高一数学概率的基本性质
教研版高一数学目录下册(3篇)
第1篇第一单元：数列第一章：数列的概念1.1 数列的定义1.2 数列的通项公式1.3 数列的递推公式习题与思考第二章：等差数列2.1 等差数列的定义和性质2.2 等差数列的通项公式2.3 等差数列的前n项和习题与思考第三章：等比数列3.1 等比数列的定义和性质3.2 等比数列的通项公式3.3 等比数列的前n项和习题与思考第四章：数列的应用4.1 数列在经济学中的应用4.2 数列在生物学中的应用4.3 数列在工程学中的应用习题与思考第二单元：三角函数第五章：三角函数的概念5.1 角的概念及度量5.2 正弦、余弦、正切函数的定义5.3 三角函数的性质习题与思考第六章：三角函数的图像和性质6.1 正弦函数的图像和性质6.2 余弦函数的图像和性质6.3 正切函数的图像和性质习题与思考第七章：三角恒等变换7.1 和差公式7.2 积化和差公式7.3 二倍角公式7.4 和差化积公式习题与思考第八章：三角函数的应用8.1 三角函数在物理中的应用8.2 三角函数在几何中的应用8.3 三角函数在其他学科中的应用习题与思考第三单元：平面向量第九章：平面向量的概念9.1 向量的定义和表示9.2 向量的运算9.3 向量的几何表示习题与思考第十章：平面向量的应用10.1 平面向量在几何中的应用10.2 平面向量在物理中的应用10.3 平面向量在其他学科中的应用习题与思考第四单元：立体几何第十一章：空间几何体的概念11.1 空间几何体的定义和性质11.2 空间几何体的分类习题与思考第十二章：空间几何体的计算12.1 空间几何体的体积12.2 空间几何体的表面积12.3 空间几何体的性质习题与思考第十三章：空间几何体的应用13.1 空间几何体在建筑学中的应用13.2 空间几何体在工程学中的应用13.3 空间几何体在其他学科中的应用习题与思考第五单元：解析几何第十四章：直线的方程14.1 直线的斜截式方程14.2 直线的点斜式方程14.3 直线的两点式方程习题与思考第十五章：圆的方程15.1 圆的标准方程15.2 圆的一般方程15.3 圆的性质习题与思考第十六章：解析几何的应用16.1 解析几何在几何证明中的应用16.2 解析几何在工程学中的应用16.3 解析几何在其他学科中的应用习题与思考第六单元：概率统计第十七章：概率初步17.1 随机事件17.2 事件的概率17.3 概率的基本性质习题与思考第十八章：统计初步18.1 统计数据的收集与整理18.2 统计数据的描述18.3 统计数据的分析习题与思考第七单元：数学文化第十九章：数学家的故事19.1 欧几里得的生平与成就19.2 祖冲之的生平与成就19.3 莱布尼茨的生平与成就习题与思考第二十章：数学在生活中的应用20.1 数学在购物中的应用20.2 数学在交通中的应用20.3 数学在健康中的应用习题与思考总结本册教材旨在通过系统地讲解数学基础知识，帮助学生建立扎实的数学基础，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
高一数学 统计概率知识点
高一数学统计概率知识点统计学是数学中的一个重要分支，通过收集和分析数据来研究和描述整体群体的特征和规律。
而概率论则是统计学中的关键概念，用于描述和计算事件发生的可能性。
在高一数学学习中，统计概率是一个重要的知识点，对我们理解数据和事件的规律有着深远的影响。
首先，让我们来了解一下统计学中最常见的两种数据类型：定量数据和定性数据。
定量数据是可以用数值表示的数据，比如身高、年龄等，而定性数据则是描述性质和特征的数据，比如性别、颜色等。
这两种数据类型在统计概率的应用中有着不同的分析方法和计算方式。
在统计学中，我们经常会遇到频数和频率的概念。
频数是指某个数值或类别在样本或总体中出现的次数，而频率则是频数与样本或总体的规模之比。
频数和频率的计算可以帮助我们对数据的分布和特征进行初步了解，从而为后续的统计分析提供基础。
除了频数和频率，统计学中还引入了概率的概念。
概率是描述事件发生可能性的数值，其取值范围在0到1之间。
当事件的概率为0时，表示该事件不可能发生；当事件的概率为1时，表示该事件必然发生。
对于不同的事件，我们可以通过概率的计算来衡量它们发生的可能性大小。
在概率的计算中，我们经常会遇到事件的互斥和独立性。
互斥事件指的是两个或多个事件不能同时发生，而独立事件指的是一个事件的发生与其他事件无关。
对于互斥事件，我们可以通过其概率的相加原理来计算联合概率；而对于独立事件，我们可以通过其概率的乘法原理来计算联合概率。
除了互斥与独立事件，我们还需要了解条件概率的概念。
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
在实际生活中，我们经常会遇到条件概率的问题，比如在已知某人患有某种疾病的情况下，他得到某种检测结果的概率。
通过条件概率的计算，我们可以进一步了解事件间的关联性和依赖性。
除了以上基本概念，统计概率还涉及到一些常见的概率分布函数，比如二项分布、正态分布等。
这些概率分布函数描述了事件在不同条件下的概率分布情况，对于我们进行统计推断和分析有着重要的意义。
高一必修课数学知识点总结
高一必修课数学知识点总结数学作为一门学科，对于高中生来说是必修课程中非常重要的一门。
而高一的数学学习是建立在初中数学知识的基础之上的，对于需要复习巩固的知识点进行分类总结，对于高中数学的学习有着很大的帮助。
一、代数与函数代数是高中数学的核心内容之一，它包括了各种各样的数学符号和关系。
一元二次方程是代数中的基础概念之一，它的解是数学解题的关键之一。
高一代数与函数的学习主要涉及到了线性方程、一元二次方程、函数与导数等知识点。
1.线性方程与一元二次方程线性方程和一元二次方程是最基本的方程类型，也是求解方程的主要方法。
它们的求解过程需要掌握平衡方程的原则，并能够通过消元、配方法等进行求解。
2.函数与导数函数是高中数学的核心概念之一，高一学习的函数主要包括一元函数和二元函数。
而导数的概念是函数的变化率，它在微积分中有着重要的应用。
高中数学中的导数学习主要涉及到导函数的定义、导数的性质以及求导法则。
二、几何与三角学几何与三角学是高中数学中另一个重要的部分，它是数学的一种空间表达方法，用来研究空间和图形的性质。
高一几何与三角学的学习主要涉及到平面几何、立体几何和三角函数等知识点。
1.平面几何平面几何是高中数学中的一种重要的几何学科，它涉及到点、线、面等基本概念。
高一学习的平面几何主要包括直线与角、平行线与垂直线、多边形等内容。
其中直线与角的性质是解决几何问题的基础，多边形的性质在解决面积和周长问题时起到了重要作用。
2.立体几何立体几何是高中数学中对空间图形性质进行研究的学科，它主要涉及到了点、线、面及其之间的关系。
高一学习的立体几何主要包括了点与直线间的位置关系、平面与平面间的位置关系以及体与体间的关系等。
3.三角函数三角函数是高中数学中的一个重要的概念，它是研究三角形的函数关系。
高一学习的三角函数主要包括对于正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质的学习。
同时，三角函数在解决三角形的问题和解析几何中有着广泛的应用。
全概率公式课件-高一下学期数学人教A版
由全概率公式，得
代公式
P(A2) P(A1) P(A2 A1) P(B1) P(A2 B1)
0.50.6 0.50.8 0.7
因此,王同学第2天去A 餐厅用餐的概率为 0.7.
P( A1) P ( B1 )
A1 P(A2 / A1) A2 A1A2 P(B2 / A1) B2 A1B2
P(A2 / B1) A2 B1A2 B1 P(B2 / B1) B2 B1B2
P(B) P( A)P(B | A) P( A)P(B | A)
9 0.9 3 0.25 0.7375.
12
12
因此,张君做对选到的题的概率0.7375.
变1.某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为，第二车 间的次品率为，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间 生产的成品比例为2：3，今有一客户从成品仓库中随机提一台成品，则该产 品合格的概率是？
2. 7
类似地,可得
P( A2
|
B)
2 7
,P( A3
|
B)
3 7
.
课堂小结：
1. 全概率公式：
一般地,设A1,A2, ,An是一组两两互斥的事件,A1 A2 An ,且
P( Ai ) 0,i 1,2, ,n,则对任意的事件B ,有
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ). i 1
—求和符号
上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个 互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.
