新课程2021高考数学一轮复习第八章平面解析几何第7讲抛物线课件
2025年高考数学一轮复习课件第八章平面解析几何-8.7抛物线
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【点拨】在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的
特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
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变式2（1） 设为坐标原点，直线 = 2与抛物线: 2 = 2 > 0 交于，两点.
若 ⊥ ，则的焦点坐标为(
A. 1,0
焦点
准线
叫做抛物线.点叫做抛物线的______，直线叫做抛物线的______.
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2.抛物线的标准方程和简单几何性质
简单几何性质
标准方程
2 = 2
>0
2 = −2
>0
图形
开口
向右
_____
向左
焦点
,0
_______
2
− ,0
2
准线
=
−
2
=
______
2
范围
对称轴
4 = 4 3,解得 =
3
.故所求抛物线的方程为 2
3
=
2 3
.故选A.
3
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（3）已知是抛物线 2 = 8的焦点，点 4,2 ，为抛物线上一点，点不在直线
上，则△ 的周长的最小值是(
A.4
B.6
)
C.6 + 2
√
2
D.6 + 2
解：抛物线 2 = 8的焦点 2,0 ，准线为 = −2.
故填3.
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考点一 抛物线的定义及标准方程
例1（1） 【多选题】经过点 4, −2 的抛物线的标准方程为(
A. 2 =
√
B. 2 = 8
C. 2 = −8
高考数学大一轮复习第八章解析几何第七节抛物线课件文
2．(2016·全国乙卷)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，
B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点．已知|AB|＝4 2，|DE|
＝2 5，则 C 的焦点到准线的距离为
()
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：设抛物线的方程为 y2＝2px(p>0)，圆的方程为 x2＋
y2＝r2．∵|AB|＝4 2，|DE|＝2 5，抛物线的准线方程为 x
()
A．12
B．1
C．32
解析：∵y2＝4x，∴F(1,0)．
D．2
又∵曲线 y＝kx(k＞0)与 C 交于点 P，PF⊥x 轴，∴P(1,2)．
将点 P(1,2)的坐标代入 y＝kx(k＞0)，得 k＝2．故选 D．
答案：D
2．焦点在直线 2x＋y＋2＝0 上的抛物线的标准方程为________． 答案：y2＝－4x 或 x2＝－8y
在直线 y＝2 上，所以直线 l 的斜率存在，
设直线 l 的斜率为 k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 M(x0，
y0)，由yy2122＝ ＝44xx12， ， 得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
所以 2y0k＝4．又 y0＝2，所以 k＝1，故直线 l 的方程是 y＝x－1．
离心率
e＝_1_
标准方程
y2＝2px y2＝－2px x2＝2py x2＝－2py
(p＞0) (p＞0)
(p>0)
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
准线方程 _x_＝_－__p2_
范围
x≥0， y∈R
开口方向 向右
焦半径 |PF|＝
(其中P(x0， y0))
高考数学大一轮复习第八章平面解析几何8.7抛物线课件文
抛物线的标准方程的求法 (1)定义法 根据抛物线的定义，确定 p 的值(系数 p 是指焦点到准线 的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四 种形式，要注意选择． (2)待定系数法 ①注意要对抛物线的四种形式的标准方程进行讨论，对于 焦点在 x 轴上的抛物线，为避免开口方向不确定而分为 y2＝ 2px(p>0)和 y2＝－2px(p>0)两种情况求解．
p ，0 2 p 0， 2
p x＝－2
p 0，－ 2
p － ，0 2
p x＝2
p y＝－2
p y＝2
x2 y2 【调研 2】 (1)(2012· 山东卷)已知双曲线 C1： a2－b2＝1(a>0， b>0)的离心率为 2，若抛物线 C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为( 8 3 A．x ＝ 3 y
第八章
平面解析几何
第七节 抛物线
考纲下载
1．掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程及简单几 何性质． 2．理解数形结合的思想． 3．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
请注意
1.抛物线的方程、几何性质或与抛物线相关的综合问题 是命题的热点． 2．题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较 强的解答题．
2
5 5 5 抛物线 x2＝2y 的焦点坐标为(0，8)，准线方程为 y＝－8. 5 5 5 抛物线 x ＝－2y 的焦点坐标为(0，－8)，准线方程为 y＝8.
