216B C 2C 2452P ==C 24526425216C D X B(4,)16E(X)=4×=1623D ACD【答案】B,D【考点】相互独立事件【解析】①目标恰好被命中一次即是：甲中而乙不中，乙中而甲不中，再依据结论：若，相互独立，则，即可得到正确结论；②目标恰好被命中两次表示甲中并且乙中，再依据结论，即可得到正确结论；③目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，再依据结论，即可；④结合题意，目标没命中为目标被命中的对立事件，依据结论：若，相互对立，则，即可得到正确结论．【解答】解：由题意知，甲、乙两人射击是否命中目标相互独立．目标恰好被命中一次的概率为，故错误；由于目标恰好被命中两次，则两人全部命中，其概率为，故正确；由于目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，则其概率为，故错误；由于目标没命中的概率是，则目标被命中的概率为，故正确．故答案为．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）7.【答案】【考点】相互独立事件的概率乘法公式【解析】“甲、乙同乘第一辆车”与“甲、乙同乘第二辆车”是互斥事件；而“甲乘第一辆车”与“乙乘第一辆车”是相互独立事件；利用独立事件同时发生的概率乘法公式及互斥事件的和事件公式求出甲、乙同乘一车的概率．【解答】A B P(AB)=P(A)⋅P(B)A B P(A)=1−P(B)×(1−)+×(1−)12131312×1213×(1−)+×(1−)+×121313121213(1−)×(1−)=×121312231−×1223BD 12=111解：甲，乙同乘第一辆车的概率为，甲，乙同乘第二辆车的概率为，甲，乙同乘一车的概率为.故答案为：.8.【答案】【考点】对立事件的概率公式及运用相互独立事件的概率乘法公式【解析】师徒二人各加工个零件不全是精品的对立事件是师徒二人各加工个零件全是精品的对立事件是师徒二人各加工个零件不全是精品，由此利用对立事件概率计算公式能求出结果．【解答】解：∵师傅加工一个零件是精品的概率为，徒弟加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工个零件不全是精品的对立事件是师徒二人各加工个零件全是精品，∴师徒二人各加工个零件不全是精品的概率：．故答案为：．9.【答案】【考点】相互独立事件的概率乘法公式【解析】此题暂无解析【解答】略10.×=121214×=121214+=14141212892222312222P =1−((=C 2223)2C 2212)289890.56【考点】相互独立事件的概率乘法公式互斥事件的概率加法公式【解析】若小波恰好挑战次成功，则第三、四次挑战胜利，第二次挑战失败，第一次挑战胜利与失败均可，进而可得答案．【解答】解：若小波恰好挑战次成功，则第三、四次挑战胜利，第二次挑战失败，第一次挑战胜利与失败均可，故小波恰好挑战次成功的概率，故答案为：四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 10 分 ，共计30分 ）11.【答案】解：设，，，分别表示在一次比赛中甲得分，分，分，分的事件，，，，分别表示在一次比赛中乙得分，分，分，分的事件.根据题意可得：解得，.由已知得 ，，，.设“‘星队’在一次比赛中的总得分为分”，则，则 ，则“星队”在一次比赛中的总得分为分的概率为 .0.128444P =1×(1−0.8)×=0.1280.820.128(1)A 0A 2A 3A 50235B 0B 2B 3B 50235P ()=p (1−q)=,A 212P ()=pq =,B 516p =23q =14(2)P ()=P ()A 0B 0=(1−)×(1−23)=1414P ()=P ()=×(1−)=A 2B 2231412P ()=P ()=(1−)×=A 3B 32314112P ()=P ()=×=A 5B 5231416C =5C =∪∪∪A 0B 5A 2B 3A 3B 2A 5B 0P(C)=P(∪∪∪)A 0B 5A 2B 3A 3B 2A 5B 0=P ()P ()+P ()P ()+P ()A 0B 5A 2B 3A 3P ()+P ()P ()B 2A 5B 0=×+×+×+×141612112112121614=16516相互独立事件的概率乘法公式【解析】此题暂无解析【解答】解：设，，，分别表示在一次比赛中甲得分，分，分，分的事件，，，，分别表示在一次比赛中乙得分，分，分，分的事件.根据题意可得：解得，.由已知得 ，，，.设“‘星队’在一次比赛中的总得分为分”，则，则 ，则“星队”在一次比赛中的总得分为分的概率为 .12.【答案】解：（）．…………··……分……··…分，……………分．…………分（2）因为 ，……分；所以次品数的平均数最小的是乙，稳定性最好的也是乙·稳定性最差的是丙，………………分故应淘汰丙机床，乙机床的性能最好………分；【考点】众数、中位数、平均数、百分位数(1)A 0A 2A 3A 50235B 0B 2B 3B 50235P ()=p (1−q)=,A 212P ()=pq =,B 516p =23q =14(2)P ()=P ()A 0B 0=(1−)×(1−23)=1414P ()=P ()=×(1−)=A 2B 2231412P ()=P ()=(1−)×=A 3B 32314112P ()=P ()=×=A 5B 5231416C =5C =∪∪∪A 0B 5A 2B 3A 3B 2A 5B 0P(C)=P(∪∪∪)A 0B 5A 2B 3A 3B 2A 5B 0=P ()P ()+P ()P ()+P ()A 0B 5A 2B 3A 3P ()+P ()P ()B 2A 5B 0=×+×+×+×141612112112121614=165161=(0+1+0+2+2+3+3+1+2+0)=1.4x ¯¯¯甲1101=(2+4+1+1+0+2+1+1+1)=1.3x 乙1102=[3×+2×+3×+2×]=1.24s 2甲110(0−1.4)2(1−1.4)2(2−1.4)2(3−1.4)24=[2×+5×+2×+]=1.21s 2乙110(0−1.3)2(1−1.3)2(2−1.3)2(4−1.3)26=>,>1>x ¯¯¯甲x ¯¯¯丙x ¯¯¯乙s 2丙s 2甲s 2乙81012极差、方差与标准差【解析】评分细则：【】对于甲的方差的计算，如果结果错误公式正确给分，对于乙的方差计算也是如此；评分细则：【】若未写“次品数的平均数最小的是乙，稳定性最好的也是乙，稳定性最差的是丙”，而直接得出结论“应淘汰丙机床，乙机床的性能最好”，要扣分【解答】解：（）．…………··……分……··…分，……………分．…………分（2）因为 ，……分；所以次品数的平均数最小的是乙，稳定性最好的也是乙·稳定性最差的是丙，………………分故应淘汰丙机床，乙机床的性能最好………分；13.【答案】解：甲连续胜四场只能是前四场全胜： ．由题意可知：比赛总局数为四场或五场，设甲四场赢得比赛为事件，乙四场赢得比赛为事件，丙四场赢得比赛为事件，需进行五场比赛为事件.由可知，，同理可知，.若丙四场赢得比赛，则第二，三，四场比赛都赢，故.则.所以需要进行第五场比赛的概率为：.设进行四场比赛丙获胜为事件，进行五场比赛丙获胜为事件，丙获胜为事件．由可知．而进行五场比赛丙获胜，则丙只能在第二场输或第三场或第四场输．①若丙在第二场输，则五场比赛的输者为：乙丙乙甲甲、乙丙甲乙甲、甲丙甲乙乙、甲丙乙甲乙，共四种情况，概率为；②若丙在第三场输，则五场比赛的输者为：甲乙丙甲乙、甲乙丙乙甲、乙甲丙甲乙、乙甲丙乙甲，共四种情况，11221=(0+1+0+2+2+3+3+1+2+0)=1.4x ¯¯¯甲1101=(2+4+1+1+0+2+1+1+1)=1.3x 乙1102=[3×+2×+3×+2×]=1.24s 2甲110(0−1.4)2(1−1.4)2(2−1.4)2(3−1.4)24=[2×+5×+2×+]=1.21s 2乙110(0−1.3)2(1−1.3)2(2−1.3)2(4−1.3)26=>,>1>x ¯¯¯甲x ¯¯¯丙x ¯¯¯乙s 2丙s 2甲s 2乙81012(1)P ==()124116(2)A B C D (1)P(A)=116P(B)=116P(C)=18P(D)=1−P(A)−P(B)−P(C)=1−−−=116116183434(3)C E F (2)P (C)=18×4=()125184=5概率为；③若丙在第四场输，则五场比赛的输者为：甲乙甲丙乙、乙甲乙丙甲，共两种情况，概率为.故,故丙最终获胜的概率.【考点】对立事件的概率公式及运用相互独立事件的概率乘法公式互斥事件的概率加法公式【解析】甲连胜四场只能是前四场全胜，由此能求出甲连胜四场的概率；根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，比赛四场结束，共有三种情况，甲连胜四场比赛，乙连胜四场比赛，丙上场后连胜三场，由此能求出需要进行五场比赛的概率；丙最终获胜，有两种情况，比赛四场结束且丙最终获胜，比赛五场结束丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，由此能求出丙最终获胜的概率．【解答】解：甲连续胜四场只能是前四场全胜： ．由题意可知：比赛总局数为四场或五场，设甲四场赢得比赛为事件，乙四场赢得比赛为事件，丙四场赢得比赛为事件，需进行五场比赛为事件.由可知，，同理可知，.若丙四场赢得比赛，则第二，三，四场比赛都赢，故.则.所以需要进行第五场比赛的概率为：.设进行四场比赛丙获胜为事件，进行五场比赛丙获胜为事件，丙获胜为事件．由可知．而进行五场比赛丙获胜，则丙只能在第二场输或第三场或第四场输．①若丙在第二场输，则五场比赛的输者为：乙丙乙甲甲、乙丙甲乙甲、甲丙甲乙乙、甲丙乙甲乙，共四种情况，概率为；×4=()12518(×2=12)5116P (E)=++=1818116516P (F)=P (C)+P (E)=716(1)(2)(3)(1)P ==()124116(2)A B C D (1)P(A)=116P(B)=116P(C)=18P(D)=1−P(A)−P(B)−P(C)=1−−−=116116183434(3)C E F (2)P (C)=18×4=()12518②若丙在第三场输，则五场比赛的输者为：甲乙丙甲乙、甲乙丙乙甲、乙甲丙甲乙、乙甲丙乙甲，共四种情况，概率为；③若丙在第四场输，则五场比赛的输者为：甲乙甲丙乙、乙甲乙丙甲，共两种情况，概率为.故,故丙最终获胜的概率.×4=()12518(×2=12)5116P (E)=++=1818116516P (F)=P (C)+P (E)=716。
执教《自行车里的数学》教学反思(2020)
执教《自行车里的数学》教学反思（2020）今天执教了《自行车里的数学》一课，颇有感触，在本节课的设计中，我重视学生已有的生活经验，以学生的动手操作为主线，辅以学生自主探究、小组合作学习，让学生主动参与到“提出问题——实验——寻找解决方案——再次提出问题——实验——建立数学模型——利用模型解决问题”的过程中，从而感受数学知识的实用价值。
具体体现在：1.知识容量大，教学过程清晰。
先以回忆与自行车有关的知识为切入点，从学生已有的知识储备和生活经验出发，为学习自行车里的数学做好铺垫。
然后通过质疑引入例题组织教学，让学生在说一说、试一试的活动中分两个层次由浅及深地全程参与到“蹬一圈能走多远”、“前齿轮转一圈后齿轮转几圈”的问题讨论过程中。
让学生在教师的引导下，通过仔细的观察、动手操作、讨论交流、归纳总结，建立数学模型并收集数据计算出结果。
最后通过一组同步练习巩固新知，通过一组开放题的练习拓展学生思维，进一步提高学生能力。
2.给学生充分的时间动手操作探究。
在教学中重视学生的实际操作，从复习引入开始就让学生通过看一看、数一数等数学活动充分激活知识储备。
在例题学习中让学生自行车，吧操作、探究和解决问题有机的结合起来，把学生放在了主体地位。
3.教学设计梯度明显，将知识点分为两个层次组织教学，指导学生由基础开始探究，理顺了探究知识的方法，遵循了由浅入深、扶放结合的原则。
4.教学时，密切联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，引导学生开展观察、操作、推理等活动，获得基本的数学知识和技能。
5.时间充分。
课堂中我比较重视与生活实际结合，从复习引入开始就让学生通过看一看、数一数等数学活动充分激活知识储备。
在例题学习中让学生观察简易的自行车模型课件的演示，把探究和问题的解决有机地结合起来，把学生放在了主动的地位。
2023-2024学年全国全部新人教版初中数学同步练习(含解析)
