联考数学卷
2024-2025学年湖南省“天壹大联考”高一上期中联考数学试题(B卷)(含答案)
2024-2025学年湖南省“天壹大联考”高一上期中联考数学试题（B卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|−2≤x<2}，B={x|x≥−1}，则集合A∩B为( )A. {x|x≥−2}B. {x|−1<x<2}C. {x|−1≤x<2}D. {x|−2≤x<2}2.命题“∀x∈R，x2+2x+1>0”的否定为( )A. ∃x∈R，x2+2x+1≤0B. ∀x∉R，x2+2x+1≤0C. ∃x∉R，x2+2x+1>0D. ∀x∈R，x2+2x+1≤03.若幂函数y=(9m−2)x m，则m=( )A. 13B. 12C. 2D. 14.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x2−1，则f(−2)=( )A. −54B. −34C. −3D. 35.已知函数f(3x)=6x−4，且f(m)=8，则m=( )A. 2B. 6C. 25D. 446.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0，甲写错了常数b，得到的解集为{x|1<x<6};乙写错了常数c，得到的解集为{x|1<x<4}.那么原不等式的解集为( )A. {x|−1<x<6}B. {x|−6<x<1}C. {x|−3<x<−2}D. {x|2<x<3}7.若0<a<b<1，则( )A. a a<b a，b b<a bB. b a<a a，b b<a bC. b a<a a，a b<b bD. a a<b a，a b<b b8.已知函数f(x)={|x2−4x−5|,x≥0,1−3x,x<0,则方程[f(x)]2−6f(x)+5=0的解的个数为( )A. 5B. 6C. 7D. 8二、多选题：本题共3小题，共18分。
福建省福州市屏东、延安、十六中联考2024-2025学年上学期九年级期中考数学试卷(含答案)
2024-2025学年第一学期期中考试九年级数学试题（满分150分，完卷时间120分钟）班级______姓名______成绩______一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所给出的四个选项恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.2.用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ）A. B. C. D.3.如图，在中，，则等于（ ）A. B. C. D.4.抛物线与轴的交点是（ ）A. B. C. D.5.正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（ ）A.4B.6C.8D.126.如图，将绕点逆时针旋转，得到.若点在线段的延长线上，则的度数为（ ）A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，则点的坐标为（ ）A. B.或C.或 D.2450x x --=()221x +=()221x -=()229x +=()229x -=O e 60ABC ∠=︒AOC ∠30︒60︒120︒150︒223y x =+y ()0,5()0,3()0,2()2,145︒ABC △A 100︒ADE △D BC B ∠30︒40︒50︒60︒ABC △()4,2A ()2,0B ()0,0C O 12A B C '''△A '()2,1()1,2()1,2--()2,1()2,1--()1,2--8.如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则为（ ）A. B. C. D.9.已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误是（ ）01230343A.开口向下 B.顶点坐标为C.当时，随的增大而减小D.10.如图，在矩形中，，，以点为圆心作与直线相切，点是上一个动点，连接交于点，则的最小值是（ ）.A. B.1D.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.在直角坐标系中，若点，点关于原点中心对称，则______.12.已知关于的一元二次方程有一个根为，则______.13.如图，在中，分别交、于点、；若，，，则的长为______.14.如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为______.ABCD □E CD AE BD AE BD F :4:25DEF ABF S S =△△:DF BF 2:52:33:53:22y ax bx c =++y x x1-y m()1,41x <y x 0m =ABCD 8AB =6AD =C C e BD P C e AP BD T AT PT3512()1,A a (),2B b -a b +=x 20x x m -+=2-m =ABC △MN BC ∥AB AC M N 1AM =2MB =9BC =MN ABCD O e 100A ∠=︒DCE ∠15.若圆锥的高为，母线长为，则这个圆锥的侧面展开图的弧长是______.（结果保留）16.关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②③；④，其中正确结论的结论是______.三、解答题（本大题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题8分）用适当的方法解下列方程：（1）（2）18.（本小题8分）已知是关于的一元二次方程，求证：方程总有两个不相等的实数根.19.（本小题8分）为了测量水平地面上一棵直立大树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端相距8米的点处，然后沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得米，观察者目高米，求树的高度.20.（本小题8分）如图1、图2，，均是等腰直角三角形，，（1）在图1中，求证：；（2）若绕点顺时针旋转一定角度后如图2所示，请问与还相等吗？为什么？图1 图221.（本小题8分）如图，是的直径，过点作的切线，点是射线上的一点，连接，过点作，交于点，连接.8cm 10cm cm πx 2220x mx n ++=y 2220y ny m ++=22m n <()()22112m n -+-≥1221m n -≤-≤2240x x +-=()3284x x x -=-()2310x a x a ++++=x B E BE D A 1.6DE = 1.5CD =AB AOB △COD △90AOB COD ︒∠=∠=AC BD =COD △O AC BD AB O e A O e AC P AC OP B BD OP ∥O e D PD（1）请补全图形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）证明：是的切线.22.（本小题10分）如图，四边形内接于，为的直径，平分，，点在的延长线上，连接.（1）求直径的长；（2）若.23.（本小题10分）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为8米，宽度为16米.现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）.（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；24.（本小题12分）问题背景：如图1，已知，求证：；尝试运用：如图2，在中，点是边上一动点，，且，，，与相交于点，在点运动的过程中，连接，当时，求的长度；拓展创新：如图3，是内一点，，，，，求的长.PD O e ABCD O e BD O e AC BAD ∠CD =E BC DE BD BE =P OM O OM x x ABC ADE ∽△△ABD ACE ∽△△ABC △D BC 90BAC DAE ︒∠=∠=ABC ADE ∠=∠4AB =3AC =AC DE F D CE 12CE CD =DE D ABC △BAD CBD ∠=∠12CD BD =90BDC ∠=︒3AB =AC =AD图1 图2图325.（本小题14分）已知抛物线过点和，与轴交于另一点，顶点为.（1）求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标；（2）如图1，为线段上方的抛物线上一点，，垂足为，轴，垂足为，交于点.当时，求的面积；（3）如图2，与的延长线交于点，在轴上方的抛物线上是否存在点，使若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.图1 图22024-2025学年第一学期期中考试九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）题号12345678910答案A D C B C B C A CD二、填空题（本大题共24分，每小题4分）11.112.13.314.15.16.①③④三、解答题（共8小题，满分86分）17.（1）解：.，，，22y ax ax c =-+()1,0A -()0,3C x B D D E BC EF BC ⊥F EM x ⊥M BC G BG CF =EFG △AC BD H x P OPB AHB ∠=∠P 6-100︒12π2240x x --=1a = 2b =-4c =-.，即，（2）解：或，.18.证明：，故方程总有两个不相等的实数根；19.解：根据题意，易得，则，则，即，解得：，答：树的高度为.20.解：（1）证明：，均是等腰直角三角形，，，，，；（2）答：相等.在图2中，，，，在和中，，，.21.解：（1）答：补全图形如图所示：()()2242414200b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=>1x ∴===11x =+21x =()()3242x x x -=--()()32420x x x -+-=()()3420x x +-=340x +=20x -=12x ∴=243x =-()()()22223411694425140a a a a a a a a ∆=+-⨯⨯+=++--=++=++>90CDE ABE ∠=∠=︒CED AEB∠=∠ABE CDE ∽△△BE AB DE CD =81.6 1.5AB =7.5AB =AB 7.5m AOB △COD △90AOB COD ︒∠=∠=OA OB ∴=OC OD =OA OC OB OD ∴-=-AC BD ∴=90AOB COD ︒∠=∠=DOB COD COB ∠=∠-∠ COA AOB COB ∠=∠-∠DOB COA∴∠=∠DOB △COA △OD OC DOB COA OB OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS DOB COA ∴≌△△BD AC ∴=（2）解：证明：连接，切于，，即，，，，，，在和中，，，，，即，是的半径，是的切线.22.（1）解：如图所示，连接，为的直径，平分，OD PA O e A PA AB ∴⊥90PAO ∠=︒OP BD ∥DBO AOP ∴∠=∠BDO DOP∠=∠OD OB = BDO DBO ∴∠=∠DOP AOP ∴∠=∠AOP △DOP △,AO DO AOP DOP PO PO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS AOP DOP ∴≌△△PDO PAO ∴∠=∠90PAO ︒∠= 90PDO ︒∴∠=OD PD ⊥OD O e PD ∴O e OC BD O e AC BAD ∠，，..，，，即...（2）解：如图所示，设其中小阴影面积为，大阴影面积为，弦与劣弧所形成的面积为，由（1）已知，，，，.，弦弦，劣弧劣弧..为的直径，，，，...23.（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度为16米，现在点为原点，点，顶点，设抛物线的解析式为，把点，点代入得：，90BAD ︒∴∠=11904522BAC DAC BAD ∠=∠=∠=⨯︒=︒OB OD=90COD ︒∴∠=CD = OC OD =222OD CD ∴=228OD =2OD ∴=224BD OD OB ∴=+=+=1S 3S CD CD 2S 90COD ∠=︒45DAC ∠=︒OC OD =4BD =()11180904522BDC COD ︒︒︒∴∠=-∠=⨯=DAC BDC ∠=∠ ∴BC =CD BC =CD 12S S ∴=BD O e CD =90BCD ECD ∴∠=∠=︒BC CD ==BE = CE BE BC ∴=-=-=11622ECD S CE CD ∴=⋅=⨯=△13236ECD S S S S S S ∴=+=+==阴影部分△OM O ∴()16,0M ()8,8P 2y ax bx =+()16,0M ()8,8P 6488256160a b a b +=⎧⎨+=⎩解得抛物线的解析式为，，自变量的取值范围为：.（2）解：当时，，故能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆.24.证明：问题背景：，，，，，，.尝试应用：如图（2），连接，，，，，，，，，，，，，，，182a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴2128y x x =-+16OM = ()16,0M ∴x 016x ≤≤98 2.512x =--=21992072582232y ⎛⎫=-⨯+⨯=> ⎪⎝⎭ABC ADE ∽△△AB AC AD AE∴=BAC DAE ∠=∠BAD DAC DAC CAE ∴∠+∠=∠+∠BAD CAE ∴∠=∠AB AD AC AE=ABD ACE ∴∽△△CE 4AB = 3AC =90BAC ∠=︒5BC ∴===90BAC DAE ∠=∠=︒ ABC ADE ∠=∠ABC ADE ∴∽△△AB AC AD AE∴=43AB AD AC AE ∴==90BAC DAE ︒∠=∠= 90BAD CAE DAC ∴∠=∠=︒-∠BAD CAE ∴∽△△B ACE ∴∠=∠43AB BD AC CE ==设，，，，，，，，，，拓展创新：过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，图3，，，又，，，又，，即，，，，，，∴4BD x =3CE x =54CDx ∴=-90B ACB ︒∠+∠= 90ACE ACB ︒∴∠+∠=90DCE ︒∴∠=12EC DC = 31542x x ∴=-12x ∴=32EC ∴=3CD =DE ∴===A AB D AD M BM 90BAM ADM BDC ︒∴∠=∠=∠=BAD DBC ∠=∠ DAM BCD ∴∠=∠90ADM BDC ︒∠=∠= BDC MDA ∴∽△△BD DC MD DA∴=BDC ADM ∠=∠BDC CDM ADM CDM ∴∠+∠=∠+∠BDM CDA ∠=∠BDM CDA ∴∽△△BM DM BD AC AD DC∴==12CD BD = 2BD CD ∴=2BM AC ∴==2DM AD =，，，（舍去）.25.解：（1）把点，代入中，，解得，，顶点；（2）方法一：如图1，抛物线，令，，或，.设的解析式为，将点，代入，得，解得，..设直线的解析式为，设点的坐标为，将点坐标代入中，得，，联立得.AM ∴===222AD DM AM += 22423AD AD ∴+=AD ∴=()1,0A -()0,3C 22y ax ax c =-+203a a c c ++=⎧⎨=⎩13a c =-⎧⎨=⎩223y x x ∴=-++∴()1,4D 223y x x =-++0y =1x ∴=-3x =()3,0B ∴BC ()0y kx b k =+≠()0,3C ()3,0B 330b k b =⎧⎨+=⎩13k b =-⎧⎨=⎩3y x ∴=-+EF CB ⊥ EF y x b =+E ()2,23m m m -++E y x b =+23b m m =-++23y x m m ∴=-++233y x y x m m =-+⎧⎨=-++⎩.把代入，得，..，即.解得或.点是上方抛物线上的点，（舍去）.点，，，，，；方法二：图1如图所示，过点作、分别垂直，轴，分别交于，点设，由可知，则，则代入二次函数解析式化简的解得，（舍去）则22262m m x m m y ⎧-=⎪⎪∴⎨-++⎪=⎪⎩226,22m m m m F ⎛⎫--++∴ ⎪⎝⎭x m =3y x =-+3y m =-+(),3G m m ∴-+BG CF = 22BG CF ∴=()()2222223322m m m m m m ⎛⎫⎛⎫---+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2m =3m =- E BC 3,m ∴=-∴()2,3E ()1,2F ()2,1G EF ==FG ==112EFG S ∴==△F FR FH y x R H RF m =CF BG =CRF GMB ≌△△RF MB m ==32HM m ∴=-()232EG m =-()23263EM m m m ∴=-+=-()3,63E m m --2760m m -+=11m =26m =1121122EFG S EG FK ∴=⨯⨯=⨯⨯=△（3）如图2，过点作于，点，，.点，点，，联立得，.设，把代入，得，，联立得，，，..设点.过点作轴于点，在轴上作点使得，且点的坐标为.若在和中，，，.A AN HB ⊥N ()1,4D ()3,0B 26BD y x ∴=-+ ()1,0A -()0,3C 33AC y x ∴=+326y x y x =+⎧⎨=-+⎩35245x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩324,55H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭12AN y x b =+()1,0-12b =1122y x ∴=+112226y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩11585x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩118,55N ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭2222211816815555AN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22281655HN ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AN HN ∴=45H ∴∠=︒()2,23P n n n -++P PR x ⊥R x S RS PR =45RSP ︒∴∠=S ()233,0n n -++45OPB AHB ︒∠=∠=OPS △OPB △POS POB ∠=∠OSP OPB ∠=∠OPS OBP ∴∽△△...或或（舍去）.，，.OP OS OB OP∴=2OP OB OS ∴=⋅()()()222213333n n n n n ∴++-=⋅-++0n ∴=n =3n =()10,3P∴2P3P。
浙江温州瑞安、龙湾 2024-2025学年九年级上学期六校联考 数学试卷 (解析版)