2
突破考点 03
抛物线的几何性质
（高频考点型——多维探究）
标准 方程
突破考点01
突破考点02 突破考点03
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 87 抛物线课件 文
考点二 抛物线的标准方程 【例 2】 如图，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 点 A，B，交其准线于点 C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程 为( )
A．y2＝9x C．y2＝3x
B．y2＝6x D．y2＝ 3x
2021/12/13
第二十四页，共四十六页。
答案 y2＝16x 或 x2＝－8y
2021/12/13
第十七页，共四十六页。
微考点·大课堂
考点例析 对点微练
2021/12/13
第十八页，共四十六页。
考点一 抛物线的定义及应用
【例 1】 (1)已知抛物线 x2＝4y 上一点 A 纵坐标为 4，则点 A 到抛物线
焦点的距离为( )
A． 10
B．4
解析 由抛物线的方程可知 F(1,0)，准线方程为 x＝－1，设点 C(－1， t)，t>0，则圆 C 的方程为(x＋1)2＋(y－t)2＝1，因为∠FAC＝120°，CA⊥y 轴，所以∠OAF＝30°，在△AOF 中，OF＝1，所以 OA＝ 3，即 t＝ 3， 故圆 C 的方程为(x＋1)2＋(y－ 3)2＝1。
答案 (1)D
2021/12/13
第二十七页，共四十六页。
(2)已知双曲线 C1：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，若抛物线 C2：
x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程是
()
A．x2＝16y
B．x2＝8y
C．x2＝8
3
3 y
C．5
D． 15
解析 (1)抛物线 x2＝4y 的准线方程为 y＝－1，点 A 到准线的距离为 5， 根据抛物线定义可知点 A 到焦点的距离为 5。故选 C。
第7讲抛物线课件(共232张PPT)
-p2
结论2
AF
x1
p 2
p BF x2 2
AB x1 x2 p
结论3
12
探索与合作
探究1：若将此题中条件∠xFM=60°改为∠xFM= ，求|FM|和
|FN|？
y
M
θ
x
O
F
N
13
探索与合作
探究1：若将此题中条件∠xFM=60°改为∠xFM= ，求|FM|和|FN|？
探究2：利用上述方法，请探究哪些结论可以进一步扩充？
1 1 2 | AF | | BF | p
物线焦点弦中 必记的三个垂
直关系
S AOB
p2
2sin
AF p
1- cos
BF
p
1 cos
2p
AB sin 2
NA NB FP FQ
NF AB
反思与感悟
1、逻辑推理的能力养成需要静心、细心、耐心，在探索的过程中逐
步提高自己的数学素养，因此探索的过程比结论更重要。
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第八章 解析几何
真题再现 斜率为 3 的直线过抛物线C: y2 4x的焦点，且与C交于A,B
两点，则 |AB|=
11
母题溯源
已知抛物线C: y2 2px ,AB为过焦点F的一条弦，A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，
为AB的倾斜角，则
结论1
x1x 2
p2 4
，y1y2
解析几何
第七讲 抛物线
1 知识梳理·双基自测 2 考点突破·互动探究 3 名师讲坛·素养提升
高考一轮总复习 • 数学
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知识点一 抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内； (2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离__相__等____； (3)定点F与定直线l的关系为___点__F_∉_l___．
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.7 抛物线课件
焦点坐标为( B ) A.(－1,0)
B.(1,0)
C.(0，－1)
D.(0,1)
解析 由于抛物线 y2＝2px(p＞0)的准线方程为 x＝－p2，由题意得－p2＝－1，
p＝2，焦点坐标为1，0，故选 B.
1 2345
解析答案
A
解析 由抛物线的定义，可得|AF|＝x0＋14， ∵|AF|＝54x0，∴x0＋14＝54x0，∴x0＝1.