2023-2024学年全国初中数学同步练习考试总分：73 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）1. 下列计算：①；②；③；④．其中错误的有( )A.个B.个C.个D.个2.减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…依此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（ ）A.B. C. D.3. 下列计算正确的是 A.B.C.D.4. 已知，则的值是( )0−(−5)=0+(−5)=−55−3×4=5−12=−74÷2×(−3=−12)2−−2×(−1=1+2=312)21234202001()(−1)=−1101−2−2=03÷=113(−5)×(−3)=−15|a −2|+(b +3=0)2b aA.B.C.D.5. 若，则的值为( )A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）6. 用“”定义新运算：对于任意非零数，，都有．例如，那么__________.7. 已知与互为相反数，则式子的值为________.8. 若，，且，则________．9. 若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于，则________．10. 在数轴上，数所对应的点与所对应的点相距个单位长度，若是的相反数，是一个非正数且它的倒数等于它本身，则的值是________.11. 若，互为相反数，，互为倒数，则________．三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）12. 计算．；.−66−99|m −3|+(n +1=0)2m +n −4−224☆a b a ☆b =+1a b 4☆2=+1=1742−2☆3=(a +3)2|b −1|+a 2b 2|a |=5b =3ab <0a +b =x y a b c 2−+=()x +y 22018(−ab)2017c 2a −68b a c a −b ca b c d a +b +cd =(1)(−2.25)+(−5.1)++(−4)+(−)1418910(2)2×−[18÷(−3]−(−5)(−1)2020)213. 计算：；；；.14. 计算；；;.15. 计算.;.(1)−5+8−28−10(2)3÷(−)×(−8)17(3)(+−)×(−24)1256712(4)−|−7|+3−2×(−2)212(1)×(−16)×(−)×(−1)144514(2)−−24×(−+)221125638(3)+[10−×2]÷(−3)3(−5)2(−2)2(4)−÷+5×(−)−24(2)2321216(−0.5)2(1)20+(−14)+(−16)+8(2)(−+)×(−36)345679参考答案与试题解析2023-2024学年全国初中数学同步练习一、 选择题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）1.【答案】C【考点】有理数的混合运算【解析】根据有理数的混合运算法一一判断即可．【解答】解：①错误，应该是，②正确．③错误，应该是，④错误，应该是．所以错误的有①③④.故选.2.【答案】B【考点】有理数的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】A 0−(−5)=0+5=54÷2×(−3=2×9=18)2−−2×(−1=−1−2=−312)2C有理数的混合运算【解析】、利用的奇次幂为计算得到结果，即可做出判断；、原式利用减法法则变形，计算得到结果，即可做出判断；、原式利用除法法则变形，计算得到结果，即可做出判断；、原式利用同号两数相乘的法则计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：.，本选项正确；.，本选项错误；.，本选项错误；.，本选项错误.故选．4.【答案】D【考点】非负数的性质：绝对值非负数的性质：偶次方【解析】根据绝对值的非负性和偶次方的非负性可求出、的值，代入再根据有理数的乘方可得.【解答】解：，，，∴，．∴原式．故选．5.【答案】C【考点】非负数的性质：偶次方非负数的性质：绝对值A −1−1BCD A (−1)=−1101B −2−2=−4C 3÷=3×3=913D (−5)×(−3)=15A a b ∵|a −2|+=0(b +3)2∴a −2=0b +3=0a =2b =−3=(−3=9)2D根据，可得：，，据此求出、的值是多少，即可求出的值为多少．【解答】解：因为，所以，，解得，，所以.故选．二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）6.【答案】【考点】有理数的乘方有理数的加减混合运算【解析】理解新运算的计算规则，运用新规则计算即可．【解答】解：根据新定义， .故答案为：.7.【答案】【考点】非负数的性质：偶次方非负数的性质：绝对值有理数的乘方【解析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出，的值，进而求出答案．|m −3|+(n +2=0)2m −3=0n +2=0m n m +2n |m −3|+(n +1=0)2m −3=0n +1=0m =3n =−1m +n =3+(−1)=3−1=2C −7−2☆3=(−2+1=−7)3−710a b解：∵与互为相反数，∴，∴，，解得：，，则．故答案为：．8.【答案】【考点】有理数的乘法有理数的加法绝对值【解析】根据两数相乘异号得负，可得的值，根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：由，，且，得,，故答案为：．9.【答案】【考点】有理数的混合运算倒数绝对值相反数【解析】由相反数的性质和倒数的定义及绝对值的性质得出＝，＝，＝或＝，再分别代入计算可得．【解答】(a +3)2|b −1|(a +3+|b −1|=0)2a +3=0b −1=0a =−3b =1+a 2b 2=+(−3)212=9+1=1010−2a |a |=5b =3ab <0a =−5∴a +b =−5+3=−2−25x +y 0ab 1c 2c −2ab解：由题意知，，或，当时，原式；当时，原式.综上，原式的值为.故答案为：.10.【答案】或【考点】绝对值的意义有理数的混合运算倒数数轴【解析】根据数轴上两点间的距离公式，计算出或，再根据相反数的意义，得出，再根据倒数的意义得出，最后代入数值计算代数式的值。
2023-2024学年全国全部人教A版(2019)高中数学同步练习(含解析)
学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________2023-2024学年全国高中数学同步练习考试总分：74 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）1. 已知是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心2.已知，，且，则向量在方向上的投影为（ ）A.B.C.D.3. 对于向量，，及实数，，，，，给出下列四个条件：①且； ②③且唯一； ④其中能使与共线的是（ ）A.①②B.②④C.①③O A B C P =+λ(+)OP −→−OA −→−AB −→−||cos B AB −→−AC −→−||cos CAC −→−(λ∈[0,+∞))P △ABC ||=1a →||=2b →||=2b →⊥(−)a →a →b →a →b →122–√12–√2a →b →e →x y x 1x 2λ+=3a →b →e →−=5a →b →e →+=x 1a →x 2b →0→=λ(≠)a →b →b →0→λx +y =(x +y =0)a →b →0→a →b →D.③④4. 若，则向量与的夹角为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）5. 已知，是单位向量，的最小值为，，则下列结论正确的是( )A.，的夹角为或B.，的夹角为C.或D.或6.在中，，分别是，上的点，与交于，且，，，，则( )A.B.C.D.在方向上的正射影的数量为7. 已知为所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ）A.若，则在直线上B.若，则为的垂心|+|=|−|=2||a →b →a →b →a →+a →b →a →π6π32π35π6e 1→e 2→|+λ|e 1→e 2→3–√2λ∈R e 1→e 2→π32π3e 1→e 2→2π3|+|=1e →1e 2→3–√|+|=1e →1e 2→3–√2△ABCDE AC BC AE BD O ⋅=⋅=⋅AB −→−BC −→−BC −→−CA −→−CA −→−AB −→−+=2AB −→−AC −→−AE −→−=2CD −→−DA −→−||=1AB −→−⋅=0AC −→−BD −→−+=OA −→−OE −→−0→|++|=OA −→−OB −→−OC −→−3–√4ED −→−BA −→−712P △ABC =−+AP −→−13AB −→−23AC −→−P BC ⋅=⋅=⋅PA −→−PB −→−PB −→−PC −→−PC −→−PA −→−P △ABC −→−−→−λ−→−−→−|=−→−−→−−→−C.若，，，则的最小值为D.若，则，，的面积比为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计3分 ）8. （，）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，所得函数的部分图象如图所示，则________-） ．四、解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）9.已知，函数．（1）求的最小正周期；（2）求在内的零点的个数；（3）将的图象先向下平移个单位，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，其中，得到的图象，若在上恒满足，求所有可能取值．10. 已知，，，其图像关于点对称.求的解析式：求在上的单调区间；当时，求的值．11. 已知函数，是偶函数．（1）求的值；（2）求函数在区间的最大值． ⊥AB −→−AP −→−=λBC −→−BP −→−||=AP −→−λ+2−−−−−√⋅AC −→−AP −→−−1+3+2=PA −→−PB −→−PC −→−0→△APB △APC △BPC 2∶3∶1f(x)f(x)[−10,10]f(x)ω>0g(x)g(x)ω=(sin ωx,cos ωx),a →=(sin ωx,2sin ωx −cos ωx)b →ω∈[0,4)f (x)=2⋅a →b →M (,0)π8(1)f (x)(2)f (x)[0,]π2(3)⊥a →b →x f(x)=cos(x +ϕ)(−π<ϕ<0)g(x)=f(x)+f (x)′ϕy =f(x)⋅g(x)[0,]π2|=5→(+)=15→12. 已知向量，，．求向量与夹角的正切值；若，求的值．13. 在中，若向量，且与共线.求角；若，求的值．=(3,1)a →||=5b →⋅(+)=15a →a →b →(1)a →b →(2)(λ−)⊥(+2)a →b →a →b →λ△ABC =(sin A −sin B,sin C)m →=(sin A −sin C,sin A +sin B)n →2–√m →n →(1)B (2)sin A =35cos C参考答案与试题解析2023-2024学年全国高中数学同步练习一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）1.【答案】D【考点】向量的线性运算性质及几何意义【解析】可先根据数量积为零得出 与，垂直，可得点在的高线上，从而得到结论．【解答】解：由，又∵，∴，∴点在的高线上，即的轨迹过的垂心.故选．2.【答案】A【考点】BC −→−λ(+)AB −→−||cos B AB −→−AC −→−||cos CAC −→−P BC =+λ(+)OP −→−OA −→−AB −→−||cos B AB −→−AC −→−||cos C AC −→−⇒−=λ(+)OP −→−OA −→−AB −→−||cos B AB −→−AC −→−||cos C AC −→−⇒=λ(+)AP −→−AB −→−||cos B AB −→−AC −→−||cos C AC −→−⋅=λ(+)⋅BC −→−AP −→−AB −→−||cos B AB −→−AC −→−||cos C AC −→−BC −→−=−||+||=0BC −→−BC −→−⊥AP −→−BC −→−P BC P △ABC D向量的投影数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】根据两向量垂直时数量积为求得的值，再根据向量在方向上的投影定义计算即可．【解答】解：由于∴而.故选3.【答案】C【考点】向量的共线定理【解析】由①可得，故与 共线，故①满足条件．对于②，当实数时，与 为任意向量，故②不满足条件．由两个向量共线的条件，可得③中的与 共线，故③满足条件．对于④，当时，不能推出与 一定共线．【解答】解：对于①，由，，解得，，显然，故与 共线，故①满足条件．对于②，当实数时，与 为任意向量，不能推出与 一定共线，故②不满足条件．对于③，∵，∴与 共线，故③满足条件．对于④，当时，不能推出与 一定共线，故④不满足条件．故选：．4.【答案】0⋅a b b a ⊥−a →a →b →⋅(−)=|−⋅=0a →a →b →a →|2a →b →⇒⋅=1.a →b →⋅=||⋅||cos θa →b →b →a →∴||⋅cos θ=a →12A.=−4a →b →a →b →==0x 1x 2a →b →a →b →x =y =0a →b →+=3a →b →e →−=5a →b →e →=4a →e →=−b →e →=−4a →b →a →b →==0x 1x 2a →b →a →b →=λ⋅a →b →a →b →x =y =0a →b →CB【考点】数量积表示两个向量的夹角向量的模【解析】将已知式子平方可得，代入向量的夹角公式可得其余弦值，结合夹角的范围可得答案．【解答】解：∵，∴，两边平方可得，化简可得，设向量与的夹角为则可得，又，故故选．二、 多选题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）5.【答案】A,C【考点】平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角向量的模【解析】根据条件知，的最小值为，这样即可求出，的夹角为或，从而求出的值．