我们称上面的公式为全概率公式.全概率公式是概率论中最基本的公式 之一.
全概率公式使用条件:
①A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件；② A1∪A2∪…∪An=Ω；
古典概型、概率的基本性质【八大题型】(举一反三)(新高考专用)(原卷版)2025年新高考数学一轮复习
古典概型、概率的基本性质【八大题型】【题型1 古典概型】................................................................................................................................................3【题型2 有放回与无放回问题的概率】................................................................................................................3【题型3 概率基本性质的应用】............................................................................................................................4【题型4 几何概型】................................................................................................................................................4【题型5 古典概型与函数的交汇问题】................................................................................................................6【题型6 古典概型与向量的交汇问题】................................................................................................................6【题型7 古典概型与数列的交汇问题】................................................................................................................7【题型8 古典概型与统计综合】. (8)1、古典概型、概率的基本性质【知识点1 古典概型及其解题策略】1．古典概型(1)事件的概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.(2)古典概型的定义我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.(3)古典概型的判断标准一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.下列三类试验都不是古典概型：①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能;②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.2．古典概型的概率计算公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)=n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.3．求样本空间中样本点个数的方法(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.(3)排列组合法：再求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识进行求解.4．古典概型与统计结合有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.【知识点2 概率的基本性质】1．概率的基本性质(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件的概率，然后转化为所求问题.【方法技巧与总结】1．概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B=，即A,B互斥时，P(A∪B)=P(A)+P(B)，此时P(A∩B)=0.【题型1 古典概型】【例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数都是奇数的概率为（）A．25B．35C．110D．310【变式1-1】（2024·内蒙古包头·三模）将2个a和3个b随机排成一行，则2个a不相邻的概率为（）A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7【变式1-2】（2024·西藏拉萨·二模）从3,4,5,6,7这5个数字中任取3个，则取出的3个数字的和为大于10的偶数的概率是（）A．23B．34C．25D．35【变式1-3】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中2个红球、1个白球、2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为（）A ．110B ．15C ．310D ．25【题型2 有放回与无放回问题的概率】【例2】（2024·全国·模拟预测）盒中装有1，2，3，4四个标号的小球．小明在盒中随机抽取两次（不放回），则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为（ ）A ．14B ．12C ．13D ．16【变式2-1】（23-24高三上·贵州·阶段练习）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为（ ）A ．15B ．13C ．25D ．23【变式2-2】（23-24高二下·四川眉山·阶段练习）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）A ．110B ．15C ．310D ．25【变式2-3】（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）从分别写有1,2,3,4,5,6的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍数的概率为（ ）A ．35B ．25C ．13D ．15【题型3 概率基本性质的应用】【例3】（2024·全国·模拟预测）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为215，“两个球都是白球”的概率为13，则“两个球颜色不同”的概率为（ ）A ．415B ．715C ．815D ．1115【变式3-1】（24-25高二上·吉林·阶段练习）设A, B 是一个随机试验中的两个事件，且P (A )=12, P (B )=35, PA =12，则P (AB )=（ ）A ．13B ．15C ．25D ．110【变式3-2】（23-24高二下·浙江舟山·期末）设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且P (A )=12，=712，+=14，则P (A +B )=（ ）A ．712B ．23C ．1112D ．34【变式3-3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知A ，B ，C ，D 四个开关控制着1，2，3，4号四盏灯，只要打开开关A 则1，4号灯就会亮，只要打开开关B 则2，3号灯就会亮，只要打开开关C 则3，4号灯就会亮，只要打开开关D 则2，4号灯就会亮.开始时，A ，B ，C ，D 四个开关均未打开，四盏灯也都没亮.现随意打开A ，B ，C ，D 这四个开关中的两个不同的开关，则其中2号灯灯亮的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．