标 y2＝
－
x2＝
x2＝－
准 2px(p>0) 2px(p>0) 2py(p>0) 2py(p>0)
方 p的几何意义：焦点F到准线l的距离
答案
图形
顶点 对称轴
焦点
O(0,0)
y＝0
Fp2，0
F－p2，0
x＝0
F0，p2
F0，－p2
离心率
准线方 程 范围
开口方
x≥0， y∈R
e＝1
x≤0， y≥0， y≤0， y∈R x∈R x∈R
解析答案
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小 值为____4____. 解析 如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于 点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝ |BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4.
与抛物线的两个交点，求证：
①y1y2＝－p2，x1x2＝p42；
证明 由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0). 由题意可设直线方程为 x＝my＋p2， 代入y2＝2px，
得 y2＝2pmy＋2p，即 y2－2pmy－p2＝0.
(*)
则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.7 抛物线课
p＝2，焦点坐标为1，0，故选 B.
1 23 45
解析答案
A
解析 由抛物线的定义，可得|AF|＝x0＋14， ∵|AF|＝54x0，∴x0＋14＝54x0，∴x0＝1.
1 23 45
解析答案
3.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0). 若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于( B )
解析答案
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小 值为____4____. 解析 如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于 点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝ |BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4.
245＋16＝
89 2.
引申探究
思维升华
解析答案
跟踪训练1
(1)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A， B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝____8____ 解析 分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛 物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF|＋|BF|＝|AM|＋ |BN|＝2|PQ|＝8.
A.2 2
B.2 3
C.4
D.2 5
解析 设抛物线方程为 y2＝2px，则点 M(2，±2 p). ∵焦点p2，0，点 M 到该抛物线焦点的距离为 3， ∴2－p22＋4p＝9，解得 p＝2(负值舍去)， 故 M(2，±2 2).
∴|OM|＝ 4＋4×2＝2 3.
1 23 45
2
2 .
思维升华
解析答案
跟踪训练2
高考数学一轮复习第8章解析几何第7讲抛物线
第七讲 抛物线知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离__相等__； (3)定点F 与定直线l 的关系为__点F ∉l __． 知识点二 抛物线的标准方程与几何性质标准 方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 离心率 e ＝__1__ 准线 方程 __x ＝－p 2____x ＝p 2____y ＝－p 2____y ＝p 2__范围 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中P (x 0,y 0)) |PF |＝__x 0＋p2__|PF |＝__－x 0＋p2__|PF |＝__y 0＋p2__|PF |＝__－y 0＋p2__重要结论抛物线焦点弦的处理规律直线AB 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ,交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,如图．(1)y 1y 2＝－p 2,x 1x 2＝p 24． (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ,x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ,即当x 1＝x 2时,弦长最短为2p ． (3)1|AF |＋1|BF |＝2p． (4)弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．(5)以AB 为直径的圆与准线相切．(6)焦点F 对A ,B 在准线上射影的张角为90°． (7)A 、O 、D 三点共线；B 、O 、C 三点共线．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0,准线方程是x ＝－a4．( × ) (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形．( × ) (4)AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2＝p24,y 1y 2＝－p 2,弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ．( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a ．