【解答】⋅=0a →b →|+|=|−|=2||a →b →a →b →a →|+=|−a →b →|2a →b →|2+2⋅+=−2⋅+a →2a →b →b →2a →2a →b →b →2⋅=0a →b →+a →b →a →θcos θ==(+)⋅a →b →a →|+|||a →b →a →|+|||a →b →a →˙==|a →|22|a →|212θ∈[0,π]θ=π3B (+λ)e 1→e 2→234e 1→e 2→π32π3|+|e 1→e 2→→→解：设与的夹角为，，是单位向量，且的最小值为的最小值为，，当时，的最小值为，即，与的夹角为或，故正确；错误；或，或，故正确；错误．故选．6.【答案】B,C,D【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用正弦定理向量的模向量的投影【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得，所以，结合正弦定理，可得，所以，所以；同理：；所以，所以为等边三角形.因为，所以为的中点，e 1→e 2→θ∵e 1→e 2→|+λ|e 1→e 2→3–√2∴(+λ)e 1→e 2→234∴=+2cos θλ+1(+λ)e 1→e 2→2λ2=+1−θ(λ+cos θ)2cos 2λ=−cos θ(+λ)e 1→e 2→21−θ=cos 234cos θ=±12∴e 1→e 2→π32π3A B ∴|+=+2⋅+=1e 1→e 2→|2e 1→2e 1→e 2→e 2→23∴|+|=1e 1→e 2→3–√C D AC ⋅=⋅=⋅AB −→−BC −→−BC −→−CA −→−CA −→−AB −→−||⋅||cos B =||⋅||cos C AB −→−BC −→−CA −→−BC −→−||⋅cos B =||⋅cos C AB −→−CA −→−sin C ⋅cos B =sin B ⋅cos C 0=sin(B −C)B =C A =C B =C =A △ABC +=2AB −→−AC −→−AE −→−E BC 2−→−−→−因为，所以为的三等分点．如图建立坐标系，所以，，，，解得，所以为的中点，所以，故正确；，，所以，故错误；，故正确；，，所以投影，故正确．故选 .7.【答案】B,C,D【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算直线与平面垂直的判定向量的线性运算性质及几何意义【解析】无【解答】=2CD −→−DA −→−D AC A (0,)3–√2B (−,0)12C (,0)12D (,)163–√3O (0,)3–√4O AE +=OA −→−OE −→−O →B =(,−)AC −→−123–√2=(,)BD −→−233–√3⋅=×+(−)×=−AC −→−BD −→−12233–√23–√316A |++|=|+2|=||=OA −→−OB −→−OC −→−OA −→−OE −→−OE −→−3–√4C =(,)ED −→−163–√3=(,)BA −→−123–√2=⋅ED −→−BA −→−||BA −→−712D BCD +≠112解：．∵，∴、、三点不共线，即不在直线上，故选项错误；．∵，∴，∴，同理，，∴为的垂心，故选项正确；．∵，又且，即且，∴当时，取得最小值，故选项正确；．∵，∴，∴，即．如图可知，，，∴，∴，故选项正确.故选．三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计3分 ）8.【答案】A −+≠11323P B C P BC A B ⋅=⋅PA −→−PB −→−PB −→−PC −→−⋅−⋅PA −→−PB −→−PB −→−PC −→−=⋅(−)=⋅=0PB −→−PA −→−PC −→−PB −→−CA −→−PB ⊥CA PC ⊥AB PA ⊥CB P △ABC B C ⋅=(+)⋅AC −→−AP −→−AB −→−BC −→−AP −→−=(+λ)⋅AB −→−BP −→−AP −→−=[+λ(−)]⋅AB −→−AP −→−AB −→−AP −→−=[(1−λ)+λ]⋅AB −→−AP −→−AP −→−=(1−λ)⋅AB −→−+λAP −→−AP−→−2=λ(λ+2)=(λ+1−1)2λ+2>0λ≠0λ>−2λ≠0λ=−1⋅AC −→−AP −→−−1C D +3+2=0PA −→−PB −→−PC −→−+3(−)+PA −→−AB −→−AP −→−2(−)=AC −→−AP −→−0→+3+2−5=0PA −→−AB −→−AC −→−AP −→−=+AP −→−12AB −→−13AC −→−=S △APB 13S △ABC =S △APC 12S △ABC =S △BPC 16S △ABC ∶∶=∶∶S △APBS △APC S △BPC 131216=2∶3∶1D BCD 2sin(2x【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）9.【答案】，函数．可得：＝，∴的最小正周期为．令＝得，∴，∴，，当＝时，＝，，…，，，有个值，当时，＝，，…，，，有个值，即：在内的零点的个数为．依题意，将的图象先向下平移个单位，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，其中，得到的图象，可得，是在上的最大值，当时，，下面分情况讨论：①当，即时，在上单调递增，符合题意，②当，即时，为了满足题意，必须保证，∴，∴，综上：所有可取的值为或．【考点】f(x)πf(x)0x ∈[−10,10]x kπk −3−2237k −3−2126f(x)[−10,10]13f(x)ω>0g(x)g(x)g(x)ω函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换平面向量数量积的性质及其运算【解析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后利用周期公式求解即可．（2）令＝，求解三角函数值，结合范围推出结果即可．（3）利用函数的图象变换化简函数的解析式，利用函数的最值列出不等式求解即可．【解答】，函数．可得：＝，∴的最小正周期为．令＝得，∴，∴，，当＝时，＝，，…，，，有个值，当时，＝，，…，，，有个值，即：在内的零点的个数为．依题意，将的图象先向下平移个单位，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，其中，得到的图象，可得，是在上的最大值，当时，，下面分情况讨论：①当，即时，在上单调递增，符合题意，②当，即时，为了满足题意，必须保证，∴，∴，综上：所有可取的值为或．10.【答案】解：， ，∴，f(x)0f(x)πf(x)0x ∈[−10,10]x kπk −3−2237k −3−2126f(x)[−10,10]13f(x)ω>0g(x)g(x)g(x)ω(1)=(sin ωx,cos ωx)a →=(sin ωx,2sin ωx −cos ωx)b →f (x)=2⋅a →b →=2ωx +4sin ωx cos ωx −2ωxsin 2cos 2=2sin 2ωx −2cos 2ωx =2sin(2ωx −)2–√π4(,0)π的图象关于点对称，∴ ，，即，，∵，∴，∴．在上的增区间是，减区间是．∵，∴，即，，解得，．【考点】平面向量数量积的性质及其运算二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式正弦函数的单调性【解析】（）先根据数量积以及二倍角公式对其进行整理；再结合其图象关于点对称求出山即可得到结论；（）直接写即可；（）直接根据数量积为对应的结论即可求解．【解答】解：， ，∴，的图象关于点对称，∴ ，，即，，∵，∴，∴．（）在上的增区间是，减区间是．∵，∴，即，，∵f (x)M (,0)π82ω⋅−=kππ8π4k ∈Z ω=4k +1k ∈Z ω∈(0,4)ω=1f (x)=2sin(2x −)2–√π4(2)f (x)[0,]π2[0,]3π8[,]3π8π2(3)⊥a →b →f (x)=2⋅=2sin(2x −)=0a →b →2–√π42x −=kππ4k ∈Z x =+kπ2π8k ∈Z 1M (,0)π8230(1)=(sin ωx,cos ωx)a →=(sin ωx,2sin ωx −cos ωx)b →f (x)=2⋅a →b →=2ωx +4sin ωx cos ωx −2ωxsin 2cos 2=2sin 2ωx −2cos 2ωx =2sin(2ωx −)2–√π4∵f (x)M (,0)π82ω⋅−=kππ8π4k ∈Z ω=4k +1k ∈Z ω∈(0,4)ω=1f (x)=2sin(2x −)2–√π42f (x)[0,]π2[0,]3π8[,]3π8π2(3)⊥a →b →f (x)=2⋅=2sin(2x −)=0a →b →2–√π42x −=kππ4k ∈Z =+kπ解得，．11.【答案】解：（1）函数，那么：依题意，．∵是偶函数，∴．又∵，∴．（2）由（1）得，，．那么函数．∵时，可得：∴，故函数在区间的最大值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用导数的运算【解析】（1）根据导函数的计算求出，利用是偶函数．即可求出的值（2）函数，求出函数的解析式，化简，的时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出的最大值．【解答】解：（1）函数，那么：依题意，．∵是偶函数，∴．又∵，∴．（2）由（1）得，，．那么函数．∵时，可得：x =+kπ2π8k ∈Z f(x)=cos(x +ϕ)(−π<ϕ<0)f'(x)=−sin(x +ϕ)g(x)=f(x)+f (x)=cos(x +ϕ)−sin(x +ϕ)=cos(x +ϕ+)′2–√π4g(x)=f(x)+f (x)′cos(ϕ+)=±1π4−π<ϕ<0ϕ=−π4f(x)=cos(x −)π4g(x)=f(x)+f'(x)=cos x2–√y =f(x)⋅g(x)=cos(x −)cos x =sin(2x +)+2–√π42–√2π412x ∈[0,]π42x +∈[,]π4π43π4y =sin(2x +)+∈[1,]2–√2π412+12–√2y =f(x)⋅g(x)[0,]π4+12–√2f (x)′g(x)=f(x)+f (x)′ϕy =f(x)⋅g(x)y x ∈[0,]π2f(x)f(x)=cos(x +ϕ)(−π<ϕ<0)f'(x)=−sin(x +ϕ)g(x)=f(x)+f (x)=cos(x +ϕ)−sin(x +ϕ)=cos(x +ϕ+)′2–√π4g(x)=f(x)+f (x)′cos(ϕ+)=±1π4−π<ϕ<0ϕ=−π4f(x)=cos(x −)π4g(x)=f(x)+f'(x)=cos x2–√y =f(x)⋅g(x)=cos(x −)cos x =sin(2x +)+2–√π42–√2π412x ∈[0,]π42x +∈[,]π4π43π4=sin(2x +)+∈[1,]–√+1–√∴，故函数在区间的最大值为．12.【答案】解：因为，所以设向量与的夹角为，则，解得，又，所以，故．因为，所以，即，解得．【考点】平面向量数量积的运算数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】无【解答】解：因为，所以设向量与的夹角为，则，y =sin(2x +)+∈[1,]2–√2π412+12–√2y =f(x)⋅g(x)[0,]π4+12–√2(1)=(3,1)a →||==a →+3212−−−−−−√10−−√a →b →θ⋅(+)=+⋅=|+||||cos θa →a →b →a →2a →b →a →|2a →b →=10+5cos θ=1510−−√cos θ=10−−√100∈[0,π]sin θ==1−θcos 2−−−−−−−−√310−−√10tan θ==3sin θcos θ(2)(λ−)⊥(+2)a →b →a →b →(λ−)⋅(+2)a →b →a →b →=λ+(2λ−1)⋅−2=0a →2a →b →b →210λ+5(2λ−1)−50=0λ=114(1)=(3,1)a →||==a →+3212−−−−−−√10−−√a →b →θ⋅(+)=+⋅=|+||||cos θa →a →b →a →2a →b →a →|2a →b →=10+5cos θ=1510−−√θ=−−√解得，又，所以，故．因为，所以，即，解得．13.【答案】解：∵，，且与共线，∴，即，由正弦定理得：，即，由余弦定理知：，又为三角形的内角，∴；∵，∴，或（不合题意，舍去），∴，又∵，∴，即，∴．【考点】余弦定理正弦定理cos θ=10−−√100∈[0,π]sin θ==1−θcos 2−−−−−−−−√310−−√10tan θ==3sin θcos θ(2)(λ−)⊥(+2)a →b →a →b →(λ−)⋅(+2)a →b →a →b →=λ+(2λ−1)⋅−2=0a →2a →b →b →210λ+5(2λ−1)−50=0λ=114(1)(sin A −sin B,sin C)m →(sin A −sin C,sin A +sin B)n →2–√m →n →=sin A −sin B sin A −sin C2–√sin C sin A +sin B A −B sin 2sin 2=sin C(sin A −sin C)2–√=sin A sin C −C 2–√sin 2−=ac −a 2b 22–√c 2+−=ac a 2c 2b 22–√cos B ==+−a 2c 2b 22ac 2–√2B B =π4(2)sin A =<=sin B 352–√2A <B =π4A >3π4cos A ==1−A sin 2−−−−−−−−√45B =π4A +C =3π4C =−A 3π4cos C =cos(−A)3π4=cos cos A +sin sin A3π43π4=−×+×=−2–√2452–√2352–√10两角和与差的余弦公式平面向量共线（平行）的坐标表示向量的共线定理运用诱导公式化简求值同角三角函数基本关系的运用【解析】（1）由两向量的坐标及两向量共线，列出关系式，变形后再利用正弦定理化简，得到关于，及的关系式，再利用余弦定理表示出，将得出的关系式变形后代入求出的值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数；（2）由的度数，求出的值，根据小于，得到小于，可得出的范围，由的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，【解答】解：∵，，且与共线，∴，即，由正弦定理得：，即，由余弦定理知：，又为三角形的内角，∴；∵，∴，或（不合题意，舍去），∴，又∵，∴，即，∴．a b c cos B cos B B B B sin B sin A sin B A B A sin A cos A (1)(sin A −sin B,sin C)m →(sin A −sin C,sin A +sin B)n →2–√m →n →=sin A −sin B sin A −sin C2–√sin C sin A +sin B A −B sin 2sin 2=sin C(sin A −sin C)2–√=sin A sin C −C 2–√sin 2−=ac −a 2b 22–√c 2+−=ac a 2c 2b 22–√cos B ==+−a 2c 2b 22ac 2–√2B B =π4(2)sin A =<=sin B 352–√2A <B =π4A >3π4cos A ==1−A sin 2−−−−−−−−√45B =π4A +C =3π4C =−A 3π4cos C =cos(−A)3π4=cos cos A +sin sin A3π43π4=−×+×=−2–√2452–√2352–√10。
