2018-2019学年湖南省湖南师范大学附属中学高二上学期期中考试数学(文)试题 解析版
湖南师大附中2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)(含答案)
湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试数学(理科)时量：120分钟 满分：150分得分：______________第Ⅰ卷 (必修5模块结业考试 满分100分)一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．不等式x 2－5x ＋6<0的解集是 A ．{x |－2<x <3} B ．{x |－3<x <2} C ．{x |2<x <3} D ．{x |－3<x <－2}2．在等差数列{a n }中，若a 5，a 7是方程x 2－2x －6＝0的两根，则{a n }的前11项的和为 A ．22 B ．－33 C ．－11 D ．113．在△ABC 中，c ＝3，A ＝75°，B ＝45°，则△ABC 的外接圆面积为 A.π4B ．πC ．2πD ．4π 4．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．35．若a ，b ，c ，d ∈R ，则下列说法正确的是A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若a >b ，则ac 2>bc 2C ．若a <b <0，则1a <1bD ．若a >b ，则a －c >b －c6．在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．已知数列{a n }满足：a 1＝－13，a 6＋a 8＝－2，且a n －1＝2a n －a n ＋1(n ≥2)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前13项和为A.113 B ．－113 C.111 D ．－111 答题卡二、填空题：本大题共38．在△ABC 中，已知三个内角为A ，B ，C 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4，则sin B ＝________． 9．将等差数列1，4，7，…，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵．根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是________．10．若x，y均为正数，且9x＋y＝xy，则x＋y的最小值是________．三、解答题：(本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 11．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B＝(2a－b)cos C.(1)求角C的大小；(2)若AB＝4，求△ABC的面积S的最大值，并判断当S最大时△ABC的形状．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？已知函数f(x)＝x2－ax(a∈R)．(1)解不等式f(x)≤1－a；(2)若x∈[1，＋∞)时，f(x)≥－x2－2恒成立，求a的取值范围．设数列{}a n 是等差数列，数列{}b n 是各项都为正数的等比数列，且a 1＝1，b 1＝2，a 3＋b 3＝11，a 5＋b 5＝37. (1)求数列{}a n ，{}b n 的通项公式；(2)设c n ＝a n ·b n ，数列{}c n 的前n 项和为T n ，求证：T n ≤n 2·2n －1＋2.第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)15．“a <－1”是“直线ax ＋y －3＝0的倾斜角大于π4”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[－1，0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)17．已知向量a ≠e ，|e |＝1t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则A ．a ⊥eB ．a ⊥(a －e )C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e ) 答题卡题号 15 16 17答案二、填空题(本大题共2小题，18．已知直线l 1：2x －y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点P 在抛物线C 上运动，当点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和最小时，直线PF 被抛物线所截得的线段长是________．19．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m 、n 所成角的正弦值为________．三、解答题(本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，g (x )＝1＋12sin 2x .(1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值．(2)若函数h (x )＝f (x )＋g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，m 上的最大值为2，求m 的最小值．21.(本题满分13分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以E 的四个顶点为顶点的四边形的面积为4 3.(1)求椭圆E 的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，P 是直线x ＝4上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于A ，B 的点M ，N ，试探究，点B 是否在以MN 为直径的圆内？证明你的结论．湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试数学(理科)参考答案第Ⅰ卷 (必修5模块结业考试 满分100分)一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 【解析】不等式x 2－5x ＋6<0的解集是(2，3)，故选C.2．D 【解析】等差数列{a n }中，若a 5，a 7是方程x 2－2x －6＝0的两根，则a 5＋a 7＝2，∴a 6＝12(a 5＋a 7)＝1，∴{a n }的前11项的和为S 11＝11×（a 1＋a 11）2＝11a 6＝11×1＝11.故选D.3．B 【解析】在△ABC 中，A ＝75°，B ＝45°，∴C ＝180°－A －B ＝60°.设△ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得2R ＝c sin C，解得R ＝1，故△ABC 的外接圆面积S ＝πR 2＝π，故选B.4．D 【解析】x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0的可行域如图(阴影部分)：z ＝x ＋y 即y ＝－x ＋z ，当直线过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的截距最大，z 的值最大．由⎩⎨⎧y ＝0，x ＋3y ＝3，解得A (3，0)，所以z ＝x ＋y 的最大值为3.故选D. 5．D6．A 【解析】在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°， 由AB 2＝BC 2＋AC 2－2AC ·BC cos C ，可得：13＝9＋AC 2＋3AC ，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A.7．B 【解析】a n －1＝2a n －a n ＋1(n ≥2)，可得a n ＋1－a n ＝a n －a n －1，可得数列{a n }为等差数列，设公差为d ，由a 1＝－13，a 6＋a 8＝－2，即为2a 1＋12d ＝－2， 解得d ＝2，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －15.1a n a n ＋1＝1（2n －15）（2n －13）＝12⎝⎛⎭⎫12n －15－12n －13，即有数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前13项和为12⎝⎛⎭⎫1－13－1－11＋1－11－1－9＋…＋111－113＝12×⎝⎛⎭⎫－113－113＝－113.故选B.二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分． 8.5716【解析】∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4，∴a ∶b ∶c ＝6∶5∶4， 不妨取a ＝6，b ＝5，c ＝4，则cos B ＝62＋42－522×6×4＝916，B ∈(0，π)．则sin B ＝1－cos 2B ＝5716.9．577 【解析】由题意可得等差数列的通项公式为a n ＝3n －2，由三角形数阵的特点可知第20行3列的数为第1＋2＋3＋4＋…＋19＋3＝193个数，a 193＝3×193－2＝577.10．16 【解析】根据题意，若9x ＋y ＝xy ，则有1x ＋9y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ·9xy＝16， 当且仅当y x ＝9xy时，等号成立，即x ＋y 的最小值是16，故答案为16.三、解答题：本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11．【解析】(1)∵c cos B ＝(2a －b )cos C ，∴由正弦定理可知，sin C cos B ＝2sin A cos C －sin B cos C ，2分 sin C cos B ＋sin B cos C ＝2sin A cos C ，sin(C ＋B )＝2sin A cos C . ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin A ＝2sin A cos C ．4分 ∵sin A ≠0，∴cos C ＝12.∵0<C <π，∴C ＝π3.6分(2)由题知，c ＝4，C ＝π3，∴S △ABC ＝34ab .7分∵由余弦定理可知：a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ，8分a 2＋b 2＝16＋ab ≥2ab ，10分∴ab ≤16.当且仅当“a ＝b ”时等号成立，11分∴S △ABC 最大值是43，此时三角形为等边三角形.12分 12．【解析】设分别向甲、乙两组项目投资x 万元，y 万元，利润为z 万元，由题意知⎩⎨⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，3分目标函数z ＝x ＋0.5y ， 作出可行域6分作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M ，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离 最大，这里M 是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝6，10分此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)，∴x ＝4，y ＝6时，z 最大．答：投资人投资甲项目4万元，乙项目6万元，获得利润最大.12分 13．【解析】(1)由f (x )≤1－a 可得x 2－ax ＋a －1≤0， 即(x －1)[x －(a －1)]≤0，3分当a >2时，不等式解集为[1，a －1]；4分 当a ＝2时，不等式解集为{1}；5分 当a <2时，不等式解集为[a －1，1].6分(2)f (x )≥－x 2－2即a ≤2⎝⎛⎭⎫x ＋1x 对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，8分 令h (x )＝2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，等价于a ≤h (x )min 对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，10分 又h (x )＝2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥4x ·1x ＝4，当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立， ∴a ≤4，∴a 的取值范围为(－∞，4].13分14．【解析】(1)设数列{}a n 的公差为d ，数列{}b n 的公比为q ，依题意有⎩⎨⎧2d ＋2q 2＝10，4d ＋2q 4＝36，2分解得⎩⎨⎧d ＝1，q 2＝4，又b n >0，∴q ＝2，4分于是a n ＝a 1＋()n －1d ＝n ，b n ＝b 1q n －1＝2n .6分(2)易知c n ＝n ·2n ，∴T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋()n －1·2n ＋n ·2n ＋1，8分两式相减，得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝()1－n ·2n ＋1－2，∴T n ＝()n －1·2n ＋1＋2，11分∵T n －()n 2·2n －1＋2＝－2n －1·()n －22≤0，∴T n ≤n 2·2n －1＋2.13分第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)15．A 【解析】设直线ax ＋y －3＝0的倾斜角为θ，则tan θ＝－a .①由a <－1得tan θ>1，可知倾斜角为θ大于π4；②由倾斜角为θ大于π4得－a >1或－a <0，即a <－1或a >0.由①②可知“a <－1”是“直线ax ＋y －3＝0的倾斜角大于π4”的充分而不必要条件，选A. 16．C 【解析】∵g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即y ＝f (x )与y ＝－x －a 有两个交点，f (x )的图象如下图所示：要使得y ＝－x －a 与f (x )有两个交点，则有－a ≤1即a ≥－1，∴选C.17．C 【解析】由|a －t e |≥|a －e |得|a －t e |2≥|a －e |2展开并整理得t 2－2a ·e t ＋2a ·e －1≥0，由t ∈R ，得Δ＝(－2a ·e )2＋4－8a ·e ≤0，即(a ·e －1)2≤0，所以a ·e ＝1，从而e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )，选C.二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)18．20 【解析】直线l 2为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1，0)的距离．点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和最小即转化为点P 到点F (1，0)和直线l 1的距离之和最小，当点P 到点F (1，0)和直线l 1的距离之和最小时，直线PF ⊥l 1，从而直线PF 方程为y ＝－12(x －1)，代入C 方程得x 2－18x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝18，从而所求线段长为x 1＋x 2＋p ＝18＋2＝20. 19.32【解析】由题设条件可知，m ∥BD ，n ∥A 1B ，因此直线m 、n 所成的角即直线BD 与A 1B 所成的角，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，△A 1BD 是正三角形，BD 与A 1B 所成的角是60°，其正弦值为32. 三、解答题(本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)20．【解析】(1)由题设知f (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.1分 因为x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，所以2x 0＋π6＝k π， 即2x 0＝k π－π6(k ∈Z ).3分 所以g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫k π－π6.4分 当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝1－14＝34，5分 当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝54.6分 (2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋12sin 2x＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin 2x ＋32＝12⎝⎛⎭⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＋32＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32.9分 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，m ，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，2m ＋π3. 要使得h (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，m 上的最大值为2，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤－π4，m 上的最大值为1. 所以2m ＋π3≥π2，11分 即m ≥π12.所以m 的最小值为π12.12分 21．【解析】(1)依题意得c a ＝12，12·2a ·2b ＝43，又a 2＝b 2＋c 2，由此解得a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.4分(2)点B 在以MN 为直径的圆内．证明如下：方法1：由(1)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 0，y 0)．∵M 点在椭圆上，∴y 20＝34(4－x 20)． ① 又点M 异于顶点A 、B ，∴－2<x 0<2.由P 、A 、M 三点共线可以得P ⎝⎛⎭⎫4，6y 0x 0＋2.7分 从而BM →＝(x 0－2，y 0)，BP →＝⎝⎛⎭⎫2，6y 0x 0＋2.8分 ∴BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 20x 0＋2＝2x 0＋2(x 20－4＋3y 20)． ②10分 将①代入②，化简得BM →·BP →＝52(2－x 0).11分 ∵2－x 0>0，∴BM →·BP →>0，于是∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角，故点B 在以MN 为直径的圆内.13分方法2：由(1)得A (－2，0)，B (2，0)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则－2<x 1<2，－2<x 2<2，又MN 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差||BQ 2－14||MN 2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22－22＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222－14[]（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ③6分直线AP 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BP 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，而两直线AP 与BP 的交点P 在直线x ＝4上， ∴6y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2，即y 2＝3（x 2－2）y 1x 1＋2④8分 又点M 在椭圆上，则x 214＋y 213＝1，即y 21＝34(4－x 21) ⑤9分 于是将④、⑤代入③，化简后可得||BQ 2－14||MN 2＝54(2－x 1)(x 2－2)<0.12分 从而点B 在以MN 为直径的圆内.13分。
