第八章 数据分类与降维技术
数据降维的技术与应用
数据降维的技术与应用随着数据科学的发展，数据的产生和存储越来越多。
然而，复杂的数据集往往存在着大量的冗余信息和噪声，这些信息会使得数据的处理和分析变得越来越困难。
为了更好地利用这些数据，我们需要采用数据降维的技术，这种技术能够削减数据集中的冗余和噪声，从而使得数据集更加紧凑和可控。
1. 数据降维的概念数据降维是指将高维数据集转化为低维数据集的过程，通过降低数据集的维度，可以减少数据集中的冗余信息和噪声，从而提高数据的处理效率和分析准确性。
在实际应用中，采用数据降维技术可以有效地提高机器学习算法的准确性和效率，同时可以节省计算资源和存储空间。
2. 常见的数据降维技术（1）主成分分析（PCA）主成分分析是一种常用的数据降维技术，它通过线性变换将原始数据集从高维空间映射到低维空间。
在降维过程中，PCA能够最大限度地保留原数据集中的信息。
具体来说，PCA通过选择保留最大方差的特征向量，将原始数据集投影到低维空间中，从而实现数据的降维。
（2）t-SNEt-SNE全称为t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding，是一种非线性降维技术。
与PCA不同的是，t-SNE着眼于保留数据集中的局部相似性信息。
t-SNE能够在保留数据集的结构和特征的同时，将高维数据映射到低维空间中。
（3）因子分析因子分析是一种常用的降维技术，其通过寻找共性和特异性因子来解释一个数据集。
它能够将一组高度相关的变量转化为较小的几个因子，并对这些因子进行解释。
在实际应用中，因子分析通常用于数据压缩、提取特征等领域。
3. 数据降维的应用（1）图像压缩图像压缩是数据降维技术的一个重要应用领域。
通过降低图像的维度，可以有效地减少图像的储存空间，同时提高图像处理的速度和效率。
（2）模式识别模式识别是另一个重要的应用领域，数据降维技术在该领域有着广泛的应用。
通过降低数据集的维度，可以使得机器学习算法更加准确地分类和预测。
数据降维技术研究
文本摘要
利用降维技术，可以对文 本数据进行摘要处理，提 取出文本的主要信息。
语音识别
声纹识别
利用降维技术，可以对语音数据 进行声纹识别，实现身份认证等
功能。
语音特征提取
通过降维技术，可以提取出语音的 主要特征，便于分类、识别等任务 。
语音压缩
通过降维技术，可以实现语音的压 缩和存储，减小存储空间的需求， 同时保持语音的基本特征。
利用降维技术，可以对社交网络中的用户行为数 据进行降维处理，提取出主要的行为模式。
社区发现
通过降维技术，可以将社交网络中的节点聚集到 同一社区中，发现隐藏的社区结构。
网络流量分析
利用降维技术，可以对社交网络中的流量数据进 行降维处理，提取出主要的流量模式。
04
数据降维技术的挑战 与解决方案
数据缺失与异常值处理
核主成分分析（KPCA）
总结词
KPCA是一种基于核方法的数据降维方法，它将数据从原始空间映射到高维特征空间，然后在特征空间中进行 PCA降维。
详细描述
KPCA首先使用核函数将数据从原始空间映射到高维特征空间，然后在特征空间中进行PCA降维。核函数的选择 可以根据数据的特性来确定，常见的核函数有线性核、多项式核、高斯核等。KPCA能够捕捉到数据之间的非线 性关系，因此适用于处理非线性数据。
数据隐私与安全问题
总结词
数据隐私和安全问题是数据降维过程中需要重视的问 题，需要采取有效的措施进行保护。
详细描述
在数据降维过程中，需要特别关注数据隐私和安全问题 。为了保护个人隐私，可以采用差分隐私、联邦学习等 技术手段进行处理。同时，还需要加强数据的安全存储 和传输，避免数据泄露和攻击。这些措施能够有效地保 护个人隐私和数据安全，同时促进数据降维技术的发展 和应用。
数据降维方法
数据降维方法数据降维是指通过保留数据集的主要特征，减少数据集维度的过程。
在实际应用中，数据往往具有高维度和复杂性，这给数据分析和处理带来了挑战。
因此，数据降维方法成为了数据处理中的重要环节。
本文将介绍几种常见的数据降维方法，包括主成分分析（PCA）、线性判别分析（LDA）和t-SNE算法。
