解三角形经典练习题集锦

解三角形经典练习题集锦解三角形一、选择题1.在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c-b等于（）A．1B．-1C．2/3D．-2/32.若A为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A．sinAB．cosAC．XXXD．1/tanA3.在△ABC中，角A,B均为锐角，且cosA>sinB，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4.等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为60°，则底边长为（）A．2B．3/2C．3D．2/35.在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（）A．30°或60°B．45°或60°C．120°或60°D．30°或150°6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°二、填空题1.在Rt△ABC中，C=90°，则sinAsinB的最大值是1/2.2.在△ABC中，若a^2=b^2+bc+c^2，则A=120°。

3.在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a=2√3.4.在△ABC中，若5.在△ABC中，AB=6-2，C=30°，则AC+BC的最大值是2√7.三、解答题1.在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，则△ABC为等腰三角形。

2.在△ABC中，证明：a/b-cosBcosA/a-c=b/a-c。

3.在锐角△ABC中，证明：XXX>XXX。

4.在△ABC中，设a+c=2b，A-C=π/3，则sinB=1/2.5．在△ABC中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，则A的度数为（）A．90B．60C．135D．150解析：根据余弦定理，有$b^2+c^2-2bc\cos A=a^2$，代入$(a+b+c)(b+c-a)=3bc$中，整理得$\cos A=-\frac{1}{2}$，即$A=120^\circ$，选项B正确。

6．在△ABC中，若a=7,b=8,$\cos C=\frac{13}{14}$，则最大角的余弦为（）解析：根据余弦定理，有$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=33$。

根据余弦定理，$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{1}{16}$，$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{3}{8}$。

最大角的余弦为$\max\{\cos A,\cos B,\cos C\}=\cos B=\frac{3}{8}$，选项C正确。

7．在△ABC中，若$\tan(\frac{A-B}{2})=\frac{b}{a+b}$，则△ABC的形状是（）解析：根据$\tan(\frac{A-B}{2})=\frac{\sin(A-B)}{1+\cos(A-B)}$，有$\frac{\sin A-\sin B}{\cos A+\cosB}=\frac{2b}{a+b}$。

根据正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}$，代入上式得$\cos A-\cos B=\frac{a-b}{a+b}$。

整理得$\frac{\cos A-\cos B}{\sin A-\sinB}=\frac{a+b}{2b}$。

根据余弦定理，$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$，$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$，代入上式得$\tan\frac{A+B}{2}=\frac{c}{a+b}$。

因此，$\frac{A+B}{2}=90^\circ$，即$A+B=180^\circ$。

如果$A=B$，则$\frac{c}{a+b}=\tan\frac{A-B}{2}=0$，矛盾；如果$A+B=180^\circ$且$A\neq B$，则$\frac{c}{a+b}=\tan\frac{A-B}{2}\neq 0$，故△ABC为等腰三角形，选项B正确。

二、填空题1．若在△ABC中，$\angle A=60^\circ,b=1,S_{\triangle ABC}=3$，则$\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}=$_______。

解析：根据正弦定理，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中$R$为外接圆半径。

由海伦公式，$S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{abc}{4R}$，其中$p=\frac{a+b+c}{2}$为半周长。

代入已知条件，解得$a=4$，$R=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，$\sinA=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin B=\sin C=\frac{1}{2}$，$\sinA+\sin B+\sin C=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

因此，$\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sinC}=\frac{4+1+c}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$。

2．若A,B是锐角三角形的两内角，则$\tan A\tanB$_____$1$。

解析：由于锐角三角形的三个内角之和为$180^\circ$，因此$C=180^\circ-A-B$为锐角。

由于$\tan C=\frac{\sin C}{\cos C}=\frac{\sin(180^\circ-A-B)}{\cos(180^\circ-A-B)}=\frac{\sin(A+B)}{-\cos(A+B)}=-\tan(A+B)$，所以$\tanA\tan B\tan C=\tan A\tan B(-\tan(A+B))=-\frac{\sin A\sinB\sin(A+B)}{\cos A\cos B\cos(A+B)}=-\frac{\sin A\sin B(\sinA\cos B+\cos A\sin B)}{\cos A\cos B(\cos A\cos B-\sin A\sin B)}=-\frac{\tan A+\tan B}{\tan A\tan B-1}$。

因为$A,B$都是锐角，所以$\tan A>0$，$\tan B>0$，故$\tan A\tan B-11$。

3．在△ABC中，若$\sin A=2\cos B\cos C$，则$\tanB+\tan C=$_________。

解析：根据正弦定理，$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$。

因此，$\sin A=2\cos B\cos C$等价于$\frac{a}{2R}=2\frac{b}{2R}\cos B\cdot 2\frac{c}{2R}\cos C$，即$a\cos B\cos C=R^2$。

由余弦定理，$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$，代入$a\cos B\cosC=R^2$中，整理得$\frac{b}{\cos B}+\frac{c}{\cos C}=a\cot A$。

根据正切的和差公式，$\tan(B+C)=\frac{\tan B+\tan C}{1-\tanB\tan C}$，即$\tan B+\tanC=\frac{\tan(B+C)}{1+\tan(B+C)}=\frac{\frac{a^2}{S}\tanA}{1+\frac{a^2}{S}\tan A}=\frac{a^2\tan A}{S+a^2\tan A}$。

由海伦公式，$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{p(p-a)\frac{b+c-a}{2}\frac{a+b+c}{2}-bcp}=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}=\frac{1}{4}\sqrt{(21+2b)(21-2b)(23+2c)(23-2c)}$。

代入已知条件，整理得$\tan B+\tan C=\frac{147}{46}$。

4．在△ABC中，若$a=9,b=10,c=12$，则△ABC的形状是_________。

解析：由三边长求角度，根据余弦定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{11}{24}$，$\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{7}{12}$，$\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{5}{8}$。

因为$\cos^2A+\cos^2 B+\cos^2 C+2\cos A\cos B\cos C=1$，代入已知条件得$\cos A\cos B\cos C=-\frac{1}{8}$。

因为$0<\cos A,\cosB,\cos C<1$，所以$\cos A,\cos B,\cos C$中恰有一个小于$\frac{1}{2}$。

因此，$\angle C=90^\circ$，且$\cosC=\frac{5}{8}<\frac{1}{2}$，故$\angle A,\angle B$中恰有一个大于$90^\circ$。

因为$a^2+b^2=c^2$，所以$\angle C=90^\circ$，$a,b$分别为直角边，故△ABC为直角三角形，选项A正确。

5．在△ABC中，若$a=3,b=2,c=\sqrt{6+2\sqrt{2}}$，则$\angle A=$_________。

解析：由余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$，代入已知条件得$\cos C=\frac{1}{\sqrt{2}}$。

因为$0<\cos C<1$，所以$\angle C=45^\circ$。

由正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中$R$为外接圆半径。

因为$\angle C=45^\circ$，所以$\sin C=\cosC=\frac{1}{\sqrt{2}}$，故$c=2R\sin C=\frac{1}{\sqrt{2}}R$。

又因为$a=3,b=2$，所以$R=\frac{c}{2\sinC}=\frac{1}{\sqrt{2}}c=\sqrt{3}+1$。