56【题型4 几何概型】【例4】（2024·陕西榆林·模拟预测）七巧板被誉为“东方魔板”，是我国古代劳动人民的伟大发明之一，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向此正方形内丢一粒小种子，则种子落入黑色平行四边形区域的概率为（ ）A ．18B ．38C ．516D ．332【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）如图，正六边形OPQRST 的顶点是正六边形ABCDEF 的对角线的交点.在正六边形ABCDEF 内部任取一点，则该点取自正六边形OPQRST 内的概率为（ ）A B ．14C ．13D 【变式4-2】（2024·四川·模拟预测）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.其传承的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知､道德观念等.剪纸艺术遗产先后人选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.2024龙年新春来临之际，许多地区设计了一幅幅精美的剪纸作品，它们都以龙为主题，展现了中华民族对龙的崇拜和敬仰.这些作品不仅展示了剪纸艺术的独特魅力，还传递了中华民族对美好生活的向往和对和平的渴望.下图是由某剪纸艺术家设计的一幅由外围是正六边形，内是一个内切圆组合而成的剪纸图案，如果随机向剪纸投一点，则这点落在内切圆内的概率是（ ）A B ．3πC D 【变式4-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，圆O 是正三角形ABC 的内切圆，则在△ABC 内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ ）A 14B ―14C 12D ．1【题型5 古典概型与函数的交汇问题】【例5】（2024·江西景德镇·模拟预测）若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a ，b ，则“在函数f (x )=x 2+ax +b 的图象与x 轴有交点的条件下，满足函数g (x )=a x ―b ―x(a+b )x 为偶函数”的概率为（ ）A ．417B ．219C ．519D ．319【变式5-1】（23-24高二上·山东菏泽·开学考试）已知集合A ={0,1,2,3}，a ∈A ，b ∈A ，则函数f (x )=ax 2+bx +1有零点的概率为（ ）A ．34B ．12C ．38D ．516【变式5-2】（23-24高一下·陕西宝鸡·期中）将一枚骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m 和n ，则函数y=mx2―4nx+1在[1,+∞)上是增函数的概率是（）A．16B．14C．34D．45【变式5-3】（23-24高一下·广西崇左·阶段练习）已知集合A={1,2,3,4,5,6},a∈A,b∈A，则“使函数f(x)= ln(x2+ax+b)的定义域为R”的概率为（）A．1336B．1536C．1736D．1936【题型6 古典概型与向量的交汇问题】【例6】（2024·安徽黄山·一模）从集合{1,2,4}中随机抽取一个数a，从集合{2,4,5}中随机抽取一个数b，则向量m=(a,b)与向量n=(2,―1)垂直的概率为（）A．19B．29C．13D．23【变式6-1】（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知m,n∈{―2,―1,1,2}，若向量a=(m,n),b=(1,1)，则向量a与向量b夹角为锐角的概率为（）A．316B．14C．516D．38【变式6-2】（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）从集合{0,1,2,3}中随机地取一个数a，从集合{3，4,6}中随机地取一个数b，则向量m=(b,a)与向量n=(1,―2)垂直的概率为（）A．112B．13C．14D．16【变式6-3】（23-24高二上·湖北黄石·期中）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量a=(2m―3,n―1)，b=(1,―1)的夹角为θ，则θ为钝角的概率是（）A．518B．13C．1336D．1136【题型7 古典概型与数列的交汇问题】【例7】（23-24高三下·河南·阶段练习）记数列{a n}的前n项和为S n，已知S n=an2―4an+b，在数集{―1,0,1}中随机抽取一个数作为a，在数集{―3,0,3}中随机抽取一个数作为b，则满足S n≥S2(n∈N∗)的概率为()A．13B．29C．14D．23【变式7-1】（23-24高三上·河南许昌·阶段练习）意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n=a n―1+a n―2(n≥3,n∈N∗)，其中a1=1，a2=1.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）A．13B．6732021C．12D．6742021【变式7-2】（2024·北京·模拟预测）斐波那契数列{F n}因数学家莱昂纳多⋅斐波那契(LeonardodaFibonaci)以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．因n趋向于无穷大时，F nF n+1无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列{F n}满足F1=F2=1，F n+2=F n+1 +F n，若从该数列前12项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为（）A．12B．712C．23D．34【变式7-3】（2024·江苏·一模）若数列{a n}的通项公式为a n=(―1)n―1，记在数列{a n}的前n+2(n∈N*)项中任取两项都是正数的概率为P n，则（）A．P1=13B．P2n<P2n+2C．P2n―1<P2nD．P2n―1+P2n<P2n+1+P2n+2.【题型8 古典概型与统计综合】【例8】（2024·全国·模拟预测）第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在[76,84)的游客人数为18．(1)求频率分布直方图中a,b的值；(2)从抽取的50名游客中满意度评分在[60,68)及[92,100]的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在[60,68)的概率．【变式8-1】（2024·四川成都·模拟预测）课外阅读对于培养学生的阅读兴趣、拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用．某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取了500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长t（单位：分钟），得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟．时长t[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]学生人数5010020012525(1)估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)若按照分层抽样的方法从本次调查中寒假期间每天课外阅读平均时长在[0,20)和[20,40)的两组中共抽取6人进行问卷调查，并从6人中随机选取2人进行座谈，求这2人中至少有一人寒假期间每天课外阅读平均时长在[0,20)的概率．【变式8-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：(1)①求该班学生周末的学习时间不少于20小时的人数；②用分层抽样的方法在[20，25)和[25，30]中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率.(2)①估计这40名同学周末学习时间的25%分位数；②将该班学生周末学习时间从低到高排列，那么估计第10名同学的学习时长；【变式8-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，．