主成分分析（PCA）是一种常用的数据降维方法，它通过线性变换将原始数据映射到一个新的坐标系中，使得数据在新坐标系下的方差最大化。
这样可以保留数据的主要信息，同时减少数据的维度。
PCA的核心思想是找到数据中的主成分，即数据中方差最大的方向。
通过保留主成分，可以实现数据降维的目的。
另一种常见的数据降维方法是线性判别分析（LDA）。
与PCA不同，LDA是一种有监督学习方法，它考虑了数据的类别信息。
LDA的目标是将数据投影到一个新的空间中，使得不同类别的数据点尽可能远离，同一类别的数据点尽可能接近。
通过这种方式，LDA可以在降维的同时保留数据的类别信息，有助于分类和识别任务的进行。
除了PCA和LDA，t-SNE算法也是一种常用的非线性数据降维方法。
t-SNE算法通过在高维空间中保持相似的数据点在低维空间中仍然保持相似的方式进行降维。
它能够有效地发现数据中的局部结构，并在可视化任务中表现出色。
t-SNE算法在图像、文本和生物信息学等领域得到了广泛的应用。
总的来说，数据降维是数据处理中非常重要的一环。
通过合适的数据降维方法，可以在保留数据主要特征的同时减少数据的维度，提高数据处理和分析的效率。
在实际应用中，需要根据数据的特点和任务的要求选择合适的数据降维方法。
希望本文介绍的主成分分析、线性判别分析和t-SNE算法能够为读者在实际应用中提供帮助。
数据库中的高维数据处理与降维技术
数据库中的高维数据处理与降维技术在现代信息时代，各个行业产生了海量的数据。
这些数据往往包含了许多特征，形成了高维数据，这对于数据库的管理和分析提出了挑战。
高维数据处理与降维技术应运而生，使得我们能够更有效地处理和分析这些数据。
高维数据是指数据集中的特征数远大于样本数的数据。
这种情况在诸如生物信息学、图像处理和金融分析等领域非常普遍。
然而，高维数据也带来了一些问题。
首先，高维数据往往存在维度灾难的问题。
数据维度的增加导致了数据密度的稀疏性，这对数据的分析和挖掘造成了困难。
其次，高维数据的可视化和理解难度增加，因为我们只能在三维或二维空间中展示数据，而不能展示全部特征。
为了解决高维数据的问题，我们使用了降维技术。
降维技术通过保留数据的主要信息，将高维数据转化为低维数据，同时尽可能减少信息丢失。
降维技术可以分为线性降维和非线性降维两种类型。
线性降维技术是通过线性变换将高维数据映射到低维空间。
主成分分析（PCA）是线性降维中最常用的方法之一。
PCA通过找到高维数据中方差最大的方向，将数据映射到新的低维空间，从而实现降维。
PCA具有简单易实现、计算量小的优点，被广泛应用于图像处理、模式识别和数据可视化等领域。
非线性降维技术是通过非线性映射将高维数据转化为低维空间。
在非线性降维中，流形学习是最常见的方法之一。
流形学习利用了数据潜在的低维流形结构，将高维数据映射到低维空间。
流形学习包含了多种方法，如等距映射（Isomap）、局部线性嵌入（LLE）和拉普拉斯特征映射（LE）等。
这些方法能更好地处理非线性结构数据，提供更好的降维效果。
除了主流的线性和非线性降维技术，还有一些其他的方法被用于高维数据的处理。
例如，核主成分分析（KPCA）是一种结合了PCA和核技巧的方法。
KPCA利用核函数对数据进行非线性映射，然后采用主成分分析的方式进行降维。
这种方法适用于非线性问题，有助于更好地保留数据的非线性结构。
总结而言，高维数据处理与降维技术在数据库管理和分析中十分重要。
机器学习中的数据降维技术(八)
在当今信息爆炸的时代，我们日常生活中产生的数据量越来越庞大。
面对如此巨大的数据量，如何从中提取有用的信息成为了一个亟待解决的问题。
机器学习作为一种能够从数据中学习并做出预测的技术，正是应运而生。
然而，随着数据量的增加，机器学习模型也面临着维度灾难的挑战。
因此，数据降维技术成为了解决这一问题的关键。
一、数据降维技术的意义数据降维技术是指通过某种数学变换方法，将高维数据映射到低维空间中，从而达到减少数据维度的目的。
数据降维技术的意义在于，它可以帮助我们在保留数据原有特征的同时，减少数据的复杂度和冗余性，提高机器学习模型的训练效率和预测准确性。
二、主成分分析（PCA）主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的数据降维技术。