2023-2024学年全国全部浙教版小学数学同步练习(含解析)
2023-2024学年全国小学数学同步练习考试总分：106 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）1. 下列说法正确的是（ ）A.所有的直角三角形都不是轴对称图形B.字母、都是轴对称图形C.一个图形平移之后都不会改变该图形的大小和形状2. 下列现象中不属于平移的是（ ）。
A.乘直升电梯从一楼上到三楼B.钟表的指针的运动C.火车在一段笔直的轨道上行驶D.拉抽屉3. 风扇吹动时属于（ ）现象．A.旋转B.平移C.平移和旋转D.无法确定卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）4.物体的运动是旋转的画“○”，是平移的画“-”．M N________；________；________；________．5. 看图填空。
（1）图先向下平移________格，再向右平移________格得到图。
（2）图先向________平移________格，再向________平移________格得到图。
6. 在横线里填上“平移”或“旋转”．开关水龙头。
________时钟的分针运动。
________升降机把水泥运送到五楼。
________自行车车轮的转动。
________．7. 锐角比直角________，直角比钝角________。
三、 解答题 （本题共计 4 小题 ，每题 10 分 ，共计40分 ）8. 画出三角形绕点逆时针旋转后的图形．9.画出下面方格图中的长方形绕点顺时针旋转后，再向右平移格得到的图形。
10. （1）在下面方格图中画一个直角三角形，已知三角形的两个锐角的顶点，分别在、，、的位置上，那么直角的顶点的位置可以是________．（2）将这个三角形绕点顺时针旋转画出这个三角形后，再向右平移格。
2023-2024学年全国全部人教A版(2019)高一上数学同步练习(含解析)
2023-2024学年全国高一上数学同步练习考试总分：117 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）1.设，函数的图象一定经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 关于的方程：有两个实数根，则实数的取值范围可以是（ ）A.B.C.D.3. 不等式的解集是（ ）A.B.C.D.4. 已知，，，若，则，，的大小关系是（ ）α∈R f(x)=(−a 13)x−1x +2+a =02x−1x 2a (,+∞)12(1,+∞)(−∞,1)(−∞,−)12>10.52lg|x|(−1,1)(−1,0)∪(0,1)∅(−∞,−)∪(,+∞)1212f(x)=a x g(x)=x log a h(x)=x a 0<a <1f(2)g(2)h(2)f(2)>g(2)>h(2)A.B.C.D.5. 若，则关于的不等式的解集是（ ）A.B.C.D.6. 函数在上是增函数，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.7. 已知集合，则满足的集合可以是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）8. 关于函数 下列说法正确的是（ ）A.值域B.值域C.单调增区间f(2)>g(2)>h(2)g(2)>f(2)>h(2)h(2)>g(2)>f(2)h(2)>f(2)>g(2)0<a <1x >a +x−88x2102lg a {x |x <−10或x >9}{x |x <−9或x >10}{x |−10<x <9}{x |−9<x <10}f(x)=(−1a 2)x (−∞,+∞)a |a |>1|a |>2|a |>2–√1<|a |<2–√A =(y |y =,x ∈R)()12+1x 2A ∩B =B B (0,)12{x |−1≤x ≤1}(x |0<x <)12{x |x >0}f (x)=3−2x x2(0,]13[,+∞)13[1,+∞)(−∞,1]D.单调减区间9. 给出下列四个结论，其中正确的结论有（ ）A.函数的最大值为B.设正数，，满足，C.已知函数且在上是减函数则的取值范围是D.在同一直角坐标系中，函数与的图象关于轴对称卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）10. 函数的单调递增区间为________．11. 函数的单调递减区间是________；值域是________.12. 方程的解是________．13. 已知集合，，若是必要不充分条件，则实数 的取值范围是________．14. 已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围是________．15. 函数的最小值为________．16. 方程的解为________．17. 函数的单调增区间为________． 18. 若的值域为，则的取值范围是________．(−∞,1]y =()12−+1x 212a b c ==4a 6b 9c =−1c 2b 1ay =(2−ax)(a >0log a a ≠1)(0,1)a (1,2]y =x log 3y =x log 13x f(x)=(12)−2x−3x 2y =(13)1+2x−x 2−3⋅−16=04x+12x+2A ={x |(<1}12)−x−6x 2B ={x |(x +a)<1}log 4x ∈A x ∈B a 0≤x ≤2a ≤−3×−44x 2x a y =+2x 2−x −=22x 12|x|f(x)=(12)−+4x x 2f(x)=(x ∈[a,b])3|x|[1,9]b −a19. 已知，则的最小值是________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）20. 已知函数是奇函数，是偶函数．求，的值；求证：；若方程在上有一个实数根，求的取值范围． 21. 已知二次函数．若为偶函数，求在上的值域；当时， 恒成立，求实数的取值范围．22. 已知为上的奇函数， 为 上的偶函数，且，其中．求函数和的解析式；若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；若，，使成立，求实数的取值范围．23. 已知全集，集合，，，求，．24. 已知函数是定义在上的奇函数，且，，当时，，为常数）．求：和的值；当时，的解析式；在上的解析式．25. 已知定义域为的函数 满足 ，当时，．求函数的解析式；解关于的不等式： ．{2x −y ≤0x −3y +5≥0(13)2x+y−2f (x)=−a e x e −x2g(x)=−b e x e −x2(1)a b (2)−=1[g(x)]2[f (x)]2(3)−kf (x)−3=0[g(x)]2[ln(+1),+∞)2–√k f (x)=−2(a −1)x +4x 2(1)f (x)f (x)[−1,3](2)x ∈[1,2]f (x)>ax a f (x)R g(x)R f (x)+g(x)=2e x e =2.71828⋯(1)f (x)g(x)(2)f (+3)+f (1−ax)>0x 2(0,+∞)a (3)∀∈[0,1]x 1∃∈[m,+∞x 2)f ()=x 2e −|−m|x 1m U =R A ={x |−9⋅+8<0}4x 2x B ={x |≥1}5x +2C ={x ||x −2|<4}A ∪B A ∩C C U f (x)R f (−1)=−4f (2)=9x >0f (x)=+ax +b(a 2x b (1)a b (2)x <0f (x)(3)f (x)R R f (x)f (x)+f (−x)=0x >0f (x)=log 21x (1)f (x)(2)x f (−)+3>02x log 2参考答案与试题解析2023-2024学年全国高一上数学同步练习一、 选择题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ）1.【答案】B【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据指数函数的性质求出函数的取值范围即可．【解答】解：∵为减函数，∴当时，函数，则函数不经过第四象限，若，则，此时函数不经过第三象限，若，则，则函数不经过第一象限，故函数的图象一定经过第二象限.故选.2.【答案】D【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】将方程转化为两个函数，利用数形结合即可得到结论．【解答】f(x)=(−a13)x−1a =0f(x)>0a =3f(0)=1−1=0a <3f(0)=1−a <0f(x)B +2+a =0x−12=−2−ax−12解：由得：，设函数，，作出两个函数的图象如图，当两个函数与存在两个交点，即，∴，即实数的取值范围可以是，故选：．3.【答案】B【考点】对数函数的单调性与特殊点指数型复合函数的性质及应用【解析】先利用指数函数的单调性，将不等式等价转化为对数不等式，再利用对数函数的定义和单调性将不等式转化为绝对值不等式，进而利用公式得不等式解集【解答】解：不等式不等式，或∴不等式的解集是故选4.【答案】D【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】由已知中，，，结合指数函数，对数函数和幂函数的图象和性质，及，估算，，的値，可得答案．【解答】解：∵，，，若，+2+a =02x−1x 2=−2−a 2x−1x 2f(x)=2x−1g(x)=−2−a x 2g(0)>f(0)f(x)g(x)−a >12a <−12a (−∞,−)12D >1⇔0.52lg|x|>0.52lg|x|0.50⇔2lg |x |<0⇔lg |x |<lg1⇔0<|x |<1⇔−1<x <00<x <1>10.52lg|x|(−1,0)∪(0,1)B f(x)=a x g(x)=x log a h(x)=x a 0<a <1f(2)g(2)h(2)f(x)=a x g(x)=x log a h(x)=x a 0<a <1f(2)∈(0,1)则，，，故，故选：5.【答案】C【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】由题意可得，故有 ，即，由此求得不等式的解集．【解答】解：∵，，∴，即，解得，故选．6.【答案】C【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据指数函数的单调性的性质进行求解即可．【解答】解：若在上是增函数，则，即，即，故选：．7.【答案】C【考点】指数型复合函数的性质及应用f(2)∈(0,1)g(2)∈(−∞,0)h(2)∈(1,2)h(2)>f(2)>g(2)D >=a +x−88x 2102lg a a 2+x −88<2x 2(x +9)(x −10)<00<a <1>==a +x−88x 2102lg a 10lg a 2a 2+x −88<2x 2(x +9)(x −10)<0−10<x <9C f(x)=(−1a 2)x (−∞,+∞)−1>1a 2>2a 2|a |>2–√C交、并、补集的混合运算【解析】利用复合函数的值域知识可得}，因为，所以，所以答案是．【解答】此题暂无解答二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）8.【答案】B,C,D【考点】函数的值域及其求法函数单调性的判断与证明复合函数的单调性指数型复合函数的性质及应用【解析】利用二次函数求出函数的最值，结合复合函数单调性得到函数单调区间，依次验证选项，即可得到答案.【解答】解：,.的值域是.令,则在单调递减，在单调递增，在上是增函数，的单调增区间是,单调减区间是.故选.9.