( √ )题组二 走进教材2．(必修2P 69例4)(2021·甘肃张掖诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1＋x 2＝6,则|PQ |等于( B )A ．9B ．8C ．7D ．6[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0),准线方程为x ＝－1．根据题意可得,|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8．3．(2021·河南郑州名校调研)抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( B ) A ．－1716B ．－1516C ．716D ．1516[解析] 由抛物线的方程y ＝－4x 2,可得标准方程为x 2＝－14y ,则焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，－116,准线方程为y ＝116,设M (x 0,y 0),则由抛物线的定义可得－y 0＋116＝1,解得y 0＝－1516．故选B ． 题组三 走向高考4．(2019·课标全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点,则p ＝( D ) A ．2 B ．3 C ．4D ．8[解析] ∵抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0, ∴椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0, ∴3p －p ＝p 24,∴p ＝8．故选D ．5．(2020·新课标Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则p ＝( C )A ．2B ．3C ．6D ．9[解析] A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,故有：9＋p2＝12⇒p ＝6；故选C ．考点突破·互动探究考点一 抛物线的定义及应用——多维探究 角度1 轨迹问题例1 (1)动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切,且和直线x ＝1相切,则动圆圆心的轨迹是( D ) A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线[解析] 设动圆的圆心为C ,则C 到定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1的圆心的距离等于r ＋1,而动圆的圆心到直线x ＝1的距离等于r ,所以动圆到直线x ＝2距离为r ＋1,即动圆圆心到定点(－2,0)和定直线x ＝2的距离相等,根据抛物线的定义知,动圆的圆心轨迹为抛物线,所以答案为D ．角度2 到焦点与到定点距离之和最小问题(2)①(2021·河北保定七校联考)已知M是抛物线x2＝4y上一点,F为其焦点,C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心,则|MF|＋|MC|的最小值为(B)A．2 B．3C．4 D．5②(2021·山西运城联考)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F,O为原点,点P是抛物线C的准线上的一动点,点A在抛物线C上,且|AF|＝4,则|P A|＋|PO|的最小值为(B)A．4 2 B．213C．313 D．4 6[解析]①设抛物线x2＝4y的准线方程为l：y＝－1,C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心,所以C的坐标为(－1,2),过M作l的垂线,垂足为E,根据抛物线的定义可知|MF|＝|ME|,所以问题求|MF|＋|MC|的最小值,就转化为求|ME|＋|MC|的最小值,由平面几何的知识可知,当C,M,E在一条直线上时,此时CE⊥l,|ME|＋|MC|有最小值,最小值为|CE|＝2－(－1)＝3,故选B．②由抛物线的定义知|AF|＝y A＋p2＝y A＋2＝4,∴y A＝2,代入x2＝8y,得x A＝±4,不妨取A(4,2),又O关于准线y＝－2的对称点为O′(0,－4),∴|P A|＋|PO|＝|P A|＋|PO′|≥|AO′|＝(－4－2)2＋(0－4)2＝213,当且仅当A、P、O′共线时取等号,故选B．[引申]本例(2)①中,(ⅰ)|MC|－|MF|的最大值为__2__；最小值为__－2__；(ⅱ)若N为⊙C上任一点,则|MF|＋|MN|的最小值为__2__．角度3到准线与到定点距离之和最小问题(3)已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0,抛物线y2＝8x的准线为l,设抛物线上任意一点P到直线l的距离为d,则d＋|PC|的最小值为(A)A．41 B．7C．6 D．9[解析]由题意得圆的方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝4,圆心C的坐标为(－3,－4)．由抛物线定义知,当d＋|PC |最小时为圆心与抛物线焦点间的距离,即d ＋|PC |＝(－3－2)2＋(－4)2＝41．角度4 到两定直线的距离之和最小问题(4)(2021·北京人大附中测试)点P 在曲线y 2＝4x 上,过P 分别作直线x ＝－1及y ＝x ＋3的垂线,垂足分别为G ,H ,则|PG |＋|PH |的最小值为( B )A ．322B ．2 2C ．322＋1D ．2＋2[解析] 由题可知x ＝－1是抛物线的准线,焦点F (1,0),由抛物线的性质可知|PG |＝|PF |,∴|PG |＋|PH |＝|PF |＋|PH |≤|FH |＝|1－0＋3|2＝22,当且仅当H 、P 、F 三点共线时取等号,∴|PG |＋|PH |的最小值为22．故选B ．