2024学年第一学期九年级第8周监测数学卷卷首语：1．本卷共4页，考试时间120分钟，满分120分；2．全卷由试题卷和答题卡两部分组成，请将答案写在答题卡相应的位置；3．书写时字迹要工整，清晰，请勿使用涂改液、修正带等，不得使用计算器． 希望你沉着冷静，让智慧在笔尖流淌，用细心为成功奠基！一、选择题（共10小题，每题3分）1. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（ ）A. 14B. 12C. 34D. 1【答案】A【解析】【分析】本题考查几何概率问题，首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率．【详解】解：∵圆被等分成4份，其中红色部分占1份，∴落在红色区域的概率=14． 故选：A ．2. 已知O 的半径为8cm ，点A 在O 外，则OA 的长可能为（ ）A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9cm 【答案】D【解析】【分析】本题考查了点与圆的位置关系，先得到圆的半径为8cm ，根据点与圆的位置关系的判定方法得到当8cm d >时，点P 在O 外；当8cm d =时，点P 在O 上；当8cm d <时，点P 在O 内，然后对各选项进行判断．【详解】解：O 的半径为8cm ，点A 在O 外， ∴当8cm d >时，点A 在O 外；∴8cm OA >，故选：D ．3. 抛物线2y ax =经过点()2,3−，则a 的值是（ ） A. 34 B. 34− C. 29 D. 29− 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，将点(−2,3)代入2y ax =可得关于a 的方程，解之可得．【详解】解：将点(−2,3)代入2y ax =，得43a =， 解得34a =， 故选：A ．4. 一个袋中装有2个红球，1个白球，3个黄球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，则下列有关可能性说法中，正确的是（ ）A. 红球可能性最大B. 白球可能性最大C. 黄球可能性最大D. 三种小球的可能性相同 【答案】C【解析】【分析】本题考查可能性的大小即概率，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．分别用红球、白球或黄球的个数除以总球的个数，再比较即可得出答案．【详解】解：∵不透明的盒子中装有2个红球，1个白球和3个黄球，共有6个球， ∴摸到红球的可能性是2163=， 摸到白球的可能性是16， 摸到黄球的可能性是3162=， 111236>>， ∴摸到黄球的可能性最大，故选：C ．5. 函数221y x =−的图象，可以由抛物线22y x =平移得到，其平移过程是（ ）A. 向左1个单位B. 向右1个单位C. 向上1个单位D. 向下1个单位【答案】D【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．原抛物线顶点坐标为()00，，平移后抛物线顶点坐标为()01−，，由此确定平移规律． 【详解】解：抛物线22y x =的顶点坐标为()00，， 平移后的抛物线221y x =−的顶点坐标为()01−，， 所以，函数221y x =−的图象，可以由抛物线22y x =向下1个单位平移得到，故选：D ． 6. 如图，ABC 内接于O ．若AB AC =， BC度数为80°，则C ∠的度数为（ ）A 50°B. 60°C. 70°D. 80°【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据圆周角度数等于它所对弧度数的一半求出40BAC ∠°=，再由等腰三角形的性质和三角形定理可得结论．【详解】解：∵ BC所对圆周角是BAC ∠，且 BC 度数为80°， ∴180402BAC ∠=×°=°， ∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠， ∴()()11180180407022ACB BAC ∠=×°−∠=×°−°=°， 故选：C ．7. 若函数22y x x m =++的最小值为5，则m 的值为（ ）.A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的最值，将抛物线解析式化为顶点式即可解答．【详解】解：()22211y x x m x m =++=++−∵10>，∴函数22y x x m =++有最小值为1m −，又函数22y x x m =++的最小值为5，∴15m −=，解得，6m =，故选：B8. 如图，AB 为O 的直径，构造四边形OACD ，且弦CD AB ∥，若40D ∠=°，则C ∠的度数是（ ）A. 100°B. 105°C. 110°D. 115°【答案】C【解析】 【分析】此题考查圆内接四边形的性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识．连接BD ，由平行线的性质得到40DOB D ∠=∠=°，由OD OB =得到()1180702ODB OBD BOD ∠=∠=°−∠=°，由四边形ABDC 是O 的内接四边形即可得到C ∠的度数． 【详解】解：连接BD ，∵弦CD AB ∥，40CDO ∠=°，∴40DOB CDO ∠=∠=°，∵OD OB =， ∴()1180702ODB OBD BOD ∠=∠=°−∠=°， ∵四边形ABDC 是O 的内接四边形，∴180110ACD OBD ∠=°−∠=°，故选：C ．9. 若点(),m n 在抛物线()20y ax a >上，其中0m >，则不等式()22a x n −>的解为（ ） A. 2x m <−+或2x m >+B. 22m x m −+<<+C. 2x m <−−或2x m >−D. 22m x m −−<<−【答案】A【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及解不等式，先由点(),m n 在抛物线()20yax a >上得2n am =，再将其代入不等式()22a x n −>，再根据0a >，0m >得出解集即可．【详解】解：∵点(),m n 在抛物线()20yax a >上， ∴2n am =，∵()22a x n −>，∴()222a x am −>，∵0a >，∴()222x m −>，又∵0m >，∴2x m −<−或2x m −>，∴2x m <−+或2x m >+，故选：A ． 10. 如图在给定的O 中，弦AB 的弦心距6OH =，16CD =，点E 在弦CD 上，且5OE ED ==，当EAB 面积的为最大时，DH 的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 【分析】本题考查了圆与三角形的综合题，涉及勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于确定点E 的轨迹以及当点,,E O H 三点共线时，EN 最大，则EAB 面积最大．过点E 作EN AB ⊥于点N ，则点E 轨迹为以点O 为圆心，5为半径的圆，由OH AB ⊥，EO OH EN +≥，则当点,,E O H 三点共线时，EN 最大，则EAB 面积最大，过点D 作HO 延长线的垂线，垂足为点M ，过点O 作OG CD ⊥于点G ，由垂径定理得182DG CD ==，则3GE GD ED =−=，由勾股定理得4OG =，显然MED GEO △≌△，则4MD OG ==，3ME GE ==，故14MH =，在Rt DMH △中，由勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点E 作EN AB ⊥于点N ，∵5OE =，∴点E 轨迹为以点O 为圆心，5为半径的圆，∵OH AB ⊥，EO OH EN +≥，∴当点,,E O H 三点共线时，EN 最大，则EAB 面积最大，如图：过点D 作HO 延长线的垂线，垂足为点M ，过点O 作OG CD ⊥于点G ，∴182DG CD ==， ∴853GE GD ED =−=−=，∴在Rt OGE 中，由勾股定理得4OG ==， ∵OG CD ⊥，DM EM ⊥，∴90M OGE ∠=∠=°，∵MED GEO ∠=∠，EO ED =，∴MED GEO △≌△，∴4MD OG ==，3MEGE ==， ∴35614MH ME OE OH =++=++=，∴在Rt DMH △中，由勾股定理得：DH ===，故选：B ． 二、填空题（共6小题，每题3分）11. 已知抛物线()22y k x =−的开口向上，写出一个满足条件的k 值______．【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数20k −>，据此求出k 的范围，得到合适的k 值．【详解】解：因为抛物线()22y k x =−的开口向上，所以20k −>，即2k >，故k 的取值范围是2k >，则k 可以取3．故答案为：3（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答此题要掌握二次函数图象的特点．12. 二次函数()2235y x =−+的对称轴是______．【答案】直线3x =【解析】【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数()()20y a x h k a =−+≠的对称轴为直线x h =进行解答即可．【详解】解：二次函数()2235y x =−+的对称轴是直线3x =，故答案为：直线3x =13. O 的半径长为5，弦6AB =，则弦AB 的弦心距为______．【答案】4【解析】【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，先过点O 作OD AB ⊥于点D ，由垂径定理可知12AD AB =，在Rt AOD 中利用勾股定理即可求出OD 的长． 【详解】解：如图，点O 作OD AB ⊥于点D ，则116322AD AB ==×=， ∵圆的半径是5，即5OA =，∴在Rt AOD中，4OD ===．故答案：4．14. 已知()11,y ，()24,y 是抛物线26y x x =−上的点，则1y ，2y 的大小关系为______．【答案】12y y >【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，把()11,y ，()24,y 分别代入抛物线26y x x =−，求出1y ，2y ，再比较得出答案．【详解】解：把()11,y ，()24,y 分别代入抛物线26y x x =−得， 1165y =−=−224648y =−×=−，∴12y y >，故答案为：12y y >．15. 抛物线22y x x c =++交y 轴于点()5,m m +，则c 的值是______．【答案】5−为【解析】【分析】本题主要考查了抛物线与y 轴的交点，根据抛物线与y 轴的交点的横坐标为0列式求解即可．【详解】解：∵抛物线22y x x c =++交y 轴于点()5,m m +，∴50,m +=解得，5m =−，故答案为：5−．16. 如图，在半径为5的O 中，弦8AB =，D 为优弧AB 的中点，C 为 AD 上点，DE AC ⊥于点E ，DH BC ⊥于点H ，连结DB ．若6HB =，则四边形ABDE 的面积为______．【答案】32##32+【解析】【分析】过点D 作DG AB ⊥于点G ，连接,,AD OB CD ，证明ABD 是等腰三角形，由等腰三角形三线合一可得142AG BG AB ===，根据三角形外接圆性质可得点O 在DG 上，利用勾股定理求出3OG =，进而得到8DG =，利用勾股定理求出BD AD ==DH =DAE CBD ∠=∠，结合90,DEA DHB AD BD ∠=∠=°=，证明()AAS ADE BDH ≌，推出6DE DH AE BH ====，由四边形ABDE 的面积为ABD ADE S S + 即可求解．【详解】解：过点D 作DG AB ⊥于点G ，连接,,AD OB CD ，∵D 为优弧AB 的中点，∴ AD BD=，的∴AD BD =∴ABD 是等腰三角形，∵DG AB ⊥，8AB =， ∴142AG BG AB ===， ∵O 是ABD 的外接圆，∴点O 在DG 上，∵O 的半径为5，∴5OB OD ==，∴3OG ，∴8DG OG OD =+=，∴BD AD ==，∵DH BC ⊥于点H ，6HB =，∴90BHD ∠=°，∴DH ==，∵ CDCD =， ∴DAE CBD ∠=∠，∵90,DEA DHB AD BD ∠=∠=°=， ∴()AAS ADE BDH ≌，∴6DE DH AE BH ====，∴四边形ABDE 的面积为1111··886322222ABD ADE S S AB DG AE DE +=+=××+×=+ ．故答案为：32．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键．三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）17. 有一个转盘如图，转盘可以自由转动．（1）让转盘自由转动一次，求指针落在红色区域的概率．（2）让转盘自由转动二次，求两次指针都落在黄色区域的概率．【答案】（1）13 （2）49【解析】【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）将黄色区域平分成两部分，再运用概率公式求解即可；（2）根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次指针都落在黄色区域的情况，再利用概率公式即可求得答案．【小问1详解】解：如图，将黄色区域平分成两部分，这样把一个圆平均分为三部分，红色区域只占一部分， 所以，指针落在红色区域的概率为13． 【小问2详解】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次指针都落在黄色区域的只有4种情况，∴两次指针都落在黄色区域的概率为：49； 18. 如图，AB ，CD 为O 直径，弦DE ，BF 分别交半径AO ，CO 于点G ，H ，且DE BF =．（1）求证：B D ∠=∠．（2）若 AE EF FC==，且40D ∠=°，求OHB ∠的度数． 【答案】（1）见解析 （2）80°【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、圆周角的关系，熟练掌握圆周角定理，圆心角、弧、圆周角的关系是解题的关键．（1）证明 EC AF =即可得出结论；（2）求出 80EC =°，40AE EF FC ===°得120AOC ∠=°，根据OHB AOC B ∠=∠−∠可得结论． 小问1详解】证明：DE BF = ，DE BF∴=． AB ，CD 为O 直径，DEC BFA∴=， DECDE BFA BF ∴−=−， 即 EC AF =．B ∠ ，D ∠所对的弧分别是 AF ， EC， B D ∴∠=∠．【小问2详解】解：40D ∠=° ，80EC ∴=°， 40AE EF FC ===°．120AOC ∴∠=°．【40B D ∠=∠=° ，1204080OHB AOC B ∴∠=∠−∠=°−°=°．19. 如图，已知抛物线212y x mx n ++经过点()6,1A −，BB (2,1)．（1）求抛物线的表达式．（2）利用函数图象，求当12x −<≤时，y 的取值范围．【答案】（1）21252y x x =+− （2）1312y −<≤ 【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）利用配方法得到()21272y x =+−，根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线2x =−，当1x =−时，y 有最小值132−，当2x =时，y 的值为1，从而可得结论． 【小问1详解】解：把()6,1A −，BB (2,1)代入212yx mx n ++，得， ()221661212212m n m n ×−−+= ×++= 解得，25m n = =−∴抛物线的表达式为21252y x x =+−【小问2详解】 解：()2211252722y x x x =+−=+−， ∴抛物线的对称轴为直线2x =−， 当1x =−时，y 有最小值132−， 当2x =时，y 的值为1，∴当12x −<≤时，y 的取值范围1312y −<≤． 20. 尺规作图问题：如图1，弦DE 交O 直径AB 于点F ，连结AD ，AD AF =，用尺规作弦DG AB ∥，CG AD ∥，C 是直径AB 上一点．小蔡：如图2，以E 为圆心，AE 长为半径作弧，交O 于另一点G ，连结DG ，以A 为圆心，DG 长为半径作弧，交直径AB 于点C ，连结CG ，则DG AB ∥，CG AD ∥．小通：以B 为圆心，AD 长为半径作弧，交O 于点G ，连结DG ，以A 为圆心，DG 长为半径作弧，交直径AB 于点C ，连结CG ，则DG AB ∥，CG AD ∥．小蔡：小通，你的作法有问题．小通：哦——我明白了．（1）求证：DG AB ∥，CG AD ∥．（2）指出小通作法中存在的问题．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）利用等腰三角形性质得到ADF AFD ∠=∠，根据圆周角定理得到ADF FDG ∠=∠，再结合等量代换和平行线判定得到DG AB ∥，最后根据平行四边形的判定和性质，即可推出CG AD ∥； （2）根据“以B 为圆心，AD 长为半径作弧，”作图可知点G 还可能在 AEB 上，此时DG 与AB 相交，即可判断解题．【小问1详解】证明：AD AF = ，ADF AFD ∴∠=∠．弦AE EG =，ADF FDG ∴∠=∠．FDG AFD ∴∠=∠，DG AB ∴∥．DG AC = ，∴四边形ACGD 为平行四边形，∥∴CG AD ．【小问2详解】解：点G 还可能在 AEB 上，如图3，此时DG 与AB 相交，不满足结论．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，圆周角定理，平行线判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键在于根据题意作出草图，并结合相关定理性质求解．21. 如图，在O 中，弦AD BC =，OE AB ⊥于E ，OH BC ⊥于H ．（1）求证：AB CD =．（2）若O 的半径为5，8CD =，4BC =，求OE OH +的长．【答案】（1）见解析 （2）3+【解析】【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键；（1）由题意易得 AB CD=，进而问题可求证； （2）连接OB ，由勾股定理，得3OE =．根据垂径定理可进行求解．【小问1详解】证明：AD BC = ，AD BC∴=， AD BD BC BD +=+， 即 AB CD=， AB CD ∴=．【小问2详解】解：连接OB ，如图所示：8AB CD == ，OE AB ⊥，4EB ∴=．由勾股定理，得3OE．同理可得OH =3OE OH ∴+=+22. 如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，且DG BE =，2AH CF BE ==，记四边形EFGH 的面积为y ，边长BE 为x ．（1）求y 关于x 的表达式及自变量x 的取值范围．（2）求y 的最小值．【答案】（1）21(410202)y x x x =−+<≤（2）234【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积得到函数的关系式是解题的关雄．（1）利用四边形面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到y 与x 的函数关系； （2）通过对函数配方，结合自变量取值范围取得最值．【小问1详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴3,4,90,AB CD AD BC A B C D ====∠=∠=∠=∠=° ∵边长BE 为x ，∴DG BE x ==，22AHCF BE x ===， ∴3,42,AE CG x DH BF x ==−==− ∴AHE BEF CFG HDG HEFGABCD S S S S S S =−−−− 四边形四边形 ()()()()111134234223422222x x x x x x x x =×−××−−××−−××−−××− 241012x x =−+∵03,024x x <≤<≤，∴02x <≤，∴21(410202)y x x x =−+<≤【小问2详解】 解：∵2252341012444y x x x −+−+的∴抛物线对称轴为直线54x =， ∵40>，∴抛物线开口向上， 在02x <≤范围内．当54x =时，函数有最小值，为255232344444y =−+=最小值 23. 如图，在O 中，弦AB CD ∥，点E 在 AD 上，延长ED 至点F ，使EF EB =，延长AE 至点G ，连结GF ，使F EAC ∠=∠，GF AD =．（1）连结CB ，求证：GF CB =．（2）若70F ∠=°，CA 为O 直径，求ABE ∠的度数．（3）连结BD ，求证：G BDE ∠∠=．【答案】（1）见解析 （2）20°（3）见解析【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是正确作出辅助线构造圆周角．（1）根据弦AB CD ∥可得DCA BAC ∠=∠， AD BC=，由弧、弦的关系可得结论； （2）由CA 为O 直径得90CBA ∠=°，再根据圆周角定理可得结论； 、 （3）连结EC ，得EAC EBC ∠=∠，F EBC ∠=∠，证明EBC EFG △△≌，进一步可得结论．【小问1详解】证明：∵弦AB CD ∥，DCA BAC ∴∠=∠， AD BC=， ∴AD BC =．GF AD = ，GF CB ∴=．【小问2详解】解：连接,BC 如图，CA 为O 直径，90CBA ∴∠=°．70EAC F ∠=∠=° ，70CBE EAC ∴∠=∠=°．20ABE CBA CBE ∴∠=∠−∠=°．【小问3详解】证明：连结EC ，EAC ∠ ，EBC ∠都是 CE所对的圆周角， EAC EBC ∴∠=∠．F EAC ∠=∠ ，F EBC ∴∠=∠．又GF CB = ，EF EB =，EBC EFG ∴△△≌．G BCE ∴∠=∠．BCE BDE ∠=∠ ， G BDE ∠∠=∴．24. 如图，抛物线2y x bx c =−++经过点()0,2A ，对称轴为直线1x =，点G 坐标为(1,0)，点C 在边AG 上运动，延长OC 交抛物线于点B ，连结BG ，分别记OBG △，OCG 的面积为1S ，2S ．（1）求该抛物线表达式．（2）若点PP (xx 1,yy 1)，()121,Q x y +均在抛物线上，且1>0x ，2214()y y −=，请比较1y ，2y 大小，并说明理由．（3）记12S t S =，直线OB 的表达式为B By y x x =，求t 关于B x 函数表达式，并求t 的最大值． 【答案】（1）222y x x =−++ （2）12y y >，理由见解析（3）21212B B t x x =−++；3t =最大值 【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，灵活掌握相关知识是解答本题的关键．（1）根据抛物线的对称轴方程可求出2b =，再把()0,2A 代入22y x x c =−++，可求出2c =，从而可得抛物线的解析式为222y x x =−++； （2）分别把()11,P x y ，()121,Q x y +代入222y x x =−++得211122y x x =−++，2211(1)2(1)2y x x =−++++，将2y 化简得2213y x =−+，求出12121y y x −=−，代入2214()y y −=，求出132x =或112x =−，取舍后得132x =，再求出1y ，2y ，进行比较即可； （3）运用待定系数法求出直线AG 的解析式为22y x =−+，设点C 的坐标为(),22m m −+，由点C 在B B y y x x =上得22B B y m m x −+=，求得22B B B x m x y =+，由12S t S =得21212B B t x x =−++，配方后可得结论． 【小问1详解】解：由题意，得()121b x =−=×−，解得2b =． 把点()0,2A 代入22y x x c =−++，得2c =．∴抛物线表达式为222y x x =−++． 【小问2详解】解：∵点()11,P x y ，()121,Q x y +均在抛物线上，∴211122y x x =−++，222111(1)2(1)23y x x x =−++++=−+，12121y y x ∴−−，又2214()y y −=， ∴21(21)4x −=， 解得132x =，或112x =−． 10x > ，132x ∴= 1213212102y y x ∴−=−=×−>， 12y y ∴>．【小问3详解】解：设直线AG 表达式为y kx b =+， 把()0,2A ，()1,0G 代入y kx b =+，得： 20b k b = +=， 解得，22k b =− =， 所以，直线AG 表达式为22y x =−+， 点C 在边AG 上运动，∴设(),22C m m −+．∵点C 在直线B By y x x =上， 22B By m m x ∴−+=，化简，得22B B B x m x y =+， 21221212222B B B B B S y x y t x x S m +∴====−++−+． 即21(2)32B t x =−−+．∵102−<，∴抛物线开口向下，函数t 有最大值， ∴当2B x =时，3t =最大值．。