【答案】B,C,D【考点】3A ={y|0<y ≤}12|A ∩B =B B ⊆A C ∵−2x =−1≥−1x 2(x −1)2∴≥=3−2x x 23−113∴f(x)[,+∞)13u(x)=−2x =−1x 2(x −1)2u(x)(−∞,1][1,+∞)∵y =3x R ∴f(x)[1,+∞)(−∞,1]BCD命题的真假判断与应用指数型复合函数的性质及应用对数及其运算【解析】直接利用复合函数的性质判定的结论，利用对数的运算判断的结论，利用函数的对称性判断的结论．【解答】解：，函数的最小值为，故错误；，设正数，，满足，设，，，，则，，，，，故正确；，已知函数且在上是减函数，所以解得，故正确；，在上单调递增，且过点，在上单调递减，且过点，，故，即图形关于轴对称，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）10.【答案】【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】要求函数的单调递增区间，根据复合函数的单调性可知，只有求函数的单调递增区间即可【解答】解：令，在单调递减，在单调递增A BC D A y =()12−+1x 212A B a b c ==4a 6b 9c ===M 4a 6b 9c ∴a =M log 4b =M log 6c =M log 9=41a log M =61b log M =91c log M 4+9=26log M log M log M ∴=−1c 2b 1a B C y =(2−ax)(a >0log a a ≠1)(0,1){a >1,2−a ≥0,1<a ≤2C D y =x log 3(0,+∞)(1,0)y =x log 13(0,+∞)(1,0)x =x =x =−x log 13log 3−11−1log 3log 3x =−x log 13log 3x D BCD (−∞,1]f(x)=(12)−2x−3x2t =−2x −3x 2t =−2x −3=(x −1−2x 2)2(−∞,1][1,+∞)(t)=(1∵在上单调递减由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为故答案为：11.【答案】,【考点】指数型复合函数的性质及应用复合函数的单调性函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：设，则函数在定义域内单调递减，又，其图象开口向下，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上单调递减，在上单调递增，.故答案为：；.12.【答案】【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据指数幂的运算性质可将方程变形为然后将看做整体解关于的一元二次方程即可．【解答】解：即为f(t)=(12)t R (−∞,1](−∞,1](−∞,1][,+∞)19t =1+2x −x 2y =(13)t t =1+2x −=−(x −1+2x 2)2t =1+2x −x 2(−∞,1][1,+∞)y =(13)1+2x−x 2(−∞,1][1,+∞)=(=y min 13)1+2×1−1219(−∞,1][,+∞)19x =2−3⋅−16=04x+12x+24⋅(−12⋅−16=02x )22x 2x t −3⋅−16=04x+12x+24⋅(−12⋅−16=02x )22x 4−12t −16=02令则有解得，（舍）所以，故答案为．13.【答案】【考点】对数函数的单调性与特殊点必要条件、充分条件与充要条件的判断指数型复合函数的性质及应用【解析】解指数不等式求得集合，解一元二次不等式求得集合，由题意可得，经检验 ，从而得到，或 ，由此求得实数 的取值范围．【解答】解：∵．}．是必要不充分条件，可得，∴或 ．当 时，，无解．∴．∴，或 ．解得 或 ，故答案为 ．14.【答案】【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】先将不等式恒成立问题转化为求函数，的最小值问题，再利用换元法设，将问题转化为求关于的二次函数的最值问题，最后利用配方法求其最小值即可【解答】解：令，设，则=t 2x 4−12t −16=0t 2t =4t =−1=42x x =2x =2(−∞,−3]∪[6,+∞)A B B ⊊A B ≠∅−a <4−a ≤−23≤−a <4−a a A ={x |(<1}={x |−x −6>0}={x |x <−2或x >3}12)−x−6x2x 2B ={x |(x +a)<1}={x |0<x +a <4}=[x |−a <x <4−a log 4x ∈A x ∈B B ⊊A B =∅B ≠∅B =∅4−a ≤−a a B ≠∅−a <4−a ≤−23≤−a <4−a a ≥6a ≤−3(−∞,−3]∪[6,+∞)(−∞,−]254f(x)=−3×−44x 2x t =2x t f(x)=−3×−44x 2x t =2x 1≤t ≤4(x)=g(t)=−3t −4=(t −−325则，∴当时，取最小值即的最小值为若不等式恒成立，只需小于或等于的最小值，∴故答案为15.【答案】【考点】基本不等式指数型复合函数的性质及应用【解析】根据基本不等式的性质即可得到结论．【解答】解：∵，∴，当且仅当，即，时取等号，故函数的最小值为，故答案为：16.【答案】【考点】指数式与对数式的互化指数型复合函数的性质及应用【解析】当时方程无解，当时，将看成成整体，求一元二次方程，然后解对数方程即可求出所求．【解答】f(x)=g(t)=−3t −4=(t −−t 232)2254(1≤t ≤4)t =32g(t)−254f(x)=−3×−44x 2x −254a ≤−3×−44x 2x a f(x)a ≤−254(−∞,−]2542y =>02x y =+≥2=22x 2−x ⋅2x 2−x −−−−−−√=2x 2−x x =−x x =0y =+2x 2−x 22(+1)log 22–√x ≤0x >02x =21解：当时，无解当时，解得：即故答案为：17.【答案】【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】令，则，再根据复合函数的单调性可得，本题即求函数的减区间，再利用二次函数的性质可得的减区间．【解答】解：令，则，再根据复合函数的单调性可得，本题即求函数的减区间．再利用二次函数的性质可得 的减区间为，故答案为．18.【答案】【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】本题主要考查指数函数的图象和性质，根据值域求出对应，的取值可能即可的结论．【解答】解：当时，，当时，，即，若，则，此时，若，则，此时，综上.故答案为：.19.x ≤0−=22x 12−xx >0−=22x 12x (−2⋅−1=02x )22x =+12x 2–√x =(+1)log 22–√(+1)log 22–√[2,+∞)t =−+4x =−(x −2+4x 2)2f(x)=(12)t t t t =−+4x =−(−4x)=−(x −2+4x 2x 2)2f(x)=(12)t t t =−(x −2+4)2[2,+∞)[2,+∞)[2,4]a b =13|x|x =0=93|x||x |=2x =±2a =−20≤b ≤22≤b −a ≤4b =2−2≤a ≤02≤b −a ≤42≤b −a ≤4[2,4]【答案】【考点】简单线性规划指数型复合函数的性质及应用【解析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最大值，再代入求出的最小值．【解答】解：满足约束条件的可行域如图，由图象可知：当，时，的最大值，∴的最小值是故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）20.【答案】解：∵是奇函数，∴恒成立，∴，∴．∵是偶函数，∴恒成立，∴，∴．证明：∵，，∴．解：记，函数在上单调递增，∴.由可得，∴原问题转化为方程在上有一个实数根，19{2x −y ≤0x −3y +5≥0Z =2x +y −2(13)2x+y−2{2x −y ≤0x −3y +5≥0x =1y =2Z =2x +y −22(13)2x+y−21919(1)f (x)f (−x)=−f (x)(+)(a −1)=0e x e −x a =1g(x)g(−x)=g(x)(−)(b +1)=0e x e −x b =−1(2)=[g(x)]2++2e 2x e −2x 4=[f (x)]2+−2e 2x e −2x 4−[g(x)]2[f (x)]2=−=1++2e 2x e −2x 4+−2e 2x e −2x 4(3)t =f (x)f (x)[ln(+1),+∞)2–√t =f (x)≥f (ln(+1))=12–√(2)=1+[g(x)]2[f (x)]2−kt −2=0t 2[1,+∞)=t −2即在上有一个实数根，记，易知在单调递增，∴．【考点】函数奇偶性的性质由函数零点求参数取值范围问题函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：∵是奇函数，∴恒成立，∴，∴．∵是偶函数，∴恒成立，∴，∴．证明：∵，，∴．解：记，函数在上单调递增，∴.由可得，∴原问题转化为方程在上有一个实数根，即在上有一个实数根，记，易知在单调递增，∴．21.【答案】解：为二次函数，其对称轴为，若为偶函数，则，解得，所以，因为，所以当时，有最小值，当时，有最大值，所以，即函数的值域为．由题意知时， 恒成立，即，k =t −2t [1,+∞)h (t)=t −2t h (t)[1,+∞)k ≥h (1)=−1(1)f (x)f (−x)=−f (x)(+)(a −1)=0e x e −x a =1g(x)g(−x)=g(x)(−)(b +1)=0e x e −x b =−1(2)=[g(x)]2++2e 2x e −2x 4=[f (x)]2+−2e 2x e −2x 4−[g(x)]2[f (x)]2=−=1++2e 2x e −2x 4+−2e 2x e −2x 4(3)t =f (x)f (x)[ln(+1),+∞)2–√t =f (x)≥f (ln(+1))=12–√(2)=1+[g(x)]2[f (x)]2−kt −2=0t 2[1,+∞)k =t −2t [1,+∞)h (t)=t −2t h (t)[1,+∞)k ≥h (1)=−1(1)f (x)=−2(a −1)x +4x 2x =a −1f (x)a −1=0a =1f (x)=+4x 2−1≤x ≤3x =0f (x)4x =3f (x)134≤f (x)≤13f (x)[4,13](2)x ∈[1,2]f (x)>ax −(3a −2)x +4>0x 2g(x)=−(3a −2)x +42g >0(x)令，所以只需，的对称轴为，当，即时，，解得，所以，当，即时，，解得，所以；当，即时，，解得，舍去，综上所述，的取值范围是.【考点】二次函数的性质函数的值域及其求法函数奇偶性的性质函数恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：为二次函数，其对称轴为，若为偶函数，则，解得，所以，因为，所以当时，有最小值，当时，有最大值，所以，即函数的值域为．由题意知时， 恒成立，即，令，所以只需，的对称轴为，当，即时，，解得，所以，当，即时，，g(x)=−(3a −2)x +4x 2g >0(x)min g(x)x =3a −22≤13a −22a ≤43g =g(1)=7−3a >0(x)min a <73a ≤431<<23a −22<a <243g =g()=4−>0(x)min 3a −22(3a −2)24−<a <223<a <243≥23a −22a ≥2g =g(2)=12−6a >0(x)min a <2a (−∞,2)(1)f (x)=−2(a −1)x +4x 2x =a −1f (x)a −1=0a =1f (x)=+4x 2−1≤x ≤3x =0f (x)4x =3f (x)134≤f (x)≤13f (x)[4,13](2)x ∈[1,2]f (x)>ax −(3a −2)x +4>0x 2g(x)=−(3a −2)x +4x 2g >0(x)min g(x)x =3a −22≤13a −22a ≤43g =g(1)=7−3a >0(x)min a <73a ≤431<<23a −22<a <243g =g()=4−>0(x)min 3a −22(3a −2)24<a <22a <24解得，所以；当，即时，，解得，舍去，综上所述，的取值范围是.22.【答案】解：由题意知，．于是，解得；，解得．由已知在上恒成立．因为为上的奇函数，所以在上恒成立．又因为为上的增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，因为，当且仅当，即时取等号．所以．设，在上的最小值为，在上的最小值为，由题意，只需．因为为上的增函数，所以．当时，因为在上单调递增，在上单调递减，所以当时，．于是由得，即，解得．考虑到，故，即，解得．因为，所以．当时，在单调递减，所以．又，，所以对任意，恒有恒成立．综上，实数的取值范围为．