[80,90)，[90,100]，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占37(1)求抽取的200名学生的平均成绩x（同一组数据用该组区间的中点值代替）；(2)若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；(3)若比赛成绩x>79+s（s为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数．参考公式：s=f i是第i组的频率），≈5.5一、单选题1．（2024·贵州·模拟预测）将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（）A．23B．12C．13D．142．（2024·陕西西安·一模）将5个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的概率为（）A．25B．35C．57D．273．（2024·上海长宁·一模）掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A(A)，事件B的概率为P(B)；则1―P(A∩B)是下列哪个事件的概率（）A．两个点数都是偶数B．至多有一个点数是偶数C．两个点数都是奇数D．至多有一个点数是奇数4．（2024·四川乐山·三模）在区间[―5,10]上任取一个整数m，则使函数f(x)=x2―2mx―2m存在两个不同零点的概率为（）A．116B．316C．1316D．15165．（2024·四川内江·三模）口袋中装有质地和大小相同的6个小球，小球上面分别标有数字1，1，2，2，3，3，从中任取两个小球，则两个小球上的数字之和大于4的概率为（）A．13B．25C．35D．1156．（23-24高一下·福建福州·期末）已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的34倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（）A．25B．310C．35D．127．（23-24高三上·山东济南·阶段练习）把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为（）A．29B．827C．49D．128．（2024·北京东城·二模）袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（）A．15B．25C．35D．45二、多选题9．（2024·甘肃武威·模拟预测）某公司2023年的销售额为1000万元，2023年四个季度的销售额情况统计如图所示．其中第二季度销售额是第一季度销售额的2倍．则下列说法正确的是（）A．该公司四个季度的销售额先增长再下降B．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额都大于250万的概率为16C．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额的和大于500万的概率为12D．从这四个季度中任选两个，则这两个季度的销售额差的绝对值小于250万的概率为16 10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机取出2个球．事件A＝“两次取到的球颜色相同”；事件B＝“第二次取到红球”；事件C＝“第一次取到红球”．下列说法正确的是（ ）A ．A ⊆B B ．事件B 与事件C 是互斥事件C ．P (AB )=215D ．P (B +C )=2311．（2024·广东梅州·一模）如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从1移动到数字n (n =2,3,⋅⋅⋅,9)的不同路线条数记为r n ，从1移动到9的事件中，跳过数字n (n =2,3,⋅⋅⋅,8)的概率记为p n ，则下列结论正确的是（ ）A ．r 6=8B ．r n +1>r nC ．p 5=934D ．p 7>p 8三、填空题12．（2024·重庆·模拟预测）袋中装有9个除颜色外完全相同的球，其中红色球有3个，蓝色球有6个，现甲、乙，丙三人从中不放回地依次各抽一球，则至少有一人抽到红色球的概率为 ．13．（2024·江苏·模拟预测）某校有4名同学到三个社区参加新时代文明实践宣传活动，要求每名同学只去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到同一个社区的概率为 ．14．（2024·四川自贡·二模）《定理汇编》记载了诸多重要的几何定理，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上同侧的三个半圆所围成的图形，其被阿基米德称为鞋匠刀形.如图所示，三个半圆的圆心分别为O ，O 1，O 2，半径分别为R ，r 1，r 2（其中R >r 1>r 2），在半圆О内随机取一点，此点取自图中鞋匠刀形（阴影部分）的概率为14，则r 1r 2= .四、解答题15．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个与Ⅰ同心的圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ的概率分别为0.35，0.30及0.25．求不命中靶的概率．16．（2024·四川成都·模拟预测）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲､乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲､乙能确定胜负时.竞赛前抽签，甲获得第一比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲､乙答对每个问题的概率都是12个问题的答题权.(1)求前三个问题回答结束后乙获胜的概率；(2)求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率.17．（2024·陕西榆林·二模）甲､乙参加一次有奖竞猜活动，活动有两个方案.方案一：从装有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球的箱子内随机抽取2个小球，若抽取的小球的编号均为偶数，则获奖.方案二：电脑可以从0∼2内随机生成一个随机的实数，参赛者点击一下即可获得电脑生成的随机数x，若2x<.已知甲选用了方案二参赛，乙选用了方案一参赛.(1)求甲获奖的概率.(2)试问甲､乙两人谁获奖的概率更大？说明你的理由.18．（2024·全国·模拟预测）交通拥堵指数是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：TPI=实际行程时间，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分为如下畅通行程时间表所示的4个等级：TPI[1,1.5)[1.5,2)[2,4)不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2024年元旦及其前后共7天与2023年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图：(1)从2024年元旦及其前后共7天中任取1天，求这天交通高峰期城市道路TPI为“拥堵”的概率；(2)从2024年元旦及其前后共7天中任取2天，求这2天中交通高峰期城市道路TPI都比2023年同日TPI 低的概率.19．（2024·陕西商洛·模拟预测）为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，为做好全省的迎检工作.某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试.并从中随机抽取了500名学生的数据.根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)估计这500名学生健康指数的平均数x（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)现从体质健康指数在区间[75,85)和[85,95]内的学生中，用分层抽样法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷，求这32人体质健康指数在区间[75,85)内的概率.。
10.1 随机事件与概率(八大题型)(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
示．
2、随机试验的特点