陕西省榆林市名校2024届中考联考数学试卷含解析
陕西省榆林市名校2024年中考联考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．方程的解为（ ） A ．x=﹣1 B ．x=1 C ．x=2 D ．x=32．设a ，b 是常数，不等式10x a b +>的解集为15x <，则关于x 的不等式0bx a ->的解集是（ ） A ．15x > B ．15x <- C ．15x >- D ．15x < 3．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过点（0,m ）、（4、m ）、（1，n ），若n ＜m ，则（ ）A ．a ＞0且4a+b=0B ．a ＜0且4a+b=0C ．a ＞0且2a+b=0D ．a ＜0且2a+b=04．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，两个反比例函数y 1＝1k x（其中k 1＞0）和y 2＝3x 在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，点P 在C 1上．矩形PCOD 交C 2于A 、B 两点，OA 的延长线交C 1于点E ，EF ⊥x 轴于F 点，且图中四边形BOAP 的面积为6，则EF ：AC 为（ ）A 3 1B ．23C ．2：1D ．29：146．在﹣3，﹣1，0，1四个数中，比﹣2小的数是（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．17．如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．8．如图1、2、3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图，已知甲的路线为：A→C→B；乙的路线为：A→D→E→F→B，其中E为AB的中点；丙的路线为：A→I→J→K→B，其中J在AB上，且AJ＞JB．若符号[→]表示[直线前进]，则根据图1、图2、图3的数据，判断三人行进路线长度的大小关系为（）A．甲=乙=丙B．甲＜乙＜丙C．乙＜丙＜甲D．丙＜乙＜甲9．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2s．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y(m)与乙出发的时间t(s)之间的关系如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝1．其中正确的是（）A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③10．如图，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动，下列结论：①若C ，O 两点关于AB 对称，则OA=23； ②C ，O 两点距离的最大值为4；③若AB 平分CO ，则AB ⊥CO ；④斜边AB 的中点D 运动路径的长为π．其中正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②④ 11．已知a=12（7+1）2，估计a 的值在（ ） A ．3 和4之间B ．4和5之间C ．5和6之间D ．6和7之间 12．化简2(21)÷-的结果是（ ）A ．221-B ．22-C ．12-D ．2+2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝ _______．14．有一个正六面体，六个面上分别写有1～6这6个整数，投掷这个正六面体一次，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率是____．15．不等式1x 2-≥-1的正整数解为________________. 16．在平面直角坐标系中，智多星做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向上走1个单位，第2步向上走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向上走1个单位……依此类推，第n 步的走法是：当n 被3除，余数为2时，则向上走2个单位；当走完第2018步时，棋子所处位置的坐标是_____17．如图，已知m n ∕∕，1105∠=︒，2140∠=︒则a ∠=________.18．已知一个多边形的每一个内角都是144，则这个多边形是_________边形.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于1，则称P 为直线m 的平行点．（1）当直线m 的表达式为y ＝x 时，①在点()11,1P ，()20,2P ，322,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭中，直线m 的平行点是______； ②⊙O 的半径为10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标．（2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线3y x =的平行点，直接写出n 的取值范围．20．（6分）如图，AD 是△ABC 的中线，CF ⊥AD 于点F ，BE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，求证：AF+AE=2AD ．21．（6分）如图，一次函数y ＝ax ﹣1的图象与反比例函数k y x=的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，已知OA ＝10，tan ∠AOC ＝13（1）求a ，k 的值及点B 的坐标；（2）观察图象，请直接写出不等式ax﹣1≥kx的解集；（3）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．22．（8分）如图，在顶点为P的抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0）的对称轴1的直线上取点A（h，k+14a），过A作BC⊥l交抛物线于B、C两点（B在C的左侧），点和点A关于点P对称，过A作直线m⊥l．又分别过点B，C作直线BE⊥m 和CD⊥m，垂足为E，D．在这里，我们把点A叫此抛物线的焦点，BC叫此抛物线的直径，矩形BCDE叫此抛物线的焦点矩形．（1）直接写出抛物线y=14x2的焦点坐标以及直径的长．（2）求抛物线y=14x2-32x+174的焦点坐标以及直径的长．（3）已知抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0）的直径为32，求a的值．（4）①已知抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0）的焦点矩形的面积为2，求a的值．②直接写出抛物线y=14x2-32x+174的焦点短形与抛物线y=x2-2mx+m2+1公共点个数分别是1个以及2个时m的值．23．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为BE的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD=2，AC=6，求AB的长．24．（10分）如图（1），P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P 叫做△ABC 的费马点．（1）如果点P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC=60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若 PA=3，PC=4，则 PB= ．（2）已知锐角△ABC ，分别以 AB 、AC 为边向外作正△ABE 和正△ACD ，CE 和 BD 相交于 P 点．如图（2） ①求∠CPD 的度数；②求证：P 点为△ABC 的费马点．25．（10分）已知：如图，∠ABC ，射线BC 上一点D ．求作：等腰△PBD ，使线段BD 为等腰△PBD 的底边，点P 在∠ABC 内部，且点P 到∠ABC 两边的距离相等．26．（12分）某校在一次大课间活动中，采用了四钟活动形式：A 、跑步，B 、跳绳，C 、做操，D 、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题：(1)这次调查中，一共调查了多少名学生？(2)求出扇形统计图中“B ：跳绳”所对扇形的圆心角的度数，并补全条形图；(3)若该校有2000名学生，请估计选择“A ：跑步”的学生约有多少人？27．（12分）在矩形ABCD 中,点E 在BC 上,AE AD =,DF ⊥AE ，垂足为F .求证.DF AB =若30FDC ∠=︒,且4AB =,求AD .参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、B【解题分析】观察可得最简公分母是（x-3）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【题目详解】方程的两边同乘(x−3)(x+1)，得(x−2) (x+1)=x(x−3)，，解得x=1.检验：把x=1代入(x−3)(x+1)=-4≠0.∴原方程的解为：x=1.故选B.【题目点拨】本题考查的知识点是解分式方程，解题关键是注意解得的解要进行检验.2、C【解题分析】根据不等式1xa b+>的解集为x＜15即可判断a,b的符号,则根据a,b的符号,即可解不等式bx-a<0【题目详解】解不等式10 xa b +>,移项得:1-x a b＞ ∵解集为x<15∴1-5a b = ，且a<0 ∴b=-5a>0，15 15a b=- 解不等式0bx a ->,移项得:bx ＞a两边同时除以b 得:x ＞a b , 即x ＞-15 故选C【题目点拨】此题考查解一元一次不等式，掌握运算法则是解题关键3、A【解题分析】由图像经过点（0,m ）、（4、m ）可知对称轴为x=2，由n ＜m 知x=1时，y 的值小于x=0时y 的值，根据抛物线的对称性可知开口方向，即可知道a 的取值.【题目详解】∵图像经过点（0,m ）、（4、m ）∴对称轴为x=2， 则-22b a=, ∴4a+b=0∵图像经过点（1，n ），且n ＜m∴抛物线的开口方向向上，∴a ＞0，故选A.【题目点拨】此题主要考查抛物线的图像，解题的关键是熟知抛物线的对称性.4、D【解题分析】试题分析：A ．是轴对称图形，故本选项错误；B ．是轴对称图形，故本选项错误；C ．是轴对称图形，故本选项错误；D ．不是轴对称图形，故本选项正确．故选D ．考点：轴对称图形．5、A【解题分析】试题分析：首先根据反比例函数y 2=3x 的解析式可得到ODB OAC S S =12×3=32，再由阴影部分面积为6可得到PDOC S 矩形=9，从而得到图象C 1的函数关系式为y=6x，再算出△EOF 的面积，可以得到△AOC 与△EOF 的面积比，然后证明△EOF ∽△AOC ，根据对应边之比等于面积比的平方可得到EF ﹕故选A ．考点：反比例函数系数k 的几何意义6、A【解题分析】因为正数是比0大的数,负数是比0小的数,正数比负数大;负数的绝对值越大,本身就越小,根据有理数比较大小的法则即可选出答案．【题目详解】因为正数是比0大的数,负数是比0小的数,正数比负数大;负数的绝对值越大,本身就越小,所以在-3,-1,0,1这四个数中比-2小的数是-3,故选A ．【题目点拨】本题主要考查有理数比较大小,解决本题的关键是要熟练掌握比较有理数大小的方法.7、A【解题分析】找到从正面看所得到的图形即可．【题目详解】解：从正面可看到从左往右2列一个长方形和一个小正方形，故选A ．【题目点拨】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．8、A【解题分析】分析：由角的度数可以知道2、3中的两个三角形的对应边都是平行的，所以图2，图3中的三角形都和图1中的三角形相似．而且图2三角形全等，图3三角形相似．详解：根据以上分析：所以图2可得AE =BE ，AD =EF ，DE =BE ．∵AE =BE =12AB ，∴AD =EF =12AC ，DE =BE =12BC ，∴甲=乙． 图3与图1中，三个三角形相似，所以 JK AI =JB AJ =BK AI IJ AC ，=AJ AB =IJ BC ． ∵A J+B J=AB ，∴AI +J K =AC ，I J+BK =BC ，∴甲=丙．∴甲=乙=丙．故选A ．点睛：本题考查了的知识点是平行四边形的性质，解答本题的关键是利用相似三角形的平移，求得线段的关系． 9、A【解题分析】解：∵乙出发时甲行了2秒，相距8m ，∴甲的速度为8/2＝4m/ s ．∵100秒时乙开始休息．∴乙的速度是500/100＝5m/ s ．∵a 秒后甲乙相遇，∴a ＝8/(5－4)＝8秒．因此①正确．∵100秒时乙到达终点，甲走了4×(100＋2)＝408 m ，∴b ＝500－408＝92 m ． 因此②正确．∵甲走到终点一共需耗时500/4＝125 s ，，∴c ＝125－2＝1 s ． 因此③正确．终上所述，①②③结论皆正确．故选A ．10、D【解题分析】分析：①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AC 和AB ，由对称的性质可知：AB 是OC 的垂直平分线，所以23OA AC ==；②当OC 经过AB 的中点E 时，OC 最大，则C 、O 两点距离的最大值为4；③如图2，当∠ABO =30°时，易证四边形OACB 是矩形，此时AB 与CO 互相平分，但所夹锐角为60°，明显不垂直，或者根据四点共圆可知：A 、C 、B 、O 四点共圆，则AB 为直径，由垂径定理相关推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，但当这条弦也是直径时，即OC 是直径时，AB 与OC 互相平分，但AB 与OC 不一定垂直； ④如图3，半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可．详解：在Rt △ABC 中,∵°2,30BC BAC ，=∠= ∴224,4223AB AC ，==-=①若C .O 两点关于AB 对称，如图1，∴AB 是OC 的垂直平分线， 则23OA AC ==；所以①正确；②如图1，取AB 的中点为E ，连接OE 、CE ，∵°90AOB ACB ，∠=∠= ∴12,2OE CE AB === 当OC 经过点E 时，OC 最大，则C .O 两点距离的最大值为4；所以②正确；③如图2,当°30ABO ∠=时, °90OBC AOB ACB ∠=∠=∠=，∴四边形AOBC 是矩形，∴AB 与OC 互相平分，但AB 与OC 的夹角为°°60120、，不垂直， 所以③不正确；④如图3,斜边AB 的中点D 运动路径是：以O 为圆心,以2为半径的圆周的1,4则：90π2π,180⨯= 所以④正确；综上所述，本题正确的有：①②④；故选D.点睛：属于三角形的综合体，考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，轴对称的性质,弧长公式等，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.11、D【解题分析】 7的范围，进而可得7的范围．【题目详解】解：a=12×（7+1+27）=4+7，∵2＜7＜3，∴6＜4+7＜7，∴a的值在6和7之间，故选D．【题目点拨】此题主要考查了估算无理数的大小，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．12、D【解题分析】将除法变为乘法，化简二次根式，再用乘法分配律展开计算即可.【题目详解】原式=2×121-=2×（2+1）=2+2.故选D.【题目点拨】本题主要考查二次根式的加减乘除混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、1.5【解题分析】在Rt△ABC中，225AC=AB+BC=，∵将△ABC折叠得△AB′E，∴AB′＝AB，B′E＝BE，∴B′C＝5－3＝1．设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x．在Rt△B′CE中，CE1＝B′E1＋B′C1，∴（4－x）1＝x1＋11．解之得32x=．14、【解题分析】∵投掷这个正六面体一次，向上的一面有6种情况，向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的有2、3、4、6共4种情况，∴其概率是=．【题目点拨】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．15、1, 2, 1.【解题分析】去分母，移项，合并同类项，系数化成1即可求出不等式的解集，根据不等式的解集即可求出答案．【题目详解】 1x -12-≥， ∴1-x≥-2，∴-x≥-1，∴x≤1，∴不等式1x -12-≥的正整数解是1，2，1， 故答案为：1，2，1．【题目点拨】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解，关键是求出不等式的解集.16、（672，2019）【解题分析】分析：按照题目给定的规则，找到周期，由题意可得每三步是一个循环，所以只需要计算2018被3除，就可以得到棋子的位置.详解：解：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右1个单位，向上3个单位，∵2018÷3=672…2，∴走完第2018步，为第673个循环组的第2步，所处位置的横坐标为672，纵坐标为672×3+3=2019， ∴棋子所处位置的坐标是（672，2019）．故答案为：（672，2019）．点睛：周期问题解决问题的核心是要找到最小正周期，然后把给定的数（一般是一个很大的数）除以最小正周期，余数是几，就是第几步，特别余数是1，就是第一步，余数是0，就是最后一步.17、65°【解题分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠3，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.【题目详解】∵m ∥n,∠1=105°，∴∠3=180°−∠1=180°−105°=75°∴∠α=∠2−∠3=140°−75°=65°故答案为：65°. 【题目点拨】此题考查平行线的性质，解题关键在于利用同旁内角互补求出∠3.18、十【解题分析】先求出每一个外角的度数，再根据边数=360°÷外角的度数计算即可．【题目详解】解：180°﹣144°=36°，360°÷36°=1，∴这个多边形的边数是1． 故答案为十．【题目点拨】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）①2P ，3P ;②2,22，(22,2--，(22,2，(2,22-;（2）4343n ≤≤． 【解题分析】(1)①根据平行点的定义即可判断；②分两种情形：如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH=1.如图2，当点B 在原点下方时，同法可求；(2)如图，直线OE 的解析式为3y x =，设直线BC//OE 交x 轴于C ，作CD ⊥OE 于D. 设⊙A 与直线BC 相切于点F ，想办法求出点A 的坐标，再根据对称性求出左侧点A 的坐标即可解决问题；【题目详解】解：（1）①因为P 2、P 3到直线y ＝x 的距离为1，所以根据平行点的定义可知，直线m 的平行点是2P ，3P ，故答案为2P ，3P ．②解：由题意可知，直线m 的所有平行点组成平行于直线m ，且到直线m 的距离为1的直线．设该直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH ＝1．由直线m 的表达式为y ＝x ，可知∠OAB ＝∠OBA ＝45°． 所以2OB =． 直线AB 与⊙O 的交点即为满足条件的点Q ．连接1OQ ，作1Q N y ⊥轴于点N ，可知110OQ =．在1Rt OHQ ∆中，可求13HQ =．所以12BQ =．在1Rt BHQ ∆中，可求12NQ NB ==．所以22ON =．所以点1Q 的坐标为()2,22． 同理可求点2Q 的坐标为()22,2--．如图2，当点B 在原点下方时，可求点3Q 的坐标为(22,2点4Q 的坐标为(2,22--，综上所述，点Q 的坐标为()2,22，()22,2--，()22,2，()2,22--． （2）如图，直线OE 的解析式为3y x =，设直线BC ∥OE 交x 轴于C ，作CD ⊥OE 于D ．当CD ＝1时，在Rt △COD 中，∠COD ＝60°，∴3sin 603CD OC ==︒， 设⊙A 与直线BC 相切于点F ，在Rt △ACE 中，同法可得23AC = ∴43OA = ∴43n = 根据对称性可知，当⊙A 在y 轴左侧时，33n =-， 观察图象可知满足条件的N 的值为：3333n -≤≤． 【题目点拨】 此题考查一次函数综合题、直线与圆的位置关系、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．20、证明见解析.【解题分析】由题意易用角角边证明△BDE ≌△CDF ，得到DF=DE ，再用等量代换的思想用含有AE 和AF 的等式表示AD 的长．【题目详解】证明：∵CF ⊥AD 于，BE ⊥AD ，∴BE ∥CF ，∠EBD=∠FCD ，又∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=CD ，∴在△BED 与△CFD 中，EBD FCD BED CFD BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ，∴△△BED ≌△CFD （AAS ）∴ED=FD ，又∵AD=AF+DF ①，AD=AE-DE ②，由①+②得：AF+AE=2AD.