2019-2020学年湖南师大附中高二上学期期中考试数学答案
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湖南师大附中2024年高二11月期中考试数学试题+答案
湖南师大附中2024-2025学年度高二第一学期期中考试数学时量：120分钟 满分：150分得分：__________一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知双曲线22:14y x C m−=的一条渐近线方程为2y x =，则m =（ ）A.1B.2C.8D.162.已知直线()12:210,:110l mx yl x m y −+=−−−=，则“2m =”是“1l ∥2l ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.记等差数列{}n a 的前n 项和为3712,6,17n S a a a +==，则16S =（ ） A.120 B.140 C.160 D.1804.已知数列{}n a 的通项()368,4,,5,n n t n n a t n − −+=若{}n a 是递增数列，则实数t 的取值范围是（ ）A.()1,6B.()4,6C. D.[)4,6 5.已知直线:10l x y −+=，从点()2,3A −射出的光线经直线l 反射后经过点()2,4B ，则光线从A 到B 的路程为（ ）A.2B.3C.5D.66.已知两圆222212:(4)169,:(4)9C x y C x y −+=++=，动圆M 在圆1C 内部且和圆1C 内切，和圆2C 外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）A.2216448x y −= B.2214864x y += C.2214864x y −= D.2216448x y += 7.设直线20x ay ++=与圆22:(2)16C x y +−=相交于,A B 两点，且ABC 的面积为8，则a =（ ）A. B.1−8.设12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左､右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若1PF =C 的离心率为（ ）D.3二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.数列0,1,0,1,0,1,0,1,−− 的一个通项公式是（ ）A.()1πsin2n n a −= B.πcos2nn a= C.()1πcos2n n a += D.()2πcos2nn a+=10.（作业43T 12）已知抛物线()220y px p =>上三点()()()1122,,1,2,,,A x y B C x y F 为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ） A.抛物线的准线方程为1x =−B.若0FA FB FC ++=，则2FBFA FC =+ C.若,,A F C 三点共线，则121y y =−D.若6AC =，则AC 的中点到y 轴距离的最小值为2 11.曲线23Γ:23y y x mx −=+−，下列结论正确的是（ ） A.曲线Γ关于原点对称 B.曲线Γ关于直线1y =对称C.当0m =时，曲线Γ上点的横坐标的取值范围为)∞+D.若曲线Γ在第一象限内存在位于直线1x =左侧的点，则1m >三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆()222:1016x y C b b+=>的左､右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，若12AF AF ⊥，则C 的短轴长为__________.13.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*12n n n a a S n +=∈N ，则2024a=__________.14.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b −=>>，其左，右焦点分别为12(F F ，点P 是双曲线右支上的一点，点I 为12PF F 的内心（内切圆的圆心），123PI mPF mPF =+，若1260F PF ∠= ，则12PF F 的内切圆的半径为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知圆C 过点()5,1A −−和()2,0B ，且圆心C 在直线1x y +−=0上. （1）求圆C 的标准方程；（2）经过点()3,4的直线l 与圆C 相切，求l 的方程. 16.（本小题满分15分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且2122353227,81a a a a a +==. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设313232log log log ,n nn n na b b a a a c n=+++= ，求数列{}n c 的前n 项和n T . 17.（本小题满分15分）如图，已知四棱锥P ABCD −⊥平面,90,ABCD ABC AB ∠= ∥,CD PCD 是边长为2的正三角形，点A 在平面PCD 内的投影恰好是PCD 的中心G .（1）求证：平面PAB ⊥平面PBC ； （2）求直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值. 18.（本小题满分17分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，点31,2 在椭圆上，12,F F 分别为E 的左，右焦点，抛物线C 的顶点在原点，焦点与E 的右焦点重合. （1）求椭圆E 与抛物线C 的标准方程；（2）过焦点2F 的直线l 交椭圆E 于点,M N ，交抛物线C 于点,A B ，P 为过点1F 且垂直于x 轴的直线上异于1F 的一点. （i ）若73AB MN =，求直线l 的方程； （ii ）设2,,PA PB PF 的斜率分别为123,,K K K ，求123K K K +的值. 19.（本小题满分17分） 已知集合{}()*1212,,,0,n n Sa a a a a a n <<<∈N ，若对于任意,,x y S x y ∈+与x y −至少有一个属于S ，则称S 为开心集.（1）分别判断集合{}1,2,3A =与集合{}0,1,2B =是否为开心集，并说明理由； （2）当3n =时，若4S ∈，求开心集S ； （3）若集合{}()122024122024,,,0Sa a a a a a <<< 为开心集，且S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍，求20242a a 的最小值.湖南师大附中2024-2025学年度高二第一学期期中考试数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 78 答案ACCBCDCA1.A 【解析】依题意，得0m >，令2204y x y x m −=⇒，即C 的渐近线方程为y x =，21m =⇒=.故选A.2.C 【解析】由直线1l 与直线2l 平行得()()112m m −−=×−，得2m =或1m =−，经验证，当1m =−时，直线1l 与2l 重合，舍去，所以“2m =”是“1l ∥2l ”的充要条件.故选C.3.C 【解析】因为37526a a a +，所以53a =，所以51231720a a +=+=，所以()()116165121681602a a S a a +×==+=，故选C.4.B 【解析】由已知得()261,468,t t t t −>> −+<解得46t <<.5.C 【解析】设点()2,3A −关于直线l 的对称点为(),A m n ′，则有2310,2231,2m n n m −+ −+= − =− +解得2,1,m n ==− ，因为光线从A 到B 的路程即A B ′的长，而5A B ′=.所以光线从A 到B 的路程为5. 6.D 【解析】设圆M 的半径为r ，则()()1212133168MC MC r r C C +=−++=>=，所以M 的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，且216,28a c ==，所以8,4,a c b ====M 的轨迹方程为2216448x y +=.7.C 【解析】由三角形的面积公式可得214sin 82ABC S ACB ∠=×= ，得sin 1ACB ∠=，由0πACB ∠<<，得π2ACB ∠=， 所以ABC 为等腰直角三角形，所以圆心()0,2C 到直线20x ay ++=的距离为π4sin 4d =，由点到直线的距离公式得d1a =.故选C. 8.A 【解析】法1：如图，过点1F 作OP 的反向延长线的垂线，垂足为P ′，连接2P F ′，由题意可知，四边形12PF P F ′为平行四边形，且2PP F ′ 是直角三角形.由渐近线的性质知22,F P b F O c ==，所以,2OP a PP a ′==，又12PF F P =′，所以2F P b =，所以c ==，所以cea==.故选A.法2：易知在2Rt OPF中，F c，所以2,cos bOP a PF O c∠==，又因为1PF =1PF =.在12PF F 中，由余弦定理得2221212212212cos PF PF F F PF F F PF F ∠=+−，即22222642243b a b c b c c b c=+−⋅⋅=−，因为222b c a =−，所以223a c =c =，所以ce a==，因此C.故选A.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号 9 10 11 答案ADABDBCD9.AD 【解析】根据正弦函数，余弦函数的性质可知A ，D 可以作为数列0,1,0,1,0,1,0,1,−− 的一个通项公式，()1ππcos ,cos22n n +不符合，πcos 2n 表示()1π0,1,0,1,0,1,,cos 2n +−− 表示1,0,1,0,− ，故选AD.10.ABD 【解析】把点()1,2B 代入抛物线22y px =，得2p =，所以抛物线的准线方程为1x =−，故A 正确；因为()()()()1122,,1,2,,,1,0A x y B C x y F ，所以()()()11221,,0,2,1,FA x y FB FC x y =−==− ，又由0FA FB FC ++=，得122x x +=，所以121142FA FC x x FB +=+++==，故B 正确；因为,,A F C 三点共线，所以线段AC 是焦点弦，所以2124y y p =−=−，故C 不正确；设AC 的中点为()00,M x y ，因为120,1122AF CF AC AF CF x x x ++++++ ，所以0226x + ，得02x ，即AC 的中点到y 轴距离的最小值为2，故D 正确.11.BCD 【解析】对选项A ：设曲线上有一点()00,P x y ，则23000023y y x mx −=+−①，而点()00,P x y 关于原点对称的点为(00,P x y −−′，若曲线关于原点对称，则P ′也应在曲线上，则有()()()()23000023y y x m x −−−=−+−−②；联立①②，得203y =−，此时0y 无解，故A 错误；对选项B ：设曲线上有一点()00,P x y ，则23000023y y x mx −=+−③，而点()00,P x y 关于1y =对称的点为()00,2P x y −′，若曲线关于1y =对称，则P ′也应在曲线上，则有()()2300002223y y x mx −−−=+−④；联立③④，得()()2200002222y y y y −=−−−，即22000022y y y y −=−，该式恒成立，则P 和P ′是在曲线上且关于1y =对称的点，即1y =是该曲线的对称轴，故B 正确；对选项C ：由原方程得23(1)20y x −=− ，解得x ，所以C 正确；对选项D ：由原方程得23(1)2y x mx −=+−，由题意知，当01x <<时有点(),x y 在曲线上，因为23(1)20y x mx −=+− ，所以320x mx +− 在()0,1上有解，即22m x x− 在()0,1上有解，又因为函数()22f x x x =−在()0,1上单调递减，所以22111m >−=，所以D 正确.故选BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 【解析】设122F F c =，易知124AF AF a ===，结合12AF AF ⊥，可知12AF F 为等腰直角三角形，所以122F F c =，故c =所以b =，所以C的短轴长为2b =.故答案为13.2024 【解析】由于数列{}n a 的各项均为正数，即0n a >，当1n =时，1122S a a =，即11222,2a a a a =∴=，当2n 时，由12n n n S a a +=，可得112n n n S a a −−=，两式相减得()112n n n n a a a a +−=−，又{}1120,2,n n n n a a a a +−≠∴−=∴ 为一个以2为首项，2为公差的等差数列，20242024a ∴=.【解析】由12PI xPF yPF =+ ，结合点I 是12PF F 的内切圆的圆心可知12xPF yPF = ，又有3y x =123PF PF =，再结合双曲线的定义可得123,PF a PF a == ，再根据1260F PF ∠=，由余弦定理可得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF ∠=+−，即2222893a a a +−，解得2a =，则()121212121211sin 22F PF S PF PF F PF PF PF F F r ∠==++ 内，可得内切圆的半径r =内.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）设圆C 的方程为()222()()0x a y b rr −+−=>，根据题意，可得222222(5)(1),(2)(0),10,a b r a b r a b −−+−−= −+−=+−=解得2,3,5a b r =−==，所以圆C 的方程为22(2)(3)25x y ++−=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，易知直线l 与圆C 相切； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()34y k x =−+，5，解得125k =−， 则直线l 的方程为()12345y x =−−+，即125560x y +−=. 故直线l 的方程为3x =或125560x y +−=. 16.【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得112226113227,81,a a q a q a q += =因为0q >，所以13,3,a q == 所以*3,n n a n =∈N . （2）因为3log n a n =，所以()313231log log log 122n n n n b a a a n +=+++=+++=，()13n nc n =+，所以()12233313nn T n =×+×+++ ，()2313233313n n T n +=×+×+++ ，两式相减得，()()()1231113932126333136133222n nn n n n n T n n ++++−+−=++++−+=+−+=− ，故()1*2133,4n nn T n ++−∈N .17.【解析】（1）PA ⊥ 平面,ABCD BC ⊂平面,ABCD PA BC ∴⊥，90,,,ABC BC AB PA AB A PA ∠=∴⊥∩=⊂ 平面,PAB AB ⊂平面,PAB BC ∴⊥平面PAB ，又BC ⊂ 平面,PBC ∴平面PAB ⊥平面PBC .（2）如图，连接,,,PG CG AC 点A 在平面PCD 内的投影恰好是PCD 的中心G ， 又PCD 是边长为2的正三角形，∴三棱锥A PCD −为正三棱锥，Rt PAC ∴为等腰直角三角形，AP AC AD ∴===，∴取CD 的中点E ，连接AE ，则AE CD ⊥，90,ABC AB ∠= ∥,2,CD CD AB AE =∴⊥， ∴四边形ABCE 是矩形，1AB CE ∴==，又1AC AB CB =∴== ，PA ⊥ 平面,,ABCD PA AB PA AE ∴⊥⊥，,,AB AE AP ∴两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0A B C E D −，(2,0,3P G ∴ ，设平面PBC 的法向量为()000,,m x y z =，000000,1,0,m BC y z x m BP x ⋅== ∴ ⋅=−=令则 ∴平面PBC的法向量为)m =.又11,3DG =− ，设直线DG 与平面PBC 所成角为θ，则sin cos ,m DG m DG m DG θ⋅=<>==⋅ . 故直线DG 与平面PBC. 18.【解析】（1）根据题意可知，22222191,41,2,a b c a c a b += = =−解得2,1,a c b = = = ∴概圆E 的方程为22143x y +=. ()21,0,F ∴∴抛物线C 的方程为24y x =.（2）（i ）设AB 的方程为1xty =+， 联立21,4,x ty y x =+ = 化简得2440y ty −−=，显然Δ0>， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4y y t y y +=⋅=−，所以()2241AB y t =−=+， 联立221,1,43x ty x y =+ += 化简得()2234690t y ty ++−=，显然Δ0>， 设()()3344,,,M x y N x y ，则34342269,3434t y y y y t t +=−⋅=−++，所以()242121.34t MN y t +=−=+ 因为73AB MN =，所以()()222121741334t t t ++=×+，即2347t +=，即1t =±， 所以直线l 的方程为10x y −−=或10x y +−=. （ii ）设()()1,0P m m −≠，则1212312,,112y m y m m K K K x x −−===++−， ()()()()()()122112121212111111y m x y m x y m y m K K x x x x −++−+−−∴+=+=++++ ()()()()()()()()()122112122121212222242224y m ty y m ty ty y mt y y mty ty t y y t y y −++−++−+−=+++++ ()()()222241824448441m t t mt t m m t t t −+−+−⋅−===−−+++，12322K K m m K +−∴==−. 19.【解析】（1）对于集合A ，因为336,330A A +=∉−=∉，故{}1,2,3A =不是开心集. 对于集合B ，因为011,02,211,000,112,220B B B B B B +=∈+=∈−=∈+=∈+=∈−=∈， 故集合{}0,1,2B =是开心集.（2）当3n =时，{}()123123,,0S a a a a a a << ，因为33a a S +∉，由题意得0S ∈，故10a =，①若24a =，由于34a S +∉，故3344a a S −=−∈，故344a −=，即38a =，此时{}0,4,8S =符合题意.②若34a =，由于24a S +∉，故2244a a S −=−∈，故224a a −=，即22a =，此时{}0,2,4S =符合题意.综上，{}0,2,4S =或{}0,4,8.（3）由题意，0S ∈，若S 中存在元素m ，使得S 中所有元素均为m 的整数倍， 则必有2a m =，故{}320240,,,,S m a a = ，分别考虑2024a 和其他任意元素()2,3,,2023i a i = ，由题意可得2024i a a −也在S 中，而20242023202420222024220240a a a a a a a <−<−<<−< ，故()2024202522023i i a a a i −−=，特别地，101210132024a a a +=， 下考虑对于21012i j < ，因为202520251013i j −>− ，所以202520252024i j a a a −−+>， 故()()202520252025202520242024i j i j i j j i a a a a a a a a a a S −−−−−=−=−−−=−∈， 特别地，32a a S −∈，故322a a a −=，即32a m =， 由42a a S −∈，且2424a a a a <−<，故423a a a −=，即43a m =， 以此类推，()()12,3,,1012i a i m i =−=. 又因为()10121013202420242025,22023i i a a a a a a i −+=−= ， 所以()()202420241013,,2023i a a i m i =−−= ， 又因为10121013a a <，即202410111011m a m <−，所以2024220222022a m a >=， 即202422022a a >，故202422023a a . 当202422023a a =时，{}0,,2,,1011,1012,,2023S m m m m m = 满足条件. 综上，20242a a 的最小值为2023.。
湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
湖南师大附中2018-2019学年度高二第二学期期中考试数学（理科）第Ⅰ卷（满分100分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合补集的定义，求出A的补集即可．【详解】∵全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，A＝{﹣1，0，2，4}，∴∁U A＝{1，3}．故选：C．【点睛】本题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则方程的根落在区间（）A. B.C. D. 不能确定【答案】B【解析】∵，∴该方程的根所在的区间为。
选B3.如果直线与直线互相平行，那么的值等于（）A. -2B.C. -D. 2【答案】D【解析】【分析】根据它们的斜率相等，可得1，解方程求a的值．【详解】∵直线ax+2y+1＝0与直线x+y﹣2＝0互相平行，∴它们的斜率相等，∴ 1 ∴a＝2 故选D．【点睛】本题考查两直线平行的性质，熟知两直线平行则斜率相等是解题的关键，属于基础题．4.设的内角，，所对边分别为，，若，，，则（）A. B. C. 或 D.【答案】A【解析】由正弦定理得，所以或，又因为，所以应舍去，应选答案A。
!5.如图的程序运行后输出的结果为（）A. -17B. 22C. 25D. 28【答案】B【解析】【分析】根据流程图，先进行判定是否满足条件x＜0？，满足条件则执行x＝y﹣3，不满足条件即执行y ＝y+3，最后输出x﹣y即可．【详解】程序第三行运行情况如下：∵x＝5，不满足x＜0，则运行y＝﹣20+3＝-17最后x＝5，y＝-17，输出x﹣y＝22．故选：B．【点睛】本题主要考查了伪代码，条件结构，模拟程序的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题．6.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是（）A. 异面B. 相交C. 平行D. 平行或重合【答案】C【解析】【分析】由题意设α∩β＝l，a∥α，a∥β，然后过直线a作与α、β都相交的平面γ，利用平面与平面平行的性质进行求解．【详解】设α∩β＝l，a∥α，a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ＝b，β∩γ＝c，则a∥b且a∥c，由线面平行的性质定理可得b∥c．又∵b⊂α，c⊄α，∴c∥α．又∵c⊂β，α∩β＝l，∴c∥l．∴a∥l．故选：C．【点睛】本题考查平面与平面平行的性质、线面平行的判定定理及性质定理的应用，解题的关键是熟练运用定理，属于基础题．7.在中，已知，，则的值为（）A. B. C. 或 D.【答案】A【解析】【分析】运用同角的三角函数的基本关系式，求得的值，再利用诱导公式和两角和的余弦公式，即可求解．【详解】在中，，所以，又由，故选A．【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式的化简求值，同时考查同角三角函数的基本关系式和诱导公式的应用，其中解答熟记三角函数的基本公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8.要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）A. 5，10，15，20，25，30B. 3，13，23，33，43，53C. 1，2，3，4，5，6D. 2，4，8，16，32，48【答案】B【解析】试题分析：系统抽样，要从60个个体中抽取容量为6的样本，确定分段间隔为，第一段1-10号中随机抽取一个个体，然后编号依次加10得到其余个体，构成样本考点：系统抽样点评：系统抽样的特点：被抽取的各个个体间隔相同，都为109.取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于的概率是（）A. B. C. D. 不确定【答案】A【解析】【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，分析题意从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．【详解】记“两段的长都不小于2m”为事件A，将长度为5m的绳子依次分成2m、1m、2m的三段，若符合剪得两段的长都不小于2m，，则只能在中间1m的绳子上剪断，所以事件A发生的概率．故选：A．【点睛】本题主要考查概率中的几何概型长度类型，关键是找出两段的长都不小于2m的界点来．10.已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据关于x的方程有实根，可知方程的判别式大于等于0，找出，计算出cosθ，可得答案．【详解】，且关于x的方程有实根，则，设向量的夹角为θ，cosθ，∴θ∈，故选：B．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的逆应用，即求角的问题．，涉及二次方程根的问题，属于基础题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.已知，，且，则的最大值是__________．【答案】4【解析】【分析】由基本不等式可得mn4，注意等号成立的条件即可．【详解】∵m＞0，n＞0，且m+n＝4，∴由基本不等式可得mn4，当且仅当m＝n＝2时，取等号，故答案为：4【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．12.已知函数，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】先求出f（）2，从而f（f（））＝f（﹣2），由此能求出结果．【详解】∵函数f（x），∴f（）2，f（f（））＝f（﹣2）＝2﹣2．故答案为．【点睛】本题考查分段函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数解析式的合理运用．13.等差数列中，，，则数列的公差为__________．【答案】6【解析】【分析】根据题意和等差数列的性质、通项公式直接求出公差d．【详解】因为等差数列{a n}中，a3＝3，a8＝33，所以公差d6，故答案为：6．【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．14.函数的定义域是.【答案】，【解析】试题分析：根据题意由于有意义，则可知，结合正弦函数的性质可知，函数定义域，，，故可知答案为，，，考点：三角函数的性质点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题。
湖南省张家界市湖南师范大学附属中学实验学校2019年高二数学文月考试题含解析
湖南省张家界市湖南师范大学附属中学实验学校2019年高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（）A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限参考答案：B略2. 若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．【分析】由题意可得 z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．3. 在△ abc 中，sin 2 a －sin 2 c +sin 2 b ＝sin a ·sin b ，则∠ c 为( )．a．60° b．45° c．120° d．30°A4. 已知实数，满足，则的最小值是（）A． B． C．D．0参考答案：B作出不等式组所满足的平面区域如图阴影部分所示，其中，，，作出直线，平移直线，当其经过点时，有最小值，为．故答案为B．5. 已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是（）.A.21B.20C.19D. 18参考答案：B6. 用秦九韶算法求多项式f（x）=12+35x－8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=－4的值时，v4的值为（）A．－57 B．－845 C． 220 D .3392C7. 已知复数z满足，则z = （）A、-5B、5C、-3D、3参考答案：B8. 从一批产品中取出三件，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A．A与C互斥 B．B与C互斥 C．任两个均互斥 D．任两个均不互斥参考答案：B略9. 方程所表示的曲线是(A) 一个圆(B) 两个圆(C) 半个圆(D) 两个半圆参考答案：D10. 如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为m粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有n粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( )A. B. C. D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为______弧度。
2018-2019学年湖南师大附中高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．已知U＝R，函数y＝ln（1﹣x）的定义域为M，集合N＝{x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（）A．M∩N＝N B．M∩（∁U N）＝∅C．M∪N＝U D．M⊆（∁U N）3．已知命题p：∀a∈R，且a＞0，a+≥2，命题q：∃x0∈R，sin x0+cos x0＝，则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题4．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则{a n}前10项的和为（）A．10B．8C．6D．﹣85．已知函数f（x）＝e x+（a∈R），若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x6．已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则＝（）A．B．C．D．7．某工厂生产的机器销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：y1＝17x2，生产总成本y2（万元）也是产量x（千台）的函数；y2＝2x3﹣x2（x＞0），为使利润最大，应生产（）A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则|MN|＝（）A．a B．a C．a D．a9．已知直线l1：x＝﹣1，l2：x﹣y+1＝0，点P为抛物线y2＝4x上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为（）A．2B．C．1D．10．已知f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+m，若g（x）存在两个零点，则m的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，0）C．[0，+∞）D．[1，+∞）11．在平面直角坐标系xOy中，设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支上一点，M是PF1的中点，且OM⊥PF1，2|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．12．已知函数，g（x）＝﹣x3+x2+5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≤0成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2﹣4ln2]B．（﹣∞，1]C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知x＞1，观察下列不等式：x+＞2；x2+＞3；x3+＞4；…按此规律，第n个不等式为．14．若x，y满足约束条件，则z＝﹣x+y的最小值为．15．dx﹣sin xdx＝．16．若函数f（x）＝ax2+xlnx有两个极值点，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积为S，且b2+c2﹣a2＝S．（1）求A；（2）若a＝5，cos B＝，求c．18．（12分）已知数列{a n}，S n是其前n项的和，且满足3a n＝2S n+n（n∈N*）（Ⅰ）求证：数列{a n+}为等比数列；（Ⅱ）记T n＝S1+S2+…+S n，求T n的表达式．19．（12分）如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC是边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在ABCD上的射影恰好在AD上．（Ⅰ）证明：平面SAB⊥平面SAD；（Ⅱ）若AB＝1，求平面SCD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知圆M：和点，Q是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线和QM相交于点P，P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，直线x＝ty+m交E于B、C两点，直线AB，AC的斜率分别是k1，k2，若k1•k2＝9，求：①m的值；②△ABC面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+lnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）在[1，2]上的单调性；（2）令函数g（x）＝e x﹣1+x2+a﹣f（x），e＝2.71828…是自然对数的底数，若函数g（x）有且只有一个零点m，判断m与e的大小，并说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的普通方程及其极坐标方程；（Ⅱ）设直线l的极坐标方程为ρsin（）＝2，射线OM：θ＝与圆C的交点为P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤2；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，若a，b均为正数，且+＝m，求a+b的最小值．2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．【解答】解：＝＝＝2﹣i，故选：D．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．2．已知U＝R，函数y＝ln（1﹣x）的定义域为M，集合N＝{x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（）A．M∩N＝N B．M∩（∁U N）＝∅C．M∪N＝U D．M⊆（∁U N）【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．【解答】解：由1﹣x＞0，解得：x＜1，故函数y＝ln（1﹣x）的定义域为M＝（﹣∞，1），由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，故集合N＝{x|x2﹣x＜0}＝（0，1），∴M∩N＝N，故选：A．【点评】本题考察了集合的包含关系，考察不等式问题，是一道基础题．3．已知命题p：∀a∈R，且a＞0，a+≥2，命题q：∃x0∈R，sin x0+cos x0＝，则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题【分析】本题的关键是对命题p：∀a∈R，且a＞0，有，命题q：∃x∈R，的真假进行判定，在利用复合命题的真假判定【解答】解：对于命题p：∀a∈R，且a＞0，有，利用均值不等式，显然p为真，故A错命题q：∃x∈R，，而∉所以q是假命题，故B错∴利用复合命题的真假判定，p∧（￢q）是真命题，故C正确（￢p）∧q是假命题，故D错误故选：C．【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断4．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则{a n}前10项的和为（）A．10B．8C．6D．﹣8【分析】设公差d＝2，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和．【解答】解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32＝a1a4，即有（a1+4）2＝a1（a1+6），解得a1＝﹣8，则{a n}前10项的和为﹣8×10+×10×9×2＝10．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比中项的定义，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．已知函数f（x）＝e x+（a∈R），若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【分析】利用函数是奇函数，求出a，求出函数的导数，得到切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．【解答】解：由题意，因为函数f（x）＝e x+（a∈R）为奇函数，则f（0）＝e0+＝0，解得a＝﹣1，即f（x）＝e x﹣，则f′（x）＝e x+，所以f′（0）＝e0+＝2，即k＝2，且当x＝0时，f（0）＝e0﹣＝0，即切点的坐标为（0，0），所以切线的方程为y＝2x，故选：C．【点评】本题考查函数的极限以及函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．6．已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则＝（）A．B．C．D．【分析】作出图形，利用向量加法的平行四边形法则，容易得解．【解答】解：如图，∵，，∴＝＝，故选：A．【点评】此题考查了向量的加法法则，属容易题．7．某工厂生产的机器销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：y1＝17x2，生产总成本y2（万元）也是产量x（千台）的函数；y2＝2x3﹣x2（x＞0），为使利润最大，应生产（）A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台【分析】根据利润＝收入﹣成本可得y＝y1﹣y2，求出y′讨论其大于小于0得到函数的最大值．【解答】解：利润y＝y1﹣y2＝18x2﹣2x3，y′＝﹣6x2+36x，解y′＞0得0＜x＜6；解y′＜0得x＞6；当x＝6时，y取得最大值．故选：A．【点评】考查学生会利用导数求闭区间上函数最值的能力．8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则|MN|＝（）A．a B．a C．a D．a【分析】以AB，AD，AA1，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，确定向量、的坐标，可得的坐标，从而可得|MN|．