第4章 多元函数微积分学
2.调完《医学高等数学》教学大纲
《医用高等数学》课程教学大纲适用专业：临床医学实验班、临床医学5+3一体化、临床医学5+3一体化儿科方向、临床医学精神医学、临床医学麻醉学、临床医学儿科学、临床医学、眼视光医学、基础医学、医学影像学、口腔、法医、临床药学、生物科学、预防医学。
前言课程简介：《医用高等数学》是医科学院校各专业非常重要的数学基础理论课程，它是研究客观世界数量关系和空间形式的一门学科。
运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志。
现代医学正向着定量、精确、可计算、可预测、可控制的方向发展，预防医学、基础医学、临床医学以及一些边缘学科都在试图运用数学理论方法，通过建立数学模型来探索出其数量规律。
《医用高等数学》课程就是为这些学科奠定了理论基础。
本课程研究的内容包括：一元函数微积分学，多元函数微积分学，微分方程，概率论基础及线性代数。
教学主要任务是使学生掌握本课程的基本理论、基本方法和基本计算技能，提高解决某些实际问题的能力，为后继专业课程奠定基础。
课程负责人及授课团队：课程负责人：王桂杰教授 gjwang@ 十二舍314授课团队：王桂杰教授 gjwang@十二舍314黄德生教授 33864423@ 十二舍315单连峰副教授 907868728@ 十二舍313杨洋讲师 1002459654@ 十二舍317李新讲师 27295492@ 十二舍320高岩峰讲师 48334504@ 十二舍317王秀秀助教 523495009@ 十二舍317李明讲师 875391835@ 十二舍319考评方式：平时成绩占20%，期末成绩占80%使用教材及其他建议参考书：1．教材：《医用高等数学》第6版人民卫生出版社 20132. 参考书：《高等数学》第七版高等教育出版社 2014教学目标：学生掌握一元函数微积分学，多元函数微积分学，微分方程，概率论基础及线性代数内容，并能解决简单的医学问题。
能力培养目标：提高学生抽象思维能力和逻辑推理能力、综合运用所学知识分析问题和定量解决医学实际问题的能力、运算能力和创新能力。
《微积分》教材目录
《微积分》教材目录 第一章 函数、极限与连续1.1 函数1.2 数列的极限1.3 函数的极限1.4 极限的运算法则1.5 极限存在准则、两个重要极限1.6 无穷小、无穷大及无穷小的比较1.7 函数的连续性与间断点1.8 闭区间上连续函数的性质第二章 导数与微分2.1 导数概念2.2 函数的求导法则2.3 高阶导数2.4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 2.5 函数的微分第三章 中值定理与导数的应用3.1 中值定理3.2 洛必达法则3.3 函数单调性的判别法3.4 函数的极值及其求法3.5 最大值、最小值问题3.6 曲线的凹凸性与拐点3.7 函数图形的描绘3.8 导数与微分在经济分析中的简单应用第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 换元积分法4.3 分部积分法4.4 有理函数的积分第五章 定积分及其应用5.1 定积分的概念与性质5.2 微积分基本公式5.3 定积分的换元积分法与分部积分法5.4 定积分在几何学及经济学上的应用5.5 反常积分第六章 多元函数微积分6.1 空间解析几何简介6.2 多元函数的基本概念6.3 偏导数6.4 全微分6.5多元复合函数的导数6.6 隐函数的求导公式6.7 多元函数的极值6.8 二重积分第七章 无穷级数7.1 常数项级数的概念和性质7.2 常数项级数的审敛法7.3 函数项级数的概念与幂级数7.4函数展开成幂级数第八章 微分方程与差分方程初步8.1 微分方程的基本概念8.2 一阶微分方程及解法8.3 一阶微分方程在经济学中的应用8.4 可降阶的高阶微分方程8.5 二阶常系数线性微分方程8.6差分方程的基本概念及常系数线性差分方程解的结构 8.7 一阶常系数线性差分方程及应用举例第九章 Matlab在微积分中的应用9.1 MATLAB的基本操作9.2 MATLAB在一元微积分中的应用9.3 MATLAB在二元微积分中的应用 9.4 MATLAB在级数中的应用附录参考答案参考文献。
高等数学基础--多元函数微积分与线性常微分方程
高等数学基础--多元函数微积分与线性常微分方程
高等数学中的多元函数微积分和线性常微分方程是重要的数学基础，在生物、物理、化学、经济学、工程学等多个领域有着重要的应用。