【题目点拨】该题考察了三角形全等的证明，利用全等三角形的性质进行对应边的转化．21、（1）a=23 ,k=3, B(-23,-2) (2) ﹣32≤x ＜0或x≥3；(3) （0，94）或（0，0） 【解题分析】1)过A 作AE ⊥x 轴,交x 轴于点E,在Rt △AOE 中,根据tan ∠AOC 的值,设AE=x,得到OE=3x,再由OA 的长,利用勾股定理列出关于x 的方程,求出方程的解得到x 的值,确定出A 坐标,将A 坐标代入一次函数解析式求出a 的值,代入反比例解析式求出k 的值,联立一次函数与反比例函数解析式求出B 的坐标;(2)由A 与B 交点横坐标,根据函数图象确定出所求不等式的解集即可;(3)显然P 与O 重合时,满足△PDC 与△ODC 相似;当PC ⊥CD,即∠PCD=90o 时,满足三角形PDC 与三角形CDO 相等,利用同角的余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等得到三角形PCO 与三角形CDO 相似,由相 似得比例,根据OD,OC 的长求出OP 的长,即可确定出P 的坐标.【题目详解】解：（1）过A作AE⊥x轴，交x轴于点E，在Rt△AOE中，OA=，tan∠AOC=，设AE=x，则OE=3x，根据勾股定理得：OA2=OE2+AE2，即10=9x2+x2，解得：x=1或x=﹣1（舍去），∴OE=3，AE=1，即A（3，1），将A坐标代入一次函数y=ax﹣1中，得：1=3a﹣1，即a=，将A坐标代入反比例解析式得：1=，即k=3，联立一次函数与反比例解析式得：，消去y得：x﹣1=，解得：x=﹣或x=3，将x=﹣代入得：y=﹣1﹣1=﹣2，即B（﹣，﹣2）；（2）由A（3，1），B（﹣，﹣2），根据图象得：不等式x﹣1≥的解集为﹣32≤x＜0或x≥3；（3）显然P与O重合时，△PDC∽△ODC；当PC⊥CD，即∠PCD=90°时，∠PCO+∠DCO=90°，∵∠PCD=∠COD=90°，∠PCD=∠CDO，∴△PDC∽△CDO，∵∠PCO+∠CPO=90°，∴∠DCO=∠CPO，∵∠POC=∠COD=90°，∴△PCO∽△CDO，∴=，对于一次函数解析式y=x﹣1，令x=0，得到y=﹣1；令y=0，得到x=，∴C（，0），D（0，﹣1），即OC=，OD=1，∴=，即OP=94，此时P坐标为（0，94），综上，满足题意P的坐标为（0，94）或（0，0）．【题目点拨】此题属于反比例函数综合题,涉及的知识有:待定系数法确定函数解析式,一次函数与反比例函数的交点问题,坐标与图形性质,勾股定理,锐角三角函数定义,相似三角形的判定与性质,利用了数形结合的思想,熟练运用数形结合思想是解题的关键．22、（1）4（1）4（3）23±（4）①a=±12；②当22时，1个公共点，当2m≤1或5≤m＜2时，1个公共点，【解题分析】（1）根据题意可以求得抛物线y=14x1的焦点坐标以及直径的长；（1）根据题意可以求得抛物线y=14x1-32x+174的焦点坐标以及直径的长；（3）根据题意和y=a（x-h）1+k（a≠0）的直径为32，可以求得a的值；（4）①根据题意和抛物线y=ax1+bx+c（a≠0）的焦点矩形的面积为1，可以求得a的值；②根据（1）中的结果和图形可以求得抛物线y=14x1-32x+174的焦点矩形与抛物线y=x1-1mx+m1+1公共点个数分别是1个以及1个时m的值．【题目详解】（1）∵抛物线y=14x1，∴此抛物线焦点的横坐标是0，纵坐标是：0+1144⨯=1，∴抛物线y=14x1的焦点坐标为（0，1），将y=1代入y=14x1，得x1=-1，x1=1，∴此抛物线的直径是：1-（-1）=4；（1）∵y=14x1-32x+174=14（x-3）1+1，∴此抛物线的焦点的横坐标是：3，纵坐标是：1+1144⨯=3，∴焦点坐标为（3，3），将y=3代入y=14（x-3）1+1，得3=14（x-3）1+1，解得，x1=5，x1=1，∴此抛物线的直径时5-1=4；（3）∵焦点A（h，k+14a），∴k+14a=a（x-h）1+k，解得，x1=h+12a，x1=h-12a，∴直径为：h+12a-（h-12a）=1a=32，解得，a=±23，即a的值是23±；（4）①由（3）得，BC=1 a，又CD=A'A=12a．所以，S=BC•CD=1a•12a=212a=1．解得，a=±12；②当或时，1个公共点，当m≤1或5≤m＜时，1个公共点，理由：由（1）知抛，物线y=14x1-32x+174的焦点矩形顶点坐标分别为：B（1，3），C（5，3），E（1，1），D（5，1），当y=x1-1mx+m1+1=（x-m）1+1过B（1，3）时，或，过C（5，3）时，（舍去）或，∴当或时，1个公共点；当＜m≤1或5≤m ＜时，1个公共点．由图可知，公共点个数随m 的变化关系为当m ＜时，无公共点；当时，1个公共点；当＜m≤1时，1个公共点；当1＜m ＜5时，3个公共点；当5≤m ＜1个公共点；当时，1个公共点；当m ＞时，无公共点；由上可得，当时，1个公共点；当＜m≤1或5≤m ＜时，1个公共点．【题目点拨】考查了二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，知道什么是抛物线的焦点、直径、焦点四边形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和二次函数的性质、矩形的性质解答．23、（1）证明见解析（2）3【解题分析】（1）连接OC ，由C 为BE ∧的中点，得到12∠=∠，等量代换得到2ACO ∠=∠，根据平行线的性质得到OC CD ⊥，即可得到结论；（2）连接CE ，由勾股定理得到CD =，根据切割线定理得到2CD AD DE =⋅，根据勾股定理得到CE ==90ACB ∠=︒，即可得到结论.【题目详解】()1相切，连接OC ，∵C 为BE 的中点，∴12∠=∠，∴1ACO ∠=∠，∴2ACO ∠=∠，∴//AD OC ，∵CD AD ⊥，∴OC CD ⊥，∴直线CD 与O 相切；()2方法1：连接CE ，∵2AD =，6AC =， ∵90ADC ∠=， ∴222CD AC AD =-= ∵CD 是O 的切线，∴2CD AD DE =⋅，∴1DE =， ∴223CE CD DE =+=∵C 为BE 的中点， ∴3BC CE ==∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=， ∴223AB AC BC =+=．方法2：∵DCA B ∠=∠，易得ADC ACB ∽， ∴AD AC AC AB=，【题目点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，切割线定理，熟练掌握各定理是解题的关键.24、（1）①证明见解析；②；（2）①60°；②证明见解析；【解题分析】试题分析：（1）①根据题意，利用内角和定理及等式性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；②由三角形ABP与三角形BCP相似，得比例，将PA与PC的长代入求出PB的长即可；（2）①根据三角形ABE与三角形ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠1=∠2，再由对顶角相等，得到∠5=∠6，即可求出所求角度数；②由三角形ADF与三角形CPF相似，得到比例式，变形得到积的恒等式，再由对顶角相等，利用两边成比例，且夹角相等的三角形相似得到三角形AFP与三角形CFD相似，利用相似三角形对应角相等得到∠APF为60°，由∠APD+∠DPC，求出∠APC为120°，进而确定出∠APB与∠BPC都为120°，即可得证．试题解析：（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，∴∠PAB=∠PBC，又∵∠APB=∠BPC=120°，∴△ABP∽△BCP，②解：∵△ABP∽△BCP，∴，∴PB2=PA•PC=12，∴PB=2；（2）解：①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠CPD=∠6=∠5=60°；②证明：∵△ADF∽△CFP，∴AF•PF=DF•CF，∵∠AFP=∠CFD，∴△AFP∽△CDF．∴∠APF=∠ACD=60°，∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，∴∠BPC=120°，∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，∴P点为△ABC的费马点．考点：相似形综合题25、作图见解析.【解题分析】由题意可知，先作出∠ABC的平分线，再作出线段BD的垂直平分线，交点即是P点. 【题目详解】∵点P到∠ABC两边的距离相等，∴点P在∠ABC的平分线上；∵线段BD为等腰△PBD的底边，∴PB=PD，∴点P在线段BD的垂直平分线上，∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点，如图所示：【题目点拨】此题主要考查了尺规作图，正确把握角平分线的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键. 26、(1)一共调查了300名学生；(2) 36°，补图见解析；(3)估计选择“A：跑步”的学生约有800人. 【解题分析】（1）由跑步的学生数除以占的百分比求出调查学生总数即可；（2）求出跳绳学生占的百分比，乘以360°求出占的圆心角度数，补全条形统计图即可；（3）利用跑步占的百分比，乘以2000即可得到结果．【题目详解】(1)根据题意得：120÷40%=300（名），则一共调查了300名学生；(2)根据题意得：跳绳学生数为300﹣（120+60+90）=30（名），则扇形统计图中“B：跳绳”所对扇形的圆心角的度数为360°×30300=36°，；(3)根据题意得：2000×40%=800（人），则估计选择“A：跑步”的学生约有800人．【题目点拨】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．27、（1）证明见解析；（2）1【解题分析】分析：（1）利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得；（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知AD=2DF，根据DF=AB可得答案．详解：（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，又∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠DFA=∠B，又∵AD=EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF=AB．（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠FDC=∠DAF=30°，∴AD=2DF，∵DF=AB，∴AD=2AB=1．点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．。
山西省部分学校2024-2025学年高三上学期12月联考数学试卷(含答案)
2024-2025学年高三12月质量检测卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（ ）A.B.C.D.2.已知集合，则（）A.B.D.3.的展开式中常数项为（ ）A. B.30C.D.154.（）B.D.5.已知，动点满足，动点满足，则的最小值为（ ）A.B.2C.D.6.设函数在上单调递增，则实数的取值范围（）2B ()1i 43i z -=-z =24i -+24i --24i +24i-{}{}112,5,3,1,2x x A xB -+=≥=--∣A B ⋂={}1,2{}5,3--{}.5,3,1C --{}3,1,2-630-15-()tan80tan55tan80tan55tan660+-=()()123,0,3,0F F -P 124PF PF -=Q 22124QF QF -=PQ 735343()224,0,ππ,024x ax a x f x a x x ⎧-++≤=⎛⎫+<< ⎪⎝⎭(),2-∞aA.B.C.D.7.已知抛物线的焦点为是上不同的两点，为坐标原点，，则的最小值为（ ）A.B. C.D.98.同底的两个正三棱锥与的所有顶点都在球的表面上，若2，则二面角的余弦值为（）B.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是两条不同的直线是两个不同的平面，，则（ ）A.不平行是不平行的充分条件B.不相交是不相交的必要条件C.垂直且相交是垂直的充分条件D.平行或相交是异面的必要条件10.已知函数的定义域，对任意的，恒有，则下列结论正确的是（ ）A.B.是奇函数C.若，则D.若，则11.某科技企业通过一家代工厂为其加工某种零部件，加工后的零部件先由智能检测系统进行检测，智能检测系统能检测出不合格零部件，但会把的合格零部件判定为不合格，所以智能检测系统检测出的不合格零部件需要进行人工第二次检测，人工检测可以准确检测出合格与不合格的零部件，通过统计需要人工10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦10,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦2:6C x y =,,F M N C O 9OM ON ⋅=-3MF NF +6+6+3+P ABC -Q ABC -O 1,PA QA ==P AB Q --,m n ,,αβ,m n αβ⊂⊂,m n ,αβ,m n ,αβ,m n ,αβ,αβ,m n ()f x ()(),00,D =-∞⋃+∞12,x x D ∈()()()33122112f x x x f x x f x =+()10f -=()f x 0m n >>()()33n f m m f n >()21f =()33*22,n n f n n -=⋅∈N 5%进行第二次检测的零部件中，零部件的合格率为，则（ ）A.该零部件的合格率为B.从该代工厂加工的零部件中任取100个，则取到的合格品个数的均值为96C.从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个，若至少有1个为合格品，则第1次取到合格品的概率为D.从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件，取到5件或6件合格品的概率最大三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若向量满足，且，则__________.13.对于勾股定理的证明，我国历史上有多位数学家创造了利用面积出入相补证明勾股定理的不同的证法，如后汉时期的赵爽､三国时期的刘徽､清代的梅文鼎､华蘅芳等.如图是华蘅芳证明勾股定理时构造的图形，其中为直角三角形，分别以为边长作3个正方形，通过出入相补证明两个较小的正方形面积之和等于大正方形面积，从而可以证明勾股定理.若，以中点为圆心作圆，使得三个正方形的所有顶点只有2个在圆外，则满足题意的一个圆的标准方程为__________.14.若对任意，当时恒有，则的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知中，内角所对的边分别为.（1）若面积的最大值；（2）若，求.16.（本小题满分15分）近年来，因使用手机过久､工作压力大等因素导致不少人出现了睡眠问题.某媒体为了了解出现睡眠问题者的年龄分布，调查了200名成年人的睡眠时间，得到如下列联表：90后非90后合计6111091202526,a b3,22a b a b +=-= ()0a a b ⋅-= a = OAB V ,,OA OB AB 3,4OA OB ==AB ()12,0,x x ∈+∞12x x >()11221221ln 12ln ln 2ln x x ax x x x ax x ++≠+a ABC V ,,A B C (),,,cos cos 2cos a b c b C c B a B C +=+a =ABC V 2b c =tan B23：00前入睡308023：00后入睡合计100200（1）完成列联表，根据小概率值的独立性检验，分析能否认为“23：00前入睡”与“是90后”有关联？（2）随着出现睡眠问题人群的增加，及社会对睡眠健康重视程度的加深，有助提高睡眠质量的产品受到消费者推崇，记年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为年中国睡眠经济市场规模及2024年中国睡眠经济市场规模（单位：千亿元）预测，年份代码12345市场规模3.84.24.55.05.3根据上表数据求关于的回归方程.参考公式：，其中.回归方程，其中参考数据：.17.（本小题满分15分）如图，在体积为的三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，､为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）已知椭圆经过点的左､右焦点分别为，且..0.01α=20202024~x 20202023~x yy x ()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++ˆˆx a bx=+()()()121ˆˆˆˆ,.niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑()()50.0116.635, 3.8iii x x x y y ==--=∑111ABC A B C -ABC 1A B AB =D AC 11ACC A ⊥1A BD 1A D1ABC ()2222:10x y C a b a b +=>>,P C ⎛ ⎝12,F F 1PF 212PF =（1）求的方程；（2）若过点的直线与交于点､，且线段的中点恰好为，求直线的方程；（3）若斜率为且不经过点的直线与交于不同两点，直线的斜率成等差数列，求的取值范围.19.（本小题满分17分）若的定义域为，数列满足，则称为的“倍点列”.（1）若为的“2倍点列”，求的前项和；（2）若为的“1倍点列”且，求证：为定值；（3）若，判断是否存在，使得为的“倍点列”，并证明你的结论.C 11,2Q ⎛⎫-⎪⎝⎭C M N MN Q MN ()0k k >1F l C ,A B 11,,AF l BF k ()f xD {}{},n n a b ()()()0n n f a kf b k =≠(),n n a b ()f x k ()()()22ln ,25,0,,n n n n f x x a n b a b ==->()f x {}n b n n S ()()ππ2e e 2sin ,,2x x n n xf x a b +--=++()f x n n a b ≠n n a b +,2ln n n na n kb k k=-=-k (),n n a b ()1f x x =+ln k2024~2025学年高三12月质量检测卷·数学参考答案､提示及评分细则1.A 因为，所以，则.故选A.2.D 因为，所以.故选D.3.B 的展开式中常数项为.故选B.4.A 原式.故选A.5.C点的轨迹是双曲线的右支，设，由可得，整理得点轨迹方程为，所以.故选C.6.C 因为函数在上单调递增，则需满足解得.故选C.7.A 设，则，所以，即时等号成立.故选A.8.B 由题意可得为球的直径，，因为，所以，作，垂足为，则为外接圆半径，且中，中点，连接，则就是二面角的平面()1i 43i z -=-43i114i 324i iz -=+=--=--24i z =-+{}{}{}11112122213,5,3,1,22x x x x x A xx x x xx B -+-+⎧⎫⎧⎫-⎪⎪===+=-=--⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭∣∣…………{}3,1,2A B ⋂=-6-4246C (1)30⨯⨯-=()()1tan80tan55tan 8055tan80tan55tan660tan660tan60⎡⎤=-+-=-==⎣⎦P 22145x y -=(),Q x y 22124QF QF -=2222(3)(3)4x y x y ++---=Q 13x =min 15||233PQ =-=()f x (),2∞-0,41,0,ππ2π,42a a a a ⎧⎪⎪⎪⎨≠⎪⎪+⎪⎩………108a <…221212,,,66x x M x N x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221212936x x OM ON x x ⋅=+=- 22221212123318,33666626262x x x x x x MF NF ⎛⎫=-+=+++=+++=+ ⎪⎝⎭ (22)1262x x =12x =PQ O PA QA ⊥1,2PA QA ==PQ ==AD PQ ⊥D AD ABC V PA QA AD PQ ⨯==ABC V AB AD ==AB E ,PE QE PEQ ∠P AB Q --角.，所以.故选B.9.BD 不平行，有可能平行，故A 错误；若不相交，则不相交，故B 正确；若垂直相交，，可能不垂直，故C 错误；若异面，则平行或相交，故D 正确.故选BD.10.ABD 中取得，取，得，故A 正确；取得，故B 正确；由题意构造函数，取，满足，此时，所以，即，故C 错误；取，得，所以，又，所以，故D 正确.故选ABD.11.BCD 设零部件的合格率为，由题意可得，解得，故A 错误；从该代工厂加工的零部件中任取100个，记取到的合格品个数为，则，故B 正确；从该代工厂加工的零部件中先后两次各取一个，至少有1个为合格品的概率为，所以所求概率为，故C 正确；从需要进行人工第二次检测的零部件中任取10件，记取到件合格品，则PE QE =====222cos 2PE QE PQ PEQ PE QE ∠+-==⋅,m n ,αβ,αβ,m n ,m n αβ,m n ,αβ()()()33122112f x x x f x x f x =+121x x ==()10f =121x x ==-()()11102f f -=-=121,x x x =-=()()f x f x -=-()30.1log f x x x = 1.1,0.1m n ==0m n >>()()0f m f n <<()()33f m f n m n <()()33n f m m f n <122,2nx x ==()()()()1333322222222n nnnnf f f f +=+=+()()133322122n nnn f f +--=()33212f -=()()33332,222n nn n f n fn --==⋅x 5%615%11x x x =-+240.9625x ==X ()()100,0.96,1000.9696X B E X ~=⨯=1162412525625-⨯=24252562426625=Y，所以当时，，当时，，当时，，所以或最大，故D 正确.