整式乘法公式

第五课时 完全平方公式和平方差公式

一：公式及其变形

1、完全平方公式： (a+b)2

=a 2

+2ab+b 2

(a-b)2

=a 2

-2ab+b 2

2、平方差公式： (a+b)(a-b)=a 2-b 2

3、立方和公式和立方差公式：(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3

4、归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：

① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2

② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2

③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4

④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2

⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2

=x 2y 2

-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2 ⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2

=(x -y )(x -y )-z 2

=x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2 ⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2

)

=x 4-y 4

⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2

=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )]

=2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz 二、公式的灵活运用的经典例题

例1．已知，，求的值。

例2．已知，，求的值。

例3：计算19992

-2000×1998

例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2

的值。

例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2-z 2

的值。

例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048

+1）+1的个位数字是几？

例7．运用公式简便计算

（1）1032 （2）1982

2=+b a

1=ab 22b a +8=+b a 2=ab 2

)(b a -

例8．计算

（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2)

例9．解下列各式

（1）已知a 2+b 2=13，ab =6，求(a +b )2，(a -b )2

的值。

（2）已知(a +b )2=7，(a -b )2=4，求a 2+b 2

，ab 的值。

（3）已知a (a -1)-(a 2-b )=2，求的值。

（4）已知

，求

的值。

例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？

例11．计算 （1）(x 2-x +1)2 （2）(3m +n -p )2

三、乘法公式的用法

(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。

例1. 计算：

(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。

例2. 计算：

例3. 计算：

（三）、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例4. 计算：

22

2a b ab

+-1

3

x x -

=441x x +()()53532

2

2

2

x y x y +-()()()()111124

-+++a a a a ()()32513251x y z x y z +-+-+--()()57857822

abc abc +---+

（四）、变用: 题目变形后运用公式解题。 例5. 计算：

（五）、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

例6. 已知，求的值。

例7. 计算：

例8. 已知实数x 、y 、z 满足，那么（ ）

四、学习乘法公式应注意的问题

（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”． 例1 计算(-2x 2

-5)(2x 2

-5)

例2 计算(-a 2

+4b)2

（二）、注意为使用公式创造条件 例3 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．

例4 计算(a-1)2

(a 2

+a+1)2

(a 6

+a 3

+1)2

例5 计算(2+1)(22

+1)(24

+1)(28

+1)．

()()

xy z xy z +-++26()()()()()

()()122232442

222

222

2

222

2

....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab

+-=+-+=+++-=++--=ab a b -==45，a b 2

2

+()()a b c d b c d a ++-+++-22

x y z x y y +==+-592

，x y z ++=23