名师点拨利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线． (2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3)看到准线想焦点,看到焦点想准线,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． 〔变式训练1〕(1)(角度1)到定点A (0,2)的距离比到定直线l ：y ＝－1大1的动点P 的轨迹方程为__x 2＝8y __． (2)(角度1)(2021·吉林省吉林市调研)已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ,点A (4,3),P 为抛物线上一点,且P 不在直线AF 上,则△P AF 周长取最小值时,线段PF 的长为( B )A ．1B ．134C ．5D ．214(3)(角度2)(2021·山西大学附中模拟)已知点Q (22,0)及抛物线y ＝x 24上一动点P (x ,y ),则y ＋|PQ |的最小值是__2__．(4)(角度3)(2021·上海虹口区二模)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1,抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( C )A ．3716B ．115C ．2D ．74[解析] (1)由题意知P 到A 的距离等于其到直线y ＝－2的距离,故P 的轨迹是以A 为焦点,直线y ＝－2为准线的抛物线,所以其方程为x 2＝8y ．(2)求△P AF 周长的最小值,即求|P A |＋|PF |的最小值,设点P 在准线上的射影为D ,根据抛物线的定义,可知|PF |＝|PD |,因此,|P A |＋|PF |的最小值,即|P A |＋|PD |的最小值．根据平面几何知识,可得当D ,P ,A 三点共线时|P A |＋|PD |最小,此时P (94,3),且|PF |＝94＋1＝134,故选B ．(3)抛物线y ＝x 24即x 2＝4y ,其焦点坐标为F (0,1),准线方程为y ＝－1．因为点Q 的坐标为(22,0),所以|FQ |＝(22)2＋12＝3．过点P 作准线的垂线PH ,交x 轴于点D ,如图所示．结合抛物线的定义,有y ＋|PQ |＝|PD |＋|PQ |＝|PH |＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|FQ |－1＝3－1＝2,即y ＋|PQ |的最小值是2．(4)直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线,抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0),则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于PF ,过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线,和抛物线的交点就是点P ,所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离,所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2,故选C ．考点二 抛物线的标准方程——自主练透例2 (1)过点P (－3,2)的抛物线的标准方程为__y 2＝－43x 或x 2＝92y __．(2)焦点在直线x －2y －4＝0上的抛物线的标准方程为__y 2＝16x 或x 2＝－8y __,准线方程为__x ＝－4或y ＝2__．(3)如图,过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ,B ,C ,若|BC |＝2|BF |,且|AF |＝3,则抛物线的方程为( B )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x[解析] (1)设所求抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)或x 2＝2py (p ＞0)． ∵过点(－3,2),∴4＝－2p ·(－3)或9＝2p ·2． ∴p ＝23或p ＝94．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y ．(2)令x ＝0,得y ＝－2,令y ＝0,得x ＝4． ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,－2)． 当焦点为(4,0)时,p2＝4,∴p ＝8,此时抛物线方程为y 2＝16x ； 当焦点为(0,－2)时,p2＝2,∴p ＝4,此时抛物线方程为x 2＝－8y ．∴所求的抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y , 对应的准线方程分别是x ＝－4,y ＝2．(3)如图,分别过点A ,B 作准线的垂线,分别交准线于点E ,D ,设|BF |＝a ,则由已知得|BC |＝2a ,由定义得|BD |＝a ,故∠BCD ＝30°． 在直角三角形ACE 中,∵|AE |＝|AF |＝3,|AC |＝3＋3a ,2|AE |＝|AC |, ∴3＋3a ＝6,从而得a ＝1．∵BD ∥FG ,∴|BD ||FG |＝|BC ||FC |,即1p ＝23,求得p ＝32,因此抛物线的方程为y 2＝3x ．名师点拨求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法,若焦点位置确定,因为未知数只有p ,所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量．一般焦点在x 轴上的抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)；焦点在y 轴上的抛物线的方程可设为x 2＝ay (a ≠0)．〔变式训练2〕(1)(2021·重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ,过点(p,0)且垂直于x 轴的直线与抛物线C 在第一象限内的交点为A ,若|AF |＝1,则抛物线C 的方程为( A )A ．