故选BCD.由得；由得；由得，所以.13.（答案不唯一，形如的方程都可以）的中点，点，所以该圆的一个标准方程为.14. 由得，即，设，则，所以问题转化为在上没有零点.当0时，没有零点，满足题意；当时，由得，设，则，因为，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，所以.综上，的取值范围是.15.解：因为，所以.由正弦定理得，()()()1911010k 1065C 166********,,,606555511115565C 1111k kk k kP Y k k Y B k k k P Y k k +-+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-⎛⎫⎝⎭⎝⎭~==--+=- ⎪=+⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4k …()()11P Y k P Y k =+>=5k =()()11P Y k P Y k =+==6k …()()11P Y k P Y k =+<=()5P Y =()6P Y =()0a a b ⋅-= 2a b a ⋅= 3a b += 2222239a a b b a b +⋅+=+= 22a b -= 222244344a a b b a b -⋅+=-+= 21532,a a ==223(2)322x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭2223(2)2x y r r ⎛⎫-+-=< ⎪⎝⎭AB 3,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C 223(2)322x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭[)0,e ()11221221ln 12ln ln 2ln x x ax x x x ax x ++≠+1112222ln2ln 0x xx ax ax x x -+≠111222ln 2ln 0x x x a a x x x -+≠12xt x =1t >()ln 2ln f t t t a t a =-+()1,∞+a =()ln f t t t =0a ≠()0f t ≠12ln 1ln t a t t-≠()()2ln 11ln t g t t t t-=>()()()212ln 1ln (ln )t t g t t t +-='1t >()g t ()1,e ()e,∞+()1e e g =()1,e g t ∞⎛⎤∈- ⎥⎝⎦11,0e e a a ><<a [)0,e πA B C ++=()cos cos 2cos 2cos b C c B a B C a A +=+=-sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=-因为，且，所以.（1）由，所以，当且仅当时取等号，所以的面积，即.（2）由及正弦定理得，因为，所以，所以，即，所以.16.解：（1）列联表如下：90后非90后合计前入睡305080后入睡7050120合计100100200零假设：“23：00前入睡”与“是90后”无关联，因为，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“前入睡”与“是90后”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01.（2）由的取值依次为，得，()sin cos sin cos sin sin B C C B B C A +=+=()0,πA ∈12πcos ,23A A =-=a =222262cos 3b c bc A b c bc bc =+-=++…2bc …b c =ABC V 112πsin sin 223S bc A bc ===…ABC V 2b c =2sin sin B C =2π3A =()π1sin sin πsin sin 32C A B B B B ⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭12sin sin 2B B B =-5sin 2B B =tan B =22⨯23:0023:000H 220.01200(70503050)8.333 6.63510010080120x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯0.01α=0H 23:00x 1,2,3,4,5()5213,10i i x x x ==-=∑所以，，所以，所以关于的回归方程为.17.（1）证明：因为是边长为2的正三角形，设点到平面的距离为，则三棱柱的体积，所以，因为，所以就是点到平面的距离，故平面.因为平面，所以，因为为中点，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）解：以为原点，直线为轴，在平面内过点与垂直的直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，，()()()515213.8ˆ0.3810iii i i x x y y bx x =---===-∑∑()13.84.2 4.55.0 5.3 4.565y =++++=ˆˆ 4.560.383 3.42a y bx=-=-⨯=y x 0.38 3.42ˆyx =+ABC V 1A ABC h 111ABC AB C-22V h =⨯=2h =12A B AB ==1A B 1A ABC 1A B ⊥ABC AC ⊂ABC 1A B AC ⊥,AB BC D =AC BD AC ⊥11,,A B BD B A B BD ⋂=⊂1A BD AC ⊥1A BD AC ⊂11ACC A 11ACC A ⊥1A BD B BA x ABC B AB y 1BA z ()()()()130,0,0,2,0,0,0,0,2,,2B A A C D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()()()12,0,0,0,0,2,BA BA AC ===-1322A D ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭所以.设平面的法向量为，则有得取，得.设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面.18.解：（1）设，，所以，即，因为点在上，所以，由解得，所以的方程为.（2）设，则，且，两式相减得，即，因为线段的中点为，所以，()111112BC BA A C BA AC =+=+=- 1ABC (),,n x y z = 10,0,n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20,20,x x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩z =(0,n =- 1A D 1ABC θ111sin cos ,n A D n A D n A D θ⋅==== 1A D 1ABC c =()()12,0,,0F c F c -()()212311122PF PF c c c ⎛⎛⋅=---+⨯=-= ⎝⎝ 1c =221a b -=P C 221112a b +=22221,111,2a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩222,1a b ==C 2212x y +=()()1122,,,M x y N x y 2212x x ≠222212121,122x x y y +=+=()222212122x x y y -=--1212121212y y y y x x x x -+⋅=--+MN Q 12122,1x x y y +=+=-所以，即直线的斜率为1，所以直线的方程为，即.（3）设，直线的方程为，联立消去得，由，整理得，所以.因为直线的斜率成等差数列，所以，即，整理得，因为不经过点，所以，所以，代入得所以的取值范围是.19.（1）解：因为为的“2倍点列”，所以，即，所以所以，当时，，12121y y x x -=-MN MN 112y x +=-302x y --=()()3344,,,A x y B x y l y kx m =+22,12y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()222214220k x kmx m +++-=()()2222Δ16421220k m k m =-+->22210k m +->342421km x x k +=-+11,,AF l BF 3434211y y k x x +=++3434211kx m kx m k x x +++=++()()3420m k x x -++=l 1F 34240,22021km m k x x k -≠++=-+=+12m k k =+22210k m +->k >k ∞⎫+⎪⎪⎭()()2ln ,,n n f x x a b =()f x ()()2n n f a f b =4ln 254ln n n b -=52,2,2525,3,n n n b n n n -⎧=-=⎨-⎩……123,314S S ==+=3n …344n nS b b b =++++ ()212542482n n n n +-=+⨯-=-+综上，（2）证明：因为，所以.设，则，所以单调递增，且，所以在上单调递减，在上单调递增，因为为的“1倍点列”，则，不妨设，，所以的图象关于直线对称，当时，有2个不同实根，所以.（3）解：因为，且为的“倍点列”，可得，即且，设，则，在上单调递增，且，所以时，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，所以且时，所以不存在，使得，即不存在，使得为的“倍点列”.23,1,48, 2.n n S n n n =⎧=⎨-+⎩…()ππ2ππe e 2sin e e 1cos 2x x x x x f x x +--+--=++=++-()ππee sin x xf x x +-=-+'()()g x f x ='()ππe e cos 2110x x g x x +--'=++-=>…()f x '()π0f '-=()f x (),π∞--()π,∞-+(),n n a b ()f x ()()n n f a f b =()(),n n n n a b f a f b t <==()()()ππππ2πe e 1cos 2πe e 1cos x x x x f x x x f x --++----=++---=++-=()f x πx =-()πt f >-()f x t =2πn n a b +=-,2ln n n n a n k b k k =-=-(),n n a b ()f x ln k 121ln ln n n k k k k ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭()21ln 10,0k k k k --+=>1k ≠()()21ln 1g x x x x =--+()2112ln 12ln 1x g x x x x x'-=+-=-+()g x '()0,∞+()10g '=()0,1x ∈()()0,1,g x x ∞<∈+'()0g x '>()g x ()0,1()1,∞+()10g =0x >1x ≠()0g x >k ()21ln 10k k k --+=k (),n n a b ()1f x x =+ln k。
湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期联考数学试卷+答案
高 二 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|(1)(2)0}A x x x =−+≥，{|B x y==，则A B =A ．[1,2]B ．(,2]−∞−C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞2．若直线02:1=+y x l 与直线01:2=+−y kx l 互相垂直，则k 的值为A ．2−B ．1−C ．1D ．23．若函数()cos f x x x =−，则函数()f x 在3x π=处的切线方程为A ．132− −=πx yB ．133+−=πx yC ．132+−−=πx yD ．133−−−=πx y 4．平行六面体1111ABCD A B C D −中，E 为11D C 的中点，设AB = a ，AD =b ，1AA =c ，用a ，b ，c 表示BE，则A ．BE = 12−a +b +cB ．BE = 12−a +12b +cC ．BE = a +12b −cD ．BE = a −b +12c6．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线:2l y x =与抛物线C 在第一象限交于点M ，则||MF =A ．2B ．2C ．D ．47．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n 行黑圈的个数为n a ，白圈的个数为n b ，则下列结论错误．．的是A ．84=aB ．135=bC ．n nn b a a +=+21D ．n n n b a b −=+21二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，. 9．对于实数a ，b ，c ，下列命题中正确的是A ．若0>>b a ，则22bc ac >B ．若0>a ，则21≥+aa C．若cbc a >，则b a >D ．若b a >，1>c ，则b a c c >10．已知直线:320l x ky k −++=，圆C 的方程为222220x y x y +−+−=，则下列表述正确的是A ．当实数k 变化时，直线l 恒过定点(2,3)−B ．当直线l 与直线012=−−y x 平行时，则两条直线的距离为55711．双曲线的光学性质为：1F ，2F 是双曲线的左､右焦点，从2F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线n 的反向延长线过1F （如图1）；当P 异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分21PF F ∠（如图2）.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.若双曲线C 的方程为22221x y a b −=(0,0)a b >>，则下列结论正确的是图1 图2A ．射线n 所在直线的斜率为k ，则−∈a b a b k ,B ．当m n ⊥时，12PF F △的面积为2bC ．当轴 x m ⊥时，若 6021=∠PF F ，则双曲线C 的离心率为3D ．存在点P ，使双曲线C 在点P 处的切线经过原点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器1000件，其中甲工厂生产了560件，乙工厂生产了440件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取75件样品，已知该精密仪器按照质量可抽到甲工厂生产的A 等级产品的概率为51，则抽取的B ，C ，D 三个等级中甲工厂生产的产品共有__________件． 13．函数21()(1)ln 2f x x e x e x =−−−的最小值为__________． 14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，11(1)n n n n a a n a a ++−=+，对于任意的[3,3]a ∈−，*n N ∈，不等式at t S n +<22恒成立，则实数t 的取值范围为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（1）求证：AF DE ⊥；（2）求平面ABC 与平面ADE 的夹角的余弦值．（2）设直线2PF 与椭圆C 交于另一点Q ．已知2PF 被圆222:O x y a +=截得的弦长为3332，求OPQ △的面积．19．已知函数．()613ln 2+−=a x x x f ()0,≠∈a R a .（1）讨论函数()y f x =的单调性；（2）当1=a 时，证明：对任意的0>x ，2()x f x e x <−．高二数学试卷参考答案1.D 【解析】集合()(){}{}12|021|≥−≤=≥+−=x x x x x x A 或，{}{}2|2|≥=−==x x x y x B .所以{}2|≥=x x B A .故选：D33'= =∴πf k ，又13= πf ，所以切点为13，π，求得函数()x f 在3π=x 处的切线方程为−=−331πx y ，即133+ −=πx y .故选：B4.A 【解析】依题意c b AD AA E C C B BB BE ++=−+=++=11111故选：A ．4,2log 21=∴−=c c .故选：C6.B 【解析】由题意得(1,0)F ,2p =，直线x y l 2=：与抛物线C 在第一象限交于点M==x y xy 422，解得10==x x 或， 由于M 在第一象限，故取M 横坐标为1，则22=+=px MF m . 故选：B7.D 【解析】已知n a 表示第n 行中的黑圈个数，设n b 表示第n 行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，∴112,n n n n n n a a b b a b ++=+=+， 又∵110,1a b ==; 221,1a b ==;332113112a b =×+==+=，; 442328,325a b =×+==+=; 5528521,8513a b =×+==+=.9.BD 【解析】对于A 选项,若0>>b a ，当0=c 时，22bc ac =，故A 错误； 对于B 选项，由条件0>a ，利用基本不等式可得21≥+aa ，故B 正确； 对于C 选项,若0<>c cbc a ，，则b a <，故C 错误； 对于D 选项,因为1>>c b a ，，由指数函数的单调性可知b a c c >，故D 正确； 故选：BD10.ACD 【解析】对于A 选项，由直线l 的方程023=++−k ky x ，可化为()()023=++−x k y ,直线l 恒经过定点()32，−P ，故A 正确；对于B 选项，因直线l 与012=−−y x 平行，则直线l 方程为：082=+−y x ．则两条直线的距离为()559211822=+−−=d ，故B 错误； 对于C 选项，圆C 的方程为022222=−+−+y x y x ，即圆C 的标准方程为()()41122=++−y x ，所以圆心()11−，C ，当kk PC 134=−=，即43−=k 时，直线l 经过圆心()11−，C ，所以圆C 关于直线l 对称，故C 正确；对于D 选项,当2=k 时,圆心()11−，C 到直线l 的距离25511=>=r d ，所以直线l 与圆C 没有公共点，故D 正确;； 故选：ACD11.ABC 【解析】因为双曲线C 的方程为()0,012222>>=−b a b y a x ，所以渐近线方程为x aby ±=， 对于A 选项，因为直线2PF 与双曲线有两个交点，所以−∈a b a b k ,，故A 正确；对于B 选项，由双曲线的定义知，a PF PF 221=−， 若m n ⊥，则222122214c F F PF PF ==+ 因为()2221212122PF PF PF PF PF PF −=+−⋅，所以2122244PF PF c a −=，解得()2222122b a c PF PF =−=，所以221212121b PF PF S F PF F PF ==∆∆的面积, 故B 正确；对于C 选项,当轴x m ⊥时，因为 6021=∠PF F ，c F F 221=，c PF 3341=∴，cPF 3322=∴所以a c PF PF 233221==−，求得3==a c e ，故C 正确；对于D 选项，假设双曲线C 在点P 处的切线经过原点，因为PO 平分12F PF ∠，由角分线定理知，2211OF PF OF PF =,所以21PF PF =,又0221>=−a PF PF ，所以假设不成立.故D 错误； 故选：ABC.12.27 【解析】由分层抽样原则知：从甲工厂抽取了42100056075=×件样品， 设抽取甲工厂生产的A 等级产品有x 件，则5175=x ，解得：15=x ， ∴抽取的D C B ,,三个等级中，甲工厂生产的产品共有271542=−件.故答案为：27.13.22e −【解析】∵函数()()x e x e x x f ln 1212−−−=，()0>x∴()()()()()xe x x x e x e x x e e x xf −+=−−−=−−−=1112'，令()0'=x f ，得e x =， 当()e x ,0∈时，()0'<x f ，()x f 为减函数， 当()∞+∈，e x 时，()0'>x f ，()x f 为增函数， ∴f （x ）在e x =处取极小值，也是最小值， ∴．函数()x f 最小值为()22e ef −=.故答案为：22e −.14.(][)∞+∪−∞−，，44 【解析】数列{}n a 中，(),111+++=−n n n n a a n a a 得1111+=−+n a a nn 当,211,...,111,11212211=−−=−=−≥−−−a a n a a n a a n n n n n 时，得累加得()2 (11)11++−+=−n n a a n ， ()()2112...11+=+++−+=n n n n a n 即，则()+−=+=111212n n n n a n ，当1=n 时符合上式，则2122111 (31)212112<+−=+−++−+−=n n n S n ， 所以2<n S对于任意的[]*,3,3N n a ∈−∈，不等式at t S n +<22， 即at t +≤24恒成立， ∴042≥−+at t ，设()[]3,3,42−∈−+=a at t a f ，可得()() ≥≥−0303f f ，即有 ≥−+≥−−04304322t t t t ，解得44≥−≤t t 或，则实数t 的取值范围是(][)∞+∪−∞−，，44． 