它的核心思想是将高维数据转换成低维数据，同时保留数据的主要特征。
具体来说，PCA通过找到数据中最大方差的方向，将数据映射到这个方向上，从而实现数据降维。
一般来说，PCA可以大大减少数据的维度，提高机器学习模型的训练速度和预测准确性。
三、奇异值分解（SVD）奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是另一种常用的数据降维技术。
它通过将数据矩阵分解成三个矩阵的乘积，从而得到数据的低维表示。
SVD在图像处理、自然语言处理等领域有着广泛的应用，可以有效地降低数据的维度，提高模型的效率和准确性。
四、 t-分布邻域嵌入（t-SNE）t-分布邻域嵌入（t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding，简称t-SNE）是一种非线性的数据降维技术。
与PCA和SVD不同，t-SNE能够在降维的同时保持数据的局部特征，并且能够在可视化数据时保持数据的聚类结构。
因此，t-SNE在可视化高维数据时有着独特的优势，被广泛应用于图像识别、语音识别等领域。
五、自编码器（Autoencoder）自编码器（Autoencoder）是一种基于神经网络的数据降维技术。
高维数据分析与降维技术
高维数据分析与降维技术高维数据分析是近年来数据科学领域中的一个重要研究方向。
随着信息技术的快速发展，我们可以轻松获取到大量的数据。
然而，这些数据往往具有高维度的特征，给数据分析带来了许多困难。
高维数据不仅增加了计算和存储的复杂性，还可能导致过拟合等问题。
为了克服这些问题，降维技术成为了高维数据分析的重要手段。
1. 主成分分析（PCA）主成分分析是一种常用的降维技术，其基本思想是通过线性变换将原始数据映射到一组新的正交特征上。
这组新特征被称为主成分，主成分之间无相关性，并且按照方差从大到小排列。
主成分分析通过保留数据集中的主要信息，将高维数据映射到低维空间中，从而实现对数据的降维处理。
主成分分析在数据预处理、图像处理和模式识别等领域中广泛应用。
2. 线性判别分析（LDA）线性判别分析是一种具有监督性的降维技术，常用于模式分类和特征提取。
与主成分分析不同，线性判别分析考虑了类别信息。
它试图找到一个投影，使得同类样本的投影点尽可能接近，异类样本的投影点尽可能分开。
线性判别分析旨在提高分类的准确性和可分性。
3. 流形学习（Manifold Learning）流形学习是一种非线性的降维技术，特别适用于具有复杂非线性结构的高维数据。
流形学习的基本思想是将高维数据嵌入到一个低维流形空间中，并保持数据之间的局部关系。
常见的流形学习算法包括局部线性嵌入（LLE）、等距映射（Isomap）和拉普拉斯特征映射（LE）。
这些算法通过学习数据的流形结构，实现对高维数据的降维和可视化。
4. 随机投影（Random Projection）随机投影是一种简单而有效的降维技术，其基本原理是将高维数据映射到低维空间中的随机子空间。
随机投影在保留数据的几何结构的同时，具有较低的计算复杂度。
尽管随机投影在理论上可能会引入一定的失真，但实际应用中通常能够满足降维的要求。
5. 核主成分分析（Kernel PCA）核主成分分析是主成分分析在非线性空间中的扩展，通过引入核函数将数据映射到高维特征空间中，然后在高维空间中进行PCA分析。
机器学习中的数据降维技术
机器学习中的数据降维技术在大数据的背景下，机器学习已经成为了一种强大的工具来挖掘数据背后的有价值的信息。
其中，数据降维技术是机器学习中不可或缺的一部分。
数据降维技术的意思是把高维度的数据转换成低维度的数据，而不会对数据的重要性造成影响。
下面我们将探讨机器学习中的数据降维技术。
1. 为什么需要进行数据降维一般而言，机器学习和数据挖掘任务需要的数据是高维度的，在这种情况下，往往会遇到“维度灾难”的问题。
因为随着维度的增加，数据点之间相似度的计算会因为数量的爆炸而增加，会带来极大的计算难度和计算资源的需要。
同时，高维度的数据会导致过多的噪音、冗余以及不必要的维度，这会增加分类和回归等机器学习任务的难度。