对于多元函数微积分而言，主要涉及到定义积分、泰勒级数、变量替
换法和线性空间等。
它不仅能够有助于应用者更好地理解多元函数的
变化和结构特征，而且可以更有效地计算函数的微分、数值的变化随
参数的变化等，从而推导求解许多复杂的问题。
线性常微分方程是微积分的重要组成部分，它定义了元函数的变化趋
势是线性的，并且可以用来求解特定系统的行为特征和解决行为模型
所产生的问题。
它的解决思路也和多元函数微积分有很大的联系。
它
通常会用到特征值和特征根，偏微分方程等解决方法，常见的模型包
括波动方程、拉格朗日方程和随机方程等。
在数学和科学的应用中，多元函数微积分和线性常微分方程是重要的
基础，可以用来分析不同现象的起源和发展趋势，为优化利用事物规律，提高技术利用效率提供重要依据和指导。
多元函数微积分和线性
常微分方程对尤其是非线性系统的数理建模、分析和应用有着重要作用。
多元函数微积分的应用
多元函数微积分的应用随着科学技术的不断发展，多元函数微积分日益成为一种重要的数学工具。
多元函数微积分主要是研究多变量的函数，它是单变量微积分的推广和拓展。
其中最重要的内容就是求多变量函数的偏导数、全微分、求极值、积分等。
多元函数微积分在工程、物理、化学等学科中都得到了广泛的应用。
以下将主要介绍多元函数微积分在科学技术领域中的应用。
1. 物理学领域的应用在物理学中，多元函数微积分可以被用来描述物体的运动以及物体与其他物体之间的相互作用。
最常见的例子是牛顿运动定律。
牛顿第一定律说，如果物体不受到任何力的作用，则它将保持运动状态，或保持静止状态。
如果我们要确定一个物体的运动状态，我们需要知道该物体所受到的外力，以及它的初始位置和速度。
这个问题可以用多元函数微积分中的运动学方程来解决，它基于加速度与速度、位移之间的关系。
另一个物理学中的例子是电场的计算。
电场是由电荷在空间中所产生的电力作用，因此了解电场是研究电荷和电流行为的先决条件。
在多元函数微积分中，我们可以利用电场的公式来计算电场的介质性质、电势的强度等。
2. 工程学领域的应用在工程学领域中，多元函数微积分通常用于设计机器和设备，使得它们在运行时能够以最佳的方式工作。
例如，可以使用多元函数微积分来得出一个最佳的轮廓参数，以便使得机器人能够在一定范围内移动。
此外，它还可以被用于热力学方程的求解，以此来改进空调、锅炉、汽车发动机、炉子等工业设备的设计。
另外，多元函数微积分还可以在土木建筑工程领域中得到应用。
例如，在桥梁设计中，可以利用多元函数微积分求得桥梁的建筑比例和强度，从而确保它们可以承受使用过程中的载荷。
在建筑设计中，则可以使用多元函数微积分来计算建筑物的稳定性和质量等方面的参数。
3. 医学领域的应用多元函数微积分在医学领域中的应用也越来越多，它可以帮助研究人体的治疗方法和药物的研发。
例如，它可以帮助研究血液循环系统、神经系统、肺功能等方面的生理现象。
§3.6 多元函数基础知识
lim
x x
2
2 2
y
不存在。
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第三章经济变量的变化率
2012年9月29日星期六
微积分
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一元函数极限的运算法则如四则运算、无穷小量的性质 等都可应用到多元函数极限的运算中。
例 答案
求极限
( x , y ) ( 0 ,0 )
lim
lim
f ( x, y ) f ( x0 , y 0 )
则称f(x,y)在P0连续，P0称为f(x,y)的连续点。
若函数f(x,y)在区域D内每一点都连续，则称f(x,y)在区域 D内连续。 定理(四则分母在连续点的值不 为零)仍是连续函数。
第三章经济变量的变化率
2
接P1、P2，则称D为连通区域，简称区域。
若区域同时又是开集，则称其为开区域；若区域是闭 集，则称之为闭区域。
若 D ( 0 )，使 D D ( 0 )，则称
D为有界区域，否则称D为
无界区域。 第三章经济变量的变化率
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2012年9月29日星期六
微积分
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同样可定义n元齐次函数，即满足
f ( tx 1 , tx 2 , , tx n ) t f ( x 1 , x 2 , , x n )
k
经济中，常用的生产函数:
Y f ( x1 , x 2 , , x n )
k
x1、x2、·· n ·、x 为n种投入要素 如资本、劳动 力、土地等。
答案
第三章经济变量的变化率
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2012年9月29日星期六
多元函数微积分学考点
多元函数微积分学考点
1. 多元函数及其图像：多元函数的定义、图像、二元函数的图像特征、三维坐标系及其投影。
2. 极限与连续：多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分、方向导数。
3. 高阶导数：多元函数的高阶偏导数、混合偏导数、高阶全微分。
4. 多元函数的微分学定理：麦克劳林公式、泰勒公式、极值与条件极值。
5. 多元不定积分与定积分：二重积分、三重积分、重积分的计算方法。
6. 曲线积分与曲面积分：对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分、格林公式、斯托克斯公式、高斯散度定理。
- 1 -。
多元函数的概念二元函数的极限和连续性
多于一个自变量的函数统称为多元函数
同一元函数一样，定义域和对应规律是二元函数定义 的两要素。对于以算式表示的二元函数 z f ( x , y ) 其定义域就是使式子有意义的自变量的变化范围 一组概念： 1.区域：全部xy坐标平面或由曲线所围成的部分平面 常用字母D表示 2.边界：围成区域的曲线称为该区域的边界 3.开区域：不包括边界的区域 4.闭区域：连同边界在内的区域
1
二、教学计划
1、课时安排 多元函数的概念 偏导数 二元函数的极限和连续性 2课时 2课时
全微分
多元复合函数与隐函数的微分法 偏导数的应用 复习以及习题课
2课时
2课时 2课时 2课时
2
三、本章的教学目标
基本要求
1.掌握多元函数基本概念，会表示定义域，了解二 元极限、连续
2.深刻理解二元函数偏导数，能熟练求出一阶和高 阶偏导数， 3.掌握全微分概念
lim f ( x , y ) A
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二元函数的极限
说明 （1）定义中 P P0 的方式可能是多种多样的，方 向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限 存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和 任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。—— 这是产生本质差异的根本原因。
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二元函数的几何意义
例如，x 2 y 2 z 2 a 2 表示 的曲面为球心在原点，半径 为a的球面（见右图）
o
y
z
而z a 2 x 2 y 2 表示 的为上半球面 z a 2 x 2 y 2 表示 的是下半球面
x
经济数学微积分多元函数的极值及其求法
证 不妨设 z f ( x , y ) 在点( x 0 , y0 ) 处有极大值,
2
当 A 0 时有极大值， 当 A 0 时有极小值；
2 （2） AC B 0 时没有极值；
（3） AC B 0 时可能有极值,也可能没有极值，
2
还需另作讨论．
例4
求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y
4 z 10 0 确定的函数z f ( x , y ) 的极值
1 当 z 2 6 时， A 0 , 4
所以z f (1,1) 6 为极大值.
求函数 z f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y ) 0,
f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B 的符号，再判定是否是极值.
2
二、二元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边 界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者 即为最大值，最小者即为最小值.
2
1 |P B z C zyy , xy |P 0, 2 z
所以 z f (1,1) 2 为极小值；