【解答】解：以AB，AD，AA1，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），B1（a，0，a），C1（a，a，a）∴＝（a，a，a）∵＝，∴＝，∵点N为B1B的中点，∴＝（a，0，）∴＝∴|MN|＝a故选：A．【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，确定向量的坐标是关键．9．已知直线l1：x＝﹣1，l2：x﹣y+1＝0，点P为抛物线y2＝4x上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为（）A．2B．C．1D．【分析】过点P分别作PM⊥l1，PN⊥l2，垂足分别为M，N．设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义可得|PM|＝|PF|，求|PM|+|PN|转化为求|PN|+|PF|，当三点N，P，F共线时，|PN|+|PF|取得最小值．利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：过点P分别作PM⊥l1，PN⊥l2，垂足分别为M，N．抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），l2：x+1＝0是抛物线y2＝4x的准线方程．由抛物线的定义可得|PM|＝|PF|，∴|PM|+|PN|＝|PN|+|PF|，当三点N，P，F共线时，|PN|+|PF|取得最小值．故小值为点F到其最到直线l2的距离，∴|FN|＝，故选：B．【点评】本题考查了抛物线的定义及其性质、三点共线、点到直线的距离公式，考查转化思想的应用，属于中档题．10．已知f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+m，若g（x）存在两个零点，则m的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，0）C．[0，+∞）D．[1，+∞）【分析】由题意可得g（x）＝0，即f（x）＝﹣x﹣m有两个不等实根，即有函数y＝f（x）和直线y＝﹣x﹣m有两个交点，作出y＝f（x）的图象和直线y＝﹣x﹣m，平移直线即可得到所求范围．【解答】解：g（x）＝f（x）+x+m，若g（x）存在两个零点，可得g（x）＝0，即f（x）＝﹣x﹣m有两个不等实根，即有函数y＝f（x）和直线y＝﹣x﹣m有两个交点，作出y＝f（x）的图象和直线y＝﹣x﹣m，当﹣m≤1，即m≥﹣1时，y＝f（x）和y＝﹣x﹣m有两个交点，故选：A．【点评】本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用转化思想和数形结合思想，考查指数函数、对数函数的图象和运用，属于中档题．11．在平面直角坐标系xOy中，设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支上一点，M是PF1的中点，且OM⊥PF1，2|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】运用双曲线的定义和△PF1F2为直角三角形，则|PF2|2+|＝|PF2|2，＝|F1F2|2．，由离心率公式，计算即可得到离心率的范围．【解答】解：P为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，|PF2|﹣|PF1|＝2a，由|PF2|＝2|PF1|，则|PF2|＝4a，|PF1|＝2a，∵M是PF1的中点，且OM⊥PF1∴由△PF1F2为直角三角形，则|PF2|2+|＝|PF2|2，＝|F1F2|2．∴5a2＝c2即有e＝．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．12．已知函数，g（x）＝﹣x3+x2+5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≤0成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2﹣4ln2]B．（﹣∞，1]C．D．【分析】根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，构造函数h（x）＝x﹣x2lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可．【解答】解：函数g（x）的导数g′（x）＝﹣3x2+2x＝﹣x（3x﹣2），∴函数g（x）在[，]上递增，则[，2]上递减，g（）＝，g（2）＝1，若对任意的x1，x2∈[，2]，都有f（x1）﹣g（x2）≤0成立，即当≤x≤2时，f（x）≤1恒成立，即+xlnx≤1恒成立，即a≤x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，令h（x）＝x﹣x2lnx，则h′（x）＝1﹣2xlnx﹣x，h′′（x）＝﹣3﹣2lnx，当在≤x≤2时，h′′（x）＝﹣3﹣2lnx＜0，即h′（x）＝1﹣2xlnx﹣x在≤x≤2上单调递减，由于h′（1）＝0，∴当≤x≤1时，h′（x）＞0，当1≤x≤2时，h′（x）＜0，∴h（x）在[，1）递增，在（1，2]递减，由h（）＝+ln2＜h（2）＝2﹣4ln2，故h（x）min＝h（2）＝2﹣4ln2，∴a≤2﹣4ln2．故选：A．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数利用参数分离法结合函数单调性和导数之间的关系转化为求函数的最值是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知x＞1，观察下列不等式：x+＞2；x2+＞3；x3+＞4；…按此规律，第n个不等式为x n+＞n+1．【分析】由归纳推理易得：x n+＞n+1．【解答】解：由x+＞2；x2+＞3；x3+＞4；…按此规律，第n个不等式为：x n+＞n+1，故答案为：x n+＞n+1【点评】本题考查了归纳推理，属简单题．14．若x，y满足约束条件，则z＝﹣x+y的最小值为2．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z＝﹣x+y对应的直线进行平移，可得当x＝﹣1，y＝1时，目标函数z取得最小值，从而得到本题答案．【解答】解：作出x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的区域，其中A（﹣1，1），设z＝F（x，y）═﹣x+y，将直线l：z＝﹣x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z＝F（﹣1，1）＝1+1＝2．最小值故答案为：2．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝﹣x+y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．15．dx﹣sin xdx＝．【分析】由定积分的几何意义求得dx，直接求定积分得到sin xdx，则答案可求．【解答】解：求dx﹣sin xdx．由定积分的几何意义可知，dx是以原点为圆心，以1为半径的四分之一圆的面积，等于．sin xdx＝．∴dx﹣sin xdx＝．故答案为：．【点评】本题考查了定积分，考查了定积分的几何意义，是基础的计算题．16．若函数f（x）＝ax2+xlnx有两个极值点，则实数a的取值范围是．【分析】将题目等价转化为导函数方程有两个不同的正实根后，既可以采用不完全分离参数法数形结合求解（如法1），也可以采用常规的完全分离参数法，数形结合求解（如法2），相比较而言，法2更容易理解．【解答】解：法1：函数f（x）＝ax2+xlnx有两个极值点，即导函数f'（x）＝2ax+lnx+1在（0，+∞）上有两个变号零点，即方程lnx＝﹣2ax﹣1有两个不同正实数根，即函数y＝lnx与函数y＝﹣2ax﹣1有两个不同的交点，作出图象如右图；设恒过定点的函数y＝﹣2ax﹣1与函数y＝lnx相切于点（x0，y0），则有，解得x0＝1，y0＝0，即切点为（1，0），此时直线的斜率为k＝1，由图象可知，要使函数y＝lnx与函数y＝﹣2ax﹣1有两个不同的交点，则0＜﹣2a＜1，即a∈（﹣，0），法2：转化为导函数f'（x）＝2ax+lnx+1在（0，+∞）上有两个变号零点，分离参数得到，方程﹣2a＝在（0，+∞）上有两个不同的实根，令g（x）＝，定义域为x＞0，g′（x）＝，则x∈（0，1）时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增，x ∈（1，+∞）时，g '（x ）＜0，函数g （x ）单调递减， 故g （x ）max ＝g （1）＝1，＜/br ＞作出函数y ＝g （x ）和y ＝﹣2a 的图象于同一个坐标系中，则得到0＜﹣2a ＜1，即a ∈（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】这类题目往往需要在函数和方程之间多次转化，需要我们对相关的知识要很清楚，另外需要了解常见的分离参数法的不同类型．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，其面积为S ，且b 2+c 2﹣a 2＝S ．（1）求A ；（2）若a ＝5，cos B ＝，求c ．【分析】（1）已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出tan A 的值，即可确定出A 的度数； （2）由cos B 的值求出sin B 的值，进而求出sin C 的值，由a ，sin A ，sin C 的值，利用正弦定理即可求出c 的值．【解答】解：（1）∵b 2+c 2﹣a 2＝2bc cos A ，S ＝bc sin A ，∴代入已知等式得：2b cos A ＝•bc sin A ，整理得：tan A ＝，∵A 是三角形内角， ∴A ＝60°；（2）∵B 为三角形内角，cos B ＝，∴sin B ＝＝，∴sin C ＝sin （B +A ）＝sin （B +60°）＝sin B +cos B ＝，∵a ＝5，sin A ＝，sin C ＝，∴由正弦定理得：c ＝＝3+4．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 18．（12分）已知数列{a n }，S n 是其前n 项的和，且满足3a n ＝2S n +n （n ∈N *）（Ⅰ）求证：数列{a n +}为等比数列； （Ⅱ）记T n ＝S 1+S 2+…+S n ，求T n 的表达式．【分析】（Ⅰ）由3a n ＝2S n +n ，类比可得3a n ﹣1＝2S n ﹣1+n ﹣1（n ≥2），两式相减，整理即证得数列{a n +}是以为首项，3为公比的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）得a n +＝•3n ⇒a n ＝（3n ﹣1），S n ＝﹣，分组求和，利用等比数列与等差数列的求和公式，即可求得T n 的表达式． 【解答】（Ⅰ）证明：∵3a n ＝2S n +n ， ∴3a n ﹣1＝2S n ﹣1+n ﹣1（n ≥2），两式相减得：3（a n ﹣a n ﹣1）＝2a n +1（n ≥2）， ∴a n ＝3a n ﹣1+1（n ≥2），∴a n +＝3（a n ﹣1+），又a 1+＝，∴数列{a n +}是以为首项，3为公比的等比数列；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得a n +＝•3n ﹣1＝•3n ，∴a n ＝•3n ﹣＝（3n ﹣1），∴S n ＝ [（3+32+…+3n ）﹣n ]＝（﹣n ）＝﹣，∴T n ＝S 1+S 2+…+S n ＝（32+33+…+3n +3n +1）﹣﹣（1+2+…+n ）＝•﹣﹣＝﹣．【点评】本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，突出考查分组求和，熟练应用等比数列与等差数列的求和公式是关键，属于难题．19．（12分）如图，五边形ABSCD 中，四边形ABCD 为长方形，三角形SBC 是边长为2的正三角形，将三角形SBC 沿BC 折起，使得点S 在ABCD 上的射影恰好在AD 上． （Ⅰ）证明：平面SAB ⊥平面SAD ；（Ⅱ）若AB ＝1，求平面SCD 与平面SBC 所成锐二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）作SO⊥AD，则SO⊥平面ABCD，SO⊥AB，再由AB⊥AD，得AB⊥平面SAD．由此能证明平面SAB⊥平面SAD．（Ⅱ）连结BO，CO，以OA，OE，OS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面SCD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）如图，作SO⊥AD，垂足为O，依题意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB．又AB⊥AD，SO∩AD＝O，∴AB⊥平面SAD．又∵AB⊂平面SAB，∴平面SAB⊥平面SAD．解：（Ⅱ）连结BO，CO，∵SB＝SC，∴Rt△SOB≌Rt△SOC，BO＝CO，又四边形ABCD为长方形，∴Rt△AOB≌Rt△DOC，∴OA＝OD．取BC中点E，得OE∥AB，连结SE，∴SE＝，其中OE＝1，OA＝OD＝1，OS＝＝．由以上证明可知OS，OE，AD互相垂直，以OA，OE，OS为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∴＝（0，1，0），＝（﹣1，1，﹣），＝（﹣2，0，0），设＝（x，y，z）是平面SCD的法向量，则，令z＝1，得＝（﹣，0，1）．设＝（x，y，z）是平面SBC的法向量，则有，令z＝1得＝（0，，1）．则平面SCD与平面SBC所成锐二面角的余弦值为：|cos＜，＞|＝＝＝．（12分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）已知圆M：和点，Q是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线和QM相交于点P，P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，直线x＝ty+m交E于B、C两点，直线AB，AC的斜率分别是k1，k2，若k1•k2＝9，求：①m的值；②△ABC面积的最大值．【分析】（1）利用定义求出椭圆的方程．（2）利用圆柱曲线和直线的位置关系，建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数的关系求出m的值．最后求出三角形面积的最大值．【解答】解：（1）圆M：的圆心为，半径为，点N在圆M内，，所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆，由，，得b2＝3﹣2＝1，所以曲线E的方程为．（2）①设B（x1，y1），C（x2，y2），则：C：x＝ty+m，联立方程组，得（1+3t2）y2+6mty+3m2﹣3＝0，由△＞0，解得t2＞1，，，由k1k2＝9知y1y2＝9（x1﹣1）（x2﹣1），＝9（ty1+m﹣1）（ty2+m﹣1），＝，且m≠1，代入化简得（9t2﹣1）（m+1）﹣18mt2+3（m﹣1）（1+3t2）＝0，解得m＝2，②，＝（当且仅当时取等号）．综上，△ABC面积的最大值为．【点评】本题考查的知识要点：椭圆的方程的求法及应用，直线和圆锥曲线的位置关系的应用．一元二次方程根和系数的关系的应用．21．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+lnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）在[1，2]上的单调性；（2）令函数g（x）＝e x﹣1+x2+a﹣f（x），e＝2.71828…是自然对数的底数，若函数g（x）有且只有一个零点m，判断m与e的大小，并说明理由．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出g′（x）在（0，+∞）上有唯一零点x1，由已知函数g（x）有且只有1个零点m，则m＝x1，得（2﹣m）e m﹣1﹣lnm+＝0，令p（x）＝（2﹣x）e x﹣1﹣lnx+（x＞0），故p（m）＝0，求出m的范围即可．【解答】解：（1）由已知x＞0，且f′（x）＝，①当△＝a2﹣8≤0时，即当﹣2≤a≤2时，f′（x）≥0，则函数f（x）在[1，2]递增，②当△＝a2﹣8＞0即a＜﹣2或a＞2时，2x2+ax+1＝0有2个根，x＝，∵x＞0，∴x＝，1°，当≤1时，令f′（1）＝3+a≥0，解得：a≥﹣3，故﹣3≤a＜﹣2或a＞2时，函数f（x）在[1，2]递增，2°当1＜＜2时，令f′（1）＝3+a＜0，f′（2）＝+a＞0，解得：﹣＜a＜﹣3，故当﹣＜a＜﹣3时，函数f（x）在[1，）递减，在[，2]递增，3°当≥2时，令f′（2）＝+a≤0，解得：a≤﹣，故a≤﹣时，函数f（x）在[1，2]递减；（2）函数g（x）＝e x﹣1+x2+a﹣f（x）＝e x﹣1﹣lnx﹣ax+a，则g′（x）＝e x﹣1﹣﹣a＝h（x），则h′（x）＝e x﹣1+＞0，g′（x）在（0，+∞）递增，当x→0，g（x）→+∞，x→+∞，g（x）→+∞，故g′（x）∈R，故g′（x）在（0，+∞）上有唯一零点x1，当x∈（0，x1），g′（x）＜0，x∈（x1，+∞），g′（x）＞0，故g（x1）为g（x）的最小值，由已知函数g（x）有且只有1个零点m，则m＝x1，故g′（m）＝0，g（m）＝0，则，则e m﹣1﹣lnm﹣（e m﹣1﹣）m+（e m﹣1﹣）＝0，得（2﹣m）e m﹣1﹣lnm+＝0，令p（x）＝（2﹣x）e x﹣1﹣lnx+（x＞0），故p（m）＝0，则p′（x）＝（1﹣x）（e x﹣1+），故x∈（0，1），p′（x）＞0，x∈（1，+∞），p′（x）＜0，故p（x）在（1，+∞）递减，∵p（1）＝1＞0，p（e）＝（2﹣e）e e﹣1﹣1+＝（2﹣e）e e﹣1﹣＜0，故p（x）在（1，e）上有1个零点，在（e，+∞）无零点，故m＜e．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的普通方程及其极坐标方程；（Ⅱ）设直线l的极坐标方程为ρsin（）＝2，射线OM：θ＝与圆C的交点为P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【分析】（Ⅰ）先将圆的参数方程消去参数得到普通方程，再由普通方程根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ变换即可得出圆的极坐标方程；（Ⅱ）由题意线段PQ的长|PQ|＝|ρP﹣ρQ|，故联立对应方程求出极径，直接代入公式即可求出线段的长度．【解答】（Ⅰ）∵圆C的参数方程为（α为参数），∴消去参数α得普通方程为：x2+（y﹣1）2＝1．又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴（ρcos θ）2+（ρsin θ﹣1）2＝1，化简得圆C的极坐标方程为：ρ＝2sin θ．（Ⅱ）∵射线OM：θ＝与圆C的交点为P．∴把θ＝代入圆的极坐标方程可得：ρP＝2sin＝1．又射线OM：θ＝与直线l的交点为Q，∴把θ＝代入直线l的极坐标方程可得：ρsinθ＝2．ρQ＝2．∴线段PQ的长|PQ|＝|ρP﹣ρQ|＝1．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程普通方程的互化，以及利用极坐标方程求线段的长度，属于参数方程与极坐标方程的综合题，熟练掌握三种方程及它们间转化的规律是解答的关键．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤2；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，若a，b均为正数，且+＝m，求a+b的最小值．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；（Ⅱ）求出m的值，根据基本不等式的性质求出a+b的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝，∴或或，∴﹣1≤x≤1，∴不等式解集为[﹣1，1]………………………（Ⅱ）∵|x﹣1|+|x+1|≥|（x﹣1）﹣（x+1）|＝2，∴m＝2，又+＝2，a＞0，b＞0，∴+＝1，∴a+b＝（a+b）（+）＝++≥+2＝，当且仅当即时取等号，∴（a+b）min＝，………………………（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道常规题．。
湖南省娄底市2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)试题(含精品解析)
即不等式 ax2+bx+2＞0 的解集是{x|x＜-2 或 x＞1}；
故选：D．