（1）试验可以在相同条件下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确可知的 ，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个 ，但事先不能确定出现哪一个结果 ．
3、样本空间
我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间
（ samplespace ） ． 一般 地 ， 我 们 用 Ω 表 示样 本 空 间 ， 用 表 示 样 本 点 ．在 本 书 中 ，我们 只 讨 论 Ω 为 有限 集 的
C．袋中有2个黄球，3个绿球，共5个球，随机摸出一个球是红球，是不可能事件；
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上，是随机事件，可能发生，也可能不发生，是
随机事件．
故选：D
典型例题
题型二：必然事件、不可能事件与随机事件的判断
【变式2-1】（2024·高一·全国·课后作业）有两个事件，事件 A：367人中至少有2人生日相同；事件 B：抛
然事件．
对于事件B，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件 B为随机事件；
故选：D
典型例题
题型三：事件关系的判断
【典例3-1】（多选题）（ 2024·高二·湖北黄冈·期中）从装有大小和形状完全相同的 3个红球和3个白球的
口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不互为对立的是（
+ ）
和事件）
交事
若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发
∩ （ 或
件
生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件（或
）
积事件）
互斥
若 ∩ 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互
人教A版高中数学必修三试卷3.1.3概率的基本性质
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作3.1.3概率的基本性质A 组一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C ．事件B A 、中至少有一个发生的概率一定比B A 、中恰有一个发生的概率大D ．事件B A 、同时发生的概率一定比B A 、中恰有一个发生的概率小2．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A.至少有一个黒球与都是红球B.至少有一个黒球与都是黒球C.至少有一个黒球与至少有1个红球D.恰有1个黒球与恰有2个黒球3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为（ ）A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.084．把红，黄，蓝，白4张纸牌随机地分发给甲，乙，丙，丁四个人，每人一张，则事件＂甲分得红牌＂与事件＂丁分得红牌＂是（ ）A ．不可能事件B ．互斥但不对立事件C ．对立事件D ．以上答案都不对5．从集合{}543,21,，，中随机取出一个数，设事件A 为“取出的数是偶数”， 事件B 为“取出的数是奇数”，则事件A 与B （ ）A ．是互斥且是对立事件B ．是互斥且不对立事件C ．不是互斥事件D ．不是对立事件6．从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）A. A 与C 互斥B. B 与C 互斥C. 任何两个均互斥D. 任何两个均不互斥7．一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶8．掷两颗相同的均匀骰子（各个面分别标有1，2，3，4，5，6），记录朝上一面的两个数，那么互斥而不对立的两个事件是（）A. “至少有一个奇数”与“都是奇数”B. “至少有一个奇数”与“至少有一个偶数”C．“至少有一个奇数”与“都是偶数”D．“恰好有一个奇数”与“恰好有两个奇数”9．出下列命题，其中正确命题的个数有（）①有一大批产品，已知次品率为010，从中任取100件，必有10件次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的；④若()()()1P A B P A P B=+=,则,A B是对立事件。
高中数学第十章概率之随机事件与概率(精讲)(必修第二册)(教师版含解析)
10.1 随机事件与概率(精讲)思维导图考法一 有限样本空间与随机事件【例1-1】(2021·全国高一)给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x 为某一实数时，可使x 2≤0”是不可能事件；③“明天天津市要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】对于①，三个球全部放入两个盒子，有两种情况：1+2和3+0，故必有一个盒子有一个以上的球，所以该事件是必然事件，①正确；对于②，x =0时x 2=0，所以该事件不是不可能事件，②错误； 对于③，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以该事件是随机事件，③错误；对于④，“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”，发生与否是随机的，所以该事件是随机事件，④正确．故正确命题有2个.故选：C ．【例1-2】(2020·全国高一)袋子中有4个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，从中随机摸出一个球，记录球的编号，先后摸两次.(1)若第一次摸出的球不放回，写出试验的样本空间；(2)若第一次摸出的球放回，写出试验的样本空间.【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【解析】m 表示第一次摸出球的编号，用n 表示第二次摸出球的编号，则样本点可用(),m n ，{},1,2,3,4m n ∈表示.(1)若第一次摸出的球不放回，则m n ≠，此时的样本空间可表示为()()()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3Ω=，共有12个样本点.(2)若第一次摸出的球放回，则m ，n 可以相同.此时试验的样本空间可表示为(){}{},,1,2,3,4m n m n Ω=∈，常见考法共有16个样本点.【举一反三】1．(2021·全国高一课时练习)下列事件中，随机事件的个数为( )①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上；②13个人中至少有两个人生肖相同；③某人买彩票中奖；④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】抛掷一枚骰子，每一面出现都是随机的，所以①是随机事件；一年只有12生肖，所以13个人中至少有两个人生肖相同是必然事件，所以②是必然事件；购买彩票号码是随机的，某人买彩票中奖也是随机的，所以③是随机事件；在标准大气压下，水加热到100℃才会沸腾.故④是不可能事件故选：B2．(多选)(2020·全国高一单元测试)下列事件中，是随机事件的是( )A ．2021年8月18日，北京市不下雨B ．在标准大气压下，水在4C 时结冰C ．从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签D ．若x ∈R ，则20x ≥【答案】AC【解析】A 选项与C 选项为随机事件，B 为不可能事件，D 为必然事件．故选：AC ．3．(2020·全国高一课时练习)写出下列各随机试验的样本空间：(1)采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；(2)采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO 血型；(3)随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；(4)射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；(5)射击靶3次，观察中靶的次数.【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析(4)详见解析(5)详见解析【解析】解：(1)一名同学的性别有两种可能结果：男或女.