y 2＝43xB ．y 2＝2xC ．y 2＝3xD ．y 2＝4x(2)(2021·安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,其上的点P (m ,－3)到焦点的距离为5,则抛物线方程为( D )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝－4yD ．x 2＝－8y[解析] (1)由题意知x A ＝p ,又|AF |＝x A ＋p 2＝3p 2＝1,∴p ＝23,∴抛物线C 的方程为y 2＝43x ,故选A ．(2)由题意可知抛物线的焦点在y 轴负半轴上,故设其方程为x 2＝－2py (p ＞0),所以3＋p2＝5,即p ＝4,所以所求抛物线方程为x 2＝－8y ,故选D ．考点三 抛物线的几何性质——师生共研例3 (1)(2021·广西四校联考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9,则该抛物线的焦点到准线的距离为( C )A ．4B ．9C ．10D ．18(2)(2021·四川眉山模拟)点F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点,过F 的直线交抛物线C 于A ,B 两点(点A 在第一象限),过A 、B 分别作抛物线C 的准线的垂线段,垂足分别为M 、N ,若|MF |＝4,|NF |＝3,则直线AB 的斜率为( D )A ．1B ．724C ．2D ．247[解析] (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0,准线方程为x ＝－p 2．由题意可得4＋p2＝9,解得p ＝10,所以该抛物线的焦点到准线的距离为10．故选C ．(2)由抛物线定义知|AM |＝|AF |,|BN |＝|BF |,∴∠AFM ＋∠BFM ＝360°－∠MAF －∠NBF2＝90°,∴∠MFN ＝90°, 又|MF |＝4,|NF |＝3, ∴|MN |＝5,∴p ＝|KF |＝|MF |·|NF ||MN |＝125, 又∠AFM ＝∠AMF ＝∠MFK ,∴k AB ＝tan(180°－2∠MFK )＝－2tan ∠MFK 1－tan 2∠MFK ＝－831－⎝⎛⎭⎫432＝247．故选D ．名师点拨在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．〔变式训练3〕(1)(2021·广东茂名五校联考)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1,0),过焦点的直线交抛物线于A 、B 两点,若|AF |＝4|BF |,则|AB |＝__254__．(2)(2021·湖北荆州模拟)从抛物线y 2＝4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M ,且|PM |＝9,设抛物线的焦点为F ,则直线PF 的斜率为( C )A ．627B ．1827C ．427D ．227[解析] (1)∵p2＝1,∴p ＝2,不妨设直线AB 方程为x ＝my ＋1, A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x ＝my ＋1,得y 2－4my －4＝0, ∴y 1y 2＝－4,又|AF |＝4|BF |,∴y 1＝－4y 2, ∴y 2＝－1,从而x 2＝14,∴|BF |＝1＋14＝54,∴|AB |＝5|BF |＝254．(2)设P (x 0,y 0),由抛物线y 2＝4x , 可知其焦点F 的坐标为(1,0), 故|PM |＝x 0＋1＝9,解得x 0＝8, 故P 点坐标为(8,42), 所以k PF ＝0－421－8＝427．故选C ．考点四 直线与抛物线的综合问题——师生共研例4 (1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 212－y 24＝1的一个焦点重合,直线y ＝x －4与抛物线交于A ,B 两点,则|AB |等于( B )A ．28B ．32C ．20D ．40(2)(2021·陕西师大附中期中)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点,则弦AB 所在直线的方程是( B )A ．y ＝x －1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－x ＋2D ．y ＝－2x ＋3(3)(2021·湖南五市十校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0),直线y ＝x －1与C 相交所得的长为8． ①求p 的值；②过原点O 的直线l 与抛物线C 交于M 点,与直线x ＝－1交于H 点,过点H 作y 轴的垂线交抛物线C 于N 点,求证：直线MN 过定点． [解析] (1)双曲线x 212－y 24＝1的焦点坐标为(±4,0),故抛物线的焦点F 的坐标为(4,0)．因此p ＝8,故抛物线方程为y 2＝16x ,易知直线y ＝x －4过抛物线的焦点．设A 、B 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝16x ，y ＝x －4，可得x 2－24x ＋16＝0,故x 1＋x 2＝24． 故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝24＋8＝32．故选B ．(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴y 1＋y 2＝2,由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2,知k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2, ∴AB 的方程为y －1＝2(x －1),即2x －y －1＝0,故选B ．