根据题意，利用一元二次不等式的解集可知方程 ax2+bx+2=0 的解是 2 和-1，
进而利用根与系数的关系求得 a、b 的值，据此可得不等式 bx2-ax+2＞0 即为
x2+x-2＞0，解可得答案．
本题考查一元二次不等式的解法，关键是分析 a、b 的值，属于基础题．
【解析】
解：由等差数列{an}的性质，及 a1+a3+a5=3， ∴3a3=3， ∴a3=1，
∴S5= 故选：A．
=5a3=5．
由等差数列{an}的性质，及 a1+a3+a5=3，可得 3a3=3，再利用等差数列的前 n 项和公式即可得出．
本题考查了等差数列的性质及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，
20. 已知函数 f（x）=ax2+2x+c 的最低点为（-1，-2）． （1）求不等式 f（x）＞7 的解集；
（2）若对任意 x∈[2，4]，不等式 f（x-t）≤x-2 恒成立，求实数 t 的取值范围．
21. 某厂有一批长为 18m 的条形钢板，可以割成 1.8m 和 1.5m 长的零件，它们的加工 费分别为每个 1 元和 0.6 元，售价分别为 20 元和 15 元，总加工费要求不超过 8 元，问如何下料能获得最大利润．
10. 已知 2������ ‒ ������ ‒ 2 ≤ 0
的最小值是 2，则 a=（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11. 关于 x 的不等式 ax2+bx+2＞0 的解集为{x|-1＜x＜2}，则关于 x 的不等式 bx2-ax-
2018-2019学年湖南师大附中高二(上)期末数学试卷(理科)(word版含答案)
2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．已知U＝R，函数y＝ln（1﹣x）的定义域为M，集合N＝{x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（）A．M∩N＝N B．M∩（∁U N）＝∅C．M∪N＝U D．M⊆（∁U N）3．已知命题p：∀a∈R，且a＞0，a+≥2，命题q：∃x0∈R，sin x0+cos x0＝，则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题4．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则{a n}前10项的和为（）A．10B．8C．6D．﹣85．已知函数f（x）＝e x+（a∈R），若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x6．已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则＝（）A．B．C．D．7．某工厂生产的机器销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：y1＝17x2，生产总成本y2（万元）也是产量x（千台）的函数；y2＝2x3﹣x2（x＞0），为使利润最大，应生产（）A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则|MN|＝（）A．a B．a C．a D．a9．已知直线l1：x＝﹣1，l2：x﹣y+1＝0，点P为抛物线y2＝4x上的任一点，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为（）A．2B．C．1D．10．已知f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+m，若g（x）存在两个零点，则m的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，0）C．[0，+∞）D．[1，+∞）11．在平面直角坐标系xOy中，设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支上一点，M是PF1的中点，且OM⊥PF1，2|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．12．已知函数，g（x）＝﹣x3+x2+5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≤0成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2﹣4ln2]B．（﹣∞，1]C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知x＞1，观察下列不等式：x+＞2；x2+＞3；x3+＞4；…按此规律，第n个不等式为．14．若x，y满足约束条件，则z＝﹣x+y的最小值为．15．dx﹣sin xdx＝．16．若函数f（x）＝ax2+xlnx有两个极值点，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积为S，且b2+c2﹣a2＝S．（1）求A；（2）若a＝5，cos B＝，求c．18．（12分）已知数列{a n}，S n是其前n项的和，且满足3a n＝2S n+n（n∈N*）（Ⅰ）求证：数列{a n+}为等比数列；（Ⅱ）记T n＝S1+S2+…+S n，求T n的表达式．19．（12分）如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC是边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在ABCD上的射影恰好在AD上．（Ⅰ）证明：平面SAB⊥平面SAD；（Ⅱ）若AB＝1，求平面SCD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知圆M：和点，Q是圆M上任意一点，线段NQ 的垂直平分线和QM相交于点P，P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，直线x＝ty+m交E于B、C两点，直线AB，AC的斜率分别是k1，k2，若k1•k2＝9，求：①m的值；②△ABC面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+lnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）在[1，2]上的单调性；（2）令函数g（x）＝e x﹣1+x2+a﹣f（x），e＝2.71828…是自然对数的底数，若函数g（x）有且只有一个零点m，判断m与e的大小，并说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的普通方程及其极坐标方程；（Ⅱ）设直线l的极坐标方程为ρsin（）＝2，射线OM：θ＝与圆C的交点为P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤2；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，若a，b均为正数，且+＝m，求a+b的最小值．2018-2019学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．【解答】解：＝＝＝2﹣i，故选：D．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．2．已知U＝R，函数y＝ln（1﹣x）的定义域为M，集合N＝{x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（）A．M∩N＝N B．M∩（∁U N）＝∅C．M∪N＝U D．M⊆（∁U N）【分析】分别解出关于M，N的范围，然后判断即可．【解答】解：由1﹣x＞0，解得：x＜1，故函数y＝ln（1﹣x）的定义域为M＝（﹣∞，1），由x2﹣x＜0，解得：0＜x＜1，故集合N＝{x|x2﹣x＜0}＝（0，1），∴M∩N＝N，故选：A．【点评】本题考察了集合的包含关系，考察不等式问题，是一道基础题．3．已知命题p：∀a∈R，且a＞0，a+≥2，命题q：∃x0∈R，sin x0+cos x0＝，则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题【分析】本题的关键是对命题p：∀a∈R，且a＞0，有，命题q：∃x∈R，的真假进行判定，在利用复合命题的真假判定【解答】解：对于命题p：∀a∈R，且a＞0，有，利用均值不等式，显然p为真，故A错命题q：∃x∈R，，而∉所以q是假命题，故B错∴利用复合命题的真假判定，p∧（￢q）是真命题，故C正确（￢p）∧q是假命题，故D错误故选：C．【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断4．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则{a n}前10项的和为（）A．10B．8C．6D．﹣8【分析】设公差d＝2，运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和．【解答】解：等差数列{a n}的公差d为2，若a1，a3，a4成等比数列，可得a32＝a1a4，即有（a1+4）2＝a1（a1+6），解得a1＝﹣8，则{a n}前10项的和为﹣8×10+×10×9×2＝10．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比中项的定义，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．已知函数f（x）＝e x+（a∈R），若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【分析】利用函数是奇函数，求出a，求出函数的导数，得到切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．【解答】解：由题意，因为函数f（x）＝e x+（a∈R）为奇函数，则f（0）＝e0+＝0，解得a ＝﹣1，即f（x）＝e x﹣，则f′（x）＝e x+，所以f′（0）＝e0+＝2，即k＝2，且当x＝0时，f（0）＝e0﹣＝0，即切点的坐标为（0，0），所以切线的方程为y＝2x，故选：C．【点评】本题考查函数的极限以及函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．6．已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则＝（）A．B．C．D．【分析】作出图形，利用向量加法的平行四边形法则，容易得解．【解答】解：如图，∵，，∴＝＝，故选：A．【点评】此题考查了向量的加法法则，属容易题．7．某工厂生产的机器销售收入y1（万元）是产量x（千台）的函数：y1＝17x2，生产总成本y2（万元）也是产量x（千台）的函数；y2＝2x3﹣x2（x＞0），为使利润最大，应生产（）A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台【分析】根据利润＝收入﹣成本可得y＝y1﹣y2，求出y′讨论其大于小于0得到函数的最大值．【解答】解：利润y＝y1﹣y2＝18x2﹣2x3，y′＝﹣6x2+36x，解y′＞0得0＜x＜6；解y′＜0得x＞6；当x ＝6时，y 取得最大值． 故选：A ．【点评】考查学生会利用导数求闭区间上函数最值的能力．8．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，＝，点N 为B 1B 的中点，则|MN |＝（ ）A ．aB ．aC ．aD ．a【分析】以AB ，AD ，AA 1，分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，确定向量、的坐标，可得的坐标，从而可得|MN |．【解答】解：以AB ，AD ，AA 1，分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （a ，0，0），B 1（a ，0，a ），C 1（a ，a ，a ） ∴＝（a ，a ，a ）∵＝，∴＝，∵点N 为B 1B 的中点，∴＝（a ，0，）∴＝∴|MN |＝a故选：A ．【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，确定向量的坐标是关键．9．已知直线l 1：x ＝﹣1，l 2：x ﹣y +1＝0，点P 为抛物线y 2＝4x 上的任一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为（ ）A ．2B ．C ．1D ．【分析】过点P 分别作PM ⊥l 1，PN ⊥l 2，垂足分别为M ，N ．设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义可得|PM |＝|PF |，求|PM |+|PN |转化为求|PN |+|PF |，当三点N ，P ，F 共线时，|PN |+|PF |取得最小值．利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：过点P 分别作PM ⊥l 1，PN ⊥l 2，垂足分别为M ，N ．抛物线y 2＝4x 的焦点为F （1，0），l 2：x +1＝0是抛物线y 2＝4x 的准线方程． 由抛物线的定义可得|PM |＝|PF |，∴|PM |+|PN |＝|PN |+|PF |，当三点N ，P ，F 共线时，|PN |+|PF |取得最小值．故小值为点F到其最到直线l2的距离，∴|FN|＝，故选：B．【点评】本题考查了抛物线的定义及其性质、三点共线、点到直线的距离公式，考查转化思想的应用，属于中档题．10．已知f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+m，若g（x）存在两个零点，则m的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣1，0）C．[0，+∞）D．[1，+∞）【分析】由题意可得g（x）＝0，即f（x）＝﹣x﹣m有两个不等实根，即有函数y＝f（x）和直线y ＝﹣x﹣m有两个交点，作出y＝f（x）的图象和直线y＝﹣x﹣m，平移直线即可得到所求范围．【解答】解：g（x）＝f（x）+x+m，若g（x）存在两个零点，可得g（x）＝0，即f（x）＝﹣x﹣m有两个不等实根，即有函数y＝f（x）和直线y＝﹣x﹣m有两个交点，作出y＝f（x）的图象和直线y＝﹣x﹣m，当﹣m≤1，即m≥﹣1时，y＝f（x）和y＝﹣x﹣m有两个交点，故选：A．【点评】本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用转化思想和数形结合思想，考查指数函数、对数函数的图象和运用，属于中档题．11．在平面直角坐标系xOy中，设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支上一点，M是PF1的中点，且OM⊥PF1，2|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】运用双曲线的定义和△PF1F2为直角三角形，则|PF2|2+|＝|PF2|2，＝|F1F2|2．，由离心率公式，计算即可得到离心率的范围．【解答】解：P为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，|PF2|﹣|PF1|＝2a，由|PF2|＝2|PF1|，则|PF2|＝4a，|PF1|＝2a，∵M是PF1的中点，且OM⊥PF1∴由△PF1F2为直角三角形，则|PF2|2+|＝|PF2|2，＝|F1F2|2．∴5a2＝c2即有e＝．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．12．已知函数，g（x）＝﹣x3+x2+5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≤0成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2﹣4ln2]B．（﹣∞，1]C．D．【分析】根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，构造函数h（x）＝x﹣x2lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可．【解答】解：函数g（x）的导数g′（x）＝﹣3x2+2x＝﹣x（3x﹣2），∴函数g（x）在[，]上递增，则[，2]上递减，g（）＝，g（2）＝1，若对任意的x1，x2∈[，2]，都有f（x1）﹣g（x2）≤0成立，即当≤x≤2时，f（x）≤1恒成立，即+xlnx≤1恒成立，即a≤x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，令h（x）＝x﹣x2lnx，则h′（x）＝1﹣2xlnx﹣x，h′′（x）＝﹣3﹣2lnx，当在≤x≤2时，h′′（x）＝﹣3﹣2lnx＜0，即h′（x）＝1﹣2xlnx﹣x在≤x≤2上单调递减，由于h′（1）＝0，∴当≤x≤1时，h′（x）＞0，当1≤x≤2时，h′（x）＜0，∴h（x）在[，1）递增，在（1，2]递减，由h（）＝+ln2＜h（2）＝2﹣4ln2，故h（x）min＝h（2）＝2﹣4ln2，∴a≤2﹣4ln2．故选：A．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数利用参数分离法结合函数单调性和导数之间的关系转化为求函数的最值是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知x＞1，观察下列不等式：x+＞2；x2+＞3；x3+＞4；…按此规律，第n个不等式为x n+＞n+1．【分析】由归纳推理易得：x n+＞n+1．【解答】解：由x+＞2；x2+＞3；x3+＞4；…按此规律，第n个不等式为：x n+＞n+1，故答案为：x n+＞n+1【点评】本题考查了归纳推理，属简单题．14．若x，y满足约束条件，则z＝﹣x+y的最小值为2．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z＝﹣x+y对应的直线进行平移，可得当x＝﹣1，y＝1时，目标函数z取得最小值，从而得到本题答案．【解答】解：作出x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的区域，其中A（﹣1，1），设z＝F（x，y）═﹣x+y，将直线l：z＝﹣x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值＝F（﹣1，1）＝1+1＝2．∴z最小值故答案为：2．【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z＝﹣x+y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．15．dx﹣sin xdx＝．【分析】由定积分的几何意义求得dx，直接求定积分得到sin xdx，则答案可求．【解答】解：求dx﹣sin xdx．由定积分的几何意义可知，dx是以原点为圆心，以1为半径的四分之一圆的面积，等于．sin xdx＝．∴dx﹣sin xdx＝．故答案为：．【点评】本题考查了定积分，考查了定积分的几何意义，是基础的计算题．16．若函数f（x）＝ax2+xlnx有两个极值点，则实数a的取值范围是．【分析】将题目等价转化为导函数方程有两个不同的正实根后，既可以采用不完全分离参数法数形结合求解（如法1），也可以采用常规的完全分离参数法，数形结合求解（如法2），相比较而言，法2更容易理解．【解答】解：法1：函数f（x）＝ax2+xlnx有两个极值点，即导函数f'（x）＝2ax+lnx+1在（0，+∞）上有两个变号零点，即方程lnx＝﹣2ax﹣1有两个不同正实数根，即函数y＝lnx与函数y＝﹣2ax﹣1有两个不同的交点，作出图象如右图；设恒过定点的函数y＝﹣2ax﹣1与函数y＝lnx相切于点（x0，y0），则有，解得x0＝1，y0＝0，即切点为（1，0），此时直线的斜率为k＝1，由图象可知，要使函数y＝lnx与函数y＝﹣2ax﹣1有两个不同的交点，则0＜﹣2a＜1，即a∈（﹣，0），法2：转化为导函数f'（x）＝2ax+lnx+1在（0，+∞）上有两个变号零点，分离参数得到，方程﹣2a＝在（0，+∞）上有两个不同的实根，令g（x）＝，定义域为x＞0，g′（x）＝，则x∈（0，1）时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增，x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减，故g（x）max＝g（1）＝1，＜/br＞作出函数y＝g（x）和y＝﹣2a的图象于同一个坐标系中，则得到0＜﹣2a＜1，即a∈（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】这类题目往往需要在函数和方程之间多次转化，需要我们对相关的知识要很清楚，另外需要了解常见的分离参数法的不同类型．