故该试验的样本室间可以表示为Ω={男，女}；(2)一名同学的血型有四种可能结果：A 型、B 型、AB 型、O 型.故该试验的样本空间可表示为{},,,A B AB O Ω=；(3)每个小孩的性别有男或女两种可能，两个小孩的性别情况有四种可能，故该试验的样本空间可表示为{(男、男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}；(4)每次射击有中靶或脱靶两种可能，射击3次有八种可能，用1表示中靶，用0表示脱靶，该试验的样本空间可表示为()()()()()()()(){}0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1N =；(5)射击3次，中靶的次数可能是0，1，2，3，故该试验的样本空间可以表示为{}0,1,2,3N =.4．(2021·全国高一)写出下列试验的样本空间：(1)设袋中装有4个白球和6个黑球，从中不放回逐个取出，直到白球全部取出为止，记录取球的次数；(2)甲、乙、丙三位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果.【答案】(1)详见解析(2)详见解析【解析】(1)从中不放回逐个取出，直到白球全部取出为止，则取球次数为{}4,5,6,7,8,9,10N =；(2)由抽签确定演讲的顺序，抽签的结果即样本空间可表示为{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)}.考法二 事件的关系与运算【例2-1】(2020·全国高一课时练习)盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球.设事件A =“1个红球和2个白球”，事件B =“2个红球和1个白球”，事件C =“至少有1个红球”，事件D“既有红球又有白球”，则：(1)事件D 与事件,A B 是什么关系？(2)事件C 与事件A 的交事件与事件A 是什么关系？【答案】(1)D A B =⋃.(2)事件C 与事件A 的交事件与事件A 相等.【解析】(1)对于事件D ,可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球,故D A B =⋃.(2)对于事件C ,可能的结果为1个红球和2个白球,2个红球和1个白球或3个红球,故C A A ⋂=,所以事件C 与事件A 的交事件与事件A 相等.【例2-2】(2021·全国高一)掷一枚骰子，给出下列事件：A =“出现奇数点”，B =“出现偶数点”，C =“出现的点数小于3”. 求：(1)A B ，B C ⋂；(2)A B ，B C ⋃.【答案】(1)A B =∅，B C ⋂=“出现2点”. (2)A B =“出现1，2，3，4，5或6点”，B C =∪“出现1，2，4或6点”.【解析】由题意知：A =“出现奇数点”{}1,3,5=，B =“出现偶数点”{}2,4,6=，C =“出现的点数小于3”{}1,2=，(1)AB =∅，{}2BC ⋂==出现2点”； (2){}1,2,3,4,5,6A B ==“出现1，2，3，4，5或6点”，{}1,2,4,6B C ⋃==“出现1，2，4或6点”.【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色.设事件A =“三个圆的颜色全不相同”，事件B =“三个圆的颜色不全相同”，事件C =“其中两个圆的颜色相同”，事件D“三个圆的颜色全相同”.(1)写出试验的样本空间.(2)用集合的形式表示事件,,,A B C D .(3)事件B 与事件C 有什么关系？事件A 和B 的交事件与事件D 有什么关系？并说明理由.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)事件B 包含事件C ，事件A 和B 的交事件与事件D 互斥.见解析【解析】(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色.则试验的样本空间Ω={(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝),(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黄,蓝)}.(2)A ={(红,黄,蓝)} B ={(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黄,蓝)}C ={(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝)}.D {(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝)}.(3)由(2)可知事件B 包含事件C ,事件A 和B 的交事件与事件D 互斥.2．(2021·全国高一)记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件A ，B ，C ，D ，指出下列事件的含义：(1)A B C ；(2)B C ∩；(3)B C D ∪∪.【答案】(1)射中10环或9环或8环.(2)射中9环.(3)射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.【解析】(1)A=射中10环，B=射中9环，C=射中8环，∴A B C=∪∪射中10环或9环或8环. (2)C=射中8环，∴C=射中环数不是8环，则B C=∩射中9环.(3)B C D=∪∪射中9环或8环或7环，则B C D=∪∪射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.3．(2021·全国高一)在试验“甲、乙、丙三人各射击1次，观察中靶的情况”中，事件A表示随机事件“甲中靶”，事件B表示随机事件“乙中靶”，事件C表示随机事件“丙中靶”，试用A，B，C的运算表示下列随机事件：(1)甲未中靶；(2)甲中靶而乙未中靶；(3)三人中只有丙未中靶；(4)三人中至少有一人中靶；(5)三人中恰有两人中靶.【答案】(1)A(2)AB(3)ABC(4)ABC(5)()()() ABC ABC ABC【解析】(1)甲未中靶：A.(2)甲中靶而乙未中靶：A B⋂,即AB.(3)三人中只有丙未中靶：A B C,即ABC.(4)三人中至少有一人中靶ABC.(5)三人中恰有两人中靶()()()ABC ABC ABC.考法三互斥与对立【例3】(多选)(2020·全国高一课时练习)袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是( )A．至少有一个白球与都是白球B．恰有一个红球与白、黑球各一个C．至少一个白球与至多有一个红球D．至少有一个红球与两个白球【答案】BD【解析】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B 中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B 成立；在C 中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C 不成立；在D 中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D 成立；故选：BD.【举一反三】1．(多选)(2020·全国高一课时练习)一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是( )A ．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件B ．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件C ．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件D ．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件【答案】BD【解析】对于A ，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A 错误 对于B ，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B 正确 对于C ，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C 错误 对于D ，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D 正确故选：BD2．