故答案为：(][)∞+∪−∞−，，44 15.【解析】（1）因为()−=−=−=⋅=62sin 22cos 2sin 32cos cos sin 32πx x x x x x n m x f ……3分 解得z k k x k ∈+≤≤+,653ππππ， …………5分 所以()x f 的单调递减区间为z k k k ∈++,65,3ππππ． …………6分所以3π=A ， …………8分由余弦定理得()bc c b A bc c b a 3sin 22222−+=−+=()11,652=+∴−+=c b c b …………13分16.【解析】（1）由已知得 =−−+=++631021111d a d a d a a ，所以 ==321d a ，故31na n =− …………3分 22−=n nb S ，①22,211−=≥∴−−n n b S n 时，②，将两式相减得： (12)535533cos =××θ， …………14分（2）由题意知直线l 的斜率不为0，由（1）知2F （1，0），设直线2PF 的方程为()()2211,,,,1y x Q y x P my x +=， 联立直线2PF 与椭圆的方程整理得：()0963413412222=−++⇒ =++=my y m y x my x ， 221221349,346m y y m m y y +−=+−=+， …………8分 所以()()()22222222122123411234363436141m m m m m my y y y mPQ ++=++++=−++=，…………10分 圆422=+y x O ：到l 的距离211md +=， …………12分被圆422=+y x O ：截得的弦长为3332得：+−=21144344m ，解得22=m ， 所以518,33==PQ d ， …………15分 所以533518332121=⋅⋅=⋅=∆d PQ S OPQ ． …………17分 19.【解析】（1）函数()()()0221613ln 2'2>−=−=⇒+−=x ax x a a x x x f a x x x f …1分 当0<a 时，()0f x ′>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增； …………2分 当0>a 时，令()0)f x x ′<⇒∈+∞，此时()f x单调递减， 令()0(0,f x x ′>⇒∈，此时()f x 单调递增. …………4分 综上可得：当0<a 时，()f x 的增区间为()0,∞+，无减区间； 当0>a 时，()fx 的增区间为，减区间为 +∞. …………6分（2）当1=a 时，()613ln 2+−=x x x f 要证明()2x e x f x −<， 只需证明0613ln >−−x e x ，设()613ln −−=x e x g x ， …………8分 则问题转化为证明对任意的0>x ，()0>x g ，因为()xxe x e x g x x11'−=−=，令()()01>−=x xe x h x ，则显然()x h 是增函数，且0327813232,0122133232>−=−= <−=e e h e h ，所以存在唯一∈32,210x ，使得()00=x h ，即100=x e x ，所以010x e x =得00ln x x −= …………11分 容易知道该方程有唯一解，不妨设为0x ，则0x 满足010x e x =，'由6131−+=x x y 在32,21上单调递减，可知()061332230=−+>x g .因此不等式得证． …………17分。
广东省衡水金卷2024-2025学年高一上学期11月联考试题 数学含答案
2024-2025学年度高一年级11月联考数学试题（答案在最后）本试卷共4页，19题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合(){},20A x y x y =-=∣，(){},31B x y x y =-=∣，则A B = （）A.(){}1,2 B.(){}2,1 C.{}1,2 D.()(){}1,2,2,12.函数()13f x x =+-的定义域为（）A.[)3,+∞ B.[)2,+∞ C.()()2,33,+∞ D.[)()2,33,+∞ 3.“x ，y 都是无理数”是“xy 是无理数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知命题:p x ∀∈R 1>；命题:q x ∃∈R ，1x x x-=，则（）A.p 和q 都是假命题B.p ⌝和q 都是假命题C.p 和q ⌝都是假命题D.p ⌝和q ⌝都是假命题5.函数()f x 的图象如图所示，则()f x =（）A.()2211x x --- B.()2121x x ---C.()2211x x --+- D.()2121x x --+-6.已知1a b >>，且2a b +>，则（）A.1133a b< B.11a b ->-C.2a b ab+<+ D.22a ab +<7.已知函数()22,44x ax a x f x x ⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A.(],9-∞- B.(],8-∞- C.[]9,8-- D.[)8,+∞8.若函数()4mf x kx x x=++是奇函数，且在[)2,+∞上单调递增，则k m +的取值范围是（）A.()4,+∞ B.(),4-∞C.(-∞ D.(],4-∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设P ，Q 为非空实数集，定义{},,P Q zz xy x P y ⊗==∈∈Q ∣，则（）A.{}1P P ⊗=B.()()P Q R P Q R ⊗⊗=⊗⊗C.{}0P P⊗⊆ D.P Q P Q⊗=⋂10.若实数x ，y 满足()2334x y xy +=+，则（）A.34xy ≤B.1xy ≥C.x y +≤D.2x y +≥11.设函数()f x 的定义域为R ，0x ∃∈R ，()00f x ≠，若x ∀∈R ，()()22f x f x -=，则()f x 可以（）A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}0,A a =，{}1,1,1B a a =+-，若A B ⊆，则a 的取值集合为_____.13.若函数()()2f x x λλ=-是幂函数，则f=_____.14.()f x 是定义在[]4,4-上的奇函数，在(]0,4上时，()22,02232,24x x a x f x x x ⎧-++<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，且值域为[]2,2-，则a 的取值范围是________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知集合{}3121A xx =-≤-≤-∣，{}1,B x m x m m =≤≤+∈R ∣.（1）若A B =，求m 的值；（2）若A B =∅ ，求m 的取值范围.16.（本小题满分15分）已知正数x ，y 满足202y xy x --=.（1）当1x >时，求y 的取值范围；（2）求xy 的最小值.17.（本小题满分15分）几个大学生联合自主创业拟开办一家公司，根据前期的市场调研发现：生产某种电子设备的固定成本为20万元，每生产一台设备需增加投入110万元.已知总收入()f x （单位：万元）与月产量x （单位：台）满足函数：()22,0400;580,400.x ax x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩，且当400x =时，()80f x =.（1）求实数a 的值；（2）预测：当月产量x 为多少时，公司所获得的利润不低于20万元?（总收入=总成本十利润）18.（本小题满分17分）我们有如下结论：函数()y g x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y g x a b =+-为奇函数.（1）判断：()326139f x x x x =-+-的图象是否关于点()2,1Q 成中心对称图形?（2）已知()f x 是定义域为R 的初等函数，若()()()h x f x m f x m n =---++，证明：()h x 的图象关于点(),m n 成中心对称图形.19.（本小题满分17分）已知函数()f x 对任意实数u ，v ，都有()()()f u v f u f v -=-成立，且当0u <时，()0f u <.（1）证明：对任意实数u ，v ，()()()f u v f u f v +=+；（2）求证：()f x 是R 上的增函数；（3）若命题[):2,1p x ∃∈-，()()()212f xf ax f x a ++≥+为假命题，求实数a 的取值范围.2024-2025学年度高一年级11月联考数学参考答案及解析一、选择题1.A 【解析】()()(){}20,1,,,1,2312x y x A B x y x y x y y ⎧⎧-==⎧⎫⎧⎫⎪⎪===⎨⎨⎬⎨⎨⎬-==⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎩.故选A.2.D【解析】要使得函数()13f x x =-有意义，必须360230x x x -≥⎧⇔≥⎨-≠⎩且3x ≠，所以定义域为[)()2,33,+∞ .故选D.3.D 【解析】取x =，y =，则4xy =不是无理数，所以不是充分的；取x =，1y =，此时xy =是无理数，但y 不是无理数，所以不是必要的.故选D.4.B 【解析】显然p 是真命题，p ⌝是假命题；因为20,110x x x x x x x ≠⎧-=⇔⇔∈∅⎨-+=⎩，所以q 是假命题，q ⌝是真命题，综上，p ⌝和q 都是假命题.故选B.5.B 【解析】在AC 中，()10f -=均不成立，所以排除AC ；在BD 中，令()0f x =得，1x =-，1，3，符合题意，又由图象得，在B 中()40f >，符合题意，在D 中()40f <，不符合题意.故选B.6.B 【解析】令8a =，1b =-，113321a b =>=-，此时1133a b <不成立，所以A 错误；()()()()22111120a b a b a b a b ->-⇔->-⇔+-->，所以B 正确；令3a =，0b =，满足：1a b >>，且2a b +>，但2a b ab +>+，22a ab +>，所以CD 错误.故选B.7.C 【解析】因为()f x 在R 上单调递减，且4x >时，()f x =是单调递减，则需满足42162a a ⎧-≥⎪⎨⎪+≥⎩，解得98a -≤≤-，即实数a 的范围是[]9,8--.故选C.8.D【解析】因为()4mf x kx x x =++是奇函数，定义域为()(),00,-∞+∞ ，所以()()f x f x =--，420kx =，所以0k =，所以()mf x x x=+，k m m +=.任意取1x ，[)22,x ∈+∞，12x x <，因为()f x 在[)2,+∞上单调递增，所以()()()()121212121210m m m f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=--<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为120x x -<，所以1210mx x ->，所以12m x x <，因为1x ，[)22,x ∈+∞，12x x <，所以124x x >，所以4m ≤，所以k m +的取值范围是(],4-∞.故选D.二、选择题9.AB 【解析】A.由P Q ⊗的定义得，{}1P P ⊗=显然成立，所以A 正确；B.根据实数乘法的结合律得，()()P Q R P Q R ⊗⊗=⊗⊗成立，所以B 正确；C.设{}1P =，由P Q ⊗的定义得，{}{}00P ⊗=，所以C 错误；D.设{}1P =，{}2Q =，{}2P Q ⊗=，P Q =∅ ，P Q P Q ⊗≠ ，所以D 错误.故选AB.10.AC 【解析】因为()2334x y xy +=+，()24x y xy +≥，所以3344xy xy +≥，所以34xy ≤，所以A 正确，B 错误；因为()2334x y xy +=+，又23333442x y xy +⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，所以()223342x y x y +⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，所以()23x y +≤，所以x y +≤，所以C 正确，D 错误.故选AC.11.ABD【解析】()()()()22fx f x f x f x -=⇔-=±.A.若x ∀∈R ，()()f x f x -=-，则()f x 是奇函数，所以A 正确；B.若x ∀∈R ，()()f x f x -=，则()f x 是偶函数，所以B 正确；C.若x ∀∈R ，()()()(),f x f x f x f x ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩，()f x 既是奇函数又是偶函数，此时x ∀∈R ，()()f x f x -=，x ∀∈R ，()0f x =，这与0x ∃∈R ，()00f x ≠矛盾，所以C 错误；D.设()[][]2,1,1,,1,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨∉-⎪⎩，此时满足()()22f x f x -=，但()f x 既不是奇函数又不是偶函数，所以D 正确.故选ABD.三、填空题12.{1}【解析】因为A B ⊆，所以0B ∈，所以10a +=或10a -=，即1a =-或1a =，当1a =时，{}0,1A =，{}1,2,0B =，满足A B ⊆；当1a =-时，{}0,1A =-，{}1,0,2B =-，不满足A B ⊆；综上，a =1.故答案为{}1.13.【解析】因为()()2f x x λλ=-是幂函数，所以21λ-=，解得3λ=，所以()3f x x =，所以3f==.故答案为.14.[]2,1-【解析】在(]0,4上，()22,02,232,24,x x a x f x x x ⎧-++<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，所以当02x <≤时，()[],1f x a a ∈+，当24x <≤时，()[]2,0f x ∈-，因为()f x 是定义在[]4,4-上的奇函数，且值域为[]2,2-，所以当42x -≤<-时，()[]0,2f x ∈，所以2,12a a ≥-⎧⎨+≤⎩，所以[]2,1a ∈-.故答案为[]2,1-.四、解答题15.解：{}[]121,2A x x =≤≤=∣，（2分）（1）因为A B =，所以1m =，12m +=，所以1m =.（6分）（2）因为A B =∅ ，显然B ≠∅，（7分）所以11m +<或2m >，（11分）解得，0m <或2m >，所以m 的取值范围是()(),02,-∞+∞ .（13分）16.解：（1）因为1x >，202yxy x --=，（2分）所以()()22124222,4212121x x y x x x -+===+∈---.（6分）（2）因为x ，y都是正数，所以22y x +≥，当且仅当22yx =时取等号，（9分）因为202y xy x --=，所以22yxy x =+，所以xy ≥=，（12分）所以4xy ≥，当且仅当1x =，4y =时等号成立，所以xy 的最小值为4.（15分）17.解：（1）因为当400x =时，()80f x =，（2分）所以22400400805a ⨯-=，解得12000a =.（4分）（2）设公司所获得的利润为()g x （单位：万元），所以()()12010g x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭21320,0400,200010160,400,10x x x x x ⎧-+-≤≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（7分）当0400x ≤≤时，2132020200010x x -+-≥，即213400200010x x -+≤，（9分）解得，200400x ≤≤，（12分）当400x >时，1602010x -<，（14分）综上，当且仅当200400x ≤≤时，公司所获得的利润不低于20万元.（15分）18.解：（1）()()()3221262f x x x +-=+-++()313210x x x +-=+，（4分）因为3y x x =+为奇函数，即()21f x +-为奇函数，由结论得，函数()326139f x x x x =-+-的图象关于点()2,1成中心对称图形.（7分）（2）因为()()()h x f x m f x m n =---++，所以()()()h x m n f x f x +-=--，（9分）令()()()m x f x f x =--，因为()f x 是定义域为R 的初等函数，所以()m x 也是定义域为R 的初等函数，（10分）因为()()()()()()m x m x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤-+=--+--⎣⎦⎣⎦()()()()0f x f x f x f x =--+--=，即()()0m x m x -+=，（13分）所以()m x 为奇函数，即()y h x m n =+-为奇函数.（15分）由结论得，()h x 的图象关于点(),m n 成中心对称图形.（17分）19.解：（1）因为()f x 对任意实数u ，v ，()()()f u v f u f v -=-，所以()()()f u u f u f u -=-，所以()00f =，（1分）在()()()f u v f u f v -=-中，令0u =得，()()()0f v f f v -=-，所以()()f v f v -=-，（3分）在()()()f u v f u f v -=-中，用v -替换v 得，()()()f u v f u f v +=--，因为()()f v f v -=-，所以()()()f u v f u f v +=+，所以，对任意实数u ，v ，()()()f u v f u f v +=+成立.（5分）（2）任意取u ，v ∈R ，且u v <，则0u v -<，（6分）因为当0u <时，()0f u <，所以()0f u v -<，（7分）所以()()()0f u f v f u v -=-<，即()()f u f v <，所以()f x 是R 上的增函数.（9分）（3）命题[):2,1p x ∃∈-，()()()212f x f ax f x a ++≥+为假命题，等价于[):2,1p x ⌝∀∈-，()()()212f xf ax f x a ++<+为真命题.（11分）在()()()f u v f u f v +=+中，令u v =得，()()22f u f u =，（12分）所以()()()()()2212122,f xf ax f x a f xax f x a ++<+⇔++<+（13分）由（2）的结论得，()()()2221221222f x ax f x a x ax x a x a x ++<+⇔++<+⇔+-+()120a -<，即()()()2212f xf ax f x a x++<+⇔+()()2120a x a -+-<，令()()()2212g x x a x a =+-+-，因为[)2,1x ∀∈-，()0g x <成立，所以()()20,10g g ⎧-<⎪⎨≤⎪⎩，所以490,94a a a -+<⎧⇔>⎨-≤⎩，所以实数a 的取值范围是9,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭.（17分）2024—2025学年度高一年级11月联考数学参考答案及解析三、填空题12.{1}【解析】因为A ⊆B ，所以0∈B ，所以a ＋1＝0或a －1＝0，即a ＝－1或a ＝1，当a ＝1时，A ＝{0，1}，B ＝{1，2，0}，满足A ⊆B ；当a ＝－1时，A ＝{0，－1}，B ＝{1，0，－2}，不满足A ⊆B ；综上，a ＝1.故答案为{1}.13．22【解析】因为f (x )＝(λ－2)x λ是幂函数，所以λ－2＝1，解得λ＝3，所以f (x )＝x 3，所以f (2)＝(2)3＝2 2.故答案为2 2.[－2，1]【解析】在(0，4]上，f (x )＝x 2＋2x ＋a ，0<x ≤2，|x －3|－2，2<x ≤4，，所以当0<x ≤2时，f (x )∈[a ，1＋a ]，当2<x ≤4时，f (x )∈[－2，0]，因为f (x )是定义在[－4，4]上的奇函数，且值域为[－2，2]，所以当－4≤x <－2时，f (x )∈[0，2]，≥－2，＋1≤2，所以a ∈[－2，1].故答案为[－2，1].【区间形式也给分】四、解答题15．解：A ＝{x |1≤x ≤2}＝[1，2]，(2分)(1)因为A ＝B ，所以m ＝1，m ＋1＝2，所以m ＝1.(6分)(2)因为A ∩B ＝∅，显然B ≠∅，(7分)所以m ＋1<1或m >2，(11分)解得，m <0或m >2，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).(13分)16．解：(1)因为x >1，xy －2x －y2＝0，(2分)所以y ＝4x 2x －1＝2(2x －1)＋22x －1＝2＋22x －1∈(2，4).(6分)(2)因为x ，y 都是正数，所以2x ＋y 2≥22x ·y2，当且仅当2x ＝y2时取等号，(9分)因为xy －2x －y 2＝0，所以xy ＝2x ＋y2，所以xy ≥22x ·y2＝2xy ，(12分)所以xy ≥4，当且仅当x ＝1，y ＝4时等号成立，所以xy 的最小值为4.(15分)17．解：(1)因为当x ＝400时，f (x )＝80，(2分)所以25×400－4002a ＝80，解得a＝12000.