2. 主成分分析（PCA）主成分分析（PCA）是一种广泛使用的数据降维技术，它将输入数据转换为其主成分。
PCA通过找到具有最大方差的单维度，来找到给定数据集中最重要的方向。
在PCA中，仅选择前k个主成分来表示转换后的特征子空间。
一个点与其他点具有许多关系，也可能存在几乎完全相关的变量。
这个过程会使机器学习模型过于复杂，导致过度拟合。
PCA的目的就是通过合理降维来提高模型准确性。
3. 线性判别分析（LDA）线性判别分析（LDA）也是广泛使用的数据降维技术之一。
它旨在找到根据给定标签区分实例的最佳特征子集。
该算法使得可分类实例的间距最大化，而将不同类别的实例划分开来。
LDA与PCA最大的区别就在于学习目标不同。
LDA是有监督的特征提取方法，目标是找到使得数据在带标签的数据集上分类效果最好的那个方向，因此它比PCA更适合做分类任务。
4. 流形学习流形学习是一种非线性降维技术。
它考虑了数据点之间的潜在关系和局部结构，通过将数据放置在低维流形空间来降低维度。
流形学习其实不是一个算法而是一类算法。
最流行的几个算法包括Isomap、局部线性嵌入（LLE）、层次塑形空间网络等。
这些算法都基于相似性假设，假设高维数据集具有固定的流形结构，并且低维嵌入中的距离可以捕捉这种相似性。
人工智能开发中的降维技术介绍
人工智能开发中的降维技术介绍随着人工智能的迅速发展，数据已经成为推动机器学习和深度学习的重要资源。
然而，随着数据集的增大，机器学习模型也变得愈发复杂，需要更多的计算资源和时间来处理。
降维技术应运而生，成为在处理大规模数据集时不可或缺的手段之一。
一、降维的定义和意义降维是将高维数据转化为低维数据的过程，目的是减少数据集中的冗余信息，同时保留主要的特征。
通过降维技术，可以减少计算开销，提高模型的训练速度，降低过拟合的风险，并且更好地理解数据集。
二、主成分分析（PCA）主成分分析是一种常用的降维技术，通过线性变换将原始数据投影到一个新的低维空间中。
PCA的思想是找到数据中的主要方差所对应的特征向量，将其作为新的坐标轴。
这样可以减少特征的数量，并保留了尽可能多的信息。
具体而言，PCA的过程如下：首先，将原始数据进行中心化，即将每个特征的平均值减去原始数据的平均值。
然后，计算协方差矩阵，找出其特征值和特征向量。
最后，选择特征值较大的特征向量作为新的坐标轴，并将原始数据投影到这些特征向量上。
三、线性判别分析（LDA）线性判别分析是一种有监督的降维技术，与PCA不同，LDA关注的是数据类别之间的分离度。
LDA通过最大化类别间的散度和最小化类别内的散度来选择合适的特征子空间。
具体来说，LDA的过程如下：首先，计算每个类别的均值向量和协方差矩阵。
然后，计算类间散度矩阵和类内散度矩阵，并计算它们的特征值和特征向量。
最后，选择特征值较大的特征向量作为新的坐标轴，并将原始数据投影到这些特征向量上。
相比于PCA，LDA更加关注数据类别之间的差异，因此在分类任务中具有更好的性能。
四、t-SNEt-SNE（t-Distributed Stochastic Neighbor Embedding）是一种非线性的降维技术，主要用于可视化高维数据。
t-SNE通过将数据映射到一个低维空间，使得原始数据中的高相似度样本在低维空间中距离更近，低相似度样本距离更远。
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8.1.3系统聚类法
（4）重心法 每一类的重心（又称质心）就是该类所有样品的 均值，类间距离用各自重心间的距离表示。 （5）类平均法 用两类样品两两之间平方距离的平均作为类之间 的距离。（SPSS 系统聚类默认的方法）
除以上 5 种类间距离计量方法外，常见的还有可 变法、可变类平均法及Ward法等方法，各种方法的计 算步骤完全相同，仅类与类之间的定义不同。
8.2.1判别分析概述
1、判别分析的基本思想
判别分析是根据已知分类的样本，基于一定的 判别准则建立判别函数，进而对未知类别的个体进 行类别划分的一种分类方法。其中用于建立判别函 数的样本称为训练样本。 判别分析中，每一类别可看作一个总体，每一 总体包含许多个体，个体又称为样品或个案。 描述个体类别属性的观测变量称为判别指标。 判别分析能否准确区分各类与判别指标是否较好地 描述了类别特征有关。 判别函数是关于各描述变量的函数表达式，变 量能否进入判别函数取决于变量的判别能力及具体 的判别方法。