(多选)(2020·全国高一课时练习)下面结论正确的是( )A ．若()()1P A PB +=，则事件A 与B 是互为对立事件B ．若()()()P AB P A P B =，则事件A 与B 是相互独立事件C ．若事件A 与B 是互斥事件，则A 与B 也是互斥事件D ．若事件A 与B 是相互独立事件，则A 与B 也是相互独立事件【答案】BD【解析】对于A 选项，要使,A B 为对立事件，除()()1P A P B +=还需满足()0P AB =，也即,A B 不能同时发生，所以A 选项错误.对于C 选项，A 包含于B ，所以A 与B 不是互斥事件，所以C 选项错误.对于B 选项，根据相互独立事件的知识可知，B 选项正确.对于D 选项，根据相互独立事件的知识可知，D 选项正确.故选：BD3．(2020·全国高一课时练习)在试验E “连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数”中，事件A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1”，事件j A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为j ，事件B 表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”，事件C 表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”，(1)试用样本点表示事件A B 与A B ；(2)试判断事件A 与B ，A 与C ，B 与C 是否为互斥事件；(3)试用事件j A 表示随机事件A .【答案】(1)详见解析(2)事件A 与事件B ，事件A 与事件C 不是互斥事件，事件B 与事件C 是互斥事件.(3)123456A A A A A A A =【解析】由题意可知试验E 的样本空间为Ω=()()()()()(){1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,()()()()()()2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,()()()()()()}6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6. (1)因为事件A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,所以满足条件的样本点有()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,即()()()()()(){}1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6A =.因为事件B 表示随机事件“2次掷出的点数之和为6”,所以满足条件的样本点有()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1,即()()()()(){}1,5,2,4,3,3,4,2,5,1B =.所以(){}1,5A B =,()()()()()()()()()(){}1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,4,3,3,4,2,5,1A B =.(2)因为事件C 表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”,所以()()(){}1,4,2,5,3,6C =.因为(){}1,5A B =≠∅,(){}1,4A C =≠∅,B C =∅,所以事件A 与事件B ,事件A 与事件C 不是互斥事件,事件B 与事件C 是互斥事件.(3)因为事件j A 表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为j ”,所以(){}(){}(){}(){}(){}(){}1234561,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6A A A A A A ======, 所以123456A A A A A A A =.考法四 古典概型【例4】(2020·全国高一课时练习)在一次语文考试的阅卷过程中，两位老师对一篇作文打出的分数都是两位的正整数，且十位数字都是5，则两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于1的概率为( )A ．0.18B ．0.2C ．0.28D ．0.32 【答案】C【解析】用(),x y 表示两位老师的打分，则(),x y 的所有可能情况有1010100⨯=种.当50x =时，y 可取50，51，共2种；当51x =，52，53，54，55，56，57，58时，y 的取值均有3种；当59x =时，y 可取58，59，共2种；综上可得两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于1的情况有28种，由古典概型的概率公式可得所求概率280.28100P ==故选：C. 【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)从数字1，2，3，4中任取两个数，则这两个数中其中一个数为另一个数的整数倍的概率为( )A ．14B ．12C ．13D ．23【答案】D【解析】基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6个，其中符合条件的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(2,4)共4个，所求概率为4263P ==.故选：D 2．(2021·全国高一)把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为( )A ．23B ．13C ．35D ．14【答案】B【解析】分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()12,3,4，()12,4,3，()3,12,4，()4,12,3，()3,4,12，()4,3,12，有6种分法；第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()1,23,4，()4,23,1，()23,1,4，()23,4,1，()1,4,23，()4,1,23，有6种分法；第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为()1,2,34，()2,1,34，()34,1,2，()34,2,1，()1,34,2，()2,34,1，有6种分法；共有18种分法，则2，3连号的概率为61183P ==. 故选：B .3．(2021·全国高一)为了更好了解某年入伍新兵的身高情况，解放军某部随机抽取100名新兵，分别对他们的身高进行了测量，并将测量数据分为以下五组：[160,165)，[165,170)，[170,175)，[175,180)，[180,185]进行整理，如下表所示：组号分组 频数 第1组 [160,165)5 第2组[165,170) 35 第3组 [170,175)30 第4组 [175,180)20 第5组 [180,185]10 合计 100(1)在下面的图纸中，画出频率分布直方图；(2)若在第4，5两组中，用分层抽样的方法抽取6名新兵，再从这6名新兵中随机抽取2名新兵进行体能测试，求这2名新兵来自不同组的概率．【答案】(1)直方图见解析；(2)815.【解析】(1)频率分布直方图如下图所示：（2）因为第4，5组共有30名新兵，所以利用分层抽样从中抽取6名，每组应抽取的人数分别为：4组：206430⨯=名，第5组：106230⨯=名，设第4组抽取的4名新兵分别为1A，2A，3A，4A，第5组抽取的2名新兵分别为1B，2B．从这6名新兵中随机抽取2名新兵，有以下15种情况：12{,}A A，13{,}A A，14{,}A A，11{,}A B，12{,}A B，23{,}A A，24{,}A A，21{,}A B，22{,}A B，34{,}A A，31{,}A B，32{,}A B，41{,}A B，42{,}A B，12{,}B B，这2名新兵来自不同组的情况有以下8种：11{,}A B，12{,}A B，21{,}A B，22{,}A B，31{,}A B，32{,}A B，41{,}A B，42{,}A B，故所求的概率P=815．考法五概率的基本性质【例5-1】(2020·全国高一课时练习)老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指( )A ．