(4分)(2)设公司所获得的利润为g (x )(单位：万元)，所以g (x )＝f (x )＋110x－12000x 2＋310x －20，0≤x ≤400，－110x ，x >400，(7分)当0≤x ≤400时，－12000x 2＋310x －20≥20，即12000x 2－310x ＋40≤0，(9分)解得，200≤x ≤400，(12分)当x >400时，60－110x <20，(14分)综上，当且仅当200≤x ≤400时，公司所获得的利润不低于20万元．(15分)18．解：(1)f (x ＋2)－1＝(x ＋2)3－6(x ＋2)2＋13(x ＋2)－10＝x 3＋x ，(4分)因为y ＝x 3＋x 为奇函数，即f (x ＋2)－1为奇函数，由结论得，函数f (x )＝x 3－6x 2＋13x －9的图象关于点(2，1)成中心对称图形．(7分)(2)因为h (x )＝f (x －m )－f (－x ＋m )＋n ，所以h (x ＋m )－n ＝f (x )－f (－x )，(9分)令m (x )＝f (x )－f (－x )，因为f (x )是定义域为R 的初等函数，所以m (x )也是定义域为R 的初等函数，(10分)因为m (－x )＋m (x )＝[f (－x )－f (x )]＋[f (x )－f (－x )]＝f (－x )－f (x )＋f (x )－f (－x )＝0，即m (－x )＋m (x )＝0，(13分)所以m (x )为奇函数，即y ＝h (x ＋m )－n 为奇函数．(15分)由结论得，h (x )的图象关于点(m ，n )成中心对称图形．(17分)19．解：(1)因为f (x )对任意实数u ，v ，f (u －v )＝f (u )－f (v )，所以f (u －u )＝f (u )－f (u )，所以f (0)＝0，(1分)在f (u －v )＝f (u )－f (v )中，令u ＝0得，f (－v )＝f (0)－f (v )，所以f (－v )＝－f (v )，(3分)在f (u －v )＝f (u )－f (v )中，用－v 替换v 得，f (u ＋v )＝f (u )－f (－v )，因为f (－v )＝－f (v )，所以f (u ＋v )＝f (u )＋f (v )，所以，对任意实数u ，v ，f (u ＋v )＝f (u )＋f (v )成立．(5分)(2)任意取u ，v ∈R ，且u <v ，则u －v <0，(6分)因为当u <0时，f (u )<0，所以f (u －v )<0，(7分)所以f (u )－f (v )＝f (u －v )<0，即f (u )<f (v )，所以f (x )是R 上的增函数．(9分)(3)命题p ：∃x ∈[－2，1)，f (x 2)＋f (ax ＋1)≥2f (x ＋a )为假命题，等价于 p ：∀x ∈[－2，1)，f (x 2)＋f (ax ＋1)<2f (x ＋a )为真命题．(11分)在f (u ＋v )＝f (u )＋f (v )中，令u ＝v 得，f (2u )＝2f (u )，(12分)所以f (x 2)＋f (ax ＋1)<2f (x ＋a )⇔f (x 2＋ax ＋1)<f (2x ＋2a )，(13分)由(2)的结论得，f (x 2＋ax ＋1)<f (2x ＋2a )⇔x 2＋ax ＋1<2x ＋2a ⇔x 2＋(a －2)x ＋(1－2a )<0，即f (x 2)＋f (ax ＋1)<2f (x ＋a )⇔x 2＋(a －2)x ＋(1－2a )<0，令g (x )＝x 2＋(a －2)x ＋(1－2a )，因为∀x ∈[－2，1)，g (x )<0成立，(－2)<0，(1)≤0，4a ＋9<0，a ≤0⇔a >94，所以实数a(17分)。
贵州市贵阳七校联盟2025届高三上学期第一次联考 数学试卷
贵阳市七校2025届高三年级联合考试（一）数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回.本卷满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.已知复数z 满足i i a z z +⋅=-，若复数z 为纯虚数，则实数a 的值为（）A.2- B.1- C.1D.22.设集合{}2320,{2}A xx x B x a x a =-+≤=<<+∣∣，则0a >是A B ⊆的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若向量,,a b c 都是单位向量，且a b c += ，则a 与a b - 的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3 D.5π64.为了了解某班学生数学成绩，利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本，统计如下：学生数平均分方差男生6807女生4752则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为（）A.77.5,5B.77.5,11C.78,5D.78,115.已知函数()e 1e 1x xf x -=+，且满足()()220f m f m +->，则实数m 的取值范围是（）A.()1,+∞ B.(),2-∞- C.()(),21,-∞-+∞ D.()2,1-6.如图甲，在边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别是,AB BC 的中点，将,,AED BEF DCF 分别沿,,DE EF DF 折起，使得,,A B C 三点重合于点A '，如图乙，若三棱锥A EFD '-的所有顶点均在球O 的球面上，则球O 的体积为（）A.B.6πC.8πD.7.已知函数()32f x x bx cx =++的图像如图所示，12,x x 是()f x 的极值点，则()()1212f x f x x x --等于（）A.12-B.23-C.1-D.43-8.已知0,0a b >>，且22a b +=，若223b t t a b-≤+恒成立，则实数t 的取值范围是（）A.2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.4,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.2ω=B.函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称C.函数2π3f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数D.将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象10.已知直线:210l kx y k ++-=与圆22:670C x y y +--=相交于,A B 两点，下列说法正确的是（）A.直线l 恒过某一定点B.1k =时，AB 最大C.AB 的最小值为D.当2k =时，对任意R λ∈，曲线()2226370x y x y λλλ+++-+-=过直线l 与圆C 的交点11.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()g x ，若函数()21y f x =+-是奇函数，函数()1y g x =+是偶函数，则（）A.()21f = B.()12g =C.函数()1y f x =-是奇函数D.20241()1012k f k ==∑三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin sin sin sin A B cC B a b-=-+，则A =__________.13.若na x ⎫-⎪⎭的展开式的二项式系数和为32，且2x -的系数为80，则实数a 的值为__________.14.设函数()()()3212log f x x ax x a x b =-+-+，若()0f x ≤，则33a b +的最小值为______.四､解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-.(1)求证{}1n a +为等比数列；(2)求数列{}n S 的前n 项和n T .16.如图甲，中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”.某种风筝的骨架模型是是四棱锥P ABCD -，其中AB AD AP CB CD CP AC ======交BD 于点O ，如图乙.（1）求证：AC ⊥平面PBD ；（2）若5,AC PB ==，点Q 是线段PC 的中点，求直线BQ 与平面PAD 所成角的正弦值.17.已知函数()ln f x ax x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1a =，且()2e x k xf x x-≤，求k 的取值范围.18.某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，在M 处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，在N 处连续投2次两分球，每投进一次得2分，未投进不得分，测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮（若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投篮）.甲同学为了通过测试，刻苦训练，投中3分球的概率为15，投中2分球的概率为12，且每次投篮结果互不影响.（1）若甲同学先投3分球，求他投篮2次就终止投篮的概率；（2）为使通过测试的概率最大，甲同学应先投几分球？（3）为使投篮累计得分期望最大，甲同学应先投几分球？19.已知椭圆()2222:102x y C a a a +=>-过点,P F 为C 的右焦点，PF x ⊥轴，且1PF =，如图，过点P的两条动直线交椭圆于1,1,2,2.（1）求实数a 的值；（2）设M 是C 的动点，过点M 作直线x =,MN N 为垂足，求MF MN；（3）记,FBA FAB αβ∠=∠=，若直线AB 的斜率为2，求sin sin αβ-的最大值.贵阳市七校2025届高三年级联合考试（一）数学贵阳六中贵阳八中贵州省实验中学贵阳民中贵阳华师一学校贵阳二中注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回.本卷满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）【9题答案】。
2023八省联考数学试卷及答案
2023八省联考数学试卷及答案2023届八省联考数学试卷及答案T8联考被人们戏称为“第二次全国大联考”，虽然“T8联考”试题的难度很大，但还是有些学生考出了不错的成绩，以下是关于2023八省联考数学试卷及答案的相关内容，供大家参考!2023届高三第一次学业质量评价(T8联考)数学试题及答案2023八省联考参与省份八省联考参与联考的省份有：广东、江苏、河北、湖南、辽宁、湖北、重庆、福建。
八省联考是一场跨越八省八校的联考，往年参加八省联考的学校有：福州一中(福建)、东北育才中学(辽宁)、石家庄二中(河北)、华中师大一附中(湖北)、西南大学附中(重庆)、南京师大附中(江苏)、湖南师大附中(湖南)、广东实验中学(广东)。
新高考适应性考试参考对象是应届高三生、往届复读生、以及参加了高考报名的社会高考生。
这些考生如果没有不可抗拒因素是都要参加的，因此在八个省份中，办有高三班级教学的学校是都要参加八省联考的。
部分省份除了以上重点中学参加外，还有其他高中校也会参与八省联考，有这么多名校共同把关，强强联合，想必对于新高考的热点趋势把握还是比较到位的，考试试卷有一定的参考价值，所有的同学们都可以试着做一下这套卷子。
八省联考可以让学生了解新高考模式：通过这次联考模拟考试，使考生适应“不分文理，必考+选考”的新高考模式，熟悉考试流程、试卷结构和题型难度。
高三数学复习技巧1.重视数学能力的培养现阶段，高三数学复习正处于紧张阶段，我们应该重视学生数学能力的培养，教会学生将知识转化成能力的本领，以此帮助他们尽快解决各种数学考题。
这亦是数学核心素养的重要要求。
如，学生复习几何知识时，可以将身边的皮球、水杯、易拉罐作为研究事物，通过简化、抽象等方式转化成课本中的几何图形，这样就能锻炼自己的数学抽象能力。
这样的复习技巧看似简单，却能增强想象能力，为日后数学渗透生活奠定基础。
2.增强复习时的自我思考跟随老师能快速解题，自己时却不得要领，这是因为自我思考较少，没有形成正确的解题思维。
2024年(新高考)名校教研联盟高三3月联考数学试题及答案
绝密★启用前（新高考卷）数学参考答案1.【答案】B 【解析】因为56221i i i i 1z ===--+-，所以1i z =-+，故选B.2.【答案】C 【解析】因为{}{}11221A x x x x =-<+<=-<<，{}20022x x B x x x x x ⎧⎫-⎪⎪=+==<<⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，所以A B {}01x x =<<，故选C.3.【答案】D【解析】由23BD DA DC =- 得33BD DA DA DC +=- ，即3BA CA = ，又()2,1AC =- ，所以AB =3AC =()6,3-，故选D.4.【答案】D【解析】因为()f x 是偶函数，所以()()()31231228log 8322x x f x f x ax a x +-++--=-=-+=0，所以38a =，故选D 。
5.【答案】D【解析】以8个顶点为球心的球各有18在正方体内，以6个面的中心为球心的球各有12在正方体内，所以这些球在正方体的体积之和为4个半径为22的球的体积之和，所以这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为344π38⨯⨯⎝⎭，故选D.6.【答案】C【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，由2221y kx x y a =⎧⎪⎨+=⎪⎩得221221a x a k =+，由OA OB ⊥可得222221a x a k =+=2222a k a k +，所以()22222212211a a k OA k x a k +=+=+，22222222211a a k OB x k a k +⎛⎫=+= ⎪+⎝⎭，所以()()()22222221111111a k a a k OA OB +++==++，所以22141,33a a +==，C的长轴长为2a =，故选C.7.【答案】A【解析】设()()()ln 10f x x x x =+->，则()1101f x x '=-<+，()f x 在()0,+∞上单调递减，所以()()0f x f <0=，所以()ln 1x x >+，111112ln ln 10111011+>+=6ln 5，()56ln log 61ln55=-，56lg6lg7log 6log 7lg5lg6-=-=()2lg6lg5lg71g5lg6-()2222lg5lg711lg6lg36lg35222=0lg5lg6lg5lg6+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭>>，所以a b c >>，故选A.8.【答案】A【解析】设圆M 与1PF ，2PF 分别切于点,A B ，则11F A F M '=，且111122F A F M F P AP F F M F ''+=-+-=1212F P F P F F -+=22a c +，所以1F M a c '=+，点(),0M a '，设()()1111,,,P x y Q x y --，则2211221x y a b-=，所以2212221y b x a a =-，12k k =211122111y y y x a x a x a -⋅=----=2221b e a =-，12F M c a F M c a '+='-=11e e +-，所以()2112219FM k k e F M '⋅=+='，2e =，故选A.9.【答案】ACD【解析】由每年增加数均为正数，可得A 正确；2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的中位数为121，B 错误；2014~2022年中国虚拟主播企业注册年增加数的极差为948-33=915，C 正确；当且仅当从33，48，76，84，121中任取两个数字，其平均数均不大于110，所以所求概率为2529C 131C 18-=，D 正确，故选ACD.10.【答案】AD【解析】设l 与()32f x x =-的图象切于点()3,2Q t t -，则切线斜率()26k f t t '==-32t b t a --=-，整理得32460t at b --=，对于A ，若P 与原点重合，则0a b ==，所以0,0t k ==，l 即x 轴，方程为0y =，A 正确；对于B ，若l 与直线60x y -=垂直，则266k t =-=-，1t =±，当1t =时460a b --=，64a b +=，当1t =-时460a b ---=，64a b +=-，B 错误；对于C ，当点P 在()f x 的图象上时32b a =-，3234620t at a -+=，所以2()(2)0t a t a -+=，解得t a =，或2a t =-，当0a ≠时，l 有2条，C 错误；对于D ，设()32460g t t at b =--=，()g t '=212t 120at -=，由()0g t '=得0t =或t a =，符合条件的l 有3条，()g t 有3个零点，则()()()3020g g a b a b =---<，所以()320b a b +<，3210a b +<，312a b <-，D 正确，故选AD ．11.【答案】AB【解析】由()()πf x f x -=-，可得A 正确；由11sin cos 22x x - ，1sin 1x - 得()3322f x - ，当π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=32-，3π342f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确；()()cos sin 2sin f x x x x =+，令()0f x =得sin 0x =或cos 0x =，()1π2x k k =∈Z ，31π32π50,5022<>，所以()f x 在()0,50上有31个零点，C 错误；()f x 是以2π为周期的周期函数，当(]0,πx ∈时()3sin 22f x x =，()34f x =在(]0,π上有2个实根12,x x ，且349π2x x +=；当(]π,2πx ∈时()1sin 22f x x =-，()34f x =在(]π,2π上没有实根，()1f x =在(]2π,3π上有2个实根34,x x ，且345π2x x +=，34π5π2π,2π1212x x =+=+，所以29π49π1212t < ，12345πx x x x +++=，所以1234x x x x t ++++的取值范围是89π109π,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦，D 错误，故选AB.12.【答案】1-【解析】()612112x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为()()6516121C 112⨯-+⨯⨯-=-.13.【答案】()()223318x y -+-=【解析】由△ABC 的垂心()2,2G 到直线BC距离d =，设圆E 半径为r ，由塞尔瓦定理可得r EG+(2EG =+，由圆的几何性质可得(222EG r ++=，联立解得EG =r =，因为直线BC 方程为20x y +-=，所以直线EG 方程为y x =，设(),E a a ，则E 到直线BC距离d '=，解得1a =-（舍去）或3a =，所以圆E 的标准方程为()()223318x y -+-=.14.【解析】因为2BD =，由正弦定理得sin 11sin sin tan 242AD A A BAD AD A AD BD ∠===，所以sin A =1tan 2A ，即sin 22sin cos 222cos 2A A A A =，因为sin 02A ≠，所以21cos 24A =，1cos 22A =，2π3A =，所以1cos 2A =-，3sin 2A =，由余弦定理得222BD AB AD AB AD =++⋅3AB AD ⋅ ，所以43AB AD ⋅ ，当AB AD =时取等号，11sin 2S AB AD A =⋅143232⨯⨯，设BC t =，则2CD t =，在△BCD 中由余弦定理得()22222cos 22t t C t t +-=⋅22544t t -=，所以212sin 2S t t C =⋅=253t =时，2S 取得最大值43．所以12SS ．15.【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由580a a +=，4631a a a +=+得11121102821a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，……………………………………………………………………………………………(2分)解得111,2a d =-=，………………………………………………………………………………………………(4分)所以()()111112213n a a n d n n =+-=-+-⨯=-.…………………………………………………………………(6分)(2)由(1)得213n a n =-，()()1221121329n n n n a n b a a n n ++-==--，……………………………………………………………………………………(8分)当4n 时0n b <，…………………………………………………………………………………………………(10分)当5b =110313-=>-⨯，6110133b ==-<-⨯，560b b +=，7n 时0n b >，……………………………………………………………………………………………………(12分)所以n S 最小时n 的值为4或6.……………………………………………………………………………………(13分)16.