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积为S，且b2+c2﹣a2＝S．（1）求A；（2）若a＝5，cos B＝，求c．【分析】（1）已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出tan A 的值，即可确定出A 的度数；（2）由cos B 的值求出sin B 的值，进而求出sin C 的值，由a ，sin A ，sin C 的值，利用正弦定理即可求出c 的值．【解答】解：（1）∵b 2+c 2﹣a 2＝2bc cos A ，S ＝bc sin A ，∴代入已知等式得：2b cos A ＝•bc sin A ，整理得：tan A ＝， ∵A 是三角形内角，∴A ＝60°；（2）∵B 为三角形内角，cos B ＝，∴sin B ＝＝，∴sin C ＝sin （B +A ）＝sin （B +60°）＝sin B +cos B ＝，∵a ＝5，sin A ＝，sin C ＝，∴由正弦定理得：c ＝＝3+4． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）已知数列{a n }，S n 是其前n 项的和，且满足3a n ＝2S n +n （n ∈N *）（Ⅰ）求证：数列{a n +}为等比数列；（Ⅱ）记T n ＝S 1+S 2+…+S n ，求T n 的表达式．【分析】（Ⅰ）由3a n ＝2S n +n ，类比可得3a n ﹣1＝2S n ﹣1+n ﹣1（n ≥2），两式相减，整理即证得数列{a n +}是以为首项，3为公比的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）得a n +＝•3n ⇒a n ＝（3n ﹣1），S n ＝﹣，分组求和，利用等比数列与等差数列的求和公式，即可求得T n 的表达式．【解答】（Ⅰ）证明：∵3a n ＝2S n +n ，∴3a n ﹣1＝2S n ﹣1+n ﹣1（n ≥2），两式相减得：3（a n ﹣a n ﹣1）＝2a n +1（n ≥2），∴a n ＝3a n ﹣1+1（n ≥2），∴a n+＝3（a n﹣1+），又a1+＝，∴数列{a n+}是以为首项，3为公比的等比数列；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得a n+＝•3n﹣1＝•3n，∴a n＝•3n﹣＝（3n﹣1），∴S n＝[（3+32+…+3n）﹣n]＝（﹣n）＝﹣，∴T n＝S1+S2+…+S n＝（32+33+…+3n+3n+1）﹣﹣（1+2+…+n）＝•﹣﹣＝﹣．【点评】本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，突出考查分组求和，熟练应用等比数列与等差数列的求和公式是关键，属于难题．19．（12分）如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC是边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在ABCD上的射影恰好在AD上．（Ⅰ）证明：平面SAB⊥平面SAD；（Ⅱ）若AB＝1，求平面SCD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）作SO⊥AD，则SO⊥平面ABCD，SO⊥AB，再由AB⊥AD，得AB⊥平面SAD．由此能证明平面SAB⊥平面SAD．（Ⅱ）连结BO，CO，以OA，OE，OS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面SCD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）如图，作SO⊥AD，垂足为O，依题意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB．又AB⊥AD，SO∩AD＝O，∴AB⊥平面SAD．又∵AB⊂平面SAB，∴平面SAB⊥平面SAD．解：（Ⅱ）连结BO，CO，∵SB＝SC，∴Rt△SOB≌Rt△SOC，BO＝CO，又四边形ABCD为长方形，∴Rt△AOB≌Rt△DOC，∴OA＝OD．取BC中点E，得OE∥AB，连结SE，∴SE＝，其中OE＝1，OA＝OD＝1，OS＝＝．由以上证明可知OS，OE，AD互相垂直，以OA，OE，OS为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∴＝（0，1，0），＝（﹣1，1，﹣），＝（﹣2，0，0），设＝（x，y，z）是平面SCD的法向量，则，令z＝1，得＝（﹣，0，1）．设＝（x，y，z）是平面SBC的法向量，则有，令z＝1得＝（0，，1）．则平面SCD与平面SBC所成锐二面角的余弦值为：|cos＜，＞|＝＝＝．（12分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）已知圆M：和点，Q是圆M上任意一点，线段NQ 的垂直平分线和QM相交于点P，P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，直线x＝ty+m交E于B、C两点，直线AB，AC的斜率分别是k1，k2，若k1•k2＝9，求：①m的值；②△ABC面积的最大值．【分析】（1）利用定义求出椭圆的方程．（2）利用圆柱曲线和直线的位置关系，建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数的关系求出m的值．最后求出三角形面积的最大值．【解答】解：（1）圆M：的圆心为，半径为，点N在圆M内，，所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为的椭圆，由，，得b2＝3﹣2＝1，所以曲线E的方程为．（2）①设B（x1，y1），C（x2，y2），则：C：x＝ty+m，联立方程组，得（1+3t2）y2+6mty+3m2﹣3＝0，由△＞0，解得t2＞1，，，由k1k2＝9知y1y2＝9（x1﹣1）（x2﹣1），＝9（ty1+m﹣1）（ty2+m﹣1），＝，且m≠1，代入化简得（9t2﹣1）（m+1）﹣18mt2+3（m﹣1）（1+3t2）＝0，解得m＝2，②，＝（当且仅当时取等号）．综上，△ABC面积的最大值为．【点评】本题考查的知识要点：椭圆的方程的求法及应用，直线和圆锥曲线的位置关系的应用．一元二次方程根和系数的关系的应用．21．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+lnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）在[1，2]上的单调性；（2）令函数g （x ）＝e x ﹣1+x 2+a ﹣f （x ），e ＝2.71828…是自然对数的底数，若函数g （x ）有且只有一个零点m ，判断m 与e 的大小，并说明理由．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性求出g ′（x ）在（0，+∞）上有唯一零点x 1，由已知函数g （x ）有且只有1个零点m ，则m ＝x 1，得（2﹣m ）e m ﹣1﹣lnm +＝0，令p （x ）＝（2﹣x ）e x ﹣1﹣lnx +（x ＞0），故p （m ）＝0，求出m 的范围即可．【解答】解：（1）由已知x ＞0，且f ′（x ）＝，①当△＝a 2﹣8≤0时，即当﹣2≤a ≤2时，f ′（x ）≥0， 则函数f （x ）在[1，2]递增，②当△＝a 2﹣8＞0即a ＜﹣2或a ＞2时，2x 2+ax +1＝0有2个根，x ＝，∵x ＞0，∴x ＝，1°，当≤1时，令f ′（1）＝3+a ≥0，解得：a ≥﹣3，故﹣3≤a ＜﹣2或a ＞2时，函数f （x ）在[1，2]递增，2°当1＜＜2时，令f ′（1）＝3+a ＜0，f ′（2）＝+a ＞0，解得：﹣＜a ＜﹣3，故当﹣＜a ＜﹣3时，函数f （x ）在[1，）递减，在[，2]递增，3°当≥2时，令f ′（2）＝+a ≤0，解得：a ≤﹣，故a ≤﹣时，函数f （x ）在[1，2]递减；（2）函数g （x ）＝e x ﹣1+x 2+a ﹣f （x ）＝e x ﹣1﹣lnx ﹣ax +a ，则g ′（x ）＝e x ﹣1﹣﹣a ＝h （x ），则h ′（x ）＝e x ﹣1+＞0，g ′（x ）在（0，+∞）递增，当x →0，g （x ）→+∞，x →+∞，g （x ）→+∞，故g ′（x ）∈R ，故g ′（x ）在（0，+∞）上有唯一零点x 1，当x∈（0，x1），g′（x）＜0，x∈（x1，+∞），g′（x）＞0，故g（x1）为g（x）的最小值，由已知函数g（x）有且只有1个零点m，则m＝x1，故g′（m）＝0，g（m）＝0，则，则e m﹣1﹣lnm﹣（e m﹣1﹣）m+（e m﹣1﹣）＝0，得（2﹣m）e m﹣1﹣lnm+＝0，令p（x）＝（2﹣x）e x﹣1﹣lnx+（x＞0），故p（m）＝0，则p′（x）＝（1﹣x）（e x﹣1+），故x∈（0，1），p′（x）＞0，x∈（1，+∞），p′（x）＜0，故p（x）在（1，+∞）递减，∵p（1）＝1＞0，p（e）＝（2﹣e）e e﹣1﹣1+＝（2﹣e）e e﹣1﹣＜0，故p（x）在（1，e）上有1个零点，在（e，+∞）无零点，故m＜e．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的普通方程及其极坐标方程；（Ⅱ）设直线l的极坐标方程为ρsin（）＝2，射线OM：θ＝与圆C的交点为P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【分析】（Ⅰ）先将圆的参数方程消去参数得到普通方程，再由普通方程根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ变换即可得出圆的极坐标方程；（Ⅱ）由题意线段PQ的长|PQ|＝|ρP﹣ρQ|，故联立对应方程求出极径，直接代入公式即可求出线段的长度．【解答】（Ⅰ）∵圆C的参数方程为（α为参数），∴消去参数α得普通方程为：x2+（y﹣1）2＝1．又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，∴（ρcos θ）2+（ρsin θ﹣1）2＝1，化简得圆C的极坐标方程为：ρ＝2sin θ．（Ⅱ）∵射线OM：θ＝与圆C的交点为P．∴把θ＝代入圆的极坐标方程可得：ρP＝2sin＝1．又射线OM：θ＝与直线l的交点为Q，∴把θ＝代入直线l的极坐标方程可得：ρsinθ＝2．ρQ＝2．∴线段PQ的长|PQ|＝|ρP﹣ρQ|＝1．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程普通方程的互化，以及利用极坐标方程求线段的长度，属于参数方程与极坐标方程的综合题，熟练掌握三种方程及它们间转化的规律是解答的关键．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤2；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，若a，b均为正数，且+＝m，求a+b的最小值．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；（Ⅱ）求出m的值，根据基本不等式的性质求出a+b的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝，∴或或，∴﹣1≤x≤1，∴不等式解集为[﹣1，1]………………………（Ⅱ）∵|x﹣1|+|x+1|≥|（x﹣1）﹣（x+1）|＝2，∴m＝2，又+＝2，a＞0，b＞0，∴+＝1，∴a+b＝（a+b）（+）＝++≥+2＝，当且仅当即时取等号，∴（a+b）min＝，………………………（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道常规题．。
湖南师大附中2018-2019学年高二下学期期中理数(答案)
湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试理科数学参考答案－(这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2018－2019学年度高二第二学期期中考试数学(理科)参考答案 第Ⅰ卷 (满分100分)一、选择题二、填空题11．4. 12.14 13.6 14.⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )15．16π 【解析】正四棱锥P －ABCD 底面的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝R ，S ABCD ＝2R 2，V P －ABCD ＝163，所以13·2R 2·R＝163，解得R ＝2，则球O 的表面积是16π. 三、解答题 16．【解析】(1)由图可知，本次竞赛成绩的众数是75.因为前三个小组的频率之和为0.4，所以中位数落在第四个小组内． 设中位数为x ，则有(x －70)×0.03＝0.5－0.4，解得x ≈73.3. 所以中位数约为73.3.(3分)(2)因为不低于80分的频率＝(0.025＋0.005)×10＝0.3，所以1200名学生中可以获得礼物的人数约为1200×0.3＝360.(6分) 17．【解析】(1)由已知，f(1)＝2a －13＝13，解得a ＝1.(1分)(2)由(1)知，f(x)＝2x －12x ＋1，∵2x >0，2x ＋1>1，∴f(x)的定义域为R .∵f(x)＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，又∵2x ∈(0，＋∞)，∴22x ＋1∈(0，2)，∴f(x)的值域为(－1，1)．(5分)(3)∵f(x)的定义域为R ，且f(－x)＝2－x －12－x ＋1＝1－2x1＋2x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(8分)18．【解析】(1)连结BD ，交AC 于点O.连结OE.因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为BD 的中点， 又E 为PD 的中点，所以OE 为△PBD 的中位线， 所以OE ∥PB.又PB 平面AEC ，OE平面AEC ，所以PB ∥平面AEC.(3分)(2)因为四边形ABCD 是正方形，所以CD ⊥AD. 因为PA ⊥底面ABCD ，所以CD ⊥PA.又AD ∩PA ＝A ，所以CD ⊥平面PAD.(6分) (3)因为V C －ADE ＝V E －ACD ＝13·h·S △ACD ＝23，又因为底面ABCD 是边长为2的正方形，所以S △ACD ＝2，所以h ＝1. 又因为E 是PD 的中点，所以PA ＝2h ＝2.所以PB ＝PD ＝2 2.所以四棱锥P －ABCD 的侧面积＝2S △PAB ＋2S △PBC ＝2⎝⎛⎭⎫12×2×2＋12×2×22＝4＋4 2.(8分)19．【解析】(1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝sin x －3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin x －3cos x ＝0，解得tan x ＝ 3.(4分)(2)f(x)＝()sin x －3cos x cos x ＝sin xcos x －3cos 2x ＝12sin 2x －3·1＋cos 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，所以f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－3，1－32.(8分) 20．【解析】(1)∵2a n ＝2＋S n ， ①∴2a n －1＝2＋S n －1(n ≥2)． ②①－②得a n ＝2a n －1(n ≥2)，又2a 1＝2＋a 1，a 1＝2，∴a n ＝2n .(3分) (2)b n ＝n·a n ＝n·2n ，用错位相减法得：T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n ， ①2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n ＋1， ②①－②，得T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.(6分) (3)c n ＝T n －2a 2n ＋1＝（n －1）·2n ＋122n ＋1＝n －12n ， 由⎩⎨⎧c n ≥c n ＋1，c n ≥c n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧n －12n≥n2n ＋1，n －12n≥n －22n －1，解得2≤n ≤3(n ∈N *)． ∴n ＝2或n ＝3时，c n 最大，即c 2＝c 3＝14为{}c n 中的最大项．(10分)第Ⅱ卷 (满分50分)一、选择题 21．A 【解析】①为假命题，“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题应为“若x 2≠1，则x ≠1”；②为假命题，“x ∈R ，x 2＋x －1<0”的否定应为“x ∈R ，x 2＋x －1≥0”；③正确；④为假命题，“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件．选A.22．C 【解析】解：由题意可得A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，b)，B 2(0，－b)， F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，且a 2＋b 2＝c 2，菱形F 1B 1F 2B 2的边长为b 2＋c 2，由以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D. 由面积相等，可得12·2b·2c ＝12a·4b 2＋c 2，即为b 2c 2＝a 2(b 2＋c 2)，即有c 4＋a 4－3a 2c 2＝0， 由e ＝ca，可得e 4－3e 2＋1＝0，解得e 2＝3±52，可得e ＝1＋52，或e ＝5－12(舍去)．故选C.23．B 【解析】8的顺序数为2，则8必是排第三位.7的顺序数为3，则7必是第5位，那么还得考虑5和6，有两种，(1)5在6的前面．那么5只能排在第6位，6可以是第7或第8位，其它四个任排，有2A 44＝48种．(2)6在5前面， 5在第7位，有4A 44＝96种．所以满足题意的排列总数为48＋96＝144种．故选B.二、填空题24.163 【解析】抛物线C 的直角坐标方程为x 2＝4y ，直线l 的方程为x ＝3(y －1)， 设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x 2＝4y ，x ＝3（y －1）解得y 1＋y 2＝103，又直线过抛物线的焦点F(0，1)，所以||AF ＋||BF ＝y 1＋1＋y 2＋1＝103＋2＝163.25．(1，e) 【解析】因为0<a<b ，对等式a b＝b a的两边取自然对数，得bln a ＝aln b ，即ln a a ＝ln b b .构造函数f(x)＝ln xx (x>0)，则f′(x)＝1－ln x x 2，令f′(x)＝0得x ＝e.易知f(x)在区间(0，e)内单调递增，在区间(e ，＋∞)内单调递减，所以f(x)max ＝f(e)＝1e .因为f(1)＝0，所以当x ∈(0，1)时f(x)<0；当x>1时f(x)>0.如图所示，a ，b 可以看成是函数f(x)＝ln xx (x>0)的图象与直线y＝k(k>0)的两个交点的横坐标．因为0<a<b ，所以a 的取值范围是(1，e)．三、解答题 26．【解析】(1)设Q(x 0，0)，由F 2(c ，0)，A(0，b)， 知F 2A →＝(－c ，b)，AQ →＝(x 0，－b)，∵F 2A →⊥AQ →，∴－cx 0－b 2＝0，x 0＝－b 2c .由于||QF 1＝||F 1F 2，故－b 2c ＋c ＝－2c ，∴b 2＝3c 2＝a 2－c 2，即c ＝12a ，于是F 2⎝⎛⎭⎫12a ，0，Q ⎝⎛⎭⎫－32a ，0. 又因为△AQF 2的外接圆圆心为⎝⎛⎭⎫－12a ，0，半径r ＝a.该圆与直线x －3y －3＝0相切， 所以⎪⎪⎪⎪－12a －32＝a a ＝2.∴c ＝1，b ＝ 3.