8.1.1聚类分析的含义及原理
2、聚类分析的特点 （ 1 ）聚类分析属于探索性分类方法，通过分析数 据的内在特点和规律，根据个体或变量的相似性 对其进行分类。 （2）聚类分析适用于没有先验知识的分类。 （ 3 ）聚类分析得到的“类”并不存在一个明确的 概念，需要研究者结合研究目的和任务加以概括。 （4）聚类分析适合处理多个变量决定的分类。
' 1
S S ( x1i x1 j , x2i x2 j , , x pi x pj ) S2 p1
2 11 2 21
S S S S 2 2 Sp S 2 pp
2 12 2 22
2 1 1p 2 2p
x1i x1 j x2i x2 j x x pi pj
8.1.3系统聚类法
2、类与类之间的距离计量方法 （1）最短距离法 最短距离是将类与类之间的距离定义为两类中相 距最近的样品之间的距离 。 （2）最长距离法 最长距离法是将类与类之间的距离定义为两类中 相距最远的样品之间的距离。 （3）中间距离法 中间距离法对类与类之间的距离定义：先取距离 值居于中间的样品为一类，按中间距离法计算新类与 其他各类间的距离，依次进行下去。
8.1.1聚类分析的含义及原理
（2）根据分类的对象不同分：Q型聚类与R型聚类
• Q型聚类是对样品进行分类。一个样品有多个变量
属性描述，对于观测到的多个样品，根据样品的变 量特征，将特征相似的样品归为一类。
• R型聚类是对变量进行分类。反映研究对象特点的
变量有许多，有些变量之间存在相互关联，通过聚 类，可以找出相互独立又有代表性的主要变量，为 进行其他分析提供便利。
2、变量间相似性的度量 假 定 有 p 个 变 量 ， 对 其 进 行 了 n 次 观 测 。 用 rij （ |rij|≤1 ）表示 n 次观测中第 i 个变量和第 j 个变量之 间的相似系数。对所有变量两两间计算相似系数，同 样得到一个对称的相似系数矩阵R（p×p）：
r11 r12 r21 r22 R r p1 rp 2 r1 p r2 p rpp
8.1.1聚类分析的含义及原理
1、聚类分析的含义与基本原理 •含义：聚类分析（Cluster Analysis）又称群分析， 是根据“物以类聚”的道理，将大量的样品（或变 量）依据数据间的相似性归为不同类的一种数据分 类方法。 •原理：根据已知数据，通过计算测定各样品（或变 量）之间的相似程度，根据某种准则，将众多样品 （或变量）归为不同类的一种多元统计分析方法， 聚类的结果要使同一类样品（或变量）间的差别较 小，而类与类之间的差别较大。
8
(9.42 7.9) 2 (27.93 39.77) 2 (8.2 8.49) 2 ... (9.76 13.29) 2 13.81
第二步：由距离表D1可判断，河南（3）与甘肃（4）的 距离最近，先将二者合为一类G6={G3，G4},其余分类不 变，样品聚为4类。重新计算G6与其他3类的距离如表D2。
8.1.2 样品（或变量）间相似程度的度量
（2）Pearson相关系数
rij
(x
k 1 n k 1
n
ki
xi )(xkj x j )
2 n 2
( ( xki xi ) )( ( xkj x j ) )
k 1
如果变量经过 Z 得分标准化处理，则两变量间的 夹角余弦等于相关系数。相关系数在-1到1之间。
8.1.3系统聚类法
1、系统聚类方法的步骤 （1）将n个样品各作为一类，形成n类； （2）计算n个样品两两之间的距离，构成距离矩阵； （3）基于上一步的样品距离公式计算类与类之间的距 离。把距离最近的两类合并成一类，总类数减少1； （4）重复上一步，计算类与类之间的距离。把距离最 近的两类合并成一类，总类数减少1，直至只有一类； （5）画聚类图，解释类与类之间的距离。
第八章 数据分类与降维技术
配套教材:统计数据分析方法与技术 经济管理出版社2014
第八章 数据分类与降维技术
• 8.1聚类分析 • 8.2判别分析 • 8.3主成分分析 • 8.4因子分析
8.1聚类分析