(3)①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝x －1,消x 可得y 2－2py －2p ＝0,∴y 1＋y 2＝2p ,y 1y 2＝－2p ,∴弦长为1＋12·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2·4p 2＋8p ＝8,解得p ＝2或p ＝－4(舍去),∴p ＝2,②由①可得y 2＝ 4x ,设M ⎝⎛⎭⎫14y 20，y 0, ∴直线OM 的方程y ＝4y 0x , 当x ＝－1时,∴y H ＝－4y 0, 代入抛物线方程y 2＝4x ,可得x N ＝4y 20, ∴N ⎝⎛⎭⎫4y 20，－4y 0, ∴直线MN 的斜率k ＝y 0＋4y 0y 204－4y 20＝4y 0y 20－4, 直线MN 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4⎝⎛⎭⎫x －14y 20,整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1), 故直线MN 过点(1,0)．名师点拨(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要将两方程联立,消元,用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上),可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ,若不过焦点,则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率问题一般用“点差法”求解．〔变式训练4〕(1)(2021·甘肃诊断)直线l 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点,且交抛物线于A ,B 两点,交其准线于C 点,已知|AF |＝4,CB →＝3BF →,则p ＝( C )A ．2B ．43C ．83D ．4(2)(2021·安徽皖南八校模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到直线x －y ＋1＝0的距离为2． ①求抛物线C 的方程；②过点F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,交y 轴于点P ．若|AB →|＝3|BP →|,求直线l 的方程．[解析] (1)过A ,B 分别作准线的垂线交准线于E ,D 两点,设|BF |＝a ,根据抛物线的性质可知,|BD |＝a ,|AE |＝4,根据平行线段比例可知|BD ||AE |＝|CB ||AC |, 即a 4＝3a 3a ＋a ＋4,解得a ＝2, 又|BD ||GF |＝|BC ||CF |,即a p ＝3a 4a, 解得p ＝43a ＝83,故选C ．(2)①由抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0),可得焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0,因为焦点到x －y ＋1＝0的距离为2,即⎪⎪⎪⎪p 2＋12＝2,解得p ＝2,所以抛物线C 的方程y 2＝4x ．②由①知焦点F (1,0),设直线l ：y ＝k (x －1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ,整理得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0,所以x 1＋x 2＝2＋4k2, ① x 1x 2＝1,②又由|AB →|＝3|BP →|,得AB →＝3BP →,可得x 1＝4x 2,③ 由②③,可得x 1＝2,x 2＝12, 代入①,可得2＋4k 2＝52,解得k ＝±22, 所以直线l 的方程为22x － y －22＝0或22x ＋y －22＝0．名师讲坛·素养提升巧解抛物线的切线问题例5 (1)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线,则p ＝( D )A ．316B ．38C ．233D ．433(2)(2019·新课标Ⅲ,节选)已知曲线C ：y ＝x 22,D 为直线y ＝－12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A ,B ．证明：直线AB 过定点．[解析] (1)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2,双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为(2,0),两点连线的方程为y ＝－p 4(x －2),联立⎩⎨⎧ y ＝－p 4(x －2)，y ＝12p x 2，得2x 2＋p 2x －2p 2＝0．设点M 的横坐标为m ,易知在M 点处切线的斜率存在,则在点M 处切线的斜率为y ′⎪⎪⎪⎪x ＝m ＝⎝⎛⎭⎫12p x 2′x＝m ＝m p． 又双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0,其与切线平行,所以m p ＝33,即m ＝33p ,代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0,得p ＝433或p ＝0(舍去)． (2)设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12,A (x 1,y 1),则x 21＝2y 1,由于y ′＝x , ∴切线DA 的斜率为x 1,故y 1＋12x 1－t＝x 1, 整理得：2tx 1－2y 1＋1＝0．设B (x 2,y 2),同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0．故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0,即y －12＝tx ． ∴直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12．名师点拨利用导数工具解决抛物线的切线问题,使问题变得巧妙而简单,若用判别式解决抛物线的切线问题,计算量大,易出错．