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂B ．老师在讲的10道题中，李峰能听懂8道C ．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%D ．以上解释都不对 【答案】C【解析】概率的意义就是事件发生的可能性大小，即李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%.故选：C 【例5-2】(2020·全国高一课时练习)在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别(M (男)、F (女))及年级(1G (高一)、2G (高二)、3G (高三))分类统计的人数如下表：1G2G3GM 18 20 14 F17247若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率：()P M =____________，()P F =____________，()P MF =____________，()P MF =____________，()1P G =____________，()2P M G =____________，()3P FG =____________【答案】0.52 0.48 1 0 0.35 0.76 0.07 【解析】()()123182014520.52100100100100P M P MG MG MG ==++==； ()()10.48P F P M =-=； ()1P MF =；()()0P MF P =∅=；()()11118170.35100100P G P MG FG ==+=； ()()()()2220.520.440.200.76P MG P M P G P MG =+-=+-=；()370.07100P FG == 故答案为：(1)0.52；(2)0.48；(3)1；(4)0；(5)0.35；(6)0.76；(7)0.07 【举一反三】1．(2020·全国高一课时练习)在北京消费季活动中，某商场为促销举行购物抽奖活动，规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖活动，中奖的概率为110.那么以下理解正确的是( ) A ．某顾客抽奖10次，一定能中奖1次 B ．某顾客抽奖10次，可能1次也没中奖 C ．某顾客消费210元，一定不能中奖 D ．某顾客消费1000元，至少能中奖1次 【答案】B 【解析】中奖概率110表示每一次抽奖中奖的可能性都是110，故不论抽奖多少次，都可能一次也不中奖， 故选：B.2．(2020·全国高一课时练习)某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率0.10.150.250.30.2如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率； (1)命中10环；(2)命中的环数大于8环； (3)命中的环数小于9环； (4)命中的环数不超过5环.【答案】(1)0.2 (2)0.5 (3)0.5 (4)0 【解析】用x 表示命中的环数，由频率表可得. (1)(10)0.2P x ==；(2)(8)P x P >=(9x =或10x =)(9)(10)0.30.20.5P x P x ==+==+=； (3)(9)(6)(7)(8)0.10.150.250.5P x P x P x P x <==+=+==++=； (4)(5)1(6)1(0.10.150.250.30.2)0P x P x =-=-++++=.3．(2021·全国高一课时练习)判断下列说法是否正确，若错误，请举出反例 (1)互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件； (2)互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；(3)事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大；(4)事件A 与事件B 同时发生的概率一定比A 与B 中恰有一个发生的概率小.【答案】(1)错误，举例见解析；(2)正确；(3)错误，举例见解析；(4)错误，举例见解析. 【解析】(1)错误；(2)正确；(3)错误：(4)错误. 设某试验的样本空间为{1,2,3,4}Ω=.(1)中反例，取{1},{2}A B ==，则A ,B 互斥但不对立. (2)由互斥事件与对立事件的定义可知(2)正确(3)中反例，取{1},A B ==∅,则1()()4P A B P A ⋃==1()()()4P AB AB P AB P A ⋃===. (4)中反例，取{1},{1,2}A B ==,则1()()4P AB P A ==,1()()4P AB AB P AB ⋃==.4．(2020·全国高一课时练习)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： (1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶.【答案】(1)0.72 (2)0.26 (3)0.02 (4)0.98【解析】设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立 由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====. (1)AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义 得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯= (2)“恰好有一人中靶” ABAB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得()()()P ABAB P AB P AB=+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅ 0.80.10.20.90.26=⨯+⨯=(3)事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅()()10.810.90.02=-⨯-=(4)方法1：事件“至少有一人中靶”AB ABAB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥,所以()P ABAB AB()()()P AB P AB P AB =++ ()()P AB P ABAB =+0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶” 根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=5．(2020·全国高一课时练习)已知n 是一个三位正整数，若n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如135，256，345等)现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.(1)由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. (2)这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 【答案】(1)见解析；(2)不公平，理由见解析.【解析】(1)由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个.分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.(2)不公平由(1)知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竟赛”为事件A ，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A 含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个. 由古典概型计算公式，得13()20A P A ==事件含有的基本事件的个数试验所有基本事件的总数，又A 与B 对立，所以137()1()12020P B P A =-=-=， 所以()()P A P B >.故选取规则对甲、乙两名学生不公平.。