【解析】(1)取CD 中点O ，连接AO ，BO ，由已知可得AC AD BC BD ===，所以,AO CD BO CD ⊥⊥，因为AO BO O = ，所以CD ⊥平面AOB ，……………………………………………………………………(2分)因为CD ⊥平面EFG ，所以平面EFG ∥平面AOB ，………………………………………………………………………………………(4分)过E 作AB 的平行线与BC 的交点即为F ，过E 作AO 的平行线与CD 的交点即为G ，因为2AE EC =，所以2BF FC =，1136CG CO CD ==，所以当2BF FC =，16CG CD =时,平面EFG 与直线CD 垂直.…………(7分)(2)由题意可得OA OB ==，因为9AB =，所以120AOB ∠=︒，以O 为原点，直线,OB OC 分别为x 轴，y 轴，过点O 与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则())339330,3,0,,,2222D A E F ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………（8分）所以9,3,,22DA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭),DF =3.22DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ …………………………………………………（10分）设平面DEF 的一个法向量为n ＝(),,x y z ，则有00DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n，得3502250x y z y ⎧++=⎪+=，取5x =，得n＝(5,，…………………………………………………………………………………(12分)设直线DA 与平面DEF 所成角为,θ则sin θ＝DA DA ⋅== n n ，所以直线DA 与平面DEF 所成角的正弦值为2309103.…………………………………………………………(15分)17.【解析】(1)由表中的数据和附注中的参考数据得51850i i x==∑，170x =，51365i i y ==∑，73y =， (1))()252222211150610282i i xx =-=++++=∑，………………………………………………………………………(2分)8.6，()()555111i i i i i i i i x x y y x yx y ===--=-∑∑∑=62194-170735⨯⨯=144，…………………………(3分)∴()()5i i xx y y r --∑=1440.99716.88.6≈⨯.………………………………………………………………(5分)因为y 与x 的相关系数近似为0.997，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．………………………………………………………………………………………………………………(6分)(2)由73y =及(1)得()()()51521i ii i i x x y y b x x ==--=-∑∑ =144240.5128247=≈，…………………………………………………(7分) 247317013.8147a y bx =-=-⨯- ≈，………………………………………………………………………………(9分)所以y 关于x 的回归方程为13.810.51y x =-+.…………………………………………………………………(10分)（说明：根据 730.5117013.70ay bx =-=-⨯≈- ，得出 13.700.51y x =-+也正确，）(3)X 的取值依次为2,3,4,5,6,7,9,11，………………………………………………………………………………(12分)()25212C 5P X ===，()25113C 10P X ===，()25114C 10P X ===，()25215C 5P X ===，()25116C 10P X ===，()25117C 10P X ===，()25119C 10P X ===，,()251111C 10P X ===……………………………………………………………………(14分)所以()1111111127234567911510105101010105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=..………………………………(15分)18.【解析】(1)方法1：设2,2t A t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则l 的方程为2tan 2t y t x p α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，与22y px =联立得22220tan tan p pt y y t αα-+-=，………………………………………………………………（1分）因为直线l 与抛物线C 只有1个公共点，所以2224240tan tan p pt t αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，整理得tan p t α=，所以2,2tan tan p p A αα⎛⎫ ⎪⎝⎭，…………………………………………………………………………………………（3分）又,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以222tan tan tan tan 21tan 2tan 2p p p ααβααα===--，…………………………………………………（5分）因为ππ0,0242αα<<<<，所以πtan tan 20,02βαβ=><<，所以2βα=.………………………………………………………………………………………………………（7分）方法2：易知点),(00y x A 在第一象限，且直线l 与C 相切于点A ，由px y 2=，得xp y 2='，………（1分）所以l 的方程为0002)(2px x x x p y +-=，……………………………………………………………………（3分）设l 与x 交于点D ，则)0,(0x D -，………………………………………………………………………………（4分）所以由抛物线的几何性质可知DF p x AF =+=20，…………………………………………………………（5分）故α=∠=∠DAF ADF ，αβ2=∠+∠=∠=DAF ADF AFx .…………………………………………………（7分）(2)1p =时，C 的方程为22y x =，把1p =，1tan t α=代入2tan 2t y t x p α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭得l 的方程为2x t y t =+，把12x =-代入得122t y t=-，所以11,222t P t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，……………………………………………………………………………………………（10分）由(1)知，2,2t A t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设200,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线AB 方程为12x my =+，与22y x =联立得2210y my --=，0,t y 是该方程的两个根，所以01y t =-，所以01,y t=-………………………………………………………（13分）所以21112211122PA PB t t t k k t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭⋅=⋅=-+，…………………………………………………………………………（16分）所以PA PB ⊥.……………………………………………………………………………………………………（17分）19.【解析】(1)因为()()3230f x x x a x =-++>，所以()236f x x x '=-+，由()0f x '<得2x >，…………………………………………………………………（1分）因为()2ln 2g x x x ax x =+-，所以()ln 21g x x ax '=+-，所以问题转化为2x >时ln 210x ax +-<恒成立，即2x >时1ln 2x a x -<恒成立，…………………………（2分）设()()1ln 22x F x x x -=>，则()2ln 22x F x x -'=，()22,e x ∈时()0F x '<，()F x 单调递减，()2e ,x ∈+∞时()0F x '>，()F x 单调递增，……………………………………………………………………………………（4分）所以()()2min 21e 2e F x F ==-，所以212e a <-，即a 的取值范围是21,2e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.………………………………………………………………（7分）(2)因为()()ln 2g x x x ax =+-，设()ln 2m x x ax =+-，则()1m x a x'=+，（i ）若1a <-，10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()0m x '>，()m x 单调递增，1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时()0m x '<，()m x 单调递减，…………………………………………………………………（9分）所以()11ln 30m x m a a ⎛⎫⎛⎫-=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1a <-时()()()()0,0,0m x g x h x g x <<< ，()h x 没有零点，…………………………………………………………………………………………………（10分）（ii ）若1a >，由(1)知()236f x x x '=-+，()f x 在()0,2上单调递增，且()00f a =>，所以()0f x >，…………………………………………………………………………………………………（11分）当()0,2x ∈时，()m x 单调递增，且1ln 10m a a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()2ln 2220m a =+->，存在唯一()10,2x ∈使得()10m x =，()()110,0g x h x ==，……………………………………………………………………………………………（13分）当[)2,x ∈+∞时，()ln 2ln 2220m x x ax a =+->+->，()0g x >，()f x 在[)2,+∞上单调递减，且()240f a =+>，()323333464486448150f a a a a a a a a =-++<-++=-<，所以存在唯一()22,x ∈+∞使得()20f x =，()20h x =，………………………………………………………（15分）综上，1a <-时()h x 没有零点，1a >时()h x 有2个零点..…………………………………………………（17分）。
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2011届江苏省镇江市部分学校中考模拟联考数学卷 （满分150分 时间120分钟） 一、选择题(每小题3分,共24分) 1．倒数为3的数是----------------------------------------------------------------------------------（ ）
A．31 B．—3 C．3 D． 3 2. 比1小2的数是---------------------------------------------------------------------------------（ ） A． 3 B． 2 C．1 D． 3
3.计算223xx的结果是---------------------------------------------------------------------------（ ）
A．2 B．3 C．42x D． 22x 4．某物体的三视图如图所示，那么该物体是（ ） A．长方体 B．圆锥体 C．正方体 D．圆柱体
5. 正方形网格中，AOB∠如图放置，则cosAOB∠的值为（ ） Ａ．55 Ｂ．255 Ｃ．12 Ｄ．2 6．反比例函数xy8的图象位于------------------------------------------------------（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 7．某校对九年级（1）班、（2）班同学各50人参加体育活动的情况进行了调查，结果如图所示：下列说法中正确的是------------------------------------------------------（ ） A．喜欢乒乓球的人数(1)班比(2)班多 B．喜欢羽毛球的人数(2)班比(1)班多 C．喜欢足球的人数(1)班比(2)班多 D．喜欢篮球的人数(1)班比(2)班多
(1) 班 (2) 班 8．小明早晨从家里出发出门晨练，他没有间断的匀速跑了20 min后回到家．已知小明在整个晨练途中，他出发后t min时，他所在的位置与家的距离为s km，且s与t之间的函数关系的图像如图中的折线段OA-AB-BC所示．则下列图形中可大致表示小明晨练的路线的是
羽毛球乒乓球篮球足球14%
16%30%
40%乒乓球足球羽毛球
篮球人数项目
2015105
18人9人13人10人
A B O
20 t/min O s/km A B
C A B C D 二、填空题(每小题3分,共30分) 9．函数23xy中，自变量x的取值范围是 .
10．分解因式:yxyyx22 .
11．计算：5520 ． 12．如图，在数轴上，A,B两点之间表示整数的点有 个． 13．在平面直角坐标系中，若点P(m－3，m＋1)在第二象限， 则m的取值范围为 14.随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 7（毫米2），这个数用科学记数法表示为 （毫米2） 15. 已知相切两圆的半径分别是方程x2－4x＋3＝0的两根， 则两圆的圆心距是 。 16．如图，点E(0,4)，O(0,0)，C(5,0)在⊙A上，BE是⊙A上的一 条弦．则tan∠OBE= ． 17. 如图7：⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点， 若OP的长为整数，则满足条件的点P有 个。 [来源:] 图7 18题图 18．如图，矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm。沿对角线AC剪开，将ABC向右平移至11BCA位置,成图（2）的形状，若重叠部分的面积为3cm2，则平移的距离1AA cm. 三、计算与化简（每小题6分，共12分） 19.（1）计算： 1360tan130sin2123 3 512题图 家 家 家 家 B AC E O （2）.先化简：aaaaaaa22121222，然后请你选取一个你喜欢且又合理的x的值代入，求原式的值。
四、方程与不等式（每题7分，共14分） 20．解不等式组：；并写出它的最小整数解.
21．5月12日，四川省汶川地区发生强烈地震，给当地人民造成巨大的经济损失．我市某学校学生积极捐款支援灾区，该校初二(1)班45名同学共捐款2300元，捐款情况如下表．表中捐款20元和50元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮助确定表中数据，并说明理由．
五、统计与概率（共18分） 22．（10分）图1是某市2008年2月5日至14日每天最低气温的折线统计图．
（1）图2是该市2008年2月5日至14日每天最低气温的频数分布直方图，根据图1提供的信息，补全图2中频数分布直方图；
捐款[来源:Z|xx|k.Com] 10 20 50 100 人数 10 15
图1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 10 11 日期 温度（℃）
图2 6 7 8 9 10 11 温度（℃）
1 2 3 天 （2）求这10天中，最低气温的众数、中位数、极差、方差。 23．（8分）体育课上，小明、小强、小华三人在学习训练踢足球，足球从一人传到另一人 就记为踢一次。 （1）如果从小强开始踢，经过两次踢后，足球踢到了小华处的概率是多少，（用树状图表示 或列表说明）； （2）如果踢三次后，球踢到了小明处的可能性最小，应从谁开始踢？请说明理由。
六、图形与证明（每题10分，共20分） 24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥BE于点E． （1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并证明你的结论； （2）若AD＝6，AE＝62 ，求BC的长．
25．如图，等边三角形ABC，边长为2，AD是BC边上的高． （1）在△ABC内部作一个矩形EFGH（如图1），其中E、H分别在边AB、AC上，FG在边BC上。①设矩形的一边FG=x，那么EF= ．（用含有x的代数式表示） ②设矩形的面积为y，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ （2）在图2中，只用圆规画出点E，使得上述矩形EFGH面积最大．写出画法，并保留作图痕迹．
七、函数与应用（第题10分，共20分） 26．某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则
B A D
E C
（第24题图）
A B F D G C E H A
B D C 图1 图2 自动开始加热，每分钟水温上升10ºC，待加热到100ºC，饮水机自动切断电源，水温开始下降，水温和时间成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20ºC，接通电源后，水温和时间的关系下图所示，回答下列问题；
（1）分别求出0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；
（2）求出图中a的值． （3）下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课8：20时能喝到不超过 40ºC的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源（不可以用上课时间）．
27.如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为60． ⑴求AO与BO的长； ⑵若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行. ①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO
时间 节次 上午[来源:Z+xx+k.Com]
7：20 到校[来源:] 7：45~8：20 第一节 8：30~9：05 第二节 …… ……
8 a x/min y/ºC 100
20 O 下滑多少米； ②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点．若
∠POP’＝ 15，求AA’的长和点P运动的路线长。
八、（第28题12分） 28．如图，在矩形ABCD中，9AB，33AD，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQBD∥，交CD边于Q点，再把PQC△沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R
点，设CP的长度为x，PQR△与矩形ABCD重叠部分的面积为y． （1）求CQP的度数； （2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？ （3）①求y与x之间的函数关系式；
②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的727？
D Q C B P R A （第24题） B A D C （备用图1） B A D C
（备用图2） 参考答案 一、选择题：每小题3分，共24分 1、A 2、A 3、D 4、的 5、B 6、D 7、D 8、B 二、填空题：每小题3分，共30分
9、 x≥－32 10、y (x－1)2 11、3 12、4 13、－1＜m＜3 14、7×10－7 15、4或2 16、45 17、5 18、2 三、计算与化简：共12分 19、（1）原式=8×21—1—3（3+1）=4—1—3—3=—3………………………6’
（2）、原式=1111aaaa=12a取a=3，代入原式=1………………………………6’
四、共14分 20（7分）解: 由①式得： ， ………………2分
由②式得： ， ……………… 4分
∴原不等式组的解集为．最小整数解为 3. ……………… 6分 21.（7分）解：设捐款20元的有x人， 则捐款50元的有（45-10-15-x）人。………1’ 根据题意得： 10×10+20x+50（45-10-15-x）+100×15=2300 ………3’ 解这个方程，得x=10 45-10-15-x=10（人） 答：捐款20元的有10人，捐款50元的有10人. ………6’
五、共18分 22.（10分）（1）画图正确得4’（每画对1个得2’）（2）众数：7℃ ………6’ 中位数：7.5℃ 极差：2 ……………8’ 方差：
S2=101[1.52+1.52+0.52+0.52+0.52+0.52+1.52+1.52+2.52+3.52]=2.6 …………10’
23．（共8分）解：（1）如图： ∴P（足球踢到小华处）=41………………3’ （2）应从小明开始踢如图：…………5’ 若从小明开始踢，P(踢到小明处)= 82=41
同理，若从小强开始踢，P(踢到小明处)= 8
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