【考点】函数奇偶性的性质函数解析式的求解及常用方法不等式恒成立问题函数的单调性及单调区间−<a <223<a <243≥23a −22a ≥2g =g(2)=12−6a >0(x)min a <2a (−∞,2)(1)f (x)+g(x)=2e x −f (x)+g(x)=2e −x 2g(x)=2+2e x e −x g(x)=+e x e −x 2f (x)=2−2e x e −x f (x)=−e x e −x (2)f (+3)+f (1−ax)>0x 2(0,+∞)f (x)R f (+3)>f (ax −1)x 2(0,+∞)f (x)=−e x e −x R +3>ax −1x 2(0,+∞)a <x +4x (0,+∞)a <(x +)4x min x +≥2=44x x ×4x −−−−−√x =4xx =2a <4(3)h (x)=e −|x−m|f (x)[m,+∞)f(x)min h (x)[0,1]h(x)min f ≤h (x)min (x)min f (x)=−e x e −x R f =−(x)min e m e −m m ≥0h (x)(−∞,m)(m,+∞)x ∈[0,1]h =min (x)min {h (0),h (1)}{h (0)=≥−,e −|m|e m e −m h (1)=≥−.e −|1−m|e m e −m h (0)=≥−e −|m|e m e −m ≤2e m e −m ≤2e 2m m ≤ln 212m ≤ln 2<112h (1)==≥−e −|1−m|e m−1e m e −m ≤e 2m e e −1m ≤ln 12e e −1<2e e −10≤m ≤ln 12e e −1m <0h (x)[0,1]h =h (1)=(x)min e m−1>0e m−1−<0e m e −m m <0h (1)=≥−=f e m−1e m e −m (x)min m (−∞,ln ]12e e −1已知函数的单调性求参数问题【解析】无【解答】解：由题意知，．于是，解得；，解得．由已知在上恒成立．因为为上的奇函数，所以在上恒成立．又因为为上的增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，因为，当且仅当，即时取等号．所以．设，在上的最小值为，在上的最小值为，由题意，只需．因为为上的增函数，所以．当时，因为在上单调递增，在上单调递减，所以当时，．于是由得，即，解得．考虑到，故，即，解得．因为，所以．当时，在单调递减，所以．又，，所以对任意，恒有恒成立．综上，实数的取值范围为．23.【答案】解：由，得．由，得．由，得．所以，．(1)f (x)+g(x)=2e x −f (x)+g(x)=2e −x 2g(x)=2+2e x e −x g(x)=+e x e −x 2f (x)=2−2e x e −x f (x)=−e x e −x (2)f (+3)+f (1−ax)>0x 2(0,+∞)f (x)R f (+3)>f (ax −1)x 2(0,+∞)f (x)=−e x e −x R +3>ax −1x 2(0,+∞)a <x +4x (0,+∞)a <(x +)4x min x +≥2=44x x ×4x −−−−−√x =4xx =2a <4(3)h (x)=e −|x−m|f (x)[m,+∞)f(x)min h (x)[0,1]h(x)min f ≤h (x)min (x)min f (x)=−e x e −x R f =−(x)min e m e −m m ≥0h (x)(−∞,m)(m,+∞)x ∈[0,1]h =min (x)min {h (0),h (1)}{h (0)=≥−,e −|m|e m e −m h (1)=≥−.e −|1−m|e m e −m h (0)=≥−e −|m|e m e −m ≤2e m e −m ≤2e 2m m ≤ln 212m ≤ln 2<112h (1)==≥−e −|1−m|e m−1e m e −m ≤e 2m e e −1m ≤ln 12e e −1<2e e −10≤m ≤ln 12e e −1m <0h (x)[0,1]h =h (1)=(x)min e m−1>0e m−1−<0e m e −m m <0h (1)=≥−=f e m−1e m e −m (x)min m (−∞,ln ]12e e −11<<82x A =(0,3)≥1⇒≤05x +2x −3x +2B =(−2,3]|x −2|<4⇒−2<x <6C =(−2,6)A ∪B =(−2,3]A ∩C =(−2,0]∪[3,6)C U【考点】交、并、补集的混合运算指数型复合函数的性质及应用其他不等式的解法【解析】由，得．由，得．由，得．由此能求出，．【解答】解：由，得．由，得．由，得．所以，．24.【答案】解：∵为奇函数，，得．又∵，∴可得，．由得，当时，．设，则，． 为奇函数，∴，∴，∴当时，．∵函数为奇函数，，∴函数在上的解析式为【考点】函数解析式的求解及常用方法函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】1<<82x A =(0,3)≥1⇒≤05x +2x −3x +2B =(−2,3]|x −2|<4⇒−2<x <6C =(−2,6)A ∪B A ∩C C u 1<<82x A =(0,3)≥1⇒≤05x +2x −3x +2B =(−2,3]|x −2|<4⇒−2<x <6C =(−2,6)A ∪B =(−2,3]A ∩C =(−2,0]∪[3,6)C U (1)f (x)∴f (−1)=−f (1)=−4f (1)=4f (2)=9{2+a +b =4,4+2a +b =9,a =3b =−1(2)(1)x >0f (x)=+3x −12x x <0−x >0f (−x)=−3x −12−x ∵f (x)f (−x)=−f (x)=−3x −12−x f (x)=−+3x +12−x x <0f (x)=−+3x +12−x (3)f (x)f (0)=0f (x)R f(x)= +3x −1,x >0,2x 0,x =0,−+3x +1,x <0.2−x (1)f (x)解：∵为奇函数，，得．又∵，∴可得，．由得，当时，．设，则，． 为奇函数，∴，∴，∴当时，．∵函数为奇函数，，∴函数在上的解析式为25.【答案】解：由得函数为奇函数，当时，，则，∴，，∴ 由知当时， ，为减函数，可将不等式转化为，∴，∴，所以不等式的解集为．【考点】对数的运算性质函数奇偶性的性质函数解析式的求解及常用方法函数的求值【解析】【解答】(1)f (x)∴f (−1)=−f (1)=−4f (1)=4f (2)=9{2+a +b =4,4+2a +b =9,a =3b =−1(2)(1)x >0f (x)=+3x −12x x <0−x >0f (−x)=−3x −12−x ∵f (x)f (−x)=−f (x)=−3x −12−x f (x)=−+3x +12−x x <0f (x)=−+3x +12−x (3)f (x)f (0)=0f (x)R f(x)= +3x −1,x >0,2x 0,x =0,−+3x +1,x <0.2−x (1)f (x)+f (−x)=0f (x)x <0−x >0f (−x)=(−)log 21x f (x)=−(−)log 21x f (0)=0f(x)= ，x >0，log 21x 0，x =0，(−x)，x <0.log2(2)(1)x <0f (x)=(−x)log 2f (−)+3>02x log 2f (−)>−3=f (−)2x log 213>2x 13x >−3log 2(−3,0)log 2(1)f (x)+f (−x)=0f (x)解：由得函数为奇函数，当时，，则，∴，，∴ 由知当时， ，为减函数，可将不等式转化为，∴，∴，所以不等式的解集为．(1)f (x)+f (−x)=0f (x)x <0−x >0f (−x)=(−)log 21x f (x)=−(−)log 21x f (0)=0f(x)= ，x >0，log 21x 0，x =0，(−x)，x <0.log 2(2)(1)x <0f (x)=(−x)log 2f (−)+3>02x log 2f (−)>−3=f (−)2x log 213>2x 13x >−3log 2(−3,0)log 2。
2023-2024学年全国全部人教A版(2019)高中数学同步练习(含解析)
2023-2024学年全国高中数学同步练习考试总分：74 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）1. 正项数列中，为数列的前项和，且对于任意，满足，若不等式对任意正整数都成立，则整数的最大值为( )A.B.C.D.2. 已知各项均为正数的等比数列满足：，若存在两项，使得，则的最小值为( )A.B.C.D.3. 等差数列的公差为，关于的不等式的解集是，则使得数列的前项和大于零的最大的正整数的值是A.B.C.D.不能确定{}a n S n {}a n n n ∈N ∗=4(+1)a n 2S n 2+−+2019>0S n S k a n a k n k 26462545{}a n =+2a 7a 6a 5a m a n =4a m a n −−−−√a 1+1m 4n3253949{}a n d x +(−)x +c ≥0d 2x 2a 1d 2[0,22]{}a n n n ()2122234. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：，，，，，，，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设是不等式的正整数解，则的最小值为( )A.B.C.D.5. 已知等比数列满足＝，＝，若＝，是数列的前项和，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 1 小题 ，共计3分 ）6. （3分） 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图，在长度为的线段上取两个点，，使得，以为边在线段的上方做一个正方形，然后擦掉，就得到图形；对图形中的最上方的线段作同样的操作，得到图形；依次类推，我们就得到以下的一系列图形．设图，图，图，…，图，各图中的线段长度和为，数列的前项和为，则A.数列是等比数列B.C.恒成立D.存在正数，使得恒成立卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）112358⋯=a n+2+a n+1a n (n ∈)N ∗=[−]a n 15–√()1+5–√2n ()1−5–√2n n [(1+−(1−]>2x +11log 2√5–√)x 5–√)x n 111098{}a n a 516−a 4a 34b n na n S n {}b n n ∀n ∈N +−m ≤1S n b n m [1,+∞)[2,+∞)[3,+∞)[4,+∞)11AB C D AC =DB =AB 14CD AB CD 22EF 3123n a n {}a n n S n (){}a n =S 106657256<3a n m <m S n {}:17. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例引入数列，，，，，，，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，故此数列称为斐波那契数列，通项公式为，该通项公式又称为“比内公式”（法国数学家比内首先证明此公式），是用无理数表示有理数的一个范例．设是不等式的正整数解，则的最小值为________.8. 已知等比数列{________．四、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）9. 设为数列}的前项和，令，其中．当时，数列中是否存在三项，使其成等差数列？并说明理由；证明：对，关于的方程在上有且仅有一个根；证明：对，由中构成的数列满足10. 在中，角，，的对应边分别是，，满足．求角的大小；已知等差数列的公差不为零，若＝，且，，成等比数列，求的前项和． 11. 已知函数的图象过点，且点在函数的图象上．（1）求数列的通项公式；（2）令，若数列的前项和为，求证：．12. 已知正项数列的前项和为，数列为等比数列，且满足：，，.求证：数列为等差数列；若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围．13. 已知点列，，…，，且与向量垂直，其中是不等于零的实常数，是正整数．设，求数列的通项公式，并求其前项和．{}:1a n 12358⋯=[−]a n 15–√()1+5–√2n ()1−5–√2n n [−]>x +6log 2(1+)5–√x (1−)5–√x n =,=,a n x n b n 1n2S n {⋅a n b n n (x)=−1f n S n x ∈R ，n ∈N +(1)x =2{}a n (2)∀n ∈N +x (x)=0f n x ∈[,1]23x n (3)∀p ∈N +(2)x n {}x n 0<−<.x n x n+p 1n △ABC A B C a b c +=bc +b 2c 2a 2(1)A (2){}a n cos A a 11a 2a 4a 8{}4a n a n+1n S n f(x)=a x (1,)12(n −1,)(n ∈)a n n 2N ∗f(x)=a x {}a n =−b n a n+112a n {}b n n S n <5S n {}a n n S n {}b n =−1=1a 1b 1=4+4n +1a 2n+1S n =+1b 4a 8(1){}a n (2)(4−m)>a n b n (−1)a n 2n ∈N ∗m (,1)M 1x 1(,2)M 2x 2(,n)M n x n M n M n+1−→−−−−−=(−c,)a n −→c n+1c n =1x 1{}x n n S n参考答案与试题解析2023-2024学年全国高中数学同步练习一、 选择题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）1.【答案】B【考点】数列与函数最值问题数列与不等式的综合【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得： ①，，①-②化简得：.