注意：直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件,过抛物线外一点与抛物线只有一个公共点的直线有0条或3条；过抛物线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有2条．〔变式训练5〕(1)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0),过点M ⎝⎛⎭⎫－p 2，0作C 的切线,则切线的斜率为__±1__． (2)已知抛物线x 2＝8y ,过点P (b,4)作该抛物线的切线P A ,PB ,切点为A ,B ,若直线AB 恒过定点,则该定点为( C )A ．(4,0)B ．(3,2)C ．(0,－4)D ．(4,1)[解析] (1)设斜率为k ,则切线为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋p 2代入y 2＝2px 中得k 2x 2＋p (k 2－2)x ＋k 2p 24＝0． Δ＝0,即p 2(k 2－2)2－4·k 2·k 2p 24＝0．解得k 2＝1,∴k ＝±1．(2)设A ,B 的坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),∵y ＝x 28,y ′＝x4,∴P A ,PB 的方程y －y 1＝x 14(x －x 1),y －y 2＝x 24(x －x 2),由y 1＝x 218,y 2＝x 228,可得y ＝x 14x －y 1,y ＝x 24x －y 2,∵切线P A ,PB 都过点P (b,4),∴4＝x 14×b －y 1,4＝x 24×b －y 2,故可知过A ,B 两点的直线方程为4＝b4x －y ,当x ＝0时,y ＝－4,∴直线AB 恒过定点(0,－4)．故选C ．。
高考数学一轮总复习第八章解析几何8.7抛物线课件理
A．y2＝－x
B．x2＝－8y
C．y2＝－8x 或 x2＝－y
D．y2＝－x 或 x2＝－8y
解析：设抛物线为 y2＝mx，代入点 P(－4，－2)，解得 m＝－1，则抛物线方程 为 y2＝－x；设抛物线为 x2＝ny，代入点 P(－4，－2)，解得 n＝－8，则抛物线方程 为 x2＝－8y.
答案：D
所以p2＋p4＝3，所以 p＝4. 【答案】 B
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1．求抛物线的标准方程的方法 (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有 p，所以只需一个条件 确定 p 值即可． (2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 2．确定及应用抛物线性质的技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化 成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的知识以图助解.
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[自 主 演 练]
1．设经过抛物线 C 的焦点的直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点，那么抛物线 C
的准线与以 AB 为直径的圆的位置关系为( )
A．相离
B．相切
C．相交但不经过圆心
D．相交且经过圆心
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解析：设圆心为 M，过点 A、B、M 作准线 l 的垂线，垂足分别为 A1、B1、M1， 则|MM1|＝12(|AA1|＋|BB1|)．由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，所以|AB|＝|BB1| ＋|AA1|，|MM1|＝12|AB|，即圆心 M 到准线的距离等于圆的半径，故以 AB 为直径的圆 与抛物线的准线相切．
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[自 主 演 练]
1．(2017 年全国卷Ⅰ)已知 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直
高考数学(理)总复习备考指导课件：第八章 平面解析几何 第7节 抛物线
· 明
基
考
础 于点 N，则|FM|∶|MN|＝( )
情
A．2∶ 5
B．1∶2
典 例
C．1∶ 5
D．1∶3
探
究
课
·
时
提
作
知
业
能
菜单
高三一轮总复习理科数学 ·（安徽专用）
自
高
主
考
落
【解析】 如图所示，由抛物线
体
实
验
·
固 定义知|MF|＝|MH|，所以|MF|∶|MN|
· 明
基
考
础 ＝ |MH| ∶ |MN|. 由 于 △ MHN ∽ △
高 考
落
体
实 ·
＋|PF|的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标．
验 ·
固
明
基 础
【解】 将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝2x，得 y＝± 6.
考 情
∵ 6>2，∴A 在抛物线内部(如图)．
典
例
探
究
课
·
时
提
作
知
业
能
菜单
高三一轮总复习理科数学 ·（安徽专用）
自 主 落
设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－12的距离为 d，由定义知
探
究 ·
B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2 可由根与系数的
课 时
提
作
知 关系整体求出．
业
能
菜单
高三一轮总复习理科数学 ·（安徽专用）
变式训练 1 (2014·北京东城模拟)已知抛物线 y2＝2x 的
自 主
焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，求|PA|