• 8.1.1聚类分析的含义及原理 • 8.1.2样品或变量相似程度的度量 • 8.1.3系统聚类法 • 8.1.4聚类分析案例及SPSS实现
8.1.4 聚类分析案例及SPSS实现
8.1.4 聚类分析案例及SPSS实现
（4）输出结果
8.1.4 聚类分析案例及SPSS实现
（4）输出结果
（4）输出结果；冰柱图
（4）输出结果；树状图
8.2判别分析
• 8.2.1判别分析概述 • 8.2.2判别分析的方法 • 8.2.3判别分析案例及SPSS实现
（4）Minkowski距离
d ij ( xik x jk )
k 1 p r样品（或变量）间相似程度的度量
（5）Lance距离
d ij
k 1 p
xki xkj xki xkj
（6）Mahalanobis距离
d ij ( xi x j ) ( xi x j )
d71=d(3,4,5)1=max{d13,d14,d15}=13.81 d72=d(3,4,5)2=max{d23,d24,d25}=24.63
第四步：由距离表 D3 可判断， 辽宁(1) 和浙江(2) 合为 一类 G8={G1,G2} ，所有样聚为两类。重新计算 G8 与另一 类的距离如表D4。
2.04 13.29 2.75 14.87 1.55 9.76 1.82 11.35 1.96 10.81
7.68 50.37 11.35
青海 10.06 28.64 10.52 10.05 16.18
解：各样品为：G1={辽宁}，G2={浙江}，G3={河南}， G4={甘肃}，G5={青海}。 第一步：采用欧氏距离计算两两样品间的距离值， 得到如下距离表D1：
8.1.2 样品（或变量）间相似程度的度量
公式 （1）Euclidean距离 （2）Euclidean平方距离 （3）Chebychev距离 （4）Minkowski距离 （5）Lance距离 特点 • 适合于各变量计量单位相同并且变量 值变动范围相差不大的情况，否则，应 将变量进行标准化处理。 • 没有考虑变量之间的相关性，只能用 于变量之间相关性较低的情形。
此时，7与8最后合并为一类。 采用最长距离法得到的聚类结果与书中最短距离 法结果相同。 上述合并进程可用下图表示：
8.1.4 聚类分析案例及SPSS实现
上例用SPSS聚类工具实现过程如下： （1）输入数据； （2）调用聚类分析功能，进行聚类变量选取；
8.1.4 聚类分析案例及SPSS实现
（3）系统聚类设置：统计量、绘制（图）、方法
8.1.2 样品（或变量）间相似程度的度量
其中距离的计算公式主要有如下几种： （1）Euclidean距离
d ij
2 ( x x ) ik jk k 1 p
（2）Euclidean平方距离
d ij ( xik x jk ) 2
k 1 p
（3）Chebychev距离
dij max xik x jk
8.1.2 样品（或变量）间相似程度的度量
样品（或变量）之间的亲疏关系由相似性描述， 通常用距离描述样品间的相似性，用相似系数度量变 量间的相似性。 1、样品间距离的度量 假定有n个样品，每个样品有p个指标描述其性质， 形成 p 维向量， n 个样品就形成了 p 维空间中的 n 个点。 用dij（dij≥0）度量第i个样品与第j个样品的距离，由 此得到一个对称的距离矩阵D（n×n）：
相似系数rij 的常用计算方式有夹角余弦和相关系 数两种。
8.1.2 样品（或变量）间相似程度的度量
（1）夹角余弦
rij
x
k 1 n
n
ki n
xkj
1/ 2
2 2 ( xki )( xkj ) k 1 k 1
rij为变量xi的观测向量（x1i，x2i，…，xni）′和变 量 xj 的观测向量（ x1j ， x2j ， … ， xnj ） ′ 之间夹角的余弦 函数。
8.2.1判别分析概述
2、判别分析对数据的要求 （1）选取的观测变量（作为判别分析的自变量） 应该是与分类有关的重要尺度。即：同一变量在不 同类的表现值应有显著差异。 （2）所分析的自变量应是因变量（类型）的重要 影响因素。 （3）作为训练样本，样本的容量不能太小，通常 要求样本容量是自变量个数的10倍以上，每一类的 样本容量是自变量个数的3倍以上 3、判别分析的分类 （1）按判别的总体数分： 两总体判别分析和多总体判别分析
其中：