当时，，解得，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，，所以，当时，，恒成立，即 恒成立4=S n (+1)a n 24=(+1S n−1a n−1)2=+2a n a n−1n =14=4=S 1a 1(+1)a 12=1a 1{}a n 12=+(n −1)d =2n −1a n a 1=n +d =n +n(n −1)=S n a 1n(n −1)2n 22+−+2019S n S k a n a k 2+−(2n −1)(2k −1)+2019>0n 2k 2n ∈N ∗2+−(2n −1)(2k −1)+2019>0n 2k 22+−4kn +2n +2k +2018>0n 2k 2f(n)=2+−4kn +2n +2k +201822令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，即，解得，所以整数的最大值是.故选.2.【答案】A【考点】数列与不等式的综合基本不等式在最值问题中的应用等比数列的通项公式【解析】为等比数列，可设首项为，公比为，从而由可以得出公比，而由可以得出，从而得到，从而便得到，这样可以看出，根据基本不等式即可得出的最小值．【解答】解：设数列的首项为，公比为，则由，得，∴，∵，∴解得，∴由，得，∴，∴，，f(n)=2+−4kn +2n +2k +2018n 2k 2(n)=4n −4k +2f ′n >4k −24(n)>0f ′f(n)n <4k −24(n)<0f ′f(n)f(n =f())min 4k −24=−+4k +k 240352−+4k +>0k 240352<k <4−8086−−−−√24+8086−−−−√2k 46B {}a n a 1q =+2a 7a 6a 5q =2=4a m a n −−−−√a 1m +n =6=1m +n 6+=+1m 4n m +n 6m 4(m +n)6n +1m 4n{}a n a 1q =+2a 7a 6a 5=+2a 1q 6a 1q 5a 1q 4−q −2=0q 2>0a n q =2=4a m a n −−−−√a 1=4a 212m+n−2−−−−−−−−√a 1=2m+n−224m +n −2=4m +n =61m +n∴，∴，，即时取“”，∴的最小值为．故选.3.【答案】A【考点】数列与函数最值问题数列与不等式的综合【解析】关于的不等式的解集是，利用根与系数的关系可得：，，化为：，再利用通项公式即可得出．【解答】解：关于的不等式的解集是，∴，，化为：，∴，，∴，即.∴，，故使得数列的前项和大于零的最大的正整数的值是．故选．4.=1m +n 6+⋅()=+1m 4n m +n 6m +n 6m 4(m +n)6n =+++≥++=16n 6m 2m 3n 2316232332=n 6m 2m 3n n =2m =+1m 4n 32A x +(−)x +c ≥0d 2x 2a 1d 2[0,22]0+22=−−a 1d 2d 2<0d 2=−a 121d 2x +(−)x +c ≥0d 2x 2a 1d 2[0,22]0+22=−−a 1d 2d 2<0d 2=−a 121d 2=+10d =−>0a 11a 1d 2=+11d =<0a 12a 1d 2+=0a 11a 12+=0a 1a 22==21>0S 2121(+)a 1a 212a 11==0S 2222(+)a 1a 222{}a n n n 21AD【考点】对数及其运算数列的函数特性数列与不等式的综合【解析】首先对不等式进行化简得出，即，根据数列的单调性，求出满足不等式成立的的最小值即可.【解答】解：∵是不等式的正整数解，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴.令，则数列即为斐波那契数列，∴，即.∵为递增数列，∴也为递增数列.∵，，，，∴使得成立的的最小值为.故选．5.【答案】B>a n ()2–√115–√>a 2n 2115n n [−]>2x +11log 2√(1+)5–√x (1−)5–√x [−]>2n +11log 2√(1+)5–√n (1−)5–√n [−]−2n >11log 2√(1+)5–√n (1−)5–√n [−]−>11log 2√(1+)5–√n(1−)5–√n log 2√()2–√2n [−]−>11log 2√(1+)5–√n (1−)5–√n log 2√2n []>11log 2√−(1+)5–√n (1−)5–√n2n [−]>11log 2√()1+5–√2n ()1−5–√2n −>()1+5–√2n ()1−5–√2n ()2–√11[−]>15–√()1+5–√2n ()1−5–√2n ()2–√115–√=[−]a n 15–√()1+5–√2n ()1−5–√2n {}a n >a n ()2–√115–√>a 2n 2115{}a n {}a 2n =13a 7=21a 8<a 272115>a 282115>a 2n 2115n 8D数列与不等式的综合【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 多选题 （本题共计 1 小题 ，共计3分 ）6.【答案】B,C【考点】数列递推式数列与不等式的综合数列的应用数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：，，，，∴，，∴不是等比数列，故错误；，恒成立，故正确;=1a 1=2×+1a 212=2××+2×+1a 3121212=2×××+2××+2×+1a 4121212121212=1+2×[(+⋯+(]a n 12)112)n−1=3−(12)n−2n ≥2{}a n A =1<3a 1=3−(<3a n 12)n−2C =++⋯+S 10a 1a 2a 10=1+3×9−[(+(+⋯+(]12)012)112)86657，故正确；，单调递增，∴不存在正数，使得恒成立，故错误.故选.三、 填空题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）7.【答案】【考点】数列与不等式的综合数列的函数特性对数及其运算【解析】暂无【解答】解：设是不等式的正整数解，，，，，即，又单调递增，，，，且，∴的最小值为．故答案为：．8.【答案】满足＝，，设数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为=6657256B =1+3×(n −1)−[(+(+⋯+(]S n 12)012)112)n−2=3n −2−2+(=3n +(−412)n−212)n−2S n m <m S n D BC 9n [(1+−(1−]>x +6log 25–√)x 5–√)x ∴[(1+−(1−]>n +6log 25–√)n 5–√)n ⇒(1+−(1−>5–√)n 5–√)n 2n+6∴−>()1+5–√2n ()1−5–√2n 26∴[−]>15–√()1+5–√2n ()1−5–√2n 265–√>⇒>=a n 265–√a 2n 212540965{}a n =5+8=13a 7=8+13=21a 8=13+21=34a 9=<<=a 2821240965342a 29n 99)a n +a n+1a n 3⋅2n−1n ∈N ∗{}a n n S n >k −2S n a n n ∈N ∗k (−∞,)52【考点】数列与不等式的综合【解析】根据等比数列的定义推知公比＝，然后由等比数列的通项公式得到＝，．进而根据等比数列的前项和公式求得；最后由不等式的性质和函数的单调性来求的取值范围即可．【解答】设等比数列的公比为，∵＝，，∴＝，＝，∴，∴＝，∴＝（1）∴＝，．则，∴，∴．令＝则随的增大而减小，∴＝＝，∴∴实数的取值范围为．四、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）9.【答案】解：时，，若存在三项成等差数列（，，，），则有：，两边除以得：，由 ，故上式左边为偶数，右边为奇数，矛盾．所以，不存在三项使其成等差数列．证明：，，当时单调递增，由于，当时，2q 2a n 2n−1n ∈N ∗n ===−1S n (1−)a 1q n 1−q 1−2n1−22n k {}a n q +a n+1a n 3⋅2n−1n ∈N ∗+a 2a 13+a 3a 26q ===2+a 3a 2+a 2a 1632+a 1a 13a 1a n 2n−1n ∈N ∗===−1S n (1−)a 1q n 1−q 1−2n1−22n −1>k ⋅−22n 2n−1k <2+22n f(n)2+22n f(n)n f(n)max f(1)2+=322k ≤(3)k (−∞,3)(1)x =2=a n 2n ,,2r 2s 2tr <s <t r s t ∈N +2⋅=+2s 2r 2t 2r 2⋅=1+2s−r 2t−r s −r ∈，t −r ∈N +N +(2)(x)=−1+x +++⋯f n x 222x 332+x n n 2(x)=1+++⋯+f ′n x 2x 23x n−1n x ∈(0,+∞),(x)>0,(x)f ′n f n (1)=0f 1x ≥2(1)=++⋯f n 122132+>01n 2)=−1++[++⋯+](22(23(2n故存在唯一，使．证明：对，由中，构成数列，当时，，故由于在上单调递增，故 即为单调递减数列，又，，两式相减 ，故满足．【考点】等差数列数列与函数的综合数列与不等式的综合【解析】此题暂无解析【解答】23()=−1++[++⋯+]f n 2323(23)222(23)332(23)n n 2≤−+[++⋯+]1314()232()233()23n =−+×131449[1−]()23n−11−23=−+−<0.131313()23n−1∈[,1]x n 23()=0f n x n (3)∀p ∈N +(2)x n {}x n x >0(x)=(x)+>(x)f n+1f n x n+1(n +1)2f n ()>()=()=0fn+1x n f n x n f n+1x n+1(x)f n+1(0,+∞)<x n+1x n {}x n ()=−1+++⋯+=0f n x n x n x 2n 22x nnn 2()=−1+++⋯++⋯+=0f n+p x n+p x n+p x 2n+p 22x n n+p n 2x n+p n+p(n +p)2−=++⋯+x n x x+p −x 2n+p x 2n 22−x 3n+p x 3n32++⋯+−x n n+p x n n n 2x n+1n+p(n +1)2x n+p n+p(n +p)2<++⋯+x n+1n+p (n +1)2x n+2n+p (n +2)2x n+p n+p(n +p)2<++⋯+1(n +1)21(n +2)21(n +p)2<−−+⋯1n 1n +11n +2+−1n +p −11n +p=−<1n 1n +p 1n {}x n 0<−<x n x n+p 1n (1)=2n解：时，，若存在三项成等差数列（，，，），则有：，两边除以得：，由 ，故上式左边为偶数，右边为奇数，矛盾．所以，不存在三项使其成等差数列．证明：，，当时单调递增，由于，当时，故存在唯一，使．证明：对，由中，构成数列，当时，，故由于在 上单调递增，故 即为单调递减数列，又，，两式相减 ，(1)x =2=an 2n ,,2r 2s2t r <s <t r s t ∈N +2⋅=+2s2r 2t 2r 2⋅=1+2s−r 2t−r s −r ∈，t −r ∈N +N+(2)(x)=−1+x +++⋯f n x 222x 332+x nn 2(x)=1+++⋯+f ′n x 2x 23x n−1n x ∈(0,+∞),(x)>0,(x)f ′n f n (1)=0f 1x ≥2(1)=++⋯f n 122132+>01n 2()=−1++[++⋯+]f n 2323(23)222(23)332(23)nn 2≤−+[++⋯+]1314()232()233()23n=−+×131449[1−]()23n−11−23=−+−<0.131313()23n−1∈[,1]x n 23()=0f n x n (3)∀p ∈N +(2)x n {}x n x >0(x)=(x)+>(x)f n+1f n x n+1(n +1)2f n ()>()=()=0f n+1x n f n x n f n+1x n+1(x)fn+1(0,+∞)<x n+1x n {}x n ()=−1+++⋯+=0f n x n x n x 2n 22x nnn 2()=−1+++⋯++⋯+=0f n+p x n+p x n+p x 2n+p 22x n n+p n 2x n+pn+p(n +p)2−=++⋯+x n x x+p −x 2n+p x 2n22−x 3n+p x 3n 32++⋯+−x n n+p x n n n 2x n+1n+p (n +1)2x n+pn+p(n +p)2<++⋯+x n+1n+p(n +1)2x n+2n+p(n +2)2x n+p n+p(n +p)2<++⋯+1(n +1)21(n +2)21(n +p)2<−−+⋯1n 1n +11n +2+−1n +p −11n +p=−<1n 1n +p 1n <−<+p 1故满足．10.【答案】解：∵＝，∴，∴，∵，∴．设的公差为，∵，且，，成等比数列，∴，且，∴，且，解得，∴，∴，∴＝．【考点】等比中项数列的求和等差数列的通项公式余弦定理【解析】Ⅰ由已知条件推导出，所以，由此能求出．Ⅱ由已知条件推导出＝，且，由此能求出＝，从而得以，进而能求出的前项和．【解答】解：∵＝，∴，∴，∵，∴．{}x n 0<−<x n x n+p 1n(1)+−b 2c 2a 2bc ==+−b 2c 2a 22bc bc 2bc 12cos A =12A ∈(0,π)A =π3(2){}a n d cos A =1a 1a 2a 4a 8==2a 11cos A =⋅a 42a 2a 8(+3d =(+d)(+7d)a 1)2a 1a 1d ≠0d =2=2n a n ==−4a n a n+11n(n +1)1n 1n +1=(1−)+(−)+(−)+...