∴所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)由(1)知F 2(1，0)，设l ：y ＝k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1消掉y ，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(6分)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2－2)，(7分)PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)， 由于菱形的对角线垂直，故(PM →＋PN →)·MN →＝0，(9分)故k(y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，即k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，即：k 2⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0， 由已知条件知k ≠0且k ∈R ，∴m ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4，∴0<m<14，故存在满足的点P(m ，0)且m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，14.(12分) 27．【解析】(1)a ＝0时，f(x)<g(x)ln(x ＋1)<bx ， 设h(x)＝ln(1＋x)－bx ，则h′(x)＝11＋x－b. 若b ≤0，显然不满足题意；若b ≥1，则x ∈[)0，＋∞时，h ′(x)＝11＋x－b ≤0恒成立， ∴h(x)在()0，＋∞上为减函数，有ln(x ＋1)－bx<h(0)＝0在()0，＋∞上恒成立； 若0<b<1，则h′(x)＝11＋x－b ＝0时，x ＝1b －1，x ∈⎣⎡⎭⎫0，1b －1时h′(x)≥0， 所以h(x)在⎣⎡⎭⎫0，1b －1上单调递增． ∵h(0)＝0，∴x ∈⎣⎡⎭⎫0，1b －1时，h(x)>0，不满足题意． 综上，b ≥1时f(x)<g(x)在()0，＋∞上恒成立．(4分) (2)由(1)得ln(x ＋1)<x 在()0，＋∞上恒成立．令x ＝1n ＋1有 ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＋1<1n ＋1，1－1n ＋1<1－ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＋1， 则c n ＝1－1n ＋1<1－ln(n ＋2)＋ln(n ＋1)，∴S n <()1－ln 3＋ln 2＋(1－ln 4＋ln 3)＋…＋(1－ln(n ＋2)＋ln(n ＋1))， 即S n <n －ln ⎝⎛⎭⎫n ＋22.(8分)(3)f(x －1)＝ln x ，设点P ，Q 的坐标是P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，且0<x 1<x 2， 则点M ，N 的横坐标为x ＝x 1＋x 22.C 1在点M 处的切线斜率为k 1＝⎪⎪1x x ＝x 1＋x 22＝2x 1＋x 2.C 2在点N 处的切线斜率为k 2＝ |ax ＋b x ＝x 1＋x 22＝a （x 1＋x 2）2＋b. 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则k 1＝k 2. 即2x 1＋x 2＝a （x 1＋x 2）2＋b.所以2（x 2－x 1）x 1＋x 2＝a （x 22－x 21）2＋b(x 2－x 1)＝⎝⎛⎭⎫a 2x 22＋bx 2－⎝⎛⎭⎫a 2x 21＋bx 1＝y 2－y 1＝ln x 2－ln x 1＝ln x 2x 1. 所以ln x 2x 1＝2（x 2－x 1）x 1＋x 2＝2⎝⎛⎭⎫x 2x 1－11＋x 2x 1.(10分)设u ＝x 2x 1>1，则ln u ＝2（u －1）1＋u，u>1. ①令r(u)＝ln u －2（u －1）1＋u，u>1，则r′(u)＝1u －4（u ＋1）2＝（u －1）2u （u ＋1）2.因为u>1，所以r′(u)>0，所以r(u)在[1，＋∞)上单调递增． 故r(u)>r(1)＝0，则ln u>2（u －1）u ＋1.这与①矛盾，假设不成立．故不存在点R ，使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行．(13分)(这是边文，请据需要手工删加)。
2019-2020学年湖南师范大学附属中学高二上学期第一次阶段性检测数学试题(含答案解析)
2019-2020学年湖南省长沙市湖南师范大学附属中学高二上学期第一次阶段性检测数学试题一、单选题1．学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为（）A．110B．3353C．35353D．3350【答案】C【解析】每位同学被选中的概率都相等，为35 353.【详解】由题：甲被选中，必须首先要没有被剔除，然后再被选中，所以其概率为3503535 353350353⨯=.故选：C【点睛】此题考查概率的计算，其本质反映了采取此种抽样方法对每个个体公平. 2．对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是13；③若一种彩票买一张中奖的概率是11000，则买这种彩票一千张就会中奖；④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】概率与试验重复的次数无关，抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是1 2，若一种彩票买一张中奖的概率是11000，则买这种彩票一千张仍然不一定中奖，姚明投篮的结果中与不中概率不相等.【详解】随机事件的概率与频率不一样，与试验重复的次数无关，所以①错误；抛掷两枚均匀硬币一次，可能的结果：正正，正反，反正，反反，所以出现一正一反的概率是12，所以②错误； 若一种彩票买一张中奖的概率是11000，这是随机事件，则买这种彩票一千张不一定会中奖，所以③错误；“姚明投篮一次，求投中的概率”， 姚明投篮的结果中与不中概率不相等，不属于古典概型概率问题，所以④错误． 故选：A 【点睛】此题考查概率及相关概念的辨析，涉及古典概型的辨析，对基本事件的认识.3．写出命题:p “0x R ∃∈，使得00sin cos x x +=的否定并判断p ⌝的真假，正确的是（ ）A ．p ⌝是“x R ∀∈，sin cos x x +≠且为真B ．p ⌝是“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +≠且为真C ．p ⌝是“x R ∀∈，sin cos x x +=且为假D ．p ⌝是“0x R ∃∉，使得00sin cos x x +≠且为假 【答案】A【解析】根据特称命题的否定方式写出命题，并判断真假. 【详解】命题:p “0x R ∃∈，使得00sin cos x x +=”的否定：p ⌝是“x R ∀∈，sin cos x x +≠，sin cos 4x x x π⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭p ⌝是真命题.故选：A 【点睛】此题考查特称命题的否定，并判断命题的真假，关键在于准确写出命题的否定，结合三角函数相关知识判断真假.4．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（ ）A ．12.5,12.5B ．13.5,13C ．13,12.5D ．13,13【答案】D【解析】根据频率分布直方图的平均数与中位数的计算方式即可求解. 【详解】由题：第一组面积50.040.2⨯=，第二组面积50.10.5⨯=，所以第三组面积0.3 平均数为：0.27.50.512.50.317.5 1.5 6.25 5.2513⨯+⨯+⨯=++=， 设中位数为x ，()0.2100.10.5x +-⨯=，解得13x =. 故选：D 【点睛】此题考查根据频率分布直方图求平均数和中位数，关键在于熟练掌握频率分布直方图相关数据的计算方法，准确计算.5．已知下表所示数据的回归直线方程为$5y x a =-，且由此得到当7x =时的预测值是28，则实数m 的值为（ ）x2 3 4 56 y3712m23A ．18B ．20C ．21D ．22【答案】B【解析】根据当7x =时的预测值是28，求出7a =，求出样本点的中心，根据平均数求解. 【详解】当7x =时的预测值是28，2835a =-， 得7a =，4x =，可得13y =，∴()371223513m ++++÷=，得20m =．此题考查根据回归直线特征求已知数据中的值，关键在于准确掌握回归直线必过的点，建立等式求解.6．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知21832a a +=，则145S S -=（ ） A ．102S B ．144C ．288D ．()1145a a +【答案】B【解析】根据等差数列求和公式表示出145S S -，根据21832a a +=结合等差数列性质求解. 【详解】由题：等差数列中：()()614218145671499 (14422)a a a a S S a a a ++-=+++===．故选：B 【点睛】此题考查等差数列求和公式和等差数列性质的综合应用，熟练掌握相关性质可以减少计算量.7．“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）A ．“7m =”B ．“79m <<”C ．“59m <<”D ．“59m <<且7m ≠”【答案】C【解析】先解出曲线表示椭圆的充要条件，再结合选项求解. 【详解】考虑：方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆，则：905095m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即()()5,77,9m ∈U ，A 是其既不充分也不必要条件，B 是其充分不必要条件，C 是其必要不充分条件，D 是其充要条件.此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于根据曲线表示椭圆准确求解参数的范围，准确辨析必要不充分条件的集合表示关系.8．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A =“甲击中靶”，事件B =“乙击中靶”，事件E =“靶未被击中”，事件F=“靶被击中”，事件G =“恰一人击中靶”，对下列关系式（A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()()1P F P E =-，⑦()()()P F P A P B =+．其中正确的关系式的个数是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，依次判定即可. 【详解】由题可得：①E AB =，正确；②事件F=“靶被击中”，AB 表示甲乙同时击中，F AB AB AB =++，所以②错误；③F A B =+，正确，④A B +表示靶被击中，所以④错误；⑤G AB AB =+，正确；⑥,E F 互为对立事件，()()1P F P E =-，正确；⑦()()()()P F P A P B P AB =+-，所以⑦不正确． 正确的是①③⑤⑥． 故选：B 【点睛】此题考查事件关系和概率关系的辨析，需要熟练掌握事件的关系及其运算，弄清事件特征及其概率特征准确辨析.9．已知圆()221:116F x y ++=，定点()21,0F ，点P 在圆1F 上移动，作线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，则点M 的轨迹方程是（ ）A ．22134x y +=B ．221169x y +=C ．22143x y +=D ．22143x y -= 【答案】C【解析】根据线段2PF 的中垂线上的点到两端点距离相等，转化成12MF MF +为定值，即可得到椭圆. 【详解】因为线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，2MF MP =，则点M 满足：1211242MF MF F P F F +==>=，故点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，且24a =，22c =，所以椭圆的方程为22143x y +=．故选：C 【点睛】此题考查根据定义方法判定曲线轨迹为椭圆，需要熟练掌握平面图形的几何特征，根据几何关系判定曲线轨迹.10．已知双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是12,F F ，点P 是C 的右支上的一点（不是顶点），过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则||MO =（ ） A ．随P 点变化而变化 B ．2 C ．4D ．5【答案】C【解析】根据题意作出图形，由几何知识可知，()1121122MO DF PF PF a ==-=，即可求出． 【详解】如图所示：延长F 2M 交PF 1于D由几何知识可知，PM 垂直平分2DF ，而4a =，所以()11211422MO DF PF PF a ==-==． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查双曲线的定义应用，属于基础题．11．如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，点P 、Q 是C 上的两点，若212QF PF =u u u u r u u u r，且120F P F P ⋅=u u u r u u u u r ，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．5B ．7 C ．5 D ．7 【答案】A【解析】延长2QF 交椭圆C 于点M ，在1Rt F MQ ∆和12Rt F MF ∆两个直角三角形中结合勾股定理和椭圆的几何性质建立等量关系求解. 【详解】延长2QF 交椭圆C 于点M ，得1Rt F MQ ∆，12Rt F MF ∆，设2QF m =，则122PF MF m ==，据椭圆的定义有12QF a m =-，122MF a m =-，在1Rt F MQ ∆中，()()()22222323a a m m a m m -+=-⇒=，在12Rt F MF ∆中，()()222225222459c a m m c a c e a -+=⇒=⇒==． 故选：A【点睛】此题考查根据椭圆中焦点三角形结合几何意义求解离心率，关键在于准确找出其中的几何关系，列方程求解.12．已知椭圆22221x y a b+=过定点()1,1，则22222b a b +的最大值是（ ）A ．516B ．12C ．916D ．34【答案】C【解析】根据椭圆经过的点得出等量关系22111a b +=，根据22222211122b a b a b +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭构造基本不等式或换元法构造二次函数求解最值. 【详解】由题意有22111a b +=，2222222211121119222216b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+≤= ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦．当221112a b =+时取得等号，即2114b =时，取得最大值. 故选：C 【点睛】此题考查根据椭圆上的点的坐标建立等量关系，利用基本不等式或二次函数求解最值，需要注意求最值一定考虑最值成立的条件能否取到.二、填空题13．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为______． 【答案】34【解析】至少需要等待10秒才出现绿灯说明该行人在红灯亮起前30秒内到达该路口，根据几何概型求解. 【详解】行人在红灯亮起30秒内到达该路口，则至少需要等待10秒才出现绿灯， 根据几何概型的概率公式可知，所求事件的概率303404P ==．故答案为：34【点睛】此题考查几何概型，关键在于准确识别概率模型，利用长度求解概率.14．设,R a b ∈，则“()2log 0a b ->”是“a b >”的______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要【解析】()2log 0a b ->一定能推出a b >，但是a b >不能推出1a b ->，所以不能得出()2log 0a b ->，即可得解. 【详解】“()2log 0a b ->”的充要条件是1a b ->，1a b ->是a b >的充分不必要条件，则“()2log 0a b ->”是“a b >”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于准确掌握其中的逻辑关系，正确识别其中能否相互推出.15．设函数()23f x x x a =-+，已知(]01,3t ∃∈，使得当[]01,x t ∈时，()0f x ≤有解，则实数a 的取值范围是______． 【答案】9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】由题可得：()0f x ≤有解，只需()min 0f x ≤即可，根据题意求出最小值解不等式得解. 【详解】依题意，只需[]01,3x ∃∈，()00f x ≤，即()min 39024f x f a ⎛⎫==-≤⎪⎝⎭， 就一定(]01,3t ∃∈，使得当[]01,x t ∈时，()0f x ≤有解， 故94a ≤． 故答案为：9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】此题考查根据不等式关系求参数范围，属于能成立问题即有解问题，需要区分清楚能成立与恒成立求参数之间的差别，避免出现混淆.16．设数列{}n a 满足11a =，2180a =，()21nn n a a n n +=++-，则：（1）1352019...a a a a ++++=______； （2）数列22n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项对应的项数n 为______． 【答案】1010 9或10【解析】（1）根据递推关系：当n 为奇数时，211n n a a a +==⋅⋅⋅==，即可求解； （2）当n 为偶数时，()22241k k a a k -=+-结合()()2242222...n n n a a a a a a -=+-++-求出公式，即可得解. 【详解】（1）当n 为奇数时，211n n a a a +==⋅⋅⋅==， 即21211k k a a +-==，1352019...1010a a a a ++++=．（2）由()22241k k a a k -=+-，知()()2242222...n n n a a a a a a -=+-++-()()180412...118021n n n =++++-=+-⎡⎤⎣⎦，于是()21802190122n n n a n n n n+-==+-，由对勾函数的性质知，9n =或10． 故答案为：（1）1010；（2）9或10. 【点睛】此题考查根据数列的递推关系进行数列求和以及求通项公式，求数列的最小项，关键在于根据递推关系合理变形，找准利于解题的关系或代数特征.三、解答题17．ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c sin sin 2C c A ⋅=⋅. （1）求A ；（2）若a =b =ABC ∆的面积.【答案】（1）6π；（2. 【解析】（1）应用正弦的二倍角公式结合正弦定理可得cos A ，从而得A ．（2）用余弦定理求得c ，再由三角形面积公式可得三角形面积． 【详解】（1sin sin 2C c A ⋅=⋅，sin sin sin 2A C C A ⋅=⋅， 因为sin 22sin cos A A A =，sin sin 0A C ≠，所以cos 2A =. 因为0A π<<， 所以6A π=.（2）因为a =b =6A π=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2650c c -+=， 解得1c =或5c =，均适合题.当1c =时，ABC ∆的面积为1sin 22S bc A ==.当5c =时，ABC ∆的面积为1sin 22S bc A ==. 【点睛】本题考查二倍角公式，正弦定理，余弦定理，考查三角形面积公式．三角形中可用公式很多，关键是确定先用哪个公式，再用哪个公式，象本题第（2）小题选用余弦定理求出c ，然后可直接求出三角形面积，解法简捷．18．“中秋节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中，按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法，抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km /h ）分成六段：[)60,65，[)65,70，[)70,75，[)75,80，[)80,85，[]85,90后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[)60,70内的车辆中任意抽取2辆，求车速在[)65,70内的车辆至少有一辆的概率．【答案】（1）77.5，77.5 （2）1415【解析】（1）众数的估计值是最高组的中间值，寻找中位数的估计值为x ，使其左右两侧频率相等，列方程求解；（2）求出车速在[)60,65有2辆，车速在[)65,70有4辆，根据古典概型求解概率. 【详解】（1）由频率分布直方图可知众数的估计值为77.5． 设中位数的估计值为x ，由()50.010.020.040.350.5⨯++=<，0.350.0650.650.5+⨯=>，得7580x <<． 所以()0.350.06750.5x +⨯-=，解得77.5x =， 即中位数的估计值为77.5．（2）从题图中可知，车速在[)60,65内的车辆数为0.015402⨯⨯=， 车速在[)65,70内的车辆数为0.025404⨯⨯=．记车速在[)60,65内的两辆车为,a b ，车速在[)65,70内的四辆车为,,,c d e f ， 则所有的基本事件有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，共15个，其中车速在[)65,70内的车辆没有一辆的基本事件只有一个：(),a b ，所以车速在[)65,70内的车辆至少有一辆的概率为11411515P =-=． 【点睛】此题考查根据频率分布直方图求众数和中位数，结合直方图的特征求解频数，利用古典概型求解概率，考查基础知识.19．设双曲线22:13y x Γ-=，正项数列{}n x 满足11x =，对任意的2n ≥，*N n ∈，都有()1n n x -是Γ上的点． （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）记12231111...n n n S x x x x x x +=++++++，是否存在正整数m ，使得22133m y x S -=与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）n x = （2）存在，9999m =【解析】（1）根据曲线方程求出2211n n x x --=，得出等差数列{}2n x 的通项公式即可求解；（2）使用裂项相消求和，求得n S ，结合渐近线方程求解. 【详解】 （1）由题，)21213n nx --=，即2211n n x x --=，2n ≥，*N n ∈，故{}2n x 是以211x =为首项，1为公差的等差数列，故2n x n =，又0n x >，于是n x =．（2）由11n n x x +==+得)12231111...1 (1)n n n S x x x x x x +=+++=+++=+++，Γ的渐近线方程为y =，22133m y x S -=的渐近线方程为y =，故333mS =，即199m S ==，故9999m =． 【点睛】此题考查圆锥曲线与数列的综合应用，涉及数列通项的求法，数列的裂项求和，与双曲线几何性质的综合使用.20．某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：（1）根据1至5月份的数据，先求出y 关于x 的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润＝销售收入－成本）． 参考数据：51392i ii x y==∑，521502.5i i x ==∑．参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y bxnxx x ====-⋅--==--∑∑∑∑u r$，a y bx =-$$．【答案】（1）$ 3.240y x =-+，理想 （2）单价定为7.5元/件时，获得的利润最大 【解析】（1）求出平均数，根据公式求解回归直线方程，结合给定数据检验是否理想； （2）根据单价和销量得出利润关于单价的函数关系，根据函数求解最值. 【详解】 （1）因为()199.51010.511105x =++++=，()1111086585y =++++=， 所以23925108 3.2502.5510b-⨯⨯==--⨯$，则$()8 3.21040a =--⨯=，于是y 关于x 的回归直线方程为$ 3.240y x =-+． 由6月数据有：8x =，此时，$ 3.284014.4y =-⨯+=，则$14.414.20.20.5y y -=-=<， 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的． （2）令销售利润为W ，则()()()22.5 3.240 3.2481002.512.5W x x x x x =--+=-+-<<，因为()2153.215100 3.2100802x x W x x -+⎛⎫=-+-≤⨯-= ⎪⎝⎭，当且仅当15x x =-+，即7.5x =时，W 取最大值． 所以该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大． 【点睛】此题考查求线性回归直线方程，并检验回归直线是否理想，关键在于根据公式准确计算，建立函数模型，求解利润最大的问题.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1，且离心率为2．（1）设过点11,36P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线与椭圆E 相交于M 、N 两点，若MN 的中点恰好为点P ，求该直线的方程；（2）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆E 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点()0,Q m ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）102x y -+= （2）,44⎡-⎢⎣⎦【解析】（1）根据椭圆上的点和离心率求出椭圆方程，结合点差法解决中点弦问题，求出直线斜率，求解直线方程；（2）设直线AB 的方程，联立直线和椭圆，根据交点坐标关系，求出线段AB 的垂直平分线方程，得出m 的表达式，利用函数关系求解取值范围. 【详解】（1）由题意，得2222112b c e a a b c⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆E 的标准方程是2212x y +=．设点()11,M x y ，()22,N x y ，则221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 两式相减得()()()()1212121220x x x x y y y y +-++-=， 又1223x x +=-，1213y y +=，代入得1212x x y y -=-，即1MN k =， 故所求直线的方程是1163y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即102x y -+=． （2）（i ）当直线l 与x 轴垂直时，0m =，符合题意．（ii ）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =-，0k ≠．联立方程()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，可得()()2222124210kxk x k +-+-=，易知>0∆．设()33,A x y ，()44,B x y ，线段AB 的中点为C ，则2342412k x x k +=+，()23422112k x x k-⋅=+， 所以()343422212ky y k x x k-+=+-=+， 所以线段AB 的中点C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．由题意可知，AB CQ ⊥，0k ≠，故直线QC 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭．令0x =，得212k y k =+，即212km k =+．当0k >时，得21011242k m k k k<==≤++，当且仅当2k =时等号成立； 当k 0<时，得()21014122k m k k k -≤==-<+⎛⎫+- ⎪-⎝⎭，当且仅当2k =时等号成立．综上所述，实数m的取值范围为⎡⎢⎣⎦． 【点睛】此题考查求椭圆方程，利用点差法解决中点弦问题，讨论直线与椭圆形成弦的中垂线与坐标轴交点坐标的取值范围，此题也可设直线l 的方程为1x ty =+求解． 22．已知函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，0a >． （1）若命题：“[]01,4x ∃∈，()01f x >”是真命题，求a 的取值范围；（2）若2a =，1>0x ，20x >，121x x =+，求()()12f x f x +的最小值；（3）若1,12t ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【答案】（1）1a >；（2）4 ；（3）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）[]01,4x ∃∈，()01f x >，结合单调性只需()()max 10f x f =>即可求解； （2）化简()()122221212113log 2log 2log 4f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭结合基本不等式求解最值；（3）根据单调性()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，转化为()2110at a t ++-≥，对任意的1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，即可求解．【详解】（1）依题，当120x x <<时，12110a a x x +>+>，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,+?上单调递减．故()()max 10f x f =>，即21log 11a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，解得1a >．（2）由1>0x ，20x >，121x x =+及基本不等式得，()21212144x x x x+≤=，故()()1222212121111log 2log 2log 22f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1222121212121111log 24log 24x xx x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+=+++=++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦()22123log 4log 3444x x ⎛⎫=+≥⨯+= ⎪⎝⎭，等号当且仅当1212x x ==时成立． 故()()12f x f x +的最小值为4． （3）由（1）知()f x 在()0,+?上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意的1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】此题考查对数型复合函数相关知识，涉及单调性讨论最值，利用基本不等式求最值，根据不等式恒成立求参数最值，综合性强.。
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1 绝密★启用前 湖南省湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期
中考试数学（文）试题
评卷人 得分 一、单选题
1．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析：直接利用二倍角的余弦公式求解即可.
详解：,故选C. 点睛：本题主要考查二倍角的余弦公式，属于简单题. 2．已知数列1，，，，…，，…，则是它的( )[ A． 第22项 B． 第23项 C． 第24项 D． 第28项 【答案】B
【解析】试题分析：由数列前几项可知，令得 考点：数列通项公式 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝c＝2a，则cos B＝
A． B． C． D． 1 【答案】B 【解析】 【分析】
将三角形的三边都用表示，然后根据余弦定理求解即可． 【详解】
在△ABC中，由余弦定理得． 故选B． 2
【点睛】 本题考查余弦定理的应用，解题的关键是把三边进行统一表示，属于简单题．
4．在△中，角所对的边分别为,若，则△为 A． 钝角三角形 B． 直角三角形 C． 锐角三角形 D． 等边三角形 【答案】A
【解析】由正弦定理可得，即，所以是钝角，选A.
5．已知点 在函数的图象上，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】
根据，利用基本不等式计算出的最小值为. 【详解】
故选. 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，属中档题. 6．《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节的容积为（ ）
A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析：设此等差数列为{an}，公差d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，可得4a1+6d=3，3a1+21d=4，联立解出即可得出a1与d的值，由等差数列的通项公式计算可得答案． 3
详解：根据题意，设该竹子自上而下各节的容积为等差数列{an}， 设其公差为d，且d＞0， 由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4， 则4a1+6d=3，3a1+21d=4，
解可得a1=，d=， 则第6节的容积a6=a1+5d= 故答案为：A 点睛：本题主要考查等差数列的通项，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力.
7．设为等比数列{}的前n项和,,则＝ A． 10 B． 9 C． -8 D． -5 【答案】A 【解析】
由,得,故. 故选A
8．数列na满足11nnnaan，则数列na的前20项的和为（ ） A． 100 B． 100 C． 110 D． 110 【答案】A 【解析】由11nnnaan，得2134561,3,5aaaaaa，
1920...,19aa， na的前20项的和为
121920119...13...19102aaaa 100，故选A.
9．若实数满足约束条件，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程 4
可知，要使最大，则直线在轴上的截距最大，结合可行域可知当直线过点时z最大，求出的坐标，代入得答案．
详解：由满足约束条件作出可行域如图， 由，得 ． 要使z最大，则直线的截距最大， 由图可知，当直线过点时截距最大． 联立，解得）， ∴的最大值为． 故选：B． 点睛：本题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．
10．已知，则取最大值时的值为（ ）．
A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分析：由，利用基本不等式可得结果. 详解：∵，
∴，当且仅当时取等号． ∴取最大值时的值为． 故选． 点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一 5
定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次
用或时等号能否同时成立）. 11．已知等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，若对所有的n(n∈N*)，都有Sn≥S10，则 A． an≥0 B． a9·a10<0 C． S2【答案】D 【解析】 【分析】
由题意得到等差数列前n项和的最小值为，进而得到，然后再根据等差数列项的下标和的性质以及求和公式，对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论． 【详解】
由对所有的n(n∈N*)，都有， 得等差数列{an}的前n项和Sn的最小值为， 所以a10≤0，a11≥0.
对于A，由以上结论可得显然不成立，所以A错误； 对于B，由以上结论可得，所以B错误； 对于C，由于，所以，因此C错误；
对于D，由以上结论可得，故，所以D正确． 故选D. 【点睛】 本题考查等差数列中的基本运算和分析判断的能力．解题的关键是由题意得到数列项的正负的结论，另外还要注意等差数列中“下标和”性质的应用，属于基础题．
12．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点， 6
若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设到的距离为，则，因为，所以，所以直线的斜率为，因为，所以直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，所以，故选． 【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决. 7
第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明
评卷人 得分 二、填空题
13．在等比数列{an}中，a4·a6＝2 018，则a3·a7＝ ________ . 【答案】2018 【解析】 【分析】 根据等比数列中项的下标和的性质求解即可． 【详解】 ∵数列{an}为等比数列，
∴． 故答案为：2018. 【点睛】
本题考查等比数列的项的下标和的性质，即在等比数列中，若，且，则，运用此性质可简化计算，提高解题的效率．
14．在△ABC中，a＝，b＝1，∠A＝，则cos B＝________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据正弦定理求出sin B，再根据平方关系求出cos B即可． 【详解】
在△ABC中，由正弦定理得，
∴． 又， 8
∴B为锐角， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查正弦定理和同角三角函数关系式的运用，解题时根据要求逐步求解后可得结论，属于基础题． 15．对于实数a、b、c，有下列命题：①若a>b，则acbc2，则a>b；
③若aab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0.其中正确的是________．(填写序号) 【答案】②③④⑤ 【解析】 【分析】 根据不等式的有关知识对给出的每个命题分别进行判断，进而可得正确的命题． 【详解】 对于①，当c＝0时，由a>b，可得ac＝bc，故①为假命题； 对于②，由ac2>bc2，得c≠0，故c2>0，所以可得a>b，故②为真命题；
对于③，若，则，且，所以，故③为真命题；
对于④，若，则，则，则，故④为真命题； 对于⑤，若a>b，，则，故a·b<0，所以，故⑤为真命题． 综上可得②③④⑤为真命题． 故答案为：②③④⑤. 【点睛】 本题考查不等式的性质及其应用，解题的关键是熟练、正确地运用有关性质进行解题，要特别注意在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向要改变等，这是容易出现错误的地方，属于基础题． 9
16．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是__________．
【答案】 【解析】 【分析】
根据题意及椭圆、双曲线的定义求出双曲线的实半轴长，然后根据双曲线的离心率公式可得所求． 【详解】
由题意设双曲线的方程为，则， ∵A是C1，C2在第二象限的公共点， ∴|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a， ∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a. 在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°， ∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
即(2－a)2＋(2＋a)2＝(2)2， 解得，
∴e＝＝＝. ∴曲线C2的离心率是． 【点睛】 在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内
容，双曲线的离心率涉及的也比较多．由于是一个比值，故只需根据条件得到关于的一个关系式，利用消去b，然后变形求e，并且需注意e>1．