+(−)S n 12121313141n 1n +11−=1n +1n n +1()==+−b 2c 2a 22bc bc 2bc 12cos A =12A =π3()(+3d a 1)2(+d)(+7d)a 1a 1d ≠0a n 2n ==−4a n a n+11n(n +1)1n 1n +1{}4a n a n+1n S n (1)+−b 2c 2a 2bc ==+−b 2c 2a 22bc bc 2bc 12cos A =12A ∈(0,π)A =π3(2){}d设的公差为，∵，且，，成等比数列，∴，且，∴，且，解得，∴，∴，∴＝．11.【答案】（本题分）解：（1）∵函数的图象过点，∴，．又点在函数的图象上，从而，即．（2）证明：由，，得•，，则，两式相减得：，∴，∴，∵，∴．【考点】数列与不等式的综合【解析】（1）由函数的图象过点，知，．由点在函数的图象上，能求出．（2）由，，知•，从而得到(2){}a n d cos A =1a 1a 2a 4a 8==2a 11cos A =⋅a 42a 2a 8(+3d =(+d)(+7d)a 1)2a 1a 1d ≠0d =2=2n a n ==−4a n a n+11n(n +1)1n 1n +1=(1−)+(−)+(−)+...+(−)S n 12121313141n 1n +11−=1n +1n n +112f(x)=a x (1,)12a =12f(x)=(12)x (n −1,)(n ∈)a n n 2N ∗f(x)=a x (=12)n−1a n n 2=⋅(a n n 212)n−1=⋅(a n n 212)n−1=−b n a n+112a n =(2n +1)b n (12)n =++…+S n 325222n +12n=++…++12S n 3225232n −12n 2n +12n+1=+2(++…+)−12S n 3212212312n 2n +12n+1=+2−12s n 32[1−(]1412)n−11−122n +12n+1=5−S n 2n +52n>02n +52n<5S n f(x)=a x (1,)12a =12f(x)=(12)x (n −1,)(n ∈)a n n 2N ∗f(x)=a x a n =⋅(a n n 212)n−1=−b n a n+112a n =(2n +1)b n (12)n ++…+352n +1，由此利用错位相减法能够证明．【解答】（本题分）解：（1）∵函数的图象过点，∴，．又点在函数的图象上，从而，即．（2）证明：由，，得•，，则，两式相减得：，∴，∴，∵，∴．12.【答案】证明：因为，,当时， ，两式相减得： ，即.因为数列为正项数列，所以，又，即，所以也成立，所以数列为等差数列.解：由知，所以，，所以；不等式对于任意恒成立，即对于任意恒成立，即对于任意恒成立，令，则=++…+S n 325222n +12n <5S n 12f(x)=a x (1,)12a =12f(x)=(12)x (n −1,)(n ∈)a n n 2N ∗f(x)=a x (=12)n−1a n n 2=⋅(a n n 212)n−1=⋅(a n n 212)n−1=−b n a n+112a n =(2n +1)b n (12)n =++…+S n 325222n +12n=++…++12S n 3225232n −12n 2n +12n+1=+2(++…+)−12S n 3212212312n 2n +12n+1=+2−12s n 32[1−(]1412)n−11−122n +12n+1=5−S n 2n +52n>02n +52n<5S n (1)=1a 1=4+4n +1a n+12S n n ≥2=4+4n −3a 2n S n−1−=4+4a n+12a 2n a n =+4+4=a n+12a 2n a n (+2)a n 2{}a n =+2a n+1a n =9a 22=3a 2−=2a 2a 1{}a n (2)(1)=2n −1a n =2b 1=16b 4=b n 2n (4−m)>a n b n (−1)a n 2n ∈N ∗(2n −1)(4−m)>2n (2n −2)2n ∈N ∗m <4−(2n −2)2(2n −1)⋅2n n ∈N ∗=4−T n (2n −2)2(2n −1)⋅2n −=4−−4+T n+1T n 4n 2(2n +1)⋅2n+1(2n −2)2(2n −1)⋅2n 4(2−5+2)32，当时， ；当时， ；当时， ，所以最小，其值为．所以.【考点】等差数列数列与不等式的综合【解析】【解答】证明：因为，,当时， ，两式相减得： ，即.因为数列为正项数列，所以，又，即，所以也成立，所以数列为等差数列.解：由知，所以，，所以；不等式对于任意恒成立，即对于任意恒成立，即对于任意恒成立，令，则，当时， ；当时， ；当时， ，所以最小，其值为．所以.13.【答案】=4(2−5+2)n 3n 2(2n −1)(2n +1)⋅2n+1n =1−<0T 2T 1n =2−<0T 3T 2n ≥3−>0T n+1T n T 3=4−=T 325185m <185(1)=1a 1=4+4n +1a n+12S n n ≥2=4+4n −3a 2n S n−1−=4+4a n+12a 2n a n =+4+4=a n+12a 2n a n (+2)a n 2{}a n =+2a n+1a n =9a 22=3a 2−=2a 2a 1{}a n (2)(1)=2n −1a n =2b 1=16b 4=b n 2n (4−m)>a n b n (−1)a n 2n ∈N ∗(2n −1)(4−m)>2n (2n −2)2n ∈N ∗m <4−(2n −2)2(2n −1)⋅2n n ∈N ∗=4−T n (2n −2)2(2n −1)⋅2n −=4−−4+T n+1T n 4n 2(2n +1)⋅2n+1(2n −2)2(2n −1)⋅2n =4(2−5+2)n 3n 2(2n −1)(2n +1)⋅2n+1n =1−<0T 2T 1n =2−<0T 3T 2n ≥3−>0T n+1T n T 3=4−=T 325185m <185(−,1)−→−−−−−+1解：由题意得：…∵与向量垂直，∴∴∵∴ …∴…当时，，此时， …当时， …此时，…【考点】数列与向量的综合【解析】利用与向量垂直，可得，从而可得，利用叠加法，确定数列的通项，分类讨论，利用等差数列、等比数列的求和公式，即可得到结论．【解答】解：由题意得：…∵与向量垂直，∴∴∵∴ …∴…当时，，此时， …当时， …此时，…=(−,1)M n M n+1−→−−−−−x n+1x n M n M n+1−→−−−−−=(−c,)a n −→c n+1⋅=0M n M n+1−→−−−−−a n −→−c(−)+=0x n+1x n c n+1c ≠0−=x n+1x n c n =(−)+(−)+...+(−)+=++...+c +1x n x n x n−1x n−1x n−2x 2x 1x 1c n−1c n−2c =1=n x n =1+2+...+n =S n n(n +1)2c ≠1=++...+c +1=x n c n−1c n−21−c n 1−c =++…+=−(c ++…+)S n 1−c 1−c 1−c 21−c 1−c n 1−c 11−c 11−c c 2c n =−⋅=−n 1−c 11−c c(1−)c n 1−c n 1−c c −c n+1(1−c)2M n M n+1−→−−−−−=(−c,)a n −→c n+1⋅=0M n M n+1−→−−−−−a n −→−=x n+1x n c n =(−,1)M n M n+1−→−−−−−x n+1x n M n M n+1−→−−−−−=(−c,)a n −→c n+1⋅=0M n M n+1−→−−−−−a n −→−c(−)+=0x n+1x n c n+1c ≠0−=x n+1x n c n =(−)+(−)+...+(−)+=++...+c +1x n x n x n−1x n−1x n−2x 2x 1x 1c n−1c n−2c =1=n x n =1+2+...+n =S n n(n +1)2c ≠1=++...+c +1=x n c n−1c n−21−c n 1−c =++…+=−(c ++…+)S n 1−c 1−c 1−c 21−c 1−c n 1−c 11−c 11−c c 2c n =−⋅=−n 1−c 11−c c(1−)c n 1−c n 1−c c −c n+1(1−c)2。
2023-2024学年全国全部浙教版小学数学同步练习(含解析)
2023-2024学年全国小学数学同步练习考试总分：101 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 3 分 ，共计9分 ）1. 王阿姨乘坐次列车，从北京南站到天津站，到达时间为，她想知道这趟列车一共行驶了多长时间，需要从行程信息提示中找到的数学信息是。
A.B.年月日C.二等座D.2. 要配制一种礼品糖，所需奶糖和巧克力的质量比为．现有奶糖和巧克力各千克，那么当奶糖全部用完时，巧克力（ ）．A.不够千克B.剩余千克C.剩下千克3. 小青和小柳完成同一件工作，小青要小时，小柳要小时，小青和小柳工作效率的比是().A.C205515:55()15:25202052613A5:3100404060434:3B.C.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）4. 一个减法算式中，被减数、减数与差相加的和是，已知减数与差的比是，那么减数是________。
5. 如图，两个正方形边长的比是，其中大正方形的边长是________，小正方形的面积是________．6. 亮亮骑自行车到距家千米的体育馆看一场球赛，开始以正常速度匀速行驶，途中自行车出故障，他只好停下来修车．车修好后，他加速继续匀速赶往体育馆，其速度为原正常速度的倍，结果正好按预计时间（如果自行车不出故障，以正常速度匀速行驶到达体育馆的时间）到达．亮亮行驶的路程（千米）与时间（分钟）之间的关系如图所示，那么他修车占用的时间为________分钟．7. 甲、乙、丙三数的和是，甲数与乙数的比是，乙数与丙数的比是，则甲、乙、丙三数各是________、________、________．三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 10 分 ，共计20分 ）8. 一批水果，剩下的质量与卖出的质量的比是，又卖出千克后，剩下的质量与卖出的质量比是．这批水果共有多少千克？3:44:71624:53:2cm cm 2943s t 7403:43:41:3501:49. 某校毕业生共分个班，每班人数相等。
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自行车里的数学问题
普通自行车里的数学问题
☞考点说明：利用普通自行车里的数学公式求解相关内容
类型一:求车轮周长与圈数
【易】1.一个半径是是4分米的铁环，向前滚动一周的长度是？
【易】2.一个车轮向前滚动一周的长度是18.84分米，半径是？
【易】3.一个自行车前轮齿数是48个，后轮齿数是24个，前后轮齿数的比是（）∶（），也就是说脚蹬蹬一圈，车轮会转（）圈。
当齿轮圈数为一圈时，( ):( )=后齿轮圈数。
【中】4. 甲乙丙三个相互咬合的齿轮，若甲转5圈，乙转7圈，丙转2圈，那么这三个轮齿数最少分别是多少？
【中】5. 已知前齿轮数为26，后齿轮数为16，车轮直径为66cm，小明家距离学校大约500米，请算出小明需至少要蹬多少圈？
【难】6. 有一种自行车，前轮的周长是250厘米，后轮的周长是180厘米．小明骑这种自行车从甲地到乙地，后轮比前轮多转1001圈．甲、乙两地相距多少米？
类型三:车轮前进路程
【易】1.一辆自行车前后齿轮的比值是1.8，车轮的周长是2.5米，踏板蹬1圈，自行车前进多少米？
【易】2.自行车车轮直径71cm,蹬一圈走了44.588分米，那么前后齿轮数比为？
【易】3.一辆自行车前齿轮数28，后齿轮数14，蹬一圈自行车前进5米，车轮直径为多少米？（得数保留两位小数）
【中】4.一辆自行车车轮周长是2.4米，蹬一圈前进6米，已知自行车的后齿轮为18个，前齿轮有多少个？
【中】5.李佳的车轮直径是0.6米，他骑行时车轮每分钟转动450周，他骑车的速度是每分钟多少米？（π=3）
【难】6.一辆自行车的外直径是70cm,程程骑自行车上学每分钟能蹬100圈，那么骑完9.891km的路程需要多长时间？
变速自行车里的数学问题
☞考点说明：应用排列组合解决自行车里的数学问题
类型一:应用排列组合知识
【易】1.一款自行车，有3个不同的前齿轮，6个不同的后齿轮，这款自行车能变化出多少种速度？
【易】2.一款自行车，前齿轮分别为48齿、36齿；后齿轮为32齿、28齿、24齿、18齿，其中最快速度的组合？
【易】3.齿数比（）的组合走得远.车速较（）但骑车人较（）.齿数比（）的组合走得近.车速较（）但骑车人较（）.
【中】4.王老师的变速自行车前轮齿数分别为48、40、38；后轮齿数分别为28、24、20、18、16，因此这辆自行车能变化出（）种速度，在上坡时为了最省力，前齿轮应选择（）齿，后齿轮应选择（）齿。
【中】5. 一种变速自行车有2个前齿轮，分别有46和38个齿.有4个后齿轮，分别有20、16、14、12个齿，车轮直径66cm.自行车运动员在进行公路赛的时候有两个特殊路段：顺风路段与爬坡路段，请你为运动员在不同路况下选择齿轮.
【难】6. 一辆变速自行车有2个前齿轮，分别有46和38个齿，有4个后齿轮，分别有20、16、14、12个齿，车轮直径66cm。
小明从家到学校有一段平路和不是很陡的上坡路。
平路1000米，上坡800米，小明如何使用变速车比较合理？小明骑车走这段平路至少蹬多少圈？
拓展训练
1.制造厂三月份制造四轮农用车和六轮大卡车共78辆，这两种车共有车轮366个，农用车和大卡车各有多少辆？
2.两个车轮滚过同一段距离，甲车轮转了50圈，乙车轮转的圈数是甲车轮的5
4，周长比乙车轮少31.4厘米，这两个车轮的直径各是多少？。